Долговременная повреждаемость дискретно-волокнистых композитов с ортотропными включениями при экcпоненциально-степенной функции длительной микропрочности
Теорiю довготривалої мiкропошкоджуваностi для однорiдних матерiалiв, в основу якої покладено рiвняння механiки стохастично неоднорiдних середовищ, узагальнено на випадок композита з ортотропними включеннями. Процес пошкоджуваностi компонентiв композита моделюється утворенням в них стохастично розташ...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7733 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Долговременная повреждаемость дискретно-волокнистых композитов с ортотропными включениями при экcпоненциально-степенной функции длительной микропрочности / Л. B. Назаренко // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 63-69. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859653543784349696 |
|---|---|
| author | Назаренко, Л.B. |
| author_facet | Назаренко, Л.B. |
| citation_txt | Долговременная повреждаемость дискретно-волокнистых композитов с ортотропными включениями при экcпоненциально-степенной функции длительной микропрочности / Л. B. Назаренко // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 63-69. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Теорiю довготривалої мiкропошкоджуваностi для однорiдних матерiалiв, в основу якої покладено рiвняння механiки стохастично неоднорiдних середовищ, узагальнено на випадок композита з ортотропними включеннями. Процес пошкоджуваностi компонентiв композита моделюється утворенням в них стохастично розташованих мiкропор. Критерiй руйнування одиничного мiкрооб’єму характеризується його довготривалою мiцнiстю, зумовленою залежнiстю часу крихкого руйнування вiд ступеня близькостi еквiвалентного напруження до його граничного значення, що характеризує короткочасну мiцнiсть за критерiєм Губера — Мiзеса, яке приймається випадковою функцiєю координат. На основi методу iтерацiй побудовано алгоритми обчислення залежностей мiкропошкоджуваностi компонентiв дискретно-волокнистого матерiалу вiд часу, макронапружень або макродеформацiй вiд часу, а також отриманi вiдповiднi кривi у випадку експоненцiально-степеневої функцiї мiкродовговiчностi.
The theory of long-term damageability for homogeneous materials is generalized to the case of orthotropic composites with stochastic structure, by using the equations of the mechanics of micrononuniform media. The process of damage of components of a composite is modeled by the appearance of randomly positioned micropores. The effective deformation properties and a stressstrain state of an orthotropic composite with microdamages are described by the stochastic equations of elasticity theory. By using the method of iterations, the temporal behavior of the microdamageability, macrostresses, and macrostrains for an orthotropic composite is constructed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:36:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2009
Л. B. Назаренко
Долговременная повреждаемость
дискретно-волокнистых композитов с ортотропными
включениями при экcпоненциально-степенной функции
длительной микропрочности
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Л.П. Хорошуном)
Теорiю довготривалої мiкропошкоджуваностi для однорiдних матерiалiв, в основу якої
покладено рiвняння механiки стохастично неоднорiдних середовищ, узагальнено на випа-
док композита з ортотропними включеннями. Процес пошкоджуваностi компонентiв
композита моделюється утворенням в них стохастично розташованих мiкропор. Кри-
терiй руйнування одиничного мiкрооб’єму характеризується його довготривалою мiцнi-
стю, зумовленою залежнiстю часу крихкого руйнування вiд ступеня близькостi еквi-
валентного напруження до його граничного значення, що характеризує короткочасну
мiцнiсть за критерiєм Губера — Мiзеса, яке приймається випадковою функцiєю коор-
динат. На основi методу iтерацiй побудовано алгоритми обчислення залежностей мi-
кропошкоджуваностi компонентiв дискретно-волокнистого матерiалу вiд часу, макро-
напружень або макродеформацiй вiд часу, а також отриманi вiдповiднi кривi у випадку
експоненцiально-степеневої функцiї мiкродовговiчностi.
Структурная теория длительной повреждаемости однородного материала, построенная на
основе моделей и методов механики стохастически неоднородных сред, изложена в работе [1]
и обобщена для зернистых и дискретно-волокнистых композитов. В настоящей работе те-
ория длительной повреждаемости при экспоненциально-степенной функции долговечности
обобщается на случай композитного материала, армированного эллипсоидальными орто-
тропными включениями. Предполагается, что матрица является изотропной, в то время
как включения обладают ортотропной симметрией упругих свойств.
Рассматривается случай, когда процесс повреждаемости происходит в матрице компо-
зита. В основу структурной теории длительной повреждаемости композитных материа-
лов положены уравнения механики микронеоднородных сред стохастической структуры.
