Резонансное рассеяние плоской электромагнитной волны на структуре феррит-ленточная решетка-метаматериал

Краевая задача дифракции плоской электромагнитной волны на слое феррит - ленточная решетка - слой метаматериала сведена к задаче Римана - Гильберта с коэффициентом сопряжения, зависящим от частоты падающей волны, материальных параметров феррита и метаматериала. Предложен метод аналитической регуляри...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Радіофізика та електроніка
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Бровенко, А.В., Мележик, П.Н., Поединчук, А.Е.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2011
Schlagworte:	Мікрохвильова електродинаміка
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/78096
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Резонансное рассеяние плоской электромагнитной волны на структуре феррит-ленточная решетка-метаматериал / А.В. Бровенко, П.Н. Мележик, А.Е. Поединчук // Радіофізика та електроніка. — 2011. — Т. 2(16), № 4. — С. 3-12. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-78096
record_format	dspace
spelling	Бровенко, А.В. Мележик, П.Н. Поединчук, А.Е. 2015-03-11T05:46:09Z 2015-03-11T05:46:09Z 2011 Резонансное рассеяние плоской электромагнитной волны на структуре феррит-ленточная решетка-метаматериал / А.В. Бровенко, П.Н. Мележик, А.Е. Поединчук // Радіофізика та електроніка. — 2011. — Т. 2(16), № 4. — С. 3-12. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/78096 535.37.421 Краевая задача дифракции плоской электромагнитной волны на слое феррит - ленточная решетка - слой метаматериала сведена к задаче Римана - Гильберта с коэффициентом сопряжения, зависящим от частоты падающей волны, материальных параметров феррита и метаматериала. Предложен метод аналитической регуляризации, с помощью которого задача редуцирована к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений второго рода с ядерным матричным оператором. Проведен численный анализ частотной зависимости коэффициента отражения для исследуемой периодической структуры. Установлены диапазоны частот, где коэффициент отражения имеет ярко выраженный резонансный характер. Такое поведение коэффициента отражения обусловлено возбуждением колебаний, локализованных у границ раздела сред. Boundary value problem for plane electromagnetic wave diffraction by the ferrite−strip grating−metamaterial structure was reduced to Riemann-Hilbert problem with conjugation coefficient depending upon frequency of excitation wave and constitutive parameters of ferrite and metamaterial. Analytical regularization method was proposed to reduce this problem to infinite sys- tem of algebraic equations of the second kind with kernel matrix operator. Numerical analysis of frequency dependence of the reflection coefficient for the periodic structure was carried out. The frequency bands where the reflection coefficient exhibited pronounced resonant behaviour were determined. Excitation of the oscillations localized in the vicinity of media interfaces explains such resonant behaviour of the reflection coefficient. Крайова задача дифракції плоскої електромагнітної хвилі на шарі ферит−стрічкова ґратка−шар метаматеріалу зведена до задачі Рімана-Гільберта з коефіцієнтом сполучення, що залежить від частоти падаючої хвилі, матеріальних параметрів ферита та метаматеріалу. Запропоновано метод аналітичної регуляризації, за допомогою якого ця задача зведена до системи лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду з ядерним оператором. Проведено числовий аналіз частотної залежності коефіцієнта відбиття для досліджуваної періодичної структури. Встановлено діапазони частот, де коефіцієнт відбиття має яскраво виражений резонансний характер. Така поведінка коефіцієнта відбиття обумовлена збудженням коливань, локалізованих біля меж розділу середовищ. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Радіофізика та електроніка Мікрохвильова електродинаміка Резонансное рассеяние плоской электромагнитной волны на структуре феррит-ленточная решетка-метаматериал Resonant scattering of a plane electromagnetic wave by ferrite-strip grating-matematerial structure Резонансне розсіяння плоскої електромагнітної хвилі на структурі ферит-стрічкова гратка-метаматеріал Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Резонансное рассеяние плоской электромагнитной волны на структуре феррит-ленточная решетка-метаматериал
spellingShingle	Резонансное рассеяние плоской электромагнитной волны на структуре феррит-ленточная решетка-метаматериал Бровенко, А.В. Мележик, П.Н. Поединчук, А.Е. Мікрохвильова електродинаміка
title_short	Резонансное рассеяние плоской электромагнитной волны на структуре феррит-ленточная решетка-метаматериал
title_full	Резонансное рассеяние плоской электромагнитной волны на структуре феррит-ленточная решетка-метаматериал
title_fullStr	Резонансное рассеяние плоской электромагнитной волны на структуре феррит-ленточная решетка-метаматериал
title_full_unstemmed	Резонансное рассеяние плоской электромагнитной волны на структуре феррит-ленточная решетка-метаматериал
title_sort	резонансное рассеяние плоской электромагнитной волны на структуре феррит-ленточная решетка-метаматериал
author	Бровенко, А.В. Мележик, П.Н. Поединчук, А.Е.
author_facet	Бровенко, А.В. Мележик, П.Н. Поединчук, А.Е.
