Аналіз оптимальних стратегій портфельної конкуренційної моделі ринку акцій
Розглядається проблема вибору найцiннiшого для покупця пакета акцiй iз запропонованого банкiвського портфеля в умовах часових обмежень та конкуренцiї з боку iнших покупцiв. Пропонується економiко-математична модель задачi оптимальної зупинки процесу вибору пакета акцiй iз бази даних, яка адекватно о...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7729 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Аналіз оптимальних стратегій портфельної конкуренційної моделі ринку акцій / Б.Ю. Кишакевич, А.К. Прикарпатський, I.П. Твердохлiб // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 40-47. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860081965864058880 |
|---|---|
| author | Кишакевич, Б.Ю. Прикарпатський, А.К. Твердохліб, І.П. |
| author_facet | Кишакевич, Б.Ю. Прикарпатський, А.К. Твердохліб, І.П. |
| citation_txt | Аналіз оптимальних стратегій портфельної конкуренційної моделі ринку акцій / Б.Ю. Кишакевич, А.К. Прикарпатський, I.П. Твердохлiб // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 40-47. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Розглядається проблема вибору найцiннiшого для покупця пакета акцiй iз запропонованого банкiвського портфеля в умовах часових обмежень та конкуренцiї з боку iнших покупцiв. Пропонується економiко-математична модель задачi оптимальної зупинки процесу вибору пакета акцiй iз бази даних, яка адекватно описується дискретними ланцюгами Маркова. Обгрунтовано метод пошуку оптимального моменту зупинки процесу вибору найцiннiшого для покупця пакета акцiй з банкiвського портфеля, що дозволило визначити оптимальну стратегiю кожного з двох покупцiв-конкурентiв. Здiйснено симптотичний аналiз оптимальних стратегiй клiєнтiв при купiвлi ними акцiй залежно вiд параметрiв банкiвського середовища i отримано трансцедентне рiвняння для визначення оптимальної частки пакетiв акцiй iз портфеля, перегляд яких покупцем є обов’язковим.
We consider the problem of choice of the most valuable stock packet by a buyer within an offered bank portfolio under conditions of time limitation and competition between buyers. An economicmathematical model of the optimal stopping of choosing a stock packet from a database adequately described by a discrete Markov chain is proposed. A method of search for the optimal choice process stop moment of the most valuable stock packet from a bank portfolio for a potential buyer allowing to define the optimal strategy for every buyer-competitor is substantiated. The asymptotic analysis of optimal client strategies as for the purchasing the stock packets under the dependence on the bank environment medium is done, and a transcendent equation for the determination of the optimal part of packets from the portfolio to be necessary revisited is obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:17:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2009
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 330:519(447)
© 2009
Б.Ю. Кишакевич, А.К. Прикарпатський, I. П. Твердохлiб
Аналiз оптимальних стратегiй портфельної
конкуренцiйної моделi ринку акцiй
(Представлено членом-кореспондентом НАН України А.О. Чикрiєм)
Розглядається проблема вибору найцiннiшого для покупця пакета акцiй iз запропоно-
ваного банкiвського портфеля в умовах часових обмежень та конкуренцiї з боку iнших
покупцiв. Пропонується економiко-математична модель задачi оптимальної зупинки
процесу вибору пакета акцiй iз бази даних, яка адекватно описується дискретними лан-
цюгами Маркова. Обгрунтовано метод пошуку оптимального моменту зупинки процесу
вибору найцiннiшого для покупця пакета акцiй з банкiвського портфеля, що дозволи-
ло визначити оптимальну стратегiю кожного з двох покупцiв-конкурентiв. Здiйснено
асимптотичний аналiз оптимальних стратегiй клiєнтiв при купiвлi ними акцiй за-
лежно вiд параметрiв банкiвського середовища i отримано трансцедентне рiвняння для
визначення оптимальної частки пакетiв акцiй iз портфеля, перегляд яких покупцем є
обов’язковим.
Регулятивний вплив ринку акцiй, акумульованих у банкiвському середовищi, на ефектив-
нiсть економiки країни добре вiдомий. Це середовище може мати в активi свого портфе-
ля значну кiлькiсть пакетiв акцiй, впорядкованих за натуральним показником їх фiнансо-
во-економiчної привабливостi або цiнностi для потенцiйного клiєнта. В умовах сучасного
цейтнот-бiржового механiзму реалiзацiї акцiй, що включає фiксований часовий iнтервал
i обмеження доступу до повної iнформацiї про їх кориснiсть, важливою з точки зору по-
купця є оптимальна стратегiя вибору [1, 2] найбiльш цiнного пакета акцiй iз запропоновано-
го банкiвського портфеля. Фахiвцi пiдкреслюють нетривiальнiсть та складнiсть зазначеної
проблеми, вплив психологiчних факторiв на поведiнку брокерiв, критичну важливiсть дис-
циплiни поведiнки покупцiв на таких ринках [3]. Традицiйно дослiджувалися задачi вибору
оптимального портфеля фiнансових активiв iз множини заданих та оптимального керуван-
ня власне портфелем активiв [4, 5], у яких обмежень на час вiдбору не накладається.