Процесс повреждаемости матрицы рассматриваемого композита моделируется разрушени-
ем рассеянных микрообъемов материала и образованием на их месте стохастически рас-
положенных микропор [2]. Критерию разрушения единичного микрообъема свойственна
его длительная прочность, описываемая экспоненциально-степенной функцией длительной
микропрочности, которая определяется зависимостью времени хрупкого разрушения от сте-
пени близости эквивалентного напряжения к его предельному значению, характеризующе-
му кратковременную прочность по критерию Губера–Мизеса [3]. Предел кратковременной
прочности принимается случайной функцией координат, одноточечное распределение ко-
торой описывается распределением Вейбулла [2]. Эффективные деформативные свойства
и напряженно-деформированное состояние композита стохастической структуры определя-
ются на основе стохастических уравнений упругости методом условных моментов [4].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 63
Построен алгоритм вычисления микроповреждаемости матрицы дискретно-волокнисто-
го композита как функции времени, а также макронапряжений и макродеформаций от вре-
мени. Получены соответствующие кривые в случае экспоненциально-степенной функции
длительной микропрочности.
1. Рассмотрим композитный материал, представляющий собой матрицу, армированную
случайно расположенными однонаправленными дискретными волокнами. Предполагается,
что матрица изотропная, а включения ортотропные, причем в процессе нагружения в мат-
рице возникают микроразрушения, которые моделируются случайно расположенными пус-
тыми микропорами квазисферической формы. Макронапряжения 〈σij〉 и макродеформации
〈εkl〉 композита связаны соотношениями
〈σij〉 = λ∗ijkl〈εkl〉 (i, j, k, l = 1, 2). (1)
Здесь λ∗ijkl — тензор эффективных упругих модулей, который является функцией моду-
лей упругости поврежденных компонентов λ
[1]
ijkl, λ
[2]
ijkl, объемного содержания включений c1
в матрице и параметров формы включений s2, s3 [4], т. е.
λ∗ijkl = λ∗ijkl(λ
[1]
ijkl, λ
[2]
ijkl, c1, s2, s3), s2 =
s2
s1
, s3 =
s3
s1
, (2)
где s1, s2, s3 — размеры полуосей эллипсоидальных включений в направлении координат-
ных осей соответственно.
Тензоры модулей упругости поврежденных компонентов λ
[1]
ijkl, λ
[2]
ijkl определяются [5]
через тензоры модулей упругости скелетов компонентов λ1
ijkl, λ
2
ijkl и их пористости p1, p2,
характеризующие поврежденность, т. е.
λ
[1]
ijkl = λ
[1]
ijkl(λ
1
ijkl, p1), λ
[2]
ijkl = λ
[2]
ijkl(λ
2
ijkl, p2). (3)
На основе зависимостей (2), (3) и соотношений
〈σr
ij〉 = λ
[r]
ijkl〈ε
r
kl〉 (r = 1, 2) (4)
можно определить средние напряжения и средние деформации поврежденного r-компонен-
та 〈σr
ij〉, 〈ε
r
kl〉 как функции макродеформаций или макронапряжений [4]
〈σr
ij〉 = f1
ij(〈εkl〉), 〈εrij〉 = f2
ij(〈εkl〉), 〈σr
ij〉 = f3
ij(〈σkl〉), 〈εrij〉 = f4
ij(〈σkl〉). (5)
Средние по скелету r-компонента напряжения σr
ij (r = 1, 2) связаны со средними напря-
жениями 〈σr
ij〉 (r = 1, 2) поврежденного r-компонента зависимостями
σr
ij =
1
1 − pr
〈σr
ij〉 (r = 1, 2). (6)
Для случая, когда процесс накопления повреждений происходит в матрице, примем
критерий кратковременного разрушения в микрообъеме неповрежденной части материала
матрицы в форме Губера–Мизеса [2]
I2
σ = k2, I2
σ = (σ2
ij
′
, σ2
ij
′
)1/2, (7)
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
где σ2
ij
′
— девиатор средних по неповрежденной части материала матрицы напряжений;
k2 — предельное значение инварианта I2
σ, являющееся случайной функцией координат.
Если инвариант I2
σ для некоторого микрообъема материала матрицы не достигает со-
ответствующего предельного значения k2, то, согласно критерию длительной прочности,
разрушение произойдет по истечении некоторого промежутка времени τ2
k , длительность
которого зависит от степени близости I2
σ к предельному значению k2. В общем случае эту
зависимость можно представить в виде некоторой функции
τ2
k = ϕ(I2
σ, k2), (8)
причем ϕ(k2, k2) = 0, ϕ(0, k2) = ∞, согласно (6).
