Статистическое ускорение и пространственная диффузия космических лучей в турбулентной среде
Рассмотрен процесс статистического ускорения космических лучей в турбулентной среде. Предполагается, что заряженные частицы приобретают энергию в ограниченной области пространства и покидают область ускорения вследствие пространственной диффузии, обусловленной рассеянием космических лучей в турбулен...
Saved in:
| Published in: | Кинематика и физика небесных тел |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Головна астрономічна обсерваторія НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/77439 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Статистическое ускорение и пространственная диффузия космических лучей в турбулентной среде / Ю.И. Федоров, Б.А. Шахов, М. Стеглик // Кинематика и физика небесных тел. — 2013. — Т. 29, № 1. — С. 3-25. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-77439 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Федоров, Ю.И. Шахов, Б.А. Стеглик, М. 2015-02-28T19:42:21Z 2015-02-28T19:42:21Z 2013 Статистическое ускорение и пространственная диффузия космических лучей в турбулентной среде / Ю.И. Федоров, Б.А. Шахов, М. Стеглик // Кинематика и физика небесных тел. — 2013. — Т. 29, № 1. — С. 3-25. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 0233-7665 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/77439 523.9-72 Рассмотрен процесс статистического ускорения космических лучей в турбулентной среде. Предполагается, что заряженные частицы приобретают энергию в ограниченной области пространства и покидают область ускорения вследствие пространственной диффузии, обусловленной рассеянием космических лучей в турбулентных магнитных полях. Получены аналитические решения уравнения переноса космических лучей и исследованы равновесные пространственно-энергетические распределения частиц высокой энергии в пределах области ускорения и вне нее. Розглянуто процес статистичного прискорення космічних променів у турбулентному середовищі. Припускається, що заряджені частинки отримують енергію у обмеженій області простору і залишають область прискорення внаслідок просторової дифузії, яка зумовлена розсіянням космічних променів у турбулентних магнітних полях. Одержано аналітичні розв’язки рівняння переносу космічних променів і досліджено рівноважні просторово-енергетичні розподіли частинок високої енергії у межах області прискорення і поза нею. The process of cosmic ray acceleration in the turbulent medium is studied. It is supposed that charged particles are obtaining the energy in a limited space region and are leaving the acceleration region as a result of spatial diffusion induced by cosmic ray scattering in turbulent magnetic fields. Analytical solutions of cosmic ray transport equation are obtained and equilibrium spatial-energetic distributions of high-energy particles in and outside the acceleration region are investigated. Милан Стеглик благодарит коллектив Главной астрономической обсерватории НАН Украины за сотрудничество и гостеприимство. Эта работа выполнена, в частности, при реализации проекта ITMS N 26220120029, основанного на «Research and Development Program», при поддержке «Research and Development Fund» и грантов Словацкой академии наук «VEGA N 2/0081/10 и 2/0173/09». ru Головна астрономічна обсерваторія НАН України Кинематика и физика небесных тел Космическая физика Статистическое ускорение и пространственная диффузия космических лучей в турбулентной среде Статистичне прискорення і просторова дифузія космічних променів у турбулентному середовищі Statistical acceleration and spatial diffusion of cosmic rays in the turbulent medium Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Статистическое ускорение и пространственная диффузия космических лучей в турбулентной среде |
| spellingShingle |
Статистическое ускорение и пространственная диффузия космических лучей в турбулентной среде Федоров, Ю.И. Шахов, Б.А. Стеглик, М. Космическая физика |
| title_short |
Статистическое ускорение и пространственная диффузия космических лучей в турбулентной среде |
| title_full |
Статистическое ускорение и пространственная диффузия космических лучей в турбулентной среде |
| title_fullStr |
Статистическое ускорение и пространственная диффузия космических лучей в турбулентной среде |
| title_full_unstemmed |
Статистическое ускорение и пространственная диффузия космических лучей в турбулентной среде |
| title_sort |
статистическое ускорение и пространственная диффузия космических лучей в турбулентной среде |
| author |
Федоров, Ю.И. Шахов, Б.А. Стеглик, М. |
| author_facet |
Федоров, Ю.И. Шахов, Б.А. Стеглик, М. |
| topic |
Космическая физика |
| topic_facet |
Космическая физика |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кинематика и физика небесных тел |
| publisher |
Головна астрономічна обсерваторія НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Статистичне прискорення і просторова дифузія космічних променів у турбулентному середовищі Statistical acceleration and spatial diffusion of cosmic rays in the turbulent medium |
| description |
Рассмотрен процесс статистического ускорения космических лучей в турбулентной среде. Предполагается, что заряженные частицы приобретают энергию в ограниченной области пространства и покидают область ускорения вследствие пространственной диффузии, обусловленной рассеянием космических лучей в турбулентных магнитных полях. Получены аналитические решения уравнения переноса космических лучей и исследованы равновесные пространственно-энергетические распределения частиц высокой энергии в пределах области ускорения и вне нее.
Розглянуто процес статистичного прискорення космічних променів у турбулентному середовищі. Припускається, що заряджені частинки отримують енергію у обмеженій області простору і залишають область прискорення внаслідок просторової дифузії, яка зумовлена розсіянням космічних променів у турбулентних магнітних полях. Одержано аналітичні розв’язки рівняння переносу космічних променів і досліджено рівноважні просторово-енергетичні розподіли частинок високої енергії у межах області прискорення і поза нею.
The process of cosmic ray acceleration in the turbulent medium is studied. It is supposed that charged particles are obtaining the energy in a limited space region and are leaving the acceleration region as a result of spatial diffusion induced by cosmic ray scattering in turbulent magnetic fields. Analytical solutions of cosmic ray transport equation are obtained and equilibrium spatial-energetic distributions of high-energy particles in and outside the acceleration region are investigated.
|
| issn |
0233-7665 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/77439 |
| citation_txt |
Статистическое ускорение и пространственная диффузия космических лучей в турбулентной среде / Ю.И. Федоров, Б.А. Шахов, М. Стеглик // Кинематика и физика небесных тел. — 2013. — Т. 29, № 1. — С. 3-25. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT fedorovûi statističeskoeuskorenieiprostranstvennaâdiffuziâkosmičeskihlučeivturbulentnoisrede AT šahovba statističeskoeuskorenieiprostranstvennaâdiffuziâkosmičeskihlučeivturbulentnoisrede AT steglikm statističeskoeuskorenieiprostranstvennaâdiffuziâkosmičeskihlučeivturbulentnoisrede AT fedorovûi statističnepriskorennâíprostorovadifuzíâkosmíčnihpromenívuturbulentnomuseredoviŝí AT šahovba statističnepriskorennâíprostorovadifuzíâkosmíčnihpromenívuturbulentnomuseredoviŝí AT steglikm statističnepriskorennâíprostorovadifuzíâkosmíčnihpromenívuturbulentnomuseredoviŝí AT fedorovûi statisticalaccelerationandspatialdiffusionofcosmicraysintheturbulentmedium AT šahovba statisticalaccelerationandspatialdiffusionofcosmicraysintheturbulentmedium AT steglikm statisticalaccelerationandspatialdiffusionofcosmicraysintheturbulentmedium |
| first_indexed |
2025-11-27T00:19:49Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:19:49Z |
| _version_ |
1850788085745319936 |
| fulltext |
ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÀß ÔÈÇÈÊÀ
ÓÄÊ 523.9-72
Þ. È. Ôåäîðîâ1, Á. À. Øàõîâ1, Ì. Ñòåãëèê2
1Ãëàâíàÿ àñòðîíîìè÷åñêàÿ îáñåðâàòîðèÿ Íàöèîíàëüíîé àêàäåìèè íàóê Óêðàèíû
óë. Àêàäåìèêà Çàáîëîòíîãî 27, Êèåâ, 03680
2Èíñòèòóò ýêñïåðèìåíòàëüíîé ôèçèêè Ñëîâàöêîé àêàäåìèè íàóê
óë. Âàòñîíîâà 47, Êîøèöå, 04001
Ñòàòèñòè÷åñêîå óñêîðåíèå è ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèôôóçèÿ
êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé â òóðáóëåíòíîé ñðåäå
Ðàññìîòðåí ïðîöåññ ñòàòèñòè÷åñêîãî óñêîðåíèÿ êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé
â òóðáóëåíòíîé ñðåäå. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çàðÿæåííûå ÷àñòèöû
ïðè îáðåòàþò ýíåðãèþ â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà è ïîêè -
äà þò îáëàñòü óñêîðåíèÿ âñëåäñòâèå ïðîñòðàíñòâåííîé äèôôóçèè,
îáó ñëîâëåííîé ðàññåÿíèåì êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé â òóðáóëåíòíûõ ìàã -
íèò íûõ ïîëÿõ. Ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà
êîñ ìè ÷åñêèõ ëó÷åé è èññëåäîâàíû ðàâíîâåñíûå ïðîñòðàíñò âåí íî-
ýíåð ãåòè÷åñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòèö âûñîêîé ýíåðãèè â ïðåäåëàõ îá -
ëàñ òè óñêîðåíèÿ è âíå íåå.
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÍÅ ÏÐÈÑÊÎÐÅÍÍß ² ÏÐÎÑÒÎÐÎÂÀ ÄÈÔÓÇ²ß ÊÎÑ -
Ì²× ÍÈÕ ÏÐÎÌÅÍ²Â Ó ÒÓÐÁÓËÅÍÒÍÎÌÓ ÑÅÐÅÄÎÂÈÙ², Ôåäî -
ðîâ Þ. ²., Øàõîâ Á. Î., Ñòåãë³ê Ì. — Ðîçãëÿíóòî ïðîöåñ ñòà òèñ òè÷-
íîãî ïðèñêîðåííÿ êîñì³÷íèõ ïðîìåí³â ó òóðáóëåíòíîìó ñå ðåäîâèù³.
Ïðèïóñêàºòüñÿ, ùî çàðÿäæåí³ ÷àñòèíêè îòðèìóþòü åíåð ã³þ ó îáìå -
æå í³é îáëàñò³ ïðîñòîðó ³ çàëèøàþòü îáëàñòü ïðè ñêî ðåí íÿ âíàñë³äîê
ïðîñòîðîâî¿ äèôó糿, ÿêà çóìîâëåíà ðîçñ³ÿííÿì êîñ ì³÷ íèõ ïðîìåí³â ó
òóðáóëåíòíèõ ìàãí³òíèõ ïîëÿõ. Îäåðæàíî àíà ë³ òè÷í³ ðîçâ’ÿçêè ð³â -
íÿí íÿ ïåðåíîñó êîñì³÷íèõ ïðîìåí³â ³ äî ñë³äæå íî ð³âíîâàæí³ ïðîñòî -
ðî âî-åíåðãåòè÷í³ ðîçïîä³ëè ÷àñòèíîê âèñîêî¿ åíåð㳿 ó ìåæàõ îáëàñò³
ïðèñêîðåííÿ ³ ïîçà íåþ.
STATISTICAL ACCELERATION AND SPATIAL DIFFUSION OF COS -
MIC RAYS IN THE TURBULENT MEDIUM, by Fedorov Yu. I., Shakhov
B. A., Stehlik M. — The pro cess of cos mic ray ac cel er a tion in the tur bu lent
me dium is stud ied. It is sup posed that charged par ti cles are ob tain ing the
en ergy in a lim ited space re gion and are leav ing the ac cel er a tion re gion as
3
ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ
È ÔÈÇÈÊÀ
ÍÅÁÅÑÍÛÕ
ÒÅË òîì 29 ¹ 1 2013
© Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ, Á. À. ØÀÕÎÂ, Ì. ÑÒÅÃËÈÊ, 2013
4
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ È ÄÐ.
a re sult of spa tial dif fu sion in duced by cos mic ray scat ter ing in tur bu lent
mag netic fields. An a lyt i cal so lu tions of cos mic ray trans port equa tion are
ob tained and equi lib rium spa tial-en er getic dis tri bu tions of high-en ergy
par ti cles in and out side the ac cel er a tion re gion are in ves ti gated.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ñòàòèñòè÷åñêîå óñêîðåíèå Ôåðìè èãðàåò ÷ðåçâû÷àéíî âàæíóþ ðîëü
âî ìíîãèõ àñòðîôèçè÷åñêèõ îáúåêòàõ, â êîòîðûõ ïðîèñõîäèò ãåíåðà -
öèÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö âûñîêîé ýíåðãèè [16]. Ýòîò ìåõàíèçì óñêîðå -
íèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ñèñòåìàòè÷åñêèì óâåëè÷åíèåì ýíåðãèè ÷àñòèö
ïðè èõ âçàèìîäåéñòâèè ñî ñëó÷àéíî äâèæóùèìèñÿ ðàññåèâà òåëÿìè [4,
5, 16]. Ñòàòèñòè÷åñêîå óñêîðåíèå òàêæå èìååò ìåñòî ïðè âçàèìî äåéñò -
âèè áûñòðûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ñ òóðáóëåíòíîé êîñìè÷åñêîé ïëàç -
ìîé [4, 5, 7, 27, 28]. Óñêîðåíèå Ôåðìè èìååò õàðàêòåð äèôôóçèè â èì -
ïóëüñ íîì ïðîñòðàíñòâå, à êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ÷àñòèö ïî èìïóëü -
ñàì îïðåäåëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè òóðáóëåíòíîé ñðåäû [4, 7, 11, 26,
28].
