О возможных весовой нагрузке, демпфировании, жесткости пружин в электромагнитном вибровозбудителе при полигармоническом управлении
На основi заданого керованого полiгармонiчного напруження визначаються маса вагового навантаження, коефiцiєнти дисипацiї та пружностi в електромагнiтному вiброзбуджувачi. On the base of a given controlling polyharmonic voltage, the mass of a weighty load and the coefficients of dissipation and elast...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7731 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О возможных весовой нагрузке, демпфировании, жесткости пружин в электромагнитном вибровозбудителе при полигармоническом управлении / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 54-59. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860148575691866112 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | О возможных весовой нагрузке, демпфировании, жесткости пружин в электромагнитном вибровозбудителе при полигармоническом управлении / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 54-59. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | На основi заданого керованого полiгармонiчного напруження визначаються маса вагового навантаження, коефiцiєнти дисипацiї та пружностi в електромагнiтному вiброзбуджувачi.
On the base of a given controlling polyharmonic voltage, the mass of a weighty load and the coefficients of dissipation and elasticity of springs of electromagnetic vibroexciter are determined.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:51:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2009
МЕХАНIКА
УДК 621.318.001.2
© 2009
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
О возможных весовой нагрузке, демпфировании,
жесткости пружин в электромагнитном
вибровозбудителе при полигармоническом управлении
На основi заданого керованого полiгармонiчного напруження визначаються маса ваго-
вого навантаження, коефiцiєнти дисипацiї та пружностi в електромагнiтному вiбро-
збуджувачi.
Известно широкое применение электромагнитных вибровозбудителей (ЭМВ) в промышлен-
ности [1]. ЭМВ представляет собой систему, состоящую из электрической, магнитной и ме-
ханической частей. Схема ЭМВ изображена на рис. 1, где М — магнитопровод; Я — якорь;
И — изделие (весовая нагрузка); Пр — пружины; К — корпус; О — электрическая обмотка
с током i; δ — воздушный зазор; U — входное управляющее электрическое напряжение.
При проектировании ЭМВ необходимо знать вес изделия И, жесткость пружин, величи-
ну коэффициента диссипации при заданных U , δ, характеристик материала М, сопротив-
лений О. Искомые параметры тесно связаны с электрическими задающими воздействиями,
проходящими от источника через систему управления, включающую в себя и усилитель
мощности. А это значит, целесообразно определить связь параметров механической части
ЭМВ и управляющего сигнала, т. е. целесообразно знать, на какие возможные параметры
Рис. 1
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
Рис. 2
нагрузки, диссипации и упругости (жесткости) в ЭМВ можно рассчитывать при заданном
U или i. В данной работе принимается входной сигнал U как полигармонический, т. е.
U(t) =
n
∑
k=1
Uak sin ωkt, (1)
где Uak, ωk — амплитуда и круговая частота k-1 гармоники; t — время; n — число гармоник.
Для определения параметров механической части ЭМВ в простом случае представим
ее в виде колебательной системы с одной степенью свободы, схема которой изображена на
рис. 2, где m — масса Я+И; c, b — коэффициенты упругости и диссипации соответственно;
x — перемещение; F — тяговое усилие.
Уравнение движения в этой системе запишем в виде
m
d2x
dt2
+ b
dx
dt
+ cx = F. (2)
Для определения возможных m, b и c, а также x необходимо знать F . Величина F для
k-й гармоники тока i выражается формулой
Fk =
dWek
dδ
, (3)
где Wek = Li2k/2 — электрическая энергия в ЭМВ; L — индуктивность обмотки О.
В силу закона Ома ток от каждой гармоники (1) равен
ik(t) =
Uak
√
r2 + (ωkL)2
sin(ωkt − ϕk), (4)
где ϕk = arctg(ωkL/r) — угол сдвига между Uk(t) и ik(t).
