Автохвильові розв'язки нелокальної моделі геофізичних середовищ з урахуванням гістерезисного характеру їх деформування
Узагальнено нелiнiйнi нелокальнi математичнi моделi геосередовищ шляхом врахування гiстерезисного характеру деформування геосередовищ. За допомогою методiв якiсного та числового аналiзу проаналiзовано залежнiсть бiфуркацiй пiдмножини автохвильових розв’язкiв нелiнiйної моделi вiд параметрiв гiстерез...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7739 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Автохвильові розв'язки нелокальної моделі геофізичних середовищ з урахуванням гістерезисного характеру їх деформування / В.А. Даниленко, С. I. Скуратiвський // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 98-102. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859530233845121024 |
|---|---|
| author | Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. |
| author_facet | Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. |
| citation_txt | Автохвильові розв'язки нелокальної моделі геофізичних середовищ з урахуванням гістерезисного характеру їх деформування / В.А. Даниленко, С. I. Скуратiвський // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 98-102. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Узагальнено нелiнiйнi нелокальнi математичнi моделi геосередовищ шляхом врахування гiстерезисного характеру деформування геосередовищ. За допомогою методiв якiсного та числового аналiзу проаналiзовано залежнiсть бiфуркацiй пiдмножини автохвильових розв’язкiв нелiнiйної моделi вiд параметрiв гiстерезисної петлi.
The nonlinear nonlocal mathematical models of geomedia are generalized by means of taking the hysteretic character of deformations of a medium into account. The dependence between bifurcations of a subset of autowave solutions of a nonlinear model and parameters of a hysteretic loop is analyzed with the help of methods of qualitative and numerical analyses.
|
| first_indexed | 2025-11-25T22:42:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2009
НАУКИ ПРО ЗЕМЛЮ
УДК 539.182+518.5+517.986.69
© 2009
Член-кореспондент НАН України В. А. Даниленко,
С. I. Скуратiвський
Автохвильовi розв’язки нелокальної моделi геофiзичних
середовищ з урахуванням гiстерезисного характеру
їх деформування
Узагальнено нелiнiйнi нелокальнi математичнi моделi геосередовищ шляхом врахуван-
ня гiстерезисного характеру деформування геосередовищ. За допомогою методiв якiсного
та числового аналiзу проаналiзовано залежнiсть бiфуркацiй пiдмножини автохвильо-
вих розв’язкiв нелiнiйної моделi вiд параметрiв гiстерезисної петлi.
Експериментальнi дослiдження процесiв деформування геофiзичних середовищ у широко-
му дiапазонi швидкостей навантаження свiдчать про те, що цi процеси мають нелiнiйний
гiстерезисний характер [1–4]. У роботах [5, 6] були запропонованi нелiнiйнi нелокальнi ма-
тематичнi моделi геосередовищ та дослiдженi їх автохвильовi розв’язки без урахування
гiстерезисного характеру деформування середовищ. Нами цi моделi доповненi, враховуючи
гiстерезис при деформуваннi геосередовищ, що приводить до такої математичної моделi:
ρ̇ + ρux = 0, ρu̇ + px = γρm,
σχρ−2[−ρxx(1 + a) + ρ2
xρ−1(1−na)] + hχρ−2[−ρ̈(1 + a) + 2ρ̇2ρ−1(1−0,5a(n−1)) +
+ τh−1ρ̇(1 + a)] + Φ0(ρ) + µΦ1(p, ρ, ṗ, ρ̇) = p + τ ṗ − hp̈ − σ(pxx + ρxpxρ
−1),
(1)
де функцiї u — швидкiсть; p — тиск; ρ — густина середовища; γρm — зовнiшня масова
сила; σ, h — параметри нелокальностi; τ — час релаксацiї; χ, η, κ — пропорцiйнi величини
квадратам швидкостей звуку у середовищi; моном a = δnρn+1, зумовлений врахуванням
температурної залежностi стану середовища; p = Φ0(ρ) — функцiя, яка описує рiвноважний
стан геосередовища; (·̇) =
∂
∂t
(·) + u
∂
∂x
(·).
