Перспективи побудови кореляційних моделей в полярній системі координат
У статті представлено результати досліджень побудови кореляційних моделей в полярній системі координат та наведено відповідні математичні вирази. Показано особливості побудови, представлення та перспективи використання кореляційних моделей в полярній системі. В статье представлены результаты иссле...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7846 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Перспективи побудови кореляційних моделей в полярній системі координат / А.І. Сегін // Штучний інтелект. — 2009. — № 1. — С. 305-314. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859717809599152128 |
|---|---|
| author | Сегін, А.І. |
| author_facet | Сегін, А.І. |
| citation_txt | Перспективи побудови кореляційних моделей в полярній системі координат / А.І. Сегін // Штучний інтелект. — 2009. — № 1. — С. 305-314. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | У статті представлено результати досліджень побудови кореляційних моделей в полярній системі
координат та наведено відповідні математичні вирази. Показано особливості побудови, представлення та
перспективи використання кореляційних моделей в полярній системі.
В статье представлены результаты исследований построения корреляционных моделей в полярной системе
координат и соответствующие математические выражения. Показаны особенности построения, представления
и перспективы использования корреляционных моделей в полярной системе.
The results of researches of construction of cross-correlation models in the polar system of coordinates and
proper mathematical expressions are presented in the article. The features of construction, presentation and
prospects of the use of cross-correlation models in the polar system are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-01T08:12:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
«Штучний інтелект» 1’2009 305
6С
УДК 519.2
А.І. Сегін
Інститут проблемно-орієнтованих комп’ютерних систем Карпатського державного
центру інформаційних засобів і технологій НАН України, м. Тернопіль, Україна
andriy.segin@gmail.com
Перспективи побудови кореляційних моделей
в полярній системі координат
У статті представлено результати досліджень побудови кореляційних моделей в полярній системі
координат та наведено відповідні математичні вирази. Показано особливості побудови, представлення та
перспективи використання кореляційних моделей в полярній системі.
Кореляційний аналіз є потужним апаратом, який широко застосовується в різно-
манітних сферах наукових досліджень та вирішенні прикладних задач. Основним
його призначенням, виходячи з визначення кореляції, є встановлення залежностей
між стохастичними процесами. Проте на сучасному етапі цей метод має набагато
ширше застосування і використовується як для дослідження стохастичних сигналів,
так і для ідентифікації та встановлення взаємозалежностей детермінованих сигналів.
Кореляція є ефективним інструментом в радіоелектроніці, цифровій обробці сигна-
лів, радіолокації, економіці, астрономії та багатьох інших сферах.
На практиці використання кореляції, як правило, потребує аналітичного опису
певного еталонного процесу чи об’єкта, вираженого функцією однієї величини від іншої
чи декількох інших. В переважній більшості кореляційний аналіз застосовується для
процесів, які є функціями часу, при дослідженні поведінки об’єктів в часі та вста-
новлення кількісної міри взаємозалежності чи подібності певних процесів.
Проте існує й інший клас задач, який полягає у розпізнаванні об’єктів на основі
їх корелювання з певним набором еталонних образів. В таких задачах об’єкт може
описуватися не тільки функцією часу, а й функціями інших фізичних величин. На-
приклад, при ідентифікації графічних образів за їх геометричною формою еталонні
об’єкти задаються функціями їх просторових координат.
Вирішення різного роду задач на базі кореляційного аналізу переважно здій-
снюється на основі математичного опису об’єктів у вигляді функцій в прямокутній
системі координат. Проте існує ряд випадків, коли описувати об’єкти аналітичними
виразами простіше в полярній системі координат. Наприклад, при аналізі обертових
процесів, дослідженні руху об’єктів з еліптичними траєкторіями та ряду інших задач.
Крім того, самі кореляційні функції, представлені в полярній системі координат, в
ряді випадків мають більш інформативний і наглядніший вигляд, ніж представлення
в прямокутній системі.
1. Кореляційні функції в часовому просторі
Як показано в [1], [2], існує декілька варіантів оцінок, що застосовуються для
визначення кореляційних властивостей об’єкта в часовому просторі. Для дискретних
сигналів вони визначаються відповідними виразами, наведеними нижче.
Сегін А.І.
«Искусственный интеллект» 1’2009 306
6С
Кореляційна функція:
n
i
jiixx xx
n
)j(R
1
1 .
Коваріаційна функція:
n
i
jiixx xx
n
)j(K
1
1 .
Нормована кореляційна функція:
x
xx
xx D
)j(R)j( .