Ситуацiя iстотно ускладнюєтся, коли є декiлька конкуруючих мiж собою покупцiв, i тодi
постає нетривiальна проблема вибору клiєнтом потенцiйно найцiннiшого пакета акцiй в ме-
жах портфеля ранiше iнших. При цьому бiржовий характер такого типу ринкових операцiй
надає покупцю акцiй тiльки динамiчну порiвняльну iнформацiю про їх цiннiсть в процесi
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
вибору. А саме, якщо клiєнт вибрав для ознайомлення будь-який пакет акцiй з банкiвсько-
го портфеля, то вiн може пiсля аналiзу його базових характеристик вiдразу його придбати
або повернути запит назад до бази даних банку i перейти до розгляду наступного пакета.
Якщо кориснiсть вибраного пакета виявиться нижчою за цiннiсть попередньо розглянутих,
то одразу слiд переходити до аналiзу наступного пакета акцiй i так далi, аж поки не буде
вибраним пакет акцiй з характеристикою цiнностi, вищою за всi ранiше розглянутi. В цьому
випадку покупець повинен прийняти рiшення, чи вважає вiн даний пакет акцiй потенцiйно
найцiннiшим з усiх можливих, i тодi на ньому зупиняється, придбавши його, або переходить
до аналiзу привабливостi наступних пакетiв, враховуючи, що обсяг портфеля є скiнченним
i час на їх розгляд обмежений. Якщо ж клiєнтiв є два або бiльше, то аналогiчну страте-
гiю вибору найпривабливiшого пакета акцiй на пiдставi аналiзу їх вiдносних характеристик
вибирає також кожен з них, причому виграє торги акцiй той покупець, який швидше, тоб-
то за менше число звертань до бази даних портфеля акцiй банку, вибере саме потенцiйно
найбажанiший пакет акцiй.
Але на процес вибору клiєнтом найцiннiшого пакета акцiй накладаються певнi додатковi
обмеження фiнансового характеру, що значно впливають на кiлькiсть запитiв до бази да-
них портфеля акцiй: покупцi зобов’язанi сплачувати певну суму грошей, так званий штраф,
або fee, за кожний проглянутий i повернутий назад до портфеля пакет акцiй. Банки засто-
совують рiзнi дисциплiни штрафування клiєнтiв за неуспiшну трансакцiю. Примiром, це
може бути фiксована сума грошових одиниць за кожен проглянутий пакет акцiй або лiнiй-
на прогресивна шкала штрафних санкцiй, що збiльшує сплачену суму штрафу пропорцiйно
порядковому номеру неуспiшної трансакцiї, або iншi. Якщо ж клiєнт-покупець зупинився
на потенцiйно найцiннiшому для нього пакетi акцiй i вибрав його для придбання, то банк
виплачує йому певну винагороду, так званий gift, за успiшну фiнансову трансакцiю, тим
самим стимулюючи клiєнтiв до активної спiвпрацi з ним. Описана вище конкуренцiйна мо-
дель ринку акцiй у середовищi банкiвського портфеля в умовах цейтнот-бiржової схеми
взаємодiї покупцiв являє собою досить стандартну ситуацiю [1, 6, 7] у сучасному фiнансо-
во-економiчному просторi. Оскiльки весь процес самого вибору потенцiйно найбiльш цiнного
пакета акцiй є майже повнiстю випадковим, для його опису природним є використання те-
орiї випадкових процесiв, зокрема певних її аспектiв, що стосуються проблем мiнiмаксних
стратегiй з керованими правилами зупинок. Однiєю зi спроб побудови досить адекватної
математичної моделi описаного вище ринкового процесу i є запропоноване нижче дослiд-
ження.
1. Портфельна конкуренцiйна модель ринку акцiй. Нехай (Ω,F , P ) означає [1]
деякий ймовiрнiсний простiр, тобто множину Ω елементарних подiй з видiленою σ-алгеброю
F його пiдмножин iз ймовiрнiсною мiрою P , визначеною на пiдмножинах з F . Задамо на
просторi Ω деякий дискретний марковський [9, 8] процес x : Z+ × Ω → H iз значеннями
в деякому топологiчному просторi H. Для кожного t ∈ Z+ величина xt(ω) ∈ H, t ∈ Z+,
є випадковою, а набiр {xt(ω) ∈ H : t ∈ Z+} утворює вiртуальну траєкторiю можливих
станiв процесу.
