Фильтрация изображений, принадлежащих конечномерному функциональному пространству

С позиций байесовского статистического подхода рассмотрена задача оптимальной фильтрации изображений из конечномерного функционального пространства, замытых известным ядром и зарегистрированных в присутствии аддитивного гауссова шума. Проблема проиллюстрирована двумя конкретными практическими задача...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Радіофізика та електроніка
Date:	2011
Main Author:	Корниенко, Ю.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2011
Subjects:	Статистична радіофізика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/78057
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Фильтрация изображений, принадлежащих конечномерному функциональному пространству / Ю.В. Корниенко // Радіофізика та електроніка. — 2011. — Т. 2(16), № 2. — С. 48-54. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-78057
record_format	dspace
spelling	Корниенко, Ю.В. 2015-03-10T18:19:24Z 2015-03-10T18:19:24Z 2011 Фильтрация изображений, принадлежащих конечномерному функциональному пространству / Ю.В. Корниенко // Радіофізика та електроніка. — 2011. — Т. 2(16), № 2. — С. 48-54. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/78057 535:681.7.014.3 С позиций байесовского статистического подхода рассмотрена задача оптимальной фильтрации изображений из конечномерного функционального пространства, замытых известным ядром и зарегистрированных в присутствии аддитивного гауссова шума. Проблема проиллюстрирована двумя конкретными практическими задачами: фильтрация изображений системы протяженных источников известной формы и определение координат точечного источника и его интенсивности как функции времени на равномерном фоне неизвестной яркости. The problem on the optimal filtering of images from the finite-dimensional functional space which are blurred by a known kernel and recorded in the presence of additive Gaussian noise, is considered from the standpoint of the Bayes statistical approach. A general view on the problem is illustrated by two specific practical problems: filtering of images of an extended source system of known shape, and determination of coordinates of a point source and its intensity as a time-varying function against the uniform background of unknown brightness. З позиції байєсівського статистичного підходу розглянуто задачу оптимальної фільтрації зображень із скінченно-вимірного функціонального простору, які замиті відомим ядром та зареєстровані в присутності адитивного гауссова шуму. Загальний погляд на проблему ілюструється двома конкретними практичними задачами: фільтрація зображень системи протяжних джерел відомої форми і визначення координат точкового джерела та його інтенсивності як функції часу на рівномірному фоні невідомої яскравості. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Радіофізика та електроніка Статистична радіофізика Фильтрация изображений, принадлежащих конечномерному функциональному пространству Filtering of images from finite-dimensional functional space Фільтрація зображень, які належать до скінченновимірного простору Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Фильтрация изображений, принадлежащих конечномерному функциональному пространству
spellingShingle	Фильтрация изображений, принадлежащих конечномерному функциональному пространству Корниенко, Ю.В. Статистична радіофізика
title_short	Фильтрация изображений, принадлежащих конечномерному функциональному пространству
title_full	Фильтрация изображений, принадлежащих конечномерному функциональному пространству
title_fullStr	Фильтрация изображений, принадлежащих конечномерному функциональному пространству
title_full_unstemmed	Фильтрация изображений, принадлежащих конечномерному функциональному пространству
title_sort	фильтрация изображений, принадлежащих конечномерному функциональному пространству
author	Корниенко, Ю.В.
author_facet	Корниенко, Ю.В.
topic	Статистична радіофізика
topic_facet	Статистична радіофізика
publishDate	2011
language	Russian
container_title	Радіофізика та електроніка
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
format	Article
title_alt	Filtering of images from finite-dimensional functional space Фільтрація зображень, які належать до скінченновимірного простору
description	С позиций байесовского статистического подхода рассмотрена задача оптимальной фильтрации изображений из конечномерного функционального пространства, замытых известным ядром и зарегистрированных в присутствии аддитивного гауссова шума. Проблема проиллюстрирована двумя конкретными практическими задачами: фильтрация изображений системы протяженных источников известной формы и определение координат точечного источника и его интенсивности как функции времени на равномерном фоне неизвестной яркости. The problem on the optimal filtering of images from the finite-dimensional functional space which are blurred by a known kernel and recorded in the presence of additive Gaussian noise, is considered from the standpoint of the Bayes statistical approach. A general view on the problem is illustrated by two specific practical problems: filtering of images of an extended source system of known shape, and determination of coordinates of a point source and its intensity as a time-varying function against the uniform background of unknown brightness. З позиції байєсівського статистичного підходу розглянуто задачу оптимальної фільтрації зображень із скінченно-вимірного функціонального простору, які замиті відомим ядром та зареєстровані в присутності адитивного гауссова шуму. Загальний погляд на проблему ілюструється двома конкретними практичними задачами: фільтрація зображень системи протяжних джерел відомої форми і визначення координат точкового джерела та його інтенсивності як функції часу на рівномірному фоні невідомої яскравості.