Знакова функція:
]xsgn[]x[sgn
n
)j(H jii
n
i
xx
1
1 ,
де
01
00
01
i
i
i
i
x,
x,
x,
]xsgn[ – знакова функція.
Полярна функція:
n
i
jiixx ]xsgn[x
n
)j(P
1
1 або
n
i
jiixx ]xsgn[x
n
)j(P
1
1 .
Структурна функція Колмогорова:
n
i
jiixx )xx(
n
)j(C
1
21 .
Модульна функція:
n
i
jiixx xx
n
)j(G
1
1 .
Функція еквівалентності:
]x,x[z
n
)j(F jii
n
i
ixx
1
1 ,
де
.,
,,
],[
jiiji
jiii
ijiii xxприx
xxприx
zxxz – функція «менше з двох».
Аналогічні вирази можна навести і для оцінки взаємокореляцій між двома різ-
ними процесами. Більш детально наведені оцінки, їх переваги та сфери застосування
проаналізовано в публікаціях [1], [2].
2. Представлення гармонічних сигналів в полярній
системі координат
Як правило, при дослідженні чи контролі об’єктів найчастіше доводиться мати
справу з процесами як функціями від часу, що описують поведінку даного об’єкта.
Велика кількість таких процесів мають аналітичне представлення в полярній системі
координат, набагато простіший вигляд, ніж в прямокутній. Тому такі процеси при
кореляційному аналізі також доцільно розглядати в полярній системі координат, що
Перспективи побудови кореляційних моделей в полярній системі координат
«Штучний інтелект» 1’2009 307
6С
значно спростить обчислення кореляційної функції. Крім того, буде більш нагляд-
ним і зрозумілим як графік самого процесу, так і його авто- чи взаємокореляційної
функції в полярних координатах.
Особливе місце серед них займають періодичні процеси. Як відомо, періодичні
функції в полярній системі координат відображаються замкнутими кривими, що
повторюються при проходженні кожного періоду. Наприклад, функція sin , яка часто
використовується при опису електричних процесів, цифровій обробці сигналів та в
багатьох інших випадках. Так траєкторія синусоїдального струму, тобто звичайного
змінного струму tsinI)t(i m (рис. 1) в полярних координатах представляється у
вигляді кола з діаметром, рівним амплітуді струму Im, з центром в точці з полярними
координатами
22
,Im , )(i , t .
а) б)
Рисунок 1 – Представлення змінного струму в прямокутних (а) і полярних (б)
координатах
При наявності в струмі початкової фази 00 в полярних координатах його
графік буде відображений у вигляді кола з тим же радіусом, що й при нульовій фазі,
тільки з центром кола, зміщеним в точку з полярними координатами
022
,Im .
Полярна система координат також зручна і при аналізі електричних кіл з по-
стійним струмом. Очевидно, що графік ідеального постійного струму i(t) в будь-який
момент часу t в полярних координатах при будь-якому значенні буде мати вигляд
кола радіусом I0 з центром у точці початку координат, тобто точці з полярними
координатами (0, 0). Неідеальний постійний струм (рис. 2а) в полярних координатах
утворює фігуру, представлену на рис. 2б, яка дещо відрізняється від кола.
P0
P5
P3
P1
P2
P4
5
4
3 2
1
а) б)
Рисунок 2 – Графіки неідеального постійного струму в прямокутній (а) і полярній
(б) системах координат
Сегін А.І.
«Искусственный интеллект» 1’2009 308
6С
Таким чином, використання полярної системи координат для візуалізації траєкто-
рій усталених процесів дозволяє, по-перше, використовувати властивість періодичності
останніх, повністю відображати їх на обмеженому просторі (кресленні чи екрані) не-
обмежено довго в часі, а по-друге, зіставляти ці процеси з геометричними фігурами і,
як наслідок, оперувати з ними за допомогою багатого математичного апарату для їх
дослідження, в тому числі і кореляційного аналізу. Особливо важливою є та обста-
вина, що найбільш значимі для електротехнічної практики процеси синусоїдального
струму в полярних координатах зображаються у вигляді надзвичайно простої і на-
очної фігури – кола.
Тригонометрична функція sin, як вже зазначалося, широко використовується не
тільки в електроенергетиці, а й в інших сферах. За її допомогою описується широкий
спектр процесів. У цьому аспекті не можна не згадати цифрову обробку сигналів, в
якій одну з ключових ролей відіграє спектральний аналіз в базисі Фур’є, в якому будь-
який сигнал розкладається по базисних синусоїдальних складових різної частоти –
гармоніках.