Припустимо тепер, що iснує зростаюча сiм’я σ-алгебр {Ft ⊂ F : t ∈ Z+} така, що Fs ⊂
⊂ Ft ⊂ F для всiх t > s ∈ Z+. Тодi процес x : Z+ × Ω → H має назву адаптованого
до сiм’ї {Ft ⊂ F : t ∈ Z+}, якщо вiдображення xt : Ω → H є Ft-вимiрним для кожного
t ∈ Z+. Щодо процесу x : Z+ × Ω → H вводиться важливе поняття марковського моменту
зупинки [9, 10], як такого вiдображення τ : Ω → Z+, що подiя {ω ∈ Ω: t < τ(ω)} ⊂ Ft
для всiх t ∈ Z+. Розглянемо довiльне вiдображення f : H → R i знайдемо математичне
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 41
сподiвання [9] процесу f(xt) : H → R щодо σ-алгебри Fs ⊂ F , яке позначимо Es(f(xt)) :=
= E{(f(xt)|Fs : t > s ∈ Z+}. Тодi, за визначенням,
∫
A∈Fs
Es(f(xt)) dPs :=
∫
A∈Fs⊂F
f(xt) dP (1)
для всiх пiдмножин A ∈ Fs, де мiра dPs на Fs визначається як iндукована мiра i∗sdP вiд-
носно вiдображення вкладення is : Fs → F , s ∈ Z+. Нехай тепер f : H → R+ означає деяке
вiдображення, що характеризує ступiнь корисностi вибору елемента x ∈ H, який в на-
шому випадку моделює базу даних пакетiв акцiй портфеля банку. Тодi функцiя V (a) :=
= sup
τ
Ea(f(xt)), де супремум береться за всiма можливими марковськими моментами зу-
пинки процесу xt : Ω → H, t ∈ Z+, при умовi, що x0 = a ∈ H, називається цiною задачi
оптимальної зупинки нашого випадкового процесу i, зокрема, може бути цiною вибору най-
цiннiшого пакета акцiй з портфеля банку. З огляду на нашу конкуренцiйну модель ринку
акцiй у середовищi банкiвського портфеля потрiбно сконструювати для кожного покупця
вiдповiдну функцiю цiни оптимального вибору [1] найбажанiшого пакета акцiй, виходячи
з описаних вище умов цього процесу.
Вважатимемо для зручностi, що наявнi тiльки два клiєнти, конкуруючi мiж собою пiд
час процесу вибору найцiннiшого для кожного з них пакета акцiй iз запропонованого порт-
феля iз скiнченним обсягом N ∈ Z+ елементiв. Всi пакети акцiй Ai, i = 1, N , ми прону-
меруємо в такий спосiб, що
W (A1) < W (A2) < · · · < W (AN ), (2)
де W (Ai) ∈ [0, 1], i = 1, N , є деяка функцiя корисностi пакетiв акцiй, конкретний вираз
якої для нас є неважливим. Ймовiрнiсний простiр Ω складається, очевидно, iз всеможливих
перестановок ω := {ω1, ω2, . . . , ωN} набору чисел {1, 2, . . . , N}, причому вважатимемо, що
всi вони є рiвноймовiрнi. Таким чином, результат процесу вибору за n-м разом покупця-
ми пакета акцiй ωn, n = 1, N , s = 1, 2, будемо позначати X(s)
n (ω) = ωn, s = 1, 2, а через
τs(ω) ∈ H := {0, 1, 2, . . . , N}, s = 1, 2, позначатимемо моменти зупинки процесу, результа-
том якого будуть найбiльшi значення математичного сподiвання вiдповiдних функцiй цiни
вибору пакета акцiй. Вибiр найбажанiшого пакета акцiй AN , який неявно несе номер N ,
iстотно ускладнюється тим фактом, що пiсля n = 1, N вибраних i повернених до портфеля
пакетiв акцiй (X
(s)
1 ,X
(s)
2 , . . . ,X(s)
n ), s = 1, 2, покупець не має iнформацiї щодо їх iстинних
апрiорi приписаних значень цiни, а може фiксувати в процесi вибору лише їх вiдносне роз-
ташування, тобто X
(s)
i < X
(s)
j , якщо W (Ai) < W (Aj), i 6= j 6 n, s = 1, 2. У зв’язку з цим
є природним запровадити сiм’ї σ-алгебр подiй F (s)
n , n = 1, N , s = 1, 2, породженi подiями
(X
(s)
i < X
(s)
j , i 6= j 6 n) := F (s)
n , причому F
(s)
1 := {∅,Ω}, s = 1, 2, i визначити два набори но-
вих характеристичних випадкових величин, враховуючи описаний ранiше конкуренцiйний
процес вибору найцiннiшого пакета акцiй. А саме, нехай математичнi сподiвання
V (1)
τ1
(τ2) := cαE
