О некоторых особенностях вертикальных колебательных систем

Показано вплив ваги мас у вертикальнiй коливнiй системi з n ступенями свободи на сталi змiщення цих мас. The influence of the weights of masses in a vertical oscillating system with n degrees of freedom on constant displacements of these masses is shown....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
1. Verfasser:	Божко, А.Е.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2009
Schlagworte:	Механіка
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7906
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О некоторых особенностях вертикальных колебательных систем / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 49-53. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860159690113024000
author	Божко, А.Е.
author_facet	Божко, А.Е.
citation_txt	О некоторых особенностях вертикальных колебательных систем / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 49-53. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	Показано вплив ваги мас у вертикальнiй коливнiй системi з n ступенями свободи на сталi змiщення цих мас. The influence of the weights of masses in a vertical oscillating system with n degrees of freedom on constant displacements of these masses is shown.
first_indexed	2025-12-07T17:53:53Z
format	Article
fulltext	оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 2 • 2009 МЕХАНIКА УДК 531.62-752(031) © 2009 Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко О некоторых особенностях вертикальных колебательных систем Показано вплив ваги мас у вертикальнiй коливнiй системi з n ступенями свободи на сталi змiщення цих мас. В данной работе в качестве вертикальных колебательных систем (ВКС) рассматриваются системы, изображенные на рис. 1, где F — сила; m1, mn — массы; c1, cn, b1, bn — пружи- ны и демпферы, соответственно; x1, xn — перемещения масс m1, mn, соответственно; Φ — фундамент. Такие ВКС широко встречаются в реальности, например, вибровозбудители, вибростен- ды, вибронасосы и др. На рис. 1 изображена ВКС с n степенями свободы. В практике часто приходится встречаться с ВКС с одной, двумя степенями свободы и изредка с n > 3. Все массы m1,mn, пружины c1, cn и реально встроенные в ВКС демпферы b1, bn имеют свой вес Pmk, Pck, Pbk, k = 1, n. Этот вес (назовем более предметно — груз) сжимает пружины c1, cn, действует на демпферы b1, bn, в свою очередь, последовательно на массы m1,mn и на фундамент Φ. В конечном итоге, эти грузы вызывают смещения x10, xn0 всех масс m1,mn и при действии переменной силы F ВКС колеблется с учетом ненулевых начальных пере- мещений x10, xn0. Если же в действующей силе F имеется постоянная составляющая F0, т. е. F = F0 + F ∼ , где F ∼ — переменная составляющая, то F0 также создает статические перемещения x10, xn0 в ВКС. Следует заметить, что часто в литературе по колебаниям, например, в [1–3] и др., вопрос действия грузов, вызывающих начальные смещения масс m1,mn, опускается, что, на наш взгляд, не всегда оправдано. Так, например, при исследовании нами вертикальных электро- магнитных вибровозбудителей ЭМВ таких, как испытательные вибростенды, вибронасосы, выяснилось, что именно вес подвижных платформ с нагрузкой значительно уменьшает воз- душные зазоры ЭМВ, что не позволяет увеличивать амплитуды гармонических вибраций, действующих на нагрузку. В данных объектах вопрос учета веса подвижных частей нами был решен на основе корректирования конструкции ЭМВ. Заметим, что уравнения движения ВКС при учете весов m1,mn изменяются по сравне- нию с наиболее часто представляемыми в работах по колебаниям. В связи с этим необхо- димо представить на обозрение результаты учета в динамике ВКС веса подвижных частей. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 49 Рис. 1 Уравнения движения ВКС с n степенями свободы, изображенной на рис. 1, следующие: m1ẍ1 + b1ẋ1 + c1x1 = P1 + F1 + b1ẋ2 + c1x2; m2ẍ2 + (b1 + b2)ẋ2 + (c1 + c2)x2 = P1 + P2 + b1ẋ1 + c1x1 + b2ẋ3 + c2x3; m3ẍ3 + (b2 + b3)ẋ3 + (c2 + c3)x3 = P1 + P2 + P3 + b2ẋ2 + c2x2 + b3ẋ4 + c3x4; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; mn−1ẍn−1 + (bn−2 + bn−1)ẋn−1 + (cn−2 + cn−1)xn−1 = = n−1 ∑ k=1 Pk + bn−2ẋn−2 + cn−2xn−2 + bn−1ẋn + cn−1xn; mnẍn + (bn−1 + bn)ẋn + (cn−1 + cn)xn = n ∑ k=1 Pk+bn−1ẋn−1 + cn−1xn−1,                                    (1) где P1 — вес массы m1; P2 — вес массы m2 совместно с весами пружины c1 и демпфера b1; Pk — вес массы mk совместно с пружиной ck−1 и демпфером bk−1; ẍk = (d2/dt)xk, ẋ = (d/dt)x; t — время. Здесь же в уравнении (1) ck, bk, k = 1, n, — коэффициенты жест- 50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2 Рис. 2 Рис. 3 кости и диссипации соответственно, т. е. обозначения этих коэффициентов такие же, как и соответствующих пружин и демпферов. На основании системы уравнений (1) построим структурную схему ВКС с n степенями свободы. Эта схема изображена на рис. 2 (звенья располагаем по горизонтальной линии), где wk = wk(p), k = 1, n, — передаточные функции колебательных звеньев; wk2(p) — пере- даточные функции форсирующих звеньев; ⊕ — сумматоры; p — оператор Лапласа (d/dt); w1(p) = 1 m1p2 + b1p + c1 ; wk(p) = 1 mkp2 + (bk−1 + bk)p + (ck−1 + ck) ; k = 2, n; w12 = b1p + c1; wk2 = (bk−1 + bk)p + (ck−1 + ck). Как видно из рис. 2, структурная схема ВКС с n степенями свободы включает в себя (n−1) звеньев с двумя степенями свободы (см. рис. 3), которые являются основополагающими в этой ВКС. Несмотря на то что в КС с двумя степенями свободы, изображенной на рис. 3, име- ется положительная обратная связь, эта КС устойчивая. Доказательство этого приведено в работе [4]. Для определения смещений x10, xn0 от действия Pk, k = 1, n, примем отсутствие в систе- ме переменной силы F (t) и соответственно отсутствие скорости ẋk и ускорения ẍk, k = 1, n. Тогда система (1) принимает вид c1x10 = P1 + c1x20; (c1 + c2)x20 = P1 + P2 + c1x10 + c2x30; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; (cn−2 + cn−1)x(n−1)0 = n−1 ∑ k=1 Pk + cn−2x(n−2)0 + cn−1xn0; (cn−1 + cn)xn0 = n ∑ k=1 Pk + cn−1x(n−1)0.                          (2) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 51 Из системы уравнений (2) начальные смещения x10, xn0 имеют вид x10 = P1 c1 + x20; x20 = (P1 + P2 + c1x10 + c2x30) 1 c1 + c2 ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; xs0 = ( s ∑ k=1 Pk + cs−1x(s−1)0 + csx(s+1)0 ) 1 cs−1 + cs ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; x(n−1)0 = ( n−1 ∑ k=1 Pk + cn−2x(n−2)0 + cnxn0 ) 1 cn−2 + cn−1 ; xn0 = ( n ∑ k=1 Pk + cn−1x(n−1)0 ) 1 cn−1 + cn .                                              (3) Из (3) видно, что смещение x10 обусловливает смещение x20, которое, в свою очередь, еще больше увеличивает x10. Смещение x20 создает смещение x30, которое, в свою очередь, увеличивает x20 и т. д. Процесс формирования смещений x10, xn0 в ВКС с n степенями свободы прекращается при равенстве сил жесткости (упругости) (cs−1 + cs)xs и сил воздействия на массу ms, т. е. s ∑ k=1 Pk + cs−1x(s−1)0 + csx(s+1)0. Из выражений (3) также четко видно, что с понижением в расположении по вертикали пружин cs, s = 1, n, жесткость этих пружин должна возрастать. Особенно это видно из того, что нижние пружины несут на себе груз в n ∑ k=1 Pk, т. е. груз всей ВКС. Для примера с учетом схемы, изображенной на рис. 3, ВКС с двумя степенями свободы x1 и x2 выражаются в виде x1 = (F1 + P1)w1 + P2w1w12w2 1 − w1w 2 12w2 ; x2 = (F1 + P1)w1w12w2 + P2w2 1 − w1w 2 12w2 .          (4) При p = 0 выражения (4) принимают вид x10 = 1 c1c2 (F10 + P1)(c1 + c2) + P2 c2 ; x20 = F10 + P1 + P2 c2 ,        (5) где F10 — постоянная составляющая силы F1(t). Из (5) видно, что конечное смещение x20 ВКС с двумя степенями свободы определяется жесткостью c2 и суммой весов P1 и P2 совместно с F10. Точно так же и далее по схеме, изображенной на рис. 2, смещение последующих координат x30, x40, . . . , xn0 зависит от суммы F10 и всех грузов n ∑ k=1 Pk. На основании (4), (5) выражения x1(t) и x2(t) могут быть 52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2 представлены в виде x1(t) ⇄ x1(p) = F1∼w1 1 − w1w2 12w2 + x10, x2(t ⇄ x2(p) = F1w1w12w2 1 − w1w2 12w2 + x20, где x1(p), x2(p) — изображения Лапласа (Карсона) оригиналов x1(t), x2(t) соответственно. Решения x1(t), x2(t) можно находить по таблицам [5]. В этом случае, как было отмечено, необходимо учитывать начальные условия x10, x20, а для ВКС с n степенями свободы xk0, k = 1, n. Таким образом, в работе показано влияние веса масс mk совместно с пружинами ck, демпферами bk на начальные смещения xk0, k = 1, n. Этот вопрос является важнейшим при проектировании многих осцилляторов, вибровозбудителей. 1. Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний. – Москва: Наука, 1965. – 276 с. 2. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. – Москва: Наука, 1979. – 384 с. 3. Вибрации в технике. В 6-ти т. / Под ред. В.В. Болотина. – Москва: Машиностроение, 1978. – Т. 1. – 352 с. 4. Божко А.Е. К анализу колебательных механических систем // Доп. НАН України. – 2004. – № 3. – С. 37–40. 5. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – Москва: Сов. радио, 1959. – 404 с. Поступило в редакцию 28.01.2008Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.E. Bozhko On some peculiarities of vertical oscillatory systems The influence of the weights of masses in a vertical oscillating system with n degrees of freedom on constant displacements of these masses is shown. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 53
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7906
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1025-6415
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T17:53:53Z
publishDate	2009
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
record_format	dspace
spelling	Божко, А.Е. 2010-04-22T13:27:44Z 2010-04-22T13:27:44Z 2009 О некоторых особенностях вертикальных колебательных систем / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 49-53. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7906 531.62-752(031) Показано вплив ваги мас у вертикальнiй коливнiй системi з n ступенями свободи на сталi змiщення цих мас. The influence of the weights of masses in a vertical oscillating system with n degrees of freedom on constant displacements of these masses is shown. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка О некоторых особенностях вертикальных колебательных систем On some peculiarities of vertical oscillatory systems Article published earlier
spellingShingle	О некоторых особенностях вертикальных колебательных систем Божко, А.Е. Механіка
title	О некоторых особенностях вертикальных колебательных систем
title_alt	On some peculiarities of vertical oscillatory systems
title_full	О некоторых особенностях вертикальных колебательных систем
title_fullStr	О некоторых особенностях вертикальных колебательных систем
title_full_unstemmed	О некоторых особенностях вертикальных колебательных систем
title_short	О некоторых особенностях вертикальных колебательных систем
title_sort	о некоторых особенностях вертикальных колебательных систем
topic	Механіка
topic_facet	Механіка
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7906
work_keys_str_mv	AT božkoae onekotoryhosobennostâhvertikalʹnyhkolebatelʹnyhsistem AT božkoae onsomepeculiaritiesofverticaloscillatorysystems

О некоторых особенностях вертикальных колебательных систем

Institution

Ähnliche Einträge