topic	Мікрохвильова електродинаміка
topic_facet	Мікрохвильова електродинаміка
publishDate	2011
language	Russian
container_title	Радіофізика та електроніка
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
format	Article
title_alt	Resonant scattering of a plane electromagnetic wave by ferrite-strip grating-matematerial structure Резонансне розсіяння плоскої електромагнітної хвилі на структурі ферит-стрічкова гратка-метаматеріал
description	Краевая задача дифракции плоской электромагнитной волны на слое феррит - ленточная решетка - слой метаматериала сведена к задаче Римана - Гильберта с коэффициентом сопряжения, зависящим от частоты падающей волны, материальных параметров феррита и метаматериала. Предложен метод аналитической регуляризации, с помощью которого задача редуцирована к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений второго рода с ядерным матричным оператором. Проведен численный анализ частотной зависимости коэффициента отражения для исследуемой периодической структуры. Установлены диапазоны частот, где коэффициент отражения имеет ярко выраженный резонансный характер. Такое поведение коэффициента отражения обусловлено возбуждением колебаний, локализованных у границ раздела сред. Boundary value problem for plane electromagnetic wave diffraction by the ferrite−strip grating−metamaterial structure was reduced to Riemann-Hilbert problem with conjugation coefficient depending upon frequency of excitation wave and constitutive parameters of ferrite and metamaterial. Analytical regularization method was proposed to reduce this problem to infinite sys- tem of algebraic equations of the second kind with kernel matrix operator. Numerical analysis of frequency dependence of the reflection coefficient for the periodic structure was carried out. The frequency bands where the reflection coefficient exhibited pronounced resonant behaviour were determined. Excitation of the oscillations localized in the vicinity of media interfaces explains such resonant behaviour of the reflection coefficient. Крайова задача дифракції плоскої електромагнітної хвилі на шарі ферит−стрічкова ґратка−шар метаматеріалу зведена до задачі Рімана-Гільберта з коефіцієнтом сполучення, що залежить від частоти падаючої хвилі, матеріальних параметрів ферита та метаматеріалу. Запропоновано метод аналітичної регуляризації, за допомогою якого ця задача зведена до системи лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду з ядерним оператором. Проведено числовий аналіз частотної залежності коефіцієнта відбиття для досліджуваної періодичної структури. Встановлено діапазони частот, де коефіцієнт відбиття має яскраво виражений резонансний характер. Така поведінка коефіцієнта відбиття обумовлена збудженням коливань, локалізованих біля меж розділу середовищ.
issn	1028-821X
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/78096
citation_txt	Резонансное рассеяние плоской электромагнитной волны на структуре феррит-ленточная решетка-метаматериал / А.В. Бровенко, П.Н. Мележик, А.Е. Поединчук // Радіофізика та електроніка. — 2011. — Т. 2(16), № 4. — С. 3-12. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT brovenkoav rezonansnoerasseânieploskoiélektromagnitnoivolnynastruktureferritlentočnaârešetkametamaterial AT meležikpn rezonansnoerasseânieploskoiélektromagnitnoivolnynastruktureferritlentočnaârešetkametamaterial AT poedinčukae rezonansnoerasseânieploskoiélektromagnitnoivolnynastruktureferritlentočnaârešetkametamaterial AT brovenkoav resonantscatteringofaplaneelectromagneticwavebyferritestripgratingmatematerialstructure AT meležikpn resonantscatteringofaplaneelectromagneticwavebyferritestripgratingmatematerialstructure AT poedinčukae resonantscatteringofaplaneelectromagneticwavebyferritestripgratingmatematerialstructure AT brovenkoav rezonansnerozsíânnâploskoíelektromagnítnoíhvilínastrukturíferitstríčkovagratkametamateríal AT meležikpn rezonansnerozsíânnâploskoíelektromagnítnoíhvilínastrukturíferitstríčkovagratkametamateríal AT poedinčukae rezonansnerozsíânnâploskoíelektromagnítnoíhvilínastrukturíferitstríčkovagratkametamateríal
first_indexed	2025-11-26T09:32:48Z
last_indexed	2025-11-26T09:32:48Z
_version_	1850619543572971520
fulltext	ММІІККРРООХХВВИИЛЛЬЬООВВАА ЕЕЛЛЕЕККТТРРООДДИИННААММІІККАА _________________________________________________________________________________________________________________ __________ ISSN 1028−821X Радіофізика та електроніка, 2011, том 2(16), № 4 © ІРЕ НАН України, 2011 УДК 535.37.421 А. В. Бровенко, П. Н. Мележик, А. Е. Поединчук РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА СТРУКТУРЕ ФЕРРИТ−ЛЕНТОЧНАЯ РЕШЕТКА−МЕТАМАТЕРИАЛ Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: melezhik@ire.kharkov.ua Краевая задача дифракции плоской электромагнитной волны на слое феррит−ленточная решетка−слой метаматериала сведена к задаче Римана-Гильберта с коэффициентом сопряжения, зависящим от частоты падающей волны, материальных пара- метров феррита и метаматериала. Предложен метод аналитической регуляризации, с помощью которого эта задача редуцирована к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений второго рода с ядерным матричным оператором. Проведен численный анализ частотной зависимости коэффициента отражения для исследуемой периодической структуры. Установлены диапазоны частот, где коэффициент отражения имеет ярко выраженный резонансный характер. Такое поведение коэффициента отражения обусловлено возбуждением колебаний, локализованных у границ раздела сред. Ил. 6. Библиогр.: 20 назв. Ключевые слова: дифракция, ферритовый слой, ленточная периодическая решетка, слой метаматериала, система