Очаг землетрясения как возбудимая среда: оценка простейшей оптимальной модели с точки зрения сопутствующих дифференцируемых отображений
У межах пiдходу до описання осередку землетрусу з позицiй механiки збудливих середовищ дослiджується обмежена у часi функцiя стрибка змiщення як результат схеми оптимального конструювання. Для вiдповiдної “квазiдинамiчної” моделi побудована система нелiнiйних функцiональних рiвнянь вiдносно параметр...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7916 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Очаг землетрясения как возбудимая среда: оценка простейшей оптимальной модели с точки зрения сопутствующих дифференцируемых отображений / А.С. Костинский // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 108-114. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860128032223657984 |
|---|---|
| author | Костинский, А.С. |
| author_facet | Костинский, А.С. |
| citation_txt | Очаг землетрясения как возбудимая среда: оценка простейшей оптимальной модели с точки зрения сопутствующих дифференцируемых отображений / А.С. Костинский // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 108-114. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | У межах пiдходу до описання осередку землетрусу з позицiй механiки збудливих середовищ дослiджується обмежена у часi функцiя стрибка змiщення як результат схеми оптимального конструювання. Для вiдповiдної “квазiдинамiчної” моделi побудована система нелiнiйних функцiональних рiвнянь вiдносно параметрiв. Описується визначуване системою вiдображення “стандартної” двовимiрної областi простору параметрiв, яке характеризує модель.
In the context of the approach to the description of an earthquake focus from the positions of excitable medium mechanics, a bounded-in-time displacement discontinuity function obtained by the author as the outcome of an optimum construction scheme is studied. For a corresponding “quasidynamic” model, a system nonlinear functional equations for parameters is built up. As a characteristic of the model, a system-dependent mapping of the “routine” two-dimensional region in the space of parameters is described.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:43:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 550.34.013
© 2009
А.С. Костинский
Очаг землетрясения как возбудимая среда: оценка
простейшей оптимальной модели с точки зрения
сопутствующих дифференцируемых отображений
(Представлено академиком НАН Украины В. И. Старостенко)
У межах пiдходу до описання осередку землетрусу з позицiй механiки збудливих сере-
довищ дослiджується обмежена у часi функцiя стрибка змiщення як результат схеми
оптимального конструювання. Для вiдповiдної “квазiдинамiчної” моделi побудована сис-
тема нелiнiйних функцiональних рiвнянь вiдносно параметрiв. Описується визначуване
системою вiдображення “стандартної” двовимiрної областi простору параметрiв, яке
характеризує модель.
В пространстве “квазидинамических” моделей очага [1–3] наблюдаемый вектор смещения
описывается как порождаемый скачком смещения на внутренней поверхности Σ:
Ui(~r, t) =
γiγpγqνk
4πρα3
∫∫
Σ
cjkpq
|~ξ − ~r|
∂
∂t
[
Uj
(
~ξ, t −
|~ξ − ~r|
α
)]
dΣ(ξ) +
+
(δip − γiγp)γqνk
4πρβ3
∫∫
Σ
cjkpq
|~ξ − ~r|
∂
∂t
[
Uj
(
~ξ, t −
|~ξ − ~r|
β
)]
dΣ(ξ), (1)
и поскольку размеры площадки малы можно полагать, что
∫∫
Σ
(. . .)
∂
∂t
[U(. . .)]dΣ =
∫∫
Σ
(. . .)
