Значення та варіації густини у центрі мас еліпсоїдальних планет

Отримано формулу для визначення густини в центрі мас планети. Розраховані значення густини добре узгоджуються з даними спостережень, а одержані межі їхньої зміни дозволяють будувати більш вірогідні розподіли мас, що є особливо актуальним при дослідженні внутрішньої структури планет Сонячної системи....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Кинематика и физика небесных тел
Дата:	2013
Автори:	Фис, М.М., Зазуляк, П.М., Черняга, П.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Головна астрономічна обсерваторія НАН України 2013
Теми:	Позиционная и теоретическая астрономия
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/77612
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Значення та варіації густини у центрі мас еліпсоїдальних планет / М.М. Фис, П.М. Зазуляк, П.Г. Черняга // Кинематика и физика небесных тел. — 2013. — Т. 29, № 2. — С. 62-68. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-77612
record_format	dspace
spelling	Фис, М.М. Зазуляк, П.М. Черняга, П.Г. 2015-03-02T17:45:19Z 2015-03-02T17:45:19Z 2013 Значення та варіації густини у центрі мас еліпсоїдальних планет / М.М. Фис, П.М. Зазуляк, П.Г. Черняга // Кинематика и физика небесных тел. — 2013. — Т. 29, № 2. — С. 62-68. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 0233-7665 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/77612 528.33:551.24 Отримано формулу для визначення густини в центрі мас планети. Розраховані значення густини добре узгоджуються з даними спостережень, а одержані межі їхньої зміни дозволяють будувати більш вірогідні розподіли мас, що є особливо актуальним при дослідженні внутрішньої структури планет Сонячної системи. Получена формула для определения плотности в центре масс планеты. Вычисленные значения плотности хорошо согласуются с данными наблюдений, а полученные пределы их изменений позволяют строить более достоверные распределения масс, что особенно актуально при исследовании внутренней структуры планет Солнечной системы. A formula for the determination of the density value in the mass centre of a planet is derived. The values calculated are in good agreement with observational data. The obtained boundaries for their changes enable one to build more reliable mass distributions, which is especially urgent in the study of the internal structure of planets of the solar system. uk Головна астрономічна обсерваторія НАН України Кинематика и физика небесных тел Позиционная и теоретическая астрономия Значення та варіації густини у центрі мас еліпсоїдальних планет Значения и вариации плотности в центре масс эллипсоидальных планет The value and variations of density in mass centers of ellipsoidal planets Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Значення та варіації густини у центрі мас еліпсоїдальних планет
spellingShingle	Значення та варіації густини у центрі мас еліпсоїдальних планет Фис, М.М. Зазуляк, П.М. Черняга, П.Г. Позиционная и теоретическая астрономия
title_short	Значення та варіації густини у центрі мас еліпсоїдальних планет
title_full	Значення та варіації густини у центрі мас еліпсоїдальних планет
title_fullStr	Значення та варіації густини у центрі мас еліпсоїдальних планет
title_full_unstemmed	Значення та варіації густини у центрі мас еліпсоїдальних планет
title_sort	значення та варіації густини у центрі мас еліпсоїдальних планет
author	Фис, М.М. Зазуляк, П.М. Черняга, П.Г.
author_facet	Фис, М.М. Зазуляк, П.М. Черняга, П.Г.
topic	Позиционная и теоретическая астрономия
topic_facet	Позиционная и теоретическая астрономия
publishDate	2013
language	Ukrainian
container_title	Кинематика и физика небесных тел
publisher	Головна астрономічна обсерваторія НАН України
format	Article
title_alt	Значения и вариации плотности в центре масс эллипсоидальных планет The value and variations of density in mass centers of ellipsoidal planets
description	Отримано формулу для визначення густини в центрі мас планети. Розраховані значення густини добре узгоджуються з даними спостережень, а одержані межі їхньої зміни дозволяють будувати більш вірогідні розподіли мас, що є особливо актуальним при дослідженні внутрішньої структури планет Сонячної системи. Получена формула для определения плотности в центре масс планеты. Вычисленные значения плотности хорошо согласуются с данными наблюдений, а полученные пределы их изменений позволяют строить более достоверные распределения масс, что особенно актуально при исследовании внутренней структуры планет Солнечной системы. A formula for the determination of the density value in the mass centre of a planet is derived. The values calculated are in good agreement with observational data. The obtained boundaries for their changes enable one to build more reliable mass distributions, which is especially urgent in the study of the internal structure of planets of the solar system.
