Устойчивость линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами
Одержанi новi достатнi умови асимптотичної стiйкостi лiнiйних неперiодичних систем диференцiальних рiвнянь з кусково-постiйними коефiцiєнтами. A system of ordinary differential equations with piecewise constant coefficients is investigated. The conditions for the asymptotic stability of such a syste...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7898 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Устойчивость линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами / С.В. Бабенко, А.И. Двирный // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 7-10. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859693862798229504 |
|---|---|
| author | Бабенко, С.В. Двирный, А.И. |
| author_facet | Бабенко, С.В. Двирный, А.И. |
| citation_txt | Устойчивость линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами / С.В. Бабенко, А.И. Двирный // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 7-10. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Одержанi новi достатнi умови асимптотичної стiйкостi лiнiйних неперiодичних систем диференцiальних рiвнянь з кусково-постiйними коефiцiєнтами.
A system of ordinary differential equations with piecewise constant coefficients is investigated. The conditions for the asymptotic stability of such a system are established.
|
| first_indexed | 2025-12-01T00:15:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2009
МАТЕМАТИКА
УДК 531.36
© 2009
С.В. Бабенко, А.И. Двирный
Устойчивость линейных систем обыкновенных
дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными
коэффициентами
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Мартынюком)
Одержанi новi достатнi умови асимптотичної стiйкостi лiнiйних неперiодичних сис-
тем диференцiальних рiвнянь з кусково-постiйними коефiцiєнтами.
В данной работе приведены некоторые результаты, позволяющие свести задачу об устой-
чивости линейной системы дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффи-
циентами к вопросу о совместимости некоторой системы линейных матричных неравенств.
Метод линейных матричных неравенств является достаточно разработанным методом ис-
следования в теории устойчивости. Его преимущество состоит в том, что он численно реа-
лизован в пакете прикладных программ MATLAB.
Рассматривается линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений ви-
да [1]
dx
dt
= Aσ(t)x, x(t0) = x0, (1)
где x ∈ R
n; t > t0; Aσ(t) — кусочно-постоянная матрица, σ(t) = j — кусочно-постоянная
функция, принимающая последовательно значения из конечного множества {1, 2, . . . , r}.
Введем отображение X : R
n → K ⊂ E , где K — конус симметричных положительно
полуопределенных матриц, т. е. K = {H ∈ E , ξT Hξ > 0, ξ ∈ R
n}, E — пространство
симметричных n × n матриц, X(t) = xxT . Известно [2–4], что это отображение сохраняет
устойчивость и переводит линейную систему уравнений (1) в матричную систему уравнений
dX
dt
= AjX + XAT
j , X(t0) = X0 ∈ K, (2)
позитивную относительно конуса K.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 7
Введем линейные операторы
Pj : E → E , PjX = AjX + XAT
j , j = 1, r, G : E → E , GX = (tr X)I,
и систему (2) представим в виде
dX
dt
= PjX, X(t0) = X0 ∈ K. (3)
Определим линейный оператор монодромии
Ψ =
r
∏
j=1
ePr−(j−1)θr−(j−1)+γr−(j−1)G(θr−(j−1)−θr−(j−1)),
где θj , θj — супремум и инфимум соответственно длин промежутков постоянства функции
σ(t), на которых она принимает значения, равные j; γj — константа позитивности операто-
ра Pj относительно конуса K, т. е. неотрицательная константа, для которой P ′
jK ⊂ K, где
P ′
j = Pj + γjG [5].
Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Если существует положительно определенная матрица X ∈ K такая, что
ΨX
K
< X,
то линейная дифференциальная система (1) асимптотически устойчива.
Доказательство. Пусть [τi,j−1; τi,j) — промежутки постоянства функции σ(t), на ко-
торых она принимает значения, равные j (j = 1, 2, . . . , r), i ∈ N. При этом будем счи-
тать, что τi,r = τi+1,0. Тогда существует l ∈ N (l 6 r) и существует n ∈ N такие, что
t ∈ [τn+1,l−1; τn+1,l).
Известно, что решение уравнения (3) может быть представлено в виде
X(t) = Ω(t, t0)X0, t > t0, (4)
где Ω(t, t0) — матрицант системы (3) [6].
Используя свойство матрицанта, приходим к равенству
Ω(t, t0) = Ω(t, τn+1,l−1)Ω(τn+1,l−1, τn+1,l−2) · · ·Ω(τn+1,1, τn,r) · · ·Ω(τn,r, τn,r−1) ×
× Ω(τn,r−1, τn,r−2) · · ·Ω(τn,1, τn−1,r) · · ·Ω(τ1,r, τ1,r−1)Ω(τ1,r−1, τ1,r−2) · · · ×
× Ω(τ1,1, τ1,0) = ePl(t−τn+1,l−1)ePl−1(τn+1,l−1−τn+1,l−2) · · · eP1(τn+1,1−τn,r) ×
× ePr(τn,r−τn,r−1)ePr−1(τn,r−1−τn,r−2) · · · eP1(τn,1−τn−1,r) · · · ePr(τ1,r−τ1,r−1) ×
× ePr−1(τ1,r−1−τ1,r−2) · · · eP1(τ1,1−τ1,0).
Учитывая неравенство Pj(τj,i − τj,i−1)
K
6 Pjθj + γjG(θj − θj) и свойство квазимонотонности
оператора Pj [7], для матрицанта Ω(t, t0) получаем оценку
Ω(t, t0) 6 ePl(t−τn+1,l−1)
l−1
∏
j=1
ePl−jθl−j+γl−jG(θl−j−θl−j)
(
r−1
∏
j=0
ePr−jθr−j+γr−jG(θr−j−θr−j)
)n
=
= ePl(t−τn+1,l−1)
l−1
∏
j=1
ePl−jθl−j+γl−jG(θl−j−θl−j)Ψn.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
Таким образом, ввиду (4) приходим к следующему результату:
X(t) 6 ePl(t−τn+1,l−1)
l−1
∏
j=1
ePl−jθl−j+γl−jG(θl−j−θl−j)ΨnX0. (5)
По условию X
K
> 0 — положительно определенная матрица, удовлетворяющая нера-
венству ΨX
K
< X. Тогда оператор Ψ является y-дихотомическим, т. е.