issn	1028-821X
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/78057
citation_txt	Фильтрация изображений, принадлежащих конечномерному функциональному пространству / Ю.В. Корниенко // Радіофізика та електроніка. — 2011. — Т. 2(16), № 2. — С. 48-54. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT kornienkoûv filʹtraciâizobraženiiprinadležaŝihkonečnomernomufunkcionalʹnomuprostranstvu AT kornienkoûv filteringofimagesfromfinitedimensionalfunctionalspace AT kornienkoûv fílʹtracíâzobraženʹâkínaležatʹdoskínčennovimírnogoprostoru
first_indexed	2025-11-26T02:45:05Z
last_indexed	2025-11-26T02:45:05Z
_version_	1850609153147404288
fulltext	ССТТААТТИИССТТИИЧЧННАА РРААДДІІООФФІІЗЗИИККАА _________________________________________________________________________________________________________________ __________ ISSN 1028−821X Радіофізика та електроніка, 2011, том 2(16), № 2 © ІРЕ НАН України, 2011 УДК 535:681.7.014.3 Ю. В. Корниенко ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ КОНЕЧНОМЕРНОМУ ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ ПРОСТРАНСТВУ Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: milv@ire.kharkov.ua С позиций байесовского статистического подхода рассматривается задача оптимальной фильтрации изображений из конечномерного функционального пространства, замытых известным ядром и зарегистрированных в присутствии аддитивного гауссова шума. Общий взгляд на проблему иллюстрируется двумя конкретными практическими задачами: фильтрация изображе- ний системы протяженных источников известной формы и определение координат точечного источника и его интенсивности как функции времени на равномерном фоне неизвестной яркости. Библиогр.: 15 назв. Ключевые слова: байесовский статистический подход, фильтрация изображений. Во многих практических задачах часто возникает необходимость обработки изображений дискретных источников в условиях, когда электро- магнитные потоки от них перекрываются из-за недостаточного разрешения наблюдательного инструмента и влияния фона. При этом часто из характера решаемой задачи вытекает необходи- мость определять энергетические потоки с воз- можно большей точностью (например, при изу- чении гравитационных миражей [1, 2]). Тогда возникает задача оптимальной обработки полу- ченных изображений. Задачи такого рода относятся к числу обратных задач физики, в которых достижение результата часто бывает существенно затруднено влиянием шума при получении эксперименталь- ных данных. При недостаточно аккуратной мате- матической формулировке они часто оказывают- ся некорректно поставленными. Поскольку шум имеет случайный характер, такие задачи требуют статистического подхода. Это было осознано еще Лапласом [3], а затем Гауссом [4] и Лежандром [5]. Существенное развитие этот подход получил зна- чительно позже, в середине ХХ в. [6, 7]. Напоми- нанием о важности этого подхода в эксперимен- тальной физике служит обзор [8]. Его значению при решении задач обработки изображений по- священа статья [9]. В данной работе с позиций общего подхо- да, сформулированного в работе [9], рассматрива- ются две близкие задачи оптимальной фильтрации изображений, принадлежащих конечномерным функциональным пространствам. Первая задача касается разрешения отдельных источников, из которых состоит исследуемый объект, и опреде- ления их параметров; вторая посвящена опреде- лению положения и интенсивности переменного во времени точечного источника, наблюдаемого на фоне протяженного источника постоянной во времени и пространстве, но заранее не известной яркости. 1. Формулировка общей задачи. Пусть истинное изображение исследуемого объекта описывается яркостью ( ),,, PyxB где ,x y − де- картовы координаты на плоскости, касательной к небесной сфере (угловые размеры объекта счита- ются малыми), B − известная функция, а P − со- вокупность параметров ,...,,, 21 nppp значение которых до наблюдения неизвестно. Функции ( )PyxB ,, при всех фиксированных значениях P образуют множество, которому принадлежит ис- тинное изображение объекта. Будем называть его пространством исходных изображений и обозна- чим через .S Изображение, зарегистрированное при наблюдении, описывается функцией ( ),, yxb свя- занной с истинным изображением соотношением ( ) ( ) ( ) ( ),, ,,, , yx ydxdPyxByyxxg yxb ν+ +′′′′′−′−= = ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− (1) где ( )yyxxg ′−′− , − известное ядро, описываю- щее замытие изображения атмосферой, аппарату- рой и, возможно, другими факторами; ( )yx,ν − реализация стационарного гауссова шума, сопро- вождающего регистрацию