Нормальные волны в прямоугольном упругом волноводе
На основе аналитический метода суперпозиции решена задача о распространении нормальных волн в прямоугольном упругом волноводе. Разработаны алгоритмы расчета дисперсионных кривых и полей смещений для каждого типа нормальных мод. Для волновода квадратного сечения проанализированы дисперсионные соотнош...
Saved in:
| Published in: | Акустичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79748 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нормальные волны в прямоугольном упругом волноводе / А.А. Бондаренко // Акустичний вісник — 2007. —Т. 10, № 4. — С. 12-27. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859794370038857728 |
|---|---|
| author | Бондаренко, А.А. |
| author_facet | Бондаренко, А.А. |
| citation_txt | Нормальные волны в прямоугольном упругом волноводе / А.А. Бондаренко // Акустичний вісник — 2007. —Т. 10, № 4. — С. 12-27. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Акустичний вісник |
| description | На основе аналитический метода суперпозиции решена задача о распространении нормальных волн в прямоугольном упругом волноводе. Разработаны алгоритмы расчета дисперсионных кривых и полей смещений для каждого типа нормальных мод. Для волновода квадратного сечения проанализированы дисперсионные соотношения. Приведены результаты для действительных, мнимых и комплексных значений постоянной распространения. Для пяти типов мод квадратного волновода систематизированы данные о частотах запирания. Найдены предельные величины фазовых и групповых скоростей. Изучены зависимости кинематических характеристик основных распространяющихся волн от частоты и коэффициента Пуассона. Детально рассмотрены особенности поведения неоднородных волн, отвечающих чисто мнимым и комплексным корням дисперсионных уравнений.
На базі аналітичного методу суперпозиції розв'язано задачу про поширення нормальних хвиль у прямокутному пружному хвилеводі. Розроблені алгоритми розрахунків дисперсійних кривих і полів зміщень для кожного типу нормальних хвиль. Для хвилеводу квадратного перерізу проаналізовано дисперсійні співвідношення. Наведені результати для дійсних, уявних і комплексних значень сталої поширення. Для п'яти типів мод квадратного хвилеводу систематизовані дані про частоти відсікання. Визначені граничні величини фазових і групових швидкостей. Вивчені залежності кінематичних характеристик основних хвиль, які поширюються, від частоти й коефіцієнта Пуассона. Детально розглянуті особливості поведінки неоднорідних хвиль, які відповідають уявним і комплексним кореням дисперсійних рівнянь.
The problem on normal wave propagation in a rectangular elastic waveguide is solved on the basis of an analytical method of superposition. Algorithms are developed for calculation of the dispersion curves and displacement fields for each type of normal waves. For a waveguide with square cross section, the dispersion relations are analyzed. The results for real, imaginary, and complex values of propagation constant are presented. The data on cutoff frequencies are systematized for five types of modes of the square waveguide. Limiting values of phase and group velocities are determined. Dependencies of displacement distribution for fundamental propagating waves versus frequency and Poisson's ratio are studied. Special features of non-propagating waves, that correspond to pure imaginary and complex roots of the dispersion equations, are investigated in detail.
|
| first_indexed | 2025-12-02T12:45:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 4. С. 12 – 27
УДК 539.3
НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ УПРУГОМ ВОЛНОВОДЕ
А. А. Б ОН Д А РЕ Н К О
Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко
Получено 24.12.2007
На основе аналитический метода суперпозиции решена задача о распространении нормальных волн в прямоуголь-
ном упругом волноводе. Разработаны алгоритмы расчета дисперсионных кривых и полей смещений для каждого
типа нормальных мод. Для волновода квадратного сечения проанализированы дисперсионные соотношения. При-
ведены результаты для действительных, мнимых и комплексных значений постоянной распространения. Для пяти
типов мод квадратного волновода систематизированы данные о частотах запирания. Найдены предельные величины
фазовых и групповых скоростей. Изучены зависимости кинематических характеристик основных распространяю-
щихся волн от частоты и коэффициента Пуассона. Детально рассмотрены особенности поведения неоднородных
волн, отвечающих чисто мнимым и комплексным корням дисперсионных уравнений.
