Определение источников в одномерной решетке электрических диполей на основе принципа минимальной пространственной протяженности решения

Рассмотрена векторная модель источников, которая задана набором идеальных электрических диполей Герца с общей ориентацией их дипольных моментов. На основании принципа минимальной пространственной протяженности решения сформулирована задача нелинейной оптимизации и предложен подход, который основан н...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Радіофізика та електроніка
Date:	2011
Main Authors:	Борулько, В.Ф., Вовк, С.М.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2011
Subjects:	Мікрохвильова електродинаміка
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/78052
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Определение источников в одномерной решетке электрических диполей на основе принципа минимальной пространственной протяженности решения / В.Ф. Борулько, С.М. Вовк // Радіофізика та електроніка. — 2011. — Т. 2(16), № 2. — С. 14-20. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860247477284765696
author	Борулько, В.Ф. Вовк, С.М.
author_facet	Борулько, В.Ф. Вовк, С.М.
citation_txt	Определение источников в одномерной решетке электрических диполей на основе принципа минимальной пространственной протяженности решения / В.Ф. Борулько, С.М. Вовк // Радіофізика та електроніка. — 2011. — Т. 2(16), № 2. — С. 14-20. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Радіофізика та електроніка
description	Рассмотрена векторная модель источников, которая задана набором идеальных электрических диполей Герца с общей ориентацией их дипольных моментов. На основании принципа минимальной пространственной протяженности решения сформулирована задача нелинейной оптимизации и предложен подход, который основан на методе сопряженных градиентов со специальным выбором величины шага вдоль направления спуска. Представлены результаты численного моделирования для случая, когда источники излучения являются вещественными и расположены вдоль прямой линии, которая параллельна линии измерений электрического поля. Vector model of sources described by a sequence of ideal Hertz dipoles with their common dipole moment orientation is considered. By using a principle of minimum spatial extension of solution the problem of sources estimation is formulated and approach based on conjugate gradient method with special selection of step value along descent direction is proposed. Numerical simulations for the case when sources are real and located along a straight line paralleled to measurement line are presented. Розглянуто векторну модель джерел, яка задана набором ідеальних електричних диполів Герца з загальною орієнтацією їхніх дипольних моментів. На основі принципу мінімальної просторової протяжності рішення сформульовано задачу нелінійної оптимізації та запропоновано підхід, який ґрунтується на методі спряжених градієнтів зі спеціальним вибором величини кроку вздовж напрямку спуску. Наведено результати числового моделювання для випадку, коли джерела випромінювання є дійсними та розташовані вздовж прямої лінії, яка є паралельною до лінії вимірювань електричного поля.
first_indexed	2025-12-07T18:38:54Z
format	Article
fulltext	ММІІККРРООХХВВИИЛЛЬЬООВВАА ЕЕЛЛЕЕККТТРРООДДИИННААММІІККАА _________________________________________________________________________________________________________________ __________ ISSN 1028−821X Радіофізика та електроніка, 2011, том 2(16), № 2 © ІРЕ НАН України, 2011 УДК 621.391:537.87 В. Ф. Борулько, С. М. Вовк ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСТОЧНИКОВ В ОДНОМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ДИПОЛЕЙ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МИНИМАЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ РЕШЕНИЯ Днепропетровский национальный университет им. О. Гончара 72, пр. Гагарина, Днепропетровск, 49051, Украина E-mail: borulko@inbox.ru, vovk_s_m@mail.ru Рассмотрена векторная модель источников, которая задана набором идеальных электрических диполей Герца с общей ориентацией их дипольных моментов. На основе принципа минимальной пространственной протяженности решения сформулиро- вана задача нелинейной оптимизации и предложен подход, который основан на методе сопряженных градиентов со специальным выбором величины шага вдоль направления спуска. Представлены результаты численного моделирования для случая, когда источ- ники излучения являются вещественными и расположены вдоль прямой линии, которая параллельна линии измерений электриче- ского поля. Ил. 3. Табл. 2. Библиогр.: 16 назв. Ключевые слова: электрический диполь, одномерная решетка, минимум пространственной протяженности. Одной из важных задач теории антенн является задача определения пространственного местоположения и амплитуд