Критические скорости в двухкомпонентных сверхтекучих бозе-системах
На основе критерия Ландау рассмотрен вопрос о критических скоростях сверхтекучего движения в двухкомпонентном однородном слабонеидеальном бозе-газе с точечным взаимодействием между частицами. Показано, что при движении компонент с различными скоростями не требуется, чтобы скорость движения каждой из...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7767 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Критические скорости в двухкомпонентных сверхтекучих бозе-системах / Л.Ю. Кравченко, Д.В. Филь // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 2. — С. 1347-1352. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859592117445197824 |
|---|---|
| author | Кравченко, Л.Ю. Филь, Д.В. |
| author_facet | Кравченко, Л.Ю. Филь, Д.В. |
| citation_txt | Критические скорости в двухкомпонентных сверхтекучих бозе-системах / Л.Ю. Кравченко, Д.В. Филь // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 2. — С. 1347-1352. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | На основе критерия Ландау рассмотрен вопрос о критических скоростях сверхтекучего движения в двухкомпонентном однородном слабонеидеальном бозе-газе с точечным взаимодействием между частицами. Показано, что при движении компонент с различными скоростями не требуется, чтобы скорость движения каждой из компонент была меньше минимальной фазовой скорости элементарных возбуждений в неподвижном конденсате. Критерий Ландау в этом случае приводит к совместному условию на скорости компонент и их взаимное направление. Найдено, что максимальное значение критической скорости данной компоненты может быть достигнуто, когда другая компонента покоится, либо компоненты движутся во взаимно перпендикулярных направлениях. Результаты обобщены на случай дальнодействующего взаимодействия между частицами, а также для неоднородного двухкомпонентного бозе-газа, удерживаемого в цилиндрическом гармоническом потенциале. Показано, что в этих случаях поведение критических скоростей качественно такое же, как и в однородной двухкомпонентной системе с точечным взаимодействием.
На основі критерію Ландау розглянуто питання про критичні швидкості надплинного руху у двокомпонентному однорідному слабконеідеальному бозе-газі з точковою взаємодією між частинками. Показано, що при росі компонент з різними швидкостями не потрібно, щоб швидкість руху кожної з компонент була менш ніж мінімальна фазова швидкість елементарних збуджень у нерухомому конденсаті. Критерій Ландау в цьому випадку зводиться до сумісної умови на швидкості компонент та їх взаємний напрямок. Знайдено, що максимальне значення критичної швидкості даної компоненти може бути досягнуто, коли інша компонента нерухома, або компоненти рухаються у взаємно перпендикулярних напрямках. Результати узагальнено на випадок далекодіючої взаємодії між частинками, а також для неоднорідного двокомпонентного бозе-газу, що утримується у циліндричному гармонійному потенціалі. Показано, що в цих випадках поведінка критичних швидкостей якісно така ж, як і в однорідній двокомпонентній системі з точковою взаємодією.
On the basis of the Landau criterion, the question on critical velocities of superfluid motion is considered in a two-component homogeneous weakly nonideal Bose gas with a contact interaction between particles. It is shown that under the motion of components with different velocities the velocity of each component is not needed to be lower than the minimum phase velocity of elementary excitations in a still condensate. In that case the Landau criterion yields a joint condition for the velocities of components and their relative directions. It is found that the maximum value of the critical velocity of a given component can be reached when the other component does not move or both components move in the directions perpendicular to each other. The results are generalized to the case of particles with a long-range interaction, as well as to the case of an inhomogeneous two-component Bose gas confined in a cylindrical harmonic potential. It is shown that in these cases the behavior of the critical velocities is q ualitatively the same as that in the homogeneous two-component system with a contact interaction.
|
| first_indexed | 2025-11-27T16:38:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 12, ñ. 1347–1352
Êðèòè÷åñêèå ñêîðîñòè â äâóõêîìïîíåíòíûõ
ñâåðõòåêó÷èõ áîçå-ñèñòåìàõ
Ë.Þ. Êðàâ÷åíêî, Ä.Â. Ôèëü
Èíñòèòóò ìîíîêðèñòàëëîâ ÍÀÍ Óêðàèíû, ïð. Ëåíèíà, 60, ã. Õàðüêîâ, 61001, Óêðàèíà
E-mail: fil@isc.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 25 àïðåëÿ 2007 ã.
Íà îñíîâå êðèòåðèÿ Ëàíäàó ðàññìîòðåí âîïðîñ î êðèòè÷åñêèõ ñêîðîñòÿõ ñâåðõòåêó÷åãî äâèæåíèÿ
â äâóõêîìïîíåíòíîì îäíîðîäíîì ñëàáîíåèäåàëüíîì áîçå-ãàçå ñ òî÷å÷íûì âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó
÷àñòèöàìè. Ïîêàçàíî, ÷òî ïðè äâèæåíèè êîìïîíåíò ñ ðàçëè÷íûìè ñêîðîñòÿìè íå òðåáóåòñÿ, ÷òîáû
ñêîðîñòü äâèæåíèÿ êàæäîé èç êîìïîíåíò áûëà ìåíüøå ìèíèìàëüíîé ôàçîâîé ñêîðîñòè ýëåìåíòàðíûõ
âîçáóæäåíèé â íåïîäâèæíîì êîíäåíñàòå. Êðèòåðèé Ëàíäàó â ýòîì ñëó÷àå ïðèâîäèò ê ñîâìåñòíîìó
óñëîâèþ íà ñêîðîñòè êîìïîíåíò è èõ âçàèìíîå íàïðàâëåíèå. Íàéäåíî, ÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå
êðèòè÷åñêîé ñêîðîñòè äàííîé êîìïîíåíòû ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî, êîãäà äðóãàÿ êîìïîíåíòà ïîêîèò-
ñÿ, ëèáî êîìïîíåíòû äâèæóòñÿ âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ. Ðåçóëüòàòû îáîáùåíû
íà ñëó÷àé äàëüíîäåéñòâóþùåãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè, à òàêæå äëÿ íåîäíîðîäíîãî äâóõ-
êîìïîíåíòíîãî áîçå-ãàçà, óäåðæèâàåìîãî â öèëèíäðè÷åñêîì ãàðìîíè÷åñêîì ïîòåíöèàëå. Ïîêàçàíî,
÷òî â ýòèõ ñëó÷àÿõ ïîâåäåíèå êðèòè÷åñêèõ ñêîðîñòåé êà÷åñòâåííî òàêîå æå, êàê è â îäíîðîäíîé äâóõ-
êîìïîíåíòíîé ñèñòåìå ñ òî÷å÷íûì âçàèìîäåéñòâèåì.
Íà îñíîâ³ êðèòåð³þ Ëàíäàó ðîçãëÿíóòî ïèòàííÿ ïðî êðèòè÷í³ øâèäêîñò³ íàäïëèííîãî ðóõó ó äâî-
êîìïîíåíòíîìó îäíîð³äíîìó ñëàáêîíå³äåàëüíîìó áîçå-ãàç³ ç òî÷êîâîþ âçàºìî䳺þ ì³æ ÷àñòèíêàìè.
