О генерализации автоматической реструктуризации электроцепей и сингуларисных переходных процессов в них
Показано, що автоматична реструктуризацiя електроланцюгiв з реактивними елементами є узагальнюючим явищем. It is shown that the automatic restructurization of electric circuits with reactive elements is a general phenomenon....
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7737 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О генерализации автоматической реструктуризации электроцепей и сингуларисных переходных процессов в них / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 86-91. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859734536706850816 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | О генерализации автоматической реструктуризации электроцепей и сингуларисных переходных процессов в них / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 86-91. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Показано, що автоматична реструктуризацiя електроланцюгiв з реактивними елементами є узагальнюючим явищем.
It is shown that the automatic restructurization of electric circuits with reactive elements is a general phenomenon.
|
| first_indexed | 2025-12-01T15:14:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2009
ЕНЕРГЕТИКА
УДК 621.3(0758)
© 2009
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
О генерализации автоматической реструктуризации
электроцепей и сингуларисных переходных процессов
в них
Показано, що автоматична реструктуризацiя електроланцюгiв з реактивними елемен-
тами є узагальнюючим явищем.
Известно [1, 2], что периодическую функцию с периодом 2π, удовлетворяющую условиям
Дирихле, т. е.:
1) f(t) — однозначна, конечна, кусочно-непрерывна;
2) f(t) имеет конечное число максимумов и минимумов,
можно представить в виде ряда
f(t) = b0 +
∞∑
k=1
ak sin kωt +
∞∑
k=1
bk cos kωt, (1)
называемого рядом Фурье.
Понятно, что синусоидальная функция f(t) = a sin ωt не требует применения к себе
выражения (1). А это значит, что в ряд Фурье раскладываются несинусоидальные функ-
ции геометрически правильной формы, например, треугольной, прямоугольной, трапецие-
видной и т. п. (см. табл. 7.1 в [2]) и геометрически неправильной (произвольной) формы.
Как видим из (1), f(t) является полигармонической функцией. В работе [3] показано, что
в электрических цепях с реактивными элементами (индуктивность L и емкость C) при вхо-
дных полигармонических напряжениях из-за разных сопротивлений ωkL, 1/(ωkC), k = 1, n,
происходит изменение внутренней структуры этих электроцепей. Такое явление, открытое
автором данной работы, было названо автоматической реструктуризацией электрических
цепей с реактивными элементами.
Ориентируясь на тот факт, что в электротехнике, радиотехнике входные сигналы элект-
ро- и радиоцепей в большинстве случаев являются сигналами, которые могут быть пред-
ставлены рядом Фурье, т. е. несинусоидальными геометрически правильной и неправильной
формы, то эти сигналы, по сути, являются полигармоническими, следовательно, все сиг-
налы в рассматриваемых цепях, кроме синусоидальных, являются полигармоническими.
86 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
А это означает, что в электротехнике, радиотехнике при таких несинусоидальных входных
сигналах в цепях автоматически осуществляется изменение их структуры и поэтому явле-
ние автоматической реструктуризации указанных цепей является обобщающим (генерали-
зованным). Исходя из такого заключения, необходимо, на наш взгляд, по-новому, с учетом
данного явления, изучать, рассчитывать электрорадиоцепи.
В работе [4] на примере RL, RC, RLC, RL‖C электроцепей дан метод определения
общих сопротивлений, названных автором “условными”, этих цепей при входном сигнале
U(t) =
n∑
k=1
Uak sinωkt. Однако для различных по геометрической форме несинусоидальных
U(t) полигармоническая сумма будет различной (см. табл. 7.1 [2]) и поэтому “условные”
сопротивления цепей с такими входными U(t) будут отличаться от сопротивлений, приве-
денных в работе [4], хотя метод их определения может быть тот же.
