Визначення електрорушійної сили п'єзоелектричних перетворювачів при механічних навантаженнях
Вперше запропоновано метод визначення електрорушiйної сили п’єзоелектричних перетворювачiв при довiльних у часi механiчних навантаженнях. A method of determination of the electromotive force of piezoelectric transformers under mechanical loadings arbitrary in time is first offered....
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7734 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Визначення електрорушійної сили п'єзоелектричних перетворювачів при механічних навантаженнях / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 70-74. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859645372554543104 |
|---|---|
| author | Шульга, М.О. |
| author_facet | Шульга, М.О. |
| citation_txt | Визначення електрорушійної сили п'єзоелектричних перетворювачів при механічних навантаженнях / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 70-74. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Вперше запропоновано метод визначення електрорушiйної сили п’єзоелектричних перетворювачiв при довiльних у часi механiчних навантаженнях.
A method of determination of the electromotive force of piezoelectric transformers under mechanical loadings arbitrary in time is first offered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:26:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.226.86
© 2009
Член-кореспондент НАН України М. О. Шульга
Визначення електрорушiйної сили п’єзоелектричних
перетворювачiв при механiчних навантаженнях
Вперше запропоновано метод визначення електрорушiйної сили п’єзоелектричних пере-
творювачiв при довiльних у часi механiчних навантаженнях.
При механiчному навантаженнi п’єзоелектричних перетворювачiв останнi працюють в ре-
жимi прямого п’єзоефекту i є джерелом електричного струму. Електрична напруга на ро-
зiмкнутих електродах п’єзоелектричного елемента буде електрорушiйною силою джерела
струму. Закiнченого алгоритму визначення електрорушiйної сили при довiльних за часом
навантаженнях не iснує. В данiй роботi запропоновано метод розв’язання цiєї задачi.
Розглянемо п’єзоелектричну пластину товщиною 2h з цилiндричною бiчною поверх-
нею Sб. Введемо декартову прямокутну систему координат x1, x2, x3. Граничнi площини
x3 = ±h пластини покритi електродами. Пружноелектричний деформований стан п’єзо-
електричного тiла описується [5] рiвняннями
∂σ1k
∂x1
+
∂σ2k
∂x2
+
∂σ3k
∂x3
= ρ
∂2uk
∂t2
, (1)
∂D1
∂x1
+
∂D2
∂x2
+
∂D3
∂x3
= 0, (2)
якi замикаються матерiальними залежностями
σij = cE
ijmnKmn − ekijEk, Di = eimnKmn + εS
ikEk (3)
та формулами
2Kmn =
∂um
∂xn
+
∂un
∂xm
, Ek = −
∂ϕ
∂xk
. (4)
Початковi умови [4] приймемо нульовими
uj(x, t = 0) = 0, u̇j(x, t = 0) = 0. (5)
Граничнi умови на бiчнiй поверхнi Sб пластини вiзьмемо у виглядi
σnxk
(Sб, t) = pk(Sб, t), (6)
Dn(Sб, t) = 0, (7)
де pk(Sб, t) — задане механiчне навантаження; n — зовнiшня одинична нормаль до цилiнд-
ричної бiчної поверхнi Sб, а на площинах x3 = ±h
σ3j(x1, x2, x3 = ±h, t) = 0, (8)
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
ϕ(x1, x2, x3 = ±h, t) = ±ξ(t). (9)
Невiдома функцiя ξ(t) — електрорушiйна сила перетворювача як джерела електричного
струму. Для її визначення треба скористатися, як це робиться в електротехнiцi, умовою
рiвностi нулю струму при розiмкнутих електродах [5]
©
∫∫
S+
Ḋ3(x1, x2, x3 = +h, t) dS+ = 0, (10)
де S+ — область, покрита електродом на площинi x3 = +h.
Перш за все розглянемо випадок гармонiйних коливань з циклiчною частотою ω, коли
всi функцiї можна подати у виглядi f(x1, x2, x3, t) = Re fa(x1, x2, x3) exp(−iωt). Для комп-
лексних амплiтудних величин з (1)–(4) одержимо систему рiвнянь
∂iσ
a
ik + ρω2ua
k = 0, ∂iD
a
i = 0,
σa
ij = cE
ijmnKa
mn − ekijE
a
k ,
Da
i = eimnKa
mn + εS
ikE
a
k ,
2Ka
mn = ∂mua
n + ∂nua
m, Ea
k = −∂kϕ
a
(11)
при граничних умовах
σa
nxk
(Sб) = pa
k(Sб), Da
n(Sб) = 0 (12)
на бiчнiй поверхнi Sб та
σa
3j(x1, x2, x3 = ±h) = 0,
ϕa(x1, x2, x3 = ±h) = ±ξa
(13)
на площинах x3 = ±h.
