Применение конформного отображения для моделирования плоских полей, создаваемых гладкими полюсами
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Вопросы атомной науки и техники |
|---|---|
| Datum: | 1999 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
1999
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79592 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Применение конформного отображения для моделирования плоских полей, создаваемых гладкими полюсами / А.О. Мыцыков // Вопросы атомной науки и техники. — 1999. — № 1. — С. 102-103. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859634881086095360 |
|---|---|
| author | Мыцыков, А.О. |
| author_facet | Мыцыков, А.О. |
| citation_txt | Применение конформного отображения для моделирования плоских полей, создаваемых гладкими полюсами / А.О. Мыцыков // Вопросы атомной науки и техники. — 1999. — № 1. — С. 102-103. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Вопросы атомной науки и техники |
| first_indexed | 2025-12-07T13:14:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 621.384
Применение конформного отображения для моделирования плоских
полей, создаваемых гладкими полюсами
А.О.Мыцыков
ИФВЭЯФ ННЦ ХФТИ, г. Харьков
ВВЕДЕНИЕ
Обычным способом достижения требуемых
параметров современных установок [1,2] стало
применение магнитов со сложным мультипольным
составом. Необходимость моделирования таких
сложных полей (обусловленная требуемыми
допустимыми отклонениями ~10-4) порождает
желание иметь выражение, связывающее поле с
геометрическими характеристиками магнита, а имен-
но с формой полюса. Ибо даже насыщение железа мо-
жет быть скомпенсировано геометрическими пред-
ыскажениями профиля полюса [3].
Как известно, поле можно выразить как через ко-
мплексный z(ω)–потенциал, так и через обратную ко-
мплексному потенциалу функцию ω(z) (ω(z)–отобра-
жение полосы 0<Im(z)<H на полюс [4]):
( ) ( ) 1−−=−= dzdiddziB ωω . (1)
Получению отображения "полоса-полюс" и
посвящено дальнейшее изложение.
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПОЛОСЫ В
ПОЛОСУ
Пусть в каждой точке t берегов полосы известен
угол наклона v=v(t) касательной к L в точке ω, со-
ответствующей t (рис.1).
Рис. 1. Отображение полосы 0<Im(z)<H на полосу с
произвольными границами с промежуточным
отображением на полуплоскость и без такового.
Пусть также dz=dt и dω=|dω|exp[iv(t)] элементы
берега полосы и контура L, соответствующие друг
другу при рассматриваемом конформном отображе-
нии, тогда
( )[ ] dtdtivdzd ωω exp= .
(2)
Заметим, что
[ ] ( ) [ ] ( )zgdtditvdzdi =−=− ωω lnln , (3)
где g(z) функция, реальная часть которой на берегах
полосы принимает значения ν(t). Очевидно, что
искомое отображение имеет вид:
( ) ( )[ ] 0
0
exp CdzzigCz
z
z
+= ∫ω , ( 4)
где C,C0 константы интегрирования.
Положим, что ω(0)=0, и, значит, C0=0. Для ω(z)
важно соотношение реальной и мнимой частей.
Поэтому положим C=1. Функция g(z) в силу
вышеуказанного свойства (3) восстанавливается ин-
тегралом Шварца для полосы. Для отображения круга
на произвольную односвязную область формула вида
(4) известна как формула Чизотти [4].
