Про конструктивний аналітично-числовий метод розв'язування плоскої задачі для пластини з кутовими точками
Запропоновано новий конструктивний аналiтично-числовий метод розв’язання плоскої задачi в обмеженiй криволiнiйнiй областi з кутовими точками. Метод оснований на мiнiмiзацiї квадратичної форми, яка вiдповiдає iнтегралу квадратичного вiдхилення знайденого розв’язку вiд заданих граничних умов. Доведена...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7908 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про конструктивний аналітично-числовий метод розв'язування плоскої задачі для пластини з кутовими точками / В.П. Ревенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 59-66. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859854889042051072 |
|---|---|
| author | Ревенко, В.П. |
| author_facet | Ревенко, В.П. |
| citation_txt | Про конструктивний аналітично-числовий метод розв'язування плоскої задачі для пластини з кутовими точками / В.П. Ревенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 59-66. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Запропоновано новий конструктивний аналiтично-числовий метод розв’язання плоскої задачi в обмеженiй криволiнiйнiй областi з кутовими точками. Метод оснований на мiнiмiзацiї квадратичної форми, яка вiдповiдає iнтегралу квадратичного вiдхилення знайденого розв’язку вiд заданих граничних умов. Доведена теорема про числове визначення збiжностi розв’язку i наведена оцiнка точностi задоволення граничних умов. Проведено числовий аналiз розподiлу напружень i деформацiй у пластинi. Встановленi новi якiснi i кiлькiснi особливостi розподiлу напружень у пластинi.
A new constructive analytical-numerical spectral method for solving a plane problem for the bounded region with corner points is proposed. The method is based on the minimization of a quadratic form being the squared integral of a deviation of a found solution from the boundary conditions. The convergence of the obtained solution is proved, and the precision of the satisfaction of the boundary conditions is estimated. The numerical analysis of the distribution of stresses and strains in a plate is carried out. New qualitative peculiarities of the stress distribution in a plate are determined.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:43:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2009
В.П. Ревенко
Про конструктивний аналiтично-числовий метод
розв’язування плоскої задачi для пластини з кутовими
точками
(Представлено академiком НАН України Я.М. Григоренком)
Запропоновано новий конструктивний аналiтично-числовий метод розв’язання плоскої
задачi в обмеженiй криволiнiйнiй областi з кутовими точками. Метод оснований на мi-
нiмiзацiї квадратичної форми, яка вiдповiдає iнтегралу квадратичного вiдхилення зна-
йденого розв’язку вiд заданих граничних умов. Доведена теорема про числове визначення
збiжностi розв’язку i наведена оцiнка точностi задоволення граничних умов. Проведено
числовий аналiз розподiлу напружень i деформацiй у пластинi. Встановленi новi якiснi
i кiлькiснi особливостi розподiлу напружень у пластинi.
При розв’язуваннi плоскої задачi теорiї пружностi широке застосування знайшли методи
теорiї комплексного змiнного [1], проте для обмежених областей за наявностi кутових то-
чок цi методи не завжди є ефективними. Внаслiдок практичної важливостi цiєї задачi для
її розв’язування в прямокутнiй областi використовувались рiзноманiтнi аналiтичнi пiдхо-
ди [2, 3]. Love [4] i Папкович [5] для задоволення граничних умов уперше запропонували
метод власних функцiй, але не довели його до числових розрахункiв напружень. Gaydon
i Shepherd [6] розклали першi 10 власних функцiй за спецiальною ортогональною системою
та розрахували числовi значення напружень. Подальший теоретичний розвиток методу вла-
сних функцiй з обгрунтуванням використання неортогональних функцiй було запропоно-
вано у роботах [7, 8]. В [9] дослiджено напружено-деформований стан (НДС) прямокутної
пластини пiд дiєю рiзноманiтних навантажень. Огляд лiтератури наведено в [10].
Нижче запропоновано методику розрахунку криволiнiйної плоскої пластини та дослiд-
жено деякi аспекти моделювання НДС пластини з кутовими точками за допомогою неор-
тогональних функцiй.