источников излуче- ния по результатам измерений компонент электро- магнитного поля [1, 2]. С математической точки зрения эта задача относится к классу обратных задач и является некорректной. Мы предложили подход к решению задачи для скалярного случая, где предполагали, что источники излучения яв- ляются точечными источниками однородных сферических волн [3–5]. В данной работе мы рас- сматриваем векторный случай, полагая, что ис- точники излучения являются точечными диполь- ными источниками. При этом описываем излу- чающую систему конечным набором идеальных электрических диполей Герца, расположенных вдоль прямой линии и имеющих общую ориента- цию дипольных моментов, а также считаем, что в ближней зоне излучающей системы могут быть выполнены измерения электрической компонен- ты поля с пренебрежимо малым влиянием изме- рительного зонда. В дальнейшем рассмотрении будем пола- гать, что поле излучения системы диполей явля- ется суперпозицией полей отдельных диполей. Тогда обратную задачу определения параметров источников по результатам измерения электриче- ской компоненты поля можно сформулировать как задачу решения системы линейных алгебраи- ческих уравнений (СЛАУ) с комплексными коэф- фициентами и неизвестными. В общем случае матрица такой СЛАУ является прямоугольной, ее горизонтальный размер определяется количест- вом «точек решения» (т. е. точек пространства, в которых могут быть расположены источники из- лучения), а вертикальный размер – количеством «точек измерений» (т. е. точек пространства, в которых выполнены измерения). Этот вид матри- цы СЛАУ приводит к необходимости поиска не- которого псевдорешения, например решения с минимальной евклидовой нормой по методу наи- меньших квадратов [6]. Однако если СЛАУ явля- ется плохо обусловленной, то нормальное псев- дорешение оказывается чрезмерно чувствитель- ным к шуму, и поэтому возникает необходимость его регуляризации [7]. Основная цель регуляризации заключает- ся в сужении области решения за счет использо- вания дополнительной априорной информации и вовлечения ее в математическую формулировку задачи. Традиционно в качестве такой информа- ции используют требование минимальности энер- гии решения (например, мощности омических потерь в антенне [8]) или энергии производных решения и др. Однако этот подход имеет сущест- венный недостаток: он обычно приводит к слиш- ком гладкому решению в тех случаях, когда ис- тинное решение не является гладким. В настоя- щей работе для выполнения регуляризации мы используем более конструктивную априорную информацию о минимальной пространственной протяженности решения, которую формализуем в виде функционала его «обобщенной протяженно- сти», при этом мы рассматриваем случай, когда источники излучения расположены редко в зара- нее неизвестных узлах заданной дискретной сетки. 1. Основные соотношения для задачи излучения на основе идеальных диполей Герца. Для случая среды без поглощения поле излучения идеального электрического диполя Герца описы- вается выражениями [9] ,sin 4 ,sin11 cos12 4 20 2 20 20 ikr ikr e r k r ipH ek r ik rr ik rr rpE − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= ⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −++ ⎢ ⎣ ⎡ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += θ π ωϕ θθ θ πε (1) В. Ф. Борулько, С. М. Вовк / Определение источников в одномерной… ______________________________________________________________________________________________________________ 15 где EH , – комплексные амплитуды напряженнос- тей электрического и магнитного полей; 0zpp = – электрический момент диполя; 2 /k π λ= . Суще- ствуют различные варианты представления источ- ников излучения с помощью наборов электриче- ских диполей; далее рассмотрим два простейших примера, в которых каждому источнику излучения соответствует один электрический диполь. Пример 1. Пусть источники излучения представлены электрическими диполями, кото- рые расположены вдоль прямой линии S (линии источников) и имеют общую ориентацию своих дипольных моментов. Пусть линия измерений M является параллельной к линии S и лежит с ней в одной плоскости, а электрические моменты всех диполей являются перпендикулярными к этой плоскости (рис. 1, а). а) б) Рис. 1. Примеры наборов электрических диполей, располо- женных вдоль прямой линии S, с общей ориентацией их элект- рических моментов, где линия измерений M электрического поля параллельна S: а) – пример 1 – электрические моменты диполей параллельны оси y; б) – пример 2 – электрические моменты диполей направлены вдоль оси x Тогда из (1) следует, что вектор напря- женности электрического поля E каждого дипо- ля является перпендикулярным к экваториальной плоскости 2/πθ = , и следовательно, электриче- ское поле каждого диполя содержит только ком- поненту ikrek r ik rr pE −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+= 2 2 11 4πεθ . (2) Из (2) видно, что для «дальнего поля» (когда λ>>r ) величина Eθ пропорциональна ikre r− , что соответствует полю скалярного точечного источ- ника однородной сферической волны. Используем дополнительную систему декартовых координат, для которой ось x совме- щена с линией источников S, ось z направлена перпендикулярно от линии источников S к линии измерений M, а ось y – параллельно векторам 0z электрических моментов диполей. Тогда .