Про розв'язність одного класу параметризованих мультиваріаційних нерівностей
Розглянуто клас параметризованих операторних та варiацiйних нерiвностей з багатозначними вiдображеннями типу S¯k. Отримано достатнi умови розв’язностi таких нерiвностей та дослiджено залежнiсть множин їх розв’язкiв вiд функцiональних параметрiв. Наведено приклади, якi iлюструють одержанi результати....
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7901 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про розв'язність одного класу параметризованих мультиваріаційних нерівностей / П.О. Касьянов // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 20-25. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859488936128151552 |
|---|---|
| author | Касьянов, П.О. |
| author_facet | Касьянов, П.О. |
| citation_txt | Про розв'язність одного класу параметризованих мультиваріаційних нерівностей / П.О. Касьянов // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 20-25. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Розглянуто клас параметризованих операторних та варiацiйних нерiвностей з багатозначними вiдображеннями типу S¯k. Отримано достатнi умови розв’язностi таких нерiвностей та дослiджено залежнiсть множин їх розв’язкiв вiд функцiональних параметрiв. Наведено приклади, якi iлюструють одержанi результати.
We consider the parametrized operator and variation inequalities with maps of the S¯k type. Sufficient conditions for solvability of the given inequalities and the parameter dependence for their solution sets are derived. The examples illustrating the obtained results are given.
|
| first_indexed | 2025-11-24T15:58:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2009
П.О. Касьянов
Про розв’язнiсть одного класу параметризованих
мультиварiацiйних нерiвностей
(Представлено академiком НАН України М. З. Згуровським)
Розглянуто клас параметризованих операторних та варiацiйних нерiвностей з бага-
тозначними вiдображеннями типу Sk. Отримано достатнi умови розв’язностi таких
нерiвностей та дослiджено залежнiсть множин їх розв’язкiв вiд функцiональних пара-
метрiв. Наведено приклади, якi iлюструють одержанi результати.
Операторнi включення та варiацiйнi нерiвностi є об’єктом iнтенсивних дослiджень упро-
довж останнiх десятилiть (див. [1–4] та багато iнших). Iнтерес до таких об’єктiв обумов-
лений у першу чергу їх широким практичним застосуванням. Зазвичай їх пов’язують iз
задачами математичної фiзики, з диференцiальними рiвняннями з частинними похiдними,
диференцiальнi оператори яких допускають розрив за фазовою змiнною, з диференцiальни-
ми рiвняннями з розривною правою частиною, iз задачами теорiї керування та оптимiзацiї
та iн. Основним об’єктом дослiджень даної роботи є параметризованi операторнi нерiвно-
стi, залежнiсть яких вiд функцiональних параметрiв u ∈ U може бути найрiзноманiтнiшою.
Такi об’єкти є типовими складовими математичних моделей багатьох реальних процесiв
(див., напр., роботи А.О. Чикрiя [5]), що мотивує дослiдження проблеми їх ров’язностi та
залежностi їх розв’язкiв вiд параметра u ∈ U .
У роботах [6, 7] викладенi основнi результати з теорiї розв’язностi операторних рiвнянь,
з урахуванням властивостей монотонностi та псевдомонотонностi породжуючих їх нелiнiй-
них операторiв. Бiльш широкi узагальнення, пов’язанi з переходом у класичних означеннях
до пiдпослiдовностей, були запропонованi I. В. Скрипником [8]. Це дало можливiсть роз-
глядати клас λ0-псевдомонотонних вiдображень, замкнений вiдносно суми вiдображень, що
ранiше було проблематичним. Реалiзацiя цiєї iдеї, щодо проблем розв’язностi стацiонарних
операторних включень та мультиварiацiйних нерiвностей, знайшла своє вiдображення в ро-
ботах В.С. Мельника та М.З. Згуровського [3, 9–11], а еволюцiйнi включення та нерiвностi
розглядалися в роботах [12, 13].
У данiй роботi вводиться аналог властивостi Sk, запропонованої I. В. Скрипником [8],
для випадку багатозначних операторiв (далi позначатимемо його через Sk). Клас таких опе-
раторiв мiстить як власну пiдмножину оператори λ0-псевдомонотонного типу i, на вiдмiну
вiд таких операторiв, Sk є iнварiантною вiдносно операцiї множення вiдображення на (−1).
Хоча клас багатозначних операторiв, якi задовольняють властивiсть Sk, досi системамич-
но не вивчався, у роботi доводиться теорема про розв’язнiсть вiдповiдних операторних та,
зокрема, мультиварiацiйних нерiвностей i дослiджуються основнi властивостi множини їх
розв’язкiв.