изображения. Наша физическая задача состоит в том, чтобы исходя из зарегистрированного изображения ( )yxb , найти, хотя бы приближенно, значение совокупности параметров ,P т. е. восстановить истинный вид изображения объекта, по возможности исключив из него искажения, внесенные средой распро- странения и другими факторами. При простейшем подходе постановка математической задачи могла бы состоять в том, чтобы рассматривая соотношение (1) как уравне- ние относительно ,P решить его и найти .P Но эта задача с вероятностью 1 не имеет решения Ю. В. Корниенко / Фильтрация изображений, принадлежащих... _________________________________________________________________________________________________________________ 49 из-за влияния шумового слагаемого ( )., yxν По- этому требуется более осторожное отношение к выбору математической формулировки этой за- дачи. Существует много различных подходов к этому вопросу: от чисто эмпирического выбора алгоритма обработки (например, [10]) и разных приемов регуляризации ([11]) до применения тео- рии нечетких множеств [12]. Но наиболее естест- венным остается байесовский статистический под- ход [7], на котором и будет основано дальнейшее рассмотрение. Следуя этому подходу, будем ставить задачу определения наиболее вероятного истин- ного изображения объекта, т. е. наиболее вероят- ного значения вектора P при данном виде функ- ции ( )., yxb 2. Статистический подход к задаче. Пусть ( )PRдо − заданная априорная (до наблюде- ния) плотность распределения совокупности па- раметров .P Плотность ( )PRпо апостериорного распределения P (после наблюдения) в случае, когда в результате наблюдения получено изобра- жение ( ),, yxb выражается через нее формулой Байеса [7], которая в логарифмической форме имеет вид ( ) ( ) ( )( ) .,lnlnln допо CPyxbRPRPR ++= (2) Здесь ( )( )PyxbR , − условная плотность вероят- ности получить изображение ( ),, yxb если сово- купность параметров равна ;P константа C свя- зана с нормировкой вероятности на единицу и не имеет отношения к дальнейшим выкладкам. Чтобы не усложнять дальнейшее рассмотрение, будем считать, что изображение ( )yxb , состоит из конечного числа элементов разрешения N и, таким образом, является элементом N-мерного пространства. При этом значения шума ( )yx,ν для разных элементов изображения будем счи- тать независимыми (белый шум). Тогда в силу предположений, сделанных ранее, эти значения являются случайными величинами, распределен- ными независимо и нормально с нулевым сред- ним и одинаковой дисперсией. При таких предположениях второе сла- гаемое в (2) можно записать в виде ( )( ) ( )[ ] ,, 2 ,ln 1 2∑ = −= N i ii yxDkPyxbR (3) где ( ) ( ) ( ) ( ) ;,,, ,, ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− ′′′′′−′−− −= ydxdPyxByyxxg yxbyxD (4) i − номер элемента изображения; k − величина, обратная дисперсии шума. Устремляя размер элемента изображения к нулю, в пределе получим ( )( ) ( )[ ] ,, 2 ,ln 2∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− −= dxdyyxDKPyxbR (5) где K − величина, обратная мощности шума в передаваемой полосе частот. Будем ставить задачу нахождения такого значения 0P вектора ,P при котором логарифм апостериорной плотности вероятности (2) дости- гает наибольшего значения. Приравнивая нулю градиент правой части (2) в пространстве пара- метров, получим уравнение для того значения ,P при котором (2) достигает максимума ( ) ( ) ( ) .0,,,, до = ∂ ∂ + + ∂ ∂ − ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− dxdyPyxD P PyxDK PR P (6) Это векторное уравнение представляет собой систему n скалярных алгебраических уравнений. Если определитель матрицы вторых производных ( )PRпо по P везде отличен от нуля, эта система имеет решение, единственное в неко- торой области значений .P Единственность ре- шения во всем пространстве параметров в общем случае гарантировать нельзя. Если апостериорная плотность вероятности имеет несколько макси- мумов, следует выбрать тот из них, в котором ( )PRпо больше. При не слишком большом числе пара- метров эту систему можно эффективно решить методом Ньютона [13]. 3. Фильтрация изображений объекта, состоящего из отдельных источников. Поста- новка задачи. Пусть яркость источника описы- вается гауссовой функцией ( ) ( )[ ],2exp,,, 222 ρρ yxaayxs +−= (7) где a пропорционально интенсивности источ- ника; ρ − его (условный) радиус. Исследуемый объект представляет собой совокупность n та- ких источников, расположенных в точках ( ) ( ) ( ),,...,,,,, 2211 nn yxyxyx возможно, с различ- ными значениями a и .