Одноточечную функцию распределения F (k2) параметра k2 можно описывать распре-
делением Вейбулла [2]
F (k2) =
{
0, k2 < k02,
1 − exp(−m2(k2 − k02)
α2), k2 > k02,
(9)
где k02 — минимальная величина предельного значения k2, с которого начинается разру-
шение в некоторых микрообъемах материала матрицы; m2, α2 — постоянные, характери-
зующие разброс микропрочности в материале.
Пусть до начала деформирования композита начальная микроповрежденность матрицы
характеризуется пористостью p02. Тогда функция распределения F (k2), согласно свойству
эргодичности, определяет относительное содержание материала неразрушенной части мат-
рицы, где предел микропрочности меньше соответствующего значения k2. Поэтому, если
в неразрушенной части материала матрицы напряжения равны σ2
ij , то функция F (I2
σ)
определяет, согласно (6), (8), относительное содержание разрушенных микрообъемов ске-
лета матрицы. Тогда уравнение баланса разрушенных микрообъемов или пористости имеет
вид [2]
p2 = p02 + (1 − p02)F (I2
σ). (10)
Если напряжения в матрице σ2
jk действуют в течение некоторого времени t, то, соглас-
но критерию длительной прочности (7), за это время разрушатся микрообъемы с такими
значениями предела микропрочности k2, для которых имеет место неравенство
t > τ2
k = ϕ(I2
σ, k2), (11)
где инвариант I2
σ определяется выражениями (6).
Если время τ2
k хрупкого разрушения для реальных материалов имеет конечное значение
для произвольных I2
σ, что может наблюдаться при высоких температурах, то функцию
долговечности ϕ(I2
σ, k2) можно представить экпоненциально-степенной зависимостью [1]
ϕ(I2
σ, k2) = τ02
{
exp l2
[(
k2
I2
σ
)n1
− 1
]
− 1
}n2
, (12)
имеющей достаточное число постоянных τ02, l2, n1, n2 для аппроксимации эксперименталь-
ных кривых. Подставляя (10) в (9), приходим к неравенству
k2 6 I2
σ
[
1 +
1
l2
ln(1 + t
1/n2
2 )
]1/n1
(
t2 =
t
τ02
)
. (13)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 65
Принимая во внимание определение функции распределения предела микропрочности
F (k2), приходим к выводу, что функция F [I2
σψ(t2)], где
ψ(t2) =
[
1 +
1
l2
ln(1 + t
1/n2
2 )
]1/n1
, (14)
определяет относительное содержание разрушенных микрообъемов неразрушенной до на-
гружения части материала матрицы в момент времени t2. Тогда с учетом (5) уравнение ба-
ланса разрушенных микрообъемов или пористости при длительной повреждаемости можно
представить в виде
p2 = p02 + (1 − p02)F
[
I2
〈σ〉
1 − p2
ψ(t2)
]
, (15)
где пористость p2 является функцией безразмерного времени t2, а инвариант I〈σ〉 опре-
деляется выражением (6) и является функцией макродеформаций или макронапряжений,
согласно (15).
Уравнения баланса пористости (13) с учетом (6), (12) в начальный момент t2 = 0 опреде-
ляют кратковременную (мгновенную) поврежденность материала. С ростом времени урав-
нения (13), (6), (12) определяют длительную его поврежденность, которая состоит из кра-
тковременной и дополнительной поврежденности, развивающейся во времени.
2. На основе соотношений (2), (3), (6), (12), (13) можно определить объемное содержа-
ния микроповреждений дискретно-волокнистого композита с трансверсально-изотропными
включениями в матрице и напряженно-деформированное состояние для функции ψ(t2),
определяемой формулой (12), как при заданных макронапряжениях 〈σjk〉, так и при за-
данных макродеформациях 〈εjk〉. В качестве включений и матрицы взяты соответственно
топаз и эпоксидная смола с характеристиками неповрежденной части:
λ1
11 = 287 ГПа, λ1
22 = 365 ГПа, λ1
33 = 300 ГПа,
λ1
23 = 90 ГПа, λ1
13 = 85 ГПа, λ1
12 = 128 ГПа,
λ1
44 = 110 ГПа, λ1
55 = 135 ГПа, λ1
66 = 133 ГПа,
E2 = 3 ГПа, ν2 = 0,35
(16)
при объемной концентрации включений, начальном содержании пор в матрице и форме
включений:
c1 = 0,25; 0,5; 0,75, p02 = 0, s2 = 1, s3 = 3, (17)
а также при
k02 = 0,01 ГПа, m2 = 1000, α2 = 2, l2 = 1, n1 = 1, n2 = 1. (18)
На рис. 1 изображены кривые зависимостей пористости матрицы p2 от времени t2 для
объемного содержания включений c1 = 0,25 при различных значениях макронапряжения
〈σ11〉. На рис. 2 показаны зависимости макродеформации 〈ε11〉 от времени t2 для объем-
ных содержаний включений c1 = 0,25 при различных значениях макронапряжения 〈σ11〉.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
Рис. 1. Зависимость пористости матрицы p2 от времени t2 при различных значениях макронапряжения
Рис. 2. Зависимость макродеформации 〈ε11〉 от времени t2 при различных значениях макронапряжения
Как видим, при всех значениях макронапряжений 〈σ11〉 для определенных значений вре-
мени t2 макродеформации и поврежденность матрицы достигают критической величины,
являющейся началом разрушения материала.