Постановка задачi. Нехай X — рефлексивний банахiв простiр над полем дiйсних чи-
сел, X∗ — топологiчно спряжений до нього простiр, 〈·, ·〉X : X∗ × X → R — операцiя ка-
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
нонiчного спарювання, 2X∗
— сукупнiсть усiх пiдмножин простору X∗, A : X → 2X∗
—
багатозначне вiдображення,
Dom A = {y ∈ X | A(y) 6= ∅}, gr A = {(ξ; y) ∈ X∗ × X | ξ ∈ A(y)}.
Всюди далi багатозначне вiдображення A, для якого Dom A = X, будемо називати стро-
гим i позначати його як A : X ⇉ X∗. Зi строгим багатозначним вiдображенням A пов’яжемо
його верхню [A(y), ξ]+ = sup
d∈A(y)
〈d, ξ〉X та нижню [A(y), ξ]− = inf
d∈A(y)
〈d, ξ〉X опорнi функцiї, де
y, ξ ∈ X. Нехай також ‖A(y)‖+ = sup
d∈A(y)
‖d‖X∗ , ‖A(y)‖− = inf
d∈A(y)
‖d‖X∗ [14]. Будемо також
пов’язувати з вiдображенням A : X ⇉ X∗ вiдображення coA : X ⇉ X∗ та coA : X ⇉ X∗, якi
визначенi за правилами (co A)(y) = co(A(y)) та (coA(y)) = co(A(y)) вiдповiдно. Тут через
co(A(y)) позначено слабке замикання в просторi X∗ опуклої оболонки множини A(y).
Нехай далi Y — рефлексивний або сепарабельний нормований простiр, Y ∗ — спряжений
до нього простiр, U — непорожня, опукла, ∗-слабко замкнена множина в Y ∗. Для багато-
значного вiдображення A : X ×U ⇉ X∗ i непорожньої замкненої в просторi X опуклої мно-
жини K параметризованою мультиварiацiйною нерiвнiстю будемо називати такий об’єкт:
[A(y, u), ξ − y]+ > 〈f, ξ − y〉X ∀ ξ ∈ K, (1)
де f ∈ X∗.
Класи багатозначних вiдображень. Введемо такi поняття:
Означення 1. Багатозначне вiдображення A : X × U ⇉ X∗ називається λ-квазiмоно-
тонним, якщо для довiльної послiдовностi {yn, un}n>1 ⊂ X×U такої, що для деяких y0 ∈ X,
u0 ∈ U yn → y0 слабко в X, un → u0 *-слабко в Y ∗ при n → +∞, з нерiвностi
lim
n→∞
〈dn, yn − y0〉X 6 0,
де dn ∈ coA(yn, un), ∀n > 1, випливає iснування пiдпослiдовностi {ynk
, unk
}k>1 з {yn, un}n>1,
для якої виконується
lim
k→∞
〈dnk
, ynk
− w〉X > [A(y0, u0), y0 − w]− ∀w ∈ X.
Означення 2. Будемо казати, що вiдображення A : X × U ⇉ X∗ задовольняє власти-
вiсть Sk, якщо з того, що yn → y0 слабко в X, U ∋ un → u0 ∈ U *-слабко в Y ∗, dn → d
слабко в X∗ (dn ∈ coA(yn, un) ∀n > 1) та з того, що
〈dn, yn − y0〉X → 0 при n → ∞, (2)
випливає d ∈ coA(y0, u0).
Зауваження 1. Якщо A : X×U ⇉ X∗ задовольняє властивiсть Sk, то (−A) : X×U ⇉ X∗
також задовольняє дану властивiсть.
Нижченаведене твердження належним чином впорядковує класи вiдображень типу Sk
та λ-квазiмонотонного типу.
Твердження 1. Багатозначне λ-квазiмонотонне вiдображення задовольняє власти-
вiсть Sk.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 21
Лемма 1. Нехай A : X × U ⇉ X∗ та B : X × U ⇉ X∗ — λ-квазiмонотоннi багато-
значнi вiдображення. Тодi C := A + B : X × U ⇉ X∗ — λ-квазiмонотонне багатозначне
вiдображення.
Доведення аналогiчне наведеному в [14].
Означення 3. Будемо казати, що вiдображення A : X × U ⇉ X∗ є демiзамкненим,
якщо з того, що yn → y0 сильно в X, U ∋ un → u0 ∈ U *-слабко в Y ∗, dn → d слабко в X∗
(dn ∈ coA(yn, un) ∀n > 1) випливає, що d ∈ coA(y0, u0).