На базi аналiтичного методу суперпозицiї розв’язано задачу про поширення нормальних хвиль у прямокутному
пружному хвилеводi. Розробленi алгоритми розрахункiв дисперсiйних кривих i полiв змiщень для кожного типу
нормальних хвиль. Для хвилеводу квадратного перерiзу проаналiзовано дисперсiйнi спiввiдношення. Наведенi ре-
зультати для дiйсних, уявних i комплексних значень сталої поширення. Для п’яти типiв мод квадратного хвилеводу
систематизованi данi про частоти вiдсiкання. Визначенi граничнi величини фазових i групових швидкостей. Вивче-
нi залежностi кiнематичних характеристик основних хвиль, якi поширюються, вiд частоти й коефiцiєнта Пуассона.
Детально розглянутi особливостi поведiнки неоднорiдних хвиль, якi вiдповiдають уявним i комплексним кореням
дисперсiйних рiвнянь.
The problem on normal wave propagation in a rectangular elastic waveguide is solved on the basis of an analytical method
of superposition. Algorithms are developed for calculation of the dispersion curves and displacement fields for each type
of normal waves. For a waveguide with square cross section, the dispersion relations are analyzed. The results for real,
imaginary, and complex values of propagation constant are presented. The data on cutoff frequencies are systematized for
five types of modes of the square waveguide. Limiting values of phase and group velocities are determined. Dependencies
of displacement distribution for fundamental propagating waves versus frequency and Poisson’s ratio are studied. Special
features of non-propagating waves, that correspond to pure imaginary and complex roots of the dispersion equations, are
investigated in detail.
ВВЕДЕНИЕ
Исследование закономерностей распростране-
ния волн в упругих стержнях различной конфи-
гурации послужило толчком к развитию перспе-
ктивного направления в технике – методов не-
разрушающего контроля [1 – 3]. Однако сложно-
сти в построении строгих аналитических решений,
позволяющих точно выполнить граничные усло-
вия на боковых сторонах стержня-волновода, пре-
пятствуют внедрению таких методик в практи-
ку. Первый шаг по преодолению этих трудностей
заключается в детальном анализе дисперсионных
характеристик распространяющихся и нераспро-
страняющихся волн в стержнях простейшей гео-
метрии.
В то время как свойства круглого и плоско-
го упругих изотропных волноводов – цилиндра и
слоя – изучены и систематизированы исчерпываю-
щим образом (см., например, обзор [4]), особенно-
сти распространения волн в прямоугольном вол-
новоде со свободной границей, несмотря на боль-
шое количество публикаций, исследованы недоста-
точно. Это связано со значительным, по сравне-
нию со слоем, усложнением процесса формиро-
вания нормальной волны из-за наличия дополни-
тельной пары граничных поверхностей.
Трудности анализа трехмерной задачи стимули-
ровали интенсивное развитие приближенных те-
орий: аналитического решения с приближенным
удовлетворением граничных условий [5] и числен-
ных подходов, основанных на вариационных мето-
дах [6 – 10] или методе коллокаций [11]. В ряде слу-
чаев для фиксированных соотношений сторон пря-
моугольника, частоты и постоянной распростра-
нения комбинация волн Рэлея – Лэмба и SH-волн
бесконечного слоя позволяет обратить в нуль все
напряжения на границе волновода, что соответ-
ствует точным решениям в модах Ламе и Мин-
длина – Фокса [4,12]. Отдельные результаты теоре-
тических и экспериментальных исследований рас-
пространения возмущений в прямоугольном упру-
гом волноводе можно найти в обзорных рабо-
тах [13 –18].
В настоящее время все большую популярность
завоевывают численные подходы, основанные на
методе конечных элементов. Использование совре-
менных мощных компьютеров позволяет рассчи-
12 c© А. А. Бондаренко, 2007
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 4. С. 12 – 27
тывать дисперсионные характеристики волновода
произвольной геометрии путем разбиения его на
более простые сегменты, в частности, прямоуголь-
ной формы [2,3]. На рис. 1 приведены результаты
расчета безразмерных групповых скоростей в за-
висимости от безразмерной частоты распростране-
ния для квадратного стального стержня, выпол-
ненного методом конечных элементов [3]. Заме-
тим, что полученная таким образом информация
является несистематизированной и практически
непригодна для изучения особенностей дисперсии
волн в волноводе. В связи с этим большое зна-
чение приобретает развитие аналитических мето-
дов с последующим качественным анализом ра-
счетных данных. Среди них особое место занима-
ет метод суперпозиции, высокая эффективность и
надежность которого для изучения явлений вол-
новодного распространения подтверждаются его
успешным применением для решения широкого
класса задач [19 – 23].