Что же обусловливает явление автоматической реструктуризации цепей? На этот вопрос
был дан ответ в ряде работ, например, [5–8]. В основном, в этих и других работах автора
был сделан вывод о том, что переходные процессы в электроцепях с L, C элементами затя-
гиваются на начальных участках, т. е. эти цепи как бы имеют некоторую, пусть и малую,
зону нечувствительности к входному воздействию. Такая зона была выявлена автором и
в эксперименте даже при подаче на вход электроцепей с L, C элементами скачкообразных
в дальнейшем постоянных напряжений [9], что дало возможность признать явление авто-
матической реструктуризации в данных цепях при входных скачкообразных напряжениях
вида U(t) = U1(t), где 1(t) =
{
1 при t > 0
0 при t < 0
}
. Однако заметим, что при входном U1(t)
напряжении в электроцепи с L, C элементами автоматическая реструктуризация происхо-
дит только в начале переходного процесса, а это значит, что скачкообразная функция U1(t)
имеет в своем начале при включении ее в цепь составляющую, содержащую затухающий
ряд гармоник вида e−αt
n∑
k=1
Uak cos ωkt, где α — коэффициент затухания; e — основание нату-
рального логарифма. Такой вывод привел автора к мысли о новом, особом (сингуларисном)
разложении скачкообразной функции в виде [10]
U1(t) = U(1 − e−αt) + e−αt
n∑
k=1
Uak cos ωkt,
Ua1 =
1
π
, Uak =
Ua1
k
, k =
ωk
ω1
.
(2)
В работах [5, 11], используя разложение (2), автор исследовал переходные процессы
в электроцепях, сосредоточенных, распределенных, цепных при скачкообразных U1(t), а
также в ряде случаев при прямоугольных импульсах, представляемых в виде
U(0, τ) = U(1 − e−αt) + e−αt
n∑
k=1
Uak cos ωkt − U [1 − e−αt(t−τ)] −
− e−αt(t−τ)
n∑
k=1
Uak cos ωk(t − τ). (3)
Как видим из (3), здесь участвует разложение (1) два раза: один раз для положительного
напряжения U1(t) и второй раз — для отрицательного −U1(t − τ). Комбинируя скачки
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 87
в U(t) с помощью разложения (1), можно представить различные по геометрической форме
U(t) в виде набора составляющих (со своим знаком) разложения (1). Для подтверждения
приведем пример определения переходного процесса в RL цепи при входном напряжении
U(t) = U(1 − e−βt), где β — коэффициент затухания в источнике U(t). Сингуларисное
разложение U(1 − e−βt) может быть следующим:
U(1 − e−βt) = U(1 − e−αt) + Ue−αt
n∑
k=1
Uak cos ωkt − U(1 − e−αt)e−βt −
−Ue−(α+β)t
n∑
k=1
Uak cos ωkt. (4)
Проверим правильность разложения (4).
Так как при t = 0
U(0) = U (1 − e−α0)
︸ ︷︷ ︸
0
+Ue−α0
n∑
k=1
Uak cos ωk0 − U (1 − e−α0)
︸ ︷︷ ︸
0
e−β0 −
− Ue−(α+β)0
n∑
k=1
Uak cos ωk0 = U [1 − e−(α+β)0]
n∑
k=1
Uak cos ωk0 = 0,
т. е. при t = 0 U(0) = 0, что правильно.
Далее, при t = ∞
U(∞) = U(1 − e−α∞
︸ ︷︷ ︸
0
) + U e−α∞
︸ ︷︷ ︸
0
n∑
k=1
Uak cos ωkt−U (1 − e−α∞)
︸ ︷︷ ︸
0
e−β∞
︸ ︷︷ ︸
0
−
− U e−(α+β)∞
︸ ︷︷ ︸
0
n∑
k=1
Uak cos ωkt = U,
что также правильно.
В работах автора о сингуларисном разложении скачкообразной функции принято, что
α ≫ β и значительно больше других коэффициентов затухания электроцепей. Поэтому для
проверки (4) возьмем крайний случай α = ∞. Тогда e−∞t = 0 и U(t, α = ∞) = U [1 − e−βt],
т. е. и здесь проверка подтверждает правильность (4).
Далее, как было отмечено, определим переходный процесс тока i(t) в RL цепи при
входном напряжении (4). Для этого составим дифференциальное уравнение RL цепи, пред-
ставив (4) в виде отдельных составляющих
U − Ue−αt − Ue−βt + Ue−(α+β)t + Ue−αt
n∑
k=1
Uak cos ωkt −
− Ue−(α+β)t
n∑
k=1
Uak cos ωkt = Ri(t) + L
di(t)
dt
. (5)
88 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
Переходный процесс i(t) будем определять с помощью операционного исчисления, ис-
пользуя метод Карсона [12]. На основе таблиц [12] оригинал (5) представим в виде изо-
бражений
U
{
α
p + α
−
p
p + β
+
p
p + α + β
+
n∑
k=1
p(p + α)Uak
(p + α)2 + ω2
k
−
n∑
k=1
p(p + α + β)Uak
(p + α + β)2 + ω2
k
}
=
= I(p)(R + Lp). (6)
На основании (6) изображение тока имеет вид
I(p) =
U
L
{
α
(p + α)(p + δ)
−
p
(p + β)(p + δ)
+
p
(p + α + β)(p + δ)
+
+
n∑
k=1
Uak
p(p + α)
(p + δ)[(p + α)2 + ω2
k]
−
n∑
k=1
Uak
p(p + α + β)
(p + δ)[(p + α + β)2 + ω2
k]
}
, (7)
где δ = R/L — коэффициент затухания в RL цепи.