Твердження 2. Багатозначне вiдображення, що задовольняє властивiсть Sk, є демi-
замкненим.
Означення 4. Багатозначне вiдображення A : X ⇉ X∗ задовольняє властивiсть (Π),
якщо для деякого k > 0, деякої обмеженої множини B ⊂ X та для деякого селектора d
(d(y) ∈ A(y) ∀ y ∈ B) виконується нерiвнiсть 〈d(y), y〉X 6 k для всiх y ∈ B, тодi iснує таке
C > 0, що ‖d(y)‖X∗ 6 C для всiх y ∈ B.
Зауваження 2. Сума багатозначних вiдображень, що задовольняють властивiсть (Π),
задовольняє властивiсть (Π).
Означення 5. Багатозначне вiдображення A : X ⇉ X∗ називається:
локально обмеженим, якщо для довiльного фiксованого y ∈ X iснують константи m > 0
i M > 0 такi, що ‖A(ξ)‖+ 6 M , для всiх ξ ∈ {ξ ∈ X | ‖y − ξ‖X 6 m};
скiнченновимiрно локально обмеженим, якщо для довiльного скiнченновимiрного про-
стору F ⊂ X звуження A на F є локально обмеженим.
З кожним багатозначним вiдображенням A : X ⇉ X∗ пов’яжемо вiдображення A : X ×
× U ⇉ X∗, A(y, u) = A(y), y ∈ X, u ∈ U .
Означення 6. Багатозначний оператор A : X ⇉ X∗ називається
λ-псевдомонотонним, якщо вiдповiдне вiдображення A : X × U ⇉ X∗ — λ-квазiмоно-
тонне;
+(−)-коерцитивним, якщо
[A(y), y]+(−)
‖y‖X
→ +∞ при ‖y‖X → +∞.
Означення 7. Багатозначний оператор A : X ⇉ X∗ задовольняє властивiсть Sk, якщо
вiдповiдне вiдображення A : X × U ⇉ X∗ задовольняє властивiсть Sk.
Основнi результати. По аналогiї з [13] розглянемо випадок, коли X = V
⋂
W , де V
та W — дiйснi рефлексивнi банаховi простори, неперервно вкладенi в деякий вiддiлений
лiнiйний топологiчний простiр Z; V ∗, W ∗ — вiдповiднi спряженi простори, 〈·, ·〉V , 〈·, ·〉W —
спарювання в V та W вiдповiдно. Тодi X∗ = V ∗ + W ∗ та
〈f, x〉X = 〈v, x〉V + 〈w, x〉W , f = v + w, v ∈ V ∗, w ∈ W ∗.
Нехай A : V ×U ⇉ V ∗, f ∈ V ∗+W ∗, ‖·‖X = ‖·‖V +‖·‖W , K ⊂ W — непорожня замкнена опук-
ла множина, β : W ⇉ W ∗ — багатозначний монотонний, обмежений, радiально напiвнепе-
рервний знизу оператор штрафу, який вiдповiдає множинi K, тобто K = {y ∈ W | β(y) ∋ 0}.
Як вiдомо, для замкнених опуклих K в рефлексивних просторах оператор штрафу iснує
завжди [13].
Далi, для фiксованих u ∈ U , f ∈ X∗ через K(u, f) позначимо сукупнiсть розв’язкiв
операторної нерiвностi (1) iз множини K.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
Теорема 1. Нехай K 6= ∅ — замкнена опукла множина в просторi W , багатозначне
вiдображення A : V × U ⇉ V ∗ — λ-квазiмонотонне, {un}n>0 ⊂ U , un → u *-слабко в Y ∗,
fn → f сильно в X∗. Тодi
⋂
n>1
⋃
m>n
K(um, fm)
w
⊂ K(u, f), (3)
де D
w
— слабке замикання множини D ⊂ X в X.
Якщо додатково iснують u ∈ U , ε0 > 0 та y0 ∈ K
⋂
X такi, що
‖y‖−1
X
{
[A(y, u), y − y0]+ +
1
ε0
[β(y), y − y0]+
}
→ +∞ (4)
при ‖y‖X → ∞, а вiдображення X ∋ y → A(y, u) скiнченновимiрно локально обмежене та
задовольняє властивiсть (Π), то ∀ f ∈ V ∗ + W ∗ ∃ {yεn
}n>1 ⊂ X така, що
coA(yεn
, u) +
1
εn
coβ(yεn
) ∋ f ∀n > 1, (5)
εn → 0+, yεn
→ y слабко в X при n → ∞, а слабко граничний елемент y ∈ K задовольняє
нерiвнiсть (1).