Ïîêàçàíî, ùî ïðè ðóñ³ êîìïîíåíò ç ð³çíèìè øâèäêîñòÿìè íå ïîòð³áíî, ùîá øâèäê³ñòü ðóõó êîæíî¿ ç
êîìïîíåíò áóëà ìåíø í³æ ì³í³ìàëüíà ôàçîâà øâèäê³ñòü åëåìåíòàðíèõ çáóäæåíü ó íåðóõîìîìó êîí-
äåíñàò³. Êðèòåð³é Ëàíäàó â öüîìó âèïàäêó çâîäèòüñÿ äî ñóì³ñíî¿ óìîâè íà øâèäêîñò³ êîìïîíåíò òà ¿õ
âçàºìíèé íàïðÿìîê. Çíàéäåíî, ùî ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ êðèòè÷íî¿ øâèäêîñò³ äàíî¿ êîìïîíåíòè ìî-
æå áóòè äîñÿãíóòî, êîëè ³íøà êîìïîíåíòà íåðóõîìà, àáî êîìïîíåíòè ðóõàþòüñÿ ó âçàºìíî ïåðïåíäè-
êóëÿðíèõ íàïðÿìêàõ. Ðåçóëüòàòè óçàãàëüíåíî íà âèïàäîê äàëåêîä³þ÷î¿ âçàºìî䳿 ì³æ ÷àñòèíêàìè, à
òàêîæ äëÿ íåîäíîð³äíîãî äâîêîìïîíåíòíîãî áîçå-ãàçó, ùî óòðèìóºòüñÿ ó öèë³íäðè÷íîìó ãàðìîí³éíî-
ìó ïîòåíö³àë³. Ïîêàçàíî, ùî â öèõ âèïàäêàõ ïîâåä³íêà êðèòè÷íèõ øâèäêîñòåé ÿê³ñíî òàêà æ, ÿê ³ â
îäíîð³äí³é äâîêîìïîíåíòí³é ñèñòåì³ ç òî÷êîâîþ âçàºìî䳺þ.
PACS: 03.75.Kk Äèíàìè÷åñêèå ñâîéñòâà êîíäåíñàòîâ; êîëëåêòèâíûå è ãèäðîäèíàìè÷åñêèå âîçáóæäåíèÿ,
òå÷åíèå ñâåðõòåêó÷åé æèäêîñòè;
03.75.Mn Ìíîãîêîìïîíåíòíûå êîíäåíñàòû, ñïèíîðíûå êîíäåíñàòû.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñâåðõòåêó÷åñòü, äâóõêîìïîíåíòíàÿ áîçå-ñèñòåìà, êðèòè÷åñêèå ñêîðîñòè.
1. Ââåäåíèå
 ïîñëåäíåå âðåìÿ áîëüøîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ
èçó÷åíèþ ñâîéñòâ äâóõêîìïîíåíòíûõ áîçå-êîíäåíñà-
òîâ. Òàêèå êîíäåíñàòû áûëè ïîëó÷åíû â ëàáîðàòîð-
íûõ óñëîâèÿõ â óëüòðàõîëîäíûõ ãàçàõ ùåëî÷íûõ ìå-
òàëëîâ êàê â ñìåñÿõ îäíèõ è òåõ æå èçîòîïîâ ( 87Rb
[1,2], 23Na [3]) â ðàçëè÷íûõ ñâåðõòîíêèõ çååìàíîâ-
ñêèõ ñîñòîÿíèÿõ, òàê è â ñìåñÿõ ðàçëè÷íûõ èçîòîïîâ
( 41K – 87Rb [4], 133Cs – 7Li [5]).
Èíòåðåñ ê ýòèì ñèñòåìàì îáóñëîâëåí ðÿäîì ïðè÷èí.
 äâóõêîìïîíåíòíûõ êîíäåíñàòàõ ìîãóò ðåàëèçîâû-
âàòüñÿ òîïîëîãè÷åñêèå âîçáóæäåíèÿ, îòñóòñòâóþùèå â
îäíîêîìïîíåíòíûõ, òàêèå êàê ãåëèêîèäàëüíûå âèõðè è
âèõðåâûå óçëû [6]. Ïîñëåäíåå ïîçâîëÿåò ðàññìàòðè-
âàòü áîçå-ñèñòåìû â êà÷åñòâå ìîäåëüíûõ îáúåêòîâ äëÿ
íàáëþäåíèÿ ÿâëåíèé, ïðåäñêàçûâàåìûõ êàëèáðîâî÷-
íûìè òåîðèÿìè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö.  äâóõêîìïî-
íåíòíûõ áîçå-ñèñòåìàõ èìååò ìåñòî ýôôåêò áåçäèññè-
© Ë.Þ. Êðàâ÷åíêî, Ä.Â. Ôèëü, 2007
ïàòèâíîãî óâëå÷åíèÿ ñâåðõòåêó÷åãî ïîòîêà ìåæäó
êîìïîíåíòàìè [7]. Ýòî ïîçâîëÿåò ñîçäàâàòü êîíòðîëè-
ðóåìóþ ðàçíîñòü ôàç ìåæäó áîçå-êîíäåíñàòàìè, ïî-
ìåùåííûìè â äâóõúÿìíûé ïîòåíöèàë, è íàáëþäàòü
ýôôåêòû, ïîäîáíûå òåì, ÷òî èìåþò ìåñòî â ñâåðõïðî-
âîäÿùèõ ñèñòåìàõ ñ äæîçåôñîíîâñêèìè êîíòàêòàìè
[8]. Ñ òî÷êè çðåíèÿ êîñìîëîãèè, èíòåðåñ ê äâóõêîìïî-
íåíòíûì áîçå-êîíäåíñàòàì ñâÿçàí ñ âîçìîæíûì ìîäå-
ëèðîâàíèåì â íèõ ýòàïà ðàííåé ýâîëþöèè Âñåëåííîé
[9]. Â àñòðîôèçèêå òàêèå ñèñòåìû ðàññìàòðèâàþòñÿ â
êà÷åñòâå ìîäåëè íåéòðîííûõ çâåçä [10,11].
Äâóõêîìïîíåíòíûå áîçå-êîíäåíñàòû äàæå ïðè ÷èñ-
òî îòòàëêèâàþùåì âçàèìîäåéñòâèè ìåæäó ÷àñòèöàìè
ìîãóò äåìîíñòðèðîâàòü ýôôåêò ìîäóëÿöèîííîé íå-
ñòàáèëüíîñòè [12]. Ïðåäâåñòíèê òàêîé íåñòàáèëüíîñ-
òè — ñìÿã÷åíèå êîëëåêòèâíîé ìîäû àíòèôàçíûõ êîëå-
áàíèé. Ïîÿâëåíèå ìÿãêîé ìîäû äîëæíî ïðîÿâèòüñÿ â
ðåçêîì óìåíüøåíèè êðèòè÷åñêîé ñêîðîñòè ñâåðõòåêó-
÷åãî äâèæåíèÿ â òàêîé ñèñòåìå. Îäíàêî, ïîñêîëüêó â
äâóõêîìïîíåíòíîé ñèñòåìå âîçìîæíî ñâåðõòåêó÷åå
äâèæåíèå êîìïîíåíò ñ ðàçëè÷íûìè ñêîðîñòÿìè, âîï-
ðîñ î êðèòè÷åñêèõ ñêîðîñòÿõ òðåáóåò áîëåå ïîäðîáíî-
ãî àíàëèçà, ÷òî è ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì íàñòîÿùåãî ñî-
îáùåíèÿ. Îñíîâíîé âûâîä ðàáîòû ñîñòîèò â òîì, ÷òî
ñâåðõòåêó÷åñòü ìîæåò èìåòü ìåñòî ïðè ñêîðîñòÿõ
êîìïîíåíò, á�ëüøèõ ôàçîâîé ñêîðîñòè ìÿãêîé ìîäû.
