Розсіювання Н-поляризованої хвилі дофрактальними дифракційними ґратками

Продовження розробки основ електромагнітної теорії дофрактальних дифракційних ґраток (ДФДҐ). ДФДҐ складається зі стрічок, що розташовані у площині відповідно до сегментів, які утворюють певну стадію побудови самоподібного фракталу зі змінною розмірністю Хаусдорфа. Постановка задач...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Радіофізика та електроніка
Date:	2011
Main Author:	Кошовий, Г.І.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2011
Subjects:	Мікрохвильова електродинаміка
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/78097
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Розсіювання Н-поляризованої хвилі дофрактальними дифракційними ґратками / Г.І. Кошовий // Радіофізика та електроніка. — 2011. — Т. 2(16), № 4. — С. 13-19. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859943554906849280
author	Кошовий, Г.І.
author_facet	Кошовий, Г.І.
citation_txt	Розсіювання Н-поляризованої хвилі дофрактальними дифракційними ґратками / Г.І. Кошовий // Радіофізика та електроніка. — 2011. — Т. 2(16), № 4. — С. 13-19. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Радіофізика та електроніка
description	Продовження розробки основ електромагнітної теорії дофрактальних дифракційних ґраток (ДФДҐ). ДФДҐ складається зі стрічок, що розташовані у площині відповідно до сегментів, які утворюють певну стадію побудови самоподібного фракталу зі змінною розмірністю Хаусдорфа. Постановка задачі розсіювання плоскої Н-поляризованої електромагнітної хвилі ДФДҐ є класично строгою. За методом інтегральних рівнянь двовимірна зовнішня задача Неймана для рівняння Гельмгольца переводиться до одновимірної задачі розв’язання системи інтегрально-диференційних рівнянь, а потім до системи інтегральних рівнянь. Пропонується метод розв’язання задачі для асимптотичної моделі слабконаповнених ДФДҐ. Щоб показати ефективність цієї моделі, детально досліджується випадок дифракційної ґратки з двох стрічок. Проводиться числовий розрахунок характеристик спрямованості та їх порівняння з відомими результатами. The article continues developing the bases of electromagnetic theory of prefractal diffraction gratings (PFDG). PFDG consists of strips, which are situated in a plane according to segments, which are еру same stage of self similar fractal with variable Hausdorf dimension. Statement of scattering problem for the H-polarized electromagnetic wave by PFDG is classically strict. By the integral equation technique, two dimensional external Neumann problem for Helmholtz equation transforms to onedimensional problem of solution of integral-differential equations’ system and then to integral equations’ system. Method of the problem’s solution for asymptotical model of weekly filled PFDG is introduced. To show this model effectivity the case of two strips’ diffraction grating is examined in details. Numerical calculation of directional characteristics and their comparison with known results presented. Продолжение разработки основ электромагнитной теории дофрактальных дифракционных решеток (ДФДР). ДФДР состоит из лент, расположенных в плоскости соответственно сегментам, которые образуют некоторую стадию построения самоподобного фрактала с переменной размерностью Хаусдорфа. Постановка задачи рассеивания плоской Н-поляризованной электромагнитной волны ДФДГ есть классически строгой. Используя метод интегральных уравнений, двухмерная внешняя задача Неймана для уравнения Гельмгольца переводится к одномерной задаче решения системы интегрально-дифференциальных уравнений, а потом к системе интегральных уравнений. Предлагается метод решения задачи для асимптотической модели слабонаполненных ДФДР. Чтобы показать эффективность этой модели, детально исследуется случай дифракционной решетки из двух лент. Проводится численный расчет характеристик направленности и их сравнение с известными результатами.