(
∂
∂t
n(t) · |[U(. . .)]| + n(t) ·
∂
∂t
|[U(. . .)]|
)
dΣ,
где единичный вектор направления n(t) и его производная по времени вычисляются в не-
которой средней точке площадки. Следовательно, характеристика системы при этих пред-
положениях есть векторное поле
~Θ(~ξ, t) =
∂
∂t
n(t) · |[U(~ξ, t)]| + n(t) ·
∂
∂t
|[U(~ξ, t)]|, ~ξ ∈ Σ,
для логики традиционного кинематического конструирования это была отправная точка,
а путь определялся уверенностью, что для ~Θ(. . .) можно найти “земной” математический
образ. Отсюда плоскость разрыва, распространяющаяся трещина сдвига и “нефизическое”
решение самоподобной задачи [4]:
∂
∂t
n(t) = 0, n(t) =
−−−→
const(t), (2)
n(t)~Θ ≡ ∆U s(ρ, t) = Kv
√
t2−
(
ρ
v
)2
H
(
t −
ρ
v
)
{1 − H(ρ − ρ0)}, K = const, (3)
108 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
бесконечно возрастающее со временем. Тупик хаотических попыток “усовершенствовать”
зависимость (3) можно преодолеть, если некоторая физическая конструкция, определен-
ная с максимальной степенью абстракции, займет место “бестелесного” скачка смещения
на разрыве. Требуется, в общем, только способность тонкого слоя вещества генерировать
и распространять возбуждение, т. е. состояние, дополнительное по отношению к основному
состоянию. Это взгляд на явление как на эволюцию возбудимой среды [5], и, согласившись
столь радикально изменить язык описания процесса в очаге, мы получаем дополнитель-
ные “степени свободы” конструирования, позволяющие оптимальным образом перейти от
зависимости (3) к решению, физически более приемлемому, ограниченному во времени [6]:
n(t)~Θ ≡ ∆Ug(ρ, t) = KvTc arccos
ch
(
ρ
vTc
)
ch
(
t
Tc
)
H
(
t −
ρ
v
)
{1 − H(ρ − ρ0)},
K = const.
(4)
Как можно оценить очаговую модель? Сформулируем цель как задачу расчета (“восстанов-
ления”) параметров модели по данным на одной или группе станций. Это “координатное
представление” модели, когда на первый план выходит дискретный набор ее параметров
(“координат” в пространстве всевозможных способов описания). Оговоримся сразу, что бу-
дут рассматриваться только последовательно математические алгоритмы расчета, в основе
которых — система уравнений относительно параметров. Чтобы замкнуть систему, необхо-
дим набор “наблюдаемых”, в данном случае это должны быть вещественные числа, скон-
струированные по сейсмограмме. Возможны разные “рецепты” функционалов “наблюдае-
мых”, один из них был предложен автором в работе [7], он очень прост и состоит в сле-
дующем:
Пусть для некоторой модели очага получено смещение в точке наблюдения как функция
времени, зависящая от k параметров модели ξ1, ξ2, . . . , ξk. Пусть существуют и сходятся
некоторые из интегралов по времени от этой функции с весовыми множителями f(t) = tn,
n = 0, 1, 2, . . ., взятые по всей области определения (конечной или бесконечной). Не будем
предполагать, что сходятся все такие интегралы; требуется только, чтобы число сходящих-
ся интегралов достигло k. Если удается вычислить в аналитическом виде k интегралов по
времени от функции смещения (не обязательно соответствующих последовательным значе-
ниям n = 0, 1, 2, . . .), мы получаем k функций:
us = us(ξ1, ξ2, . . . , ξk), s = 1, . . . , k, (5)
каждая из которых зависит от k параметров модели. Для каждого набора числовых зна-
чений параметров интегралы — конкретные числа, поэтому искомая система получается,
если заменить левые части функций (5) на текущие значения “наблюдаемых” ζ1, ζ2, . . ., ζk.
Приравнивая значения, получаем систему уравнений
ζs = us(ξ1, ξ2, . . . , ξk), s = 1, . . . , k, (6)
из которой в принципе можно найти числовые значения параметров ξ1, ξ2, . . . , ξk, соот-
ветствующих данному сейсмическому событию (очагу) и выбранной модели. Свойства сис-
темы (6) и порождаемого ею отображения множества параметров во множество “наблюда-
емых”, в сущности, не имеют отношения к эксперименту и могут служить характеристикой
модели [8].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 109
Как эта общая схема будет выглядеть в данном конкретном случае? Подставим выра-
жение (4) в формулу (1). Принимая предположения (2), получим, что форма импульса
смещения в дальней зоне однородной изотропной среды описывается интегралом
Ωc(~rS , t) = 2Kvρ2
0
Tc
τ
∂
∂
(
t′
τ
)
∫∫
C+
dxdy arccos
ch
τ
Tc
r
ch
τ
Tc
(
t′
τ
+ xγ
)
H
(
t′
τ
+ xγ − r
)
≡
≡ 2Kvρ2
0Λc(~rS , t), (7)
где x, y — безразмерные декартовы координаты; r2 = x2+y2, C+ есть область, ограниченная
верхней единичной полуокружностью и осью Ox. Разрыв зарождается в точке, соответству-
ющей ~r0, t′ = t−τ0, τ0 = |~rS − ~r0|/c — время запаздывания системы; ρ0 — радиус площадки,
τ = ρ0/v, γ = v/c sin ϑ. Угол ϑ образован нормалью к площадке и направлением из центра
площадки на точку наблюдения ~rS.