ρ Эти источники всегда взаимно перекрываются, так как не имеют рез- ких границ. Яркость объекта как функция коор- динат равна сумме яркостей составляющих его источников: ( ) ( ),,,,,,, 1 ∑ = −−= n i iiii ayyxxsRAyxB ρ (8) Ю. В. Корниенко / Фильтрация изображений, принадлежащих... _________________________________________________________________________________________________________________ 50 где ia и iρ характеризуют i-й источник; { },...,,1, niaA i == { }nii ...,,1, == ρρ − (9) векторы, составленные из соответствующих па- раметров. Изображение (8) подвергается замытию разностным ядром ( )yyxxg ′−′− , и воздействию аддитивного гауссова шума с мощностью K1 и постоянной спектральной плотностью в пределах конечной полосы пространственных частот, за пределами которой она равна нулю. Тогда заре- гистрированное изображение равно ( ) ( ) ( ) ( ),,,,, ,, 1 yxydxdayyxxs yyxxgyxb iiii n i νρ +′′−′−′× ×′−′−=∑ ∫ ∫ = +∞ ∞− +∞ ∞− (10) где ( )yx,ν − реализация шума. Известны априорная плотность распреде- ления параметров A и ,R замывающее ядро ( ),, yyxxg ′−′− а также мощность шума K1 . Требуется найти яркость объекта ( ),,0 yxB имеющую наибольшую апостериорную плот- ность вероятности при данном результате наблю- дения ( )., yxb 4. Решение задачи в простейшем случае. Ограничимся распространенным случаем, когда ядро замытия можно считать гауссовой функцией ( ) ( ) ( ) ,e, 2 22 2r yyxx gNyxg ′−+′− − = (11) где r − радиус замытия; gN − нормирующий множитель, обеспечивающий равенство интегра- ла от ядра единице. Предположим также, что зна- чения параметров iiii yxa ,,, ρ и jjjj yxa ,,, ρ для разных ji, независимы друг от друга и рас- пределены нормально. Из этого следует такое выражение для априорной плотности распределе- ния ( )PRдо ( ) .e 1 2222 до ∑ = +++− = n i iiii yxa RNPR ηξρβα (12) Второе слагаемое в (2) в силу сделанных ранее предположений выражается формулой (5). Учи- тывая, что свертка двух гауссовых функций со значениями радиуса ,σ равными 1σ и 2σ есть гауссова функция с ,2 2 2 1 σσσ += (13) интеграл в (4) можно представить в виде суммы гауссовых функций. Поэтому отыскание значения ,P наиболее вероятного при данном результате эксперимента ( ),, yxb сводится к минимизации по P функционала ( )[ ] ( ) ( ) ,,, ,, 2 1 2222 dxdyPyxd yxaPyxbL n i iiii ∫ ∫ ∑ ∞+ ∞− ∞+ ∞− = + ++++= ηξρβα (14) где ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } −′−+−−− −= ∑ = n i iiii yyxxa yxbPyxd 1 2222 2exp ,,, ρ (15) невязка, отличающая гипотетическое изображе- ние при данном P от его фактического вида ( )yxb , ; .22 rii +=′ ρρ (16) Если не учитывать априорную информа- цию об объекте и опустить первое слагаемое в (14) (метод максимального правдоподобия [14]), ис- ходная задача сводится к оптимальной аппрокси- мации функции ( )yxb , суммой n гауссовых функций по критерию минимума среднеквадра- тичной погрешности. Учет этого слагаемого сдвигает получаемую оценку параметров в сто- рону лучшего согласия с априорными сведениями об их значении. Дифференцируя (14) по ,,,, iiii yxa ρ получим систему уравнений, представляющих в компонентах для данного конкретного случая общее уравнение (6). Она состоит из n однотип- ных четверок уравнений, отличающихся только значением i и относящихся каждая к своему ис- точнику с номером ,i однако не распадается на отдельные четверки из-за вхождения всех компо- нент P в каждое уравнение через ( ).,, Pyxd Решать эту систему нужно численно. При не слиш- ком большом числе источников (единицы и де- сятки) весьма эффективным будет метод Ньютона. 5. Случай неизвестного числа источ- ников. На практике число отдельных источников ,n составляющих исследуемый объект, может быть заранее неизвестным. Делая относительно n различные предположения, мы будем получать по выше изложенной схеме каждый раз новый ре- зультат. Увеличивая предполагаемое число ис- точников, можно аппроксимировать зарегистри- рованное изображение ( )yxb , все с большей точ- ностью. Поэтому такой подход не позволяет обоснованно остановиться на каком-то разумно выбранном значении n без учета дополнитель- ной информации об объекте, что требует уточне- ния постановки задачи. Будем считать, что помимо априорных сведений об объекте, перечисленных в разд. 4, для всех натуральных n условием задачи определена Ю. В. Корниенко / Фильтрация изображений, принадлежащих... _________________________________________________________________________________________________________________ 51 априорная вероятность nw того, что число источ- ников, составляющих объект, равно .n Тогда пространство ,S введенное в разд. 1, становится суммой пространств ...,,...,,, 21 nSSS причем пространство nS является n4 -мерным и точка в нем определяется координатами ( ),,,, 1111 yxa ρ ( ),,,, 2222 yxa ρ ..., ( ).,,, nnnn yxa ρ Априорное рас- пределение для P будем характеризовать после- довательностью значений nw априорной вероят- ности того, что объект принадлежит к простран- ству ,nS и последовательностью функций ( ),до nn PR определяющих априорную плотность вероятности того, что значение вектора парамет- ров P равно ,nP если объект принадлежит про- странству .nS При этом n принимает все целые значения от 1 до .