first_indexed	2025-12-07T16:11:51Z
format	Article
fulltext	ММІІККРРООХХВВИИЛЛЬЬООВВАА ЕЕЛЛЕЕККТТРРООДДИИННААММІІККАА _________________________________________________________________________________________________________________ __________ ISSN 1028−821X Радіофізика та електроніка, 2011, том 2(16), № 4 © ІРЕ НАН України, 2011 УДК 535.421 Г. І. Кошовий РОЗСІЮВАННЯ Н-ПОЛЯРИЗОВАНОЇ ХВИЛІ ДОФРАКТАЛЬНИМИ ДИФРАКЦІЙНИМИ ҐРАТКАМИ Національний аерокосмічний університет ім. М. Є. Жуковського «ХАІ» 17, вул. Чкалова, Харків, 61070, Україна E-mail: gikosh@gmail.com Продовження розробки основ електромагнітної теорії дофрактальних дифракційних ґраток (ДФДҐ). ДФДҐ складається зі стрічок, що розташовані у площині відповідно до сегментів, які утворюють певну стадію побудови самоподібного фракталу зі змінною розмірністю Хаусдорфа. Постановка задачі розсіювання плоскої Н-поляризованої електромагнітної хвилі ДФДҐ є класич- но строгою. За методом інтегральних рівнянь двовимірна зовнішня задача Неймана для рівняння Гельмгольца переводиться до одновимірної задачі розв’язання системи інтегрально-диференційних рівнянь, а потім до системи інтегральних рівнянь. Пропону- ється метод розв’язання задачі для асимптотичної моделі слабконаповнених ДФДҐ. Щоб показати ефективність цієї моделі, деталь- но досліджується випадок дифракційної ґратки з двох стрічок. Проводиться числовий розрахунок характеристик спрямованості та їх порівняння з відомими результатами. Рис. 4. Бібліогр.: 11 назв. Ключові слова: самоподібні фрактали, дифракційні ґратки, чисельно-аналітичні методи, моделювання. Стрічкові дифракційні ґратки (СДҐ) зай- мають особливе місце у теорії дифракції завдяки своїй простоті, а також можливості відображати загальні риси дифракційних явищ [1−4]. Скінче- ними СДҐ свого часу активно займалися декілька колективів дослідників. Зокрема, був розроблений метод, що дозволяє систему парних інтегральних рівнянь (ІР) звести до одного ІР Фредгольма дру- гого роду [5]. При цьому використовується розв’язок задачі Рімана-Гільберта для обмеженої кількості відрізків дійсної осі. Зазначений метод застосовувався до обох поляризацій збуджуючої плоскої електромагнітної хвилі [5, 6]. Але, як за- значено у монографії [2], інтегральний оператор рівняння виявляється тим складнішим, чим біль- ше стрічок має ґратка, і малу норму він має, коли розмір ґратки є малим у порівнянні з довжиною хвилі. Коли ж цей розмір є близьким чи значно перевищує довжину хвилі, виникають суттєві труднощі в отриманні розв’язку ІР. Тому у робо- тах [2, 7] пропонується наближення задачі розсі- ювання обмеженою СДҐ, що використовує алго- ритм задачі розсіювання хвильового пучка періо- дичною СДҐ. У загальному випадку ґратка з об- меженої кількості стрічок залежить від значної кількості параметрів, бо є невпорядкованою. Тому при проведенні конкретних числових роз- рахунків обмежувались «випадком рівноперіодич- них ґраток з шириною стрічок, яка дорівнює по- ловині періоду» [5, 7]. У той час зазначені методи були значним вкладом у теорію дифракції на стрічкових ґратках. Дослідження СДҐ, що мають вигляд сис- тем циліндричних стрічок, напрямні яких утво- рюють n-ну стадію побудови самоподібних фрак- талів (СПФ) зі змінною розмірністю Хаус- дорфа (РХ), проведено у статті [8]. Основою дослід- ження був системний аналіз процесу побудови двох класів СПФ, який дає чітку математичну впорядкованість і певні переваги над періодич- ною ґраткою. Наведено кілька математичних мо- делей процесу взаємодії плоскої Е-поляризованої електромагнітної хвилі з дофрактальною систе- мою циліндричних стрічок, що утворюють СДҐ. Детально аналізується асимптотична модель слабо- наповнених СДҐ, що є ефективною при дослід- женні фрактальних властивостей. При дослідженні періодичних СДҐ зазви- чай відокремлюють 3 частотних діапазони – довго- хвильовий, резонансний та короткохвильо- вий [1, 2]. У випадку «фрактальної» ґратки вини- кають унікальні можливості поєднання цих діапа- зонів, коли зі збільшенням номера стадії побудо- ви СПФ з’являється все більше частин ґратки (пі- дґраток), що можуть дорівнювати довжині хвилі. Цей ефект уже давно навчились використовувати при розробці «фрактальних» антен, які застосо- вуються, зокрема, у мобільних телефонах та ін- ших засобах бездротового зв’язку. У даній статті пропонується детально зу- пинитись на випадку Н-поляризації, який є більш складним і вимагає суттєвої зміни схеми дослі- дження у порівнянні з випадком Е-поляризації. Зокрема, буде потрібно забезпечити коректний перехід від системи інтегрально-диференційних рівнянь (ІДР) до системи ІР першого роду та роз- робити нову схему її розв’язку. 1. Постановка задачі. На систему