1. Постановка задачi. Розглянемо плоску статичну задачу для тонкої пластини сталої
товщини h, яка займає однозв’язну плоску опуклу область D з обмеженою кiлькiстю куто-
вих точок [2, 3, 7]. Вектор пружних перемiщень i напружений стан в областi D описується
неперервною разом з четвертими частинними похiдними функцiєю Φ(x, y), яка задоволь-
няє бiгармонiчне рiвняння. На криволiнiйному контурi L областi D заданi крайовi умови
в нормальних та дотичних напруженнях
hσn(x, y)|L = σg|L,
hτn(x, y)|L = τg|L,
(1)
де зовнiшнi нормальнi та дотичнi навантаження σg, τg є кусково-неперервними функцiями.
Вiдомо, що задання зовнiшнiх функцiй σg|L та τg|L не є повнiстю довiльним, а повинно
задовольняти певнi iнтегральнi i локальнi умови [1, 2].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 59
Теорема 1. Граничнi значення зовнiшнiх напружень σgj, τgj, j = 1, 2, у кутовiй точцi
контура L задовольняють умови
(σg2 − σg1) cos β = (τg1 − τg2) sin β, (2)
де β — кут областi D пiсля прикладення зовнiшнiх навантажень.
Доведення. Покладемо, що дотична до лiнiї контура L в кутовiй точцi паралельна осi
Ox, σg1 = σy, τg1 = τxy. Зовнiшнi напруження σg2, τg2, якi заданi на нижнiй сторонi кута
(iндекс 2), можна виразити через нормальнi i дотичнi напруження [2]. Пiсля виключення
напруження σx iз цих рiвнянь випливає умова (2).
Зовнiшнi навантаження повиннi також задовольняти рiвняння рiвноваги [1–3]. Конкре-
тизуємо цi обмеження. Припустимо, що в область D можна вписати прямокутник Π iз
сторонами 2a, 2b. Початок декартової системи координат розмiстимо в точцi симетрiї пря-
мокутника, вiсь Oy направимо паралельно сторонам прямокутника довжиною 2b, вiдповiд-
но вiсь Ox буде проходити паралельно сторонам довжиною 2a. Вершини прямокутника Π
розбивають контур L на чотири частини. Розподiленi нормальнi та дотичнi зовнiшнi наван-
таження σg, τg створюють на контурах Lj пластини D вiдповiднi нормальнi Tj та дотичнi Qj
зусилля i моменти Mj , якi вiдповiдають основному НДС пластини i повиннi задовольняти
умови рiвноваги. Виходячи з роботи [7], видiлимо основний напружений стан, пiсля чого
залишиться збурений НДС.
Подання збуреного НДС. В роботi [7] теоретично показано, що функцiю напружень
збуреного стану прямокутної пластини наближено можна подати у виглядi ряду за власни-
ми бiгармонiчними функцiями
Φ(α, γ) =
N
∑
k=1
2
∑
j=1
Re{b[z−1
k cjkfj(vzk, α)ϕ(zk , γ) + ξ−1
k c2+j
k fj(vξk, α)ψ(ξk , γ)] +
+ a[z−1
k
c4+j
k
fj(czk, γ)ϕ(zk , α) + ξ−1
k
c6+j
k
fj(cξk, γ)ψ(ξk, α)]}, (3)
де
fj(x, y) = exp(x((−1)jy − 1));
ϕ(zk, γ) = γ sin(zkγ) − tg(zk) cos(zkγ),
ψ(ξk, γ) = − ctg(ξk) sin(ξkγ) + γ cos(ξkγ);
γ = y/b, α = x/a — безрозмiрнi змiннi; v = a/b, c = b/a — вiдношення сторiн; cjk, j =
= 1, 8, — невiдомi комплекснi коефiцiєнти; zk, ξk — комплекснi безрозмiрнi спектральнi
числа, ненульовi коренi характеристичних рiвнянь
F+(z) ≡ sin(2z) + 2z = 0, F−(ξ) ≡ sin(2ξ) − 2ξ = 0, (4)
для яких Re zk > 0, Re ξk > 0, N — кiлькiсть вибраних коренiв. Функцiя напружень (3)
дозволяє задовольнити довiльнi самозрiвноваженi граничнi навантаження на видiленому
контурi прямокутника Π. Отже, ми можемо, розширюючи прямокутник до однозв’язної
областiD, використати подання (3) для задоволення збурених граничних умов на контурi L.