Теорема 2. Нехай вкладення X ⊂ W компактне, K — непорожня замкнена опукла
множина в просторi W , багатозначне вiдображення A : V ×U ⇉ V ∗ задовольняє власти-
вiсть Sk, {un}n>0 ⊂ U , un → u *-слабко в Y ∗, fn → f сильно в X∗. Тодi виконується (3).
Бiльше того, якщо додатково iснують u ∈ U , ε0 > 0 та y0 ∈ K
⋂
X такi, що справед-
ливо (4) при ‖y‖X → ∞, а вiдображення X ∋ y → A(y, u) скiнченновимiрно локально
обмежене та задовольняє властивiсть (Π), то ∀ f ∈ V ∗ + W ∗ ∃ {yεn
}n>1 ⊂ X така, що
виконується (5), εn → 0+, yεn
→ y слабко в X при n → ∞, а слабко граничний елемент
y ∈ K задовольняє нерiвнiсть (1).
Зауваження 3. Достатньою умовою виконання нерiвностi є умова +-коерцитивностi для
A(·, u) : X ⇉ X∗ [13].
Приклад. Розглянемо приклад, який торкається параметризованих операторних вклю-
чень i iлюструє iстотну залежнiсть властивостi Sk вiд вибору топологiй у просторi функцiо-
нальних параметрiв. Спочатку ми побудуємо обмежене вiдображення, яке задовольняє вла-
стивiсть Sk, але не є λ-квазiмонотонним i −A також не є λ-квазiмонотонним. Нехай n > 2,
Ω ⊂ R
n — обмежена область, X = H1
0 (Ω) — дiйсний простiр Соболєва [7], X∗ ≡ H−1(Ω),
(u, v)L2
=
∫
Ω
u(x)v(x)dx, u, v ∈ L2(Ω); ((u, v)) =
∫
Ω
∇u · ∇vdx — скалярний добуток в H1
0 (Ω),
u, v ∈ H1
0 (Ω); a · b — скалярний добуток векторiв a, b ∈ R
n; ‖u‖H1
0
(Ω) =
√
((u, u)), u ∈ X.
Нехай ξ1, ξ2 — заданi функцiї з L∞(Ω) такi, що
ξ1(x) 6 −α < 0 < α 6 ξ2(x) майже скрiзь в Ω, (6)
де α > 0. Покладемо
U =
{
U = [uij(x)]16i,j6n
∣
∣
∣
∣
uji = uij ∈ [L∞(Ω)] ∀ i, j = 1, . . . , n
ξ1(x) 6 uij(x) 6 ξ2(x) м.с. в Ω ∀ i, j = 1, . . . , n
}
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 23
U утворює непорожню множину рiвномiрно обмежених симетричних квадратних матриць.
Нехай також X = H1
0 (Ω), Y = [L1(Ω)]n×n. Тодi X∗ = H−1(Ω), Y ∗ = [L∞(Ω)]n×n. Розглянемо
множину
V = {U = [u1,u2, . . . ,un] ∈ [L∞(Ω)]n×n : divui = 0 ∀ i = 1, 2, . . . , n},
де значення оператора div на векторi u ∈ [L2(Ω)]n визначається як елемент простору
H−1(Ω) такий, що
〈divu, φ〉H1
0
(Ω) = −
∫
Ω
(u,∇φ)Rndx ∀φ ∈ H1
0 (Ω).
Будемо казати, що функцiональний параметр U є допустимим, якщо U ∈ V
⋂
U , де множи-
на U означена вище. Множину всiх допустимих параметрiв позначимо через Usol. Зауважи-
мо, що Usol — секвенцiйно компактна множина в ∗-слабкiй топологiї простору [L∞(Ω)]n×n.
Розглянемо оператор A : X × Usol → X∗, який визначається за правилом
A(y,U) = − div(U(x)∇y) = −
n
∑
i,j=1
∂
∂xi
(
uij(x)
∂y
∂xj
)
.
За допомогою леми про компенсовану компактнiсть [15, c.142] можна одержати, що
параметризоване багатозначне вiдображення задовольняє властивiсть Sk. Очевидно, що за
рахунок (6) нi A, нi −A не є λ-квазiмонотонним. Бiльше того, поклавши
A(y) = {A(y,U) | U ∈ Usol}, y ∈ X,
одержимо обмежене багатозначне вiдображення, яке задовольняє властивiсть Sk, є +-ко-
ерцитивним, але не є −-коерцитивним, не є λ-псевдомонотонним i −A також не є λ-псев-
домонотонним.