Рiвноважну криву моделi (1) Φ0(ρ) визначимо таким чином:
Φ0(ρ) =
{
p0 + κ(ρ − ρ0)
n, ρ > ρ0,
p0 − κ|ρ − ρ0|
n, ρ < ρ0,
p0 = κρn
0 . (2)
98 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
Рис. 1. Частина гiстерезисної петлi, задана спiввiдношенням (3), при n = 3,2, ρ0 = 0, ρ
max = 1: суцiльна
лiнiя — s = 7, пунктирна — s = 5
Функцiя Φ1 описує петлю пружного гiстерезису поблизу рiвноважного стану (ρ0; p0) та
задається спiввiдношенням
Φ1 =
{
(ρ − ρ0)
n, ρ > ρ0, ρ̇ < 0,
(ρmax − ρ0)
n−s(ρ − ρ0)
s, ρ > ρ0, ρ̇ > 0,
Φ1(−x) = −Φ1(x) (3)
(тут s > n).
Якщо зафiксувати тестовi значення параметрiв n = 3,2, s = 7, ρ0 = 0, ρmax = 1, то
частина гiстерезисної петлi має вигляд, представлений на рис. 1, з характерною для гео-
матерiалiв угнутiстю. Параметр s пов’язаний з площею 2S фiгури, обмеженою петлею, яка
обчислюється за формулою
2S = (ρmax − ρ0)
n+1 s − n
(n + 1)(s + 1)
.
Як показано на рис. 1 (пунктирна лiнiя), при зменшеннi параметра s до n, площа петлi
зменшується до 0. Параметр µ вiдiграє роль масштабного коефiцiєнта.
Розглянемо вплив врахування петлi гiстерезису, яка описується виразом (3), на струк-
туру iнварiантних розв’язкiв такого вигляду:
ρ = R(ω), p = P (ω), u = 2ξt + U(ω), ω = x − ξt2. (4)
Пiсля пiдстановки розв’язку рiвностей (4) у систему диференцiальних рiвнянь з частин-
ними похiдними (1) отримаємо квадратуру
UR = C = const
та динамiчну систему
R′ = W, P ′ = γRm − 2ξR +
C2
R2
W,
W ′ = −
(
R3(Φ0 + µΦ1 − P ) − P ′(R2τC + hC2W − R2σW ) + γmR2+mσW +
+ χLCτW + γhmRmC2W + hχL
(
CW
R
)2
− 2C2σW 2 + χMσW 2 −
− 2C2hU2W 2+2hχNU2W 2−2R3σWξ−2hRC2Wξ
)
((C2−χL)R(σ+hU2))−1,
(5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 99
Рис. 2. Бiфуркацiйна дiаграма Пуанкаре динамiчної системи (5) без урахування петлi гiстерезису при зро-
станнi µ, τ = 1,1 (а) та τ , µ = 40 (б )
де (·)′ =
d
dω
(·), L = 1 + a, M = 1 − an, N = 1 − 0,5a(n − 1), a = δnRn+1,
µΦ1 =
{
(R − R0)
n, R − R0 > 0, CW < 0,
max n−s(R − R0)
n, R − R0 > 0, CW > 0
(max = max{R − R0} — локальний максимум функцiї R(ω) − R0).
Динамiчна система (5) має єдину нетривiальну стацiонарну точку з координатами
R0 =
(
2ξ
γ
)1/m−1
, P0 = κRn
0 , W0 = 0. (6)
У попереднiх дослiдженнях такої системи [6] без урахування гiстерезису, тобто s = n та
µ = 0, в околi точки (6) при κ = 40, h = 3,2, ξ = 0,28, γ = 1, σ = 0,2, C = −2,8, δ = 1,4,
χ = 10, n = m = 3,2, τ = 1,1 шляхом числового iнтегрування динамiчної системи (5)
знайдено граничний цикл. Якщо s = n, µ 6= 0, то вигляд стацiонарної кривої визначається
виразом
Φ0(R) =
{
p0 + (κ + µ)(R − R0)
n, R > R0,
p0 − (κ + µ)|R − R0|
n, R < R0.
Залежнiсть структури розв’язкiв формул (4) вiд змiни параметра µ вивчалася шля-
хом аналiзу бiфуркацiйних дiаграм Пуанкаре (рис. 2, а). Зокрема, при зростаннi µ спо-
стерiгаються бiфуркацiї подвоєння перiоду початкового циклу, при цьому в iнтервалi µ >
> 35 структура атрактора зазнає бiльш рiзких змiн, нiж очiкувалось за сценарiєм Фей-
генбаума. Варiювання параметра τ , який характеризує релаксацiйний процес, спричинює
ускладнення структури перiодичного атрактора, породжуючи на бiфуркацiйнiй дiаграмi
Пуанкаре (див. рис. 2, б ) точки бiфуркацiй подвоєння перiоду коливань та рiзких стриб-
кiв їх амплiтуди, iнтервали iснування хаотичного атрактора в поєднаннi з вiкнами перiо-
дичностi.