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
Перетворення граничних умов. Граничнi умови (1), виходячи з [1], подамо як про-
екцiї зовнiшнiх зусиль на вiсь x i y
d
ds
∂Φ
∂y
∣
∣
L
= Xσ|L,
d
ds
∂Φ
∂x
∣
∣
L
= −Yσ|L, (5)
де s — довжина дуги кривої; Xσ|L = cosϕσg − sinϕτg|L, Yσ|L = sinϕσg + cosϕτg|L — про-
екцiї зовнiшнiх нормальних i дотичних зусиль σg|L, τg|L на осi Ox, Oy. Пiсля iнтегрування
спiввiдношень (5) вздовж контура L одержимо граничнi умови в такому виглядi:
∂Φ
∂x
= −
s
∫
0
Yσds + C1 = P1(α, γ) + C1,
∂Φ
∂y
=
s
∫
0
Xσds+ C2 = P2(α, γ) + C2, (6)
де C1, C2 — постiйнi iнтегрування. Якщо вибрати за початок обходу контура L вершину
прямокутника Π, то постiйнi iнтегрування C1, C2 в (6) дорiвнюватимуть нулю. Пiдставимо
в спiввiдношення (6) функцiю напружень (3) i одержимо явний вигляд граничних умов
8
∑
j=1
N
∑
k=1
Re[c8k−8+jχ
j
k(α, γ)] = P1(α, γ),
8
∑
j=1
N
∑
k=1
Re[c8k−8+jψ
j
k(α, γ)] = P2(α, γ), (7)
де
χj
k
(α, γ) = (−1)jfj(vzk, α)ϕ(zk , γ), χ2+j
k
(α, γ) = (−1)jfj(vξk, α)ψ(ξk , γ),
χ4+j
k (α, γ) = fj(czk, γ)ψ(zk , α), χ6+j
k (α, γ) = fj(cξk, γ)χ(ξk, α),
ψj
k(α, γ) = fj(vzk, α)ψ(zk , γ), ψ2+j
k (α, γ) = fj(vξk, α)χ(ξk, γ),
ψ4+j
k (α, γ) = (−1)jfj(czk, γ)ϕ(zk , α), ψ6+j
k (α, γ) = (−1)jfj(cξk, γ)ψ(ξk, α),
j = 1, 2;χ(zk , γ) = mk cos(zkγ) − γ sin(zkγ); mk =
1
zk
− ctg(zk).
2. Мiнiмiзацiя вiдхилення наближеного розв’язку вiд заданих граничних
умов. Видiлимо у невiдомих комплексних коефiцiєнтах cjk, j = 1, 8, дiйсну i уявну частини
cj
k
= x8k−8+j + ix8(N+k−1)+j ; аналогiчно поступимо також iз комплексними функцiями, якi
стоять бiля цих коефiцiєнтiв. Для знаходження невiдомих xm використаємо iдею Я.М. Гри-
горенка [11] про зведення неув’язки у крайових умовах (7) до нуля при збiльшеннi N . Мiрою
наближення розв’язку (3) до заданих зовнiшнiх навантажень у крайових умовах (7) є iнте-
грал квадратичного вiдхилення вздовж контура L:
ΨM{x1, . . . , xM}=
∮
L
{{
8
∑
j=1
N
∑
k=1
[x8k−8+jχ
j
rk(α, γ)−x8(N+k−1)+jχ
j
yk(α, γ)]−P1(α, γ)
}2
+
+
{
8
∑
j=1
N
∑
k=1
[x8k−8+jψ
j
rk(α, γ) − x8(N+k−1)+jψ
j
yk(α, γ)] − P2(α, γ)
}2}
ds ≡
≡
M
∑
k,j=1
xkxjW
j
k
− 2
M
∑
k=1
xkVk + P 2, (8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 61
де
M = 16N ; χj
rk(α, γ) = Reχj
k(α, γ), χj
yk(α, γ) = Imχj
k(α, γ),
ψj
rk(α, γ) = Reψj
k(α, γ), ψj
yk(α, γ) = Imψj
k(α, γ);
W j
k = W k
j , k, j 6 16N ;
W 8m−8+n
8k−8+j
=
∮
L
[χj
rk
(α, γ)χn
rm(α, γ) + ψj
rk
(α, γ)ψn
rm(α, γ)]ds,
W 8m−8+n
8(N+k−1)+j
=
∮
L
[χj
yk
(α, γ)χn
rm(α, γ) + ψj
yk
(α, γ)ψn
rm(α, γ)]ds,
W
8(N+m−1)+n
8(N+k−1)+j
=
∮
L
[χj
yk
(α, γ)χn
ym(α, γ)+ψj
yk
(α, γ)ψn
ym(α, γ)]ds, j, n=1, 8, k,m=1, N ;
Vl = ReAl, Vl+8N = ImAl, l = 1, 8N ;
A8k−8+j =
∮
L
[χj
k(α, γ)P1(α, γ) + ψj
k(α, γ)P2(α, γ)]ds, j = 1, 8, k = 1, N ;
P 2 =
∮
L
[P1(α, γ)
2 + P2(α, γ)
2]ds.