На рис. 3а зображено часову залежність струму, який містить основну і третю
гармоніку та описується рівнянням:
tsintsin)t(i 3
3
1010 .
В полярних координатах траєкторія цього струму буде мати вигляд, показаний
на рис. 3б.
Рисунок 3 – Графіки струму tsintsin)t(i 3
3
1010 в прямокутних (а)
і полярних (б) координатах
Як видно з рис. 3, представлення спектральних характеристик в полярній
системі координат має наочне зображення, описується досить простим аналітичним
виразом, а отже може ефективно використовуватись при спектральному аналізі сиг-
налів. Як відомо, спектральний аналіз в базисі Фур’є по суті є також кореляційним
аналізом, при якому досліджуваний сигнал корелюють з синусоїдами різної частоти і
тим самим визначають енергетичний спектр сигналу, тобто долю енергії, яку складає
в сигналі відповідна гармоніка.
Перспективи побудови кореляційних моделей в полярній системі координат
«Штучний інтелект» 1’2009 309
6С
3. Побудова кореляційних моделей в полярній системі
координат
Розглянемо взаємоковаріаційну функцію
n
i
jiixy yx
n
)j(K
1
1 ,
так як вона є простішою порівнянно зі взаємокореляційною,
n
i
jiixx xx
n
)j(R
1
1 ,
оскільки не потребує центрування і нормування, а отже, і попереднього обчислення
математичного сподівання та дисперсії. В даному виразі ix та iy є функціями від
часу в дискретному просторі, записаними в прямокутній системі координат. Кожна
точка процесу буде мати дві координати )x,it( i і відповідно процесу iy –
)y,it( i , а якщо перейти до дискретного простору, то відповідно )x,i( i та ),( iyi ,
N,i 1 . При переході до полярних координат функції часу )t(x буде відповідати
функція кута )(xr , а функції часу )t(y – функція )(ry . Якщо представити ці
функції кута в дискретному просторі, який відповідає дискретизації функцій часу з
кроком t , то вони запишуться у вигляді )i(rx та )i(ry , N,i 1 або irx та
iry , де – відповідний крок дискретизації в полярних координатах. При цьому
кожному дискретному значенню часу it буде відповідати дискретне значення кута
i , N,i 1 .
Тоді взаємоковаріаційна функція в полярній системі координат буде мати на-
ступний вигляд:
n
i
jii ryrx
n
)j(ryKrx
1
1 , (1)
де m,...,,j 10 , що відповідає зсуву на кут j в полярних координатах; irx –
дискретне значення першої функції; iry – дискретне значення другої функції. При
цьому Nnm , тобто загальний проміжок спостереження дорівнює довжині вибірки
плюс максимальне дискретне значення кута зсуву.
Якщо коваріація проводиться над однією й тією ж функцією, зсунутою на пев-
ний кут, тобто обчислюється автоковаріаційна функція, то вираз (1) набуде вигляду:
n
i
jii rxrx
n
)j(rxKrx
1
1 .
Структурна функція Колмогорова в полярних координатах буде мати вигляд:
n
i
jii )rxrx(
n
)j(rxCrx
1
21 – автоструктурна функція;
n
i
jii )ryrx(
n
)j(ryCrx
1
21 – взаємоструктурна функція.
Сегін А.І.
«Искусственный интеллект» 1’2009 310
6С
Відповідно авто- та взаємомодульні функції в полярній системі координат на-
будуть вигляду
n
i
jii rxrx
n
)j(rxGrx
1
1 ;
n
i
jii ryrx
n
)j(ryGrx
1
1 .
Функції авто- та взаємоеквівалентності:
n
i
jii )rx,rx(z
n
)j(rxFrx
1
1 ;
n
i
jii )ry,rx(z
n
)j(ryFrx
1
1 .
Кореляційні, полярні та знакові функції в межах даної статті розглядатись не
будуть, оскільки вимагають додаткових досліджень методів обчислення та представлення
таких статистичних характеристик як математичне сподівання, дисперсія, середньо-
квадратичне відхилення, а також процедури центрування та нормалізації.
4. Реалізація побудови кореляційних моделей
для деяких типових сигналів
На основі проведених досліджень та поданих вище математичних інтерпретацій
кореляційних функцій в полярних координатах побудуємо кореляційні моделі най-
більш типових процесів та сигналів, що зустрічаються на практиці. Для простоти
обчислень і наочності графічних представлень будемо використовувати взаємокова-
ріаційну функцію.