{
1
{X
(1)
τ1
=N,X
(2)
τ2
6=N}
+ 1
{X
(1)
τ1
=N,X
(2)
τ2
=N,τ1<τ2}
}
−
− α
τ1−1∑
k=1
k
N2
E
{
1
{X
(1)
k
6=N,X
(2)
τ2
6=N}
+ 1
{X
(1)
k
6=N,X
(2)
τ2
=N,k<τ2}
}
, (3)
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
V (2)
τ2
(τ1) := cαE
{
1
{X
(2)
τ2
=N,X
(1)
τ1
6=N}
+ 1
{X
(2)
τ2
=N,X
(1)
τ1
=N,τ2<τ1}
}
−
− α
τ2−1∑
k=1
k
N2
E
{
1
{X
(2)
k
6=N,X
(1)
τ1
6=N}
+ 1
{X
(2)
k
6=N,X
(1)
τ1
=N,k<τ1}
}
(4)
означають вiдповiднi функцiї цiни процесу вибору найбажанiшого пакета акцiй для обох
клiєнтiв, де cα > 0 є величина банкiвського заохочення клiєнта за виконану трансакцiю
придбання пакета акцiй з портфеля, α > 0 є вiдповiдний коефiцiєнт “штрафу” за кожну вiд-
мову купiвлi попередньо вибраного пакета акцiй, а τ1, τ2 ∈ H є вiдповiдними марковськими
моментами зупинки процесiв. Одразу зазначимо, що у попереднiх виразах нами конкрети-
зовано дисциплiну штрафування клiєнтiв за вiдмову придбання розглянутого пакета акцiй:
величина штрафу за k-те повернення пакета до портфеля дорiвнює kα/N2. Оскiльки про-
цеси вибору для кожного з покупцiв є аналогiчними, то для нас буде достатнiм розглянути
детальнiше тiльки першу проблему вибору найбiльш цiнного пакета акцiй з таких двох:
arg sup
τ1
V (1)
τ1
(τ2) = τ∗
1 , arg sup
τ2
V (2)
τ2
(τ1) = τ∗
2 . (5)
Назвемо оптимiзацiйну задачу вигляду (2)–(5) портфельною конкуренцiйною моделлю рин-
ку акцiй. Для розв’язання екстремальних проблем (5) ми застосуємо метод асоцiйованих
марковських процесiв щодо вiдповiдних марковських моментiв зупинки процесу вибору,
чому i присвячений наступний роздiл.
2. Метод асоцiйованих марковських процесiв. Розглянемо таку послiдовнiсть
функцiй цiни вибору найбiльш цiнного пакета акцiй першим клiєнтом-покупцем:
V (1)
n (τ2) := cα(P{X(1)
n = N,X(2)
τ2
6= N} + P{X(1)
n = N,X(2)
τ2
= N,n < τ2}) −
− α
n−1∑
k=1
k
N
2(P{X
(1)
k 6= N,X(2)
τ2
6= N} + P{X
(1)
k 6= N,X(2)
τ2
= N, k < τ2}), (6)
де n = 1, τ1, величини α > 0, cα > 0, причому вважається, що другий покупець при виборi
найцiннiшого пакета акцiй дотримується оптимальної, так званої порогової, стратегiї з мар-
ковським моментом зупинки τ2(l) > l за умови, що марковський момент зупинки вибору
першим клiєнтом є τ1(l) = l ∈ H. Для конкретизацiї стратегiї вибору найбажанiшого пакета
акцiй першим покупцем обчислимо вiдповiднi ймовiрностi (6), враховуючи сiм’ї асоцiйова-
них σ-алгебр F (s)
n , n = 1, τ1, s = 1, 2:
V (1)
n (τ2) = cαP{X(1)
n = N |F (1)
n }[P{X(2)
τ2
6= N} + P{X(2)
τ2
= N,n < τ2}] −
− α
n−1∑
k=1
k
N2
P{X
(1)
k 6= N}[P{X(2)
τ2
6= N} + P{X(2)
τ2
= N, k < τ2}]. (7)
Оскiльки наявнi у (7) умовнi ймовiрностi легко обчислити, базуючись на змiстовнiй iн-
терпретацiї вiдповiдних подiй, то функцiя цiни вибору (7) для першого клiєнта-покупця
набуває для n = 1, τ1 такого вигляду:
V (1)
n (τ2)=
cαn
N
(1−P{X(2)
τ2
=N, τ2 6 n})−
α(N−1)
N
n−1∑
k=1
k
N2
(1−P{X(2)
τ2
=N, τ2 6k}). (8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 43
Для обчислення ймовiрностей P{X(2)
τ2
= N, τ2 6 k}, k = 1, n, у виразi (8) необхiдно
розглянути асоцiйованi з процесом вибору найцiннiшого пакета акцiй покупцями такi ви-
падковi послiдовностi марковських моментiв зупинки:
x(s)
n := min{t > x
(s)
n−1 : X
(s)
t > max(X
(s)
t−1, . . . ,X
(s)
1 )}, (9)
де x(s)
n ∈ H, s = 1, 2, — момент вибору чергового кандидата на найбiльш цiнний пакет акцiй
вiдповiдним клiєнтом. Випадковi послiдовностi (9) є визначальними для функцiї цiни (8),
основнi властивостi яких характеризуються [11] такою лемою.