2. Êðèòè÷åñêèå ñêîðîñòè â îäíîðîäíîì êîíäåíñàòå
Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Ëàíäàó [13], êðèòè÷åñêàÿ ñêî-
ðîñòü â îäíîêîìïîíåíòíîì êîíäåíñàòå îïðåäåëÿåòñÿ
âûðàæåíèåì
v
E k
k
c �
�
�
�
�
�
�min
( )
,0
�
(1)
ãäå E k0( ) — ñïåêòð âîçáóæäåíèé â íåïîäâèæíîì êîí-
äåíñàòå, k — âîëíîâîå ÷èñëî. Äëÿ áîãîëþáîâñêîãî
ñïåêòðà óðàâíåíèå (1) äàåò êðèòè÷åñêóþ ñêîðîñòü, ñî-
âïàäàþùóþ ñî ñêîðîñòüþ ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ìîäû.
Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ, ëåãêî ïîêàçàòü,
÷òî óðàâíåíèå (1) ïðèìåíèìî òàêæå ê äâóõêîìïîíåíò-
íîé ñèñòåìå, â êîòîðîé êîìïîíåíòû äâèæóòñÿ ñ îäèíà-
êîâûìè ïî ìîäóëþ è íàïðàâëåíèþ ñêîðîñòÿìè.
Ñîîòâåòñòâåííî, êðèòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ êîì-
ïîíåíò ñîâïàäàåò ñî ñêîðîñòüþ íèæíåé ãèäðîäèíàìè-
÷åñêîé ìîäû.
Ïðè ðàçëè÷íûõ ñêîðîñòÿõ êîìïîíåíò íå ñóùåñòâó-
åò ñèñòåìû îòñ÷åòà, â êîòîðîé îáå êîìïîíåíòû ïîêî-
ÿòñÿ. Ïîýòîìó äëÿ íàõîæäåíèÿ êðèòè÷åñêèõ ñêîðîñ-
òåé áóäåì èñõîäèòü íåïîñðåäñòâåííî èç òðåáîâàíèÿ
ïîëîæèòåëüíîñòè ýíåðãèé ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäå-
íèé â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñî ñòåíêîé èëè ïðå-
ïÿòñòâèåì (îòíîñèòåëüíî êîòîðîé çàäàíû ñêîðîñòè
äâèæåíèÿ êîìïîíåíò v1 è v 2).
Ðàññìîòðèì îäíîðîäíûé ñëàáîíåèäåàëüíûé äâóõ-
êîìïîíåíòíûé áîçå-ãàç ñ òî÷å÷íûì âçàèìîäåéñòâèåì
ìåæäó ÷àñòèöàìè. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ýíåðãèè ýëåìåí-
òàðíûõ âîçáóæäåíèé âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì
Ãðîññà–Ïèòàåâñêîãî
i
t m
j
j
j j j j j j�
��
�
�
� �
�
�
� �
� �
2
2 2
12 3
2
2
| | | |( )
( , ),j �1 2 (2)
ãäå � j — âîëíîâûå ôóíêöèè êîìïîíåíò, m j — ìàññà
÷àñòèö j-é êîìïîíåíòû. Ñâÿçü ìåæäó êîíñòàíòàìè
âçàèìîäåéñòâèÿ (
j ,
12) è äëèíàìè ðàññåÿíèÿ
(a jk ) îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè
�j jj ja /m� 4 2
� ,
�12
2
1 2 12 1 22� �� ( ) ( )m m a / m m . Òåìïåðàòóðó ñìåñè
áóäåì ñ÷èòàòü ìíîãî ìåíüøåé òåìïåðàòóðû êîíäåí-
ñàöèè. Òîãäà âîëíîâûå ôóíêöèè êîìïîíåíò ìîæíî
ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó ñòàöèîíàðíîé ÷àñòè è ìàëûõ
ôëóêòóàöèé � � ��j j j� �0 , ãäå �� �j j�� 0 . Ñòàöèî-
íàðíóþ ÷àñòü êîíäåíñàòíîé âîëíîâîé ôóíêöèè çàïè-
øåì â âèäå
�
�
�
0 j j
i
i t
t n j
j
( , )
( )
r
r
�
e e � , (3)
ãäå �
j
j j
j j j
m
n n� � �
v
2
12 3
2
— õèìè÷åñêèå ïî-
òåíöèàëû êîìïîíåíò. Ãðàäèåíòû ôàç � j ñâÿçàíû ñî
ñêîðîñòÿìè ñâåðõòåêó÷åãî äâèæåíèÿ êîìïîíåíò îáû÷-
íûì ñîîòíîøåíèåì v j
j
j
m
�
�
� . Ïðè óêàçàííûõ âû-
øå óñëîâèÿõ ïëîòíîñòè êîìïîíåíò êîíäåíñàòà n j
ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò ñ ïëîòíîñòÿìè ÷àñòèö.
Îãðàíè÷èâàÿñü â (2) ïåðâûì ïîðÿäêîì ïî ôëóêòóà-
öèÿì �� j , ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäå-
íèÿ ñïåêòðà ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé
i
t m
j
j
j j j j j j j�
��
�
�
� � ��� ��
� ��
� ��
2
2
0
2
0
2
2
2 | | *
� � �
� ��
� � ��12 0 3
2
12 0 0 3 3| |( ) ( )
*
j j j j j
� �
� � ��12 0 0 3 3 1 2j j j j( )
* ( , ). (4)
Ðåøåíèå óðàâíåíèé (4) áóäåì èñêàòü â âèäå
��
�
� � �
j
i t
i
j
i t
j
i tt u v
j
j( , ) [ ]
( ) ( ) * ( )
r
r kr kr� �
e e e e� .
(5)
Ïîäñòàíîâêà (5) â (4) ïðèâîäèò ê ñèñòåìå óðàâíåíèé
íà êîýôôèöèåíòû u v , îïðåäåëèòåëü êîòîðîé äàåò èñ-
êîìîå äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå äëÿ ñïåêòðà ýëåìåí-
1348 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 12
Ë.Þ. Êðàâ÷åíêî, Ä.Â. Ôèëü
òàðíûõ âîçáóæäåíèé E � �� â âûáðàííîé ñèñòåìå
îòñ÷åòà:
�( ) [ ( ) ][ ( ) ]E E E E E� 1
2
1
2
2
2
2
2
� �v k v k
�4 01 2 12
2
1 2� �
n n , (6)
ãäå E nj j j jj j� �� �
( )2 — áîãîëþáîâñêèé ñïåêòð
äëÿ j-é êîìïîíåíòû â îòñóòñòâèå âçàèìîäåéñòâèÿ
ìåæäó êîìïîíåíòàìè è � j jk m� �
2 2 2/ .