issn	0233-7665
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/77612
citation_txt	Значення та варіації густини у центрі мас еліпсоїдальних планет / М.М. Фис, П.М. Зазуляк, П.Г. Черняга // Кинематика и физика небесных тел. — 2013. — Т. 29, № 2. — С. 62-68. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT fismm značennâtavaríacíígustiniucentrímaselípsoídalʹnihplanet AT zazulâkpm značennâtavaríacíígustiniucentrímaselípsoídalʹnihplanet AT černâgapg značennâtavaríacíígustiniucentrímaselípsoídalʹnihplanet AT fismm značeniâivariaciiplotnostivcentremasséllipsoidalʹnyhplanet AT zazulâkpm značeniâivariaciiplotnostivcentremasséllipsoidalʹnyhplanet AT černâgapg značeniâivariaciiplotnostivcentremasséllipsoidalʹnyhplanet AT fismm thevalueandvariationsofdensityinmasscentersofellipsoidalplanets AT zazulâkpm thevalueandvariationsofdensityinmasscentersofellipsoidalplanets AT černâgapg thevalueandvariationsofdensityinmasscentersofellipsoidalplanets
first_indexed	2025-11-25T22:31:38Z
last_indexed	2025-11-25T22:31:38Z
_version_	1850565919085953024
fulltext	ÏÎÇÈÖÈÎÍÍÀß È ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÀß ÀÑÒÐÎÍÎÌÈß ÓÄÊ 528.33:551.24 Ì. Ì. Ôèñ, Ï. Ì. Çàçóëÿê, Ï. Ã. ×åðíÿãà Íàö³îíàëüíèé óí³âåðñèòåò «Ëüâ³âñüêà ïîë³òåõí³êà» âóë. Ñ. Áàíäåðè 12, Ëüâiâ, 79013 Çíà÷åííÿ òà âàð³àö³¿ ãóñòèíè ó öåíòð³ ìàñ åë³ïñî¿äàëüíèõ ïëàíåò Îòðèìàíî ôîðìóëó äëÿ âèçíà÷åííÿ ãóñòèíè â öåíòð³ ìàñ ïëàíåòè. Ðîç ðàõîâàí³ çíà÷åííÿ ãóñòèíè äîáðå óçãîäæóþòüñÿ ç äàíèìè ñïîñòå - ðåæåíü, à îäåðæàí³ ìåæ³ ¿õíüî¿ çì³íè äîçâîëÿþòü áóäóâàòè á³ëüø â³ ðî ã³äí³ ðîçïîä³ëè ìàñ, ùî º îñîáëèâî àêòóàëüíèì ïðè äîñë³äæåíí³ âíóòð³øíüî¿ ñòðóêòóðè ïëàíåò Ñîíÿ÷íî¿ ñèñòåìè. ÇÍÀ×ÅÍÈß È ÂÀÐÈÀÖÈÈ ÏËÎÒÍÎÑÒÈ Â ÖÅÍÒÐÅ ÌÀÑÑ ÝË ËÈÏ - ÑÎÈÄÀËÜÍÛÕ ÏËÀÍÅÒ, Ôèñ Ì. Ì., Çàçóëÿê Ï. Ì., ×åðíÿãà Ï. Ã. — Ïîëó÷åíà ôîðìóëà äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè â öåíòðå ìàññ ïëà - íåòû. Âû÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ïëîòíîñòè õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ñ äàí - íû ìè íàáëþäåíèé, à ïîëó÷åííûå ïðåäåëû èõ èçìåíåíèé ïîçâîëÿþò ñòðî èòü áîëåå äîñòîâåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññ, ÷òî îñîáåííî àêòó - àëüíî ïðè èññëåäîâàíèè âíóòðåííåé ñòðóêòóðû ïëàíåò