За означенням, функцiонал (8) є невiд’ємно визначеною квадратичною формою, яка за-
лежить вiд M коефiцiєнтiв. Її мiнiмумом позначимо F (M). Коефiцiєнти xM
k , на яких дося-
гається це мiнiмальне значення, будуть визначати за формулою (3) найкращий наближений
розв’язок ΦM(α, γ). Невiдомi коефiцiєнти xM
k визначимо iз умови мiнiмуму квадратичної
форми (8). Для цього знайдемо частиннi похiднi ∂ΨM/∂xj , j = 1,M , прирiвняємо їх до
нуля i одержимо систему M лiнiйних рiвнянь
M
∑
k=1
xM
k W
j
k = Vj , j = 1,M. (9)
Покажемо, що для мiнiмуму квадратичної форми (8) виконується така лема.
Лема. Функцiя F (M) є невiд’ємною, незростаючою i дорiвнює
F (M) =
∮
L
[P1(α, γ)
2 + P2(α, γ)
2]ds −
M
∑
k=1
xM
k Vk. (10)
Доведення. За означенням, функцiонал (8) є невiд’ємним. Функцiя F (M) є його мiнi-
мальним значенням, отже також буде невiд’ємною. Те, що функцiя F (M) є незростаючою,
доведемо вiд протилежного. Припустимо, що F (M) < F (M+1). Оскiльки функцiонал ΨM+1
включає в себе ΨM як частковий випадок, коли xM+1 = 0, то таке припущення суперечить
визначенню мiнiмальностi F (M+1). Отже, F (M+1) 6 F (M). Пiсля врахування рiвнянь (9)
iз квадратичної форми (8) випливає нерiвнiсть (10).
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
Обчисливши функцiї F (M), можна чисельно перевiрити виконання умови lim
M→∞
F (M) →
→ 0. Покажемо, що числове значення δM =
√
F (M) можна розглядати як мiру вiдхилення
функцiї ΦM(α, γ) вiд точного розв’язку граничної задачi (7).
Теорема 2. Якщо для довiльного ε > 0 iснує M , таке, що F (M) < ε, то границя функ-
цiй φ(x, y) = lim
M→∞
ΦM (α, γ) iснує i буде точним розв’язком задачi (7) у метрицi простору
L2[L], а значення δN характеризуватиме вiдхилення функцiй ΦM(α, γ) вiд цього розв’язку.
Доведення. Для вибраного M побудуємо функцiї F (M), ΦM(α, γ). Для знайдених
функцiй F (M) в границi виконується lim
M→∞
F (M) = 0. Покажемо, що при збiльшеннi M
функцiя ΦM (α, γ) буде задовольняти граничнi умови (7) iз заданою похибкою ε > 0, вiдпо-
вiдно, у метрицi простору L2[L]. Згiдно з умовою теореми, для довiльного ε > 0 iснує M , та-
ке, що F (M) < ε. Для довiльного N1, N1 > M , згiдно з лемою, виконується F (N1) 6 F (M).