Сравнение результатов, полученных для экспоненциально-степенной функции долговеч-
ности (10), с результатами для дробно-степенной функции долговечности [2] показывает, что
при заданных макропараметрах характер зависимостей макродеформации 〈ε11〉 от времени
t2 и зависимостей пористости матрицы p2 от времени t2 различен. В случае дробно-сте-
пенной функции долговечности для макронапряжений, меньших определенных значений,
кривые этих зависимостей имеют горизонтальную асимптоту, тогда как в случае экспонен-
циально-степенной функции долговечности для всех значений макронапряжений макро-
деформации и поврежденность матрицы достигают критической величины, являющейся
началом разрушения.
На рис. 3 изображены кривые зависимостей пористости матрицы p2 от времени t2 при
значениях макродеформации 〈ε11〉 = 0,002; 0,008; 0,016 и различных значениях объемного
содержания включений c1. На графиках сплошной линией показаны кривые при объемном
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 67
Рис. 3. Зависимость пористости матрицы p2 от времени t2 при различных значениях макродеформации
Рис. 4. Зависимость макронапряжения 〈σjk〉 от времени t2 при различных значениях макродеформации
содержании включений c1 = 0,25, штриховой — при c1 = 0,5, пунктирной — при c1 = 0,75.
Такие же обозначения приняты и на рис. 4.
Графики показывают, что с увеличением макродеформации 〈ε11〉 для всех объемных со-
держаний включений и произвольного значения времени t2 микроповрежденность p2 уве-
личивается. Здесь наблюдается рост поврежденности со временем, в то время как в экс-
периментах с полимерами [6] при фиксированной деформации поврежденность заметным
образом не изменяется. Такое расхождение можно объяснить как релаксацией напряжений
в полимерах, обусловленной ползучестью, которая здесь не учитывается, так и приближен-
ностью рассматриваемой модели повреждаемости в конечно временной форме.
На рис. 4 приведены кривые зависимостей макронапряжения 〈σ11〉 от времени t2 при
значениях макродеформации 〈ε11〉 = 0,002; 0,008; 0,016 и различных значениях объемного
содержания включений c1. Как видим, при всех значениях объемного содержания включе-
ний кривые являются нисходящими.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
Сравнение результатов, полученных для экспоненциально-степенной функции долговеч-
ности (10), с результатами для дробно-степенной функции долговечности [2] показывает, что
при заданных макропараметрах характер зависимостей макронапряжения 〈σ11〉 от времени
t2 и зависимостей пористости матрицы p2 от времени t2 в обоих случаях одинаков.
1. Khoroshun L.P. Principles of the micromechanics of material damage. 2. Long-term damage // Int. Appl.
Mech. – 2007. – 43, No 2. – P. 127–135.
2. Khoroshun L. P. Micromechanics of short-term thermal microdamageability // Ibid. – 2001. – 37, No 9. –
P. 1158–1165.
3. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. – Москва: Наука, 1974. – 312 с.
4. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Шикула Е.Н., Назаренко Л.В. Статистическая механика и эффектив-
ные свойства материалов. – Киев: Наук. думка, 1993. – 390 с. (Механика композитов: В 12-ти т.
Т. 3).
5. Назаренко Л.В. Thermoelastic properties of orthotropic porous materials // Int. Appl. Mech. – 1997. –
33, № 2. – P. 114–122.
6. Тамуж В.П., Куксенко В. С. Микромеханика разрушения полимерных материалов. – Рига: Зинатне,
1978. – 294 с.