Стремление сформировать для прямоугольного
волновода такую же ясную и четкую картину дис-
персионных свойств, как для упругого слоя или
круглого цилиндра, вызывает потребность ответа
на ряд вопросов. Часть из них рассмотрена в дан-
ной работе.
Для низших дисперсионных мод различных ти-
пов симметрии движений, существующих в прямо-
угольном волноводе, установлены предельные зна-
чения фазовых и групповых скоростей при стрем-
лении частоты к нулю и в коротковолновом ди-
апазоне. Исследовано поведение кривых в обла-
сти низких частот в зависимости от коэффициента
Пуассона, а также кинематические характеристи-
ки основных мод при движении вдоль дисперси-
онных кривых. Для высших мод определены зна-
чения частот запирания и связанные с ними типы
движений. Установлены общие тенденции поведе-
ния фазовых скоростей с увеличением частоты, их
высокочастотные пределы и характер стремления
к этим значениям. Указанная информация пред-
ставлена для мод с малыми порядковыми номера-
ми индексов, так как связанные с ними движения
доминируют по сравнению с более высокими мо-
дами. Большое внимание уделено дополнительной
декомпозиции волновых движений в квадратном
волноводе, возникающей благодаря наличию диа-
гональных плоскостей симметрии.
1. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Рассмотрим бесконечный вдоль оси z упру-
гий волновод прямоугольного поперечного сече-
ния −a≤x≤a, −b≤y≤b со свободными от напря-
Рис. 1. Групповые скорости cg/c2
квадратного стального стержня
в зависимости от частоты Ω=ωb/c2,
рассчитанные методом конечных элементов.
График заимствован из работы [3]
жений гранями
σx = τxy = τxz = 0, x = ±a,
σy = τyx = τyz = 0, y = ±b.
(1)
Изотропный однородный материал волновода с
плотностью ρ характеризуется модулем сдви-
га G, коэффициентом Пуассона ν , а также
скоростями сдвиговых c2 =
√
G/ρ и продольных
c1 =c2
√
2(1−ν)/(1−2ν) волн.
Предполагаем, что в волноводе распространя-
ется нормальная волна с изменением поля сме-
щений поля во времени t и вдоль оси волново-
да z согласно зависимости exp i(γz−ωt). Для за-
данной частоты ω ставится задача определить
допустимые значения постоянной распростране-
ния γ, отвечающие распространяющимся вдоль
оси z (действительные γ) и нераспространяющим-
ся (мнимые и комплексные γ) нормальным вол-
нам, а также значения фазовых cp =ω/γ и груп-
повых cg =dω/dγ скоростей распространяющихся
волн. Длина распространяющейся волны λ связа-
на с действительной постоянной распространения
γ соотношением γ=2π/λ.
Вектор смещений ~U(x, y, z, t) в изотропном вол-
новоде ищем в виде
~U(x, y, z) = ~u(x, y)ei(γz−ωt) (2)
(множитель exp i(γz−ωt) далее всюду опускаем).