з N абсолютно тонких та ідеально провідних цилінд- ричних стрічок (рис. 1) з паралельними краями набігає плоскополяризована електромагнітна хвиля. Поперечний перетин системи являє собою відповідну кількість сегментів, що утворюють певну стадію творення СПФ зі змінною РХ, тому цю систему циліндричних стрічок доречно назва- ти дофрактальною. Оскільки твірні стрічок є па- ралельними, то візьмемо їх паралельними осі ап- лікат прямокутної системи координат, тоді рів- Г. І. Кошовий / Розсіювання Н-поляризованної хвилі… _________________________________________________________________________________________________________________ 14 няння Максвелла розподіляються на дві незалеж- ні системи рівнянь [9], розв’язання яких приво- дить до двовимірного рівняння Гельмгольца .0),(2 2 2 2 2 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ + ∂ ∂ yxk yx υ (1) Тут шуканою функцією є ),( yxυ , що визначає поле навколо стрічок. а) б) Рис. 1. Системи циліндричних стрічок, що відповідають 2 стадії творення СПФ: а) − криволінійні; б) − площинні При цьому в одній системі рівнянь гранич- ні умови 0),( =yxυ на елементах напрямних роз- сіювача, у той час як у другій системі рівнянь граничні умови ,0= ∂ ∂ n υ де n − нормаль до на- прямних дуг. З математичної точки зору маємо зовнішні задачу Діріхле (Е-поляризація) та задачу Неймана (Н-поляризація) для вказаного рівняння; вони мають єдиний розв’язок при виконанні умо- ви випромінювання на нескінченості (за Зоммер- фельдом) 0lim =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ ∞→ υ υ i r r r та умов у граничних точках дуг за формою Мейкс- нера (в обмеженій області навколо ребра стрічки має бути обмеженою енергія) [9]. Зовнішня зада- ча Діріхле, що відповідає розсіюванню Е-поляри- зованої хвилі, є більш простою та може бути ці- кавішою з точки зору практичних застосувань при розробці дофрактальних антен. Вона була досліджена раніше у статті [8], і тому тут основна увага приділяється зовнішній задачі Неймана, що відповідає розсіюванню Н-поляризованої хвилі. 2. Метод інтегральних рівнянь. Подіб- но до випадку Е-поляризованої хвилі [8] розшу- кувану функцію запишемо у наступному вигляді: .)()( 4 )()( 1 )1( 00 ∑ ∫ = ′′− ′∂ ∂ ′+= N m ldrrkH n rI i rr mγ υυ (2) Тут )(rI ′ − деяка комплекснозначна функція, ви- значена на елементах напрямних розсіювача mγ , яку потрібно знайти. Під знаком інтеграла маємо похідну функції Ханкеля за напрямком нормалі до напрямних розсіювача mγ , яку потрібно буде далі коректно перетворювати. Оскільки зовнішні змінні пов’язані з радіусом-вектором без штриха, а похідна за напрямком нормалі береться по внут- рішнім (штрихованим) змінним, то інтеграл під знаком суми задовольняє як рівняння Гельмгольца, так і умови випромінювання на нескінченності. Далі скористаємося граничними умовами 0= ∂ ∂ n υ на контурах mγ , у які підставимо вираз (2), і в результаті виникає наступна система ІДР: ....,,1, ),(4)()( 1 0 )1( 0 Nr r n ildrrkH n rI n N m m =∈ ∂ ∂ =′′− ′∂ ∂ ′ ∂ ∂ ∑ ∫ = γ υ γ (3) Коли дуги задані параметрично, то похідна за напрямком )( n n ×∇= ∂ ∂ υυ , де ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ =∇ yx υυυ , , 22 ),( yx xyn + − = . У випадку плоских ДФДҐ, коли напрямними є сегменти, що розташовані на пря- мій y = 0, отримаємо yn ∂ ∂ = ∂ ∂ υυ . Звідси, внаслідок рівностей )( )()( )1( 0 )1( 0 )1( 0 rrkH y rrkH n rrkH n ′− ∂ ∂ −= =′− ∂ ∂ −=′− ′∂ ∂ винесемо частинну похідну, яка вже не залежить від змінної інтегрування, за знак інтеграла і скористаємось тим, що функція Ханкеля )()1( 0 rrkH ′− задовольняє рівнянню (1). У резуль- таті таких перетворень система (3) для плоских ДФДҐ стане такою: ....,,1,),exp(4 )()( 12 1 )1( 0 2 2 2 Nxxikqkq xdxxkHxIk dx d N m m =∈−= =′′−′⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∑ ∫ = γ γ (4) Оскільки в цих рівняннях операції диференцію- вання та інтегрування в певній мірі відокремлені, а сума інтегралів у лівій частині (4) є функцією змінної x, то спочатку знайдемо загальний розв’язок звичайного неоднорідного диференцій- ного рівняння другого порядку зі сталими коефі- цієнтами. Тоді прийдемо до такої системи сингу- лярних ІР (СІР) першого роду: Г. І. Кошовий / Розсіювання Н-поляризованної хвилі… _________________________________________________________________________________________________________________ 15 ., 1 4 )()( 2 1 2 1 )1( 0 1 γ γ ∈ − −+= =′′−′ − = ∑ ∫ x q eq k eBeA xdxxkHxI xikq ikxikx N m m (5) Невідомі сталі BA , можуть бути визначені з умов на кінцях сегментів чи, точніше, ребрах стрічок. Відомо кілька способів їх визначення, та про них будемо казати тоді, коли досліджувати- мемо конкретні ДФДҐ за відповідними методами розв’язання СІР даного типу. 