Для первых трех составляющих в (7) оригинал следующий (на основании таблиц [12]):
i1(t) =
U
L
{[
α
αδ
+
α
α − δ
(
1
α
e−αt −
1
δ
e−δt
)
−
U
L(β − δ)
(e−δt − e−βt) +
+
U
L(α + β − δ)
(e−δt − e−(α+β)t)
]}
. (8)
Оригиналы, соответствующие остальным составляющим в (7), будем находить для k-й
составляющей в своей сумме
( n∑
k=1
. . .
)
, а затем результаты складывать.
Четвертая составляющая в (7) для k-й гармоники состоит из двух
U
L
Uak
p2
(p + δ)[(p + α)2 + ω2
k]
⇄
U
L
Uak
(α − δ)2 + ω2
k
×
×
{
−δe−δt +
e−αt
ωk
[ωkδ cos ωkt + (ω2
k + α2 − αδ) sin ωkt]
}
= i2(t), (9)
U
L
Uak
αp
(p + δ)[(p + α)2 + ω2
k]
⇄
U
L
Uakα
(α − δ)2 + ω2
k
×
×
{
−δe−δt +
e−αt
ωk
[−ωk cos ωkt + (δ − α) sin ωkt]
}
= i3(t). (10)
Пятая составляющая в (7) для k-й гармоники также состоит из двух слагаемых. Их
оригиналы имеют вид
U
L
Uak
p2
(p + δ)[(p + α + β)2 + ω2
k]
⇄
U
L
Uak
(α + β − δ)2 + ω2
k
×
×
〈
−δe−δt+
e−(α+β)t
ωk
{ωkδ cos ωkt+[ω2
k+(α+β)2−(α+β)δ] sin ωkt}
〉
= i4(t), (11)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 89
U
L
Uak
(α + β)p
(p + δ)[(p + α + β)2 + ω2
k]
⇄
U
L
Uak(α + β)
(α + β − δ)2 + ω2
k
×
×
{
−e−δt +
e−αt
ωk
[−ωk cos ωkt + (δ − α − β) sin ωkt]
}
= i5(t). (12)
Складывая выражение (8) и в своих суммах
( n∑
k=1
. . .
)
выражения (8), (10), (11), (12),
получим оригиналы тока i(t) =
5∑
s=1
is(t) в виде
i(t) = (8) +
5∑
k=1
[(9) + (10)] −
5∑
k=1
[(11) + (12)]. (13)
При t = 0 i(0) = 0, при t = ∞ i(∞) = U/R. При α = ∞ ток i(t) в сингуларисном
выражении (13) с учетом (8), (9), (10), (11), (12) принимает вид
i(t) =
Uβ
L
[
1
βδ
+
1
β − δ
(
1
β
e−βt −
1
δ
e−δt
)]
. (14)
Выражение (14) полностью соответствует классическому решению задачи по переходно-
му процессу в RL цепи при входном напряжении U(t) = U(1 − e−βt).
Выражение (13) отличается от классического ввиду того, что в нем присутствуют зату-
хающие гармоники, которые не позволяют переходному процессу i(t) в начальном участке
вторить переходный процесс (14). А это значит, что в начальном участке i(t) при U(t) = (4)
в электроцепи возникает автоматическая реструктуризация цепи, обусловливающая появ-
ление индуктивных экспоненциально затухающих сопротивлений xLk = ωkL, снижающих
величину тока i(t). Из этого примера видно, что даже экспоненциально нарастающее вход-
ное напряжение электроцепи с индуктивным сопротивлением вызывает реструктуризацию
цепи и изменяет форму переходного процесса тока i(t) в отличие от формы переходного
процесса i(t), рассчитанного без сингуларисного разложения напряжения U(t). Кстати, при
использовании сингуларисного разложения U(t) нахождение тока i(t) в RL и других цепях
можно осуществлять математически классическим методом путем решения дифференци-
альных уравнений.