пар- ных сумматорных уравнений, метод аналитической регуляризации, коэффициент отражения, дифракционные поля. До настоящего времени не ослабевает интерес к исследованию дифракции электромаг- нитных волн на ленточных решетках и границах раздела различных сред [1−12]. Так была рас- смотрена задача дифракции при нормальном па- дении плоской произвольно поляризованной электромагнитной волны на бесконечно тонкой идеально проводящей ленточной решетке, распо- ложенной на слое изотропного диэлектрика [1]. Дифракционное поле в случае произвольного со- отношения между длиной волны, шириной ленты, толщиной слоя и периодом решетки находилось с помощью метода задачи Римана-Гильберта. В итоге были получены приближенные формулы для расчета коэффициентов прохождения и отра- жения, а также приведены результаты расчетов по этим формулам. В работе [2] получено реше- ние задачи дифракции электромагнитной волны на плоской металлической решетке с экраном и изотропным магнитодиэлектриком. Здесь исход- ная краевая задача дифракции сведена к двум неоднородным задачам сопряжения. Приведены формулы для расчетов коэффициента отражения и амплитуд дифракционных спектров без нало- жения каких-либо ограничений на период решет- ки, коэффициент заполнения, расстояние от ре- шетки до экрана, проницаемости магнитодиэлект- рика и длину волны падающего поля. Строгому решению задачи дифракции электромагнитных волн на металлической решетке, расположенной на полубесконечной диэлектрической анизотроп- ной среде, посвящена работа [3]. В связи с тем что тензор, описывающий анизотропный диэлект- рик − диагональный, то исходная задача дифрак- ции свелась к системе парных сумматорных уравнений, аналогичной полученной в работе [1], что дало возможность применить стандартную процедуру метода задачи Римана-Гильберта. Работа [4] посвящена решению задачи дифракции плоской электромагнитной Е-поляризо- ванной волны на металлической решетке с гиро- магнитной средой, а [5] – решению задачи ди- фракции плоской электромагнитной Е-поляризо- ванной волны на экранированной решетке с попе- речно намагниченным ферритом. В работах [4, 5] какая-либо прослойка между плоскостью решет- ки и анизотропной средой отсутствовала. Кроме того, тензоры, характеризующие гиромагнитные среды, в отличие от [3], были недиагональными. Эти особенности приводят к тому, что краевые задачи дифракции в терминах уравнений Гельм- гольца сводятся в итоге к системам парных сум- маторных уравнений специального вида, отлич- ных от приведенных, например, в работе [1]. Другими словами, процедура аналитической ре- гуляризации, приведенная в [1], к системам тако- го вида неприменима. В последнее время в ряде работ [6−12] предложены эффективные алгоритмы решения задач дифракции волн на ленточных решетках, на- ходящихся на границах раздела различных анизо- тропных (гиротропных), а также биизотропных (киральных) сред. В основе этих алгоритмов ле- жит идея аналитической регуляризации парных сумматорных уравнений [12]. В частности, с по- мощью этих алгоритмов решена задача дифрак- ции наклонно падающей плоской волны на лен- точной решетке, расположенной на границе ферро- магнитного полупространства [11]. Основная цель настоящей работы – обобщение метода [11] на задачи дифракции плоских волн на структурах вида ферритовый слой−ленточная периодическая решетка−слой метаматериала, включая случаи, когда диэлектрическая и магнитная проницаемос- ти принимают отрицательные значения. А. В. Бровенко и др. / Резонансное рассеяние плоской… _________________________________________________________________________________________________________________ 4 1. Постановка задачи и метод решения. Построим процедуру регуляризации для решения задачи дифракции монохроматических плоских электромагнитных волн на бесконечной решетке, образованной идеально проводящими бесконечно тонкими лентами, расположенными в плоскости Y0Z параллельно оси 0Z (рис. 1). Рис.1. Геометрия задачи Вектор напряженности электрического поля возбуждающей волны параллелен оси 0Z. Период решетки − l, а ширина щелей − d. Слой 10 hx << над решеткой заполнен однородной гиротропной ферромагнитной средой (феррит). Эта среда находится в постоянном магнитном поле ,0H параллельном оси 0Z. В этом случае магнитная проницаемость такой среды является тензором второго ранга следующего вида [13]: , 00 0 0 3 12 21 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= μ μμ μμ μ i i (1) где ; )2( )( 1 222 22 1 RRHH RRHM iffffff ifffff +−− −+ −=μ ; )22222 RRH M ifffff ff +−− =μ . )( 13 RH RM ifff fif + +=μ Здесь f − частота возбуждающей волны (зависимость от времени принята в виде ));2exp( fti π− πγ 20HfH = − частота ферромаг- нитного резонанса; 02 MfM γ= − частота, харак- теризующая намагниченность среды (γ − гиро- магнитное отношение для электрона, 0M − намаг- ниченность насыщения); Rf − частота релаксации. Диэлектрическая проницаемость ферромагнитной среды полагается равной ε. Слой 02 <<− xh под решеткой заполнен метаматериалом с диэлектрической и магнитной проницаемостями, зависящими от частоты сле- дующим образом [14]: ( ) ( ) 2 0 2 0 22 1,1 fiff ff iff f MM −+ − −= + −= μ μ ε ε ν μ ν ε , (2) где εf , μf и 0f − характеристические частоты, определяемые параметрами структурных элемен- тов, из которых образован метаматериал; εν и μν − частотные параметры, отвечающие за потери. Пусть в полупространстве 1hx > рас- пространяется плоская E-поляризованная моно- хроматическая электромагнитная волна (вектор напряженности электрического поля паралле- лен оси 0Z) [ ],)sincos(exp ββ yxikEi z +−= где ,/2 cfk π= β − угол падения (рис. 1). Задача состоит в определении дифрак- ционного