Лема 1. Послiдовностi x(s)
n ∈ H, n = 1, N , s = 1, 2, вигляду (9) є дискретними ланцю-
гами Маркова на фазовому просторi H з перехiдними ймовiрностями
pij =
i
j(j − 1)
, 0 6 i < j;
i
N
, j = 0; 0, i > j > 0;
1, i = 0, j = 1; 0, i = 0, j > 1,
(10)
для всiх i, j = 0, N , де введено додатковий стан {0} обриву послiдовностей, в який попадає
процес пiсля отримання найбiльш цiнного пакета акцiй.
Позначимо через τ̂s ∈ H, s = 1, 2, оптимальнi моменти зупинки послiдовностей (9).
Тодi, очевидно, мають мiсце спiввiдношення: τs = xτ̂s
, де s = 1, 2. Розглянемо тепер до-
вiльну марковську послiдовнiсть вигляду (9) i асоцiйований з послiдовнiстю цiнових функ-
цiй (8) наступний розклад фазового простору H в пряму суму пiдпросторiв H+ := {j ∈
∈ H : (PV (1)(τ2))j > V
(1)
j (τ2)}, H− := {j ∈ H : (PV (1)(τ2))j 6 V
(1)
j (τ2)}, де P := {pij : i, j =
= 0, N} — матриця перехiдних ймовiрностей (10). Тодi справедлива [12] така теорема.
Теорема 1. Нехай матриця P перехiдних ймовiрностей (10) є такою, що pij = 0
для всiх i ∈ H+ та j ∈ H−. Тодi момент τ̂1 ∈ H першого попадання випадкової послi-
довностi {x(1))
n : n = 0, N} в множину H− є оптимальним для сукупностi функцiй цiни
{V (1)
n (τ2) : n = 0, N}.
З метою подальшого застосування теореми 1 обчислимо у виразi (8) ймовiрностi P{X2
τ2
=
= N, τ2 6 k} для всiх k = 0, N при умовi, що τ1(l) = x
(1)
τ̂1
(l) := l ∈ H. Тодi, якщо k = 1, l − 1,
ймовiрнiсть P{X(2)
τ2
= N, τ2 6 k} = P{X
(2)
τ2(l) = N, τ2(l) 6 k} = 0, оскiльки τ2 := τ2(l) > l,
i якщо k = l,N
P{X
(2)
τ2(l) = N, τ2(l) 6 k} =
k∑
j=l
P{τ2(l) = j}
j
N
. (11)
Щоб обчислити ймовiрнiсть P{τ2(l) = j : j ∈ H}, зауважимо, що на пiдставi прямого рiв-
няння Колмогорова можна одержати [13, 2]
P{τ2(l) = j} =
1, j = 1,
j−1∑
i=1
P{x
(2)
τ̂2(l) = i}pij , j = 2, l − 1,
l−1∑
i=1
P{x
(2)
τ̂2(l) = i}pij , j = l,N,
=
1
j
, j = 1, l − 1,
l − 1
j(j − 1)
, j = l,N.
(12)
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
Iз (11), (12) знаходимо для k = l,N , що
P{X
(2)
τ2(l) = N, τ2(l) 6 k} =
k∑
j=l
l − 1
N(j − 1)
.