θEEy −= Используя (2) и принцип суперпозиции полей, для рассматриваемой системы электриче- ских диполей можно записать СЛАУ ∑ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − +− −= N n m j s n nj zxx ikkub 1 22)()( 2 )( 22)()( 22)()( 22)()( )( ))(exp( )( 1 zxx zxxik zxx m j s n m j s n m j s n +− +−− ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ +− − , (3) j = 1, …, J, где jb – известные комплексные значения компо- ненты yE электрического поля в «точках изме- рений»; nu – неизвестные комплексные значения поля в «точках решения»; z – расстояние между линией источников и линией измерений; ( )s nx и ( )m jx – x-координаты «узлов решения» и «узлов измерений» соответственно; N – количество ди- полей; J – количество точек измерений. Пример 2. Пусть источники излучения представлены электрическими диполями, кото- рые расположены вдоль оси x дополнительной системы декартовых координат, причем их ди- польные моменты направлены вдоль этой оси. Пусть линия измерений M параллельна линии источников S, а зонд измеряет продольную (вдоль оси x) компоненту электрического поля (рис. 1, б). Так как для каждого диполя θθ θ sincos EEE rx −= , где ikr r eik rr pE −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += θ πε cos12 4 2 ; ;/cos rx=θ ;222 zxr += 2 2 1 1 sin 4 ikrp ikE k e r rrθ θ πε −⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; ,/sin rz=θ θ z0 z0 z0 r Зонд x y z r0 ϕ0 θ0 S M ϕ x y z ϕ θ = π /2 z0 z0 z0 r Зонд r0 ϕ0 θ0 S M В. Ф. Борулько, С. М. Вовк / Определение источников в одномерной… ______________________________________________________________________________________________________________ 16 то для данной системы диполей легко записать соответствующую СЛАУ. Отметим, что в «даль- ней зоне» для каждого электрического диполя величина Ех пропорциональна 2 2(cos ) ikre rθ − , что соответствует случаю излучения неоднородной сферической волны. 2. Решение обратной задачи. Из приве- денного рассмотрения следует, что для указанных и аналогичных им примеров можно сформулиро- вать обратную задачу определения параметров источников по результатам измерения электриче- ской компоненты поля как задачу решения СЛАУ с комплексными коэффициентами и неизвестны- ми. Для упрощения дальнейшего изложения и расчетов перейдем от исходной комплексной СЛАУ к вещественной путем выписывания ре- альных и мнимых частей соответствующих урав- нений. При этом упорядочим запись вещест- венных линейных уравнений и неизвестных та- ким образом, чтобы вещественная СЛАУ имела вид ,bu =A где ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = RI IR AA AAA – вещественная блочная матрица, в которой блоки RA и IA от- вечают вещественной и мнимой частям матрицы исходной комплексной СЛАУ; TIR bbb ][= – ве- щественный вектор-столбец известных данных, содержащий значения вещественной Rb и мни- мой Ib частей известной компоненты электриче- ского поля; TIR uuu ][= – вещественный вектор- столбец неизвестных амплитуд источников, пред- ставленных вещественной Ru и мнимой Iu час- тями. Поскольку в общем случае матрица СЛАУ является прямоугольной, то решение обратной задачи с помощью обращения матрицы СЛАУ является невозможным. Это приводит к необхо- димости поиска некоторого псевдорешения, на- пример нормального псевдорешения с минималь- ной евклидовой нормой. Хотя нормальное псев- дорешение является единственным, однако оно часто оказывается чрезмерно чувствительным к погрешностям (шуму) в векторе b и непримени- мым на практике из-за плохой обусловленности матрицы A. Стандартный подход, который позво- ляет регулировать чувствительность решения к погрешностям в векторе b, заключается в его ре- гуляризации путем сглаживания. Традиционно это обеспечивается заменой исходной задачи bu =A на задачу квадратичной регуляризации }min{\|\|\|\|\|\|\|\| 222 uubu →+− ρA , (4) где 2ρ – параметр регуляризации Тихонова [7]. Из (4) видно, что в этом случае решением обратной задачи является вектор ,)( 12 bu TT AIAA −+= ρ где I – единичная матрица. Однако такое решение обладает существенным недостатком: для опти- мального значения 2ρ оно может оказаться слишком гладким в тех случаях, когда истинное решение априорно не является гладким. По этой причине квадратичная регуляризация не является подходящим методом решения обратных задач для подобных случаев и, в