Ïðè v v1 2 0� � óðàâíåíèå (6) äàåò èçâåñòíûé [14]
ñïåêòð âîçáóæäåíèé â äâóõêîìïîíåíòíîì íåïîäâèæ-
íîì êîíäåíñàòå
E
E E E E
n n0
1
2
2
2
1
2
2
2 2
12
2
1 2 1 2
2 4
4,
( — )
.� �
�
� �
� �
(7)
Îòìåòèì, ÷òî èç òðåáîâàíèÿ âåùåñòâåííîñòè ýíåðãèé
(7) âûòåêàåò óñëîâèå
1 2 12
2 0 � , êîòîðîå îïðåäåëÿ-
åò ãðàíèöó ñòàáèëüíîñòè äâóõêîìïîíåíòíîãî êîíäåí-
ñàòà îòíîñèòåëüíî ôàçîâîãî ðàçäåëåíèÿ. Íèæå áóäåì
ñ÷èòàòü ýòî óñëîâèå âûïîëíåííûì. Ïðè v1 = v2 = v
óðàâíåíèå (6) ïðèâîäèò ê òîìó æå ðåçóëüòàòó, ÷òî è
ïðåîáðàçîâàíèå Ãàëèëåÿ: E E� �� �0, �vk. Èç óñëî-
âèÿ ïîëîæèòåëüíîñòè E � ïðè âñåõ k íàõîäèì êðèòè-
÷åñêóþ ñêîðîñòü
v s s s s s s sc � � � �
1
2
41
2
2
2
1
2
2
2 2
1
2
2
2 12
2
1 2
( ) ,
(8)
ãäå s n mj j j j�
/ — ñêîðîñòü çâóêîâîé ìîäû â j-é
êîìïîíåíòå â îòñóòñòâèå âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó êîì-
ïîíåíòàìè.
 îáùåì ñëó÷àå v v1 2� , E E1 2� óðàâíåíèå (6) ÿâ-
ëÿåòñÿ óðàâíåíèåì 4-ãî ïîðÿäêà, íå ñâîäÿùèìñÿ ê
áèêâàäðàòíîìó. Äëÿ íàõîæäåíèÿ êðèòè÷åñêèõ ñêîðîñ-
òåé íåò íåîáõîäèìîñòè â ÿâíîì âèäå ïîëó÷àòü åãî ðå-
øåíèå. Ïîêàæåì, ÷òî ýíåðãèè âîçáóæäåíèé â âûáðàí-
íîé ñèñòåìå îòñ÷åòà îñòàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè ïðè
âûïîëíåíèè äâóõ íåðàâåíñòâ:
[ ( ) ][ ( ) ] ,E E n n1
2
1
2
2
2
2
2
1 2 12
2
1 24 0 �� �v k v k � �
(9)
E1
2
1
2� ( )�v k (10)
((10) ìîæíî çàìåíèòü íåðàâåíñòâîì E2
2
2
2� ( )�v k ). Äëÿ
äîêàçàòåëüñòâà ðàññìîòðèì ôóíêöèþ �( )E , îïðåäåëÿå-
ìóþ âûðàæåíèåì (6), è áóäåì ñ÷èòàòü íåðàâåíñòâà (9),
(10) âûïîëíåííûìè. Èç ÿâíîãî âèäà ôóíêöèè �( )E ñëå-
äóåò åå ïîëîæèòåëüíîñòü ïðè E � ��. Ñîãëàñíî (9), çíà-
÷åíèå ôóíêöèè �( )E ïîëîæèòåëüíî è ïðè E � 0. Êðîìå
òîãî, èç ÿâíîãî âèäà (6) ñëåäóåò, ÷òî �( )E1 1 0� ��kv
è �( ) � �E1 1 0�kv . Ï î ñ êî ë ü ê ó, ñ ó ÷ å ò î ì ( 1 0 ) ,
� �E1 1 0�kv , à E1 1 0� ��kv , òî ôóíêöèÿ �( )E äâàæ-
äû ìåíÿåò çíàê â îáëàñòè E � 0 è äâàæäû — â îáëàñòè
E � 0. Ñîîòâåòñòâåííî, óðàâíåíèå �( )E � 0 èìååò äâà ïî-
ëîæèòåëüíûõ è äâà îòðèöàòåëüíûõ âåùåñòâåííûõ
êîðíÿ.  êà÷åñòâå ýíåðãèé âîçáóæäåíèé ñëåäóåò âûáè-
ðàòü ïîëîæèòåëüíûå êîðíè, òàê êàê âûðàæåíèÿ Å �
äîëæíû áûòü íåïðåðûâíûìè ïî ïàðàìåòðàì v1, v 2 è ïå-
ðåõîäèòü â E0, � ïðè v v1 2 0� � .
Êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ v1 è v 2 ñîîòâåòñòâóþò ñëó-
÷àþ, êîãäà íåðàâåíñòâî (9) ïåðåõîäèò â ðàâåíñòâî õîòÿ
áû äëÿ îäíîé ïàðû âåêòîðîâ k c è k c , ÷òî ñîîòâåò-
ñòâóåò îáðàùåíèþ â íóëü ýíåðãèè âîçáóæäåíèÿ E ( )k
äëÿ îäíîãî èç ýòèõ âîëíîâûõ âåêòîðîâ.
Ñ ó÷åòîì ÿâíîãî âèäà E kj ( ) äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì
âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâ (9), (10) ïðè âñåõ k ÿâëÿåòñÿ
èõ âûïîëíåíèå ïðè k � 0 äëÿ âñåõ íàïðàâëåíèé k,
êîìïëàíàðíûõ ñ v1 è v 2. Ïîýòîìó íåðàâåíñòâà (9), (10)
ìîæíî çàìåíèòü ñèñòåìîé íåðàâåíñòâ
( cos )( cos ( ))s v s v1
2
1
2 2
2
2
2
2 2 � � �
� �
�12
2
1 2
1
2
2
2
1
2
1
2 20s s s v, cos (11)
(ãäå � — óãîë ìåæäó v1 è v 2, à � — óãîë ìåæäó k è
v1), êîòîðûå äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ïðè âñåõ �.
Àíàëèç íåðàâåíñòâ (11) óäîáíî ïðîâåñòè ãðàôè-
÷ å ñ ê è .  â å ä å ì ô ó í ê ö è è x v /s( ) cos� �� 1
2 2
1
2 è
y v /s( ) cos ( )� � �� 2
2 2
2
2. Ïðè ôèêñèðîâàííûõ v j , s j è �
ýòè ôóíêöèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïàðàìåòðè÷åñêîå çà-
äàíèå ýëëèïñà, ïðè÷åì ïðè �, êðàòíîì �/2, ýëëèïñ
âûðîæäàåòñÿ â îòðåçîê. Óñëîâèÿ (11) ñâîäÿòñÿ ê òðå-
áîâàíèþ, ÷òîáû äàííûé ýëëèïñ (îòðåçîê) ëåæàë â îá-
ëàñòè, îãðàíè÷åííîé íèæíåé âåòâüþ ãèïåðáîëû
( )( )1 1 12
2
1 2 �x y /
(pèñ. 1). Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåíà ïî-
ëó÷åííàÿ èç ãðàôè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ñâÿçü ìåæäó
êðèòè÷åñêèìè ñêîðîñòÿìè vc1 è vc2 ïðè ðàçëè÷íûõ
óãëàõ �. Îòìåòèì, ÷òî ïðè çàìåíå � íà � � ñîîòíîøå-
íèå ìåæäó êðèòè÷åñêèìè ñêîðîñòÿìè íå ìåíÿåòñÿ.
Ïðè äâèæåíèè êîìïîíåíò â îäíîì è òîì æå ëèáî
ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ (� �� 0, ) ñâÿçü ìåæäó
êðèòè÷åñêèìè ñêîðîñòÿìè çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
( — )( )s v s v s sc c1
2
1
2
2
2
2
2 12
2
1 2
1
2
2
2 �
(12)
ïðè äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè v sc1 1� (ëèáî v sc2 2� ).
Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (12), òîëüêî ïðè îäèíàêîâûõ ñêî-
ðîñòÿõ êîìïîíåíò èõ êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ñîâïàäà-
þò ñî ñêîðîñòüþ íèæíåé ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ìîäû
v v sc c1 2� � .  îáùåì ñëó÷àå ñâåðõòåêó÷åå äâèæåíèå
ñîõðàíÿåòñÿ è ïðè ñêîðîñòè îäíîé èç êîìïîíåíò, ïðå-
âûøàþùåé s (ïðè ýòîì ñêîðîñòü âòîðîé êîìïîíåíòû
äîëæíà áûòü ìåíüøå s ). Åñëè îäíà èç êîìïîíåíò ïî-
êîèòñÿ, òî ñêîðîñòü âòîðîé ( j-é) êîìïîíåíòû ìîæåò
äîñòèãàòü çíà÷åíèÿ
Êðèòè÷åñêèå ñêîðîñòè â äâóõêîìïîíåíòíûõ ñâåðõòåêó÷èõ áîçå-ñèñòåìàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 12 1349
v scj j,max .� 1 12
2
1 2
(13)
Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî v sc1,max � è v sc2,max � (ýòî, â
÷àñòíîñòè, äåìîíñòðèðóåò ðèñ. 2). Ïðè ýòîì ìàêñè-
ìàëüíàÿ êðèòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü îäíîé èç êîìïîíåíò
ìîæåò çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàòü âåëè÷èíó s . Íàïðè-
ìåð, ïðè s s1 2�� èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ öåïî÷êà íå-
ðàâåíñòâ: v v sc c1 2, ,max max�� � (âåëè÷èíà vc2,max â òà-
êîé ñèòóàöèè ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ s ).
Êàê âèäíî íà ðèñ. 2, ïðè � �� 0, âîçìîæíî äâèæå-
íèå îáåèõ êîìïîíåíò ñî ñêîðîñòÿìè, ïðåâûøàþùèìè
s . Ïðè äâèæåíèè êîìïîíåíò âî âçàèìíî ïåðïåíäèêó-
ëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ (� �� / 2) èõ ñêîðîñòè ìîãóò îä-
íîâðåìåííî äîñòèãàòü ìàêñèìàëüíûõ êðèòè÷åñêèõ
çíà÷åíèé (13).
Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ñèñòå-
ìû ñ äàëüíîäåéñòâóþùèì âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó
÷àñòèöàìè.  ýòîì ñëó÷àå êîëëåêòèâíûå ìîäû â íå-
ïîäâèæíîì êîíäåíñàòå òàêæå îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíå-
íèåì (7), â êîòîðîì ïàðàìåòðû
j è
12 çàìåíåíû íà
ôóðüå-êîìïîíåíòû ïîòåíöèàëîâ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæ-
äó ÷àñòèöàìè
j k( ) è
12( )k (â òîì ÷èñëå è â âûðàæå-
íèè äëÿ E j : E k nj j j j j
/� �[ ( ( ) )]� �
2 1 2. Îòìåòèì, ÷òî
òàêàÿ çàìåíà ïîçâîëÿåò, â ÷àñòíîñòè, ñìîäåëèðîâàòü ñè-
òóàöèþ, êîãäà ñïåêòðû êîëëåêòèâíûõ âîçáóæäåíèé ñî-
äåðæàò ðîòîííûé ìèíèìóì. Äëÿ òîãî ÷òîáû â ñèñòåìå
íå âîçíèêàëà ìîäóëÿöèîííàÿ íåóñòîé÷èâîñòü, äîëæíî
óäîâëåòâîðÿòüñÿ íåðàâåíñòâî E E k n n1
2
2
2
1 2 12
2
1 24� � �
( )
(ïðè âñåõ k). Ìàêñèìàëüíàÿ êðèòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü
äâèæåíèÿ äàííîé ( j-é) êîìïîíåíòû ïðè ïîêîÿùåéñÿ
âòîðîé êîìïîíåíòå îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
v
E
k
k n n
E E
cj
j
,max min
( )
.�
�
�
�
�
�
�
�
��
1
4 1 2 12
2
1 2
1
2
2
2
� �
(14)
Ïðè äâèæåíèè îáåèõ êîìïîíåíò ñ îäèíàêîâûìè ñêî-
ðîñòÿìè êðèòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæå-
íèåì v E / kc � min ( ),0 � . Êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå,
ïîñëåäíÿÿ âåëè÷èíà ìåíüøå êàæäîé èç âåëè÷èí (14).
Ýòî, â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò, ÷òî íàëè÷èå ðîòîííîãî ìè-
íèìóìà â ñïåêòðå âîçáóæäåíèé íå ìåíÿåò îñíîâíîé
âûâîä íàñòîÿùåé ðàáîòû.
Ñòðîãî ãîâîðÿ, ðàññìîòðåííûé â ðàáîòå ïîäõîä â
îáùåì ñëó÷àå äàåò ëèøü âåðõíþþ îöåíêó äëÿ êðèòè-
÷åñêèõ ñêîðîñòåé, ïîñêîëüêó íå ó÷èòûâàåò âîçìîæ-
íîñòü âîçáóæäåíèÿ âèõðåé. Òåì íå ìåíåå â ðÿäå ñèòóà-
öèé îöåíêà êðèòè÷åñêèõ ñêîðîñòåé íà îñíîâå àíàëèçà
ñïåêòðà êîëëåêòèâíûõ ìîä ïîëíîñòüþ îïðàâäàííà.
Íàïðèìåð, ýòî èìååò ìåñòî ïðè îáòåêàíèè ñâåðõòåêó÷è-
ìè ïîòîêàìè ïðåïÿòñòâèé, èìåþùèõ ìàëûé (ìåíüøå
äëèíû çàëå÷èâàíèÿ) ëèíåéíûé ðàçìåð [15–17].
3. Êðèòè÷åñêèå ñêîðîñòè â êîíäåíñàòå,
óäåðæèâàåìîì â öèëèíäðè÷åñêîì ãàðìîíè÷åñêîì
ïîòåíöèàëå
 íåîäíîðîäíûõ áîçå-ãàçàõ, óäåðæèâàåìûõ â îïòè-
÷åñêèõ ëèáî ìàãíèòíûõ ëîâóøêàõ, ìèíèìàëüíóþ ôà-
çîâóþ ñêîðîñòü èìåþò ïîâåðõíîñòíûå âîçáóæäåíèÿ
[18]. Ïðîöåññ ðîæäåíèÿ âèõðåé â òàêèõ ñèñòåìàõ ñâÿ-
çàí ñ âîçáóæäåíèåì ïîâåðõíîñòíûõ ìîä, è êðèòè÷åñêàÿ
ñêîðîñòü ñîâïàäàåò ñ ìèíèìàëüíîé ôàçîâîé ñêîðîñòüþ
ïîâåðõíîñòíîé ìîäû [19]. Ïîýòîìó åñòü îñíîâàíèÿ
1350 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 12
Ë.Þ. Êðàâ÷åíêî, Ä.Â. Ôèëü
0
0,2 0,4 0,6
0,2
0,4
0,6
X
Y 1
2
3
4
Ðèñ. 1. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ (11) ïðè
12 1 2 2� / . Ïîêàçàí ñëó÷àé, êîãäà ñêîðîñòè v1, v2 äîñòè-
ãàþò êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé. Êðèâàÿ 1 îòâå÷àåò íèæíåé
âåòâè ãèïåðáîëû, îòðåçêè 2, 3 è ýëëèïñ 4 ïîêàçûâàþò îá-
ëàñòè çíà÷åíèé, êîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü ôóíêöèè x( )� è
y( )� ïðè � �� 0, , � � �� 2 è � � �� /3 2 3, / ñîîòâåòñòâåííî.