1∈σ(Ψ), (6)
где σ(Ψ) — спектр оператора Ψ.
Построим последовательность
0 < · · · < ΨnX < Ψn−1X < · · · < Ψ2X < ΨX < X.
Для данной последовательности существует X ∈ K такая, что lim
n→∞
ΨnX = X. Тогда
lim
n→∞
ΨnX = lim
n→∞
Ψ(Ψn−1X) = Ψ lim
n→∞
Ψn−1X = ΨX = X . Допустим, что X 6= 0, тогда
X — собственный вектор оператора Ψ и λ = 1 — собственное значение оператора Ψ, соот-
ветствующее собственному вектору X , что противоречит соотношению (6). Следовательно,
приходим к выводу, что X = 0, т. е.
lim
n→∞
ΨnX = 0. (7)
Пусть Y ∈ intK. Для элемента Y введем к рассмотрению X-норму [5]:
‖Y ‖X = inf{β | −βX 6 Y 6 βX}, β > 0.
Предположим, что матрица Y принадлежит ε-окрестности X (ε > 0), т. е. Y 6 (‖Y ‖X +ε)X.
Тогда
lim
n→∞
ΨnY 6 lim
n→∞
(Ψn(‖Y ‖X + ε)X) = lim
n→∞
((‖Y ‖X + ε)ΨnX) =
= (‖Y ‖X + ε) lim
n→∞
ΨnX.
Ввиду соотношения (7) имеем
lim
n→∞
ΨnY = 0.
Таким образом, осуществив переход к пределу при n → ∞ в оценке (5), получаем, что
X(t) → 0, когда t → ∞:
0 6 lim
t→∞
X(t) 6 lim
t→∞
ePl(t−τn+1,l−1)
l−1
∏
j=1
ePl−jθl−j+γl−jG(θl−j−θl−j)ΨnX0 6
6 lim
n→∞
ePlθl
l−1
∏
j=1
ePl−jθl−j+γl−jG(θl−j−θl−j)ΨnX0 =
= ePlθl
l−1
∏
j=1
ePl−jθl−j+γl−jG(θl−j−θl−j) lim
n→∞
ΨnX0 = 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 9
Т. е. дифференциальная система уравнений (1) асимптотически устойчива. Теорема дока-
зана.
1. Zhai G., Hu Bo, Yasuda K., Michel A. Piecewise Lyapunov functions for switched systems with average
dwell time // Asian J. Control. – 2000. – 2, No 3. – P. 192–197.
2. Груйич Л.Т., Мартынюк А.А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при
структурных и сингулярных возмущениях. – Киев: Наук. думка, 1984. – 308 с.
3. Постников Н.С., Сабаев Е.Ф. Матричные системы сравнения и их приложения к задачам автома-
тического регулирования // Автоматика и телемеханика. – 1981. – 42, № 3. – С. 24–34.
4. Michel A.N., Wang K., Hu B. Qualitative theory of dynamical systems. – New York: Marcel Dekker,
2001. – 707 p.
5. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев В.И. Позитивные линейные системы. – Москва: Наука,
1985. – 256 с.
6. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – Москва: Наука, 1967. – 472 с.
7. Двирный А.И., Слынько В.И. Об устойчивости линейных импульсных систем относительно конуса //
Доп. НАН України. – 2004. – № 4. – С. 42–48.
Поступило в редакцию 15.07.2008Академия пожарной безопасности
им. Героев Чернобыля, Черкассы
S.V. Babenko, A. I. Dvirny
The stability of linear systems of ordinary differential equations with
piecewise constant coefficients
A system of ordinary differential equations with piecewise constant coefficients is investigated. The
conditions for the asymptotic stability of such a system are established.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7898 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T00:15:38Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бабенко, С.В. Двирный, А.И. 2010-04-22T13:21:33Z 2010-04-22T13:21:33Z 2009 Устойчивость линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами / С.В. Бабенко, А.И. Двирный // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 7-10. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7898 531.36 Одержанi новi достатнi умови асимптотичної стiйкостi лiнiйних неперiодичних систем диференцiальних рiвнянь з кусково-постiйними коефiцiєнтами. A system of ordinary differential equations with piecewise constant coefficients is investigated. The conditions for the asymptotic stability of such a system are established. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Устойчивость линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами The stability of linear systems of ordinary differential equations with piecewise constant coefficients Article published earlier |
| spellingShingle | Устойчивость линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами Бабенко, С.В. Двирный, А.И. Математика |
| title | Устойчивость линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами |
| title_alt | The stability of linear systems of ordinary differential equations with piecewise constant coefficients |
| title_full | Устойчивость линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами |
| title_fullStr | Устойчивость линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами |
| title_full_unstemmed | Устойчивость линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами |
| title_short | Устойчивость линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами |
| title_sort | устойчивость линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7898 |
| work_keys_str_mv | AT babenkosv ustoičivostʹlineinyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravneniiskusočnopostoânnymikoéfficientami AT dvirnyiai ustoičivostʹlineinyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravneniiskusočnopostoânnymikoéfficientami AT babenkosv thestabilityoflinearsystemsofordinarydifferentialequationswithpiecewiseconstantcoefficients AT dvirnyiai thestabilityoflinearsystemsofordinarydifferentialequationswithpiecewiseconstantcoefficients |