Ñîëíå÷íîé ñèñ òåìû. THE VALUE AND VARI A TIONS OF DEN SITY IN MASS CEN T RES OF EL LIP SOI DAL PLAN ETS, by Fis M. M., Za zu liak P. M., Cherniaha P. H. — A formula for the determination of the den sity value in the mass centre of a planet is de rived. The values cal cu lated are in good agree ment with ob ser va tional data. The ob tained boundaries for their changes en able one to build more re li able mass dis tri bu tions, which is es pe cially ur gent in the study of the in ter nal struc ture of plan ets of the so lar sys tem. ÂÑÒÓÏ Îñíîâîþ ïðè âèâ÷åíí³ âíóòð³øíüî¿ ñòðóêòóðè ïëàíåòè º ôóíêö³ÿ ðîç - ïîä³ëó ¿¿ ìàñ. Âîíà çíà÷íîþ ì³ðîþ âèçíà÷àº ïîâåä³íêó íåáåñíîãî ò³ëà. Íàïðèêëàä, ñôåðè÷íî-ñèìåòðè÷íà ìîäåëü PREM [6] âèêîðèñòî âó ºòü - ñÿ ó òåîð³¿ íóòàö³¿ Âàðà [9], øâèäê³ñòü îáåðòàííÿ ïëàíåòè òàêîæ ïîâ’ÿ - çàíà ç ãóñòèíîþ [3], à ³íòåðïðåòàö³ÿ ãåîäèíàì³÷íèõ ïðîöåñ³â ãðóíòó - ºòü ñÿ íà îäíîìó ³ç â³ðîã³äíèõ ìîäåëüíèõ ðîçïîä³ë³â. 62 ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ È ÔÈÇÈÊÀ ÍÅÁÅÑÍÛÕ ÒÅË òîì 29 ¹ 2 2013 © Ì. Ì. ÔÈÑ, Ï. Ì. ÇÀÇÓËßÊ, Ï. Ã. ×ÅÐÍßÃÀ, 2013 63 Ïðè öüîìó âñ³ ôóíêö³¿ ðîçïîä³ëó ìàñ, ÿê òðèâèì³ðí³, òàê ³ ðàä³àëüí³ (ñôåðè÷íî-ñèìåòðè÷í³), ââàæàþòüñÿ ðîçðèâíèìè. Âåëè÷èíè ñòðèá ê³â ³ ãëè áèíè ¿õíüîãî ðîçì³ùåííÿ äëÿ Çåìë³ âèçíà÷àþòüñÿ ç âèêî ðèñ òàííÿì äà íèõ ñåéñìîëîã³¿, ó çâ’ÿçêó ç ÷èì ñóòòºâèì º çíà÷åííÿ âåëè÷èíè d 0 â öåíò ð³ ïëàíåòè, òîìó ùî ¿¿ ïîñòóëþâàííÿ ñóòòºâî âïëèâàº íà âëàñòè - âîñ ò³ ñòâîðþâàíîãî ìîäåëüíîãî ðîçïîä³ëó ãóñòèíè. Âåëè÷èíà d 0 äëÿ Çåìë³ âèáèðàºòüñÿ íà îñíîâ³ ã³ïîòåç ïðî ïîâåä³í - êó ðå÷îâèíè ç âèçíà÷åíèì õ³ì³÷íèì ñêëàäîì ïðè íàäâèñîêîìó òèñêó [2], äðóãèé ï³äõ³ä ãðóíòóºòüñÿ íà ìàòåìàòè÷íèõ äîïóùåííÿõ ïðî ôóíê ö³þ ðîçïîä³ëó d (ã³ïîòåçà ïðî ãðàâ³òàö³éíó äèôåðåíö³àö³þ [4], óìî âè Ðàäî [2] òîùî). Ìîäåëüí³ ðîçïîä³ëè ³íøèõ ïëàíåò áóäóþòüñÿ àíà ëîã³÷íî çåìíèì ìîäåëÿì. Íèæ÷å ïðåäñòàâëåíî ìåòîäèêó, ùî äîçâîëÿº ïðåäñòàâëÿòè d 0 ó âèãëÿ ä³ íåñê³í÷åííî¿ ñóìè, óòðèìàííÿ äåê³ëüêîõ (÷îòèðüîõ) ÷ëåí³â ÿêî¿ äîáðå óçãîäæóºòüñÿ ç äîïóñòèìèìè ìåæàìè d 0 , ïðèâåäåíèìè â ³í øèõ äæåðåëàõ [2, 8]. ÂÈÊËÀÄ ÎÑÍÎÂÍÎÃÎ ÌÀÒÅÐ²ÀËÓ Âñòàíîâèìî àíàë³òè÷íèé âèðàç äëÿ d 0 , äëÿ ÷îãî ïðåäñòàâèìî ôóíêö³þ ãóñ òèíè ìàñ âèðàçîì [5] d( , , ) ( , , )x x x b w x x xmnk m n k mnk1 2 3 