∞ Каждую функцию ( )nn PRдо будем считать нормированной так, что интеграл от нее по всему пространству nS равен единице, как и сумма всех nw должна быть равна единице. Таким образом, априорная вероятность dw того, что P лежит в окрестности с объемом Ωd точки nP в пространстве ,nS равна ( ) .до Ω= dPRwdw nnn (17) Согласно формуле Байеса, апостериорная вероят- ность того, что P принадлежит этой окрестно- сти, равна ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) . , , 1 до до ∑ ∫ ∞ = Ω Ω = n nnnn nnnn dPyxbRPRw dPyxbRPRw dW (18) Поэтому апостериорная плотность веро- ятности ( )nn PRпо в пространстве nS как предел отношения dW к Ωd при 0→Ωd (производная Радона-Никодима вероятности W по объему Ω в точке nP ) равна ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) . , , 1 до до по ∑ ∫ ∞ = Ω = n nnnn nnnn nn dPyxbRPRw PyxbRPRw PR (19) Интеграл от этого выражения по всему простран- ству nS дает апостериорную вероятность того, что объект состоит из n источников. В логариф- мической форме эта формула имеет вид, подоб- ный (2), и отличается от нее наличием дополни- тельного слагаемого ,ln nw отражающего отсут- ствие точного априорного знания о числе источ- ников, составляющих наблюдаемый объект. Ставится задача найти такое n и такое nP в ,nS для которых апостериорная плотность вероятности при данном результате наблюдения ( )yxb , имеет наибольшее значение. Эта задача решается так же, как и задача с известным числом источников, рассмотренная в разд. 4, однако теперь ее надо решить для каждого вероятного значения n и выбрать то из них, для которого максимальная апостериорная плотность вероятности nP имеет наибольшее значение. Чтобы это было практически осуществимо, надо, чтобы последовательность nw достаточно быстро стремилась к нулю, в противном случае искомых наиболее вероятных значений n может просто не существовать, как об этом уже было сказано в начале этого раздела. Таким образом, попытка подойти к этой задаче с позиций метода макси- мального правдоподобия, т. е. исходя из функции правдоподобия, без учета априорного распреде- ления, может привести к бессмысленной поста- новке задачи. Это еще один пример такого рода. Другой связан с винеровским фильтром и кратко рассмотрен в работе [15]. 6. Определение зависимости от време- ни интенсивности точечного источника, на- блюдаемого на фоне протяженного объекта постоянной яркости. Пусть теперь истинная яркость исследуемого объекта зависит от времени и в j-й момент времени имеет вид суммы ( ) ( ) ( ),,,,, 00 QyxfyyxxIyxB jj +−−= δ (20) где первое слагаемое − яркость точечного источ- ника ( jI − его неизвестная интенсивность), а вто- рое − неизвестная яркость фона, не зависящая от времени; δ обозначает δ -функцию; 00 , yx − ко- ординаты точечного источника (не зависящие от времени); Q − совокупность n параметров, харак- теризующих зависимость яркости фона от коор- динат. Наблюдаемая яркость объекта при j-м из- мерении под влиянием атмосферы и несовер- шенств наблюдательного инструмента оказывает- ся сверткой истинной яркости (20) с известным ядром ( ),, yyxxg j ′−′− но, кроме того, она воз- мущена аддитивным стационарным гауссовым шумом и в результате имеет вид ( ) ( ) ( ) ( )., ,,, yx ydxdyxByyxxgyxb j jjj ν+ +′′′′′−′−= ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− (21) Ядра ig будем считать нормированными так, что интеграл от каждого ядра равен 1. Измерение яр- кости объекта выполнено в m различных момен- тов времени, при этом получены изображения ( ),,1 yxb ( ),,2 yxb ..., ( )., yxbm В эти моменты ин- тенсивность точечного источника имела (неиз- вестные нам) значения ,1I ,2I ..., .mI Требуется Ю. В. Корниенко / Фильтрация изображений, принадлежащих... _________________________________________________________________________________________________________________ 52 найти наиболее вероятные при данном результате наблюдения значения интенсивности источника в моменты получения изображений 1b , 2b , ..., .nb При такой постановке задачи математи- ческий объект, подлежащий