частности, когда ре- шение описывается точечными источниками. Да- лее мы представляем другой способ регуляриза- ции, который основан не на сглаживании реше- ния, а на получении решения минимальной про- странственной протяженности. Этот подход ис- пользует идею метода минимума длительности [10] и применительно к данной задаче мы его на- звали методом регуляризации на основе «прин- ципа минимальной пространственной протяжен- ности решения». Для решения СЛАУ bu =A относительно u на основе принципа минимальной пространст- венной протяженности решения используем сле- дующую общую формулировку: }min{)(\|\|\|\|)( 22 uubuu →+−= DAf γ , (5) где )(uf – функционал, который необходимо ми- нимизировать, варьируя u. Функционал (5) состоит из двух частей: 2\|\|\|\| bu −A есть квадрат евклидо- вой нормы невязки решения, а функционал D(u) задает меру «пространственной протяженности» решения u, где простые варианты D(u) могут быть построены на основе функций Хьюбера [11], Андрюса, Рамсея, Мешалкина, Демиденко [12], а также других невыпуклых функций [4, 5, 10, 13−15]. Коэффициент 2γ мы называем параметром «внешней регуляризации»; он имеет физическую размерность, а его величина должна выбираться из условия минимума абсолютной ошибки реше- ния. Подчеркнем, что в задаче (5) априорной ин- формацией является требование минимума «про- странственной протяженности» решения u. Ограничим дальнейшее рассмотрение случаем дипольных источников с вещественными амплитудами, когда дипольные источники распо- ложены редко в заранее неизвестных узлах за- данной дискретной сетки, а в качестве D(u) ис- пользуем предельный случай «внутренне регуля- ризированного» функционала обобщенной про- странственной протяженности [4, 5], которым является мириадный функционал [16]. В дискрет- ном случае запишем этот функционал в виде ,)/\|\|1ln()( )...,,,()( 1 22 21 ∑ = += == N n n N uc uuuu αα DD (6) где nu – элементы вектора-столбца Ru неизвест- ных вещественных амплитуд источников; N – количество узлов заданной дискретной сетки; В. Ф. Борулько, С. М. Вовк / Определение источников в одномерной… ______________________________________________________________________________________________________________ 17 2( ) 1/ ln(1 1/ )c α α= + , 2α – параметр «внутренней регуляризации», который обеспечивает сглажи- вание значений nu . Тогда из (5) получаем задачу N-мерной оптимизации },...,,,min{]/\|\|1ln[)( \|\|)...,,,()( 21 1 222 1 2 1 21 N N n n J j jn N n jnN uuuuc buauuuu →++ +−== ∑ ∑ ∑ = = = ααγ ff (7) где jna – элементы матрицы ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ I R A A ; bj – элементы вектора-столбца известных данных ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ I R b b . Из (6) видно, что при сильном «внутрен- нем сглаживании», когда 22 nu>>α для всех ,...,,1 Nn = второе слагаемое функционала (7) стремится к квадратичной зависимости от неиз- вестных nu , т. е. задача (7) переходит в задачу квадратичной регуляризации (4), причем без уче- та физической размерности получаем .22 ργ = Так как (7) не является задачей квадра- тичной оптимизации, то ее решение не может быть получено аналитически. Поэтому для реше- ния задачи (7) мы предлагаем численный метод, который основан на методе сопряженных гради- ентов и задан схемой: ;0,)()()()1( ≥+=+ tphuu tttt ;)0()0( gp −= ;1,)1()1()()( ≥+−= −− tpdgp tttt ;\|\|\|\|/\|\|\|\| 2)1(2)()1( −− = ttt ggd )),(minarg( )()()( tt h t hpuh += f где t – номер итерации; )(tu – полученное реше- ние на t-й итерации; )(th – шаг вдоль направления спуска )(tp на t-й итерации; )(tg – градиент функ- ционала f на t-й итерации. Повторяя основные шаги метода сопряженных градиентов, предла- гаемый метод имеет особенности, которые обу- словлены неквадратичностью функционала (7) и проявляются при выполнении на каждой итера- ции таких действий: – вычисление градиента )(tg функционала f; – решение одномерной задачи минимизации по величине шага h вдоль направления спуска )(tp . Рассмотрим их более детально. Из (7) следует, что вектор градиента )(tg есть ,)()( )(2)()( tTtTt vcbug αγ+−= AAA (8) где вектор )(tv состоит из элементов: ....,,1;])[( 22)()()( Nnuuv t n t n t n =+= α Таким обра- зом, сложность вычисления вектора градиента эквивалентна сложности умножения матрицы на вектор. Также отметим, что если выбрать нулевое начальное приближение ,0)0( =u то .)0( bg TA−= Решение одномерной задачи минимиза- ции ))(minarg( )()()( tt h t hpuh += f мы предлагаем выполнять на конечном множестве «пробных ша- гов», включая условно названные: «шаг по невяз- ке», «обнуляющие шаги» и «ньютоновский шаг». «Шаг по невязке» предназначен для ми- нимизации первого слагаемого в (7), которое опре- деляет невязку решения; величина этого шага есть ),,/()],([ )()()()( ttTtTtT pppbuh AAAAA −−= где t – номер итерации, а круглые скобки с запятой