0 1 2 3= + + = ¥ å , (1) äå {wmnk }, {wmnk } — äâ³ á³îðòîãîíàëüí³ ñèñòåìè ìíîãî÷ëåí³â â åë³ï ñî¿ - ä³ t x a x a x a 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 1+ + £ ì í î ü ý þ , ïðè÷îìó w x x xmnk ( , , )1 2 3 = = × ¶ ¶ ¶ ¶ × + + - æ è 1 2 1 1 2 3 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2N N m n km n k x x x x a x a x a! ! ! ç ç ö ø ÷ ÷ + + = N m n k N( ), (2) b V N m n k a a a x x x dmnk e N m n k mnk= + ò 3 2 3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 3 ( ) ! ! ! ( )dw t t, (3) äå Ve — îá’ºì, îáìåæåíèé åë³ïñî¿äîì. Ó öåíòð³ ìàñ çíà÷åííÿ ãóñòèíè âèçíà÷àºòüñÿ âèðàçîì d( , , ) ( , , )0 0 0 0 0 0 0 = + + = ¥ åb wmnk m n k mnk . (4) Äëÿ îá÷èñëåííÿ wmnk ( , , )0 0 0 òâ³ðíó ôóíêö³¿ y [5] ðîçêëàäåìî çà ñòå - ïå íÿìè a b gm n k , â ðåçóëüòàò³ ÷îãî îòðèìàºìî w N a a a m n k m n k N N m n k2 2 2 1 2 2 2 3 2 0 0 0 1 2 1 2 ( , , ) ( ) ( )!! ! ! ! = - × - , (5) àáî wmnk (0, 0, 0) = 0, ÿêùî m, n, àáî k º íåïàðíèìè. ÇÍÀ×ÅÍÍß ÒÀ ÂÀÐ²ÀÖ²¯ ÃÓÑÒÈÍÈ Ó ÖÅÍÒÐ² ÌÀÑ ÅË²ÏÑÎ¯ÄÀËÜÍÈÕ ÏËÀÍÅÒ Îòæå, ðÿä (1) ³ç âðàõóâàííÿì ñï³ââ³äíîøåíü (3) òà (5) íàáóäå âèãëÿ äó d( ) ( ) ( )!!( ) 0 1 3 1 2 1 4 3 20 1 4 2 4 3 4= - - + = ¥ å V N N a a a e N N N m n k ´ ´ 2 2 2 2 2 2 m n k m n k d m n k N m n k ! ! ! ! ! !+ + = å òdw t t . (6) Çíàéäåìî àíàë³òè÷í³ âèðàçè äëÿ ìíîãî÷ëåí³â w(x1 , x2 , x3). Äëÿ öüî - ãî ïîäàìî ¿õ ó âèãëÿä³ wmnk ijs mnk m i n j k s m i n j k s i a x x x a a a = - - - - - - + 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 y s ll N + == åå 0 2/ . (7) Íà îñíîâ³ äèôåðåíö³þâàííÿ òâ³ðíî¿ ôóíêö³¿ y çà çì³ííèìè x1 , x2 , x3 â³äïîâ³äíó ê³ëüê³ñòü ðàç³â [1] ç óìîâè x1 = x2 = x3 = 0 âèçíà÷àºòüñÿ êîå ô³ö³ºíò ïðè a mb ng k : a N l i j s m i n j k s i j s mnk l, , ( )!! ! ! !( )!( )!( )! = - + - - - 2 2 1 2 2 2 2 , (8) ï³äñòàíîâêà ÿêîãî ó ð³âí³ñòü (7) äàº âèðàç wmnk m n ka a a = 1 1 2 3 ´ ´ ( ) ( )!!- - + æ è çç ö ø ÷÷ æ è çç ö ø ÷÷ - - 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 3l m i n j N l x a x a x a i j s m i n j k s k s l i j s 3 2 0 2 2 2 æ è çç ö ø ÷÷ - - - - = + + = ! ! !( )!( )!( )! N / 2 å . (9) Ââ³âøè îïåðàòîð Dl l f a f x a f x a f x = ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ æ è ç ç ö ø ÷ ÷1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 = = l i j s a a a f x x xi j s l i j s l i j s ! ! ! !