3. Дофрактальна модель та її спрощення. Отриману систему ІР першого роду (5) можна вважати загальною електродинамічною моделлю взаємодії Н-поляризованої електромагнітної хвилі з системою циліндричних стрічок. Далі маємо перетворювати її та наповнювати реальним зміс- том впорядкованості за математичним законом побудови СПФ зі змінною РХ. Для цього скорис- таємося структурною схемою побудови СПФ, яку наведено у статті [8], де міститься, зокрема, необ- хідна інформація про вихідні змінні моделі про- цесу творення. Отже, для довільного натурально- го числа n, яке визначає стадію побудови СПФ, маємо впорядковану послідовність лінійних функ- цій )(txn m , де )3(2...,,1 nnm = , що за властивістю самоподібності закріплюють на числовій осі сег- менти даної стадії. Ці сегменти є напрямними системи стрічок, тому систему ІР (5) можна запи- сати більш конкретно за допомогою звичайних визначених інтегралів по сегменту [−1,1], і вона прийме вигляд . )1( ))(exp(4 )](exp[)](exp[ ))()(()( 2 1 12 )3(2 1 )1( 0 1 1 qk xiqq ixBixA dttxxHtj n nn m n m n m nn − − −−+= =−∑ ∫ = − τ ττ τ (6) Вхідними змінними тут є параметри: n − номер стадії побудови СПФ; −21 , qq компоненти на- прямного вектора плоскої хвилі та вихідні змінні )(txn m геометричної моделі побудови СПФ зі змінною РХ. Вихідними змінними цієї моделі є функції )(tjm , що визначають щільність поверх- невих струмів на стрічках. На відміну від Е-поляризованої електромагнітної хвилі, тут має- мо поперечні струми і значно складнішу праву частину, де є невідомі сталі BA , , які визнача- ються з умов на кінцях сегментів. Для попереч- них поверхневих струмів умови у граничних точ- ках сегментів суттєво відрізняються від таких умов для подовжніх компонент поверхневих струмів. Тобто потрібно суттєво змінювати схему розв’язку отриманої системи ІР першого роду порівняно до відповідної системи, що моделює розсіювання Е-поляризованої електромагнітної хвилі. Тому спочатку максимально спростимо модель без утрати сутності задачі, щоб розібрати- ся в деталях. Почнемо з припущення перпендику- лярності набігання хвилі на найпростішу з ґраток, що складається з двох стрічок. Таким чином, має- мо 1,0 21 == qq і попередня система СІР стане такою: . 4 )](exp[)](exp[ ))()(()( 2 1 )1( 0 1 1 k ixBixA dttxxHtj m mm −−+= =−∑ ∫ = − ττ τ (7) Тут вхідними змінними будуть лінійні функції ;)1()( ttx m m αβ +−= а індекс m = 1, 2. Безрозмірні параметри λπβλπα /2,/2 bka === визна- чають співвідношення основних геометричних розмірів ґратки (величина 2b є відстанню між центрами сегментів, поперечний розмір кожного з яких дорівнює 2а) з довжиною електромагнітної хвилі λ. Рис. 2. Поперечний перетин половини ДФДҐ На рис. 2 два крайніх справа сегменти від- повідають другій стадії побудови СПФ з РХ .3/18ln/2ln = Вони є напрямними правої поло- вини відповідної ДФДҐ. Очевидно, що система (7) повністю містить основні властивості системи (6), і тому не суттє- во, скільки маємо стрічок, відтак і сталих у правій частині. Головне, щоб їх було не менше двох, бо випадок однієї стрічки [9] виключає взагалі наяв- ність невідомих сталих у правій частині. Наступне припущення, що приводить до асимптотичної моделі, яка дозволяє отримати розв’язання системи ІР у явному, чи, користую- чись іншою термінологією, у замкненому вигляді, полягає в малості поперечного розміру стрічки. Точніше, вважаємо, що один з частотних парамет- рів ),1(οα = у той час як інший − )1(Ο=β . Тут відбувається поєднання двох діапазонів: дов- гохвильового для поперечного розміру окремої стрічки та резонансного відносно поперечного розміру всієї ґратки. 4. Модель ґратки з вузькими стрічка- ми. Цю модель ще можна назвати слабонаповне- ною, бо стрічки ґратки є вузькими й відстань між b/8 a/4 Г. І. Кошовий / Розсіювання Н-поляризованної хвилі… _________________________________________________________________________________________________________________ 16 ними досить велика. Важливо, що довжина хвилі має бути великою в порівнянні з шириною стріч- ки, але може дорівнювати чи бути дещо меншою за поперечний розмір ґратки. Досягається це завдяки тому, що фрактальна розмірність, що визначається за формулою ,ln/2ln κ=PX де ,2/1 >+= abκ береться невеликою. Безперечно, для випадку найпростішої з ґраток – двострічко- вої, це ще не дає можливості повною мірою оці- нити «фрактальність» ґратки, але зі збільшенням номера стадії побудови СПФ з’являється все біль- ше розмірів елементів ґратки, що можуть бути близькими до довжини хвилі. Так, на рис. 2 два сегменти за розмірами мають бути значно мен- шими за довжину хвилі, а от їх найвіддаленіші точки вже можуть мати резонансний розмір, на- приклад, дорівнювати довжині хвилі (2а = λ). Це можна досягти, якщо взяти =κ 32, а не 8, тоді ,/2 πλπα == a відповідно, ,31αβ = а відносний розмір сегмента буде .1,032/ <π Оскільки тут основну увагу приділено узагальненню асимптотичного підходу, чи точні- ше, розробці нової схеми розв’язку систем ІР першого роду (6), (7), то повернемося до спроще- ної системи (7). При застосуванні методу Релея (малого частотного параметру), як і у випадку однієї стрічки [9], для діагональних ядер )()1( 0 tH −τα використаємо ряд .1 2 ln 2)!