Надалi дослiдимо як врахування гiстерезисних втрат, що описуються параметрами µ
у поєднаннi з s 6= n, позначиться на граничному циклi та його бiфуркацiях. Зафiксуємо
100 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
Рис. 3. Бiфуркацiйнi дiаграми розв’язкiв динамiчної системи (5) з урахуванням петлi гiстерезису: а — при
зростаннi параметра µ при s = 5; б — при зменшеннi параметра s ∈ [5, 6], µ = 43
значення s = 5, n = 3,2, тодi при зростаннi µ вiд 0 спостерiгається збiльшення дiаметра гра-
ничного циклу та утворення циклу подвiйного перiоду, сценарiй розвитку якого вивчався
за допомогою бiфуркацiйної дiаграми Пуанкаре (рис. 3, а). Порiвнюючи дiаграми рисун-
кiв 3, а i 2, а, вiдзначимо, що при врахуваннi гiстерезису розвиток хаотичного атрактора
вiдбувається при бiльших значеннях параметра µ з бiльш чiткою iдентифiкацiєю бiфур-
кацiй подвоєння перiоду. Зафiксуємо значення параметра µ = 40, а s зменшуватимемо,
починаючи iз значення s = 6,0, коли у фазовому просторi динамiчної системи знаходиться
мультиперiодичний граничний цикл. Аналiзуючи бiфуркацiйну дiаграму (див. рис. 3, б ) йо-
го розвитку при зменшеннi s, можна видiлити каскад бiфуркацiй подвоєння перiоду циклу,
що приводить до утворення хаотичного атрактора.
Зазначимо, що на рис. 3 зображено лише область слаборозвиненого хаосу, яка визна-
чається рамками правомiрностi використання аналiтичного завдання петлi гiстерезису (3).
Дослiдження динамiчної системи (5) з гiстерезисною нелiнiйнiстю ведеться до моменту,
коли часова залежнiсть R(ω) є простим циклiчним режимом, тобто всi локальнi максиму-
ми та мiнiмуми лежать у рiзних пiвплощинах вiдносно стацiонарного стану R0. Довiльне
розташування екстремумiв R(ω) породжує на дiаграмi p — ρ рис. 1 сукупнiсть укладених
гiстерезисних петель, що вимагає iншої моделi для їх описання. Однак на основi проведе-
них дослiджень можна прогнозувати, що принаймнi в малих iнтервалах по параметрах µ
та s хаотичнi режими збережуться, що зумовлює зростання загальної площi петель, а зна-
чить, i величини розсiяної енергiї в елементах структури. Вiзначимо також, що врахування
динамiки релаксацiйних процесiв може спричинювати ускладнення локалiзованих режимiв
у фазовому просторi динамiчної системи як при зростаннi параметра τ , так i при його змен-
шеннi. Врахування ж гiстерезисної петлi показує, що є такi значення площi фiгури, обме-
женої нею, пiсля перевищення яких хаотичний атрактор припиняє своє iснування, а муль-
типерiодичний граничний цикл зазнає зворотного каскаду бiфуркацiй подвоєння перiоду.
1. Boitnott G.N. Fundamental observations concerning hysteresis in the deformation of intact and joined rock
with applications to nonlinear attenuation in the near source region // Proc. Numer. Model. Underground
Nuclear Test Monitor. Symp. – 1993. – LA-UR – 93–3839. – P. 121–137.
2. Hilbert Jr L. B., Hwong T.K., Cook N.G.W. et al. Effects of strain amplitude on the static and dynamic
nonlinear deformation of Berea sandstone // Rock Mechanics Models and Measurements Challenges from
Industry / Ed. by P.P. Nelsonn, S. E. Laubach. – Rotterdam: Elsevier, 1994. – P. 497–515.
3. Darling T.W., TenCate J. A., Brown D.W. et al. Neutron diffraction study of the contribution of grain
contacts to nonlinear stress-strain behavior // Geophys. Res. Lett. –2004. – 31. – L16604.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 101
4. Johnson P.A., Rasolofosaon P.N. J. Manifestation of nonlinear elasticity in rock: convincing evidence over
large frequency and strain intervals from laboratory studies // Nonlin. Proc. in Geophys. – 1996. – No 3. –
P. 77–88.
5. Даневич Т. Б., Даниленко В.А. Нелiнiйнi нелокальнi моделi багатокомпонентних релаксуючих сере-
довищ з внутрiшнiми осциляторами // Доп. НАН України. –2005. – № 1. – С. 106–110.