+ + = å × ¶ ¶ ¶ ¶ 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 3 2 , (10) äëÿ ôóíêö³¿ f x a x a x a m n k = æ è çç ö ø ÷÷ æ è çç ö ø ÷÷ æ è çç ö ø ÷÷ 1 1 2 2 3 3 îäåðæèìî Dl m n k x a x a x a 1 1 2 2 3 3 æ è çç ö ø ÷÷ æ è çç ö ø ÷÷ æ è çç ö ø ÷÷ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ = = l m n k a a a m i n j k s i j s n m k i j s ! ! ! ! ( )!( )!( )! ! ! ! 1 2 3 2 2 2- - -+ + = l m i n j k s m i n j k s x x x a a a å - - - - - - 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 . (11) Ïðè öüîìó âèðàç (9) íàáóäå âèãëÿäó w a a a N l l x a mnk m n k l l l N l = - - + - æ = å 1 1 2 2 1 21 2 3 0 2 1 1( ) ( )!! ! / D è çç ö ø ÷÷ æ è çç ö ø ÷÷ æ è çç ö ø ÷÷ m n k x a x a m n k 2 2 3 3 ! ! ! . (12) Ï³äñòàâèâøè âèðàç (12) y (6), ïðèéäåìî äî ôîðìóëè 64 Ì. Ì. ÔÈÑ, Ï. Ì. ÇÀÇÓËßÊ, Ï. Ã. ×ÅÐÍßÃÀ d( , , ) ( ) ( ) ( ) ( !) ( )! 0 0 0 1 3 1 1 4 3 2 4 2 1 0 = - - + - + = ¥ å V N N N l e N N N N ! !20 l l N l= å ´ ´Dl N x a x a x a 1 1 2 2 2 2 3 3 2 æ è çç ö ø ÷÷ æ è çç ö ø ÷÷ æ è çç ö ø ÷÷ é ë ê ê ù û ú ú . (13) Ä³ÿ îïåðàòîðà Dl íà r2 N = x a x a x a N 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 + + æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ïðèçâîäèòü äî âèðàçó Dl N N lN N l [( )] ( )!! ( )! r r2 2 22 1 2 2 1 = + - + - , (14) ùî äàº çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ ãóñòèíè â öåíòð³ ìàñ d( , , ) ( ) ( )( )!! ( !) 0 0 0 1 3 1 4 3 2 1 20 = - + + = ¥ å V N N Ne N N N ´ ´ ( ) ( )!! !( )! - - + - + × = -å ò 1 4 2 1 2 2 2 10 2 2 l l l N N lN l l N l dtdr t . (15) Çàì³íà ó ôîðìóë³ (15) l íà N - l ïðèâîäèòü äî îñòàòî÷íîãî âèãëÿäó øó êàíîãî ñï³ââ³äíîøåííÿ: d( , , ) ( )( )!! ( !) 0 0 0 1 3 4 3 2 1 22 2 = + + å V N N Ne N l ´ ´ ( ) ( )!! ( )!( )! - - + - += å ò 2 2 2 1 2 10 2 l l N lN l N l l ddr t t . (16) Òàêèì ÷èíîì, ó öåíòð³ ìàñ ïëàíåòè ãóñòèíà d 0 çàïèñóºòüñÿ ÷åðåç ³í òåãðàëüí³ õàðàêòåðèñòèêè I l2 , ÿê³ ìîæíà òðàêòóâàòè ÿê ìîìåíòè ãóñ - òè íè âèùèõ ïîðÿäê³â. Íàãàäàºìî, ùî âîíè ïðè l = 0 ³ l = 1 ìàþòü ô³çè÷ - íèé çì³ñò ìàñè ïëàíåòè I d M0 = =òd t t , (17) òà ñåðåäíüîãî ìîìåíòó ³íåðö³¿ I d A B C2 2 1 2 = = + +òdr t t ( ), (18) ùî âèçíà÷àþòüñÿ íà îñíîâ³ äàíèõ ïðî