Пiдставивши попереднi результати в (8), отримуємо остаточний вираз для функцiї цiни
першого клiєнта-покупця:
V (1)
n (τ2) = cα
n
N
(
1 −
l − 1
N
n∑
j=l
1
j − 1
)
−
α(N − 1)n(n + 1)
2N3
+
+
α(N − 1)(l − 1)
N2
n∑
k=l
k
N2
k∑
j=l
1
j − 1
(13)
для всiх n = 1, N . Тепер для розв’язання першого рiвняння в (5) досить обчислити τ∗
1 =
= arg V (1)
τ1
(τ2) ∈ H на основi теореми 1. Отже, отримана послiдовнiсть (9) оптимального
вибору найбiльш цiнного пакета акцiй першим клiєнтом-покупцем має бути зупинена в мо-
мент τ1(l) = l = x
(1)
τ̂1(l) ∈ H, який можна знайти, розв’язавши визначальнi нерiвностi
(PV (1)(τ2))l−1 > Vl−1(τ2), (PV (1)(τ2))l 6 V
(1)
l (τ2). (14)
Нехай тепер l ∈ H задовольняє нерiвностi (14). Тодi має мiсце така лема.
Лема 2. Для прогресивної лiнiйної i узгодженої з обсягом портфеля акцiй дисциплiни
штрафування покупця послiдовнiсть (9) допускає розбиття фазового простору H в пряму
суму пiдпросторiв H+ = {0, l − 1} та H− = {l,N} за умови, що промоцiйний коефiцiєнт
cα > α/2.
Як висновок з леми 2 отримуємо, що величина τ1(l) = l ∈ H, яка розв’язує нерiвнос-
тi (14), задає оптимальну стратегiю вибору найбiльш цiнного пакета акцiй першим покуп-
цем. Згiдно з симетрiєю нашої конкуренцiйної проблеми вибору, такою ж повинна бути
i стратегiя поведiнки другого клiєнта-покупця найцiннiшого пакета акцiй з банкiвського
портфеля.
3. Асимптотичний аналiз оптимальних стратегiй вибору пакета акцiй. Визна-
чальне рiвняння процесу вибору найбiльш цiнного пакета акцiй першим клiєнтом-покупцем,
згiдно з оптимальною стратегiєю (14), має вигляд:
cα −
α(N − 1)(l + 1)
2N3
+
α(N − 1)
N2
= cα
(
N−1∑
j=l−1
1
j
−
(l − 1)
N
N−1∑
j=l
1
j
j∑
k=l−1
1
k
)
−
−
αl(N − 1)
2N3
N∑
j=l+1
j + 1
j − 1
+
α(N − 1)l(l − 1)
N2
N∑
j=l+1
1
j(j − 1)
j∑
k=l
k
N2
k∑
j=l
1
j − 1
. (15)
Для спрощення та ефективнiшого аналiзу рiвняння (15) припустимо, що портфель бан-
ку мiстить досить велике число N ∈ Z+ пакетiв акцiй. Тим самим, згiдно з оптимальною
стратегiєю вибору першого покупця, момент зупинки τ1(l) := l(N) ∈ H буде задовольняти
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 45
Таблиця 1. Дiйснi розв’язки рiвняння (17) при рiзних величинах коефiцiєнта β
β 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
z
∗ 0,237 0,240 0,245 0,247 0,250 0,251 0,252 0,253 0,254 0,262 0,263
асимптотичну умову lim
N→∞
l(N)/N := z ∈ (0, 1). Враховуючи цю умову, знаходимо за допо-
могою асимптотичного аналiзу [14], що спiввiдношення (15) при N → ∞ переходить в таке
трансцендентне рiвняння для визначення параметра зупинки z∗ ∈ (0, 1):
cα
(
1 + ln z +
z
2
ln2 z
)
+
α
2
z(1 − z) =
α
2
z2
[
ln z +
1
2
(1 − z)(3 − z)
]
. (16)
Розв’язок рiвняння (16) iстотно залежить вiд параметрiв α, cα банкiвського середовища.
Для подальшого аналiзу вiдповiдно перетворимо (16) i отримаємо трансцендентне рiвняння
для визначення величини z∗:
β
(
1 + ln z +
z
2
ln2 z
)
= z2 ln z +
5
2
z2 − 2z3 +
z4
2
− z, (17)
де β = 2cα/α > 1. Дiйснi коренi трансцендентного рiвняння (17) при фiксованому значеннi β
можуть бути знайденi на промiжку (0, 1) стандартними числовими методами. Проведений
аналiз розв’язкiв рiвняння (17) показав, що у зазначеному iнтервалi iснує тiльки один дiйс-
ний корiнь. Тобто покупець має тiльки одну оптимальну стратегiю вибору найцiннiшого
пакета акцiй з банкiвського портфеля. Наближенi значення розв’язкiв рiвняння (17) на
iнтервалi (0, 1) для ряду значень величини β ∈ [1, 2] наведенi у табл. 1.
