Моделирование и управление нестационарными температурными режимами при ограничениях на управление и скорость нагрева
Пропонується пiдхiд до побудови багатоступiнчастого оптимального за швидкодiєю керування нагрiванням тiл. Цей пiдхiд грунтується на побудовi для кожного етапу керування наближених аналiтичних структур розв’язання завдань теплопровiдностi, якi точно задовольняють нестацiонарнi граничнi умови з невизн...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7912 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделирование и управление нестационарными температурными режимами при ограничениях на управление и скорость нагрева / А.П. Слесаренко // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 83-88. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859909517821607936 |
|---|---|
| author | Слесаренко, А.П. |
| author_facet | Слесаренко, А.П. |
| citation_txt | Моделирование и управление нестационарными температурными режимами при ограничениях на управление и скорость нагрева / А.П. Слесаренко // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 83-88. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Пропонується пiдхiд до побудови багатоступiнчастого оптимального за швидкодiєю керування нагрiванням тiл. Цей пiдхiд грунтується на побудовi для кожного етапу керування наближених аналiтичних структур розв’язання завдань теплопровiдностi, якi точно задовольняють нестацiонарнi граничнi умови з невизначеними функцiями керування у виглядi невизначеної на кожному етапi керування температури зовнiшнього середовища. Застосування методу ортогональних проекцiй i системи обмежень на керування дало можливiсть уперше для кожного етапу керування одержати диференцiальнi рiвняння для функцiй керування i на їх основi наближенi аналiтичнi розв’язки, а також простi трансцендентнi або алгебраїчнi рiвняння для визначення моментiв часу переключення та вiдключення керування.
An approach to the construction of the best on processing, multistep control over the heating of a body has been proposed. The approach is based on the construction of approximate analytical structures of solving the heat conduction problems for each controlling stage. The structures precisely meet nonstationary boundary conditions with undefined controlling functions in the form of an ambient temperature undefined for each controlling stage. Using the orthogonal projection method and a system of constraints on the control has given an opportunity to get differential equations for the controlling functions on each controlling stage for the first time. On this basis, the approximate analytical solutions and the simple transcendental or algebraic equations for the moments of switching and deactivating the control have been got.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:01:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2009
ТЕПЛОФIЗИКА
УДК 536.12:539.377
© 2009
А.П. Слесаренко
Моделирование и управление нестационарными
температурными режимами при ограничениях
на управление и скорость нагрева
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Г. Стояном)
Пропонується пiдхiд до побудови багатоступiнчастого оптимального за швидкодiєю ке-
рування нагрiванням тiл. Цей пiдхiд грунтується на побудовi для кожного етапу ке-
рування наближених аналiтичних структур розв’язання завдань теплопровiдностi, якi
точно задовольняють нестацiонарнi граничнi умови з невизначеними функцiями керу-
вання у виглядi невизначеної на кожному етапi керування температури зовнiшнього
середовища.
Застосування методу ортогональних проекцiй i системи обмежень на керування дало
можливiсть уперше для кожного етапу керування одержати диференцiальнi рiвняння
для функцiй керування i на їх основi наближенi аналiтичнi розв’язки, а також простi
трансцендентнi або алгебраїчнi рiвняння для визначення моментiв часу переключення
та вiдключення керування.
Требования экономики, переход на более интенсивные режимы в технологических и про-
изводственных процессах выдвигают необходимость в решении проблемы максимального
сокращения затрат энергии за счет максимального сокращения времени протекания тепло-
вого процесса. Эта проблема сводится к определению температурного режима скоростного
нагревания при выполнении ограничений на управление, градиенты температурного поля,
скорость нагрева и т. д. Так как все эти ограничения являются функциями времени, то при
использовании принципа максимума Л. Г. Понтрягина необходимо решать экстремальную
краевую задачу, которая, при заданных граничных условиях, сопровождается достаточно
сложным процессом поиска недостающих начальных условий [1].
В работах [1–4] представлена классификация задач и методы управления температур-
ными режимами, а также сделан обзор исследований в этой области.
Ниже предлагается приближенный аналитический подход к решению задачи оптималь-
ного управления нагревом тела при заданных ограничениях. Подход базируется на построе-
нии для каждого этапа управления приближенных аналитических структур решения задач
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 83
теплопроводности, содержащих в качестве неопределенных функций температуру внешней
среды и точно удовлетворяющих нестационарным граничным условиям.
Совместное применение метода ортогональных проекций и заданной системы ограни-
чений на управление позволило на каждом этапе управления получить в приближенном
аналитическом подходе дифференциальные уравнения для функций управления и прибли-
женные аналитические решения, а также трансцендентные или алгебраические уравнения
для определения моментов времени переключения и отключения управления.