статистической оценке (вектор параметров), определяется уже не только совокупностью n параметров ,P но и m значениями интенсивности точечного источ- ника ,1I ,2I ..., ,mI т. е. всего nm + параметра- ми. Обозначая эту совокупность параметров че- рез ,P мы вернемся к первоначальной постанов- ке задачи с той разницей, что сигналом, подлежа- щим фильтрации, теперь становится не одиночное изображение, а совокупность m изображений. Чтобы не усложнять задачу излишней общностью, будем считать, что априорное рас- пределение интенсивности точечного источника одинаково во все моменты наблюдения и незави- симо от распределения параметров .Q Тогда для логарифма апостериорной плотности вероятнос- ти, аналогично (2), получим ( ) ( ) ( ) ( )( ) ,,,ln lnlnln 1 по CQPyxbR QRmIRmPR QI ++ ++= (22) где ( )PRпо − апостериорная плотность вероятнос- ти параметров ;P ( )IRI − априорная плотность вероятности интенсивности ;I ( )QRQ − априор- ная плотность распределения параметров Q; ( )( )QPyxbR ,, − условная плотность вероятности получить результат наблюдения ( ),, yxb состоя- щий из изображений ( ),,1 yxb ( ),,2 yxb ..., ( ),, yxbm при данных значениях параметров P. При естест- венном предположении об отсутствии корреля- ции между шумом на разных изображениях ус- ловную плотность вероятности можно предста- вить в виде ( )( ) ( )( ),,,,, 1 ∏ = = m i ii QPyxbRQPyxbR (23) где ( )( )QPyxbR ii ,, − условная плотность вероят- ности получить при наблюдении в i-й момент времени изображение ( ),, yxbi если совокупность параметров задачи имеет значение .P Если при этом дополнительно предположить, что шум на i-м изображении является аддитивным, стационар- ным и гауссовым со спектральной плотностью ,iN постоянной в пределах полосы пропускания аппаратуры и равной нулю за ее пределами, ус- ловную плотность вероятности iR можно пред- ставить в виде произведения m сомножителей, относящихся каждый к своему изображению. Тогда (22) можно представить в виде ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ) .,,, ,1 lnlnln 2 1 ïî ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− = ∞+ ∞− ∞+ ∞− ′′′′′−′−− −+ +−−=− dxdyydxdPyxByyxxg yxb N QRmIRmPR i m i i i QI (24) Таким образом, задача нахождения наи- более вероятного значения P при данном ( )yxb , сводится к минимизации квадратичного функ- ционала от ( )yxb , (24) по параметру P, которая не вызывает существенных трудностей при со- временном состоянии вычислительной техники. 7. Иллюстрация полученного резуль- тата на простейших частных случаях. Рассмот- рим ряд простейших частных случаев этой зада- чи, которые часто встречаются на практике и мо- гут наглядно иллюстрировать смысл полученного результата. Определение интенсивности изолирован- ного источника. Пусть для начала точечный объект расположен в начале координат, яркость фона равна нулю, а априорная плотность вероят- ности единственного остающегося параметра ( )IRдо имеет достаточно широкий максимум, чтобы ее зависимостью от I в пределах данного рассмотрения можно было пренебречь. Тогда функционал (24) принимает вид ( ) ( ) ( )( ) .,,1 ln 1 2 по ∑ ∫ ∫ = ∞+ ∞− ∞+ ∞− −= =− m i iii i dxdyyxgIyxb N PR (25) Чтобы найти его минимум по { },...,,, 21 nIIII = надо приравнять нулю его градиент по I и ре- шить полученную систему уравнений. Эта систе- ма распадается на отдельные уравнения, каждое из которых относится к своему моменту времени и имеет вид ( ) ( ) ( )( ) .0,,, =−∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− dxdyyxgIyxbyxg iiii (26) При отсутствии шума регистрации второй со- множитель под интегралом был бы равен нулю и оптимальная оценка I совпала бы с его истин- ным значением. В реальном случае она отличает- ся от него на случайную величину, дисперсия которой пропорциональна мощности шума. Обратим внимание на то, что под инте- гралом присутствует весовой множитель ( ),, yxgi который ограничивает область на плоскости, вно- сящую вклад в этот интеграл. Это исключает влияние на получаемый результат изображения Ю. В. Корниенко / Фильтрация изображений, принадлежащих... _________________________________________________________________________________________________________________ 53 ( )yxbi , в областях плоскости, удаленных от то- чечного источника, где значение ядра пренебре- жимо мало, как это и следовало бы сделать исхо- дя из интуитивных соображений. Случай ненулевой яркости фона. Пусть яркость фона 0B отлична от нуля, постоянна во времени, не зависит от координат и имеет апри- орную плотность вероятности с широким макси- мумом, позволяющим считать ее постоянной в пределах данного