( )1( 2 ln)( 2 11 2 2 )1( 0 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + += ∑∑ = ∞+ = m pm mm pi uu m i u uH i γαα γα απ Тут =γln 0,5772… − стала Ейлера. Ядра, що не знаходяться на діагоналі ))()(()1( 0 txxH m−τ ( ≠m ), є регулярними внаслідок того, що )(2)()( 21 ttxx −−=− ταβτ , ).(2)()( 12 ttxx −+=− ταβτ Тому для них використовуємо ряд Маклорена в околі точки 2β, тобто [ ] . ! )( )()2( )2( 2 )1( 0 1 )1( 0 )1( 0 m u zH dz d H uH m z m m m α β αβ β ± += =± = ∞+ = ∑ Відповідно, невідомі величини подаємо як ряди за степенями малого параметра α: ,)()( 0 κ κ κ α∑ ∞ = = tjtj mm ∑ = = 0 .)()( κ κ κκ αmmmm BABA Для перших двох наближень (κ = 0,1) маємо надзвичайно просту систему СІР першого роду .2,1),( ln)( 2 2 1 1 1 ==+ +− ∑ ∫ = − mhRj dtttj i m n nmn m τ τ π κκ κ (8) Тут у правій частині для головного набли- ження маємо сталу величину ; 4 ))1(exp( ))1(exp()( 0 00 k iB iAh m m m mm −−−+ +−= β βτ а для першого наближення − лінійну функцію ),,())1(exp( ))1(exp()])1(exp( ))1(exp([)( 02011 10 01 jjCiB iAiB iAih m m m m m m m mm +−−+ +−+−−− −−= β ββ βττ з .0)0,0( =C Окрім того, введені позначення .)( 1 1 dttjj nn ∫ − = κκ Коли застосуємо формулу обер- нення Карлемана, то виникає суперечність з умо- вою Мейкснера, яку можна усунути, наклавши наступні вимоги на невідомі сталі: ),)1(exp( 2 0 βm m i k A −−= ),)1(exp( 2 0 βm m i k B −= .0))1(exp())1(exp( 11 =−−+− ββ m m m m iBiA При цьому отримаємо тільки тривіальні розв’язки для перших двох наближень 0)( ≡tj mκ ).1,0( =κ Нетривіальним буде друге наближення, але тут уже обмежитись тільки формулою обер- нення Карлемана недостатньо, бо вона може до- помогти тільки отримати невідомі сталі ., 11 mm BA Тут основними будуть СІР, які виникають з сис- теми (8) при =κ 2 диференціюванням .2,1),( )(2 2 1 1 2 =′= −∫ − mh t tji m m τ τπ У правій частині цього рівняння знахо- диться лінійна функція . 4 ))1(exp( ))1(exp()( 1 12 k iB iAh m m m mm τβ βτ −−−− −−=′ Відомо, що характеристичні рівняння мають три типи розв’язків у залежності від їх індексів [10]. Той тип розв’язків що задовольняє умові Мейкснера, має наступний вигляд: ∫ − −− ′ −= 1 1 2 22 2 )(1 )( 1 2 )( t dh t i tj m m ττ ττ π за умови ,0 1 )(1 1 2 2∫ − = − ′ τ ττ dh m яка виконується, коли ).)1(exp())1(exp( 11 ββ m m m m iBiA −−=− Г. І. Кошовий / Розсіювання Н-поляризованної хвилі… _________________________________________________________________________________________________________________ 17 Таким чином, для другого наближення отримаємо вирази .2,1,1 2 )( 2 2 =−−= mt k i tj m Для вихідних змінних асимптотичної мо- делі взаємодії Н-поляризованої електромагнітної хвилі з системою двох стрічок остаточно маємо ).(12)( 32 αα Ο+−−= tiatjm Цей вираз з точністю до сталої співпадає з відповідним виразом для окремої стрічки [9]. Він був очікуваним, бо розглядалася модель най- простішої ґратки з вузькими стрічками, які досить віддалені одна від одної. При переході до складніших ґраток з вузь- кими стрічками, але принципово ДФДҐ, запропо- нована тут схема визначення вихідних змінних моделі залишається в силі. Далі важливо отрима- ти інтегральні характеристики найпростішої ґрат- ки, провести числові розрахунки й порівняти їх з відомими результатами. Окрім того, як раз інтег- ральні характеристики відображають суттєвіше взаємодію між стрічками та виявляють фракталь- ні властивості ДФДҐ. 5. Діаграма спрямованості ДФДҐ. Після математичного розв’язання зовнішньої задачi Неймана розсіяне електромагнітне поле навколо розсіювача можна подати за допомогою функції, що визначається сумою інтегральних перетворень розв’язку )(tj : . ))(( )))((()( 4 ),( 22 )3(2 1 22)1( 1 1 1 ytxx ydt ytxxkHtj ik yx nn +− × ×+−= ∑ ∫ = − υ Далi зручно для координат точки спосте- реження взяти полярну систему, тобто ,cosϕrx = .sinϕry = Тоді на достатній віддалі від ґратки роз- сіяне електромагнітне поле визначається асимп- тотичним виразом ),(),( ϕϕυ A kr e r ikr ≈ де .)