При усталених коливаннях початковi умови ставити не потрiбно.
Умова рiвностi нулевi струму при розiмкнутих електродах (10) тепер запишеться так:
©
∫∫
S+
Da(x1, x2, x3 = +h) dS+ = 0. (14)
Шукатимемо розв’язок задачi у виглядi суперпозицiї двох розв’язкiв
ua
j = u
a(1)
j + ξau
a(2)
j ,
ϕa = ϕa(1) + ξaϕa(2).
(15)
Обидва розв’язки u
a(k)
j , ϕa(k) повиннi задовольняти рiвняння (11). Для першого розв’яз-
ку граничнi умови приймаються у виглядi
σa(1)
nxk
(Sб) = pa
k(Sб), Da(1)
n (Sб) = 0,
σ
a(1)
3j (x1, x2, x3 = ±h) = 0,
ϕa(1)(x1, x2, x3 = ±h) = 0,
(16)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 71
тодi як для другого розв’язку —
σa(2)
nxk
(Sб) = 0, Da(2)
n (Sб) = 0,
σ
a(2)
3j (x1, x2, x3 = ±h) = 0,
ϕa(2)(x1, x2, x3 = ±h) = ±1.
(17)
В цьому разi сумарний розв’язок (15) буде задовольняти граничнi умови (12), (13).
Тепер з умови (14) знаходимо алгебраїчне рiвняння для визначення амплiтуди електро-
рушiйної сили ξa
©
∫∫
S+
Da(1)(x1, x2, x3 = h) dS+ + ξa ©
∫∫
S+
Da(2)(x1, x2, x3 = h) dS+ = 0. (18)
За таким алгоритмом знаходилась електрорушiйна сила (електромеханiчна чутливiсть)
в роботах [1, 3, 6].
При довiльному механiчному навантаженнi для визначення електрорушiйної сили ско-
ристаємося iнтегральним перетворенням Лапласа [2]
fL(. . . , p) =
∞∫
0
f(. . . , t)e−pt
dt,
f(. . . , t) =
1
2πi
a++i∞∫
a+
−i∞
fL(. . . , p)ept
dp, t > 0,
(19)
де a+ > a, якщо функцiя f(. . . , t)e−at обмежена при t → ∞.
Застосовуючи перетворення Лапласа до рiвнянь (1)–(4), одержимо
∂iσ
L
ik − ρp2uL
k = 0, ∂iD
L
i = 0,
σL
ij = cE
ijmnKL
mn − ekijE
L
k ,
DL
i = eimnKL
mn + εS
ikE
L
k ,
2KL
mn = ∂muL
n + ∂nuL
m, EL
k = −∂kϕ
L,
(20)
де врахованi нульовi початковi умови (5). Граничнi умови (6)–(9) в просторi зображень
будуть такi:
σL
nxk
(Sб, p) = pL
k (Sб, p), DL
n (Sб, p) = 0 (21)
на бiчнiй поверхнi Sб та
σL
3j(x1, x2, x3 = ±h, p) = 0,
ϕa(x1, x2, x3 = ±h, p) = ±ξa(p)
(22)
на електродованих площинах x3 = ±h.
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
Зауважимо також, що перехiд вiд простору оригiналiв до простору зображень ще раз
пiдтверджує те положення [4], що в початково-крайових задачах електропружностi почат-
ковi умови для електричного потенцiалу задавати не потрiбно.
Розв’язок задачi знову шукаємо у виглядi суперпозицiї двох розв’язкiв
uL
j = u
L(1)
j + ξLu
L(2)
j ,
ϕL = ϕL(1) + ξLϕL(2).
(23)
Обидва розв’язки u
L(k)
j , ϕL(k) повиннi задовольняти рiвняння (20). Для першого розв’яз-
ку граничнi умови приймаємо у виглядi
σL(1)
nxk
(Sб, p) = pL
k (Sб, p), DL(1)
n (Sб, p) = 0,
σ
L(1)
3j (x1, x2, x3 = ±h, p) = 0,
ϕL(1)(x1, x2, x3 = ±h, p) = 0,
(24)
тодi як для другого розв’язку —
σL(2)
nxk
(Sб, p) = 0, DL(2)
n (Sб, p) = 0,
σ
L(2)
3j (x1, x2, x3 = ±h, p) = 0,
ϕL(2)(x1, x2, x3 = ±h, p) = 1.
(25)
У такому випадку сумарний розв’язок (23) задовольнятиме граничнi умови (21), (22).