6. Danilenko V.A., Skurativskyy S. I. Invariant chaotic and quasi-periodic solutions of nonlinear nonlocal
models of relaxing media // Rep. Math. Phys. – 2007. – 59, No 1. – P. 45–51.
Надiйшло до редакцiї 22.04.2008Вiддiлення геодинамiки вибуху
Iнституту геофiзики iм. С. I. Субботiна
НАН України, Київ
Corresponding Member of the NAS of Ukraine V.A. Danilenko, S. I. Skurativskyy
Autowave solutions of a nonlocal model of geophysical media with
regard for the hysteretic character of their deformation
The nonlinear nonlocal mathematical models of geomedia are generalized by means of taking the
hysteretic character of deformations of a medium into account. The dependence between bifurcations
of a subset of autowave solutions of a nonlinear model and parameters of a hysteretic loop is
analyzed with the help of methods of qualitative and numerical analyses.
102 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7739 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-25T22:42:30Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. 2010-04-12T11:36:15Z 2010-04-12T11:36:15Z 2009 Автохвильові розв'язки нелокальної моделі геофізичних середовищ з урахуванням гістерезисного характеру їх деформування / В.А. Даниленко, С. I. Скуратiвський // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 98-102. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7739 539.182+518.5+517.986.69 Узагальнено нелiнiйнi нелокальнi математичнi моделi геосередовищ шляхом врахування гiстерезисного характеру деформування геосередовищ. За допомогою методiв якiсного та числового аналiзу проаналiзовано залежнiсть бiфуркацiй пiдмножини автохвильових розв’язкiв нелiнiйної моделi вiд параметрiв гiстерезисної петлi. The nonlinear nonlocal mathematical models of geomedia are generalized by means of taking the hysteretic character of deformations of a medium into account. The dependence between bifurcations of a subset of autowave solutions of a nonlinear model and parameters of a hysteretic loop is analyzed with the help of methods of qualitative and numerical analyses. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Науки про Землю Автохвильові розв'язки нелокальної моделі геофізичних середовищ з урахуванням гістерезисного характеру їх деформування Autowave solutions of a nonlocal model of geophysical media with regard for the hysteretic character of their deformation Article published earlier |
| spellingShingle | Автохвильові розв'язки нелокальної моделі геофізичних середовищ з урахуванням гістерезисного характеру їх деформування Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. Науки про Землю |
| title | Автохвильові розв'язки нелокальної моделі геофізичних середовищ з урахуванням гістерезисного характеру їх деформування |
| title_alt | Autowave solutions of a nonlocal model of geophysical media with regard for the hysteretic character of their deformation |
| title_full | Автохвильові розв'язки нелокальної моделі геофізичних середовищ з урахуванням гістерезисного характеру їх деформування |
| title_fullStr | Автохвильові розв'язки нелокальної моделі геофізичних середовищ з урахуванням гістерезисного характеру їх деформування |
| title_full_unstemmed | Автохвильові розв'язки нелокальної моделі геофізичних середовищ з урахуванням гістерезисного характеру їх деформування |
| title_short | Автохвильові розв'язки нелокальної моделі геофізичних середовищ з урахуванням гістерезисного характеру їх деформування |
| title_sort | автохвильові розв'язки нелокальної моделі геофізичних середовищ з урахуванням гістерезисного характеру їх деформування |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7739 |
| work_keys_str_mv | AT danilenkova avtohvilʹovírozvâzkinelokalʹnoímodelígeofízičnihseredoviŝzurahuvannâmgísterezisnogoharakteruíhdeformuvannâ AT skuratívsʹkiisí avtohvilʹovírozvâzkinelokalʹnoímodelígeofízičnihseredoviŝzurahuvannâmgísterezisnogoharakteruíhdeformuvannâ AT danilenkova autowavesolutionsofanonlocalmodelofgeophysicalmediawithregardforthehystereticcharacteroftheirdeformation AT skuratívsʹkiisí autowavesolutionsofanonlocalmodelofgeophysicalmediawithregardforthehystereticcharacteroftheirdeformation |