Êîñìè÷åñêèå ëó÷è (ÊË) èíòåíñèâíî ðàññåèâàþòñÿ íà ôëóêòóàöèÿõ
ìàãíèòíîãî ïîëÿ, è èõ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíîâèòñÿ áëèçêîé ê
èçî òðîïíîé. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü óðàâíåíèå ïåðå -
íîñà ÊË, îïèñûâàþùåå ïðîñòðàíñòâåííî-ýíåðãåòè÷åñêîå ðàñïðåäåëå -
íèå ÷àñòèö [5, 26, 27]. Êàê ñòàöèîíàðíûå, òàê è çàâèñÿùèå îò âðåìåíè
àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà ÊË, îïèñûâàþùåãî ïðî -
öåññ ñòàòèñòè÷åñêîãî óñêîðåíèÿ ÷àñòèö â ðàçëè÷íûõ àñòðîôèçè÷åñêèõ
ñèòóàöèÿõ, ïîëó÷åíû â ðàáîòàõ [2, 4, 9, 18, 19, 25, 26, 29].  íåêîòîðûõ
ðàáîòàõ ñòàòèñòè÷åñêîå óñêîðåíèå ÷àñòèö èññëåäóåòñÿ íà îñíîâàíèè
÷èñëåííûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà ÊË [20—22, 30, 31].
Ñòàòèñòè÷åñêîå óñêîðåíèå Ôåðìè øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ïðè îïè -
ñà íèè ãåíåðàöèè ñîëíå÷íûõ êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé [11, 14, 17, 20, 21, 26,
29], èññëåäîâàíèè âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö âûñîêîé ýíåðãèè ñ ïëàçìåí -
íîé òóðáóëåíòíîñòüþ â ìàãíèòîñôåðàõ ÷åðíûõ äûð [9, 10], îñòàòêàõ
ñâåðõíîâûõ [12] è äðóãèõ àñòðîôèçè÷åñêèõ îáúåêòàõ [2, 8, 18].
Öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå ïðîñòðàíñò âåí -
íî-ýíåð ãåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÊË ïðè íàëè÷èè ñòîõàñòè÷åñêîãî
óñ êîðåíèÿ ÷àñòèö â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà è èõ äèôôó -
çè îí íîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ âíå è âíóòðè ýòîé îáëàñòè. Â ðàáîòå ïðè âå -
äå íî óðàâíåíèå ïåðåíîñà ÊË, îïèñûâàþùåå ñòàòèñòè÷åñêîå óñêîðå -
íèå è äèôôóçèîííûé ïåðåíîñ ÷àñòèö ïðè èõ âçàèìîäåéñòâèè ñ ïëàç -
ìåí íîé òóðáóëåíòíîñòüþ, è îáñóæäàþòñÿ óñëîâèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ
ýôôåêòèâíîãî óñêîðåíèÿ ÷àñòèö. Ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà ÊË ïðè ðàçëè÷íûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñè òåëü -
íî ýíåðãåòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà ïðîñòðàíñòâåííîé
äèô ôó çèè ÷àñòèö. Àíàëèçèðóþòñÿ ðàâíîâåñíûå ýíåðãåòè÷åñêèå ðàñ -
ïðå äåëåíèÿ óñêîðåííûõ ÷àñòèö êàê â îáëàñòè óñêîðåíèÿ ÊË, òàê è çà åå
ïðåäåëàìè.
ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÏÅÐÅÍÎÑÀ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ
Çàïèøåì óðàâíåíèå ïåðåíîñà ÊË, êîòîðîå îïèñûâàåò ñòàòèñòè÷åñêîå
óñ êîðåíèå è ïðîñòðàíñòâåííóþ äèôôóçèþ áûñòðûõ ÷àñòèö â òóðáó -
ëåíò íîé ñðåäå [5, 13, 27]:
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
=
-N
t p p
p D
N
p r r
r
N
r
q
p p
p
p
1 1
2
2
2
2 0
2
k
d( )
, (1)
ãäå N(r, p, t) — êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö ñ äàííûì çíà÷åíèåì èìïóëüñà,
k — êîýôôèöèåíò ïðîñòðàíñòâåííîé äèôôóçèè ÊË. Ïðàâàÿ ÷àñòü
óðàâ íåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ïîñòîÿííîìó èñòî÷íèêó ÷àñòèö, ïðè÷åì â
åäè íèöó âðåìåíè â åäèíèöå îáúåìà èíæåêòèðóåòñÿ q ÷àñòèö ñ èì ïóëü -
ñîì p0. Âòîðîå ñëàãàåìîå óðàâíåíèÿ (1) îïèñûâàåò ïðîöåññ ñòà òèñ -
òè÷åñêîãî óñêîðåíèÿ ÊË, èìåþùåãî õàðàêòåð äèôôóçèè ÷àñòèö â èì -
ïóëüñ íîì ïðîñòðàíñòâå. Âåëè÷èíà Dp, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñî áîé êî -
ýô ôèöèåíò äèôôóçèè ÊË â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, â ñëó÷àå óñêî -
ðå íèÿ Ôåðìè èìååò âèä [4, 5, 13]
D p up = < >2
1
2 9/( )k , (2)
ãäå <u1
2> — ñðåäíèé êâàäðàò ñëó÷àéíîé ñîñòàâëÿþùåé ãèäðî äèíà ìè -
÷åñêîé ñêîðîñòè ñðåäû. Òðåòüå ñëàãàåìîå óðàâíåíèÿ (1) îïèñûâàåò
ïðî ñòðàíñòâåííóþ äèôôóçèþ ÷àñòèö â ñôåðè÷åñêè-ñèììåòðè÷íîì
ñëó ÷àå, êîãäà êîíöåíòðàöèÿ ÊË çàâèñèò îò åäèícòâåííîé ïðîñòðàíñò -
âåí íîé ïåðåìåííîé r.
Äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññà ñòàòèñòè÷åñêîãî óñêîðåíèÿ ÊË â ðàçëè÷ -
íûõ àñòðîôèçè÷åñêèõ ñèòóàöèÿõ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùåå ïðè -
áëè æåííîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà [9, 20, 21, 25, 27]:
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
+ =
-N
t p p
p D
N
p
N
t
q
p p
p
p
e
1
2
2 0
2
d( )
. (3)
Òðåòüå ñëàãàåìîå â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (3) îïèñûâàåò ïîòåðè
÷àñ òèö, îáóñëîâëåííûå, íàïðèìåð, èõ âûõîäîì èç îáëàñòè óñêîðåíèÿ,
à âåëè÷èíà te ïðåäñòàâëÿåò õàðàêòåðíîå âðåìÿ «óáåãàíèÿ» ÷àñòèö.
Óðàâíåíèå ïåðåíîñà (3) ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîìó
ñëó÷àþ.  ýòîì ïðèáëèæåíèè êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö íå çàâèñèò îò êî -
îð äèíàò. Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå ïåðåíîñà (3) áûëî èñïîëüçîâàíî â
ìíî ãî÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèÿõ ñòîõàñòè÷åñêîãî óñêîðåíèÿ ÷àñòèö â
ðàç ëè÷íûõ àñòðîôèçè÷åñêèõ îáúåêòàõ [2, 6, 8, 9, 18, 21, 25, 26, 29].
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûõîä ÷àñòèö èç îáëàñòè óñêîðåíèÿ îáóñ ëîâ -
ëåí äèôôóçèåé ÷àñòèö.  ýòîì ñëó÷àå âðåìÿ «óáåãàíèÿ» ÊË ðàâíî [26,
29]
t re = 0
2 / k , (4)
ãäå âåëè÷èíà r0 îïðåäåëÿåò ðàçìåð îáëàñòè óñêîðåíèÿ ÷àñòèö. Õà ðàê -
òåð íîå âðåìÿ óñêîðåíèÿ ÷àñòèö ta îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì âûðàæå -
íè åì [4, 5]:
t p Da p= 2 / . (5)
Ïîäñòàâèâ â ôîðìóëó (5) âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè
ÊË ïî èìïóëüñàì Dp (2), ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå
5
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÑÊÎÐÅÍÈÅ È ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÀß ÄÈÔÔÓÇÈß
t ua = < >9 1
2k / , (6)
ñîãëàñíî êîòîðîìó ýôôåêòèâíîñòü óñêîðåíèÿ Ôåðìè îïðåäåëÿåòñÿ
ñëó ÷àéíîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè òóðáóëåíòíîé ñðåäû è êîýôôèöè -
åí òîì ïðîñòðàíñòâåííîé äèôôóçèè ÷àñòèö.
Ïðè äëèòåëüíîé èíæåêöèè ÷àñòèö â ñèñòåìå óñòàíàâëèâàåòñÿ ðàâ -
íî âåñíûé ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ÊË, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ õàðàêòåð -
íû ìè âðåìåíàìè óñêîðåíèÿ ÷àñòèö (5) è äèôôóçèîííîãî ïåðåíîñà ÊË
(4). Áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ îòíîøåíèþ âðåìåíè ïåðåíîñà ÷àñ -
òèö te êî âðåìåíè óñêîðåíèÿ ÊË ta
t
k
e
e
a
t
t
r u
= =
æ
è
ç
ö
ø
÷
0 1
2
3
, (7)
ãäå u1 = < >u1
2 , îïðåäåëÿåò ôîðìó ýíåðãåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
÷àñ òèö. ×åì áîëüøå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà t e , òåì áîëåå æåñòêèì îêà çû -
âà åòñÿ ñïåêòð óñêîðåííûõ ÷àñòèö [6, 14, 20, 21]. Ó÷èòûâàÿ âûðàæåíèå
k = vL / 3 äëÿ êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè ÊË (L — òðàíñïîðòíûé ïðîáåã
÷àñòèöû), ïåðåïèøåì ôîðìóëó (7) â ñëåäóþùåì âèäå:
t e
r u
v
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
0 1
2
L
. (8)
Îöåíèì âåëè÷èíó t e (8) äëÿ âñïûøå÷íîé êîðîíàëüíîé ïåòëè, õà -
ðàê òåðíûé ðàçìåð êîòîðîé ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó ïîðÿäêà 109 ñì [17,
20, 21]. Äëÿ çíà÷åíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ â àêòèâíîé îáëàñòè ñîëíå÷íîé
êîðîíû 10 ìÒë [17, 23] ëàðìîðîâ ðàäèóñ ïðîòîíà R ñ êèíåòè÷åñêîé
ýíåðãèåé 1 ÃýÂ ðàâåí 6×104 ñì. Â ìåæïëàíåòíîé ñðåäå è â ïëàçìå ñîë -
íå÷ íîé êîðîíû, ïî-âèäèìîìó, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî L >> R [5, 27].