ãðàâ³òàö³éíå ïîëå. Äàë³, óòðèìó - þ ÷è äâà ÷ëåíè ó ôîðìóë³ (16): ( )d d 0 2 0 2 0 3 3 21 4 5 3= - - é ëê ù ûú c I I I , (19) âèêîíàºìî îá÷èñëåííÿ äëÿ ð³çíèõ ïëàíåò. ²ç òàáë. 2 áóäå âèäíî, ùî çíà÷åí íÿ d 0 2 áëèçüê³ äî ïåðåäáà÷óâàíèõ. Øâèäê³ñòü çá³æíîñò³ àáî ¿¿ ðîçá³æí³ñòü çàëåæèòü â³ä õàðàêòåðó äî - ñë³äæó âàíî¿ ôóíêö³¿, ùî ³ëþñòðóºòüñÿ íàâåäåíèìè äâîìà ïðèêëà äà ìè. Âèçíà÷èìî ñòåïåíåâ³ ìîìåíòè I n n n 2 2 31 2 3 1 05= + + +[ ( . ) ] 65 ÇÍÀ×ÅÍÍß ÒÀ ÂÀÐ²ÀÖ²¯ ÃÓÑÒÈÍÈ Ó ÖÅÍÒÐ² ÌÀÑ ÅË²ÏÑÎ¯ÄÀËÜÍÈÕ ÏËÀÍÅÒ äëÿ ðîçïîä³ëó d r r rz ( ) , . , , . , = £ < £ < ì í î 2 0 05 1 05 1 à òàêîæ äëÿ îäí³º¿ ç ïðàâäîïîä³áíèõ ìîäåëåé ãóñòèíè Çåìë³ d prem (PREM [6]). Îá÷èñëþºìî d z ( )0 ³ d prem(0) çà ôîðìóëîþ (16) äëÿ ð³ç íèõ N. Òàáë. 1 ï³ä òâåðäæóº âèñíîâîê ïðî íåñò³éê³ñòü çíàéäåíèõ çíà ÷åíü, òîìó ùî âî - íè ñïî÷àòêó êîëèâàþòüñÿ íàâêîëî â³äîìèõ, à ï³ñëÿ ïåð øîãî äåñÿòêà ðÿä ïî÷èíàº ðîçá³ãàòèñü. Â çâ’ÿçêó ç öèì ïðè ïðàê òè÷ íèõ äîñë³äæåí - íÿõ ñë³ä áðàòè äåê³ëüêà ÷ëåí³â. Ðîçá³æí³ñòü ðÿäó (16) ìîæå áóòè îáóìîâëåíà ³ ïîõèáêàìè îá÷èñ - ëåíü, ïðî ùî ñâ³ä÷èòü âèïàäîê d c = 5.514, äëÿ ÿêîãî ðÿä (16) ðîçá³ãà ºòü - ñÿ, õî÷à apriori âñ³ éîãî ÷ëåíè ïðè N > 1 äîð³âíþþòü íóëþ. Çíàéäåìî ìîæëèâ³ ìåæ³ çì³íè ãóñòèíè. Äëÿ öüîãî çîáðàçèìî ïî - õ³ä í³ ôóíêö³¿ ãóñòèíè d( , , )x x x1 2 3 òàêîæ ðÿäîì (1) [3]. Ôóíêö³þ d çà ïåâíèõ óìîâ [1] ìîæíà â³äòâîðèòè çà ¿¿ ïîõ³äíèìè: d( , , )x x x1 2 3 = ¶ ¶ò 1 1 10 1 2 3 1 1 a x x x x dx x d ( , , ) + 1 0 2 20 2 3 2 2 a x x x dx x ¶ ¶ò d ( , , ) + + 1 0 0 3 30 3 3 0 3 a x x dx x ¶ ¶ +ò d d( , , ) , (20) äå d 0 — çíà÷åííÿ ãóñòèíè â öåíòð³ ìàñ. Ðîçïèøåìî ôóíêö³þ, ïîäàíó âèðàçîì (20), äåòàëüí³øå: d( , , )x x x1 2 3 = = 1 1 1 10 1 1 2 1 2 3 1 3 a d a d a d m n k m nk mn k mnk N + + = ¥ + + + - å + + é ë ê ù û ú ¶ 1 2 1 2 ( ) ! ! ! r - + N N m n k + + ++ x a d W x x x x a d W x xnk nk mn k m k 1 1 0 1 0 1 2 3 2 2 1 2 0 2 30( , , ) ( , , ) é ë ê + + = ¥ å m n k 0 66 Ì. Ì. ÔÈÑ, Ï. Ì. ÇÀÇÓËßÊ, Ï. Ã. ×ÅÐÍßÃÀ N Ãóñòèíà, ã/ñì3 d prem d z d = 5.514 1 10.53459 1.6172 5.5140 2 13.79867 2.2819 5.5140 3 15.53266 2.6303 5.5140 4 13.45276 2.3794 5.5140 5 10.60356 1.7765 5.5140 6 10.81371 1.3999 5.5140 7 13.57337 1.6112 5.5140 8 15.54328 2.2011 5.5140 9 15.45470 2.5898 5.5140 10 12.19146 2.3952 5.5154 