(cosˆsin 2 )( )3(2 1 4 ∑ = = nn je i k A i ϕϕϕ π Капелюшок над літерою позначає інтегральне перетворення, тобто .]cos)(exp[)( 2 1 )(cosˆ 1 1 dttixtjj ϕ π ϕ −= ∫ − У випадку слабонаповненої моделі двострічкової ґратки, що відповідає утворювачу СПФ, сума ін- тегральних перетворень має наступний асимпто- тичний вираз: ]).cosexp[]cos(exp[ 2 )(cosˆ 2 1 ϕβϕβα π ϕ iiia j l l −+−≈ ≈∑ = Таким чином, для характеристики спрямованості отримаємо остаточний наближений вираз ).coscos(sin 2 )( 42 ϕβϕα π ϕ π i eA −= На рис. 3 наведено графіки залежності 10\|А(ϕ)\| від полярного кута для різних значень параметра β та одному значенні РХ (суцільна лінія). Тут маємо коефіцієнт подібності =+= αβκ /1 32, тому напрямні ДФДҐ відповідають першій стадії побудови СПФ з РХ .2,0=χd Крапками показано характеристику спрямованості для однієї стрічки відносної півширини ,31/βα = форма якої не змінюється, але дещо збільшується зі збільшен- ням розміру стрічки. ___________________________________________ а) б) в) Рис. 3. Діаграми спрямованості для різних значень параметра β: а) − β = π/2; б) − β = 3π/2; в) − β = 5π/2 ___________________________________________ Нагадаємо що ,/2 λπβ b= тому на рис. 2, а стрічки рознесені на половину довжини хвилі, на рис. 2, б відстань між центрами вузьких стрічок складає півтори довжини хвилі, на рис. 2, в – дві з половиною. Маємо відповідну класичній структуру діаграми спрямованості. У всіх трьох випадках використано довгохвильо- ве наближення по відношенню до поперечного розміру окремої стрічки. Відносна похибка на- ближень має порядок ).( 4αΟ 0,03 0,02 0,01 0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,25 0,15 0,05 0 −0,01 0 0,01 −0,1 0 0, 1 −0,4 −0,2 0 0,2 0,4 Г. І. Кошовий / Розсіювання Н-поляризованної хвилі… _________________________________________________________________________________________________________________ 18 Проведемо тепер порівняння діаграм спрямованості для різних поляризацій збуджую- чої хвилі для тих же значень параметрів. Як видно з рис. 4, порівняння буде не на користь Н-поляризації, хоча її характеристику спрямованості \|А(ϕ)\| збільшено у десять разів (наведено суцільною лінією). Кількість пелюст- ків у діаграмах спрямованості для різних поля- ризацій співпадає, хоча їх форма дещо відрізня- ється. З кількісного співвідношення діаграм спрямованості для різних поляризацій випливає, що для довільно поляризованої падаючої хвилі розсіяне поле буде поляризоване майже пара- лельно стрічкам. ___________________________________________ а) б) в) Рис. 4. Діаграми спрямованості для різних поляризацій та значень параметра β: а) − β = π/2; б) − β = 3π/2; в) − β = 5π/2 ___________________________________________ З огляду на узгодження діаграм спрямо- ваності для різних поляризацій можна зробити висновок: виявлені фрактальні властивості ДФДҐ для випадку Е-поляризації є справедливими для довільно поляризованої падаючої хвилі. Висновки. На основі строгої електрома- гнітної теорії проведено дослідження задачі роз- сіювання плоскої Н-поляризованої електромагніт- ної хвилі дифракційною ґраткою, що має вигляд системи циліндричних стрічок, напрямні яких утворюють n-ну стадію побудови СПФ зі змін- ною РХ. За класичним методом ІР, використавши фундаментальний розв’язок рівняння Гельмголь- ца для вільного простору, двовимірна зовнішня задача Неймана для рівняння Гельмгольца пере- водиться до одновимірної задачі розв’язання сис- тем ІДР. Наведено узагальнення класичної схеми перетворення системи ІДР до системи СІР з неви- значеними коефіцієнтами у правій частині. За методом Релея розроблена асимптотич- на модель розсіювання плоскої Н-поляризованої електромагнітної хвилі, слабконаповненою до- фрактальною стрічковою ґраткою. Пропонується нова схема розв’язання системи ІР з невизначе- ними коефіцієнтами у правій частині, що базуєть- ся на явних розв’язках характеристичних СІР. Щоб показати ефективність асимптотичної моде- лі, детально досліджено випадок дифракційної ґратки з двох стрічок. Зокрема, розроблені алго- ритми розрахунку характеристик спрямованості, проводиться числовий експеримент та порівняння з відповідними характеристиками для однієї стріч- ки і випадком Е-поляризації. З результатів порів- няння двох поляризацій у випадку вузькострічко- вої ДФДҐ випливає, що для довільно поляризова- ної падаючої хвилі розсіяне поле буде майже Е- поляризоване. Цей факт з огляду на теорему Ба- біне [8] може бути перенесений на задачі розсію- вання екраном з дофрактальною системою щілин, рівновеликою з ДФДҐ, і використовуватись для фільтрації. Оскільки відомі вихідні змінні геометрич- ної моделі побудови СПФ зі змінною РХ, то за- пропонована асимптотична модель розсіювання плоскої Н-поляризованої електромагнітної хвилі без особливих змін може використовуватись для ґратки, що відповідає довільній стадії побудови СПФ. З огляду на узгодження діаграм спрямованості для різних поляризацій, можна зробити висновок про можливість