С учетом (1) общая электрическая энергия в ЭМВ записывается в виде
WeΣ =
1
2
L
(
n
∑
k=1
ik
)2
. (5)
Выражение (5) справедливо при суммировании Uk(t), k = 1, n, в сумматоре и подаче
U(t) =
n
∑
k=1
Uak sink t на одну обмотку О.
Известно [2], что L = w2G, где w — число витков обмотки О; G = µ0S/(2δ) — магнитная
проводимость в ЭМВ; µ0 —магнитная проницаемость воздуха; S — площадь поперечного
сечения полюса М у воздушного зазора δ.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 55
С учетом (3) и (5) выражение общего тягового усилия FΣ имеет вид
FΣ =
d
dδ
WeΣ =
1
2
d
dδ
L
n
∑
k=1
i2k =
1
2
(
n
∑
k=1
ik
)2
dL
dδ
=
=
µ0S
4
(
w
δ
)2
(
n
∑
k=1
ik
)2
=
µ0S
4
(
w
δ
)2
(
n
∑
k=1
i2k + 2
C2
n
∑
k=1
l=1
k 6=l
ikil
)
, (6)
где C2
n = n(n − 1)/(1 · 2) — число сочетаний из n по два.
При включении в (6) выражения (4) получим
FΣ =
µ0S
4
(
w
δ
)2
{
n
∑
k=1
U2
ak sin2(ωkt − ϕk)
r2 + (ωkL)2
+ 2
C2
n
∑
k=1
l=1
k 6=l
UakUal sin(ωkt−ϕk) sin(ωlt−ϕl)
[r2 + (ωkL)2][r2 + (ωlL)2]
}
. (7)
Обычно в ЭМВ, тем более с повышением частоты ωk, k = 1, n, индуктивное сопротив-
ление ωkL ≫ r. Поэтому (7) можно представить в виде
FΣ =
µ0S
4
(
w
δ
)2
{
n
∑
k=1
(
Uak
ωkL
)2
cos2 ωkt + 2
C2
n
∑
k=1
l=1
k 6=l
UakUal
ωkωlL2
cos ωkt cos ωlt
}
. (8)
Такое FΣ, выраженное через (8), подается на механическую часть (Я + И) и вызывает
в последней колебания x. Для упрощения математических записей введем в (8) следующие
обозначения:
FA =
n
∑
k=1
µ0S
4
(
w
δ
)2 U2
ak
L2
=
n
∑
k=1
µ0S
4
(
w
δ
)2 U2
ak
w2G
=
n
∑
k=1
µ0S
4
(
w
δ
)2 U2
ak
w4(µ0S)2
=
=
n
∑
k=1
1
µ0Sw2
U2
ak,
FB =
2
µ0Sw2
C2
n
∑
k=1
l=1
k 6=l
UakUal.
(9)
Тогда выражение (8) с учетом обозначений (9) и тригонометрических преобразований [3]
cos2 α = (1 + cos 2α)/2, cos α cos β = [cos(α − β) + cos(α + β)]/2 примет вид
FΣ =
1
2
{
FA
n
∑
k=1
1
ω2
k
(1 + cos 2ωt) + FB
C2
n
∑
k=1
l=1
k 6=l
1
ωkωl
[cos(ωk − ωl)t + cos(ωk + ωl)t]
}
. (10)
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
Как видно из (10), общее тяговое усилие FΣ включает в себя постоянную
1
2
Fa
n
∑
k=1
1
ω2
k
= FΣ0
и переменную
FΣ∼ =
1
2
[
FA
n
∑
k=1
1
ω2
k
cos 2ωkt + FB
C2
n
∑
k=1
l=1
k 6=l
1
ωkωl
[cos(ωk + ωl)t + cos(ωk − ωl)t]
]
.