1. Aubin J. P., Frankovska H. Set-valued analysis. – Boston: Birkhäuser, 1990. – 215 p.
2. Barbu V., Precupanu N. Convex analysis and optimization in Banach spaces. – New York: Reidel, 1986. –
420 p.
3. Згуровский М.З., Мельник В.С., Новиков А.Н. Прикладные методы анализа и управления нелиней-
ными процессами и полями. – Киев: Наук. думка, 2004. – 590 с.
4. Ladas G. E., Lakshmikanthan V. Differential Equations in Abstract Spaces. – New York: Acad. Press,
1972. – 458 p.
5. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. – Киев: Наук. думка, 1992. – 381 с.
6. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – Москва: Мир, 1972. – 587 с.
7. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифферен-
циальные уравнения. – Москва: Мир, 1978. – 336 с.
8. Скрыпник И.В. Методы исследования эллиптических краевых задач. – Москва: Наука, 1990. – 442 с.
9. Згуровский М.З., Мельник В.С. Метод штрафа для вариационных неравенств с многозначными
отображениями. I // Кибернетика и систем. анализ. – 2000. – № 4. – С. 57–69.
10. Мельник В.С. Про критичнi точки деяких класiв багатозначних вiдображень // Там же. – 1997. –
№ 2. – С. 87–98.
11. Мельник В.С. Мультивариационные неравенства и операторные включения в банаховых просторан-
ствах с отображениями клаcса // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 11. – С. 1513–1523.
12. Иваненко В.И., Мельник В.С. Вариационные методы в задачах управления для систем с распреде-
ленными параметрами. – Киев: Наук. думка, 1988. – 324 с.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
13. Касьянов П.О., Мельник В.С. О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволю-
ционных вариационных неравенств, порожденных отображениями wλ0
-псевдомонотонного типа //
Укр. мат. вiсник. – 2007. – 4, № 4. – С. 535–581.
14. Kasyanov P.O., Mel’nik V. S., Yasinsky V.V. Evolution inclusions and inequalities in Banach spaces with
Wλ-pseudomonotone maps. – Київ: Наук. думка, 2007. – 308 с.
15. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.Л. Усреднение дифференциальных операторов. – Москва:
Физматлит, 1993. – 464 с.
Надiйшло до редакцiї 09.06.2008Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
P.O. Kasyanov
On the solvability for one class of parametrized multivariational
inequalities
We consider the parametrized operator and variation inequalities with maps of the Sk type. Suffi-
cient conditions for solvability of the given inequalities and the parameter dependence for their
solution sets are derived. The examples illustrating the obtained results are given.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 25
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7901 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-24T15:58:11Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Касьянов, П.О. 2010-04-22T13:25:04Z 2010-04-22T13:25:04Z 2009 Про розв'язність одного класу параметризованих мультиваріаційних нерівностей / П.О. Касьянов // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 20-25. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7901 517.9 Розглянуто клас параметризованих операторних та варiацiйних нерiвностей з багатозначними вiдображеннями типу S¯k. Отримано достатнi умови розв’язностi таких нерiвностей та дослiджено залежнiсть множин їх розв’язкiв вiд функцiональних параметрiв. Наведено приклади, якi iлюструють одержанi результати. We consider the parametrized operator and variation inequalities with maps of the S¯k type. Sufficient conditions for solvability of the given inequalities and the parameter dependence for their solution sets are derived. The examples illustrating the obtained results are given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Про розв'язність одного класу параметризованих мультиваріаційних нерівностей On the solvability for one class of parametrized multivariational inequalities Article published earlier |
| spellingShingle | Про розв'язність одного класу параметризованих мультиваріаційних нерівностей Касьянов, П.О. Математика |
| title | Про розв'язність одного класу параметризованих мультиваріаційних нерівностей |
| title_alt | On the solvability for one class of parametrized multivariational inequalities |
| title_full | Про розв'язність одного класу параметризованих мультиваріаційних нерівностей |
| title_fullStr | Про розв'язність одного класу параметризованих мультиваріаційних нерівностей |
| title_full_unstemmed | Про розв'язність одного класу параметризованих мультиваріаційних нерівностей |
| title_short | Про розв'язність одного класу параметризованих мультиваріаційних нерівностей |
| title_sort | про розв'язність одного класу параметризованих мультиваріаційних нерівностей |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7901 |
| work_keys_str_mv | AT kasʹânovpo prorozvâznístʹodnogoklasuparametrizovanihmulʹtivaríacíinihnerívnostei AT kasʹânovpo onthesolvabilityforoneclassofparametrizedmultivariationalinequalities |