Рассмотрим задачу оптимального по быстродействию управления нагревом пластины
в следующей постановке:
∂T (x,Fo)
∂Fo
=
∂2T (x,Fo)
∂x2
, (1)
(
∂T (x,Fo)
∂x
+ Bi(Fo)T (x,Fo)
)∣
∣
∣
∣
x=±l
= Bi(Fo)tср(Fo), (2)
T (x, 0) = ψ(x), (3)
∂T (±l,Fo)
∂Fo
6 µt0, (4)
max
x
T (x,Fo∗) = βt0, (5)
max
x
T (x,Fo∗) − min
x
T (x,Fo∗) 6 γt0, x ∈ [−l, l]. (6)
В этом случае требуется найти такую функцию управления 0 6 tср(Fo) 6 U2(Fo), чтобы
при ограничении на максимальную температуру тела (5) за минимальное время Fo∗ нагреть
его, используя механизм конвективного теплообмена от начального состояния (3) в конечное
T (x,Fo∗) с учетом условий (4), (6). При этом на температурный режим в процессе нагрева
наложено ограничение (4).
В задаче (1)–(6) ψ(x), Bi(Fo) — заданные функции; µ, β, γ — заданные коэффициенты
в условиях (4)–(6); t0 — верхний предел допустимого управления.
Задача (1)–(6) в работе [3] решена при l = 1; Bi = 0,5; β = 0,8; µ = 0,175; γ = 0,02;
ψ(x) = 0
U2t
−1
0 =
{
0,5Fo, 0 6 Fo 6 2,
1, Fo > 2
(7)
с помощью традиционного в математической физике аналитического метода решения урав-
нения теплопроводности.
Структуру решения задачи (1)–(6), точно удовлетворяющую нестационарному грани-
чному условию для любого момента времени, построим в виде
T (x,Fo) = tср(Fo) + Φ(x,C0(Fo), . . . , Cn(Fo)) −
− ω(x)
∂ω1
∂x
∂Φ(x,C0(Fo), . . . , Cn(Fo))
∂x
+ ω(x)Bi(Fo)Φ(x,C0(Fo), . . . , Cn(Fo)), (8)
где для данной задачи ω(x) = (1 − x2)/2.
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
Если вместо условия (2) заданы условия
(
∂T (x,Fo)
∂x
− Bi1(Fo)T (x,Fo)
)∣
∣
∣
∣
x=0
= Bi1(Fo)tср1
(Fo);
(
∂T (x,Fo)
∂x
+ Bi2(Fo)T (x,Fo)
)∣
∣
∣
∣
x=a
= Bi2(Fo)tср
2
(Fo),
то структуру решения задачи теплопроводности, точно удовлетворяющую нестационарному
граничному условию третьего рода, построим в виде
T (x,Fo) = [tср
1
(Fo)ω2
2 + tср
2
(Fo)ω2
1 ][ω
2
1 + ω2
2]
−1 + Φ(x,C0(Fo), . . . , Cn(Fo)) −
− ω12D
(12)
1 Φ(x,C0(Fo), . . . , Cn(Fo)) + ω1ω2a
−2[Bi1(Fo)ω2 + Bi2(Fo)ω1] ×
× Φ(x,C0(Fo), . . . , Cn(Fo)),
где D
(12)
1 =
∂
∂x
∂ω12
∂x
+
∂
∂y
∂ω12
∂y
; ω1 = x; ω2 = a − x; ω12 = x(a− x)a−1, tср1
(Fo) и tср2
(Fo) —
функции управления при двухстороннем управлении нагревом пластины.
В первом приближении Φ(x,C0(Fo), . . . , Cn(Fo)) = C0(Fo), тогда структура (8) решения
задачи (1)–(6) для первого интервала во времени на первом этапе управления с учетом
условия (7) будет иметь вид
T1(x,Fo) = tср(Fo) +C
(1)
0 (Fo) +
1 − x2
2
BiC
(1)
0 (Fo) = 0,5Fo + C
(1)
0 (Fo)(1,25 − 0,25x2).
Подставляя функцию T1(x,Fo) в уравнение (1) и применяя метод ортогональных проек-
ций [5], для функции C
(1)
0 (Fo) получим
C
(1)
0 (Fo) = β1 exp
(
−
3
7
Fo
)
− 1.
Тогда для первого этапа управления решение задачи теплопроводности получим в виде
T1(x,Fo) = 0,5Fo + 0,25
[
β1 exp
(
−
3
7
Fo
)
− 1
]
(5 − x2). (9)
Начальное условие (3) точно выполняется при β1 = 1. Для определения момента времени
Fo1 переключения управления, применяя условие (4), получим уравнение
7
3
exp
(
−
3
7
Fo1
)
= 0,325,
из решения которого следует, что Fo1 = 0,645. По данным работы [3], Fo1 = 0,65.