При этом амплитуды компонент вектора смеще-
ний ~u(x, y)={ux(x, y), uy(x, y), uz(x, y)} удовлетво-
А. А. Бондаренко 13
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 4. С. 12 – 27
ряют уравнениям движения Ламе:
∇2ux +
1
1 − 2ν
∂θ
∂x
+
(
ω2
c2
2
− γ2
)
ux = 0,
∇2uy +
1
1 − 2ν
∂θ
∂y
+
(
ω2
c2
2
− γ2
)
uy = 0,
∇2uz +
1
1 − 2ν
iγθ +
(
ω2
c2
2
− γ2
)
uz = 0,
(3)
где
∇2 =
∂2
∂x2
+
∂2
∂x2
, θ =
∂ux
∂x
+
∂uy
∂y
+ iγuz . (4)
Общее решение этих уравнений строим по ме-
тоду суперпозиции [19, 20], согласно которому, по-
ле в волноводе представляется в виде суперпози-
ции полей двух упругих слоев – I (−a≤x≤a) и II
(−b≤y≤b), – каждое из которых формируется из
частных решений уравнений движения и имеет до-
статочный функциональный произвол для удовле-
творения любых граничных условий на сторонах
x=±a и y=±b соответственно. Полученные таким
образом представления для смещений состоят из
суммы двух ординарных рядов Фурье по полным
на интервалах −a≤x≤a и −b≤y≤b системам три-
гонометрических функций с произвольными неи-
звестными коэффициентами и удовлетворяют тре-
бованию полноты на сторонах прямоугольника.
Дальнейшая конкретизация и упрощение формы
общего решения осуществляются с учетом возмо-
жной симметрии волновых движений.
В прямоугольном волноводе существуют четыре
типа мод, отличающиеся симметрией вектора сме-
щений относительно срединных плоскостей волно-
вода. В литературе [6, 11] для них приняты следу-
ющие обозначения.
L-моды (продольные) – симметричные относи-
тельно осей x и y волны. Компоненты вектора сме-
щений: ux – нечетная по x, четная по y; uy – четная
по x, нечетная по y; uz – четная по x и по y.
T -моды (крутильные) – антисимметричные вол-
новые движения. Компоненты вектора смещений:
ux – четная по x, нечетная по y; uy – нечетная по
x, четная по y; uz – нечетная по x и по y.
Bx-моды (изгибные относительно оси x) – коле-
бания симметричны относительно оси y. Компо-
ненты вектора смещений: ux – четная по x и по
y; uy – нечетная по x и по y; uz – нечетная по x,
четная по y.
By-моды (изгибные относительно оси y) – коле-
бания симметричны относительно оси x. Компо-
ненты вектора смещений: ux – нечетная по x и по
y; uy – четная по x и по y; uz – четная по x, нече-
тная по y.
С учетом этих свойств выражения для четырех
типов нормальных волн прямоугольного волново-
да приобретают вид, указанный ниже.
Для L-мод:
ux = D0q1,0
sh q1,0x
sh q1,0a
− iγF0
sh q2,0x
sh q2,0a
+
+
∞
∑
k=1
{
1
iγ
[Fk(γ
2 + β2
k) − q2,kβkEk]×
×sh q2,kx
sh q2,ka
+ Dkq1,k
sh q1,kx
sh q1,ka
}
cosβky−
−
∞
∑
n=1
{
Anαn
ch p1,ny
sh p1,nb
− 1
iγ
[Bnαnp2,n−
−Cn(p2
2,n − γ2)]
ch p2,ny
sh p2,nb
}
sin αnx ,
(5a)
uy = A0p1,0
sh p1,0y
sh p1,0b
+ iγB0
sh p2,0y
sh p2,0b
+
+
∞
∑
n=1
{
1
iγ
[Cnαnp2,n − Bn(γ2 + α2
n)]×
×sh p2,ny
sh p2,nb
+ Anp1,n
sh p1,ny
sh p1,nb
}
cos αnx−
−
∞
∑
k=1
{
Dkβk
ch q1,kx
sh q1,ka
− 1
iγ
[Ek(q2
2,k − γ2)−
−Fkβkq2,k]
ch q2,kx
sh q2,ka
}
sin βky ,
(5b)
uz = iγA0
ch p1,0y
sh p1,0b
− B0p2,0
ch p2,0y
sh p2,0b
+
+iγD0
ch q1,0x
sh q1,0a
+ F0q2,0
ch q2,0x
sh q2,0a
+
+
∞
∑
n=1
{
iγAn
ch p1,ny
sh p1,nb
+ [Cnαn − Bnp2,n]×
×ch p2,ny
sh p2,nb
}
cosαnx +
∞
∑
k=1
{
iγDk
ch q1,kx
sh q1,ka
+
+[Fkq2,k − Ekβk]
ch q2,kx
sh q2,ka
}
cos βky .