Побудуємо функцiю ΦN1
. З виразу функцiоналу (8) для функцiї ΦN1
(α, γ) випливають такi
нерiвностi для похибки задоволення граничних умов (7) на контурi L:
∥
∥
∥
∥
∥
8
∑
j=1
N
∑
k=1
Re[c8k−8+jχ
j
k
(α, γ)] − P1(α, γ)
∥
∥
∥
∥
∥
L2[L]
6 F (N1) < ε,
∥
∥
∥
∥
∥
8
∑
j=1
N
∑
k=1
Re[c8k−8+jψ
j
k
(α, γ)] = P2(α, γ)
∥
∥
∥
∥
∥
L2[L]
6 F (N1) < ε.
(11)
Iз умов (11) i нерiвностi трикутника випливає, що послiдовнiсть функцiй ΦM (α, γ) є фун-
даментальною в L2[L]. Простiр функцiй за нормою L2[L] є повним. Отже, функцiя φ(x, y)
iснує. Iз нерiвностей (11) випливає, що функцiя φ(x, y) точно задовольняє граничнi умо-
ви (7) у нормi L2[L]. Оскiльки функцiя φ(x, y) є сумою бiгармонiчних функцiй, то вона
є розв’язком поставленої задачi у метрицi простору L2[L]. Нерiвностi (11) показують, що
значення F (M) < ε є квадратичною оцiнкою наближення функцiї ΦM до цього розв’яз-
ку. Врахувавши лему й вище наведенi нерiвностi, можна вважати, що значення
√
F (M)
є лiнiйною оцiнкою у метрицi L2[L] вiдхилення функцiї ΦM вiд розв’язку задачi (7).
3. Плоска задача для прямокутної пластини. У цьому випадку область D збiга-
ється з прямокутником Π. Позначимо його вершини A(−a, b), B(−a,−b), C(a,−b), D(a, b).
Сторони мiж A i B; B i C i т. д. позначимо 1, 2, 3, 4. Розглянемо важливий випадок, коли
сторони 2, 4 пластини вiльнi вiд навантажень, а на сторонах 1, 3 заданi симетричнi вiднос-
но змiнної y нормальнi i несиметричнi дотичнi напруження. Функцiя напружень збуреного
стану (3) для цього навантаження набуває вигляду
Φ(α, γ) =
N
∑
k=1
2
∑
j=1
Re{b2[z−2
k cjk exp(vzk((−1)jα− 1))ϕ(zkγ). (12)
Для цiєї задачi вищенаведений виклад приводить до такої системи рiвнянь:
4N
∑
k=1
xkW
1
k,j = Nj, j = 1, 4N, (13)
де явнi вирази коефiцiєнтiв поданi в [7].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 63
Рис. 1. Напруження i деформацiї в пластинi a ≫ b залежно вiд α
4. Числовий аналiз. Числовi розрахунки показали, що запропонований метод дозво-
ляє задовольнити нульовi граничнi умови на сторонах пластини, вiльних вiд навантаження,
з похибкою, меншою нiж 10−16. Квадратична форма (8) вибрана так, що
√
F (N) характери-
зує точнiсть задоволення крайових умов (7). Мiнiмум квадратичної форми прямує до нуля.
Аналiз НДС пластини пiд дiєю прикладеної сили у виглядi локально розпо-
дiленого нормального навантаження. Силу можна моделювати локальним навантаже-
нням, яке описується максимальним значенням, областю локалiзацiї δ i сумарною силою P .