обо- значают операцию скалярного произведения. «Обнуляющие шаги» составляют основ- ную часть множества пробных шагов и предназна- чены для минимизации второго слагаемого в (7), которое определяет пространственную протяжен- ность решения; величина этих шагов на t-й ите- рации есть ( ) ( )t t n n nh u p= − ; ....,,1 Nn = Видно, что каждый из этих шагов обращает в нуль соответ- ствующее значение ( )t nu , минимизируя тем самым n-е слагаемое функционала «обобщенной про- странственной протяженности». Использование обнуляющего шага обычно приводит к переходу приближения )(tu из одного локального минимума в другой локальный минимум функционала (7), что может существенно влиять на результат фор- мирования последующего направления спуска. Поэтому после использования любого из обну- ляющих шагов мы выполняли операцию обнов- ления направления спуска, полагая на следующей t-й итерации ( ) ( )t tp g= − , где )(tg определено в (8). «Ньютоновский шаг» предназначен для работы в случаях, когда )(tu находится в такой малой окрестности одного из локальных мини- мумов функционала ),(uf что (7) можно прибли- женно считать квадратичной функцией от h. Этот шаг мы вычисляли на каждой итерации по фор- муле ),,])(/([),( )()(2)()( ttTtt ppcpgh QAA αγ+−= где ...),])(/[])([...,diag( 22)(22)(2 t n t n uu +−= ααQ – диагональная матрица, элементы которой зависят от текущего приближения )(tu и параметра .2α Если «ньютоновский шаг» был использован N раз подряд, то мы выполняли операцию обновления направления спуска. Также отметим, что при ∞→2α «ньютоновский шаг» совпадает с вели- чиной аналогичного шага для задачи (4) стан- дартной регуляризации Тихонова [7] при приме- нении к ней метода сопряженных градиентов. В. Ф. Борулько, С. М. Вовк / Определение источников в одномерной… ______________________________________________________________________________________________________________ 18 Таким образом, на каждой итерации из множества пробных шагов мы выбирали неотри- цательный шаг, который минимизировал функ- ционал (7) как одномерную функцию h. Если этот шаг был равен нулю, то мы выполняли операцию обновления направления спуска. Если операция обновления направления спуска выполнялась два раза подряд, то мы завершали итерационный процесс. 3. Результаты численного моделиро- вания. На рис. 2 приведены результаты числен- ного моделирования прямой и обратной задач для примера 1 расположения диполей. Для моделиро- вания прямой задачи использовалась СЛАУ (3) со следующими значениями параметров: N = J = 200; ;)()( xxx ms Δ=Δ=Δ ;1,0/ =Δ λx ,1/ =λz амплитуды =nu 1 для =n 40, 70, 100, 130, 160 и =nu 0 для остальных n. Полученные в результате моделиро- вания исходные комплексные значения jb были искажены аддитивным гауссовским шумом с ну- левым математическим ожиданием и фиксиро- ванной дисперсией, причем стандартное отклоне- ние шума составляло около 5 % от максимального абсолютного значения вещественной Rb (сплош- ная кривая, рис. 2, а) и мнимой Ib (пунктирная кривая, рис. 2, а) частей электрической компо- ненты поля; при этом отношение сигнал-шум SNR по мощности приблизительно было равно + 20 дБ. На рис. 2, б представлены результаты решения обратной задачи методами стандартной квадратичной регуляризации (штриховая кривая) и регуляризации на основе принципа минималь- ной пространственной протяженности (сплошная кривая) при использовании наилучших значений соответствующих параметров регуляризации (табл. 1). a) б) Рис. 2. Пространственное распределение: a) − действительная (сплошная кривая) и мнимая (штриховая кривая) части элект- рического поля для набора диполей из примера 1; б) − реше- ние обратной задачи методом квадратичной регуляризации (штриховая кривая) и методом регуляризации на основе ми- нимума пространственной протяженности (сплошная кривая) ___________________________________________ Таблица 1 Максимальная относительная ошибка решения для примера 1 ( 2γ = 2ρ ), % Метод 2ρ 2α 10−5 10−4,5 10−4 10−3,5 10−3 10−2,5 10−2 10−1,5 10−1 КР − 200,10 136,02 104,65 92,21 88,79 88,12 87,86 87,79 87,91 МПП 10−6 92,73 87,42 81,97 56,47 2,46 1,92 1,95 99,99 100,00 10−5 114,39 86,08 54,76 3,55 2,38 1,92 1,96 2,18 99,96 10−4 160,98 81,80 3,81 3,13 2,09 1,96 1,99 2,33 99,68 10−3 261,35 80,80 55,24 3,69 2,93 2,45 2,35 2,90 5,91 10−2 294,40 118,01 60,41 9,67 6,43 5,70 5,89 7,37 12,98 10−1 317,84 118,39 90,72 76,59 74,52 76,21 78,61 81,78 85,74 1 203,85 126,25 99,24 90,12 88,05 87,55 87,37 87,39 87,68 10 198,98 134,60 103,87 91,91 88,71 88,06 87,81 87,75 87,88 ___________________________________________ Численная реализация метода квадратич- ной регуляризации выполнялась путем построе- ния обратной матрицы 121 )( −− += IAAA ρρ T и ее умножения на вектор bTA , что отвечало исполь- зованию аналитического решения задачи (4). Численная реализация