поля, возбуждаемого этой волной. Поскольку падающая волна не зависит от про- странственной переменной z, а ленты решетки бесконечны и однородны вдоль оси 0Z, то естест- венно предположить, что искомое дифракцион- ное поле тоже не зависит от переменной z и явля- ется E-поляризованным. Следовательно, вектор напряженности электрического поля имеет толь- ко компоненту ∂ zE . Введем функцию ( )yxU , таким образом: ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < >+ = ∂ ∂ ., ;, , 1 1 hxE hxEE yxU z z i z (3) Как следует из системы уравнений Мак- свелла, эта функция должна удовлетворять урав- нению Гельмгольца ( ) 02 =+Δ UxkU , (4) где ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <<− << −<> = ⊥ .0, ;0, ;,,1 2 1 21 2 xh hx hxhx kxk MM με εμ (5) Здесь ( ) 1 2 2 2 1 / μμμμ −=⊥ − эффективная магнитная проницаемость ферритового слоя. На границах раздела сред функция ( )yxU , должна удовлетворять условиям сопряжения (непре- рывность тангенциальных компонент электро- магнитного поля): ; 1 , 01 2 0 00 11 11 −=⊥+= −=+= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ = hxhx hxhx y U i x U x U UU μ μ μ (6) ; 1 , 00 00 22 22 −−=+−= −−=+−= ∂ ∂ = ∂ ∂ = hxhxM hxhx x U x U UU μ (7) E i, H i x 3 1, = = nmmnμμ β d h1 σ = ∞ μ M , ε M h2 I y А. В. Бровенко и др. / Резонансное рассеяние плоской… _________________________________________________________________________________________________________________ 5 . 11 , 00001 2 0000 +=+=⊥ −=+= ∂ ∂ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = xMx xx x U y U i x U UU μμ μ μ (8) На лентах решетки потребуем обращения в нуль тангенциальной компоненты электриче- ского поля 00000 == +=−= xx UU . (9) Кроме того, так как ленты решетки имеют ребра, то следует потребовать выполнение условия Мейкснера ∞<∇∫ dxdyU Q 2 для любой ограни- ченной области Q. В полупространствах 1hx > и 2hx −< функция ( )yxU , должна удовлетворять условию излучения ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −< >+ = ∑ ∑ ∞+ −∞= Γ− ∞+ −∞= Γ n ny l ix l i n n i z ny l ix l i n hxeed hxEeea yxU n n ,, ;, , 2 22 1 22 1 1 ππ ππ (10) где ветви корней ;22 1 nn Φ−=Γ κ ;sin βκ+=Φ nn λ κ l = ( f c =λ − длина волны возбуждающего по- ля), выбраны следующим образом: 0Im,0Re 11 ≥Γ≥Γ nn . (11) Легко показать, что через функцию ( )yxU , ком- поненты xH и yH магнитного поля могут быть представлены как ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <<− ∂ ∂ <<⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ −<> ∂ ∂ = ⊥ ;0,1 ;0,1 ;,, 1 2 1 1 2 21 xh y U hx x Ui y U hxhx y U ik H M x μ μ μ μ (12) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <<− ∂ ∂ <<⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ −<> ∂ ∂ −= ⊥ .0,1 ;0,1 ;,, 1 2 1 1 2 21 xh x U hx y Ui x U hxhx x U ik H M y μ μ μ μ (13) Таким образом, задача состоит в опреде- лении функции ( )yxU , , удовлетворяющей урав- нению (4) и граничным условиям (6)–(11). Реше- ние этой задачи будем искать методом частичных областей. Введем следующие области: ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }.,:, ;,0:, ;,0:, ;,:, 24 23 12 11 +∞<<∞−−<= +∞<<∞−<<−= +∞<<∞−<<= +∞<<∞−>= yhxyxD yxhyxD yhxyxD yhxyxD В каждой из этих областей функцию ( )yxU , представим в виде ряда Фурье по пере- менной y. Тогда, учитывая условия излучения (10) и уравнение (4), имеем ___________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∈ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∈+ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∞+ −∞= Γ−Φ ∞+ −∞= ΓΓ−Φ ∞+ −∞= ΓΓ−Φ ∞+ −∞= +−ΓΦ n x l iy l i n n x l i n x l i n y l i n x l i n x l i n y l i n yxikx l iy l i n Dyxeed Dyxecece Dyxebebe Dyxeeea yxU nn nnn nnn nn ,,, ;,, ;,, ;,, , 4 22 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 sincos 22 1 33 22 1 ππ πππ πππ ββ ππ (14) ___________________________________________ где ,; 22 3 22 2 nMMnnn Φ−=ΓΦ−=Γ ⊥ μεκεμκ а коэффициенты 121 ,,,, nnnnn cbbda и 2 nc являются неизвестными величинами, которые следует оп- ределить из граничных условий (6)–(9). Подставляя (14) в (6)–(9), после ряда пре- образований получаем систему парных сумма- торных уравнений ( ) ( ) ;, 0 1 0 ϕϕ νν ϕ ϕϕ <= =+−+ ∑ ∑∑ ∞+ −∞= − −∞= ∞ = n in n n in n n in n ef eynbeyn (15) ( ) ;,0 0ϕϕν ϕ >=+∑ +∞ −∞=n in neyn (16) А. В. Бровенко и др. / Резонансное рассеяние плоской… _________________________________________________________________________________________________________________ 6 ( )∑ ≠ −=− 0 0 ,1 n n n yy (17) где ( ) ( ) ;/1 /1;;2 12 12 0 μμμμ μμμμπϕπϕ −+ ++ === ⊥ ⊥ M Mb l d l y [ ],sinsin βκβκν −= а символ […] обозначает целую часть числа βκ sin . Коэффициенты nf выражаются через коэффициенты ny по формуле ( ) . /1 00 12 nnn nn M M nn g yK i bnf δ μμμμ μμ ν − −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+ ++= ⊥ ⊥ Здесь ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = 0 0 ,0 ;,1 ;0, ;0,1 0 nn nn nb n b nnn δ − сим- вол Кронекера; [ ]βκ sin0 =n , а величины nK имеют вид nn M n n KKK 21 3 1 ⊥ − Γ = μμ ν , где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .; ;;/ ; 4 exp 4 exp ; 4 exp 4 exp 22 3 22 2 22 1122 2 1 11 12 1 1 2 3 2 1313 3 2 1313 1 νμεκνεμκ νκμμνα π μαμα μαα π μαα π μμ π μμ νν νν ννν ννν ννννν ννννν +−=Γ+−=Γ +−=Γ+±Γ= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ΓΓ−+Γ+ Γ+−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ΓΓ− = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ΓΓ−Γ+Γ+Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ΓΓ−Γ−Γ+Γ = ⊥ ± ⊥ − ⊥ + ⊥ +− ⊥ −+ nn nni l h i l h i K l h i l h i K MMnn nnn nnnnn nnnnnnn n nnMnnMn nnMnnMn n Величины 0ng можно представить следующим образом: ( ) ( ) , 2 00 00000 0 1 2 2 −+ ⊥ +−−+ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ −Γ = nnMM nnnnnM n i g ββμ μ μμμ γβγβμ ν где ; 2 exp5,0 2 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ Γ Γ± = ⊥ ± ± ν ν ν πμα β n n nn n l h i∓ . 