Поступило в редакцию 15.01.2008Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
L.V. Nazarenko
Long-term damageability of discrete-fibrous composites with
orthotropic inclusions on the exponential-power function for the
long-term microstrength
The theory of long-term damageability for homogeneous materials is generalized to the case of
orthotropic composites with stochastic structure, by using the equations of the mechanics of mi-
crononuniform media. The process of damage of components of a composite is modeled by the
appearance of randomly positioned micropores. The effective deformation properties and a stress-
strain state of an orthotropic composite with microdamages are described by the stochastic equations
of elasticity theory. By using the method of iterations, the temporal behavior of the microdamageabi-
lity, macrostresses, and macrostrains for an orthotropic composite is constructed.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 69
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7733 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:36:37Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Назаренко, Л.B. 2010-04-12T11:24:15Z 2010-04-12T11:24:15Z 2009 Долговременная повреждаемость дискретно-волокнистых композитов с ортотропными включениями при экcпоненциально-степенной функции длительной микропрочности / Л. B. Назаренко // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 63-69. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7733 539.3 Теорiю довготривалої мiкропошкоджуваностi для однорiдних матерiалiв, в основу якої покладено рiвняння механiки стохастично неоднорiдних середовищ, узагальнено на випадок композита з ортотропними включеннями. Процес пошкоджуваностi компонентiв композита моделюється утворенням в них стохастично розташованих мiкропор. Критерiй руйнування одиничного мiкрооб’єму характеризується його довготривалою мiцнiстю, зумовленою залежнiстю часу крихкого руйнування вiд ступеня близькостi еквiвалентного напруження до його граничного значення, що характеризує короткочасну мiцнiсть за критерiєм Губера — Мiзеса, яке приймається випадковою функцiєю координат. На основi методу iтерацiй побудовано алгоритми обчислення залежностей мiкропошкоджуваностi компонентiв дискретно-волокнистого матерiалу вiд часу, макронапружень або макродеформацiй вiд часу, а також отриманi вiдповiднi кривi у випадку експоненцiально-степеневої функцiї мiкродовговiчностi. The theory of long-term damageability for homogeneous materials is generalized to the case of orthotropic composites with stochastic structure, by using the equations of the mechanics of micrononuniform media. The process of damage of components of a composite is modeled by the appearance of randomly positioned micropores. The effective deformation properties and a stressstrain state of an orthotropic composite with microdamages are described by the stochastic equations of elasticity theory. By using the method of iterations, the temporal behavior of the microdamageability, macrostresses, and macrostrains for an orthotropic composite is constructed. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Долговременная повреждаемость дискретно-волокнистых композитов с ортотропными включениями при экcпоненциально-степенной функции длительной микропрочности Long-term damageability of discrete-fibrous composites with orthotropic inclusions on the exponential-power function for the long-term microstrength Article published earlier |
| spellingShingle | Долговременная повреждаемость дискретно-волокнистых композитов с ортотропными включениями при экcпоненциально-степенной функции длительной микропрочности Назаренко, Л.B. Механіка |
| title | Долговременная повреждаемость дискретно-волокнистых композитов с ортотропными включениями при экcпоненциально-степенной функции длительной микропрочности |
| title_alt | Long-term damageability of discrete-fibrous composites with orthotropic inclusions on the exponential-power function for the long-term microstrength |
| title_full | Долговременная повреждаемость дискретно-волокнистых композитов с ортотропными включениями при экcпоненциально-степенной функции длительной микропрочности |
| title_fullStr | Долговременная повреждаемость дискретно-волокнистых композитов с ортотропными включениями при экcпоненциально-степенной функции длительной микропрочности |
| title_full_unstemmed | Долговременная повреждаемость дискретно-волокнистых композитов с ортотропными включениями при экcпоненциально-степенной функции длительной микропрочности |
| title_short | Долговременная повреждаемость дискретно-волокнистых композитов с ортотропными включениями при экcпоненциально-степенной функции длительной микропрочности |
| title_sort | долговременная повреждаемость дискретно-волокнистых композитов с ортотропными включениями при экcпоненциально-степенной функции длительной микропрочности |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7733 |
| work_keys_str_mv | AT nazarenkolb dolgovremennaâpovreždaemostʹdiskretnovoloknistyhkompozitovsortotropnymivklûčeniâmipriékcponencialʹnostepennoifunkciidlitelʹnoimikropročnosti AT nazarenkolb longtermdamageabilityofdiscretefibrouscompositeswithorthotropicinclusionsontheexponentialpowerfunctionforthelongtermmicrostrength |