11 11.06139 1.8106 5.5140 12 12.32253 1.4152 5.5140 13 15.29435 1.6006 5.5140 N Ãóñòèíà, ã/ñì3 d prem d z d = 5.514 14 15.52791 2.1823 5.5140 15 15.24641 2.5820 5.5140 16 21.15436 2.4024 5.5140 17 69.75576 1.8225 5.5140 18 300 1.4200 5.5142 19 1300 1.5976 5.5172 20 6400 2.0166 5.5071 21 3.5Å4 2.5956 5.5316 22 2.2Å5 2.0991 5.2082 23 1.4Å6 4.8621 8.5457 24 9.0E6 7.5788 11.6477 25 5.4Å7 –71.4503 –67.4765 Òàáëèöÿ 1. Çíà÷åííÿ ãóñòèíè ó öåíòð³ ìàñ (ôîðìóëà (6)) äëÿ äåÿêèõ ðîçïîä³ë³â ïðè ð³çíèõ N + ù û ú+ x a d W xmnk mn 3 3 1 3 0 30 0( , , ) . (21) Ï³äñòàâèìî ¿¿ ó âèðàç ñòîêñîâî¿ ñòàëî¿ íóëüîâîãî ïîðÿäêó. Â ðå - çóëü òàò³ îäåðæèìî C d d d V M e 00 0 100 1 010 2 001 31 10 = + + + é ëê ù ûú d ( ) , (22) äå êîåô³ö³ºíòè ðîçêëàäó áóäóòü äîð³âíþâàòè d Ic100 1 100 15= d , d Ic010 2 010 25= d , d Ic010 3 001 35= d . Â ñâîþ ÷åðãó, ìîìåíòè ïîõ³äíèõ äîð³âíþþòü I a I100 1 1 1 000 100 1= - +- ( )s , I a I010 2 2 1 000 010 2= - +- ( )s , (23) I a I001 3 3 1 000 001 3= - +- ( )s , äå I M d000 1 1= =òd t t ¾ íóëüîâèé ñòåïåíåâèé ìîìåíò ãóñòèíè, s a s s s s s 100 1 1 1 1 1 2 200 3= = æ è çç ö ø ÷÷ =ò òx d x a d G acos , s a s s s s s 010 2 2 2 2 2 2 020 3= = æ è çç ö ø ÷÷ =ò òx d x a d G acos , s a s s s s s 001 3 3 3 3 3 2 002 3= = æ è çç ö ø ÷÷ =ò òx d x a d G acos , G x a a a x a a a = + - æ è ç ç ö ø ÷ ÷ + - æ è ç ç ö ø ÷ ÷1 1 11 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 3 2 1 2 . Çâ³äñè 5 2 1 2 1 2 000 0 3 200 020 002 0 3I a a G d c = + + + = + òd s s s d d d s s ( ) . (24) Âðàõîâóþ÷è, ùî I 000 1= , îäåðæèìî d d d s s 0 35 2 2 = - ò a d Gc . (25) Ó òàêèé ñïîñ³á ôîðìóëà (25) ïîâ’ÿçóº ñåðåäíº çíà÷åííÿ ãóñòèíè d p íà ïîâåðõí³ s ç âåëè÷èíîþ d 0 ó öåíòð³ ïëàíåòè, ùî äàº ìîæëèâ³ñòü ïî - áó äóâàòè íåð³âí³ñòü 2.5 - 1.5(dð / dñ) £ £d 0 25. , (26) ÿêà âèïëèâàº ç îö³íêè a d G S a Vp e p e 3 3 2 05 15d s d d s ò £ £. . , (27) äå d p — ïîâåðõíåâå çíà÷åííÿ ãóñòèíè, à Ve , S e — îá’ºì ³ ïëîùà åë³ï - ñî¿ äà. 67 ÇÍÀ×ÅÍÍß ÒÀ ÂÀÐ²ÀÖ²¯ ÃÓÑÒÈÍÈ Ó ÖÅÍÒÐ² ÌÀÑ ÅË²ÏÑÎ¯ÄÀËÜÍÈÕ ÏËÀÍÅÒ Ó òàáë. 2 ïðèâåäåíî äîïóñòèì³ çíà÷åííÿ ãóñòèíè d 0 äëÿ ïëàíåò Ñî íÿ÷íî¿ ñèñòåìè, îòðèìàí³ ç âèêîðèñòàííÿì äàíèõ [7]. ÂÈÑÍÎÂÊÈ 1. Ðåçóëüòàòè îá÷èñëåíü äëÿ Çåìë³ äîáðå óçãîäæóþòüñÿ ç ðå çóëü òà - òà ìè äîñë³äæåíü ñó÷àñíî¿ ãåîô³çèêè [2]. 