виявлення фрактальних власти- востей ДФДҐ. 1. Дифракция волн на решетках / В. П. Шестопалов, Л. Н. Литвиненко, С. А. Масалов, В. Г. Сологуб. – Х.: Изд-во Харьков. гос. ун-та, 1973. – 287 с. 2. Спектральне операторы рассеяния в задачах дифракции волн на плоских экранах / Л. Н. Литвиненко, С. Л. Прос- вирнин. – К.: Наук. думка, 1984. – 240 с. 3. Резонансное рассеяние волн: в 2 т. Т. 1. Дифракционные решетки / В. П. Шестопалов, А. А. Кириленко, С. А. Ма- салов, Ю. К. Сиренко. – К.: Наук. думка, 1986. – 232 с. 4. Новые методы решения прямых и обратных задач теории дифракции / В. П. Шестопалов, Ю. А. Тучкин, А. Е. Поедин- чук, Ю. К. Сиренко. − Х.: Основа, 1997. – 283 с. 5. Сологуб В. Г. Про один метод дослідження задачі дифрак- ції на обмеженій кількості стрічок, які розміщені в одній площині / В. Г. Сологуб // Доп. АН УРСР. Серія А. – 1975. – № 6. – С. 549−552. 6. Квач Н. В. О рассеянии Е-поляризованной плоской волны конечным числом лент, расположенных в одной плоскос- ти / Н. В. Квач, В. Г. Сологуб // Радиотехника и электрон. – 1982. – 27, № 10. – С. 2031−2034. 7. Литвиненко Л. Н. Приближенное решение задачи ди- фракции на ограниченной ленточной решетке / Л. Н. Лит- виненко, С. Л. Просвирнин, И. И. Резник // Изв. вузов. Радиофизика. – 1980. − 23, № 6. − C. 744−748. 8. Кошовий Г. І. Системний підхід до дослідження дофрак- тальних дифракційних ґраток // Радиофизика и электрон. – 2011. – 2(16), № 1. – С. 141–147. −0,6 0 0,6 0,8 0,4 0 0,7 0,5 0,3 0,1 0 0,5 0,3 0,1 0 −0,2 0 0,2 −0,4 0 0,4 Г. І. Кошовий / Розсіювання Н-поляризованної хвилі… _________________________________________________________________________________________________________________ 19 9. Хенл Х. Теория дифракции / Х. Хенл, А. Мауэ, К. Вест- пфаль; пер. с нем. под ред. Г. Д. Малюжинца. – М.: Мир, 1964. – 428 с. 10. Лифанов И. К. Метод сингулярних интегральних уравне- ний и численний експеримент / И. К. Лифанов. − М.: ТОО «Янус», 1995. − 520 с. 11. Кошовий Г. І. Розсіювання електромагнітних хвиль систе- мами стрічок зі змінною фрактальною розмірністю / Г. І. Кошовий // Радиофизика и электрон.: Ин-т радиофизи- ки и электрон. НАН Украины. – Х., 2007. – 12, № 3. – С. 451–455. G. I. Koshovy SCATTERING OF H-POLARIZED WAVE BY PREFRACTAL DIFFRACTION GRATINGS The article continues developing the bases of electro- magnetic theory of prefractal diffraction gratings (PFDG). PFDG consists of strips, which are situated in a plane according to seg- ments, which are еру same stage of self similar fractal with varia- ble Hausdorf dimension. Statement of scattering problem for the H-polarized electromagnetic wave by PFDG is classically strict. By the integral equation technique, two dimensional external Neumann problem for Helmholtz equation transforms to one- dimensional problem of solution of integral-differential equations’ system and then to integral equations’ system. Method of the problem’s solution for asymptotical model of weekly filled PFDG is introduced. To show this model effectivity the case of two strips’ diffraction grating is examined in details. Numerical calcu- lation of directional characteristics and their comparison with known results presented. Key words: self similar fractals, diffraction gratings, numeric analytical methods, modeling. Г. И. Кошевой РАCСЕИВАНИЕ Н-ПОЛЯРИЗОВАННОЙ ВОЛНЫ ДОФРАКТАЛЬНЫМИ ДИФРАКЦИОННЫМИ РЕШЕТКАМИ Продолжение разработки основ электромагнитной теории дофрактальных дифракционных решеток (ДФДР). ДФДР состоит из лент, расположенных в плоскости соответ- ственно сегментам, которые образуют некоторую стадию построения самоподобного фрактала с переменной размер- ностью Хаусдорфа. Постановка задачи рассеивания плоской Н-поляризованной электромагнитной волны ДФДГ есть клас- сически строгой. Используя метод интегральных уравнений, двухмерная внешняя задача Неймана для уравнения Гельм- гольца переводится к одномерной задаче решения системы интегрально-дифференциальных уравнений, а потом к систе- ме интегральных уравнений. Предлагается метод решения задачи для асимптотической модели слабонаполненных ДФДР. Чтобы показать эффективность этой модели, детально исследуется случай дифракционной решетки из двух лент. Проводится численный расчет характеристик направленности и их сравнение с известными результатами. Ключевые слова: самоподобные фракталы, ди- фракционные решетки, численно-аналитические методы, моделирование. Рукопис надійшов 12.04.11 р.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-78097
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-821X
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T16:11:51Z
publishDate	2011
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