Îäíàêî äàæå åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî òðàíñïîðòíûé ïðîáåã ïðîòîíà
ïðåâûøàåò åãî ëàðìîðîâ ðàäèóñ íà 2-3 ïîðÿäêà, òî è â ýòîì ñëó÷àå
îòíîøåíèå r0 /L îêàçûâàåòñÿ î÷åíü áîëüøèì (r0 / L » 100...1000). Âåëè -
÷è íà ñëó÷àéíîé ñêîðîñòè ñðåäû îáû÷íî ñîîòâåòñòâóåò àëüâåíîâñêîé
ñêîðîñòè uA [20, 21]. Äëÿ êîðîíàëüíîé ïåòëè uA » 0.01—0.001 c [17, 22,
23]. Òàêèì îáðàçîì, â îáëàñòè óñêîðåíèÿ ÷àñòèö âî âðåìÿ ñîëíå÷íîé
âñïûøêè çíà÷åíèå t e (8) äëÿ ïðîòîíîâ ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé 1 ÃýÂ
ìîæåò îêàçàòüñÿ êàê áîëüøå, òàê è ìåíüøå åäèíèöû. Ïî-âèäèìîìó,
îöåí êà t e » 1 äëÿ ñîëíå÷íîé âñïûøêè âûãëÿäèò âïîëíå ïðàâäîïî äîá -
íî. Îäíàêî ðàñ÷åòû ýíåðãåòè÷åñêèõ ñïåêòðîâ ñîëíå÷íûõ êîñìè÷åñêèõ
ëó÷åé è èõ ñðàâíåíèå ñ äàííûìè ìèðîâîé ñåòè íåéòðîííûõ ìîíèòîðîâ
ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ ðÿäà ñîëíå÷íûõ ïðîòîííûõ ñîáûòèé ïàðàìåòð t e
ïðè íèìàåò çíà÷åíèÿ â äèàïàçîíå 0.1—0.01 [14, 15, 20, 21]. Ýòîò
ýôôåêò ìîæåò áûòü îáóñëîâëåí, íàïðèìåð, òåì îáñòîÿòåëüñòâîì, ÷òî
ýôôåêòèâíîå óñêîðåíèå ÷àñòèö ïðîèñõîäèò òîëüêî â íåáîëüøîé ÷àñòè
êîðîíàëüíîé ïåòëè. Êðîìå òîãî, âíåøíÿÿ ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè óñ -
êî ðåíèÿ ñðåäà ìîæåò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ áîëüøîé âåëè÷èíîé òðàíñ -
ïîðò íîãî ïðîáåãà ÊË, ÷òî ïðèâîäèò ê áîëåå áûñòðîìó «óáåãàíèþ»
÷àñ òèö, à óñêîðåíèå ÊË ìîæåò îêàçàòüñÿ ìåíåå ýôôåêòèâíûì, åñëè
çíà ÷åíèå êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè ÊË ïî èìïóëüñàì (Dp) áóäåò ìåíü -
øå, ÷åì îïèñûâàåìîå ïðèáëèæåííûì âûðàæåíèåì (2).
6
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ È ÄÐ.
ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎ ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÅ ÝÍÅÐÃÅÒÈ×ÅÑÊÈÅ
ÐÀÑ ÏÐÅÄÅ ËÅ ÍÈß ×ÀÑÒÈÖ Ñ ÏÎÑÒÎßÍÍÛÌ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÎÌ
ÄÈÔÔÓÇÈÈ
Ðàññìîòðèì óñêîðåíèå ÷àñòèö, êîýôôèöèåíò ïðîñòðàíñòâåííîé äèô -
ôó çèè êîòîðûõ íå çàâèñèò îò èõ ýíåðãèè. Èçâåñòíî, ÷òî â ïðîñòðàíñò -
âåí íî îäíîðîäíîì ñëó÷àå (êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèå ïåðåíî -
ñà ÊË (3)) ðàâíîâåñíûå ñïåêòðû ÊË îïèñûâàþòñÿ ñòåïåííûìè ôóíê -
öèÿ ìè èìïóëüñà ÷àñòèöû [21, 26]. Ïåðåéäåì ê áåçðàçìåðíûì ïåðåìåí -
íûì
r = r r/ 0 , (9)
h = p p/ 0 , (10)
t = t ta/ , (11)
ãäå r0 — õàðàêòåðíûé ðàçìåð îáëàñòè óñêîðåíèÿ, p0 — èìïóëüñ èíæåê -
òè ðóåìûõ ÷àñòèö, ta — õàðàêòåðíîå âðåìÿ óñêîðåíèÿ ÊË (6). Çàìåòèì,
÷òî ïðè ïîñòîÿííîì êîýôôèöèåíòå äèôôóçèè ÊË õàðàêòåðíîå âðåìÿ
óñêîðåíèÿ ta (6) íå çàâèñèò îò ýíåðãèè ÷àñòèö.  áåçðàçìåðíûõ ïåðå -
ìåí íûõ (9)—(11) óðàâíåíèå ïåðåíîñà ÊË (3) ïðèíèìàåò âèä
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
+ = -
N N N qt
pe
a
t h h
h
h t
d h
1
1
2
4
0
3
( ). (12)
Ïðèâåäåì ðåøåíèå ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà. Â äàííîì
ñëó ÷àå ñòàöèîíàðíîå ýíåðãåòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòèö îáóñëîâ -
ëå íî íàëè÷èåì ïîòåðü ÷àñòèö, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóåò òðåòüå ñëàãàå -
ìîå óðàâíåíèÿ (12). Ðàâíîâåñíûé ñïåêòð ÊË áóäåò èìåòü ìåñòî â ñëó -
÷àå, êîãäà êîëè÷åñòâî ÷àñòèö, èíæåêòèðîâàííûõ â åäèíèöó âðåìåíè â
åäè íèöå îáúåìà (ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (12)), ðàâíî ÷èñëó ÷àñòèö,
ïî êèäàþùèõ äàííûé îáúåì ïðîñòðàíñòâà âñëåäñòâèå ïîòåðü. Êîí -
öåíò ðàöèÿ ÊË N ( )h çàâèñèò òîëüêî îò ïåðåìåííîé h è ÿâëÿåòñÿ íåïðå -
ðûâ íîé ôóíêöèåé èìïóëüñà ÷àñòèöû.  òî÷êå h = 1 (çíà÷åíèå áåçðàç -
ìåð íîãî èìïóëüñà, ðàâíîå åäèíèöå, ñîîòâåòñòâóåò èìïóëüñó èíæåêòè -
ðî âàí íûõ ÷àñòèö p0) èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
¶ +
¶
-
¶ -
¶
= -
N N qt
p
a( ) ( )1 0 1 0
0
3h h
. (13)
Ñêà÷îê ïðîèçâîäíîé êîíöåíòðàöèè ÊË ïî èìïóëüñó â òî÷êå èí -
æåê öèè îáóñëîâëåí íàëè÷èåì èñòî÷íèêà ÷àñòèö â óðàâíåíèè ïåðåíîñà
ÊË (12). Ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà (12), óäîâëåòâî -
ðÿ þùåå óñëîâèþ (13), èìååò ñëåäóþùèé âèä:
N
qt
p
a
e
e( )h
t
h
t
=
+
- ± +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
0
3
3
2
1 1
4
91
2
9
4
1
. (14)
Çíàê ìèíóñ â ïîêàçàòåëå ñòåïåíè âûðàæåíèÿ (14) ñîîòâåòñòâóåò ÷àñ -
òèöàì íèçêèõ ýíåðãèé, èìïóëüñ êîòîðûõ ìåíüøå èìïóëüñà èíæåê öèè
(h < 1), à çíàê ïëþñ — ÷àñòèöàì âûñîêèõ ýíåðãèé (h > 1).
7
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÑÊÎÐÅÍÈÅ È ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÀß ÄÈÔÔÓÇÈß
Òàêèì îáðà çîì, ïðèõîäèì ê èçâåñòíîìó ðåçóëüòàòó î òîì, ÷òî ïðè
ïî ñòîÿííîì êî ýô ôè öèåíòå äèôôóçèè ÊË ñòàöèîíàðíûé æåñòêîñòíîé
ñïåêòð óñêî ðåí íûõ ÷àñòèö èìååò ñòåïåííîé âèä [21, 26].
Ïåðåéäåì ê ðåøåíèþ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà ÊË
(12). Âûïîëíèì ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà êîíöåíòðàöèè ÊË N ( , )h t :
N d N( , ) ( , )exp( )h w t h t wt= -
¥
ò
0
. (15)
Äëÿ îáðàçà Ëàïëàñà êîíöåíòðàöèè ÊË (15) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå
óðàâ íåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèþ ïåðåíîñà ÊË (12):
w
t
h w
h h
h
h w
h w
d h+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ -
¶
¶
¶
¶
= -
1 1
1
2
4
0
3
e
aN
N qt
p
( , )
( , )
( ). (16)
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (16), óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ
(13), èìååò âèä
N
qt
p
a
e
e( , )h w
w
w
t
h
w
t=
+ +
- ± + +
2
1
1 9
4
0
3
3
2
1 9
4 , (17)
ïðè÷åì çíàê ïëþñ â ïîêàçàòåëå ñòåïåíè ôîðìóëû (17) ñîîòâåòñòâóåò
÷àñ òèöàì íèçêèõ ýíåðãèé (h < 1), à çíàê ìèíóñ — ÷àñòèöàì, èìïóëüñ
êî òîðûõ ïðåâûøàåò èìïóëüñ èíæåêöèè (h > 1). Èñïîëüçóÿ òàáëèöû
ïðå îáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà è òåîðåìó î ñâåðòêå [1], ïîëó÷èì ñëåäóþùåå
ñîîòíîøåíèå äëÿ êîíöåíòðàöèè ÊË:
N
qt
p
dx
x
xa
e
( , ) exp
ln/
h t
h
p
h
t
t
= - - +
æ
è
çç
ö- ¥
ò
0
3
3 2
2
1
2
2
4
1 9
4 ø
÷÷
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
1
2x
. (18)
Âîñïîëüçîâàâøèñü èçâåñòíûì çíà÷åíèåì èíòåãðàëà [3]
dx a x
b
x
x
0
2 2
2
2ò - -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ =exp
p
4
2
a
ab ax
b
x
exp( )erf +
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
ì
í
î
+ - -
æ
è
ç
ö
ø
÷ - + -
ü
ý
þ
exp( ) exp( ) exp( )2 2 2ab ax
b
x
ab aberf , (19)
ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:
dx
x
x
xx
2
2
2
¥
ò - -
æ
è
ç
ö
ø
÷ =exp a
b
p
b
ab a
b
4
2exp( )- -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
ì
í
ï
îï
erfc x
x
- +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
ü
ý
ï
þï
exp( )2 ab a
b
erfc x
x
, (20)
ãäå erf(x) è erfc(x) — èíòåãðàë âåðîÿòíîñòåé è äîïîëíèòåëüíûé èíòå -
ãðàë âåðîÿòíîñòåé ñîîòâåòñòâåííî. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ôîðìóëó
(20), çàïèøåì ñîîòíîøåíèå äëÿ êîíöåíòðàöèè ÊË (18) â ñëåäóþùåì
âèäå:
8
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ È ÄÐ.
N ( , )h t =
qt
p
a
e
4 1 9
4
0
3
3 2h
t
-
+
/
exp | ln |
| ln |
- +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ - +
æ
è
çç
ö
ø
÷÷h
t
h
t
t
t
1 9
4 2
1 9
4e e
erfc
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
ì
í
ï
îï
- +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ + +
æ
è
çç
ö
ø
÷÷exp | ln |
| ln |
h
t
h
t
t
t
1 9
4 2
1 9
4e e
erfc
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
ü
ý
ï
þï
. (21)
Íåñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà (12) îïèñûâàåò ýâîëþöèþ
ôóíê öèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòèö â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå ïðè íàëè -
÷èè ïîñòîÿííîãî ìîíîýíåðãåòè÷åñêîãî èñòî÷íèêà. Ðàñïðåäåëåíèå ÊË
ïî èìïóëüñàì ñî âðåìåíåì ïðèáëèæàåòñÿ ê ðàâíîâåñíîìó ðàñïðå äåëå -
íèþ, êîòîðîå îïèñûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ ïåðå -
íîñà. Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè âðåìÿ, ïðîøåäøåå
ïîñ ëå íà÷àëà èíæåêöèè ÷àñòèö, çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò õàðàêòåðíîå
âðå ìÿ óñêîðåíèÿ (6) (t >> 1, t >> r), âûðàæåíèå äëÿ êîíöåíòðàöèè ÊË
(21) ïåðåõîäèò â ñîîòíîøåíèå (14), îïèñûâàþùåå ðàâíîâåñíîå ýíåðãå -
òè ÷åñ êîå ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòèö.
Íà ðèñ. 1 ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü áåçðàçìåðíîé âåëè÷èíû
Np qta0
3 / ( ) (êîòîðàÿ ïðîïîðöèîíàëüíà êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö (21)) îò
èì ïóëüñà h = p/ p0 â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè. ×èñëà ó êðèâûõ
ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿì áåçðàçìåðíîãî âðåìåíè (11), à ïàðàìåòð t e
ðàâåí åäèíèöå. Øòðèõîâàÿ êðèâàÿ íà ðèñ. 1 èëëþñòðèðóåò ðàâíî âåñ -
íîå ýíåðãåòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòèö (14). Âèäíî, ÷òî ñî âðåìå -
íåì íà÷àëüíîå ìîíîýíåðãåòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ðàñøèðÿåòñÿ, ïî -
ñòå ïåí íî çàïîëíÿÿ âñå èìïóëüñíîå ïðîñòðàíñòâî, è ïðèáëèæàåòñÿ ê
ðåøåíèþ ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà (øòðèõîâàÿ êðèâàÿ íà
ðèñ. 1).
ÝÍÅÐÃÅÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÏÅÊÒÐÛ ×ÀÑÒÈÖ
Ñ ÏÎÑÒÎßÍÍÛÌ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÎÌ ÄÈÔÔÓÇÈÈ
È ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÉ ÎÁËÀÑÒÜÞ ÓÑÊÎÐÅÍÈß
Ðàññìîòðèì ñòàöèîíàðíîå ïðîñòðàíñòâåííî-ýíåðãåòè÷åñêîå ðàñ ïðå -
äå ëåíèå ÷àñòèö, êîýôôèöèåíò äèôôóçèè êîòîðûõ íå çàâèñèò îò èõ
ýíåð ãèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óñêîðåíèå ÷àñòèö ïðîèñõîäèò â îãðà íè -
9
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÑÊÎÐÅÍÈÅ È ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÀß ÄÈÔÔÓÇÈß
Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòü êîíöåíòðàöèè êîñìè -
÷åñ êèõ ëó÷åé îò áåçðàçìåðíîãî èìïóëüñà
÷àñ òèöû â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè t
(÷èñëà ó êðèâûõ)
÷åí íîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà (r < r0), â êàæäîé òî÷êå êîòîðîé ïðî èñ -
õî äèò èíæåêöèÿ ÷àñòèö ñ èìïóëüñîì p0.
Òàêèì îáðàçîì, â ïðî ñòðàíñò âåííîé îáëàñòè r < 1 óðàâíåíèå ïåðå -
íî ñà ÊË èìååò âèä (1). Çàïèøåì ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà ÊË
â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ (9), (10)
1 1
1
2
4
2
2
0
3h h
h
h t r r
r
r
d h
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
= - -
N N qt
pe
a ( ). (22)
Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (22) ñïðàâåäëèâî â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè
ïðîñòðàíñòâà (r < r0), â êîòîðîé ïðîèñõîäèò âçàèìîäåéñòâèå ÊË ñ ïëàç -
ìåí íîé òóðáóëåíòíîñòüþ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âî âíåøíåé îáëàñòè
ïðîñò ðàíñòâà (r > r0) óñêîðåíèå ÊË íå ïðîèñõîäèò, à èìååò ìåñòî òîëü -
êî ðàññåÿíèå çàðÿæåííûõ ÷àñòèö íà íåîäíîðîäíîñòÿõ ìàãíèòíîãî ïî -
ëÿ áåç èçìåíåíèÿ ýíåðãèè ÷àñòèö. Îòìåòèì, ÷òî èíæåêöèÿ ÷àñòèö èìå -
åò ìåñòî òîëüêî â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà (r < r0). Ñî
âðåìåíåì ÷àñòèöû áóäóò çàïîëíÿòü âñå áîëüøèé îáúåì ïðîñòðàíñòâà,
à èõ ïðîñòðàíñòâåííî-ýíåðãåòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå áóäåò ïîñòå ïåí -
íî ïðèáëèæàòüñÿ ê ðàâíîâåñíîìó ðàñïðåäåëåíèþ, êîòîðîå îïèñûâà åò -
ñÿ ñòàöèîíàðíûìè óðàâíåíèÿìè ïåðåíîñà ÊË. Â äàííîì ðàçäåëå ïîëà -
ãà åì, ÷òî ïåðåíîñ ÊË âî âíåøíåé ñðåäå õàðàêòåðèçóåòñÿ òàêèì æå êî -
ýô ôèöèåíòîì äèôôóçèè k, ÷òî è â îáëàñòè óñêîðåíèÿ ÷àñòèö. Îòìå -
òèì, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì ñôåðè÷åñêè-ñèììåòðè÷íîå ïðî ñòðà íñò -
âåí íîå ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòèö.  ýòîì ñëó÷àå êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö âî
âíåø íåé ñðåäå óäîâëåòâîðÿåò ñòàöèîíàðíîìó, îäíîðîäíîìó óðàâíå -
íèþ äèôôóçèè è èçìåíÿåòñÿ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ðàäèóñó r
( ( )N r µ 1/r).
Âûïîëíèâ ïðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà
N s d N s( , ) ( , )r h r h h=
¥
-
ò
0
1
óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà (22), ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äëÿ îáðàçà
Ìåë ëèíà êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö:
1
3
2
2
0
3t r r
r
r
r
r
e
aN s
s s N s
qt
p
¶
¶
¶
¶
+ - = -
( , )
( ) ( , ) . (24)
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå ñïðàâåäëèâî â ïðîñòðàíñò âåí -
íîé îáëàñòè r < 1, èìååò âèä
N s C s
s s qt
p s s
e a( , ) ( )
sin ( )
( )
r
r t
r
=
-
-
-
3
30
3
, (25)
ãäå âåëè÷èíà C(s) íå çàâèñèò îò êîîðäèíàò.
Âî âíåøíåé îáëàñòè (r > 1) îáðàç Ìåëëèíà êîíöåíòðàöèè ÊË îï -
ðå äåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
N s A s( , ) ( ) /r r= . (26)
Òàê êàê ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè ÊË â îáëàñòè
óñêîðåíèÿ è âî âíåøíåé ñðåäå ñîâïàäàþò, òî èç íåïðåðûâíîñòè äèô -
ôó çèîííîãî ïîòîêà ÷àñòèö íà ñôåðå ðàäèóñà r0 ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü
10
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ È ÄÐ.
ðàäèàëüíîãî ãðàäèåíòà êîíöåíòðàöèè ÊË. Çàïèñàâ óñëîâèå íåïðåðûâ -
íîñòè êîíöåíòðàöèè ÊË (25), (26) è ïðîèçâîäíûõ âåëè÷èíû N s( , )r
(25), (26) ïî êîîðäèíàòå r â òî÷êå r = 1, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé
äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííûõ C(s) è A(s).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñëåäó -
þùåå âûðàæåíèå äëÿ îáðàçà Ìåëëèíà êîíöåíòðàöèè ÊË â îáëàñòè
óñêîðåíèÿ ÷àñòèö (r < 1):
N s
qt
p s s
s
s s
a( , )
( )
sin ( )
( )cos ( )
r
rV
rV V
=
-
-
ì
í
î
ü
ý
þ0
3 3
1 , (27)
ãäå
V t( ) ( )s s se= - 3 . (28)
Âûðàæåíèå (27) ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé ôóíêöèåé ïåðåìåííîé z, ò. å. â åå
ðàçëîæåíèè â ðÿä Òýéëîðà ïî z èìåþòñÿ òîëü êî ÷åòíûå ñòåïåíè ïåðå -
ìåííîé z. Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå (27) ÿâ ëÿåòñÿ ôóíêöèåé âåëè -
÷èíû z2, à îáðàç Ìåëëèíà êîíöåíòðàöèè ÊË N s( , )r (27) îêàçûâàåòñÿ
ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé ïåðåìåííîé s. Ôóíêöèÿ (27) êîìïëåêñíîé
ïåðåìåííîé s íå èìååò òî÷åê âåòâëåíèÿ, åå îñîáûìè òî÷êàìè ÿâëÿþòñÿ
ïðîñòûå ïîëþñà, êîòîðûå îïðåäåëåíû ôîðìóëîé
s
n
n
e
= ± +
+é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
3
2
1 1
2 1
9
2 2p
t
( )
. (29)
×òîáû ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ êîíöåíòðàöèè ÊË, íåîáõîäèìî
âû ïîëíèòü îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà:
N
i
dsN s
L
s( , ) ( , )r h
p
r h= ò
-1
2
. (30)
Èíòåãðèðîâàíèå â ôîðìóëå (30) ïðîèçâîäèòñÿ ïî ïðÿìîé, ïàðàë -
ëåëü íîé ìíèìîé îñè, êîòîðàÿ ðàñïîëîæåíà â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè
êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé s ëåâåå âñåõ îñîáûõ òî÷åê ôóíêöèè N s( , )r
(27). Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà ôóíêöèè (27) âûïîëíèì, èñ -
ïîëü çóÿ òåîðåìó Êîøè è òåîðèþ âû÷åòîâ. Ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà
(30) äëÿ ÷àñòèö âûñîêèõ ýíåðãèé (h > 1) çàìûêàåì êîíòóð èíòåãðè ðî -
âàíèÿ äóãîé áåñêîíå÷íîãî ðàäèóñà, ðàñïîëîæåííîé â ïðàâîé ïîëó -
ïëîñ êîñòè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé s. Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó ëåììû
Æîðäàíà èíòåãðàë ïî ýòîé äóãå áóäåò ñòàíîâèòüñÿ ïðåíåáðåæèìî ìà -
ëûì ïðè ñòðåìëåíèè ðàäèóñà äóãè ê áåñêîíå÷íîñòè. Ïîýòîìó âû÷å òû
íåîáõîäèìî âû÷èñëÿòü òîëüêî â ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ sn, êîòî -
ðûì ñîîòâåòñòâóåò çíàê ïëþñ â ôîðìóëå (29). Íàïðîòèâ, åñëè h < 1,
çàìûêàåì êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ äóãîé, ðàñïîëîæåííîé â ëåâîé ïî -
ëó ï ëîñ êîñ òè ïåðåìåííîé s. Ïîýòîìó ïðè âû÷èñëåíèè âû÷åòîâ èñïîëü -
çóåì îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ sn, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóåò çíàê ìèíóñ â
ñîîòíîøåíèè (29).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ
êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö:
N
qt
p
n
n
a n
n
( , ) ( )
sin[ ( ) ] /
( )
r h
p r
p r
= -
+
+=
¥
å
8
3
1
2 1 2
2 1
2
0
3
0
2 1 2 1 92 2+ +
-
p t
h
( ) / ( )n e
sn , (31)
ãäå ïîêàçàòåëü ñòåïåíè sn îïðåäåëåí ñîîòíîøåíèåì (29). Ïðè÷åì äëÿ
11
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÑÊÎÐÅÍÈÅ È ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÀß ÄÈÔÔÓÇÈß
÷àñòèö, èìïóëüñ p êîòîðûõ ïðåâûøàåò èìïóëüñ èíæåêöèè p0 (h > 1),
íåîáõîäèìî âûáðàòü çíàê ïëþñ â ôîðìóëå (29), à äëÿ ÷àñòèö íèçêîé
ýíåðãèè (h < 1) — çíàê ìèíóñ â ñîîòíîøåíèè (29). Ïîëó÷åííûå ñîîò íî -
øåíèÿ (29), (31) îïèñûâàþò ïðîñòðàíñòâåííî-ýíåðãåòè÷åñêîå ðàñ ïðå -
äå ëåíèå ÊË â ïðåäåëàõ îáëàñòè óñêîðåíèÿ ÷àñòèö (r < 1). Ôîðìà
ñïåêòðà ÊË âî âíåøíåé îáëàñòè (r > 1) îïðåäåëÿåòñÿ ñïåêòðîì ÷àñòèö
íà ãðàíèöå îáëàñòè óñêîðåíèÿ, ò. å. â òî÷êå r = 1. Êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö
âî âíåøíåé ñðåäå (r > r0) èçìåíÿåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå îáðàòíî ïðîïîð -
öèî íàëüíî ðàäèóñó r è îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì N ( , )r h = N ( , )1 h /r.
Åñëè èìïóëüñ óñêîðåííûõ ÷àñòèö çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò èìïóëüñ
èí æåêöèè (h >> 1), èç ñîîòíîøåíèÿ (31) ñëåäóåò ñòåïåííàÿ çàâè ñè -
ìîñòü êîíöåíòðàöèè ÊË îò èìïóëüñà ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè s0:
N s( , )r h hµ - 0 ,
s
e
0
23
2
1 1
9
= + +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
p
t
. (32)
Îòìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà s0 (32) îòëè÷àåòñÿ îò ïîêàçàòåëÿ ñïåêòðà â
ôîð ìóëå äëÿ êîíöåíòðàöèè óñêîðåííûõ ÷àñòèö (14), ñîîò âåòñò âó þ -
ùåé ïðèáëèæåíèþ ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñ -
òèö. Îòëè÷èå ñîñòîèò òîëüêî â ïîäêîðåííîì âûðàæåíèè è ìîæåò áûòü
óñòðàíåíî ñîîòâåòñòâóþùåé ïåðåíîðìèðîâêîé áåçðàçìåðíîãî ïà ðà -
ìåò ðà t e .
Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö îò èì -
ïóëüñà â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà. Ïàðàìåòð t e ðàâåí åäèíèöå,
à ÷èñëà ó êðèâûõ ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿì áåçðàçìåðíîé êîîðäèíàòû
r. Ïðèâåäåíû ñïåêòðû ÊË â öåíòðå ñèñòåìû, íà ãðàíèöå îáëàñòè óñêî -
ðå íèÿ è íà ðàññòîÿíèè r0 îò ýòîé ãðàíèöû (êðèâûå, îáîçíà÷åííûå 0, 1 è
2 ñîîòâåòñòâåííî). Âèäíî, ÷òî ñïåêòðû ÊË îêàçûâàþòñÿ ñòåïåííûìè
çà èñêëþ÷åíèåì îáëàñòè âáëèçè çíà÷åíèé h, áëèçêèõ ê åäèíèöå. Äðó -
ãè ìè ñëîâàìè, ñïåêòð ÊË îòëè÷àåòñÿ îò ñòåïåííîãî òîëüêî äëÿ ÷àñòèö,
èìïóëüñû êîòîðûõ áëèçêè ê âåëè÷èíå èìïóëüñà èíæåêöèè p0. Äëÿ ÷àñ -
òèö, ýíåðãèÿ êîòîðûõ ñóùåñòâåííî îòëè÷íà îò ýíåðãèè èíæåê òèðî âàí -
íûõ ÷àñòèö, ñïåêòð îêàçûâàåòñÿ ñòåïåííûì äëÿ âñåõ çíà÷åíèé r, ïðè -
÷åì ïîêàçàòåëü ñïåêòðà ÊË íå çàâèñèò îò ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîð äè -
íàò.
12
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ È ÄÐ.
Ðèñ. 2. Ðàâíîâåñíûé ñïåêòð óñêîðåííûõ
÷àñ òèö. ×èñëà ó êðèâûõ — çíà÷åíèÿ áåçðàç -
ìåð íîé êîîðäèíàòû r
Åñëè êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö ñ äàííûì çíà÷åíèåì èìïóëüñà N(p) èç -
âåñòíà, òî ïîêàçàòåëü æåñòêîñòíîãî ñïåêòðà ÊË ìîæíî âû÷èñëèòü ñî -
ãëàñíî ôîðìóëå
g
h
h
h
h
=
¶
¶
=
¶
¶
p
N p
N p
p N
N
( )
( )
( )
( )
. (33)
Çàâèñèìîñòü ïîêàçàòåëÿ g ñïåêòðà ÊË (31), (33) îò èìïóëüñà h ÷àñ -
òèöû ïðèâåäåíà íà ðèñ. 3. ×èñëà ó êðèâûõ ñîîòâåòñòâóþò çíà ÷å íèÿì
êîîðäèíàòû r, ïàðàìåòð t e âûáðàí ðàâíûì åäèíèöå. Ïðèâåäåíû ïî êà -
çà òåëè ñïåêòðà ÊË â öåíòðå ñèñòåìû (r = 0) è íà ãðàíèöå îáëàñòè
óñêîðåíèÿ ÷àñòèö (r = 1). Ôîðìà ñïåêòðà ÊË âî âíåøíåé, äèôôó çè îí -
íîé îáëàñòè íå çàâèñèò îò êîîðäèíàò, ïîýòîìó çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû
g îò èìïóëüñà ÷àñòèöû âî âíåøíåé ñðåäå (r > r0) îêàçûâàåòñÿ òàêîé æå,
êàê è íà ãðàíèöå îáëàñòè óñêîðåíèÿ (êðèâàÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ çíà÷å -
íèþ r = 1). Èç ðèñ. 3 âèäíî, ÷òî ïîêàçàòåëü g ñïåêòðà ÊË (31), (33)
ïðàê òè ÷åñêè íå çàâèñèò îò êîîðäèíàò, åñëè áåçðàçìåðíûé èìïóëüñ h
÷àñòèö îòëè÷àåòñÿ îò èìïóëüñà èíæåêöèè (h = 1) íà âåëè÷èíó
Dh >~ 1/2). Ñëåäîâàòåëüíî, ïîêàçàòåëü ñòàöèîíàðíîãî ñïåêòðà óñêîðåí -
íûõ ÷àñòèö, ýíåðãèÿ êîòîðûõ çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ýíåðãèþ èñïóñ -
êàåìûõ ÷àñòèö, îêàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííûì âî âñåõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðîèëëþñòðèðîâàòü èçìåíåíèå ïðîñòðàíñò âåí íî -
ãî ðàñïðåäåëåíèÿ óñêîðåííûõ ÷àñòèö ñî âðåìåíåì, ðàññìîòðèì ýâî -
ëþ öèþ êîíöåíòðàöèè ÊË âñåõ ýíåðãèé
n r t dpp N r p t( , ) ( , , )=
¥
ò
2
0
. (34)
Ïðîèíòåãðèðîâàâ óðàâíåíèå ïåðåíîñà ÊË (1) ïî èìïóëüñàì (ñ
âåñîì p2), ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äèôôóçèè:
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
=
n
t r r
r
n
r
q
1
2
2k , (35)
ïðàâàÿ ÷àñòü êîòîðîãî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîñòîÿííûé èñòî÷íèê ÊË,
èíæåêòèðóþùèé â åäèíèöå îáúåìà â åäèíèöó âðåìåíè q ÷àñòèö. Óðàâ -
íåíèå (35) ñïðàâåäëèâî â îáëàñòè óñêîðåíèÿ ÷àñòèö, à âî âíåøíåé îá -
ëàñòè (r > r0) ðàñïðîñòðàíåíèå ÊË îïèñûâàåòñÿ îäíîðîäíûì óðàâíå -
íèåì äèôôóçèè (èñòî÷íèê ÷àñòèö îòñóòñòâóåò). Ââåäåì áåçðàçìåðíîå
âðåìÿ
13
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÑÊÎÐÅÍÈÅ È ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÀß ÄÈÔÔÓÇÈß
Ðèñ. 3. Ïîêàçàòåëü ðàâíîâåñíîãî ñïåêòðà
÷àñòèö â öåíòðå îáëàñòè óñêîðåíèÿ (r = 0) è
íà åå ãðàíèöå (r = 1)
t = t te/ , (36)
ãäå te — õàðàêòåðíîå âðåìÿ äèôôóçèîííîãî ïåðåíîñà ÷àñòèö (4). Óðàâ -
íåíèå äèôôóçèè ÊË â ïðîñòðàíñòâåííîé îáëàñòè (r < r0) ïðèíèìàåò
âèä
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
=
n n
qte
t r r
r k
r
1
2
2 , (37)
ãäå áåçðàçìåðíàÿ êîîðäèíàòà r îïðåäåëåíà ôîðìóëîé (9). Ïðåäïî ëà -
ãàåì, ÷òî âî âíåøíåé îáëàñòè (r > 1) èñòî÷íèê ÷àñòèö îòñóòñòâóåò, à
ïå ðå íîñ ÊË îïèñûâàåòñÿ äèôôóçèîííûì óðàâíåíèåì (37), íî ñ ðàâíîé
íóëþ ïðàâîé ÷àñòüþ.
Âûïîëíèâ ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíå -
íèå äëÿ îáðàçà Ëàïëàñà êîíöåíòðàöèè ÊË n( , )r w â îáëàñòè óñêîðåíèÿ
(r < 1):
w r w
r r
r
r w
r w
n
n qte( , )
( , )
-
¶
¶
¶
¶
=
1
2
2 . (38)
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (38) èìååò âèä
n A
qte( , )r w
r w
r w
= +
sh
2
. (39)
Âî âíåøíåé îáëàñòè (r > 1) îáðàç Ëàïëàñà êîíöåíòðàöèè ÊË îïðå -
äåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
n B( , )
exp( )
r w
r w
r
=
-
. (40)
Ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû A, B íàõîäèì èç óñëîâèé íåïðåðûâíîñòè
êîí öåíòðàöèè è äèôôóçèîííîãî ïîòîêà ÊË â òî÷êå r = 1. Òàêèì îáðà -
çîì, îáðàç Ëàïëàñà êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö â îáëàñòè óñêîðåíèÿ (r < 1)
èìååò âèä
n
qte( , ) [exp( ( ) ) exp( (r w
w r w
r w r= - +
é
ë
ê
ù
û
ú - - - - +
2
1
1
2
1
1
1 1 ) )]w
ì
í
î
ü
ý
þ
. (41)
Âî âíåøíåé îáëàñòè îáðàç Ëàïëàñà êîíöåíòðàöèè ÊË îïèñûâàåòñÿ
ñî îòíîøåíèåì
n( , )r w =
qte
2
1 1
2rw
r w r wexp( ( ) ) exp( ( ) )- - + - + -
ì
í
î
-
- - - - + ü
ý
þ
exp( ( ) ) exp( ( ) )r w r w
w
1 1
. (42)
Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ñîîòíîøåíèé (41), (42) âûïîë -
íèì, âîñïîëüçîâàâøèñü òàáëèöàìè ïðåîáðàçîâàíèé Ëàïëàñà [1]. Â ðå -
çóëü òàòå ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ êîíöåíòðàöèè ÊË â îá -
ëàñòè óñêîðåíèÿ (r < 1):
n( , )r t = qt
qt
e
et
r
r r
rt
r
t
-
- +
+
é
ë
ê
ù
û
ú
-æ
è
ç
ö
ø
÷ +
ì
í
î2
1 2
6
1
2
2( ) ( )
erfc
14
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ È ÄÐ.
+ -
+ -é
ë
ê
ù
û
ú
+æ
è
ç
ö
ø
÷ +rt
r r r
t
( ) ( )1 2
6
1
2
2
erfc
[ ]+ - - + -
-æ
è
çç
ö
ø
÷÷ +
t
p
t r r
r
t3
4 1 2
1
4
2
( )( ) exp
( )
+
t
p
r r t
r
t3
1 2 4
1
4
2
[( )( ) ]exp
( )
+ - - -
+æ
è
çç
ö
ø
÷÷
ü
ý
þ
. (43)
Êîíöåíòðàöèÿ ÊË âî âíåøíåé îáëàñòè (r > 1) èìååò ñëåäóþùèé
âèä:
n( , )r t =
qte
2
1 2
6
1
2
2
r
r r
rt
r
t
( ) ( )- +
+
é
ë
ê
ù
û
ú
-æ
è
ç
ö
ø
÷ -
ì
í
î
erfc
- +
+ -é
ë
ê
ù
û
ú
+æ
è
ç
ö
ø
÷ -rt
r r r
t
( ) ( )1 2
6
1
2
2
erfc
- - + + -
-æ
è
çç
ö
ø
÷÷ +
t
p
r r t
r
t3
1 2 4
1
4
2
[( )( ) ]exp
( )
+ + - + -
+æ
è
çç
ö
ø
÷÷
ü
ý
þ
t
p
r r t]
r
t3
1 2 4
1
4
2
[( )( ) exp
( )
. (44)
Åñëè âðåìÿ, ïðîøåäøåå ïîñëå íà÷àëà èíæåêöèè ÷àñòèö, çíà÷è -
òåëü íî ïðåâûøàåò õàðàêòåðíîå âðåìÿ äèôôóçèè te (4) (t >> 1, t >> r),
òî êîí öåíò ðàöèÿ ÊË (43), (44) ïðèáëèæàåòñÿ ê âåëè÷èíå
n
qte( ) ( ) ( )r
r
r
r
r=
-
- + -
ì
í
î
ü
ý
þ3
3
2
1
1
1
2
Q Q , (45)
ãäå Q(x) — åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà. Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå
äëÿ êîíöåíòðàöèè ÊË (45) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåé ñòà -
öèî íàðíîé çàäà÷è.
Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü êîíöåíòðàöèè ÊË (43), (44) îò
áåç ðàçìåðíîé êîîðäèíàòû r â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè t (÷èñëà ó
êðè âûõ). Ïóíêòèðíàÿ êðèâàÿ èëëþñòðèðóåò ðåøåíèå ñòàöèîíàðíîãî
äèô ôóçèîííîãî óðàâíåíèÿ (45). Ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ t êîíöåíòðàöèÿ
ÊË â îáëàñòè óñêîðåíèÿ ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñèò îò êîîðäèíàò, à âî
15
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÑÊÎÐÅÍÈÅ È ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÀß ÄÈÔÔÓÇÈß
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòü êîíöåíòðàöèè êîñ ìè -
÷åñêèõ ëó÷åé îò êîîðäèíàòû r â ðàç ëè÷íûå
ìîìåíòû âðåìåíè t (÷èñëà ó êðèâûõ)
âíåø íåé îáëàñòè íàõîäèòñÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëîå ÷èñëî ÷àñòèö (êðè -
âàÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ t = 0.02). Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïðîñòðàíñò âåí -
íîå ðàñïðåäåëåíèå ÊË ïîñòåïåííî ïðèáëèæàåòñÿ ê ðàâíîâåñíîìó (45).