(5c)
Здесь αn =nπ/a; βk =kπ/b; q2
i,0=γ2−Ω2
i ;
p2
i,0=γ2−Ω2
i ; q2
i,k =β2
k +γ2−Ω2
i ; p2
i,n=α2
n+γ2−Ω2
i
(i=1, 2, n, k=1, 2, . . .); Ω1 =ω/c1; Ω2 =ω/c2; Aj ,
Bj , Cj , Dj , Ej, Fj (j=0,1, 2 . . .) – произвольные
постоянные, подлежащие определению путем
удовлетворения граничных условий (1).
14 А. А. Бондаренко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 4. С. 12 – 27
Для T -мод:
ux = −
∞
∑
l=1
{
1
iγ
[q2,lδlEl + Fl(γ
2 + δ2
l )]×
×ch q2,lx
ch q2,la
+ Dlq1,l
ch q1,lx
ch q1,la
}
sin δly−
−
∞
∑
s=1
{
Asξs
sh p1,sy
ch p1,sb
− 1
iγ
[Bsξsp2,s−
−Cs(p
2
2,s − γ2)]
sh p2,sy
ch p2,sb
}
cos ξsx ,
(6a)
uy =
∞
∑
s=1
{
1
iγ
[Csξsp2,s + Bs(γ
2 + ξ2
s)]×
×ch p2,sy
ch p2,sb
− Asp1,s
ch p1,sy
ch p1,sb
}
sin ξsx−
−
∞
∑
l=1
{
Dlδl
sh q1,lx
ch q1,la
+
1
iγ
[El(q
2
2,l − γ2)+
+Flδlq2,l]
sh q2,lx
ch q2,la
}
cos δly ,
(6b)
uz = −
∞
∑
s=1
{
iγAs
sh p1,sy
ch p1,sb
−
−[Csξs + Bsp2,s]
sh p2,sy
ch p2,sb
}
sin ξsx−
−
∞
∑
l=1
{
iγDl
sh q1,lx
ch q1,la
+
+[Flq2,l + Elδl ]
sh q2,lx
ch q2,la
}
sin δly ,
(6c)
где, в дополнение к введенным ранее обозначени-
ям, δl =(2l−1)π/2b; ξs =(2s−1)π/2a (l, s=1, 2, . . .).
Для Bx-мод:
ux = D0q1,0
ch q1,0x
sh q1,0a
− iγF0
ch q2,0x
ch q2,0a
+
+
∞
∑
k=1
{
1
iγ
[Fk(γ2 + β2
k) − q2,kβkEk]×
×ch q2,kx
ch q2,ka
+ Dkq1,k
ch q1,kx
ch q1,ka
}
cosβky−
−
∞
∑
s=1
{
Asξs
ch p1,sy
sh p1,sb
− 1
iγ
[Bsξsp2,s+
+Cs(p
2
2,s − γ2)]
ch p2,sy
sh p2,sb
}
cos ξsx ,
(7a)
uy =
∞
∑
s=1
{
1
iγ
[Csξsp2,s + Bs(γ
2 + ξ2
s)]×
×sh p2,sy
sh p2,sb
− Asp1,s
sh p1,sy
sh p1,sb
}
sin ξsx−
−
∞
∑
k=1
{
Dkβk
sh q1,kx
ch q1,ka
− 1
iγ
[Ek(q2
2,k − γ2)−
−Fkβkq2,k]
sh q2,kx
ch q2,ka
}
sin βky ,
(7b)
uz = iγD0
sh q1,0x
ch q1,0a
+ F0q2,0
sh q2,0x
ch q2,0a
−
−
∞
∑
s=1
{
iγAs
ch p1,sy
sh p1,sb
− [Csξs + Bsp2,s]×
×ch p2,sy
sh p2,sb
}
sin ξsx +
∞
∑
k=1
{
iγDk
sh q1,kx
ch q1,ka
+
+[Fkq2,k − Ekβk]
sh q2,kx
ch q2,ka
}
cosβky .