Розглянемо сталі сигнали, які в прямокутному просторі можна представити на
графіку прямими лініями, паралельними осі абсцис: 51X і 102 X . Якщо проко-
релювати два таких сигнали з різною амплітудою між собою, то отримаємо кореляційну
функцію такого ж вигляду, тобто також пряму лінію відповідної амплітуди (рис. 4).
Аналогічно представимо ці ж сигнали та їх взаємоковаріаційну функцію (1) в
полярних координатах (рис. 5).
Результат графічного представлення очевидний. Як і слід було очікувати, сигнали
на графіках в полярних координатах представляються колами відповідних радіусів рів-
них амплітуді сигналів, і їх коваріаційна функція відповідно має такий же вигляд.
Тепер розглянемо результат коваріації двох синусоїд різної амплітуди, які задаються
виразами: )tsin()t(X 51 і )tsin()t(X 102 в прямокутних і полярних коорди-
натах (рис. 6 та 7 відповідно).
а) б)
Рисунок 4 – Графіки сигналів (а) та їх взаємоковаріаційної функції (б) в прямокутній
системі координат
Перспективи побудови кореляційних моделей в полярній системі координат
«Штучний інтелект» 1’2009 311
6С
а) б)
Рисунок 5 – Графіки сигналів (а) та їх взаємоковаріаційної функції (б)
в полярній системі координат
а) б)
Рисунок 6 – Графіки функцій синусоїд та їх взаємоковаріаційної функції (а)
(б) в прямокутних координатах.
Для синусоїдальних функцій з різною частотою і амплітудою, як відомо з теорії
спектрального аналізу сигналів, кореляційні зв’язки відсутні, на чому власне і базується
спектральний аналіз.
а) б)
Рисунок 7 – Графіки функцій синусоїд (а) та їх взаємоковаріаційної функції( б)
в полярних координатах
Сегін А.І.
«Искусственный интеллект» 1’2009 312
6С
У такому випадку коваріаційна функція (1) повинна бути близькою до нуля, що
й підтверджується поданими графіками на рис. 8 та рис. 9. На них представлені
графіки функцій )tsin()t(X 41 та )tsin()t(X 352 і відповідна їм коваріаційна
функція. Як видно з рис. 9, коваріаційна функція зображена точкою на початку сис-
теми координат.
а) б)
Рисунок 8 – Графіки функцій )tsin()t(X 41 і )tsin()t(X 352 (а) та їх
взаємоковаріаційної функції (б) в прямокутних координатах
а) б)
Рисунок 9 – Графіки функцій )tsin()t(X 41 і )tsin()t(X 352 (а) та їх
взаємоковаріаційної функції в полярних координатах (б)
Побудуємо коваріаційну модель двох сигналів, які мають спільну третю гар-
моніку. Відповідно це повинно відобразитися на графіках коваріаційних функцій в
прямокутному та полярному просторах, тобто ці гармоніки при кореляції повинні дати
позитивний результат і повинна проявитись їх подібність. Отже, на рис. 10 та рис. 11
наведено графіки функцій )tsin()tsin()t(X 3
3
10101 та )tsin()t(X 352 і ко-
варіаційної функції.
Перспективи побудови кореляційних моделей в полярній системі координат
«Штучний інтелект» 1’2009 313
6С
а) б)
Рисунок 10 – Графіки функцій )tsin()tsin()t(X 3
3
10101 та )tsin()t(X 352 (а);
графік коваріаційної моделі (б) в прямокутному просторі
Рисунок 11 – Графіки функцій )tsin()tsin()t(X 3
3
10101 та )tsin()t(X 352 (а);
графік коваріаційної моделі (б) в полярному просторі
З рис. 11б чітко видно кореляцію між третіми гармоніками сигналів, що відоб-
ражається на графіку кількістю пелюсток, при цьому, не зважаючи на зсув фаз вхід-
них сигналів, відбувається приведення їх до нульового зсуву в самій кореляції, що
характерно і для кореляційних функцій в часовому просторі.
На практиці існує багато широко розповсюджених видів сигналів, які також можна
ефективно зображати в полярній системі координат, що будуть мати цікаві графічні
представлення в цьому просторі. Побудова їх авто- та взаємокореляційних моделей в
полярній системі координат також може дати важливі позитивні результати.
Висновок
Таким чином, показано ефективність використання кореляційних моделей, побу-
дованих в полярній системі координат для аналізу гармонічних сигналів. При цьому
є очевидні переваги зображення графіків у цьому просторі: періодичні сигнали пред-
ставляються у вигляді замкнутої кривої, можливість відображати сам процес і його
кореляційні моделі на обмеженому просторі (екрані, аркуші паперу), навіть коли сам
процес досліджується на достатньо великому проміжку часу або взагалі є безкінечним.