рассмотрения. Остальные предположения, сделанные ранее, будем считать выполненными. В этом случае функционал, под- лежащий минимизации, отличается от (25) сла- гаемым в скобках, связанным с фоном, и имеет вид ( ) ( ) ( )( )∑ ∫ ∫ = ∞+ ∞− ∞+ ∞− −−= =− m i iii i dxdyByxgIyxb N PR 1 2 0 по .,,1 ln (27) Дифференцируя это выражение по всем iI и по 0B и приравнивая производные нулю, получим систему из 1+m уравнений, определяющих наи- более вероятные значения iI и 0B при данном результате эксперимента ( )., yxb Первые m из них подобны (26) и отличаются от них слагаемым 0B : ( ) ( ) ( )( ) ,...,,2,1 ,0,,, 0 mi dxdyByxgIyxbyxg iiii = =−−∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− (28) последнее же имеет вид ( ) ( )( ) .0,,1 1 0 =−−∑ ∫ ∫ = +∞ ∞− +∞ ∞− m i iii i dxdyByxgIyxb N (29) Если бы яркость фона 0B была известна, равен- ства (28) означали бы, что оптимальная оценка каждого iI − это та, при которой ( )yxgI ii , наи- менее (в смысле среднеквадратичного отклоне- ния) отличается от ( ) ,, 0Byxbi − что вполне есте- ственно. С другой стороны, в случае, когда раз- меры кадра намного превосходят радиус ядра замытия, интеграл в (29) мало изменится, если из области интегрирования исключить ту подоб- ласть, в которой ядро ig существенно отлично от нуля. После такой модификации уравнение (29) не будет содержать ,iI и его можно решать от- дельно от уравнений (28). Его решением будет средняя яркость фона по всем кадрам за предела- ми области влияния точечного источника. Таким образом, полученный результат оказывается дос- тупным для практического использования. Следует отметить, что в этих двух при- мерах системы уравнений, определяющие иско- мые значения, получались линейными и никаких трудностей для решения не представляли. Так будет не всегда; более общие задачи могут при- водить к более сложным системам уравнений, требующим для решения специальных приемов. Измерение координат точечного источ- ника. Пусть теперь яркость фона опять равна 0, интенсивность точечного источника I постоянна во времени и заранее известна, а определению подлежат координаты источника 0x и .0y Ядра замытия ( )yxgi , известны. Для простоты будем считать их гауссовыми с радиусом .ir Имеется априорная информация о положении источни- ка: прежние исследования дали для его коорди- нат значения X, Y со случайной погрешностью, распределенной нормально и изотропно с дис- персией .σ В результате наблюдений получена серия из m изображений ( )yxbi , с ....1 mi = Требуется на основании этого результата дать но- вую статистическую оценку координат источника. Поскольку в этом случае яркость объекта выражается δ -функцией, функционал (24) при- нимает вид ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )∑ ∫ ∫ = ∞+ ∞− ∞+ ∞− −−−+ +−+−=− m i ii i dxdyyyxxgyxb N YyXxyxR 1 2 00 2 0 2 0200по ,,,1 2 1,ln σ (30) где ( ) ( ) ( )[ ] .e, 2 0 2 0 1 00 yyxx r ii iAyyxxg −+− =−− (31) Искомой оптимальной оценкой координат ,0x 0y будут такие их значения, при которых (30) дости- гает минимума. Дифференцируя (30) по 0x и по 0y и приравнивая производные нулю, получим систему уравнений, определяющую искомые зна- чения ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ;0,, ,12 1 00 00 1 0 2 02 =−−−× ×−−−+ +− ∑ ∫ ∫ = ∞+ ∞− ∞+ ∞− dxdyyyxxgyxb yyxxgxx N Xx ii i m i i σ (32) ( ) ( ) ( ) ( )( ( )) .0,, ,12 1 00 1 000 2 02 =−−−× ×−−−+ +− ∑ ∫ ∫ = ∞+ ∞− ∞+ ∞− dxdyyyxxgyxb yyxxgyy N Yy ii m i i i σ (33) Ю. В. Корниенко / Фильтрация изображений, принадлежащих... _________________________________________________________________________________________________________________ 54 В отсутствие первого слагаемого коорди- наты ,0x 0y определяются этой системой как та- кие, которые обеспечивают наименьшее квадра- тичное отклонение ожидаемых изображений от фактически полученных. При этом интегралы от квадрата разности по каждому изображению вхо- дят с соответствующими весовыми множителями iN 1 , придающими при суммировании в (30) боль- ший вес тем слагаемым, которым соответствуют изображения, полученные с меньшей мощностью шума. Учет первого слагаемого смещает оценку ,0x 0y в сторону полученных ранее значений X, Y, что и является учетом априорной информации о значениях ,0x .0y Выводы. Корректная обработка экспе- риментальных данных, позволяющая в макси- мальной степени извлечь информацию об иссле- дуемом объекте из результатов эксперимента или наблюдения, наилучшим образом объединить результаты многих экспериментов, проведенных в разных условиях, и объективно оценить степень достоверности полученных результатов и осно- ванных на них