Õàðàêòåðèñòèêè ïåðåíîñà ÊË â îáëàñòè óñêîðåíèÿ è âíå åå ìîãóò
ñèëüíî ðàçëè÷àòüñÿ. Íàïðèìåð, òðàíñïîðòíûé ïðîáåã ÊË â ìåæïëà -
íåòíîé ñðåäå çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò ïðîáåã ÷àñòèö â ñîëíå÷íîé êî -
ðîíå. Òðàíñïîðòíûå ïðîáåãè ÷àñòèö âûñîêîé ýíåðãèè âíóòðè îñòàòêà
ñâåðõ íîâîé è â ìåæçâåçäíîé ñðåäå òàêæå ìîãóò ñóùåñòâåííî ðàçëè -
÷àòüñÿ. Ïàðàìåòðû ïåðåíîñà ÷àñòèö âî âíåøíåé ñðåäå ìîãóò âëèÿòü íà
ôîðìó ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà ÊË êàê â ïðåäåëàõ îáëàñòè óñêîðåíèÿ
÷àñ òèö, òàê è âíå åå.  ðàáîòå [24] ïîëó÷åíî ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà (1) â îäíîìåðíîì ñëó÷àå äëÿ îãðàíè÷åííîé îáëàñ -
òè óñêîðåíèÿ ÷àñòèö (–L < x < L) ïðè ñâîáîäíîì ðàñïðîñòðà íå íèè ÊË
âî âíåøíåé îáëàñòè (÷òî ñîîòâåòñòâóåò íóëåâûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
â òî÷êàõ ±L). Àâòîðàìè ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ïîëó÷åííîãî ïðîñòðàí -
ñò âåííî-ýíåðãåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óñêîðåííûõ ÷àñòèö ñ ýíåðãå -
òè ÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì ÊË, ñîîòâåòñòâóþùèì óðàâíåíèþ (3) [24].
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïåðåíîñ ÊË â îáëàñòè óñêîðåíèÿ ÷àñòèö õàðàê -
òåðèçóåòñÿ êîýôôèöèåíòîì äèôôóçèè k, à âî âíåøíåé ñðåäå (r > r0) —
k1 .  ýòîì ñëó÷àå èç óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè äèôôóçèîííîãî ïîòîêà
ÊË íà ãðàíèöå îáëàñòè óñêîðåíèÿ ÷àñòèö ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ
êîí öåíòðàöèè ÊË ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé r èñïûòûâàåò
ñêà ÷îê â òî÷êå r = 1. Âåëè÷èíà ýòîãî ñêà÷êà ïðîïîðöèîíàëüíà îòíîøå -
íèþ êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè ÊË k1 /k. Ñòàöèîíàðíîå ïðîñòðàíñò -
âåí íîå ðàñïðåäåëåíèå êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö â äàííîì ñëó÷àå îïèñû -
âàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
( )n
qter
r k
k
r
k
rk
r=
-
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ - + -
ì
í
î
ü
ý
þ3
1
2
1 1
2
1 1
Q Q( ) ( ) , (46)
Îòìåòèì, ÷òî â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå k1 = k ôîðìóëû (45) è (46) ñîâïà äà -
þò.
Ðàññìîòðèì ñòàöèîíàðíîå ïðîñòðàíñòâåííî ýíåðãåòè÷åñêîå ðàñ -
ïðå äåëåíèå êîíöåíòðàöèè ÊË N ( , )r h â äèôôóçèîííîé ñðåäå ñ îòëè÷à -
þùè ìèñÿ ðàññåèâàþùèìè ñâîéñòâàìè.  îáëàñòè óñêîðåíèÿ ÷àñòèö
(r < 1) ïåðåíîñ ÊË õàðàêòåðèçóåòñÿ êîýôôèöèåíòîì äèôôóçèè k, à
óðàâ íåíèå ïåðåíîñà èìååò âèä (1). Âî âíåøíåé îáëàñòè (r > 1) êîí -
öåíò ðàöèÿ ÊË N ( , )r h óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ äèôôóçèè ñ êîýô ôè -
öè åíòîì äèôôóçèè k1 . Îáðàç Ìåëëèíà êîíöåíòðàöèè ÊË èìååò âèä
(25) èëè (26) äëÿ îáëàñòè óñêîðåíèÿ è äëÿ âíåøíåé îáëàñòè ñîîòâåòñò -
âåí íî. Èç óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè äèôôóçèîííîãî ïîòîêà ÊË â òî÷êå
r = 1 ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå
k
h
r
k
h
r
¶ -
¶
=
¶ +
¶
N N( , ) ( , )1 0 1 0
1 . (47)
Óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè êîíöåíòðàöèè ÊË è ãðàíè÷íîå óñëîâèå
(47) ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü êîíñòàíòû A, C, êîòîðûå âõîäÿò â ôîðìóëû
äëÿ îáðàçà Ìåëëèíà êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö (25), (26). Òàêèì îáðàçîì,
16
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ È ÄÐ.
ïî ëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ êîíöåíòðàöèè ÊË â îáëàñòè óñêî -
ðå íèÿ ÷àñòèö (r < 1):
N s
qt
p s s
s
s
a( , )
( )
sin ( )
sin ( )
r
rV
r
k
k
V
k
=
-
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ +
0
3
1
3
1
k
V V
1
1
( )cos ( )s s
é
ë
ê
ù
û
ú
-
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
ü
ý
ï
ï
þ
ï
ï
, (48)
ãäå ôóíêöèÿ z( )s îïðåäåëåíà ôîðìóëîé (28). Çàìåòèì, ÷òî â ïðåäåëü -
íîì ñëó÷àå k1 = k ñîîòíîøåíèå (48) ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì äëÿ îáðà -
çà Ìåëëèíà êîíöåíòðàöèè ÊË (27).
Âûïîëíèâ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà, ïîëó÷èì ñëåäó -
þùåå âûðàæåíèå äëÿ êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö â ïðîñòðàíñòâåííîé îáëàñ -
òè r < r0:
N
qt
p
x
x x x x
a
n
n n n n
( , )
sin
sin cos
r h
r
p
r
k
k
=
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
2
3
2
0
3
1
1
4
9
2
0
+
=
¥
-å
xn
e
n
sn
t
h , (49)
ãäå xn — êîðíè óðàâíåíèÿ
1 0
1 1
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ + =
k
k
k
k
sin cosx x x . (50)
Ïîêàçàòåëü ñòåïåíè â ñîîòíîøåíèè (49) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
s
x
n
n
e
= ± +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
3
2
1 1
4
9
2
t
, (51)
ïðè÷åì çíàê ïëþñ ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòèöàì âûñîêîé ýíåðãèè (h > 1), à
çíàê ìèíóñ — íèçêîé (h < 1). Ïðè ñòðåìëåíèè êîýôôèöèåíòà k1 äèô -
ôó çèè ÊË âî âíåøíåé ñðåäå ê âåëè÷èíå k âûðàæåíèå äëÿ êîíöåíò ðà -
öèè ÊË (49) ïåðåõîäèò â (31). Êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö âî âíåøíåé ñðåäå
(r > 1) îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ðàäèóñó. Òàêèì îáðàçîì, ñïåêòð ÊË
âî âíåøíåé îáëàñòè îïðåäåëÿåòñÿ ýíåðãè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì ÷àñ -
òèö íà ãðàíèöå îáëàñòè óñêîðåíèÿ (N(r, h) = N(1, h) /h ), à ôîðìà ñïåêò -
ðà íå çàâèñèò îò êîîðäèíàò.
Èç ôîðìóëû (49) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âûñîêîýíåðãè÷íûõ ÷àñòèö
(h >> 1) èìååò ìåñòî ñòåïåííàÿ çàâèñèìîñòü êîíöåíòðàöèè ÊË îò èì -
ïóëüñà ÷àñòèöû ñ ïîêàçàòåëåì ñïåêòðà
s
x
e
0
0
23
2
1 1
4
9
= + +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷t
. (52)
Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà x0, ñàìûé ìàëûé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâ -
íå íèÿ (50), çàâèñèò îò åäèíñòâåííîãî ïàðàìåòðà k/k1 . Ïðè óñëîâèè k =
= k1èìååì x0 = p/2, è âûðàæåíèÿ äëÿ s0 (52) è (32) ñîâïàäàþò. Ïðè
17
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÑÊÎÐÅÍÈÅ È ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÀß ÄÈÔÔÓÇÈß
óìåíü øåíèè ïàðàìåòðà k/k1 âåëè÷èíà x0 óâåëè÷èâàåòñÿ. Ñëåäîâà òåëü -
íî, ïðè óâåëè÷åíèè êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè ÊË âî âíåøíåé ñðåäå ïî -
êà çà òåëü ñòåïåíè s0 òàêæå óâåëè÷èâàåòñÿ, à ñïåêòð ÊË ñòàíîâèòñÿ áî -
ëåå ìÿãêèì (N(h) µ h- s0 ). Íàïðîòèâ, ïðè óìåíüøåíèè âåëè÷èíû k1âû -
íîñ ÷àñòèö èç îáëàñòè óñêîðåíèÿ ñòàíîâèòñÿ ìåíåå èíòåíñèâíûì, â ðå -
çóëü òàòå ñïåêòð ÷àñòèö âûñîêîé ýíåðãèè áóäåò áîëåå æåñòêèì.
Íà ðèñ. 5 ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü ïîêàçàòåëÿ ñïåêòðà s0 (52) îò âå -
ëè ÷èíû t e (õàðàêòåðèçóþùåé ýôôåêòèâíîñòü óñêîðåíèÿ) ïðè ðàçëè÷ -
íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà k/k1 (÷èñëà ó êðèâûõ). Âèäíî, ÷òî ïðè çàäàí -
íîì îòíîøåíèè êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè ÊË âåëè÷èíà ïîêàçàòåëÿ
ñïåêò ðà s0 óìåíüøàåòñÿ ïðè óâåëè÷åíèè t e (7). Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè
óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà t e ñïåêòð ÊË ñòàíîâèòñÿ áîëåå æåñòêèì. Ïðè
óâåëè÷åíèè êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè ÊË âî âíåøíåé ñðåäå (ò. å. ïðè
óìåíüøåíèè îòíîøåíèÿ k/k1) è çàäàííîé âåëè÷èíå t e ïîêàçàòåëü
ñïåêò ðà ÊË òàêæå óâåëè÷èâàåòñÿ, è ñïåêòð ÷àñòèö ñòàíîâèòñÿ áîëåå
ìÿãêèì (ðèñ. 5). Äåéñòâèòåëüíî, ïðè èíòåíñèâíîì ïåðåíîñå ÊË âî
âíåø íåé îáëàñòè ÷àñòèöû áûñòðåå ïîêèäàþò îáëàñòü óñêîðåíèÿ, è
ðàâíîâåñíûé ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ÊË îêàçûâàåòñÿ áîëåå êðóòûì.
Çàâèñèìîñòü êîíöåíòðàöèè ÊË (49) îò êîîðäèíàòû r ïðåäñòàâëåíà
íà ðèñ. 6. Çíà÷åíèÿ áåçðàçìåðíîãî èìïóëüñà ÷àñòèö h ïðèâåäåíû ó
êðè âûõ. Âûáðàíû ñëåäóþùèå âåëè÷èíû ïàðàìåòðîâ: t e = 1; k/k1= 0.2.
Ìàêñèìóì êîíöåíòðàöèè ÊË èìååò ìåñòî â öåíòðå ñèñòåìû (r = 0), à
âî âíåøíåé îáëàñòè êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö óìåíüøàåòñÿ ïðîïîð öèî -
íàëü íî âåëè÷èíå 1/r.  òî÷êå r = r0 (r = 1) ïðîèçâîäíàÿ êîíöåíòðàöèè
÷àñòèö ïî ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòå r èñïûòûâàåò ñêà÷îê, îáó -
18
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ È ÄÐ.
Ðèñ. 5. Ïîêàçàòåëü ñïåêòðà ÷àñòèö âûñîêîé
ýíåðãèè êàê ôóíêöèÿ âåëè÷èíû te . ×èñëà ó
êðèâûõ ðàâíû îòíîøåíèþ êîýôôèöèåíòîâ
äèôôóçèè êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé â îáëàñòè
óñêî ðåíèÿ è âíå íåå (k/k1)
Ðèñ. 6. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ çàâèñèìîñòü êîí -
öåíò ðàöèè êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé. ×èñëà ó
êðè âûõ — çíà÷åíèÿ áåçðàçìåðíîãî èì ïóëü -
ñà h
ñëîâ ëåííûé ðàçëè÷íûìè ðàññåèâàòåëüíûìè ñâîéñòâàìè ñðåäû â îá -
ëàñ òè óñêîðåíèÿ ÊË è âíå íåå (k ¹ k1).