(7c)
Для By -мод:
ux = −
∞
∑
l=1
{
1
iγ
[Fl(γ
2 + δ2
l ) + q2,kδlEl]×
×sh q2,lx
sh q2,la
+ Dlq1,l
sh q1,lx
sh q1,la
}
sin δly−
−
∞
∑
n=1
{
Anαn
sh p1,ny
ch p1,nb
− 1
iγ
[Bnαnp2,n−
−Cn(p2
2,n − γ2)]
sh p2,ny
ch p2,nb
}
sin αnx ,
(8a)
uy = A0p1,0
ch p1,0y
ch p1,0b
+ iγB0
ch p2,0y
ch p2,0b
+
+
∞
∑
n=1
{
1
iγ
[Cnαnp2,n − Bn(γ2 + α2
n)]×
×ch p2,ny
ch p2,nb
+ Anp1,n
ch p1,ny
ch p1,nb
}
cos αnx−
−
∞
∑
l=1
{
Dlδl
ch q1,lx
sh q1,la
+
1
iγ
[El(q
2
2,l − γ2)+
+Flδlq2,l]
ch q2,lx
sh q2,la
}
cos δly ,
(8b)
А. А. Бондаренко 15
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 4. С. 12 – 27
uz = iγA0
sh p1,0y
ch p1,0b
− B0p2,0
sh p2,0y
ch p2,0b
+
+
∞
∑
n=1
{
iγAn
sh p1,ny
ch p1,nb
+ [Cnαn − Bnp2,n]×
×sh p2,ny
ch p2,nb
}
cos αnx −
∞
∑
l=1
{
iγDl
ch q1,lx
sh q1,la
+
+[Flq2,l + Elδl]
ch q2,lx
sh q2,la
}
sin δly .
(8c)
Выбранная форма компонент вектора смеще-
ний позволяет не только удовлетворить уравнени-
ям движения (3), но и точно выполнить нулевые
граничные условия (1), причем, благодаря свой-
ствам симметрии движений, только на части гра-
ницы одного из квадрантов (например, при x=a,
y=b). Однако данные представления теряют си-
лу, когда какие-либо из знаменателей в выражени-
ях (5) – (8) обращаются в нуль. Такие случаи, те-
сно связанные с известными модами Ламе и Мин-
длина – Фокса [12], были детально изучены в рабо-
те [23].
Фактическое выполнение условий (1) по каса-
тельным напряжениям ведет к упрощению связи
между искомыми величинами. Так, в случае L-мод
получаем
Dk =
iFk
2γq1,k
(2q2
2,k+ Ω2
2), Ek =0, k=0, 1, . . . ,
An =
Bn
2iγp1,n
(2p2
2,n+ Ω2
2), Cn =0, n=0, 1, . . .
(9)
Для остальных типов волн справедливы аналоги-
чные выражения.
Удовлетворение граничных условий по нор-
мальным напряжениям ведет к бесконечной си-
стеме линейных алгебраических уравнений отно-
сительно неизвестных Xn (n=0, 1, 2, . . .) и Yk
(k=0, 1, 2, . . .), связанных с коэффициентами в ря-
дах (5) соотношениями
Xn =(−1)n+1 Bn
ibγbn
, Yk =(−1)k+1 Fk
iaγfk
. (10)
Здесь использованы обозначения
bn =
1; n = 0,
1
α2
n
; n>0,
fk =
1; k=0,
1
β2
k
; k>0.
(11)
Выражения для неизвестных коэффициентов
бесконечных систем в случаях остальных трех ти-
пов волн получаются из соотношений (10) путем
замены βk на δl и αn на ξs в соответствии с симме-
трией рассматриваемых движений. Вид бесконеч-
ных систем для всех четырех типов нормальных
волн приведен в работах [21, 23].
Частным случаем прямоугольной формы вол-
новода является квадрат. Наличие диагональных
плоскостей симметрии ведет к появлению допол-
нительных типов колебаний, что позволяет в яв-
ном виде выделить симметричные или антисим-
метричные смещения относительно диагональных
плоскостей, а также упростить бесконечные систе-
мы, исключив одну из последовательностей неиз-
вестных коэффициентов (Xn или Yk).
При a/b = 1 продольные моды делятся на
“дышащие” или L-моды (ux(x, y)=uy(y, x)) и пер-
вые “винтовые” или S1-моды (ux(x, y)=−uy(y, x)).