2. Íåóçãîäæåí³ñòü d 0 2 ç äîïóñòèìèìè ìåæàìè çì³íè d 0 ìîæíà ïîÿñ - íè òè íåòî÷í³ñòþ çíà÷åíü ãóñòèíè íà ïîâåðõí³ ïëàíåòè. 3. Îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè ñë³ä âðàõîâóâàòè äëÿ ïîáóäîâè ìîäåëåé ðîç ïî ä³ëó ìàñ, òîìó ùî çíà÷åííÿ d 0 äàþòü ìîæëèâ³ñòü ³ñòîòíî óòî÷ íè - òè ÿê ñôåðè÷íî-ñèìåòðè÷í³ ìîäåë³, òàê ³ òðèâèì³ðí³, ùî äàº çìîãó åôåê òèâ í³øå âèâ÷àòè âíóòð³øíþ áóäîâó ïëàíåò. 1. Áåðìàíò À. Ä. Êðàòêèé êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. — Ì.: Íàóêà, 1964.—663 ñ. 2. Áóëëåí Ê. Å. Ïëîòíîñòü Çåìëè. — Ì.: Ìèð, 1978.—442 ñ. 3. Ãðóøèíñêèé Í. Ï.Òåîðèÿ ôèãóðû Çåìëè. — Ì.: Íàóêà, 1976.—512 ñ. 4. Æàðêîâ Â. Í. Âíóòðåííåå ñòðîåíèå Çåìëè è ïëàíåò. — Ì.: Íàóêà, 1983.—416 ñ. 5. Ìåùåðÿêîâ Ã. À., Ôûñ Ì. Ì. Î áèîðòîãîíàëüíûõ ñèñòåìàõ âíóòðè ýëëèïñîèäà // Òåîðåòè÷åñêèå è ïðèêëàäíûå ïðîáëåìû âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè. — Ì., 1981.—Ñ. 120. 6. Dziewonski A. M., An der son D. L. Pre lim i nary ref er ence Earth model // Phys. Earth and Planet. Inter.¾1981.¾25.¾P. 297—356. 7. Marchenko A. N. On the rep re sen ta tion of planet’s grav i ta tional and mag netic fields. Planet’s ra dial den sity pro files // As tro n. Re port’s School's.—2000.—1, N 2. — P. 12—28. 8. Tisserand F. Traite de Mecanique Celeste. — Paris: Gauthier-Villars, 1891.¾ Vol. II. — 552 ð. 9. Warh J. M. The forced nutations of an el lip ti cal, ro tat ing, elasting and oceanless Earth // Geophys. J. Roy Astron. Soc.—1981.—64.—P. 705—727. Ñòàòòÿ íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 05.05.12 68 Ì. Ì. ÔÈÑ, Ï. Ì. ÇÀÇÓËßÊ, Ï. Ã. ×ÅÐÍßÃÀ Ïëàíåòà dc dp d0 min d0 max Ñåðåäí³é ìîìåíò Ñ d0 2 Ìåðêóð³é 5.44 3.3 8.65 13.6 0.3248 0.486 10.86 Âåíåðà 5.25 2.8 6.125 13.125 0.334 0.501 9.853 Çåìëÿ 5.514 2.67 9.78 13.785 0.3308 0.4962 10.52 Ì³ñÿöü 3.34 3.08 3.73 8.35 0.3967 0.5951 3.48 Ìàðñ 3.94 2.7 5.8 9.85 0.364 0.546 5.802 Þï³òåð 1.334 0.35 2.8 3.335 0.284 0.42 3.43 Ñàòóðí 0.69 0.36 1.085 1.625 0.264 0.39 1.4145 Óðàí 1.26 0.3 2.7 3.15 0.274 0.405 2.488 Íåïòóí 1.67 0.3 3.725 4.175 0.274 0.405 4.519 Òàáëèöÿ 2. Äîïóñòèì³ çíà÷åííÿ äëÿ ãóñòèíè ó öåíòð³ ìàñ ïëàíåò

Значення та варіації густини у центрі мас еліпсоїдальних планет

Репозитарії

Схожі ресурси