record_format	dspace
spelling	Кошовий, Г.І. 2015-03-11T05:49:27Z 2015-03-11T05:49:27Z 2011 Розсіювання Н-поляризованої хвилі дофрактальними дифракційними ґратками / Г.І. Кошовий // Радіофізика та електроніка. — 2011. — Т. 2(16), № 4. — С. 13-19. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/78097 535.421 Продовження розробки основ електромагнітної теорії дофрактальних дифракційних ґраток (ДФДҐ). ДФДҐ складається зі стрічок, що розташовані у площині відповідно до сегментів, які утворюють певну стадію побудови самоподібного фракталу зі змінною розмірністю Хаусдорфа. Постановка задачі розсіювання плоскої Н-поляризованої електромагнітної хвилі ДФДҐ є класично строгою. За методом інтегральних рівнянь двовимірна зовнішня задача Неймана для рівняння Гельмгольца переводиться до одновимірної задачі розв’язання системи інтегрально-диференційних рівнянь, а потім до системи інтегральних рівнянь. Пропонується метод розв’язання задачі для асимптотичної моделі слабконаповнених ДФДҐ. Щоб показати ефективність цієї моделі, детально досліджується випадок дифракційної ґратки з двох стрічок. Проводиться числовий розрахунок характеристик спрямованості та їх порівняння з відомими результатами. The article continues developing the bases of electromagnetic theory of prefractal diffraction gratings (PFDG). PFDG consists of strips, which are situated in a plane according to segments, which are еру same stage of self similar fractal with variable Hausdorf dimension. Statement of scattering problem for the H-polarized electromagnetic wave by PFDG is classically strict. By the integral equation technique, two dimensional external Neumann problem for Helmholtz equation transforms to onedimensional problem of solution of integral-differential equations’ system and then to integral equations’ system. Method of the problem’s solution for asymptotical model of weekly filled PFDG is introduced. To show this model effectivity the case of two strips’ diffraction grating is examined in details. Numerical calculation of directional characteristics and their comparison with known results presented. Продолжение разработки основ электромагнитной теории дофрактальных дифракционных решеток (ДФДР). ДФДР состоит из лент, расположенных в плоскости соответственно сегментам, которые образуют некоторую стадию построения самоподобного фрактала с переменной размерностью Хаусдорфа. Постановка задачи рассеивания плоской Н-поляризованной электромагнитной волны ДФДГ есть классически строгой. Используя метод интегральных уравнений, двухмерная внешняя задача Неймана для уравнения Гельмгольца переводится к одномерной задаче решения системы интегрально-дифференциальных уравнений, а потом к системе интегральных уравнений. Предлагается метод решения задачи для асимптотической модели слабонаполненных ДФДР. Чтобы показать эффективность этой модели, детально исследуется случай дифракционной решетки из двух лент. Проводится численный расчет характеристик направленности и их сравнение с известными результатами. uk Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Радіофізика та електроніка Мікрохвильова електродинаміка Розсіювання Н-поляризованої хвилі дофрактальними дифракційними ґратками Scattering of H-polarized wave by prefractal diffraction gratings Рассеивание Н-поляризованной волны дофрактальными дифракционными решетками Article published earlier
spellingShingle	Розсіювання Н-поляризованої хвилі дофрактальними дифракційними ґратками Кошовий, Г.І. Мікрохвильова електродинаміка
title	Розсіювання Н-поляризованої хвилі дофрактальними дифракційними ґратками
title_alt	Scattering of H-polarized wave by prefractal diffraction gratings Рассеивание Н-поляризованной волны дофрактальными дифракционными решетками
title_full	Розсіювання Н-поляризованої хвилі дофрактальними дифракційними ґратками
title_fullStr	Розсіювання Н-поляризованої хвилі дофрактальними дифракційними ґратками
title_full_unstemmed	Розсіювання Н-поляризованої хвилі дофрактальними дифракційними ґратками
title_short	Розсіювання Н-поляризованої хвилі дофрактальними дифракційними ґратками
title_sort	розсіювання н-поляризованої хвилі дофрактальними дифракційними ґратками
topic	Мікрохвильова електродинаміка
topic_facet	Мікрохвильова електродинаміка
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/78097
work_keys_str_mv	AT košoviigí rozsíûvannânpolârizovanoíhvilídofraktalʹnimidifrakcíinimigratkami AT košoviigí scatteringofhpolarizedwavebyprefractaldiffractiongratings AT košoviigí rasseivanienpolârizovannoivolnydofraktalʹnymidifrakcionnymirešetkami

Розсіювання Н-поляризованої хвилі дофрактальними дифракційними ґратками

Institution

Similar Items