метода регуляри- зации на основе принципа минимальной про- странственной протяженности выполнялась пу- тем построения итерационного процесса для за- дачи (7) по указанной выше схеме метода сопря- )(xb 0,1 0 –0,1 0 5 10 15 x / λ )(xu 1 0,5 0 0 5 10 15 x / λ В. Ф. Борулько, С. М. Вовк / Определение источников в одномерной… ______________________________________________________________________________________________________________ 19 женных градиентов, причем общий объем вычис- лений был ограничен 1 000 итераций. В табл. 1 приведены максимальные значе- ния относительной среднеквадратической ошибки решения для различных значений 2ρ при выпол- нении квадратичной регуляризации (КР) и для различных значений 2γ и 2α при выполнении регуляризации на основе принципа минимальной пространственной протяженности решения (МПП). Эти значения были получены по 10 реализациям шума для случая выбора нулевого начального приближения .0)0( =u Из рассмотрения табл. 1 видно, что регуляризация на основе принципа МПП позволила существенно уменьшить ошибку решения обратной задачи, причем можно указать достаточно широкие диапазоны значений пара- метров 2γ и 2α , внутри которых эта ошибка не превосходит 10 %. Также видно, что значения ошибки, которые отвечают КР, практически сов- падают со значениями ошибки, которые отвечают МПП для случая сильного «внутреннего сглажи- вания» 2α = 10. Отметим, что для наилучших в табл. 1 значений параметров 2γ = 10−2,5; 2α = 10−6 и 2γ = 10−2,5; 2α = 10−5 решение обратной задачи достигалось в среднем за 380 и 270 итераций со- ответственно, а для 2γ = 10−2,5 и 2α =10−4 – в среднем за 160 итераций. На рис. 3 приведены аналогичные резуль- таты численного моделирования для примера 2 расположения диполей. Хотя здесь вклад шума в вещественную Rb (сплошная кривая, рис. 3, а) и мнимую Ib (штриховая кривая, рис. 3, а) части электрической компоненты поля составил около 7 и 12 % соответственно (при этом SNR ≈ + 15 дБ), однако точность решения обратной задачи, дос- тигнутая методом регуляризации на основе прин- ципа МПП (сплошная кривая, рис. 3, б), осталась достаточно высокой. a) б) Рис. 3. Пространственное распределение: a) − действительная (сплошная кривая) и мнимая (штриховая кривая) части элект- рического поля для набора диполей из примера 2; б) − реше- ние обратной задачи методом квадратичной регуляризации (штриховая кривая) и методом регуляризации на основе ми- нимума пространственной протяженности (сплошная кривая) В табл. 2 приведены максимальные зна- чения относительной среднеквадратической ошибки решения, которые были получены по 10 реализациям шума для случая выбора нулевого начального приближения .0)0( =u Отметим, что для наилучших в данной таблице значений пара- метров 2γ = 10−2,5 и 2α = 10−4 решение обратной задачи достигалось в среднем за 160 итераций. ___________________________________________ Таблица 2 Максимальная относительная ошибка решения для примера 2 ( 2γ = 2ρ ), % Метод 2ρ 2α 10−5 10−4,5 10−4 10−3,5 10−3 10−2,5 10−2 10−1,5 10−1 КР − 224,14 147,94 111,11 95,34 90,03 90,06 90,49 90,88 91,28 МПП 10−6 111,51 85,16 109,63 96,58 56,31 54,97 99,98 99,99 100,00 10−5 140,36 110,49 114,69 96,71 56,30 54,76 3,25 99,96 99,99 10−4 179,72 124,16 81,04 56,44 55,35 3,00 3,34 99,63 99,89 10−3 294,97 144,32 6,89 5,49 4,32 3,49 3,78 6,30 99,22 10−2 407,42 161,01 86,71 60,03 8,58 8,51 9,79 14,74 95,92 10−1 469,41 194,07 100,53 87,24 87,47 88,24 89,08 90,27 92,27 1 308,13 135,95 104,84 92,56 89,69 89,99 90,45 90,85 91,41 10 222,82 146,22 110,20 94,93 89,93 90,05 90,49 90,88 91,29 )(xb 0,1 0 –0,1 0 5 10 15 x / λ 0 5 10 15 x / λ )(xu 1 0,5 0 В. Ф. Борулько, С. М. Вовк / Определение источников в одномерной… ______________________________________________________________________________________________________________ 20 Таким образом, численное моделирова- ние подтвердило, что при использовании регуля- ризации на основе принципа минимальной про- странственной протяженности существует воз- можность эффективного решения обратных задач по определению источников излучения в одно- мерной решетке электрических диполей. Выводы. Предложенный подход позво- ляет существенно уменьшить ошибку решения обратной задачи и имеет достаточно широкий диапазон значений параметров регуляризации, когда ошибка решения является близкой к мини- мально достижимой ошибке. Использование спе- циального алгоритма для выбора величины шага вдоль направления спуска позволяет осуществ- лять обработку экспериментальных данных прак- тически в реальном масштабе времени. Получен- ные результаты могут быть обобщены на двумер- ный и трехмерный случаи. 1. Applications of sources reconstruction techniques: theory and practical result / F. Cano, M. Sierra-Castaner, S. Burgos, J. L. Besada // Proc. of the 4th Europ. Conf. on Antennas and Propagation (EuCAP). − Barcelona, 2010. − P. 1–5. 