Из формулы (7) следует, что смещение в точке наблюдения (как для P-, так и для
S-волн) может быть представлено в виде
M · Λc(~rS , t), M = const(t),
интегралы от смещения по времени с весовым множителем (t′)n есть
sn(M,Tc, τ, γ) = Mτn+1
∞
∫
0
(
t′
τ
)n
Λc(~rS , t)d
(
t′
τ
)
, (8)
∂
∂
(
t′
τ
)
∫∫
C+
dxdy arccos
ch
τ
Tc
r
ch
τ
Tc
(
t′
τ
+ xγ
)
· H
(
t′
τ
+ xγ − r
)
=
=
π
2
∫∫
C+
dxdy δ
(
t′
τ
+ xγ − r
)
−
∂
∂
(
t′
τ
)
∫∫
C+
dxdy arcsin(. . .) · H
(
t′
τ
+ xγ − r
)
,
s0(M,Tc, τ, γ) =
(
π
2
)2
MTc,
s1(M,Tc, τ, γ) =
(
π
2
)2
MTcτ · 2
{
1
3
+ P0
(
Tc
τ
)}
,
s2(M,Tc, τ, γ) =
(
π
2
)2
MTcτ
2 ·
{
1
2
(
1 +
1
2
γ2
)
+ 4P1
(
Tc
τ
)}
,
s3(M,Tc, τ, γ) =
(
π
2
)2
MTcτ
3 ·
{
2
5
+ 6P2
(
Tc
τ
)
+ 3γ2
(
1
5
+ Q
(
Tc
τ
))}
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
110 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
Pj(x) ≡
2
π
x3+j
1/x
∫
0
rdr
∞
∫
r
tj arcsin
(
chr
cht
)
dt, j = 0, 1, 2, . . .,
Q(x) ≡
2
π
x5
1/x
∫
0
r3dr
∞
∫
r
arcsin
(
chr
cht
)
dt,
и, достаточно оборвать процесс на функции s3, чтобы образовать простейшую замкнутую
систему относительно параметров ξ1 = Tc/τ , ξ2 = γ, ξ3 = τ .
Аналитические выражения интегралов обозначены буквой s, чтобы подчеркнуть, что
любой из них может соответствовать любой из упомянутых выше функций u.
Пусть численные значения интегралов (8), измеренные по записи, равны σn (упомянутое
выше множество ζ1, ζ2, . . ., ζk образовано из элементов последовательности σ0, σ1, σ2, . . .).
Удобно с самого начала исключить M , записав
σn
σ0
=
sn(M,Tc, τ, γ)
s0(M,Tc, τ, γ)
, n = 1, 2, 3,
а затем, поскольку “трехмерный” якобиан
J (3) =
D
(
σ1
σ0
,
σ2
σ0
,
σ3
σ0
)
D(ξ1, ξ2, ξ3)
пропорционален якобиану “двумерному”
J (2) =
D(η1, η2)
D(ξ1, ξ2)
, η1 =
σ2σ0
σ2
1
, η2 =
σ3σ
2
0
σ3
1
,
J (3) = 64τ5
(
1
3
+ P0
)6
J (2),
и нулевые линии их совпадают, исследовать отображение
ξ1, ξ2 → η1, η2, (9)
η1 =
1
4
1
2
(
1 +
1
2
ξ2
2
)
+ 4P1(ξ1)
{
1
3
+ P0(ξ1)
}2 ,
η2 =
1
8
2
5
+ 6P2(ξ1) + 3ξ2
2
(
1
5
+ Q(ξ1)
)
{
1
3
+ P0(ξ1)
}3 ,
соответствующее исключенному τ . Сразу можно показать с помощью простых вычисле-
ний, что якобианы J (2) и J (3) обращаются в нуль на оси γ = 0 и на кривой, задаваемой
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 111
Рис. 1. Графики функций: 1 — P0(x); 2 — P1(x); 3 — P2(x); 4 — Q(x)
уравнением (′ (штрих) означает производную по аргументу)
γ2 = Φ
(
Tc
τ
)
,
Φ ≡
4
(
1
5
+ Q
){
P ′
0(1 + 8P1) − 4P ′
1
(
1
3
+ P0
)}
− 2P ′
0
(
1
5
+ 3P2
)
+ 2P ′
2
(
1
3
+ P0
)
P ′
0
(
1
5
+ Q
)
−
(
1
3
+ P0
)
Q′
.