0 2, 0 4, 0 6, 0 8,
0 2,
0 4,
0 6,
0 8,
v
/s
ñ2
1
v sñ1/ 1
è 0=
ð
è
4
=
ð
è
3
=
ð
è
2
=
s_
s_
0
Ðèñ. 2. Ñâÿçü ìåæäó êðèòè÷åñêèìè ñêîðîñòÿìè ïðè
12 1 2 2� / ïðè ðàçëè÷íûõ �. Âåëè÷èíà s ñîîòâåòñòâóåò
ñëó÷àþ s s1 2� .
îæèäàòü, ÷òî ïîëó÷åííûé â ðàáîòå ðåçóëüòàò ïðèìåíèì
è ê íåîäíîðîäíîé äâóõêîìïîíåíòíîé ñèñòåìå.
Ïðîèëëþñòðèðóåì ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå íà
ïðèìåðå äâóõêîìïîíåíòíîãî áîçå-ãàçà, óäåðæèâàå-
ìîãî â ãàðìîíè÷åñêîì öèëèíäðè÷åñêîì ïîòåíöèàëå
V r m x y /( ) ( )� ��0
2 2 2 2. Pàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà
ñâåðõòåêó÷èå ïîòîêè íàïðàâëåíû âäîëü z. Äëÿ ïðîñòî-
òû áóäåì ñ÷èòàòü n r n r n r1 2( ) ( ) ( )� � (r — ðàäèàëüíàÿ
êîîðäèíàò à) , m m m1 2� � ,
1 2� � è 0 12� �
.
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ó êîòîðîé òîìàñ-ôåðìèåâñêèé
ðàäèóñ êîíäåíñàòà R n /mTF � �[ ( ) ] /2 12 0 0
2 1 2
� ìíîãî
áîëüøå îñöèëëÿòîðíîé äëèíû ëîâóøêè. Äëÿ íàõîæ-
äåíèÿ ñïåêòðà ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé ïåðåéäåì
îò óðàâíåíèÿ Ãðîññà–Ïèòàåâñêîãî ê ëèíåàðèçîâàííîé
ñèñòåìå ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ ïëîò-
í î ñ ò å é n t tj j( , ) | ( , )|r r� � 2 è ñ êî ð î ñ ò å é v rj t( , ) �
�
�[ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )] /* *� � � �j j j jt t t t inmr r r r 2 ê î ì ï î-
íåíò:
�
�
�
� �
�
� �
n
t
n n
j
j j j( )v v 0 0,
m
t
n n m
j
j j j j
�
�
�
� � �
�
�
� �
v
v v( )12 3 0 0, (15)
ãäå n n r /RTF� 0
2 21( ) — ðàâíîâåñíûå ïëîòíîñòè êîìïî-
íåíò (n0 — ïëîòíîñòü â öåíòðå ëîâóøêè), v 0 0 0j jv� ( , , )
— èõ ñâåðõòåêó÷èå ñêîðîñòè, a �n j è �v j — ôëóêòóà-
öèè ýòèõ âåëè÷èí.
Äëÿ îïðåäåëåííîãî ýëåìåíòàðíîãî âîçáóæäåíèÿ çà-
âèñèìîñòü ôëóêòóàöèé îò êîîðäèíàò (â öèëèíäðè÷åñ-
êîé ñèñòåìå) è âðåìåíè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
� � �n n rj j
i t kz� ~ ( , ) ( )e , � � � �
v vj j
i t kzr� ~ ( , ) ( )e . Ïîäñòà-
âèâ ýòè âûðàæåíèÿ â (15), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé
ñèñòåìå óðàâíåíèé äëÿ ~n j :
m kv n nk n nj j j j( ) ~ ( ~ ~ )�
� �
2 2
12 3
�
� � � 2 2 3 0 1 2[ ( ~ ~ )] ( , )n n n jj j
�� , (16)
ãäå
� � � �2
1
r r
r
i i� � — äâóìåðíûé ãðàäèåíò. Ïðè
k RTF�� 1 âîçáóæäåíèÿ ëîêàëèçîâàíû âîçëå êðàÿ áî-
çå-îáëàêà, ãäå ïëîòíîñòü ëèíåéíî çàâèñèò îò ðàäèàëü-
íîé êîîðäèíàòû: n x� ñ � 2 0n /RTF è x R rTF� . Ïî-
ýòîìó äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (16) ìîæíî
âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòàìè çàäà÷è î ñïåêòðå è
ñîáñòâåííûõ âåêòîðàõ âîçáóæäåíèé â ëèíåéíîì ïî-
òåíöèàëå [20–22].
Äëÿ äâóõ íèæíèõ, ñèíôàçíîé è àíòèôàçíîé, ïî-
âåðõíîñòíûõ ìîä ôëóêòóàöèè ïëîòíîñòè íå çàâèñÿò îò
�, à èõ çàâèñèìîñòü îò x èìååò âèä ~n yj j
kx� e . Ïîëó÷èâ
èç (16) ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ y j è ïðèðàâíÿâ åå îïðå-
äåëèòåëü íóëþ, ïîëó÷èì äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå
( ) ( )�
�
!
"
#
$
%
&
!
"
#
$
%
& kv
n k
mR
kv
n k
mRTF TF
1
2 0
2
2 02 2 4
12
2
0
2 2
2 2
0
n k
m RTF
� .
(17)
Îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè èñïîëüçóåìîãî ãèäðîäèíàìè-
÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ îãðàíè÷åíà ñâåðõó óñëîâèåì
k k m� , ãäå k m — âîëíîâîé âåêòîð, ïðè êîòîðîì ñòàíî-
âÿòñÿ ñðàâíèìûìè âêëàäû êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöè-
àëüíîé ýíåðãèé â ýíåðãèþ âîçáóæäåíèÿ. Âåëè÷èíó k m
ìîæíî îöåíèòü, ïðèðàâíÿâ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ
÷àñòèö �
2 2 2k / m ýíåðãèè íèæíåé ìîäû â ãèäðîäèíà-
ìè÷åñêîì ïðåäåëå E n k/mRTF0 12 0
1 22,
/[ ( — ) ] � �
,
÷òî äàåò k mn Rm TF
/� 2 0 12
2 1 3[ ( ) / ]
� .  òî÷êå k k m'
çàâèñèìîñòü ýíåðãèè âîçáóæäåíèÿ îò k èìååò ïåðåãèá,
è ïîýòîìó êðèòè÷åñêóþ ñêîðîñòü ìîæíî îöåíèòü, ïîä-
ñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå (17) k k m� .