Таким образом, в данной работе показано, что автоматическая реструктуризация элек-
троцепей с реактивными элементами в электротехнике, да и, вероятно, в радиотехнике,
является обобщающим явлением при всех видах полигармонических сигналов, кроме сину-
соидального, состоящего только из одной гармоники. Это явление автоматической реструк-
туризации электроцепей обусловливает изменение формы переходных процессов в цепях
по сравнению с теми формами, которые издавна заложены в теоретических основах элек-
тротехники.
Заметим, что изменение структуры входного напряжения цепи изменяет ее автомати-
ческую реструктуризацию, т. е. получается, что входное напряжение цепи управляет ее
автоматической реструктуризацией. Сингуларисное разложение скачкообразных функций,
которые присутствуют во многих входных сигналах цепей, создает так называемую сингу-
ларисную автоматическую реструктуризацию в цепи в начале переходного процесса, она
экспоненциально затухает с коэффициентом затухания α.
90 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
1. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. – Москва: Наука, 1965. – 780 с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
3. Божко А.Е. Об автоматической реструктуризации электрических цепей с реактивными элементами
при полигармонических входных сигналах // Доп. НАН України. – 2002. – № 11. – С. 101–103.
4. Божко А. Е. Об условных сопротивлениях электроцепей при полигармонических входных сигналах //
Там само. – 2007. – № 2. – С. 87–95.
5. Божко А. Е. К концепции о переходных процессах в электрических цепях // Там само. – 2003. –
№ 12. – С. 72–75.
6. Божко А.Е. Новая интерпретация переходных процессов в электрических цепях // Там само. –
2004. – № 9. – С. 83–87.
7. Божко А.Е. О новой трактовке переходных процессов в электроцепях переменного тока // Там
само. – 2005. – № 4. – С. 81–86.
8. Божко А. Е. К задаче о переходных процессах в цепных схемах с учетом особых разложений скачко-
образных напряжений // Там само. – 2007. – № 10. – С. 81–86.
9. Божко А. Е. О подтверждении новой концепции о переходных процессах в электроцепях эксперимен-
тальными исследованиями // Там само. – 2007. – № 8. – С. 92–95.
10. Божко А.Е. Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электро-
цепях // Там само. – 2007. – № 6. – С. 81–87.
11. Божко А.Е. Комбинационный анализ переходных процессов в электроцепях с распределенными па-
раметрами // Там само. – 2007. – № 9. – С. 69–76.
12. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – Москва:
Сов. радио, 1959. – 404 с.
Поступило в редакцию 01.02.2008Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.E. Bozhko
On generalization of automatic restructurization of electric circuits and
singularisnal transient processes in them
It is shown that the automatic restructurization of electric circuits with reactive elements is a
general phenomenon.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 91
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7737 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T15:14:29Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2010-04-12T11:31:17Z 2010-04-12T11:31:17Z 2009 О генерализации автоматической реструктуризации электроцепей и сингуларисных переходных процессов в них / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 86-91. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7737 621.3(0758) Показано, що автоматична реструктуризацiя електроланцюгiв з реактивними елементами є узагальнюючим явищем. It is shown that the automatic restructurization of electric circuits with reactive elements is a general phenomenon. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Енергетика О генерализации автоматической реструктуризации электроцепей и сингуларисных переходных процессов в них On generalization of automatic restructurization of electric circuits and singularisnal transient processes in them Article published earlier |
| spellingShingle | О генерализации автоматической реструктуризации электроцепей и сингуларисных переходных процессов в них Божко, А.Е. Енергетика |
| title | О генерализации автоматической реструктуризации электроцепей и сингуларисных переходных процессов в них |
| title_alt | On generalization of automatic restructurization of electric circuits and singularisnal transient processes in them |
| title_full | О генерализации автоматической реструктуризации электроцепей и сингуларисных переходных процессов в них |
| title_fullStr | О генерализации автоматической реструктуризации электроцепей и сингуларисных переходных процессов в них |
| title_full_unstemmed | О генерализации автоматической реструктуризации электроцепей и сингуларисных переходных процессов в них |
| title_short | О генерализации автоматической реструктуризации электроцепей и сингуларисных переходных процессов в них |
| title_sort | о генерализации автоматической реструктуризации электроцепей и сингуларисных переходных процессов в них |
| topic | Енергетика |
| topic_facet | Енергетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7737 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae ogeneralizaciiavtomatičeskoirestrukturizaciiélektrocepeiisingularisnyhperehodnyhprocessovvnih AT božkoae ongeneralizationofautomaticrestructurizationofelectriccircuitsandsingularisnaltransientprocessesinthem |