2. Martini E. Reduction of Truncation Errors in Planar Near- Field Aperture Antenna Measurements Using the Gerchberg- Papoulis Algorithm / E. Martini, O. Breinbjerg, S. Maci // IEEE Trans. on Antennas and Propagation. − 2008. − 56, N 11. − P. 3485−3493. 3. Vovk S. M. Using the method of minimum extension to extrapolation of antenna measurements / S. M. Vovk, V. F. Borulko // Proc. 10th Intern. Conf. on Mathematical Me- thods in Electromagnetic Theory (MMET-04). – Dniepro- petrovsk, 2004. − P. 159−161. 4. Vovk S. M. Nonlinear regularization of antennas measure- ments by extension minimum method / S. M. Vovk, V. F. Borulko // Proc. 5th Intern. Conf. on Antenna Theory and Techniques (ICATT-05). − Kyiv, 2005. − P. 402−404. 5. Vovk S. M. Restoration of point sources located along a per- pendicular to a plane of measurements by the extension mini- mum method / S. M. Vovk, V. F. Borulko // Proc. 11th Intern. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET-06). − Kharkiv, 2006. − P. 147−149. 6. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычис- лений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер; пер. с англ. Х. Д. Икрамова. − М.: Мир, 1980. − 280 с. 7. Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. – М.: Наука, 1979. – 200 с. 8. Автоматизированное проектирование антенн и устройств СВЧ: учеб. пособие для вузов / Д. И. Воскресенский, С. Д. Кременецкий, А. Ю. Гринев, Ю. В. Котов. – М.: Ра- дио и связь, 1988. – 240 с. 9. Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн / В. В. Никольский. – М.: Наука, 1978. – 543 с. 10. Вовк С. М. Метод минимума длительности для восстанов- ления финитных сигналов / С. М. Вовк, В. Ф. Борулько // Изв. вузов. Радиоэлектроника. – 1991. – 34, № 8. – С. 66–69. 11. Хьюбер Дж. П. Робастность в статистике / Дж. П. Хьюбер; пер. с англ. под ред. И. Г. Журбенко. − М.: Мир, 1984. − 304 с. 12. Демиденко Е. З. Оптимизация и регрессия / Е. З. Деми- денко. − М.: Наука, 1989. − 296 с. 13. Nikolova M. Analysis of the recovery of edges in images and signals by minimizing nonconvex regularized least-squares / M. Nikolova // SIAM J. Multiscale Model. Sim. − 2005. – 4, N 3. − P. 960−991. 14. Gonzalez J. G. Optimality of the myriad filter in practical impulsive-noise environments / J. G. Gonzalez, G. R. Arce // IEEE Trans. on Signal Processing. − 2001. − 49, N 2. − P. 438−441. 15. Aysal T. C. Meridian Filtering for Robust Signal Processing / T. C. Aysal, K. E. Barner // IEEE Trans. on Signal Processing. − 2007. − 55, N 8. − P. 3949−3962. 16. Вовк С. М. Постановка задач определения линейных па- раметров сигналов в квазинормированных пространствах / С. М. Вовк, В. Ф. Борулько // Изв. вузов. Радиоэлектрони- ка. – 2010. – 53, № 7. – С. 31–42. V. F. Borulko, S. M. Vovk SOURCES ESTIMATION IN THE 1-D ARRAY OF ELECTRIC DIPOLES BY USING PRINCIPLE OF MINIMUM SPATIAL EXTENSION OF SOLUTION Vector model of sources described by a sequence of ideal Hertz dipoles with their common dipole moment orientation is considered. By using a principle of minimum spatial extension of solution the problem of sources estimation is formulated and approach based on conjugate gradient method with special selec- tion of step value along descent direction is proposed. Numerical simulations for the case when sources are real and located along a straight line paralleled to measurement line are presented. Key words: electric dipole, 1-D array, spatial exten- sion. В. Ф. Борулько, С. М. Вовк ВИЗНАЧЕННЯ ДЖЕРЕЛ В ОДНОВИМІРНІЙ ҐРАТЦІ ЕЛЕКТРИЧНИХ ДИПОЛЕЙ НА ОСНОВІ ПРИНЦИПУ МІНІМАЛЬНОЇ ПРОСТОРОВОЇ ПРОТЯЖНОСТІ РІШЕННЯ Розглянуто векторну модель джерел, яка задана на- бором ідеальних електричних диполів Герца з загальною орієн- тацією їхніх дипольних моментів. На основі принципу мініма- льної просторової протяжності рішення сформульовано зада- чу нелінійної оптимізації та запропоновано підхід, який ґрун- тується на методі спряжених градієнтів зі спеціальним вибо- ром величини кроку вздовж напрямку спуску. Наведено ре- зультати числового моделювання для випадку, коли джерела випромінювання є дійсними та розташовані вздовж прямої лінії, яка є паралельною до лінії вимірювань електричного поля. Ключові слова: електричний диполь, одновимірна ґратка, мінімум просторової протяжності. Рукопись поступила 25.02.11 г.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-78052
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-821X
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T18:38:54Z
publishDate	2011
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
record_format	dspace