Êàê ñëåäóåò èç (17), ïðè v v1 2� êðèòè÷åñêàÿ ñêî-
ðîñòü ñîâïàäàåò ñ ìèíèìàëüíîé ôàçîâîé ñêîðîñòüþ
íèæíåé ïîâåðõíîñòíîé ìîäû
v s
n
mR k
c sf
TF m
� �
2
1 12
, (18)
à ïðè äâèæåíèè òîëüêî îäíîé êîìïîíåíòû êðèòè÷åñ-
êàÿ ñêîðîñòü äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ
v
n
mR k
sc
TF m
sf,max � � �
2
1 112
2
2
12
. (19)
Òàêèì îáðàçîì, êàê è â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ, ñâåðõòå-
êó÷åå äâèæåíèå òîëüêî îäíîé êîìïîíåíòû ìîæåò ïðî-
èñõîäèòü ñ áîëüøåé ñêîðîñòüþ, ÷åì îäíîâðåìåííîå
äâèæåíèå îáåèõ êîìïîíåíò.
4. Çàêëþ÷åíèå
Ýêñïåðèìåíòàëüíóþ ïðîâåðêó ïðåäñêàçàííûõ â ðà-
áîòå ñâîéñòâ ìîæíî ïðîâåñòè, èññëåäîâàâ, íàïðèìåð,
ïîâåäåíèå êðèòè÷åñêèõ ñêîðîñòåé â äâóõêîìïîíåíò-
íîé ñèñòåìå, â êîòîðîé ïîñëå èçìåíåíèÿ ôîðìû óäåð-
æèâàþùåãî ïîòåíöèàëà ïðîèñõîäèò ðàñøèðåíèå áî-
çå-îáëàêà. Ïîñêîëüêó âíåøíèå ïîëÿ ìîãóò, â îáùåì
ñëó÷àå, ñîçäàâàòü ðàçëè÷íûå ïîòåíöèàëû äëÿ ðàçíûõ
êîìïîíåíò, â òàêîé ñèñòåìå, ïî-âèäèìîìó, ìîæíî ðåà-
ëèçîâàòü äâèæåíèå êîìïîíåíò ñ íåîäèíàêîâûìè ñêî-
ðîñòÿìè. Äðóãàÿ âîçìîæíîñòü ñîñòîèò â ñîçäàíèè â
áîçå-îáëàêå áàðüåðîâ, íåïðîíèöàåìûõ äëÿ îäíîé èç
êîìïîíåíò. Åñëè â îòñóòñòâèå áàðüåðîâ êîìïîíåíòû
äâèæóòñÿ ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ, ïîÿâëåíèå òàêèõ
áàðüåðîâ äîëæíî ïðèâîäèòü ê óâåëè÷åíèþ êðèòè÷åñ-
êîé ñêîðîñòè. Íàêîíåö, äâèæåíèå êîìïîíåíò ñ ðàçëè÷-
íûìè ñêîðîñòÿìè ëåãêî ðåàëèçîâàòü â ñèñòåìàõ, â
êîòîðûõ êîìïîíåíòû ðàçäåëåíû ïðîñòðàíñòâåííî (íà-
ïðèìåð, äâóõñëîéíûõ). Â òàêèõ ñèñòåìàõ äëÿ íàáëþ-
äåíèÿ ïðåäñêàçàííîãî â ðàáîòå ýôôåêòà íåîáõîäèìî
Êðèòè÷åñêèå ñêîðîñòè â äâóõêîìïîíåíòíûõ ñâåðõòåêó÷èõ áîçå-ñèñòåìàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 12 1351
äàëüíîäåéñòâóþùåå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó êîìïî-
íåíòàìè.  êà÷åñòâå ïîñëåäíåé ñèñòåìû ìîæíî èñ-
ïîëüçîâàòü íå òîëüêî àòîìàðíûå áîçå-ãàçû â îïòè÷åñ-
êèõ ñâåðõðåøåòêàõ, íî è ìíîãîñëîéíûå êîíäåíñàòû
ýëåêòðîí-äûðî÷íûõ ïàð, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêàòü â
ãåòåðîñòðóêòóðàõ ñ ÷åòíûì (> 2) ÷èñëîì äâóìåðíûõ
ýëåêòðîííûõ ñëîåâ [23,24]. Êðèòè÷åñêèå ñêîðîñòè â
ýëåêòðîí-äûðî÷íûõ êîíäåíñàòàõ ìîæíî ëåãêî èçìå-
ðÿòü, ïîñêîëüêó îíè ïðîïîðöèîíàëüíû âåëè÷èíå
êðèòè÷åñêîãî òîêà.
Îòìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò âàæåí òàêæå ñ
òî÷êè çðåíèÿ âîçìîæíîñòè íàáëþäåíèÿ ýôôåêòà áåç-
äèññèïàòèâíîãî óâëå÷åíèÿ ñâåðõòåêó÷åãî ïîòîêà â
äâóõêîìïîíåíòíûõ áîçå-ñèñòåìàõ. Âåëè÷èíà ýòîãî ýô-
ôåêòà äîñòàòî÷íî ìàëà [8,25] è ïîýòîìó æåëàòåëüíî,
÷òîáû ñêîðîñòü óâëåêàþùåé êîìïîíåíòû áûëà âåëèêà.
Êàê ñëåäóåò èç ðåçóëüòàòîâ íàñòîÿùåé ðàáîòû, îáåñïå-
÷èòü ïîñëåäíåå ìîæíî çà ñ÷åò èñïîëüçîâàíèÿ â êà÷åñòâå
óâëåêàþùåé êîìïîíåíòû òàêîé, ó êîòîðîé âåëèêà
ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü çâóêîâîé ìîäû (s j ), íàïðèìåð
êîìïîíåíòû ñ äîñòàòî÷íî áîëüøîé ïëîòíîñòüþ ÷àñòèö.
 çàêëþ÷åíèå àâòîðû âûðàæàþò áëàãîäàðíîñòü
Ñ.È. Øåâ÷åíêî çà îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû. Ðà-
áîòà ÷àñòè÷íî ïîääåðæàíà ãðàíòîì CRDF ¹ 2853.
1. D.S. Hall, M.R. Matthews, J.R. Ensher, C.E. Wieman,
and E.A. Cornell, Phys. Rev. Lett. 81, 1539 (1998).
2. P. Maddaloni, M. Modugno, C. Fort, F. Minardi, and M.
Inguscio, Phys. Rev. Lett. 85, 2413 (2000).
3. H.J. Miesner, D.M. Stamper-Kurn, J. Stenger, S. Inouye,
A.P. Chikkatur, and W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 82, 2228
(1999).
4. G. Modugno, M. Modugno, F. Riboli, G. Roati, and M.
Inguscio, Phys. Rew. Lett. 89, 190404 (2002).
5. M. Mudrich, S. Kraft, R. Grimm, A. Mosk, M. Weiden-
m�ller, Phys. Rev. Lett. 88, 253001 (2002).
6. Y.M. Cho, H. Khim, and P. Zhang, Phys. Rev. A72,
063603 (2005).
7. À.Ô. Àíäðååâ, Å.Ï. Áàøêèí, ÆÝÒÔ 69, 319 (1975).
8. D.V. Fil and S.I. Shevchenko, Phys. Rev. A72, 013616
(2005).
9. U.R. Fischer and R. Schutzhold, Phys. Rev. A70, 063615
(2004).
10. M.A. Alpar, S.A. Langer, and J.A. Sauls, Astrophys. J.
282, 533 (1984).
11. E. Babaev, Phys. Rev. D70, 043001 (2004).
12. K. Kasamatsu and M. Tsubota, Phys. Rev. A74, 013617
(2006).
13. Å.Ì. Ëèôøèö, Ë.Ï. Ïèòàåâñêèé, Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôè-
çèêà, ÷. 2, Òåîðèÿ êîíäåíñèðîâàíîãî ñîñòîÿíèÿ, Íàóêà,
Ìîñêâà (1978).