В случае “дышащих” L-мод учет свойств симме-
трии ведет к следующей системе уравнений:
εn
∞
∑
k=0
Ykfk
[
2α2
nα2
k − Ω2
0
α2
k + p2
1,n
− 2α2
nα2
k
α2
k + p2
2,n
]
−
−Ynb∆n(pn) = 0, n = 0, 1, . . .
(12)
Здесь Ω2
0 =νΩ2
1(2γ2−Ω2
2)/(1−2ν) и использованы
обозначения
εi =
{
1/2; i = 0,
1; i > 0 ,
∆n(pn) = bn
{
p2,n(γ2 + α2
n)cth p2,nb−
−
(α2
n + γ2 + p2
2,n)2
4p1,n
cth p1,nb
}
.
Бесконечная система для S1-мод имеет вид
εn
∞
∑
k=0
Ykfk
[
2α2
nα2
k − Ω2
0
α2
k + p2
1,n
− 2α2
nα2
k
α2
k + p2
2,n
]
+
+Ynb∆n(pn) = 0, n = 0, 1, . . .
(13)
Крутильные моды квадратного волновода деля-
тся на T -моды, антисимметричные относительно
диагонали квадрата, и вторые “винтовые” моды
(S2-моды). Неизвестные коэффициенты для T -мод
определяются из бесконечной системы
∞
∑
l=1
Yl
[
2ξ2
sξ2
l − Ω2
0
ξ2
l (ξ2
l + p2
1,s)
− 2ξ2
s
ξ2
l + p2
2,s
]
+
+Ysb∆
′
s(ps) = 0, s = 1, 2, . . . ,
(14)
16 А. А. Бондаренко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 4. С. 12 – 27
а для S2-мод – из системы
∞
∑
l=1
Yl
[
2ξ2
sξ2
l − Ω2
0
ξ2
l (ξ2
l + p2
1,s)
− 2ξ2
s
ξ2
l + p2
2,s
]
−
−Ysb∆
′
s(ps) = 0, s = 1, 2, . . .
(15)
Здесь
∆′
s(ps) = bs
{
p2,s(γ
2 + ξ2
s)th p2,sb−
−
(ξ2
s + γ2 + p2
2,s)
2
4p1,s
th p1,sb
}
.
В оставшихся двух случаях изгибных волно-
вых движений упрощения бесконечных систем не
происходит, однако исчезают различия между Bx
и By волнами. Тогда можно говорить об общем ти-
пе изгибных или B-мод, определяемом решением
следующей системы уравнений:
εn
∞
∑
l=1
Yl
[
2α2
nδ2
l − Ω2
0
δ2
l (δ2
l + p2
1,n)
− 2α2
n
δ2
l + p2
2,n
]
+
+Xnb∆′
n(pn) = 0, n = 0, 1, . . . ,
∞
∑
n=0
Xnbn
[
2δ2
l α2
n − Ω2
0
α2
n + q2
1,l
− 2δ2
l α2
n
α2
n + q2
2,l
]
+
+Ylb∆l(ql) = 0, l = 1, 2, . . .
(16)
Условие существования нетривиального реше-
ния приводит к равенству нулю характеристиче-
ского детерминанта, что дает дисперсионное урав-
нение относительно постоянной распространения
γ при заданных значениях частоты ω и коэф-
фициента Пуассона ν для волновода с фиксиро-
ванным соотношением сторон a/b. В отличие от
упругого слоя, для которого дисперсионное урав-
нение записывается в явном виде, в случае пря-
моугольного волновода оно представляется в фор-
ме бесконечного определителя. Это сильно затру-
дняет получение и трактовку численных результа-
тов. Для корректной редукции определителя сис-
темы с целью получения надежных количествен-
ных данных (особенно в области высоких частот)
существенным образом используется знание асим-
птотического поведения неизвестных с большими
значениями индексов:
lim
n→∞
Xn = lim
k→∞
Yk = A.
Методика и организация вычислительного про-
цесса для решения подобного класса задач подро-
бно описаны в работе [20].