выводов, давно являлась актуаль- ной, учитывая сложность проводимых экспери- ментов. Однако ее внедрение долгое время сдер- живалось скромными возможностями вычисли- тельной техники и плохой обеспеченностью экс- периментаторов ее средствами. В настоящее вре- мя эти препятствия постепенно теряют свою ак- туальность и не являются оправданием недоста- точно внимательного отношения к строгому ста- тистическому анализу экспериментальных или наблюдательных данных. Особенно это относится к тем случаям, когда экспериментальная инфор- мация обходится очень дорого, в частности к ас- трономическим наблюдениям на больших теле- скопах и космическим экспериментам. Наиболее эффективное извлечение ее из получаемых дан- ных − это наиболее экономное использование огромных средств, которые вкладываются в со- временные наземные телескопы и космические аппараты. 1. Блиох П. В. Гравитационные линзы / П. В. Блиох, А. А. Мина- ков. – К.: Наук. думка, 1989. – 239 с. 2. Observational determination of the time delays in gravita- tional lens system Q2237+0305 / V. Vakulik, R. Schild, V. Dudinov et al. // Astronomy and Astrophysics. – 2006. – 447, N 3. – P. 905−913. 3. Laplace P. S. Oeuvres completes. Vols. 1–14. V. 8. / P. S. Lap- lace. – P., 1891. – P. 27–65. 4. Гаусс К. Ф. Теория движения небесных тел, вращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям / К. Ф. Гаусс // Избранные геодезич. соч. − 1809. − 1. − 104 с. 5. Legendre A. M. Nouvelles methodes pour la determination des orbites des cometes. Second supplement / A. M. Legendre. – Paris, 1820. – P. 79–80. 6. Вальд А. Статистические решающие функции // Позици- онные игры / А. Вальд. – М.: Наука, 1967. – С. 300–522. 7. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения / М. де Грот; пер. с англ. под ред. Ю. В. Линника и A. M. Ка- гана. – М.: Мир, 1974. − 491 с. 8. Турчин В. Ф. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач / В. Ф. Тур- чин, В. П. Козлов, М. С. Малкевич // Успехи физ. наук. − 1970. – 102, вып. 3. – С. 345–386. 9. Корниенко Ю. В. Статистический подход к фильтрации и информативность изображения / Ю. В. Корниенко // Ра- диофизика и электрон.: сб. науч. тр. / Ин-т радиофизики и электрон. НАН Украины. – Х., 2005. – 10, спецвыпуск. – С. 652−676. 10. Ming Jiang. Convergence Studies on Iterative Algorithms for Image Reconstruction / Ming Jiang, Ge Wang // IEEE Transactions on Medical Imaging. – 2003. – 22, N 5. – P. 569–579. 11. Математическая энциклопедия: в 5 т. Т. 4. Регуляризация / В. Я. Арсенин, А. Н. Тихонов; под ред. И. М. Виноградо- ва. – М.: Сов. энцикл., 1984. – 933 с. 12. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман. – М.: Радио и связь, 1982. – 432 с. 13. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. – М.: Наука, 1973. – 632 с. 14. Липцер Р. Ш. Статистика случайных процессов. Нелиней- ная фильтрация и смежные вопросы / Р. Ш. Липцер, А. И. Ширяев. – М.: Наука, 1974. – 696 с. 15. Wiener Norbert. Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series / Norbert Wiener. − New York: Wiley & Sons, 1950. – 163 p. Yu. V. Kornienko FILTERING OF IMAGES FROM FINITE-DIMENSIONAL FUNCTIONAL SPACE The problem on the optimal filtering of images from the finite-dimensional functional space which are blurred by a known kernel and recorded in the presence of additive Gaussian noise, is considered from the standpoint of the Bayes statistical approach. A general view on the problem is illustrated by two specific practical problems: filtering of images of an extended source system of known shape, and determination of coordinates of a point source and its intensity as a time-varying function against the uniform background of unknown brightness. Key words: Bayes statistical approach, image filtering. Ю. В. Корнієнко ФІЛЬТРАЦІЯ ЗОБРАЖЕНЬ, ЯКІ НАЛЕЖАТЬ ДО СКІНЧЕННОВИМІРНОГО ФУНКЦІОНАЛЬНОГО ПРОСТОРУ З позиції байєсівського статистичного підходу розг- лянуто задачу оптимальної фільтрації зображень із скінченно- вимірного функціонального простору, які замиті відомим ядром та зареєстровані в присутності адитивного гауссова шуму. Загальний погляд на проблему ілюструється двома конкретними практичними задачами: фільтрація зображень системи протяжних джерел відомої форми і визначення коор- динат точкового джерела та його інтенсивності як функції часу на рівномірному фоні невідомої яскравості. Ключові слова: байєсівський статистичний підхід, фільтрація зображень. Рукопись поступила 03.02.11 г.

Фильтрация изображений, принадлежащих конечномерному функциональному пространству

Institution

Similar Items