1 1 00 00 00 ν ν μα μα βγ nn nn nn Γ± Γ = ⊥ ± ⊥ ± ±± ∓ Коэффициенты разложения функции ( )yxU , в ряды Фурье связаны с коэффициентами ny соот- ношениями . , ,, ,, 00 2 00 1 21 0 00 00 00 00 nnnn nnnn nn nnn n nn nnn n n nn nn n nn nn n ab ab y c y c y a y d δγβ δγβ δδ δ δδ δ δ ββ γγ ββδδ ++ −− −+ + − −+ + + −+ −+ −+ + −+ + += += + = + = + + − + = + = (18) Здесь . 2 exp5,0 , 2 exp15,0 , 2 exp15,0 02 1 02 010 0 2 1 2 1 21 2 3 2 3 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ Γ Γ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Γ Γ ± Γ ±= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Γ Γ ±= ⊥ ± ± ⊥± ± l h i l h ii l h i n n n n n n n n Mn πμα γ πμ μ μ β π μδ ∓ ∓ ∓ ∓ Покажем, что система парных сумматор- ных уравнений (15)−(17) эквивалентна бесконеч- ной системе линейных алгебраических уравнений второго рода относительно коэффициентов ....,1,0, ±=nyn Прежде всего заметим, что при [ ] 0sinsin =−= βκβκν система уравнений (15)−(17) аналогична ранее исследованной системе уравне- ний в работе [10], где предложен алгоритм регу- ляризации такого типа парных уравнений. Основным элементом этого алгоритма является построение в замкнутой форме решения «эталон- ных» уравнений. В нашем случае «эталонные» уравнения получаются из (15)−(17), если предпо- ложить, что коэффициенты ...,2,1,0, ±±=nfn являются известными величинами. Используя результаты, представленные в работе [11], полу- чим решение этих уравнений. Пусть ,ny ...,2,1,0 ±±=n − искомое решение. Введем функ- цию ( )zY комплексного переменного z по фор- муле ( ) ( ) ( )⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ >+− <+ = ∑ ∑ − −∞= +∞ = .1, ;1, 1 0 zzyn zzyn zY n n n n n n ν ν (19) Функция ( )zY является аналитической в ком- плексной плоскости с разрезом вдоль дуги L единичной окружности, которая соединяет точки 0ϕie− и 0ϕie , проходящей через точку 1=z . Обо- значим через ( )zY + и ( )zY − предельные значе- ния этой функции на дуге L, соответственно, из- нутри и извне круга .1<z Тогда из уравнения (15) имеем А. В. Бровенко и др. / Резонансное рассеяние плоской… _________________________________________________________________________________________________________________ 7 ( ) ( ) ( ) LzzFzbYzY ∈=+ −+ , , (20) где ( ) ∑ +∞ −∞= = n n n zfzF . Таким образом, необходимо определить аналитическую функцию ( )zY , а следовательно, и коэффициенты ...,2,1,0, ±±=nyn по условию (20). Это хорошо известная задача Римана-Гильберта теории аналитических функций [15]. Решение этой задачи в классе функций, допускающих ин- тегрируемую особенность на концах дуги L и убывающих при ∞→z , имеет следующий вид [15]: ( ) ( ) ( ) ( )( ) , 2 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ∫ + L C zttG dttF i zGzY π (21) где ( ) ( ) ( ) ηϕηϕ iiii ezezzG +−−−− −−= 2 1 2 1 00 − канони- ческое решение однородной задачи, соответст- вующей (20) ( )( )0≡zF , а параметр , 2 ln π η b = ( ) ( )12 12 /1 /1 μμμμ μμμμ −+ ++ = ⊥ ⊥ M Mb ; C − произвольная посто- янная величина; ( )tG+ − предельное значение на дуге L функции ( )zG изнутри круга .1<z С помощью (21) и результатов из работы [11] после ряда преобразований получаем выражение для коэффициентов ...),1,0( ±=mym ,∑ +∞ −∞= = n nmnm fRy (22) где ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≠+ + − =−+ + = .0, 1 , ;0, 1 0 0 0 mVV P P V mVVV P P R nn m mn nnn mn σ σ σσ σ σ ν ν ϕη ν ν (23) Величины, входящие в (23), определяются сле- дующим образом: ___________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <=−− ≥=− −=− −≠≠− − + = ∑ ∑ −− = ++−−− + = −−−+ + ++ .0,,,, ;0,,,, ;1,,, ;1,,,,,, 1 1 0 0101 1 0 0101 1 2 001010 2 0 0 nnmPR nnmPR nPPe nmnPPPP nm me V n q qnqn n q nqqn mm nmnm mn ϕηϕη ϕηϕη θηθη ϕηϕηϕηϕη ηϕ ηϕ ___________________________________________ Здесь функции ( )0,ϕηnP и ( )0,ϕηnR легко вычис- ляются с помощью рекуррентных формул ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,2,, 1 1 ,sin 2 cos 1 2, ,sin2cos,,1, 02 01000 000100 ≥⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= +== − − nP n P nn P PP n nn ϕη ϕηϕηϕϕη ϕηϕϕηϕη ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .2,, ,cos2,, ,sin2cos,,1, 02 01000 000100 ≥+ +−= +−== − − nP PPR RR n nnn ϕη ϕηϕϕηϕη ϕηϕϕηϕη Для отрицательных значений индекса 0<n имеем ( ) ( ).,, 01 2 0 0 ϕηϕη ηϕ −= − − nn PeP Величины σ nV и σP можно представить в виде рядов ( ) ( ) ( )., 1 , 1 0 0 0 ∑ ∑ ∞+ ≠ −∞= +∞ ≠ −∞= + − = + − = n n n n m m mn m n P n P V m V ϕη ν ν σ σ Таким образом, формула (22) дает реше- ние «эталонных» уравнений в замкнутой форме. Для того чтобы получить бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ...,1,0, ±=nyn , достаточно под- ставить в (22) вместо nf их выражения через .ny Тогда получаем .2,1,0, ±±=+= ∑ +∞ −∞= mhyHy n mnmnm (24) Матричные элементы в (24) имеют вид ;nmnmn RH δ= (25) А. В. Бровенко и др. / Резонансное рассеяние плоской… _________________________________________________________________________________________________________________ 8 , 1 1 2 n M M nn Kibn ⊥ ⊥ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ++= μ μ μμ μμνδ (26) а правые части , 00 nmnm gRh −= где выражение для 0ng приведено выше. Используя асимптотические оценки для функции ( )0,ϕηnP при ∞→n , полученные в рабо- те [9], можно установить сходимость двойного ряда ∑ +∞ −∞= ∞< nm mnR , 2 . (27) Далее непосредственными вычислениями можно показать, что ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + Ο= ν δ nn 1 при .