spelling	Борулько, В.Ф. Вовк, С.М. 2015-03-10T17:56:41Z 2015-03-10T17:56:41Z 2011 Определение источников в одномерной решетке электрических диполей на основе принципа минимальной пространственной протяженности решения / В.Ф. Борулько, С.М. Вовк // Радіофізика та електроніка. — 2011. — Т. 2(16), № 2. — С. 14-20. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/78052 621.391:537.87 Рассмотрена векторная модель источников, которая задана набором идеальных электрических диполей Герца с общей ориентацией их дипольных моментов. На основании принципа минимальной пространственной протяженности решения сформулирована задача нелинейной оптимизации и предложен подход, который основан на методе сопряженных градиентов со специальным выбором величины шага вдоль направления спуска. Представлены результаты численного моделирования для случая, когда источники излучения являются вещественными и расположены вдоль прямой линии, которая параллельна линии измерений электрического поля. Vector model of sources described by a sequence of ideal Hertz dipoles with their common dipole moment orientation is considered. By using a principle of minimum spatial extension of solution the problem of sources estimation is formulated and approach based on conjugate gradient method with special selection of step value along descent direction is proposed. Numerical simulations for the case when sources are real and located along a straight line paralleled to measurement line are presented. Розглянуто векторну модель джерел, яка задана набором ідеальних електричних диполів Герца з загальною орієнтацією їхніх дипольних моментів. На основі принципу мінімальної просторової протяжності рішення сформульовано задачу нелінійної оптимізації та запропоновано підхід, який ґрунтується на методі спряжених градієнтів зі спеціальним вибором величини кроку вздовж напрямку спуску. Наведено результати числового моделювання для випадку, коли джерела випромінювання є дійсними та розташовані вздовж прямої лінії, яка є паралельною до лінії вимірювань електричного поля. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Радіофізика та електроніка Мікрохвильова електродинаміка Определение источников в одномерной решетке электрических диполей на основе принципа минимальной пространственной протяженности решения Sources estimation in the 1-D array of electrec dipoles by using principle of minimum spatial extension of solution Визначення джерел в одномірній гратці електричних диполей на основі принципу мінімальної просторової протяжності рішення Article published earlier
spellingShingle	Определение источников в одномерной решетке электрических диполей на основе принципа минимальной пространственной протяженности решения Борулько, В.Ф. Вовк, С.М. Мікрохвильова електродинаміка
title	Определение источников в одномерной решетке электрических диполей на основе принципа минимальной пространственной протяженности решения
title_alt	Sources estimation in the 1-D array of electrec dipoles by using principle of minimum spatial extension of solution Визначення джерел в одномірній гратці електричних диполей на основі принципу мінімальної просторової протяжності рішення
title_full	Определение источников в одномерной решетке электрических диполей на основе принципа минимальной пространственной протяженности решения
title_fullStr	Определение источников в одномерной решетке электрических диполей на основе принципа минимальной пространственной протяженности решения
title_full_unstemmed	Определение источников в одномерной решетке электрических диполей на основе принципа минимальной пространственной протяженности решения
title_short	Определение источников в одномерной решетке электрических диполей на основе принципа минимальной пространственной протяженности решения
title_sort	определение источников в одномерной решетке электрических диполей на основе принципа минимальной пространственной протяженности решения
topic	Мікрохвильова електродинаміка
topic_facet	Мікрохвильова електродинаміка
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/78052
work_keys_str_mv	AT borulʹkovf opredelenieistočnikovvodnomernoirešetkeélektričeskihdipoleinaosnoveprincipaminimalʹnoiprostranstvennoiprotâžennostirešeniâ AT vovksm opredelenieistočnikovvodnomernoirešetkeélektričeskihdipoleinaosnoveprincipaminimalʹnoiprostranstvennoiprotâžennostirešeniâ AT borulʹkovf sourcesestimationinthe1darrayofelectrecdipolesbyusingprincipleofminimumspatialextensionofsolution AT vovksm sourcesestimationinthe1darrayofelectrecdipolesbyusingprincipleofminimumspatialextensionofsolution AT borulʹkovf viznačennâdžerelvodnomírníigratcíelektričnihdipoleinaosnovíprincipumínímalʹnoíprostorovoíprotâžnostíríšennâ AT vovksm viznačennâdžerelvodnomírníigratcíelektričnihdipoleinaosnovíprincipumínímalʹnoíprostorovoíprotâžnostíríšennâ

Определение источников в одномерной решетке электрических диполей на основе принципа минимальной пространственной протяженности решения

Institution

Similar Items