Отже, приходимо до формулювання такої стратегiї поведiнки клiєнта на ринку акцiй:
при досить значному обсягу N ∈ Z+ пакетiв акцiй у портфелi банку оптимальною стра-
тегiєю поведiнки першого покупця при виборi найцiннiшого пакета акцiй буде перегляд на
вiдносну порiвняльну цiннiсть l = z∗N ∈ Z+ акцiй, а потiм вибiр першого у рядi пакета
акцiй, кориснiсть якого перевищує всi попередньо проглянутi.
4. Таким чином, розглянута конкуренцiйна модель ринку акцiй у середовищi банкiвсько-
го портфеля в умовах цейтнот-бiржового процесу вибору клiєнтами потенцiйно найбiльш
цiнного пакета акцiй адекватно описується спецiальним дискретним марковським проце-
сом на фазовому просторi H = {0, 1, . . . , N}. Як було також показано, оптимальна стра-
тегiя покупця при виборi ним найцiннiшого пакета акцiй визначається при досить великiй
кiлькостi пакетiв у портфелi унiверсальним трансцендентним рiвнянням (17), залежним
вiд величини β, що характеризує спiввiдношення банкiвських параметрiв заохочення та
штрафу. Умовою найменшого ризику втрат банку-продавця акцiй, очевидно, є β = 1, що
приводить до iнварiантної форми рiвняння (17) стосовно параметрiв cα та α. В цьому ви-
падку покупцю досить проглянути ≃ 23,75% пакетiв з портфеля для оптимального вибору
найкращого пакета акцiй.
Вiдзначимо, що дослiджена модель є дещо спрощеною версiєю цейтнот-бiржової пове-
дiнки клiєнтiв-покупцiв акцiй за умови вiдсутностi апрiорної iнформацiї про якiснi характе-
ристики портфеля. Нами свiдомо припускалося, що кожен клiєнт має достатнiй фiнансовий
капiтал для придбання будь-якого пакета акцiй з банкiвського портфеля. Якщо ж клiєнти
обмеженi у фiнансових ресурсах або ж є декiлька параметрiв якостi пакетiв акцiй, то вiд-
повiднi оптимальнi стратегiї поведiнки таких покупцiв значно ускладнюються, що потребує
окремого аналiзу та розвитку запропонованого методу дослiдження.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
1. Березовский Б.А., Гнедин А.В. Задача наилучшего выбора. – Москва: Наука, 1984. – 197 с.
2. Davis M.H.A., Panas V.G., Zariphopoulou T. European option pricing with transaction costs // SIAM
J. Control Optimiz. – 1993. – 31. – P. 470–493.
3. Матвiйчук А.В. Аналiз та прогнозування розвитку фiнансово-економiчних систем iз використанням
теорiї нечiткої логiки. – Київ: Центр навч. лiт-ри, 2005. – 206 с.
4. Кiгель В.Р. Методи i моделi пiдтримки прийняття рiшень у ринковiй економiцi. – Київ: ЦУЛ, 2003. –
202 с.
5. Летчиков А. В. Лекции по финансовой математике. – Москва; Ижевск: Изд-во Ин-та компьютерных
исследований, 2004. – 240 с.
6. Davis M.H.A., Norman A.R. Portfolio selection with transaction costs // Math. of Operational Research. –
1990. – 15. – P. 676–713.
7. Merton R.C. Optimization consumption and portfolio rules in a continuous-time model // J. Economic
Theory. – 1971. – 3. – P. 373–413.
8. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х т. Т. 1. / Пер. с англ. – Москва:
Мир, 1984. – 528 с.
9. Morette de Witt C., Elworthy K.D. A stepping stone in stochastic analysis // Phys. Reports. – 1981. –
77/3. – P. 125–167.
10. Arnold L. Qualitative theory of stochastic systems and its application in physics // Ibid. – P. 215–219.
11. Gilbert J., Mosteller F. Recognizing the maximum of a sequence // American Statist. Ass. – 1966. – 61. –
P. 35–73.
12. Пресман Э.Л., Сонин И.М. Игровые задачи оптимальной остановки. Существование и единствен-
ность точек равновесия. Вероятностные проблемы управления в экономике. – Москва: Наука, 1977. –
С. 115–144.
13. Мазалов В. В., Винниченко С.В. Моменты остановки и управляемые случайные блуждания. – Ново-
сибирск: Наука, 1992. – 112 с.
14. Федорюк М.В. Асимптотические методы. – Москва: Наука, 1985. – 270 с.