∞→n Тогда, используя результаты [16], получаем, что матрица +∞ −∞= Η nmmn , задает в про- странстве ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∞<= ∑ +∞ −∞= ∞+ −∞= n nnn yyl 2 2 : ядерный оператор. Кроме того, для последовательности ...,2,1,0, ±±=mhm выполняется неравенство .2 ∞<∑ +∞ −∞=m mh Таким образом, на основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что бесконечная сис- тема линейных алгебраических уравнений (24) является системой уравнений второго рода и сле- довательно, ее решение может быть получено с любой наперед заданной точностью методом усе- чения (замена бесконечной системы уравнений на конечную) [17]. На основе предложенного метода реше- ния задачи (4)–(11) был разработан комплекс про- грамм для расчета дифракционных характерис- тик (коэффициента отражения и прохождения, дифракционное поле). Анализ сходимости метода усечения для бесконечной системы (24) показал, что, например, для расчета модуля коэффициента отражения (прохождения) с относительной по- грешностью менее 1 %, достаточно выбрать по- рядок усечения N системы уравнений (24) сле- дующим образом: ___________________________________________ [ ] [ ] [ ]( ),sin;sin;sinmax 321 PPPN MM +++= ⊥ βκμεβκεμβκ где ,5,, 321 ≥PPP а […] – целая часть числа. ___________________________________________ 2.Численные результаты: резонансы коэффициента отражения. Численный анализ характеристик электромагнитного поля, возни- кающего при дифракции плоской E- поляризованной волны на структуре ферритовый слой−леноточная решетка−слой метаматериала, проводился при следующих значениях парамет- ров. Размеры толщин слоев феррита и метамате- риала были выбраны одинаковыми 121 == hh мм. Характеристические частоты феррита и метама- териала (см (1) и (2)) соответствовали СВЧ- диапазону: феррита − Hf = 14 ГГц, Mf = 13,4 ГГц, Rf = 0,016 ГГц [18], мета-материала εf = 18 ГГц, μf = 15 ГГц, 0f = 0 ГГц [14]. Геометрические па- раметры ленточной решетки − период и ширина щелей были равны соответст-венно l = 1,5 мм и d = 0,75 мм ).5,0( ld = Предполагалось, что час- тота π ω 2 =f возбуждающей волны удовлетворя- ет условию 1<clf (c − скорость света в вакуу- ме). В этом случае дифракционное поле в зонах отражения )( 1hx > и прохождения )( 2hx −< на больших расстояниях )1( >>fxc определяется единственной распространяющейся нулевой про- странственной гармоникой. Остальные простран- ственные гармоники экспоненциально затухают с увеличением координаты x (см.(10)). Поэтому основными электродинамическими характери- стиками, описывающими процесс взаимодейст- вия плоской волны с рассматриваемой электро- динамической структурой, являются коэффициен- ты отражения R и прохождения T (см. (14) 0aR = , 0dT = ). При еди-ничной амплитуде возбуждаю- щей волны и в пренебрежении потерями в ферри- те и метаматериале эти коэффициенты связаны соотношением [19] .122 =+ TR В дальнейшем ограничимся исследованием частотной зависимости модуля коэффициента отражения в диапазоне частот 300 << f ГГц в котором расположены все характеристические частоты феррита и метаматериала. Видно, что для частот из этого диапазона выполняется неравенство .1<clf На рис. 2 показаны частотные зависимос- А. В. Бровенко и др. / Резонансное рассеяние плоской… _________________________________________________________________________________________________________________ 9 ти реальных частей диэлектрической Mε и маг- нитной Mμ проницаемостей метаматериала и эффективной магнитной проницаемости ⊥μ фер- рита ( 1 2 2 2 1 )( μμμμ −=⊥ ) при 300 << f ГГц. Как видно, в диапазоне частот, εμ fff <<<0 )Re(ε и )Re(μ метаматериала принимают отри- цательные значения, а )Re( ⊥μ феррита является положительной величиной. В диапазоне частот <+ )( MHH fff MH fff +<< реальная часть эффективной маг- нитной проницаемости феррита становится отри- цательной, а 0)Re( >ε и .0)Re( >μ Ниже будет показано, что именно в этих диапазонах частот модуль коэффициента отражения резонансным образом зависит от частоты возбуждающей вол- ны. Вне этих диапазонов частот наблюдается практически полное отражение падающей волны. 0 5 10 15 20 25 30 20 15 10 5 0 5 10 15 20 – – – 3 2 1 f, ГГц – Рис. 2. Поведение Re (εM) – 1, Re (μM) – 2, Re (μ⊥) – 3 при изме- нении частоты f возбуждающего поля Рассмотрим поведение модуля коэф- фициента отражения R в диапазоне частот .0 μff << Как было отмечено выше, в этом диа- пазоне частот ,0)Re( <ε 0)Re( <μ и .0)Re( >⊥μ На рис. 3 приведены результаты расчетов коэф- фициента отражения. Существует 3 значения час- тоты возбуждающей волны 1f = 7,464 ГГц, 2f = 9,35 ГГц и 3f = 10,606 ГГц, в окрестности которых R резонансным образом уменьшается и может достигать значений ≈R 0,05. Можно показать, что эти частоты зависят только от характеристических частот феррита и метаматериала и являются корнями следующих уравнений: ;01 1 2 =++⊥ μ μ μ μ M (28) ;01 1 2 =+−⊥ μ μ μ μ M (29) .01=+Mμ (30) 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 2 1 f1 = 7,464 ГГц f2 = 9,35 ГГц f3 = 10,606 ГГц \|R\| f, ГГц Рис. 3. Зависимость модуля коэффициента отражения \|R\| от частоты при нормальном β = 0° (кривая 1) и наклонном β = 45° (кривая 2) падении плоской электромагнитной волны на исследуемую структуру Частоты 1f и 2f удовлетворяют соот- ветственно уравнениям (28) и (29), а частота 3f − уравнению (30). Как известно [20], структура, образованная слоем феррита и диэлектрика (в частности, метаматериала), обладает спектром поверхностных волн. Характерной особенностью дисперсионных зависимостей этих поверхност- ных волн является наличие частот «отсечки» − частот, при которых фазовые скорости поверхно- стных волн обращаются в нуль. Эти частоты «от- сечки» удовлетворяют