Интеграл Шварца для полосы
Интеграл Шварца для круга |ζ|<1 имеет вид
( ) ( )( ) ( )
( )∫
−
−
+=
π
π
τ
ζτ
ζττ
π
ζ d
i
iiVG
exp
expexp
2
1
, (5)
где τ угловая координата плоскости ζ, содержащей
круг |ζ|<1. Рассмотрим конформное отображение по-
лосы 0<Im(z)<H плоскости z=t+ih на круг |ζ|<1
плоскости ζ=r⋅ exp(iτ),
( ) ( )( )HiHzz 42th −= πζ , (6)
переводящее нижний и верхний берега полосы в ни-
жнюю и верхнюю полуокружности соответственно, и
обозначим G[ζ(z)]=g(z), V[exp(iτ)]=v(t). Выделив два
интервала интегрирования τ∈[-π,0] ⇒ t∈[-∞,∞]; τ∈[0, π]
⇒ t∈[∞,-∞] и произведя замену переменных, получим
( ) ( ) ( ) +
−−−= ∫
∞
∞−
dt
H
t
H
zttv
H
izg ππ th
2
cth
2 0
( ) ( )
−−∫
∞
∞−
dt
H
t
H
ztttvH
ππ th
2
h . (7)
Первый интеграл отвечает за степени симметрии,
второй за форму полюса. Сохранение под ин-
тегралом слагаемого th(πt/H) (в [4] оно занесено в
константы интегрирования) позволяет, подставив (7)
в (4), получить аналитическое выражение для отобра-
жения "полоса-полоса". Формулы (4,7) позволяют
102
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. СЕРИЯ: ЯДЕРНО−ФИЗИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ.
1999, № 1(33).
описать практически все "геометрии Хальбаха'' [5].
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ В ОПИСАНИИ
МНОГОПОЛЮСНИКОВ С ГЛАДКИМИ
ГРАНИЦАМИ
Функцию, описывающую поведение угла наклона
профиля полюса vH(t), определим как
( )
[ ]
( ) [ ]
[ ]
∞∈=
−=∈
∞−∈=
=
∞−
+
∞−
;,,
;11,,,
;,,
1
1
1
atUconst
Mjaattq
atUconst
tv jjjH (8)
M - число точек на верхнем берегу полосы, между
которыми vH(t) непрерывна. В случае мультипольной
симметрии v0(t) определяется как
( )
∞∈=
− ∞∈=
=
],0[,0
]0,[,
0 tconst
tUconst
tv mult . (9)
Для квадрупольной симметрии Umult=-π/2; для
секступольной Umult=-π2/3; и т.д. Подставляя эти
выражения в (4,7) и приняв для лаконичности
( ) ( )( ) ( )[ ] 5.0ch2ch, −⋅−= HtHztztP ππ ,
получим отображение полосы 0<Im(z)<H на полосу
области w (см. рис.1):
( ) ( )
( )[ ] ( )
( )[ ]∏ ∫∏
∫
−
=
=
∆
+
∞−+∞−−=
+
∞∞−
1
1
,ln1exp
1
,1
2
exp2/2
1
0
M
j
a
a
dtztP
dt
tjdqM
j
U
zjaP
z
z
H
UU
zUUz
j
j
j
ππ
πω
( )[ ][ ] dzHz multU
−−
π
π
/
2/exp1 . (10)
Здесь ∆Uj=qj(aj)-qj-1(aj) – угол излома в aj-й
вершине. В случае если vH(t) постоянна на каждом из
интервалов [aj,aj+1], и, следовательно, dqj(t)/dt = 0,
полученное отображение с точностью до констант
интегрирования совпадает с результатом, который
получается с помощью интеграла Кристоффеля-
Шварца.
ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ УЧАСТКОВ ПРОФИЛЯ
ПОЛЮСА НА ПОЛЕ
Формально (10) можно представить как произведе-
ние сомножителей, каждый из которых отвечает за
вклад в поле от определенного участка профиля по-
люса. Тогда каждый из сомножителей можно рас-
сматривать как функцию, порождающую свое кон-
формное отображение, переводящее прямолинейную
полосу в полосу с выброшенной луночкой (для сере-
динных частей профиля) или в полосу с отогнутым
краем (для граничных участков профиля).
Действительно, интеграл Шварца для таких полос
совпадает с множителем, отвечающим за тот или
иной участок профиля полюса. Значит–поле, в
координатах плоскости, содержащей
прямолинейную полосу, равно произведению полей от
элементарных конформных отображений,
определяемых параметрами участков исходного
профиля .
Рис. 2 иллюстрирует вклад участков профиля
полюса диполя. Профиль образуется заданием угла
наклона образующей полюса между 6-ю точками.