Решение задачи в первом приближении, на втором этапе управления, точно удовлетво-
ряющее условию (2) при неизвестных функциях C
(2)
0 (Fo) и t2ср(Fo), построим в виде
T2(x,Fo) = t2ср(Fo) + 0,25C
(2)
0 (Fo)(5 − x2). (10)
Используя условие (4) для функции (10), получим уравнение
dC
(2)
0
dFo
+ 0,175 = −
dt2ср(Fo)
dFo
. (11)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 85
Применяя метод ортогональных проекций к уравнению (1) для функции (10), найдем
C
(2)
0 (Fo) из решения соответствующего дифференциального уравнения в виде
C
(2)
0 (Fo) = β2 exp(−3Fo) − 0,35.
Для функции t2ср(Fo), применяя условие t1ср(Fo) = t2ср(Fo), получим t2ср(Fo) = β2[0,144 −
− exp(−3Fo)] + 0,175Fo + 0,21, где из условия
1
∫
0
[T2(x,Fo1) − T1(x,Fo1)]dx = 0 (12)
получим β2 = 0,75.
Момент времени Fo2 переключения управления определяется из условия (7). При этом
из уравнения t2ср(Fo2) = 1 получим Fo2 = 3,91. По данным работы [3], Fo2 = 3,86.
Аналитическую структуру решения для третьего интервала во времени на третьем этапе
управления, точно удовлетворяющую условию (2), с учетом условия (7), построим в виде
T3(x,Fo) = 1 + 0,25C
(3)
0 (Fo)(5 − x2). Функцию C
(3)
0 (Fo) находим аналогично, как и для
предыдущих интервалов во времени. Неопределенный коэффициент β3 определяется при
k = 2 из условия
1
∫
0
[T3(x,Fo2)− T2(x,Fo2)]dx = 0. При этом для функции T3(x,Fo) получим
T3(x,Fo) = 1 − 0,4655 exp
(
−
3
7
Fo
)
(5 − x2). (13)
Момент времени переключения управления определяется из условия (5) и приводит к ре-
шению уравнения T3(1,Fo3) = 0,8 при Fo3 = 5,206. По данным работы [3], Fo3 = 5,2.
Аналитическую структуру решения исходной задачи для четвертого интервала во вре-
мени на четвертом этапе управления, точно удовлетворяющую условию (2), построим в виде
T4(x,Fo) = t4ср(Fo) + 0,25C
(4)
0 (Fo)(5 − x2). (14)
Используя условия (4), получим
t4ср(Fo) = 0,8 − C
(4)
0 (Fo);
dt4ср(Fo)
dFo
= −
dC
(4)
0 (Fo)
dFo
.
Применяя метод ортогональных проекций к уравнению (1) для функции (14), получим
dC
(4)
0 (Fo)
dFo
+ 3C
(4)
0 (Fo) = 0,
dt4ср(Fo)
dFo
= 3β4 exp(−3Fo),
t4ср(Fo) = −β4 exp(−3Fo) + 0,8,
T4(x,Fo) = t4ср(Fo) + 0,25β4 exp(−3Fo)(5 − x2).
Из условия равенства температуры в момент времени Fo3 для β4 получим β4 = −0,2 ×
× exp(3Fo3). Время отключения управления определяется из условия (6) и приводит к ре-
шению уравнения 3(Fo3 − Fo∗) = ln 0,4 при Fo∗ = 5,51. По данным работы [3], Fo∗ = 5,6.
86 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
Рис. 1. Четырехступенчатое управление нагревом пластины
Рис. 2. Распределение температуры пластины T
∗(0, Fo) и T
∗(1, Fo) во времени
Четырехступенчатое управление нагревом пластины представлено на рис. 1 t∗ =
= tср(Fo)t−1
0 . На рис. 2 кривые 1 и 2 иллюстрируют распределение температуры пластины
T ∗ = T (1,Fo)/t0 и T ∗ = T (0,Fo)/t0 во времени. Результаты, полученные в работе для че-
тырех интервалов во времени, представлены на рис. 1 и 2 точками.
Предложенный подход позволяет эффективно построить оптимальное по быстродей-
ствию многоступенчатое управление нестационарными тепловыми режимами тел простой
формы, включая сплошные и полые цилиндры и шары при рассмотренных выше ограниче-
ниях. При этом на каждом этапе многоступенчатого управления в явном виде становится
возможным получить дифференциальные уравнения для функций управления и простые
алгебраические и трансцендентные уравнения для определения моментов времени переклю-
чения и отключения управления. Получение результатов решения для функций управления
в задачах оптимального управления нестационарными температурными режимами в виде
компактных аналитических выражений с элементарными функциями представляет опреде-
ленный научно-технический интерес при использовании их в соответствующих электронных
блоках управления температурными режимами.