Сегін А.І.
«Искусственный интеллект» 1’2009 314
6С
У статті наведено тільки початкові результати побудови кореляційних моделей
в основному для гармонійних сигналів. Проте є надзвичайно широка сфера ефек-
тивного використання кореляційних моделей в полярній системі координат, таких як
дослідження обертових процесів, здійснення спектрального аналізу сигналів в різних
базисах, ідентифікація графічних зображень на площині та ряду інших. Крім того, при
переході від полярних координат до сферичних та реалізації кореляційних моделей у
сферичному просторі, дає потужний апарат для дослідження, аналізу та наочного
відображення траєкторій, орбіт небесних тіл та їх взаємовпливу.
Література
1. Николайчук Я.М., Сегін А.І. Моделі джерел інформації та методи їх представлення // Методи та
прилади контролю якості. – ІФДТУНГ. – 1998. – № 2. – С. 80-84.
2. Сегін А.І. Подання і аналіз об’єктів управління як джерел інформації та методика побудови їх
кореляційних моделей // Розвідка і розробка нафтових і газових родовищ. – Івано-Франківськ:
ІФДТУНГ. – Серія: Технічна кібернетика та електрифікація об’єктів паливно-енергетичного ком-
плексу. – 1997. – T. 6, № 34. – С. 23-34.
А.И. Сегин
Перспективы построения корреляционных моделей в полярной системе координат
В статье представлены результаты исследований построения корреляционных моделей в полярной системе
координат и соответствующие математические выражения. Показаны особенности построения, представления
и перспективы использования корреляционных моделей в полярной системе.
A.I. Segin
The prospects of Construction of Cross-correlation Models in the Polar System of Coordinates
The results of researches of construction of cross-correlation models in the polar system of coordinates and
proper mathematical expressions are presented in the article. The features of construction, presentation and
prospects of the use of cross-correlation models in the polar system are presented.
Стаття надійшла до редакції 17.07.2008.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7846 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T08:12:47Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сегін, А.І. 2010-04-19T12:31:50Z 2010-04-19T12:31:50Z 2009 Перспективи побудови кореляційних моделей в полярній системі координат / А.І. Сегін // Штучний інтелект. — 2009. — № 1. — С. 305-314. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7846 519.2 У статті представлено результати досліджень побудови кореляційних моделей в полярній системі координат та наведено відповідні математичні вирази. Показано особливості побудови, представлення та перспективи використання кореляційних моделей в полярній системі. В статье представлены результаты исследований построения корреляционных моделей в полярной системе координат и соответствующие математические выражения. Показаны особенности построения, представления и перспективы использования корреляционных моделей в полярной системе. The results of researches of construction of cross-correlation models in the polar system of coordinates and proper mathematical expressions are presented in the article. The features of construction, presentation and prospects of the use of cross-correlation models in the polar system are presented. uk Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Моделирование объектов и процессов Перспективи побудови кореляційних моделей в полярній системі координат Перспективы построения корреляционных моделей в полярной системе координат The prospects of Construction of Cross-correlation Models in the Polar System of Coordinates Article published earlier |
| spellingShingle | Перспективи побудови кореляційних моделей в полярній системі координат Сегін, А.І. Моделирование объектов и процессов |
| title | Перспективи побудови кореляційних моделей в полярній системі координат |
| title_alt | Перспективы построения корреляционных моделей в полярной системе координат The prospects of Construction of Cross-correlation Models in the Polar System of Coordinates |
| title_full | Перспективи побудови кореляційних моделей в полярній системі координат |
| title_fullStr | Перспективи побудови кореляційних моделей в полярній системі координат |
| title_full_unstemmed | Перспективи побудови кореляційних моделей в полярній системі координат |
| title_short | Перспективи побудови кореляційних моделей в полярній системі координат |
| title_sort | перспективи побудови кореляційних моделей в полярній системі координат |
| topic | Моделирование объектов и процессов |
| topic_facet | Моделирование объектов и процессов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7846 |
| work_keys_str_mv | AT segínaí perspektivipobudovikorelâcíinihmodeleivpolârníisistemíkoordinat AT segínaí perspektivypostroeniâkorrelâcionnyhmodeleivpolârnoisistemekoordinat AT segínaí theprospectsofconstructionofcrosscorrelationmodelsinthepolarsystemofcoordinates |