уравнениям (28)−(30), сле- довательно, совпадают с указанными выше час- тотами. При этом частоты 1f и 2f связаны с по- верхностными волнами, распространяющимися вдоль границы раздела феррит–метаматериал ( 0=x ), а частота 3f − с поверхностной волной, распространяющейся вдоль границы метаматериал− вакуум ( 2hx −= ). Косвенным подтверждением этого явля- ется распределение линий равных значений мо- дуля Ez -компоненты поля дифракции, получен- ных для частот возбуждающей волны, при кото- рых R принимает минимальные значения (рис. 4). Как можно видеть, при частотах, близких к 1f и ,2f поле дифракции локализовано на щелях ре- шетки (в окрестности границы раздела феррит− метаматериал) (рис. 4, а, б), а при частотах, близ- ких к ,3f − в окрестности границы раздела мета- материал−вакуум (рис. 4, в). А. В. Бровенко и др. / Резонансное рассеяние плоской… _________________________________________________________________________________________________________________ 10 а) б) в) Рис. 4. Распределение значений линий равных амплитуд \|Ez\| = const на резонансных частотах: а) − f = 7,463 ГГц; б) − f = 9,341 ГГц; в) − f = 10,612 ГГц ___________________________________________ Интересно отметить, что в случае на- клонного падения плоской волны частотная зави- симость коэффициента отражения практически не изменяется (см. рис. 3, пунктирная линия). Таким образом, резонансное поведение коэффициента отражения обусловлено возбужде- нием в исследуемой структуре колебаний, лока- лизованных у границ раздела сред. Проанализируем теперь поведение коэф- фициента отражения в частотном диапазоне .)( MHMHH ffffff +<<+ В этом случае 0)Re( <⊥μ и 0)Re( >ε , 0)Re( >μ . На рис. 5 пред- ставлена типичная частотная зависимость модуля коэффициента отражения при нормальном паде- нии на структуру возбуждающей плоской волны. Как видно, и в этом частотном диапа- зоне существует две характерные частоты 4f = 20,756 ГГц, 5f = 22,642 ГГц, в окрестности которых наблюдается резкое уменьшение коэффи- циента отражения ( ).0( →R При этом частота 5f удовлетворяет уравнению (28), а частота 4f − урав- нению .01 1 2 =++⊥ μ μ μ (31) Как следует из (31), частота 4f зависит только от параметров феррита и является частотой «отсеч- ки» поверхностной волны, локализованной у гра- ницы раздела феррит−вакуум ).( 1hx = Частота 5f зависит как от параметров феррита, так и от параметров метаматериала, и соответствующая ей поверхностная волна локализована у границы раздела феррит−метаматериал ).0( =x 20 22 24 26 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 f5 = 22,642 ГГцf4 = 20,756 ГГц \|R\| f, ГГц Рис. 5. Зависимость модуля коэффициента отражения \|R\| при дифракции плоской волны на структуре ферритовый слой− периодическая решетка−слой метаматериала На рис. 6 представлены результаты расчета ближних полей (распределение модуля Ez –компо- ненты) при частотах, для которых коэффициент отражения принимает минимальные значения. ___________________________________________ а) б) в) г) д) Рис. 6. Распределение значений линий равных амплитуд \|Ez\| = const на резонансных частотах: а) − f = 20,278 ГГц; б) − f = 20,667 ГГц; в) − f = 21,619 ГГц; г) − f = 22,417 ГГц; д) − f = 22,697 ГГц А. В. Бровенко и др. / Резонансное рассеяние плоской… _________________________________________________________________________________________________________________ 11 Как видно, для частот в окрестности 4f дифракционное поле сосредоточено у верхней границы слоя феррита, а для частот в окрестности 5f − на щели ленточной решетки (граница раздела феррит–метаматериал). Следовательно, и в этом случае резонансы коэффициента отражения также связаны с возбуждением поверхностных коле- баний. Любопытно отметить, что в этом частот- ном диапазоне ленточная решетка (слои феррита и метаматериала отсутствуют) практически пол- ностью ( 9,0≈R ) отражает E-поляризованную волну [19]. Выводы. Таким образом, разработан ме- тод аналитической регуляризации для решения задач дифракции плоских E-поляризованных волн на периодической структуре слой феррита− ленточная решетка−слой метаматериала. Этот ме- тод сводит исходную задачу дифракции к беско- нечной системе линейных алгебраических урав- нений второго рода, допускающей эффективное численное решение методом усечения. С помо- щью этого метода исследована частотная зависи- мость коэффициента отражения. Установлено, что в частотных диапазонах εμ fff <<<0 и MHMHH ffffff +<<+ )( существуют ха- рактерные частоты, в окрестности которых коэф- фициент отражения резонансным образом уменьшается практически до нуля ).0( →R Вне указанных диапазонов модуль коэффициента отражения близок к единице ( ).1( ≈R Такое пове- дение коэффициента отражения обусловлено воз- буждением колебаний, локализованных у границ раздела сред. 1. Третьяков О. А. Дифракция электромагнитных волн на плоской металлической решетке, лежащей на диэлектри- ческом слое / О. А. Третьяков, В. П. Шестопалов // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. − 1963. − 6, № 2. − С. 353−366. 2. Адонина А. И. Дифракция электромагнитных волн при косом падении на плоской металлической решетке с экра- ном и магнитодиэлектриком / А. И. Адонина, В. В. Щербак // Журн. техн. физики. − 1964. − 34, вып. 1. – С. 168−173. 3. Барегамян В. А. Дифракция электромагнитных волн на плоской металлической решетке с анизотропным диэлект- риком / В. А. Барегамян // Радиотехника: науч.-техн. сб. / Харьков. гос. ун-т. – Х., 1965. − Вып. 1. − С. 108−115. 4. Хорошун В. В. Дифракция плоских электромагнитных волн на металлической решетке с гиромагнитной средой / В. В. Хорошун // Радиотехника: науч.-техн. сб. / Харьков. гос. ун-т. – Х., 1967. − Вып. 4. − С. 20−25. 