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
2
A6
A5A4A3
A2
A1Y
X
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
0.0
0.5
1.0
1.5
X
b
-4 -2 0 2 4
1.0
1.5
2.0
h.)
g.)
f.)
e.)
d.)
c.)
b.)
a.)
A1
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6
0.0
0.5
1.0
-4 -2 0 2 4
1.0
1.5
2.0
A6
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0.0
0.5
1.0
-4 -2 0 2 4
1.00
1.25
A2
A1
-6 -4 -2 0 2 4 6
0.8
0.9
1.0
-4 -2 0 2 4
0.9
1.0
A3
A2
-4 -2 0 2 4 6
1.0
1.1
1.2
-4 -2 0 2 4
0.9
1.0
1.1
A4
A3
-4 -2 0 2 4 6
0.9
1.0
1.1
-4 -2 0 2 4
0.9
1.0
A5
A4
-4 -2 0 2 4 6
1.0
1.1
-4 -2 0 2 4
1.00
1.25 A6
A5
-4 -2 0 2 4 6
0.7
0.8
0.9
1.0
Рис. 2. Влияние участков профиля полюса на поле.
Слева участки профиля полюса. Справа поля,
соответствующие этим участкам профиля полюса
Возможность учесть влияние отдельных участков
профиля полюса открывает дорогу к эффективному
решению задачи реконструкции полюса по требу-
емому полю.
Литература
1. E.V.Bulyak et. al. IEEE Transactions on Magnetics,
Vol.30, No.4, July 1994, p.2643−2645.
2. M.Barthes-Corlier, at al J.P. IEEE Transactions on
Magnetics, Vol.30, NO.4, July 1994, p.2451−
2454.
3. E.Bulyak, I.Karnaukhov and A.Mytsykov, IEEE
Transaction on magnetics, Vol.30, NO.4, July
1994 p.2689−2691.
4. М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат. Методы теории
функции компл. переменного М.:Наука, 1973
.
5. The Art and Science of Magnet Design. Selected
Notes of Klaus Halbach LBL, 1995, vol.2.
Статья поступила: в редакцию 25 мая 1998 г.,
в издательство 1 июня 1998 г.
103
ВВЕДЕНИЕ
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПОЛОСЫ В ПОЛОСУ
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ В ОПИСАНИИ МНОГОПОЛЮСНИКОВ С ГЛАДКИМИ ГРАНИЦАМИ
ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ УЧАСТКОВ ПРОФИЛЯ ПОЛЮСА НА ПОЛЕ
Литература
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-79592 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-6016 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:14:55Z |
| publishDate | 1999 |
| publisher | Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мыцыков, А.О. 2015-04-03T14:06:52Z 2015-04-03T14:06:52Z 1999 Применение конформного отображения для моделирования плоских полей, создаваемых гладкими полюсами / А.О. Мыцыков // Вопросы атомной науки и техники. — 1999. — № 1. — С. 102-103. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1562-6016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79592 621.384 ru Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Вопросы атомной науки и техники Техника ускорения электронов Применение конформного отображения для моделирования плоских полей, создаваемых гладкими полюсами Article published earlier |
| spellingShingle | Применение конформного отображения для моделирования плоских полей, создаваемых гладкими полюсами Мыцыков, А.О. Техника ускорения электронов |
| title | Применение конформного отображения для моделирования плоских полей, создаваемых гладкими полюсами |
| title_full | Применение конформного отображения для моделирования плоских полей, создаваемых гладкими полюсами |
| title_fullStr | Применение конформного отображения для моделирования плоских полей, создаваемых гладкими полюсами |
| title_full_unstemmed | Применение конформного отображения для моделирования плоских полей, создаваемых гладкими полюсами |
| title_short | Применение конформного отображения для моделирования плоских полей, создаваемых гладкими полюсами |
| title_sort | применение конформного отображения для моделирования плоских полей, создаваемых гладкими полюсами |
| topic | Техника ускорения электронов |
| topic_facet | Техника ускорения электронов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79592 |
| work_keys_str_mv | AT mycykovao primeneniekonformnogootobraženiâdlâmodelirovaniâploskihpoleisozdavaemyhgladkimipolûsami |