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÑÊÎÐÅÍÈÅ ×ÀÑÒÈÖ,
ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒ ÄÈÔ ÔÓ ÇÈÈ ÊÎÒÎÐÛÕ ÇÀÂÈÑÈÒ ÎÒ ÈÕ ÈÌÏÓËÜÑÀ
Êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ÊË â êîñìè÷åñêîé ñðåäå çàâèñèò îò ýíåðãèè
÷àñ òèö [5, 27]. Ñëåäîâàòåëüíî, õàðàêòåðíîå âðåìÿ óñêîðåíèÿ ÷àñòèö ta
(5) è âðåìÿ «óáåãàíèÿ» ÊË te (4) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè èìïóëüñà ÷àñòè -
öû, ïðè÷åì ÷àñòèöû âûñîêîé ýíåðãèè áûñòðåå ïîêèäàþò îáëàñòü óñ -
êî ðåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ýôôåêòèâíîñòü ñòàòèñòè÷åñêîãî óñêîðåíèÿ
óìåíü øàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì ýíåðãèè ÷àñòèöû. Ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð
óñêîðåííûõ ÷àñòèö óæå íå áóäåò ñòåïåííîé ôóíêöèåé p, à áóäåò ñòàíî -
âèòüñÿ âñå áîëåå êðóòûì (ìÿãêèì) ïðè óâåëè÷åíèè èìïóëüñà ÷àñòèöû
[9, 15, 20, 21].
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ÊË çàâèñèò îò èìïóëü -
ñà ÷àñòèöû ïî ñòåïåííîìó çàêîíó
k k hl= 0 , (53)
ãäå k0 — êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ÷àñòèö, èìïóëüñ êîòîðûõ ðàâåí èì -
ïóëü ñó èíæåêöèè p0.  ýòîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ÊË ïî èì -
ïóëü ñàì (2) ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå
D Dp = -
0
2h l, (54)
ãäå
D
p u
0
0
2
1
2
09
=
< >
k
. (55)
Ðàññìîòðèì ñòàòèñòè÷åñêîå óñêîðåíèå ÷àñòèö â ïðîñòðàíñòâåííî
îä íîðîäíîì ñëó÷àå, êîãäà êîíöåíòðàöèÿ ÊË óäîâëåòâîðÿåò óðàâíå -
íèþ (3). Íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü ðàâíîâåñíûå ýíåðãåòè÷åñêèå ðàñïðå -
äå ëå íèÿ ÷àñòèö, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè óðàâíåíèÿìè
ïåðåíîñà. Çàïèøåì ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå (3), ïðèíèìàÿ âî âíèìà -
íèå ñîîòíîøåíèÿ (10), (53), (54)
N N qt
pe
a
t
h
h h
h
h
d hl l-
¶
¶
¶
¶
= --1
1
2
4
0
3
( ). (56)
 óðàâíåíèå (56) âõîäÿò ïàðàìåòðû ta (6) è t e (7), êîòîðûå îïðåäåëåíû
â òî÷êå p = p0. Êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö ñ äàííûì çíà÷åíèåì èìïóëüñà
N(h) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé èìïóëüñà è óäîâëåòâîðÿåò ãðà -
íè÷ íîìó óñëîâèþ (13), êîòîðîå âîçíèêàåò âñëåäñòâèå íàëè÷èÿ èñòî÷ -
íè êà ÷àñòèö â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (56). Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (56)
èùåì â âèäå
N ( ) ( )h h h
l
=
-3
2 F . (57)
Âûïîëíèâ çàìåíó ïåðåìåííîé
19
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÑÊÎÐÅÍÈÅ È ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÀß ÄÈÔÔÓÇÈß
x
h
l t
l
=
e
, (58)
ïîëó÷àåì ìîäèôèöèðîâàííîå óðàâíåíèå Áåññåëÿ äëÿ ôóíêöèè F( )x .
Ó÷èòûâàÿ ãðàíè÷íîå óñëîâèå (13), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó âûðà æå -
íèþ äëÿ êîíöåíòðàöèè ÊË íèçêèõ ýíåðãèé (h < 1):
N
qt
p
K Ia
e
( ) ( )h
l
h
l t
x
l
n n=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
0
3
3
2
1
, (59)
ãäå I xn ( ), K xn ( ) — ìîäèôèöèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ Áåññåëÿ è ôóíêöèÿ
Ìàê äîíàëüäà ñîîòâåòñòâåííî, à ïîðÿäîê ýòèõ ôóíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ
ôîð ìóëîé
n
l
l
=
-3
2
. (60)
Êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö, èìïóëüñ êîòîðûõ ïðåâîñõîäèò èìïóëüñ èí -
æåê öèè (h > 1), èìååò âèä
N
qt
p
I Ka
e
( ) ( )h
l
h
l t
x
l
n n=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
0
3
3
2
1
. (61)
Åñëè èìïóëüñ ÷àñòèö çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò èìïóëüñ èíæåêöèè,
ìîæ íî èñïîëüçîâàòü èçâåñòíîå âûðàæåíèå äëÿ àñèìïòîòèêè ôóíêöèè
Ìàêäîíàëüäà [1]. Òàêèì îáðàçîì, ïðè óñëîâèè h >> 1 èç ôîðìóëû (61)
ïîëó÷èì
N
e
( ) exp/h h
h
l t
l
µ -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-3 2 . (62)
Îòìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ äëÿ êîíöåíòðàöèè ÊË, àíàëîãè÷íûå ôîð -
ìó ëàì (58)—(61), áûëè ïîëó÷åíû â ðàáîòàõ [9, 11, 14, 25].
Çàâèñèìîñòü êîíöåíòðàöèè ÊË îò áåçðàçìåðíîãî èìïóëüñà ÷àñòè -
öû h = p/p0 ïðèâåäåíà íà ðèñ. 7. Ïàðàìåòð l, îïðåäåëÿþùèé çàâèñè -
ìîñòü êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè ÊË îò èìïóëüñà (53), âûáðàí ðàâíûì
åäè íèöå, à ÷èñëà ó êðèâûõ ðàâíû çíà÷åíèÿì âåëè÷èíû t e (7). Âèäíî,
÷òî ïðè óâåëè÷åíèè èìïóëüñà ÷àñòèöû ñïåêòð ÊË ñòàíîâèòñÿ êðó÷å,
ò. å. áîëåå âûñîêèì ýíåðãèÿì ñîîòâåòñòâóåò áîëåå ìÿãêèé ýíåðãåòè -
÷åñêèé ñïåêòð. Áîëüøèì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà t e ñîîòâåòñòâóåò áîëåå
æåñòêèé ñïåêòð ÊË, ò. å. áîëåå ýôôåêòèâíîå óñêîðåíèå ÷àñòèö.
20
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ È ÄÐ.
Ðèñ. 7. Ðàâíîâåñíûé ñïåêòð óñêîðåííûõ
÷àñ òèö. ×èñëà ó êðèâûõ — çíà÷åíèÿ ïàðà -
ìåò ðà te
Ïåðåéäåì ê èññëåäîâàíèþ ðàâíîâåñíîãî ïðîñòðàíñòâåííî- ýíåð ãå -
òè ÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óñêîðåííûõ ÷àñòèö íà îñíîâå óðàâíåíèÿ ïå -
ðå íîñà (1).  ñëó÷àå ñòåïåííîé çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè
ÊË îò èìïóëüñà ÷àñòèöû (53), ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà ÊË
ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:
1
1
2
4
2
2
0
3h h
h
h
h
t r r
r
r
d hl
l¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
= - -- N N qt
pe
a ( ). (63)
Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå ïåðåíîñà (63) îïèñûâàåò ïðîñòðàíñò âåí íî-
ýíåð ãå òè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö â îáëàñòè óñêî -
ðå íèÿ (r < 1), à âî âíåøíåé ñðåäå (r > 1) èìååò ìåñòî òîëüêî äèôôó çè -
îí íîå ðàñïðîñòðàíåíèå ÊË (ñ òåì æå êîýôôèöèåíòîì äèôôóçèè k).
Ââåäåì ôóíêöèþ F( , )r h ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ (57) è ïåðåéäåì ê ïå -
ðå ìåííîé x (58). Ôóíêöèÿ F( , )r x óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
1 1 12
2 2
2
0
3x x
x
x
n
x r r
r
r
t d x
l t
¶
¶
¶
¶
- +
¶
¶
¶
¶
= - -
æ
è
ç
ç
F
F
F qt
p
a
e
e
ö
ø
÷
÷
, (64)
ãäå âåëè÷èíà n îïðåäåëåíà ôîðìóëîé (60).
Âûïîëíèì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå — Áåññåëÿ ôóíêöèè F( , )r x :
F F( , ) ( ) ( , )r xx x r xns d J s=
¥
ò
0
, (65)
ãäå J xn ( ) — ôóíêöèÿ Áåññåëÿ. Ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äëÿ îá -
ðà çà Ôóðüå — Áåññåëÿ êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö:
s s
s qt
p
J
sa
e
2
2
2
0
3
1
F
F
( , )
( , )
r
r r
r
r
r l l t
n-
¶
¶
¶
¶
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
. (66)
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (66) èìååò âèä
F( , ) ( )
exp( ) exp( )
r
r r
r l l t
ns C s
s s qt
s p
J
sa
e
=
- -
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
2
0
3
÷
÷
. (67)
Âî âíåøíåé îáëàñòè (r > 1) êîíöåíòðàöèÿ ÊË óäîâëåòâîðÿåò ñòà -
öèî íàðíîìó óðàâíåíèþ äèôôóçèè (ðàññìàòðèâàåì ñôåðè÷åñêè-ñèì -
ìåò ðè÷íîå ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòèö) è èçìåíÿåòñÿ îá -
ðàò íî ïðîïîðöèîíàëüíî êîîðäèíàòå r. Óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè êîí -
öåíò ðàöèè ÊË è åå ïðîèçâîäíîé ïî r â òî÷êå r = 1 ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü
ñëå äóþùåå óðàâíåíèå äëÿ F( , )r x íà ãðàíèöå îáëàñòè óñêîðåíèÿ
(r = 1):
¶
¶
+ =
F
F
( , )
( , )
1
1 0
s
s
r
. (68)
Ñîîòíîøåíèå (68) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü âåëè÷èíó C(s) â ôîðìóëå
(67). Ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó âûðàæåíèþ äëÿ îáðàçà Ôóðüå — Áåññå -
ëÿ ôóíêöèè F:
21
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÑÊÎÐÅÍÈÅ È ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÀß ÄÈÔÔÓÇÈß
F( , )r
l l t
rl t
lr t l t
ns
qt
s p
J
s s
s s
a
e
e
e e
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
2
0
3
1
sh
ch
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
. (69)
Âûïîëíèì îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå — Áåññåëÿ:
F F( , ) ( ) ( , )r x x rn=
¥
ò dssJ s s
0
. (70)
Âîñïîëüçîâàâøèñü ñîîòíîøåíèÿìè (57), (58), ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ñî -
îò íîøåíèå äëÿ êîíöåíòðàöèè ÊË â îáëàñòè óñêîðåíèÿ (r < 1):
N
qt
p
ds
J s J s
s
s
s
a e( , )
( ) ( )
r h
l
h
h rl t
lr t
l
n
l
n= -
- ¥
ò
0
3
3
2
0
1
sh
e eschl t
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
. (71)
Êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö âî âíåøíåé îáëàñòè (r > 1) îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷å -
íè åì êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö íà ãðàíèöå îáëàñòè óñêîðåíèÿ
N
N
( , )
( , )
r h
h
r
=
1
, (72)
ãäå âåëè÷èíà N(1, h) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (71) â òî÷êå r = 1.
Íà ðèñ. 8 ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü êîíöåíòðàöèè ÊË îò áåçðàçìåð -
íî ãî èìïóëüñà ÷àñòèöû â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà. ×èñëà ó
êðè âûõ ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿì êîîðäèíàòû r. Âûáðàíû ñëåäó -
þùèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ: t e = 1, l = 1. Ôîðìà ñïåêòðà ÊË âî âíåø -
íåé ñðåäå (r > 1) íå çàâèñèò îò êîîðäèíàò. Òàê, íàïðèìåð, êðèâûå, ñî -
îò âåòñòâóþùèå ðàâíîâåñíîìó ýíåðãåòè÷åñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ ÷àñ -
òèö íà ãðàíèöå îáëàñòè óñêîðåíèÿ (r = 1) è íà ðàññòîÿíèè r0 îò ýòîé
ãðà íèöû (r = 2), èìåþò îäèíàêîâóþ ôîðìó. Ðàñ÷åòû ïîêà çû âà þò, ÷òî
äëÿ ÷àñòèö, èìïóëüñ êîòîðûõ ïðåâûøàåò èìïóëüñ èíæåêöèè â äâà ðàçà
è áîëåå, ôîðìà ðàâíîâåñíîãî ýíåðãåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÊË íå
çàâèñèò îò êîîðäèíàò è äîñòàòî÷íî õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ ñîîò íî -
øåíèåì (61), åñëè â ýòîé ôîðìóëå èçìåíèòü ïàðàìåòð t e â 4/p 2 ðàç.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàñïðîñòðàíåíèå ÊË â ïðåäåëàõ îáëàñòè óñêî -
ðå íèÿ ÷àñòèö è âíå íåå õàðàêòåðèçóåòñÿ ðàçëè÷íûìè êîýôôèöèåíòàìè
äèôôóçèè (k1¹ k).  îáëàñòè óñêîðåíèÿ ÷àñòèö óðàâíåíèå ïåðåíîñà
ÊË èìååò âèä (63), à îáðàç Ôóðüå — Áåññåëÿ ôóíêöèè F óäîâëå òâî ðÿ -
22
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ È ÄÐ.