1. Тимошпольский В.И., Постольник Ю.С., Андрианов Д.Н. Теоретические основы теплофизики и
термомеханики в металлургии. – Минск: Беларус. навука, 2005. – 560 с.
2. Вигак В.М. Управление температурными напряжениями и перемещениями. – Киев: Наук. думка,
1988. – 312 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 87
3. Вигак В.М. Оптимальное управление нестационарными температурными режимами. – Киев: Наук.
думка, 1979. – 359 с.
4. Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Управление нагревом металла. – Москва: Металлур-
гия, 1981. – 439 с.
5. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. – Москва; Ленинград:
Физматгиз, 1962. – 695 с.
Поступило в редакцию 01.08.2008Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
A.P. Slesarenko
The simulation and the control over nonstationary temperature modes
under restrictions on the control and the heating rate
An approach to the construction of the best on processing, multistep control over the heating of
a body has been proposed. The approach is based on the construction of approximate analytical
structures of solving the heat conduction problems for each controlling stage. The structures preci-
sely meet nonstationary boundary conditions with undefined controlling functions in the form of an
ambient temperature undefined for each controlling stage. Using the orthogonal projection method
and a system of constraints on the control has given an opportunity to get differential equations
for the controlling functions on each controlling stage for the first time. On this basis, the approxi-
mate analytical solutions and the simple transcendental or algebraic equations for the moments of
switching and deactivating the control have been got.
88 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7912 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:01:44Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Слесаренко, А.П. 2010-04-22T13:31:53Z 2010-04-22T13:31:53Z 2009 Моделирование и управление нестационарными температурными режимами при ограничениях на управление и скорость нагрева / А.П. Слесаренко // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 83-88. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7912 536.12:539.377 Пропонується пiдхiд до побудови багатоступiнчастого оптимального за швидкодiєю керування нагрiванням тiл. Цей пiдхiд грунтується на побудовi для кожного етапу керування наближених аналiтичних структур розв’язання завдань теплопровiдностi, якi точно задовольняють нестацiонарнi граничнi умови з невизначеними функцiями керування у виглядi невизначеної на кожному етапi керування температури зовнiшнього середовища. Застосування методу ортогональних проекцiй i системи обмежень на керування дало можливiсть уперше для кожного етапу керування одержати диференцiальнi рiвняння для функцiй керування i на їх основi наближенi аналiтичнi розв’язки, а також простi трансцендентнi або алгебраїчнi рiвняння для визначення моментiв часу переключення та вiдключення керування. An approach to the construction of the best on processing, multistep control over the heating of a body has been proposed. The approach is based on the construction of approximate analytical structures of solving the heat conduction problems for each controlling stage. The structures precisely meet nonstationary boundary conditions with undefined controlling functions in the form of an ambient temperature undefined for each controlling stage. Using the orthogonal projection method and a system of constraints on the control has given an opportunity to get differential equations for the controlling functions on each controlling stage for the first time. On this basis, the approximate analytical solutions and the simple transcendental or algebraic equations for the moments of switching and deactivating the control have been got. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Теплофізика Моделирование и управление нестационарными температурными режимами при ограничениях на управление и скорость нагрева The simulation and the control over nonstationary temperature modes under restrictions on the control and the heating rate Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование и управление нестационарными температурными режимами при ограничениях на управление и скорость нагрева Слесаренко, А.П. Теплофізика |
| title | Моделирование и управление нестационарными температурными режимами при ограничениях на управление и скорость нагрева |
| title_alt | The simulation and the control over nonstationary temperature modes under restrictions on the control and the heating rate |
| title_full | Моделирование и управление нестационарными температурными режимами при ограничениях на управление и скорость нагрева |
| title_fullStr | Моделирование и управление нестационарными температурными режимами при ограничениях на управление и скорость нагрева |
| title_full_unstemmed | Моделирование и управление нестационарными температурными режимами при ограничениях на управление и скорость нагрева |
| title_short | Моделирование и управление нестационарными температурными режимами при ограничениях на управление и скорость нагрева |
| title_sort | моделирование и управление нестационарными температурными режимами при ограничениях на управление и скорость нагрева |
| topic | Теплофізика |
| topic_facet | Теплофізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7912 |
| work_keys_str_mv | AT slesarenkoap modelirovanieiupravlenienestacionarnymitemperaturnymirežimamipriograničeniâhnaupravlenieiskorostʹnagreva AT slesarenkoap thesimulationandthecontrolovernonstationarytemperaturemodesunderrestrictionsonthecontrolandtheheatingrate |