Выражение (10) — это F в (2). А это значит, что в перемещении x имеется постоянное
смещение
x0 =
FΣ0
C
=
1
2C
FA
n
∑
k=1
1
ω2
k
(11)
и переменное перемещение x∼(t), которое определяется как сумма решений дифференци-
альных уравнений
m
d2x
dt2
+ b
dx
dt
+ cx =
1
2
Fa
n
∑
k=1
cos 2ωkt
ω2
k
, (12)
m
d2x
dt2
+ b
dx
dt
+ cx =
1
2
FB
C2
n
∑
k=1
l=1
k 6=l
1
ωkωl
[cos(ωk − ωl)t + cos(ωk + ωl)t]. (13)
Так как колебательная система ЭМВ является линейной, то к ней применяется принцип
суперпозиции и поэтому решения уравнений (12) и (13) суммируются и суммируются реше-
ния этих уравнений для каждой гармонической составляющей. Заметим, что x0 6 lδ0, где
l ≪ 1. Кроме того, общая максимальная величина амплитуды перемещения xa 6 δ0 − x0 =
= δ0(1 − l), где δ0 — начальный воздушный зазор при x = 0. Эти ограничения, исключая
удары якоря о магнитопровод, обусловливают определение m, b и c.
Из (11) с учетом x0 6 lδ0, l ≪ 1,
C =
1
2x0
Fa
n
∑
k=1
1
ω2
k
=
1
2lδ0
Fa
1
ω2
k
. (14)
На основании работы [4] максимальное m при моногармоническом U(t) выражается
соотношением
mk =
(
Fak
xak
+ c
)
1
ω2
k
. (15)
В нашем случае C нашли в виде (14). Fak известны из выражения (10),
n
∑
k=1
xak 6 δ0(1 − l),
ωk, k = 1, n, — также известны. Тогда приведем (15) к нашему случаю и определим общее
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 57
значение массы mΣ
mΣ =
n
∑
k=1
[
Fa
2δ0(1 − l)ω2
k
+ C
]
1
ω2
k
+
C2
n
∑
k=1
l=1
k 6=l
[
FB
δ0(1 − l)ωkωl
+ C
]
1
ω2
k
. (16)
Итак, мы получили выражение для коэффициента жесткости C в виде (14) и для воз-
можной весовой нагрузки mΣ в виде (16).
Перейдем к определению коэффициента диссипации b. Заметим, что диссипация в ЭМВ
определяется трением подвижных частей, в том числе витков пружин Пр, о воздух и по
величине она мала. Ее можно определить из уравнения (2) при уже полученных m и c
и тяговом усилии Fk k-й гармоники.
Пусть Fk = Fak cos 2ωkt. Тогда xk(t) = xak cos(2ωkt − ϕxk), где ϕxk — угол сдвига меж-
ду Fk и xk [ϕxk = arctg(ωkb/((ω
2
0 − ω2
k)m))]. Подставим в (2) выражение xk(t) = xak ×
× cos(2ωkt − ϕxk). Тогда имеем
−mxakω
2
k cos(2ωkt − ϕxk) − xakbωk sin(2ωkt − ϕxk) + xakC cos(2ωkt − ϕxk) =
= Fak cos 2ωkt. (17)
Далее из [5] известно, что
xak =
Fak
m
√
(ω2
0
− ω2
k) +
(
bωk
m
)2
. (18)
Подставляя (18) в (17) и совершая определенные преобразования, получаем
b1,2 =
D ±
√
D2 − 4ap
2a
, (19)
где
a = +ω2
k[cos
2 2ωkt − sin2(2ωkt − ϕxk)];
D = 2ωk sin(2ωkt − ϕxk)[(C − mω2
k) cos(2ωkt − ϕxk)];
p = (2mC − m2ω2
k − C2) cos2(2ωkt − ϕxk) + (ω2
0 − ω2
k)
2m2 cos2 2ωt
k.
В выражении (19) учитываем действительное значение коэффициента диссипации b.
Если b1 или b2 являются действительными, то исследование надо проводить для каждого
из них. Причем, как мы видим из обозначений a, D, p, на величину коэффициента дис-
сипации влияет частота ωk. Поэтому, принимая заданным этот коэффициент, определяем
частотный диапазон полигармонического управляющего воздействия. Но здесь можно так-
же варьировать и другими величинами, в частности, величиной коэффициента жесткости.