Розглянемо стискальнi навантаження, розподiленi за параболiчним законом
σg1(y) = σmax(γ
2
0 − γ2)/γ2
0 , γ ∈ [−γ0, γ0], σg1(γ) = 0, γ /∈ [−γ0, γ0], (14)
де δ ≡ 2γ0, P = 4hbγ0σmax/3. Щоб зменшити в областi прикладання сили вплив умов
закрiплення пластини, на сторонi 3 прикладемо рiвномiрно розподiленi стискальнi напру-
ження σ0
x = P/2hb i приймемо a = 4b. Щоб навантаження (14) зрiвноважувалися одинич-
ним стискальним напруженням σ0
x, область локалiзацiї сили P = −2hb має дорiвнювати
δ = 3/|σmax|. Збiльшуючи |σmax| i, вiдповiдно, зменшуючи γ0, будемо моделювати зосере-
джену силу. Для заданого навантаження основний НДС нормується умовою σ0
x = −1, а всi
iншi компоненти дорiвнюють нулю [7]. Був проведений аналiз розподiлу напружень i де-
формацiй ey = ∂v/∂y залежно вiд α = x/b. Розглядалася координата γ = 0, де нормальнi
напруження набувають максимальних значень. Напруження σy(α, 0) у випадку a≫ b пря-
мують до значень основного НДС швидше, нiж σx(α, 0). Область локалiзацiї напружень
σy(α, γ) за змiнними α, γ приблизно дорiвнює 4/|σmax|. На рис. 1 наведено розподiл нор-
мальних та дотичних напружень в рiзних перерiзах пластини. У точцi прикладання макси-
мального зовнiшнього нормального навантаження σmax = −40, σx = −40 спостерiгаються
максимальнi перпендикулярнi нормальнi напруження σy = −39,1. Вони швидко спадають
при вiддаленi вiд краю пластини, i на вiдстанi порядку δ вiд краю пластини їх значення
наближається до нуля i в подальшому є додатним. При подальшому збiльшенi максималь-
ного зовнiшнього навантаження |σmax| > 100, δ < 0,03 максимальнi нормальнi напруження
майже рiвнi мiж собою σx(0; 0) ≈ σy(0; 0). Встановлено, що похибки задоволення грани-
чних умов (7) майже лiнiйно залежать вiд значення
√
F (N). Наведемо знайденi мiнiмуми
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
Рис. 2. Розподiл деформацiй i напружень: a/b = 0,1, σmax = −30
квадратичної форми (8) залежно вiд N : F (200) = 6,4 · 10−5; F (600) = 8,5 · 10−7. Чисельно
знайдена поточкова похибка задоволення граничних умов при N = 600 не перевищує 10−2.
На рис. 2 розглянута задача про навантаження пластини двома силами, розподiленими
за законом (14), симетрично прикладеними на сторонах 1, 3. Як бачимо, в серединi пластини
x = bγ = 0 виникає зона додатних напружень σy i деформацiй ey, якi можуть спричинити
руйнування пластини iз крихких матерiалiв.
Таким чином, введення iнтегральної мiри точностi задоволення граничних умов на кон-
турi пластини дозволяє побудувати ефективний алгоритм побудови розв’язку плоскої за-
дачi для криволiнiйної пластини з кутовими точками. Аналiз числових розрахункiв пiд-
твердив: значення
√
F (N) характеризує точнiсть задоволення граничних умов (7); мiнiмум
квадратичної форми (8) прямує до нуля при N → ∞. Встановлено, що напруження σy(x, 0)
змiнюються набагато швидше, нiж σx(x, 0), отже, вже на вiдстанi порядку bδ їх знак пiд
максимальним значенням прикладеної сили мiняється на протилежний. Знайдено, що пiд
прикладеною стискаючою силою на вiдстанi порядку 3bδ/4 виникають максимальнi додатнi
деформацiї Eey(x, 0), якi приблизно дорiвнюють 10% вiд максимального за модулем зна-
чення навантаження, що може викликати руйнування пластини iз крихких матерiалiв.
1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – Москва: На-
ука, 1966. – 707 с.
2. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. – Киев: Наук. думка, 1972. – 501 с.
3. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т. 3.
Равновесие упругих тел канонической формы. – Киев: Наук. думка, 1985. – 280 с.
4. Lоve A. E.H. Biharmonic analysis, especially in rectangle, and its applications to the theory of elasticity //
J. London Math. Soc. – 1928. – No 3. – P. 144–156.
5. Папкович П.Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной по-
лосы // Докл. АН СССР. – 1940. – 27, № 4. – С. 335–339.
6. Gaydon F.A., Shepherd W.M. Generalized Plane Stress in a Semi-Infinite Strip Under Arbitrary End-
Load // Proceedings of the Royal Society of London,. Series A, Math. Phys. Sci. – 1964. – 281, No 1385. –
P. 184–206.
7. Ревенко В.П. Розвиток спектрального методу Штурма–Лiувiлля розв’язування крайової задачi для
бiгармонiчного рiвняння // Нелiнiйнi коливання. – 2003. – 6, № 3. – С. 368–377.