Користуючись теоремою Бореля про згортку [2], оригiнал розв’язку (23) можна подати
у виглядi
uj(. . . , t) = u
(1)
j (. . . , t) +
t∫
0
ξ(τ)u
(2)
j (. . . , t − τ) dτ,
ϕ(. . . , t) = ϕ(1)(. . . , t) +
t∫
0
ξ(τ)ϕ(2)(. . . , t − τ) dτ.
(26)
Тепер умова (10) запишеться так:
©
∫∫
S+
Ḋ
(1)
3 (x1, x2, x3 = +h, t) dS+ +
t∫
0
ξ(τ) ©
∫∫
S+
Ḋ
(2)
3 (x1, x2, x3 = +h, t − τ) dS+dτ = 0 (27)
при ξ(0) = 0. Отже, для визначення електрорушiйної сили ξ(t) одержали iнтегральне рiв-
няння Вольтерра першого роду (27).
Зауважимо, що розв’язки w(k)(. . . , t) не обов’язково шукати операцiйним методом,
а можна скористатися iншими способами.
Змiст викладеного алгоритму при довiльнiй змiнi за часом механiчного навантаження
можна трактувати i таким чином: якщо вiдома реакцiя на одиничне електричне збурення
(другий розв’язок), то реакцiя на довiльне збурення ξ(t) визначається згорткою (iнтегралом
Дюамеля) (26).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 73
1. Болкисев А.М., Рудницкий С.И., Шульга Н.А. Электроакустическая чувствительность пьезокерами-
ческого цилиндра при гармоническом нагружении // Прикл. механика. – 1989. – 25, № 12. – С. 68–73.
2. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. – Москва: Высш. шк., 1966. – 406 с.
3. Евсейчик Ю. Б, Рудницкий С.И., Шарапов В.М., Шульга Н.А. Чувствительность биморфного пре-
образователя типа металл — пьезокерамика // Прикл. механика. – 1990. – 26, № 12. – С. 67–75.
4. Шульга М.О. Про варiацiйний принцип Гамiльтона–Остроградського i початково-крайовi задачi еле-
ктропружностi // Доп. НАН України. – 2008. – № 7. – С. 76–81.
5. Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезокермических тел. – Киев: Наук. думка, 1990. – 228 с.
6. Шульга Н.А., Рудницкий С.И., Качаенко О.Б. Электроакустическая чувствительность пьезокера-
мической цилиндрической оболочки в акустической среде // Прикл. механика. – 1989. – 25, № 2. –
С. 44–48.
Надiйшло до редакцiї 13.03.2008Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
Corresponding Member of the NAS of Ukraine M. O. Shul’ga
Determination of the electromotive force of piezoelectric transformers
on mechanical loads
A method of determination of the electromotive force of piezoelectric transformers under mechanical
loadings arbitrary in time is first offered.
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7734 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:26:44Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шульга, М.О. 2010-04-12T11:25:54Z 2010-04-12T11:25:54Z 2009 Визначення електрорушійної сили п'єзоелектричних перетворювачів при механічних навантаженнях / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 70-74. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7734 539.226.86 Вперше запропоновано метод визначення електрорушiйної сили п’єзоелектричних перетворювачiв при довiльних у часi механiчних навантаженнях. A method of determination of the electromotive force of piezoelectric transformers under mechanical loadings arbitrary in time is first offered. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Визначення електрорушійної сили п'єзоелектричних перетворювачів при механічних навантаженнях Determination of the electromotive force of piezoelectric transformers on mechanical loads Article published earlier |
| spellingShingle | Визначення електрорушійної сили п'єзоелектричних перетворювачів при механічних навантаженнях Шульга, М.О. Механіка |
| title | Визначення електрорушійної сили п'єзоелектричних перетворювачів при механічних навантаженнях |
| title_alt | Determination of the electromotive force of piezoelectric transformers on mechanical loads |
| title_full | Визначення електрорушійної сили п'єзоелектричних перетворювачів при механічних навантаженнях |
| title_fullStr | Визначення електрорушійної сили п'єзоелектричних перетворювачів при механічних навантаженнях |
| title_full_unstemmed | Визначення електрорушійної сили п'єзоелектричних перетворювачів при механічних навантаженнях |
| title_short | Визначення електрорушійної сили п'єзоелектричних перетворювачів при механічних навантаженнях |
| title_sort | визначення електрорушійної сили п'єзоелектричних перетворювачів при механічних навантаженнях |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7734 |
| work_keys_str_mv | AT šulʹgamo viznačennâelektrorušíinoísilipêzoelektričnihperetvorûvačívprimehaníčnihnavantažennâh AT šulʹgamo determinationoftheelectromotiveforceofpiezoelectrictransformersonmechanicalloads |