Надiйшло до редакцiї 10.04.2008Дрогобицький державний педагогiчний
унiверситет iм. Iвана Франка
Iнститут математики НАН України, Київ
Академiя гiрництва та металургiї, Кракiв, Польща
Львiвський нацiональний унiверситет
iм. Iвана Франка
B.Yu. Kyshakevych, A. K. Prykarpatsky, I. P. Tverdokhlib
Optimal strategy analysis of a competitive bank portfolio model of the
share market
We consider the problem of choice of the most valuable stock packet by a buyer within an offered
bank portfolio under conditions of time limitation and competition between buyers. An economic-
mathematical model of the optimal stopping of choosing a stock packet from a database adequately
described by a discrete Markov chain is proposed. A method of search for the optimal choice process
stop moment of the most valuable stock packet from a bank portfolio for a potential buyer allowing
to define the optimal strategy for every buyer-competitor is substantiated. The asymptotic analysis
of optimal client strategies as for the purchasing the stock packets under the dependence on the bank
environment medium is done, and a transcendent equation for the determination of the optimal
part of packets from the portfolio to be necessary revisited is obtained.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 47
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7729 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:17:10Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кишакевич, Б.Ю. Прикарпатський, А.К. Твердохліб, І.П. 2010-04-12T11:17:38Z 2010-04-12T11:17:38Z 2009 Аналіз оптимальних стратегій портфельної конкуренційної моделі ринку акцій / Б.Ю. Кишакевич, А.К. Прикарпатський, I.П. Твердохлiб // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 40-47. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7729 330:519(447) Розглядається проблема вибору найцiннiшого для покупця пакета акцiй iз запропонованого банкiвського портфеля в умовах часових обмежень та конкуренцiї з боку iнших покупцiв. Пропонується економiко-математична модель задачi оптимальної зупинки процесу вибору пакета акцiй iз бази даних, яка адекватно описується дискретними ланцюгами Маркова. Обгрунтовано метод пошуку оптимального моменту зупинки процесу вибору найцiннiшого для покупця пакета акцiй з банкiвського портфеля, що дозволило визначити оптимальну стратегiю кожного з двох покупцiв-конкурентiв. Здiйснено симптотичний аналiз оптимальних стратегiй клiєнтiв при купiвлi ними акцiй залежно вiд параметрiв банкiвського середовища i отримано трансцедентне рiвняння для визначення оптимальної частки пакетiв акцiй iз портфеля, перегляд яких покупцем є обов’язковим. We consider the problem of choice of the most valuable stock packet by a buyer within an offered bank portfolio under conditions of time limitation and competition between buyers. An economicmathematical model of the optimal stopping of choosing a stock packet from a database adequately described by a discrete Markov chain is proposed. A method of search for the optimal choice process stop moment of the most valuable stock packet from a bank portfolio for a potential buyer allowing to define the optimal strategy for every buyer-competitor is substantiated. The asymptotic analysis of optimal client strategies as for the purchasing the stock packets under the dependence on the bank environment medium is done, and a transcendent equation for the determination of the optimal part of packets from the portfolio to be necessary revisited is obtained. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Аналіз оптимальних стратегій портфельної конкуренційної моделі ринку акцій Optimal strategy analysis of a competitive bank portfolio model of the share market Article published earlier |
| spellingShingle | Аналіз оптимальних стратегій портфельної конкуренційної моделі ринку акцій Кишакевич, Б.Ю. Прикарпатський, А.К. Твердохліб, І.П. Інформатика та кібернетика |
| title | Аналіз оптимальних стратегій портфельної конкуренційної моделі ринку акцій |
| title_alt | Optimal strategy analysis of a competitive bank portfolio model of the share market |
| title_full | Аналіз оптимальних стратегій портфельної конкуренційної моделі ринку акцій |
| title_fullStr | Аналіз оптимальних стратегій портфельної конкуренційної моделі ринку акцій |
| title_full_unstemmed | Аналіз оптимальних стратегій портфельної конкуренційної моделі ринку акцій |
| title_short | Аналіз оптимальних стратегій портфельної конкуренційної моделі ринку акцій |
| title_sort | аналіз оптимальних стратегій портфельної конкуренційної моделі ринку акцій |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7729 |
| work_keys_str_mv | AT kišakevičbû analízoptimalʹnihstrategíiportfelʹnoíkonkurencíinoímodelírinkuakcíi AT prikarpatsʹkiiak analízoptimalʹnihstrategíiportfelʹnoíkonkurencíinoímodelírinkuakcíi AT tverdohlíbíp analízoptimalʹnihstrategíiportfelʹnoíkonkurencíinoímodelírinkuakcíi AT kišakevičbû optimalstrategyanalysisofacompetitivebankportfoliomodelofthesharemarket AT prikarpatsʹkiiak optimalstrategyanalysisofacompetitivebankportfoliomodelofthesharemarket AT tverdohlíbíp optimalstrategyanalysisofacompetitivebankportfoliomodelofthesharemarket |