8. Ревенко В.П. Застосування нового аналiтично-числового методу Остроградського до розв’язування
плоскої задачi теорiї пружностi // Доп. НАН України. – 2007. – № 4. – С. 59–65.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 65
9. Revenko V. P. On Certain Analytical-Numerical Method of the Stress State Analysis of an Elastic Rectan-
gular Plate // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, – No 1. – P. 89–97.
10. Шалдырван В.А. Некоторые результаты и проблемы трехмерной теории пластин (обзор) // Прикл.
механика. – 2007. – 43, № 2. – С. 45–69.
11. Григоренко Я.М. Решение задач статики некруговых цилиндрических оболочек в различных поста-
новках на основе нетрадиционных подходов // Прикл. механика. – 2007. – 43, № 1. – С. 45–65.
Надiйшло до редакцiї 16.05.2008Iнститут проблем механiки i математики
iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, Львiв
V.P. Revenko
On the constructive analytically numerical method of solution of
a plane problem for a plate with corner points
A new constructive analytical-numerical spectral method for solving a plane problem for the bounded
region with corner points is proposed. The method is based on the minimization of a quadratic form
being the squared integral of a deviation of a found solution from the boundary conditions. The
convergence of the obtained solution is proved, and the precision of the satisfaction of the boundary
conditions is estimated. The numerical analysis of the distribution of stresses and strains in a plate
is carried out. New qualitative peculiarities of the stress distribution in a plate are determined.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7908 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:43:17Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ревенко, В.П. 2010-04-22T13:28:22Z 2010-04-22T13:28:22Z 2009 Про конструктивний аналітично-числовий метод розв'язування плоскої задачі для пластини з кутовими точками / В.П. Ревенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 59-66. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7908 539.3 Запропоновано новий конструктивний аналiтично-числовий метод розв’язання плоскої задачi в обмеженiй криволiнiйнiй областi з кутовими точками. Метод оснований на мiнiмiзацiї квадратичної форми, яка вiдповiдає iнтегралу квадратичного вiдхилення знайденого розв’язку вiд заданих граничних умов. Доведена теорема про числове визначення збiжностi розв’язку i наведена оцiнка точностi задоволення граничних умов. Проведено числовий аналiз розподiлу напружень i деформацiй у пластинi. Встановленi новi якiснi i кiлькiснi особливостi розподiлу напружень у пластинi. A new constructive analytical-numerical spectral method for solving a plane problem for the bounded region with corner points is proposed. The method is based on the minimization of a quadratic form being the squared integral of a deviation of a found solution from the boundary conditions. The convergence of the obtained solution is proved, and the precision of the satisfaction of the boundary conditions is estimated. The numerical analysis of the distribution of stresses and strains in a plate is carried out. New qualitative peculiarities of the stress distribution in a plate are determined. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Про конструктивний аналітично-числовий метод розв'язування плоскої задачі для пластини з кутовими точками On the constructive analytically numerical method of solution of a plane problem for a plate with corner points Article published earlier |
| spellingShingle | Про конструктивний аналітично-числовий метод розв'язування плоскої задачі для пластини з кутовими точками Ревенко, В.П. Механіка |
| title | Про конструктивний аналітично-числовий метод розв'язування плоскої задачі для пластини з кутовими точками |
| title_alt | On the constructive analytically numerical method of solution of a plane problem for a plate with corner points |
| title_full | Про конструктивний аналітично-числовий метод розв'язування плоскої задачі для пластини з кутовими точками |
| title_fullStr | Про конструктивний аналітично-числовий метод розв'язування плоскої задачі для пластини з кутовими точками |
| title_full_unstemmed | Про конструктивний аналітично-числовий метод розв'язування плоскої задачі для пластини з кутовими точками |
| title_short | Про конструктивний аналітично-числовий метод розв'язування плоскої задачі для пластини з кутовими точками |
| title_sort | про конструктивний аналітично-числовий метод розв'язування плоскої задачі для пластини з кутовими точками |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7908 |
| work_keys_str_mv | AT revenkovp prokonstruktivniianalítičnočisloviimetodrozvâzuvannâploskoízadačídlâplastinizkutovimitočkami AT revenkovp ontheconstructiveanalyticallynumericalmethodofsolutionofaplaneproblemforaplatewithcornerpoints |