(10)
Функции P0, P1, P2, Q монотонно возрастают (рис. 1). Числитель и знаменатель правой
части выражения (9) малы, но положительны при нулевом значении аргумента: числитель
возрастает, пройдя через положительный минимум, знаменатель монотонно убывает, оста-
ваясь положительным при любых “разумных” значениях аргумента. Кривая особенности
отображения Γ0 : γ =
√
Φ(Tc/τ), следовательно, существует в положительном квадранте,
ее начальная ордината равна
√
2/3 < 1 (рис. 2).
Характеристические времена τ и Tc, по определению, — независимые параметры, все
значения 0 < τ < ∞ и 0 < Tc < ∞ считаются допустимыми. Основная область значений
параметра γ по-прежнему есть интервал (0, 1), хотя отказ от трактовки модели (4) как
процесса, родственного сдвиговому разрыву, лишает надежды оценить сверху отношение
v/c, 0 < v/c < ∞. Разумно в качестве “стандартной” области Sξ принять прямоугольник
ABCD не слишком больших размеров
Sξ : 0 6 ξ1 6
(
Tc
τ
)
max
, 0 6 ξ2 6 γmax,
его образ на плоскости декартовых координат η1, η2 конструируется как наложение обра-
зов подобластей ABCQP и PQD (рис. 3, а). Кривая нулевого якобиана Γ0 отсекает часть
ABCD, сильная вытянутость криволинейного треугольника P ′Q′D′ мешает рассмотреть
детали. Если перейти к новой системе координат η′1, η′2, связанной с η1, η2 преобразова-
нием переноса и поворота, то геометрия образа искажается, но граф отрезков пересечения
кривых и взаимная конфигурация областей сохраняются, и становится хорошо видимой
112 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
Рис. 2. Линия нулевого якобиана отображения (9): а — числитель и знаменатель функции Φ; б — кривая Γ0
Рис. 3. “Карта отображений” модели (4): а — “стандартная” область Sξ (на врезке); б — затенена область
“двойного листа”.
Соответствие точек устанавливается с помощью тех же букв, но со штрихом; перекрестие означает начало
новой системы координат η
′
1, η
′
2
область “двойного листа” (см. рис. 3, б ). Особенностей отображения не существует вообще,
а параметры Tc/τ , γ восстанавливаются единственным образом для γmax <
√
2/3 и ка-
ких угодно (Tc/τ)max. Модель (4), обнаруживающая такую возможность, работоспособна
на большей части диапазона практически интересных значений параметров и может быть
названа “хорошей” моделью.
1. Molnar P., Tucker B.E., Brune J. N. Corner frequencies of P- and S-waves and models of earthquake
sources // Bull. Seism. Soc. Amer. – 1973. – 63. – P. 2091. – 2104.
2. Sato T., Hirasawa T. Body wave spectra from propagating shear crack // J. Phys. Earth. – 1973. – 21. –
P. 415–431.
3. Dahlen F.A. On the ratio of P-wave to S-wave corner frequences for shallow earthquake sources // Bull.
Seism. Soc. Amer. – 1974. – 64. – P. 1159–1180.
4. Burridge R., Willis J. The self-similar problem of the expanding elliptical crack in an anisotropic solid //
Proc. Cambr. Philosoph. Soc. – 1969. – 66. – P. 443–468.
5. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. – Москва: На-
ука, 1984. – 304 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №2 113
6. Костинский А.С. Очаг землетрясения как возбудимая среда: простейший пример оптимального кон-
струирования // Доп. НАН України. – 2002. – № 12. – С. 87–94.