5. Хорошун В. В. Дифракция плоских электромагнитных волн на экранированной решетке с поперечно намагни- ченным реальным ферритом / В. В. Хорошун // Радиотех- ника: науч.-техн. сб. / Харьков. гос. ун-т. – Х., 1968. − Вып. 7. − С. 32−37. 6. Бровенко А. В. Дифракция плоской электромагнитной вол- ны на металлической решетке с магнитоактивной плазмой / А. В. Бровенко, П. Н. Мележик, А. Е. Поединчук // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. – 2004. − 47, № 8. − С. 638−649. 7. Surface resonances of metal stripe Grating on the Plane boundary of metamaterial / A. Brovenko, P. Melezhik, A. Poye- dinchuk et al. // Progress in Electromagnetic Research. – 2006. − 63. − P. 209−222. 8. Resonant Scattering in Electromagnetics Research / A. Brovenko, P. Melezhik, A. Poyedinchuk et al. // Progress in Electromagnetic Research B. − 2009. – 15. – P. 423−441. 9. Аналитическая регуляризация задач дифракции волн на ленточных решетках, расположенных на границе ферро- магнитной среды / А. В. Бровенко, П. Н. Мележик, А. Е. Поединчук, А. С. Трощило // Электромагнитные вол- ны и электронные системы. – 2009. – 14, № 9. – С. 19−30. 10. Resonance wave Scattering by strip grating adjusted to ferromagnetic medium / A. Brovenko, E. Vinogradova, P. Melezhik et al. // Progress in Electromagnetics Research B. – 2010. – 23. – P. 109−129. 11. Метод аналитической регуляризации в решении задач дифракции электромагнитных волн на границе гиротроп- ной среды с ленточной решеткой / А. В. Бровенко, П. Н. Мележик, А. Е. Поединчук, А. С. Трощило // Докл. НАН Украины. – 2010. – № 3. – С. 77−84. 12. Modern theory of Gratings. Resonant Scattering: Analysis Techniques and Phenomena / J. Chandezon, G. Granet, P. Melezhik et al. − N. Y., 2010. – 390 p. 13. Гуревич А. Г. Ферриты на сверхвысоких частотах / А. Г. Гуревич. – М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. − 408 с. 14. Engheta N. Metamaterials: Physics and Engineering Explora- tions / N. Engheta, R. W. Ziolkowski (eds.). − IEEE Press, Wiley Interscience, 2006. – 402 p. 15. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравне- ния / Н. И. Мусхелишвили. − М.: Физматгиз, 1962. – 599 с. 16. Садовничий В. А. Теория операторов / В. А. Садовничий. − M.: Изд-во Москов. ун-та, 1986. – 368 с. 17. Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канто- рович, Г. П. Акилов. – М.: Наука, 1984. – 752 с. 18. Елисеева С. В. Спектр собственных электромагнитных волн периодической структуры ферромагнетик−полупроводник / С. В. Елисеева, Д. И. Семенцов // Журн. техн. физики. – 2005. – 75, вып. 7. – С. 106−111. 19. Дифракция волн на решетках / В. П. Шестопалов, Л. Н. Лит- виненко, С. А. Масалов, В. Г. Сологуб. – Х.: Изд-во Харь- ков. гос. ун-та, 1973. – 278 с. 20. Вашковский А. В. Обратные поверхностные электромаг- нитные волны в композитных структурах, использующих ферриты / А. В. Вашковский, Э. Г. Локк // Радиотехника и электрон. – 2003. − 48, № 2. – С. 169−176. A. V. Brovenko, P. N. Melezhik, A. E. Poyedynchuk RESONANT SCATTERING OF A PLANE ELECTROMAGNETIC WAVE BY FERRITE−STRIP GRATING−METAMATERIAL STRUCTURE Boundary value problem for plane electromagnetic wave diffraction by the ferrite−strip grating−metamaterial structure was reduced to Riemann-Hilbert problem with conjugation coeffi- cient depending upon frequency of excitation wave and constitu- tive parameters of ferrite and metamaterial. Analytical regulariza- tion method was proposed to reduce this problem to infinite sys- tem of algebraic equations of the second kind with kernel matrix operator. Numerical analysis of frequency dependence of the ref- lection coefficient for the periodic structure was carried out. The frequency bands where the reflection coefficient exhibited pro- nounced resonant behaviour were determined. Excitation of the oscillations localized in the vicinity of media interfaces explains such resonant behaviour of the reflection coefficient. Key words: diffraction, ferrite layer, strip periodic grat- ing, metamaterial layer, system of dual series equations, analytical regularization method, reflection coefficient, diffracted fields. А. В. Бровенко и др. / Резонансное рассеяние плоской… _________________________________________________________________________________________________________________ 12 А. В. Бровенко, П. М. Мележик, А. Ю. Поєдинчук РЕЗОНАНСНЕ РОЗСІЯННЯ ПЛОСКОЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОЇ ХВИЛІ НА СТРУКТУРІ ФЕРИТ−СТРІЧКОВА ҐРАТКА−МЕТАМАТЕРІАЛ Крайова задача дифракції плоскої електромагнітної хвилі на шарі ферит−стрічкова ґратка−шар метаматеріалу зве- дена до задачі Рімана-Гільберта з коефіцієнтом сполучення, що залежить від частоти падаючої хвилі, матеріальних параметрів ферита та метаматеріалу. Запропоновано метод аналітичної регуляризації, за допомогою якого ця задача зведена до системи лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду з ядерним операто- ром. Проведено числовий аналіз частотної залежності коефіцієнта відбиття для досліджуваної періодичної структури. Встановлено діапазони частот, де коефіцієнт відбиття має яскраво виражений резонансний характер. Така поведінка коефіцієнта відбиття обумовлена збудженням коливань, локалізованих біля меж розділу середовищ. Ключові слова: дифракція, феритовий шар, стріч- кова періодична ґратка, шар метаматеріалу, система парних суматорних рівнянь, метод аналітичної регуляризації, коефі- цієнт відбиття, дифракційні поля. Рукопись поступила 30.06.11 г.

Резонансное рассеяние плоской электромагнитной волны на структуре феррит-ленточная решетка-метаматериал

Institution

Ähnliche Einträge