Ðèñ. 8. Ðàâíîâåñíûé ñïåêòð êîñìè÷åñêèõ
ëó÷åé â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà.
×èñëà ó êðèâûõ — çíà÷åíèÿ êîîðäèíàòû r
åò ñîîòíîøåíèþ (67). Îäíàêî óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè äèôôóçèîí íî ãî
ïîòîêà ÷àñòèö íà ãðàíèöå îáëàñòè óñêîðåíèÿ èìååò â äàííîì ñëó ÷àå
âèä (47). Âñëåäñòâèå ýòîãî âìåñòî ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (68) ïðè õî äèì
ê ñîîòíîøåíèþ
k
r
k
¶
¶
+ =
F
F
( , )
( , )
1
1 01
s
s . (73)
Ïîäñòàâèâ ôóíêöèþ F( , )r s (67) â óðàâíåíèå (73), ïîëó÷èì ñîîòíîøå -
íèå äëÿ ïîñòîÿííîé C(s). Òàêèì îáðàçîì, îáðàç Ôóðüå — Áåññåëÿ
ôóíê öèè F èìååò âèä
F( , )r
l l t
ns
qt
s p
J
sa
e
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷2
0
3
´
´ 1
1
1 1
-
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ +
é
ë
ê
ù
û
ú
ì
sh
sh ch
rl t
r
k
k
l t
k
k
l t l t
s
s s s
e
e e e
í
ï
ï
î
ï
ï
ü
ý
ï
ï
þ
ï
ï
. (74)
Âûïîëíèâ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå — Áåññåëÿ (70), ó÷èòûâàÿ
ñîîò íîøåíèÿ (57), (58), ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ êîíöåíò -
ðà öèè ÷àñòèö â ïðîñòðàíñòâåííîé îáëàñòè r < 1:
N
qt
p
ds
J s J s
s
a( , )
( ) ( )
r h
l
h
hl
n
l
n=
- ¥
ò
0
3
3
2
0
´
´ 1
1
1 1
-
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ +
é
ë
ê
ù
û
ú
ì
sh
sh ch
rl t
r
k
k
l t
k
k
l t l t
s
s s s
e
e e e
í
ï
ï
î
ï
ï
ü
ý
ï
ï
þ
ï
ï
. (75)
Çàìåòèì, ÷òî â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå k1 = k ñîîòíîøåíèå (75) ñîâïàäàåò ñ
(71). Âî âíåøíåé ñðåäå (r > 1) êîíöåíòðàöèÿ ÊË óäîâëåòâîðÿåò ñîîò -
íî øåíèþ (72). Ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ ÷àñòèö âûñîêîé ýíåðãèè
(p >~ 2p0) ôîðìà ñïåêòðà ÊË ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñèò îò êîîðäèíàò, è
ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé ïåðåíîðìèðîâêå ïàðàìåòðà t e õîðîøî îïèñû -
âàåòñÿ ôîðìóëîé (61).
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ðàññìîòðåíî ñòàòèñòè÷åñêîå óñêîðåíèå êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé â òóðáó -
ëåíò íîé ñðåäå è ïîêàçàíî, ÷òî ðàâíîâåñíîå ïðîñòðàíñòâåí íî-ýíåðãå -
òè ÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå óñêîðåííûõ ÷àñòèö îïðåäåëÿåòñÿ ýôôåêòèâ -
íîñòüþ èõ óñêîðåíèÿ è õàðàêòåðèñòèêàìè äèôôóçèîííîãî ðàñïðîñò -
ðà íåíèÿ ÊË â îáëàñòè óñêîðåíèÿ è çà åå ïðåäåëàìè. Ôîðìà ñòàöèî íàð -
íî ãî ñïåêòðà ÷àñòèö âûñîêîé ýíåðãèè íå çàâèñèò îò ïðîñòðàíñòâåííûõ
23
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÑÊÎÐÅÍÈÅ È ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÀß ÄÈÔÔÓÇÈß
êîîðäèíàò è ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé ïåðåíîðìèðîâêå ïàðàìåòðà t e ,
õàðàê òå ðèçóþùåãî ýôôåêòèâíîñòü ïðîöåññà óñêîðåíèÿ ÊË, ñîîòâåòñò -
âó åò ýíåðãåòè÷åñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ ÷àñòèö â ïðîñòðàíñòâåííî îä -
íî ðîä íîì ñëó÷àå.
Ìèëàí Ñòåãëèê áëàãîäàðèò êîëëåêòèâ Ãëàâíîé àñòðîíîìè÷åñêîé
îáñåðâàòîðèè ÍÀÍ Óêðàèíû çà ñîòðóäíè÷åñòâî è ãîñòåïðèèìñòâî.
Ýòà ðàáîòà âûïîëíåíà, â ÷àñòíîñòè, ïðè ðåàëèçàöèè ïðîåêòà ITMS
N 26220120029, îñíîâàííîãî íà «Re search and De vel op ment Pro gram»,
ïðè ïîääåðæêå «Re search and De vel op ment Fund» è ãðàíòîâ Ñëîâàöêîé
àêàäåìèè íàóê «VEGA N 2/0081/10 è 2/0173/09».
1. Àáðàìîâèö Ì., Ñòèãàí È. Ñïðàâî÷íèê ïî ñïåöèàëüíûì ôóíêöèÿì. — Ì.: Íàóêà,
1979.—832 c.
2. Êàðäàøåâ È. Ñ. Íåñòàöèîíàðíîñòü ñïåêòðîâ ìîëîäûõ èñòî÷íèêîâ íåòåïëîâîãî
êîñìè÷åñêîãî ðàäèîèçëó÷åíèÿ // Àñòðîí. æóðí.—1962.—39, ¹ 3.— Ñ. 393—
409.
3. Ïðóäíèêîâ À. Ï., Áðû÷êîâ Þ. À., Ìàðè÷åâ Î. È. Èíòåãðàëû è ðÿäû. — Ì.: Íàóêà,
1981.—800 ñ.
4. Òâåðñêîé Á. À. Ê òåîðèè ñòàòèñòè÷åñêîãî óñêîðåíèÿ Ôåðìè // Æóðí. ýêñïåðèì. è
òåî ðåò. ôèçèêè.—1967.—52, ¹ 2.—Ñ. 483—497.
5. Òîïòûãèí È. Í. Êîñìè÷åñêèå ëó÷è â ìåæïëàíåòíûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ. — Ì.:
Íàóêà, 1983.—302 c.
6. Ôåäîðîâ Þ. È. Ñòàòèñòè÷åñêîå óñêîðåíèå êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé â àíèçîòðîïíîé,
òóðáóëåíòíîé ñðåäå // Êèíåìàòèêà è ôèçèêà íåáåñ. òåë.—2011.—27, ¹ 1.—
Ñ. 3—24.
7. Achterberg A. On the na ture of small am pli tude Fermi ac cel er a tion // Astron. and
Astrophys.—1981.—97.—P. 259—264.
8. Aschwanden M. J. Par ti cle ac cel er a tion and ki ne mat ics in so lar flares // Space Sci.
Rev.—2002.—101.—P. 1—227.
9. Becker P. A., Le T., Dermer C. D. Time-de pend ent sto chas tic par ti cle ac cel er a tion in as -
tro phys i cal plas mas // Astrophys. J.—2006.—647, N 1.—P. 539—551.
10. Dermer C. D., Miller J. A., Li H. Sto chas tic par ti cle ac cel er a tion near accreting black
holes // Astrophys. J.—1996.—456, N 1.—P. 106—118.
11. Droege W., Schlickeiser R. Par ti cle ac cel er a tion in so lar flares // Astrophys. J.—
1986.—305, N 2.—P. 909—912.
12. Fan Z., Liu S., Fryer C. L. Sto chas tic elec tron ac cel er a tion in the TeV su per nova rem -
nant RX J 1713. 7-3946: The high en ergy cut off // Mon. Notic. Roy. Astron. Soc.—
2009.—406.—P. 1337—1349.
13. Fedorov Yu. I., Katz M. E., Kichatinov L. L., Stehlik M. Cos mic-ray ki net ics in a ran -
dom anisotropic re flec tive non-in vari ant mag netic field // Astron. and Astrophys.—
1992.—260.—P. 499—509.
14. Fedorov Yu. I., Stehlik M. Cos mic ray en er getic spec tra and its evo lu tion in he li cal
plasma tur bu lence // Proc. 21-st Europ. Cos mic Ray Symp. — Kosice, 2008.—
P. 297—302.
15. Fedorov Yu., Stehlik M. Sto chas tic ac cel er a tion by in duced elec tric field ver sus Fermi
ac cel er a tion // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys.—2010.—43, N 18.—P. 185701.
16. Fermi E. On the or i gin of the cos mic ra di a tion // Phys. Rev.—1949.—75, N 8.—
P. 1169—1174.
17. Fletcher L., Hud son H. S. Im pul sive phase flare en ergy trans port by large-scale Alfven
waves and the elec tron ac cel er a tion prob lem // Astrophys. J.—2008.—675, N 2.—
P. 1645—1655.
24
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ È ÄÐ.
18. Melrose D. On the for ma tion of en ergy spec tra in syn chro tron sources // Astrophys.
Space Sci.—1969.—5.—P. 131—169.
19. Mertsch P. A new an a lytic so lu tion for 2-nd or der Fermi ac cel er a tion // Arxiv
(astro-ph) 1110. 6644.
20. Miller J. A., Cargill P. I., Emslie A. G., et al. Crit i cal is sues for un der stand ing par ti cle
ac cel er a tion in im pul sive so lar flares // J. Geophys. Res.—1997.—102.—
P. 14631—14659.
21. Miller J. A., Guessom N., Ramaty R. Sto chas tic Fermi ac cel er a tion in so lar flares //
Astro phys. J.—1990.—361, N 2.—P. 701—708.
22. Miller J. A., La Rosa T. N., Moore R. L. Sto chas tic elec tron ac cel er a tion by cas cad ing
fast mode waves in im pul sive so lar flares // Astrophys. J.—1996.—461, N 1.—
P. 445—464.
23. Miller J. A., Rob erts D. A. Sto chas tic pro ton ac cel er a tion by cas cad ing Alfven waves in
im pul sive so lar flares // Astrophys. J.—1995.—452, N 2.—P. 912—932.
24. Mochol I., Ostrowski M. Va lid ity range of the es cape term ap prox i ma tion in the mo -
men tum dif fu sion equa tion // Proc. 31-st Int. Cos mic Ray Conf. — Lodz, Po land,
2009.—SH-2. 5—0226.
25. Park B. T., Petrosian V. Fokker-Planck equa tions of sto chas tic ac cel er a tion: Green’s
func tions and bound ary con di tions // Astrophys. J.—1995.—446, N 2.— P. 699—
716.
26. Ramaty R., Murphy R. J. Nu clear pro cesses and ac cel er ated par ti cles in so lar flares //
Space Sci. Rev.—1987.—45.—P. 213—268.
27. Schlickeiser R. Cos mic ray as tro phys ics. — Berlin — Hei del berg: Springer-Verlag,
2002.—519 p.
28. Schnei der P. A com ment on sec ond-or der Fermi ac cel er a tion // Astron. and
Astrophys.—1993.—269.—P. L13—L15.
29. Steinacker J., Schlickeiser R. Sto chas tic ac cel er a tion of so lar pro tons in the trans -
relativistic re gion // Astron. and Astrophys.—1989.—224.—P. 259—266.
30. Virtanen J. J. P., Vainio R. Sto chas tic ac cel er a tion in rel a tiv is tic par al lel shocks //
Astro phys. J.—2005.—621, N 1.—P. 313—323.
31. Zheng Y. G., Zhang L. Sto chas tic ac cel er a tion of rel a tiv is tic par ti cles in a tur bu lent
mag netic field // Proc. 32-nd Int. Cos mic Ray Conf. — Beijing, China, 2011.—
8.—P. 174.
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 13.02.12
25
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÑÊÎÐÅÍÈÅ È ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÀß ÄÈÔÔÓÇÈß
|