Таким образом, на основе данного исследования получены выражения массы нагрузо-
чного изделия совместно с массой якоря, коэффициенты жесткости и диссипации в функции
параметров ЭМВ и величин гармонических составляющих полигармонического управляю-
щего воздействия.
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
1. Вибрации в технике: В 4 т. / Под ред Э.Э. Лавенделла. – Москва: Машиностроение, 1981. – Т. 4. –
510 с.
2. Ступель Ф.А. Электромеханические реле. – Харьков: Изд-во Харьков. гос. ун-та, 1956. – 355 с.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – Москва: Гос. изд-во техн.-экон.
лит., 1956. – 608 с.
4. Божко А.Е., Мягкохлеб К. Б. О весовой нагрузке на электромагнитном вибростенде // Доп. НАН
України. – 2003. – № 7. – С. 87–90.
5. Божко А.Е., Голуб Н.М. Динамико-энергетические связи колебательных систем. – Киев: Наук. дум-
ка, 1980. – 188 с.
Поступило в редакцию 07.08.2007Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.E. Bozhko
On the possible weighty load, damping, and toughness of springs of an
electromagnetic vibroexciter on the polyharmonic control
On the base of a given controlling polyharmonic voltage, the mass of a weighty load and the coeffi-
cients of dissipation and elasticity of springs of electromagnetic vibroexciter are determined.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 59
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7731 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:51:22Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2010-04-12T11:20:58Z 2010-04-12T11:20:58Z 2009 О возможных весовой нагрузке, демпфировании, жесткости пружин в электромагнитном вибровозбудителе при полигармоническом управлении / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 54-59. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7731 621.318.001.2 На основi заданого керованого полiгармонiчного напруження визначаються маса вагового навантаження, коефiцiєнти дисипацiї та пружностi в електромагнiтному вiброзбуджувачi. On the base of a given controlling polyharmonic voltage, the mass of a weighty load and the coefficients of dissipation and elasticity of springs of electromagnetic vibroexciter are determined. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка О возможных весовой нагрузке, демпфировании, жесткости пружин в электромагнитном вибровозбудителе при полигармоническом управлении On the possible weighty load, damping, and toughness of springs of an electromagnetic vibroexciter on the polyharmonic control Article published earlier |
| spellingShingle | О возможных весовой нагрузке, демпфировании, жесткости пружин в электромагнитном вибровозбудителе при полигармоническом управлении Божко, А.Е. Механіка |
| title | О возможных весовой нагрузке, демпфировании, жесткости пружин в электромагнитном вибровозбудителе при полигармоническом управлении |
| title_alt | On the possible weighty load, damping, and toughness of springs of an electromagnetic vibroexciter on the polyharmonic control |
| title_full | О возможных весовой нагрузке, демпфировании, жесткости пружин в электромагнитном вибровозбудителе при полигармоническом управлении |
| title_fullStr | О возможных весовой нагрузке, демпфировании, жесткости пружин в электромагнитном вибровозбудителе при полигармоническом управлении |
| title_full_unstemmed | О возможных весовой нагрузке, демпфировании, жесткости пружин в электромагнитном вибровозбудителе при полигармоническом управлении |
| title_short | О возможных весовой нагрузке, демпфировании, жесткости пружин в электромагнитном вибровозбудителе при полигармоническом управлении |
| title_sort | о возможных весовой нагрузке, демпфировании, жесткости пружин в электромагнитном вибровозбудителе при полигармоническом управлении |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7731 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae ovozmožnyhvesovoinagruzkedempfirovaniižestkostipružinvélektromagnitnomvibrovozbuditelepripoligarmoničeskomupravlenii AT božkoae onthepossibleweightyloaddampingandtoughnessofspringsofanelectromagneticvibroexciteronthepolyharmoniccontrol |