7. Kostinsky A. S. A calculation of kinematic model parameters for a focus from integral characteristics of a
spectrum of body waves // Там само. – 1995. – No 5. – С. 88–90.
8. Костинский А.С. “Карты отображений” очаговой модели как элемент автоматизированной системы
обработки сейсмических записей // Там само. – 2003. – № 2. – С. 110–118.
Поступило в редакцию 04.10.2007Отдел сейсмологии Института геофизики
им. С.И. Субботина НАН Украины, Симферополь
A. S. Kostinsky
The earthquake focus as an excitable medium: the estimation of the
simplest optimum model from the viewpoint of associated differentiable
mappings
In the context of the approach to the description of an earthquake focus from the positions of
excitable medium mechanics, a bounded-in-time displacement discontinuity function obtained by
the author as the outcome of an optimum construction scheme is studied. For a corresponding
“quasidynamic” model, a system nonlinear functional equations for parameters is built up. As a
characteristic of the model, a system-dependent mapping of the “routine” two-dimensional region
in the space of parameters is described.
114 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7916 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:43:03Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Костинский, А.С. 2010-04-22T13:34:05Z 2010-04-22T13:34:05Z 2009 Очаг землетрясения как возбудимая среда: оценка простейшей оптимальной модели с точки зрения сопутствующих дифференцируемых отображений / А.С. Костинский // Доп. НАН України. — 2009. — № 2. — С. 108-114. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7916 550.34.013 У межах пiдходу до описання осередку землетрусу з позицiй механiки збудливих середовищ дослiджується обмежена у часi функцiя стрибка змiщення як результат схеми оптимального конструювання. Для вiдповiдної “квазiдинамiчної” моделi побудована система нелiнiйних функцiональних рiвнянь вiдносно параметрiв. Описується визначуване системою вiдображення “стандартної” двовимiрної областi простору параметрiв, яке характеризує модель. In the context of the approach to the description of an earthquake focus from the positions of excitable medium mechanics, a bounded-in-time displacement discontinuity function obtained by the author as the outcome of an optimum construction scheme is studied. For a corresponding “quasidynamic” model, a system nonlinear functional equations for parameters is built up. As a characteristic of the model, a system-dependent mapping of the “routine” two-dimensional region in the space of parameters is described. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Науки про Землю Очаг землетрясения как возбудимая среда: оценка простейшей оптимальной модели с точки зрения сопутствующих дифференцируемых отображений The earthquake focus as an excitable medium: the estimation of the simplest optimum model from the viewpoint of associated differentiable mappings Article published earlier |
| spellingShingle | Очаг землетрясения как возбудимая среда: оценка простейшей оптимальной модели с точки зрения сопутствующих дифференцируемых отображений Костинский, А.С. Науки про Землю |
| title | Очаг землетрясения как возбудимая среда: оценка простейшей оптимальной модели с точки зрения сопутствующих дифференцируемых отображений |
| title_alt | The earthquake focus as an excitable medium: the estimation of the simplest optimum model from the viewpoint of associated differentiable mappings |
| title_full | Очаг землетрясения как возбудимая среда: оценка простейшей оптимальной модели с точки зрения сопутствующих дифференцируемых отображений |
| title_fullStr | Очаг землетрясения как возбудимая среда: оценка простейшей оптимальной модели с точки зрения сопутствующих дифференцируемых отображений |
| title_full_unstemmed | Очаг землетрясения как возбудимая среда: оценка простейшей оптимальной модели с точки зрения сопутствующих дифференцируемых отображений |
| title_short | Очаг землетрясения как возбудимая среда: оценка простейшей оптимальной модели с точки зрения сопутствующих дифференцируемых отображений |
| title_sort | очаг землетрясения как возбудимая среда: оценка простейшей оптимальной модели с точки зрения сопутствующих дифференцируемых отображений |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7916 |
| work_keys_str_mv | AT kostinskiias očagzemletrâseniâkakvozbudimaâsredaocenkaprosteišeioptimalʹnoimodelistočkizreniâsoputstvuûŝihdifferenciruemyhotobraženii AT kostinskiias theearthquakefocusasanexcitablemediumtheestimationofthesimplestoptimummodelfromtheviewpointofassociateddifferentiablemappings |