14. E. Timmermans, Phys. Rev. Lett. 81, 5718 (1998).
15. S. Stieberger and W. Zwerger, Phys. Rev. A62, 061601
(2000).
16. D.L. Kovrizhin and L.A. Maksimov, Phys. Lett. A282,
421 (2001).
17. I. Carusotto, S.X. Hu, L.A. Collins, and A. Smerzi,
cond-mat/0612114.
18. P.O. Fedichev and G.V. Shlyapnikov, Phys. Rev. A63,
045601 (2001).
19. J.R. Anglin, Phys. Rev. Lett. 87, 240401 (2001).
20. Ñ.È. Øåâ÷åíêî, ÔÍÒ 18, 328 (1992).
21. U.Al. Khawaja, C.J. Pethick, and H. Smith, Phys. Rev.
A60, 1507 (1999).
22. D.V. Fil and S.I. Shevchenko, Phys. Rev. A64, 013607
(2001).
23. Ñ.È. Øåâ÷åíêî, Ä.Â. Ôèëü, À.À. ßêîâëåâà, ÔÍÒ 30,
413 (2004).
24. D.V. Fil and S.I. Shevchenko, J. Luminesc. 112, 212 (2005).
25. D.V. Fil and S.I. Shevchenko, ÔÍÒ 30, 1028 (2004).
Critical velocities in two-component superfluid
Bose systems
L.Yu. Kravchenko and D.V. Fil
On the basis of the Landau criterion, the ques-
tion on critical velocities of superfluid motion is
considered in a two-component homogeneous weakly
nonideal Bose gas with a contact interaction between
particles. It is shown that under the motion of compo-
nents with different velocities the velocity of each
component is not needed to be lower than the mini-
mum phase velocity of elementary excitations in
a still condensate. In that case the Landau criterion
yields a joint condition for the velocities of compo-
nents and their relative directions. It is found that the
maximum value of the critical velocity of a given
component can be reached when the other component
does not move or both components move in the direc-
tions perpendicular to each other. The results are gen-
eralized to the case of particles with a long-range in-
teraction, as well as to the case of an inhomogeneous
two-component Bose gas confined in a cylindrical
harmonic potential. It is shown that in these cases the
behavior of the critical velocities is qualitatively the
same as that in the homogeneous two-component sys-
tem with a contact interaction.
PACS: 03.75.Kk Dynamic properties of conden-
sates; collective and hydrodynamic excita-
tions, superfluid flow;
03.75.Mn Multicomponent condensates;
spinor condensates.
Keywords: superfluidity, two-component Bose sys-
tem, critical velocity.
1352 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 12
Ë.Þ. Êðàâ÷åíêî, Ä.Â. Ôèëü
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7767 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0132-6414 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T16:38:52Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кравченко, Л.Ю. Филь, Д.В. 2010-04-12T13:08:39Z 2010-04-12T13:08:39Z 2007 Критические скорости в двухкомпонентных сверхтекучих бозе-системах / Л.Ю. Кравченко, Д.В. Филь // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 2. — С. 1347-1352. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 0132-6414 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7767 На основе критерия Ландау рассмотрен вопрос о критических скоростях сверхтекучего движения в двухкомпонентном однородном слабонеидеальном бозе-газе с точечным взаимодействием между частицами. Показано, что при движении компонент с различными скоростями не требуется, чтобы скорость движения каждой из компонент была меньше минимальной фазовой скорости элементарных возбуждений в неподвижном конденсате. Критерий Ландау в этом случае приводит к совместному условию на скорости компонент и их взаимное направление. Найдено, что максимальное значение критической скорости данной компоненты может быть достигнуто, когда другая компонента покоится, либо компоненты движутся во взаимно перпендикулярных направлениях. Результаты обобщены на случай дальнодействующего взаимодействия между частицами, а также для неоднородного двухкомпонентного бозе-газа, удерживаемого в цилиндрическом гармоническом потенциале. Показано, что в этих случаях поведение критических скоростей качественно такое же, как и в однородной двухкомпонентной системе с точечным взаимодействием. На основі критерію Ландау розглянуто питання про критичні швидкості надплинного руху у двокомпонентному однорідному слабконеідеальному бозе-газі з точковою взаємодією між частинками. Показано, що при росі компонент з різними швидкостями не потрібно, щоб швидкість руху кожної з компонент була менш ніж мінімальна фазова швидкість елементарних збуджень у нерухомому конденсаті. Критерій Ландау в цьому випадку зводиться до сумісної умови на швидкості компонент та їх взаємний напрямок. Знайдено, що максимальне значення критичної швидкості даної компоненти може бути досягнуто, коли інша компонента нерухома, або компоненти рухаються у взаємно перпендикулярних напрямках. Результати узагальнено на випадок далекодіючої взаємодії між частинками, а також для неоднорідного двокомпонентного бозе-газу, що утримується у циліндричному гармонійному потенціалі. Показано, що в цих випадках поведінка критичних швидкостей якісно така ж, як і в однорідній двокомпонентній системі з точковою взаємодією. On the basis of the Landau criterion, the question on critical velocities of superfluid motion is considered in a two-component homogeneous weakly nonideal Bose gas with a contact interaction between particles. It is shown that under the motion of components with different velocities the velocity of each component is not needed to be lower than the minimum phase velocity of elementary excitations in a still condensate. In that case the Landau criterion yields a joint condition for the velocities of components and their relative directions. It is found that the maximum value of the critical velocity of a given component can be reached when the other component does not move or both components move in the directions perpendicular to each other. The results are generalized to the case of particles with a long-range interaction, as well as to the case of an inhomogeneous two-component Bose gas confined in a cylindrical harmonic potential. It is shown that in these cases the behavior of the critical velocities is q ualitatively the same as that in the homogeneous two-component system with a contact interaction. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Бозе-эйнштейновская конденсация Критические скорости в двухкомпонентных сверхтекучих бозе-системах Critical velocities in two-component superfluid Bose systems Article published earlier |
| spellingShingle | Критические скорости в двухкомпонентных сверхтекучих бозе-системах Кравченко, Л.Ю. Филь, Д.В. Бозе-эйнштейновская конденсация |
| title | Критические скорости в двухкомпонентных сверхтекучих бозе-системах |
| title_alt | Critical velocities in two-component superfluid Bose systems |
| title_full | Критические скорости в двухкомпонентных сверхтекучих бозе-системах |
| title_fullStr | Критические скорости в двухкомпонентных сверхтекучих бозе-системах |
| title_full_unstemmed | Критические скорости в двухкомпонентных сверхтекучих бозе-системах |
| title_short | Критические скорости в двухкомпонентных сверхтекучих бозе-системах |
| title_sort | критические скорости в двухкомпонентных сверхтекучих бозе-системах |
| topic | Бозе-эйнштейновская конденсация |
| topic_facet | Бозе-эйнштейновская конденсация |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7767 |
| work_keys_str_mv | AT kravčenkolû kritičeskieskorostivdvuhkomponentnyhsverhtekučihbozesistemah AT filʹdv kritičeskieskorostivdvuhkomponentnyhsverhtekučihbozesistemah AT kravčenkolû criticalvelocitiesintwocomponentsuperfluidbosesystems AT filʹdv criticalvelocitiesintwocomponentsuperfluidbosesystems |