2. ДИСПЕРСИЯ ВОЛН В КВАДРАТНОМ
ВОЛНОВОДЕ
При обсуждении полученных результатов огра-
ничимся случаем квадратного волновода. Числен-
ный расчет действительных, мнимых и компле-
ксных значений безразмерных величин Γ=2γb/π
для каждой фиксированной безразмерной частоты
Ω=2ωb/(πc2) и коэффициента Пуассона ν =0.25
проводился путем определения нулей детерминан-
тов конечных систем уравнений, соответствующих
системам (12) – (16). При их редукции для широко-
го диапазона значений Γ удерживалось K =N =20
неизвестных. Дальнейшее увеличение порядка ко-
нечных систем не влияло на значения искомых ве-
личин, определяемых с точностью до четырех де-
сятичных знаков. Высокая точность полученных
результатов объясняется учетом асимптотических
свойств неизвестных при редукции бесконечной
системы [20].
Дисперсионные кривые, устанавливающие
взаимно однозначное соответствие между Ω и
Γ для пяти типов волн квадратного волновода,
представлены на графиках для действительных
положительных значений частоты Ω. Спектры
в остальных трех квадрантах Γ-Ω пространства
получаются отражением относительно плоскостей
Im Γ=0 и Re Γ=0. Кривая каждой нормальной
моды состоит из действительных, мнимых и/или
комплексных ветвей и простирается непрерывно
от нулевой до бесконечной частоты. Компле-
ксные и действительные ветви соединяются в
точках минимумов действительных и максимумов
комплексных ветвей; их пересечения ортогональ-
ны. Аналогичное утверждение справедливо для
пар комплексных и мнимых ветвей. Мнимые
и комплексные ветви в точках их пересечения
ортогональны к плоскости Ω=0 и оси Im Γ
соответственно [24].
Для обозначения и нумерации кривых приняты
следующие соглашения: ветвь обозначается симво-
лом согласно типу волновых движений с верхним
индексом в круглых скобках, указывающим поря-
док моды. Черта над символом означает, что дан-
ной ветви отвечает зеркальное отражение участка
относительно плоскости ReΓ=0.
При построении комплексных участков кривых
в качестве начальных точек использовались ре-
шения соответствующих статических задач, урав-
нения для которых могут быть получены из си-
стем (12) – (16) при стремлении Ω→0 для коне-
чных значений Γ. Метод определения компле-
ксных корней бесконечных систем уравнений по-
дробно изложен в работе [25].
А. А. Бондаренко 17
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 4. С. 12 – 27
Рис. 2. Дисперсионный спектр L-мод квадратного волновода (ν=0.25)
Рис. 3. Дисперсионный спектр S1-мод квадратного волновода (ν =0.25)
2.1. Продольные моды
Как упоминалось ранее, в квадратном волново-
де, благодаря наличию дополнительных плоско-
стей симметрии, продольные волны разделяются
на “дышащие” (L) и первые “винтовые” (S1) мо-
ды. Их дисперсионные спектры представлены на
рис. 2 и 3 соответственно.
Первый тип движений характеризуется симме-
трией по отношению ко всем четырем плоскостям
симметрии. При этом боковые перемещения ux и
uy синфазны и имеют равные амплитуды. Второ-
18 А. А. Бондаренко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 4. С. 12 – 27
му типу отвечают деформации, при которых вол-
новод сжимается поочередно в направлении осей
x и y. В этом случае равные по амплитуде боковые
смещения сдвинуты по фазе на π радиан.
Низшая “дышащая” L(1)-мода начинается с ну-
левой частоты и при Γ<1 является практичес-
ки бездисперсионной. Поэтому она удовлетвори-
тельно описывается элементарной стержневой мо-
делью. Значения фазовой и групповой скоро-
стей совпадают и равны скорости “стержневой”
моды c0 =E/ρ=1.5811 c2. С увеличением часто-
ты фазовая скорость уменьшается и монотонно
приближается сверху к скорости волны Рэлея в
упругом полупространстве cR =0.9194 c2. Так, при
Ω=4.654 (Γ=5) имеем cp =0.9308 c2 и cg =0.9 c2;
при Ω=45.975 (Γ=50) cp =0.9195 c2, cg =c2. Рас-
пределение смещений также изменяется с увели-
чением частоты: от известной картины на часто-
те моды Ламе (Ω=
√
2, Γ=1) до смещений, хара-
ктерных для волны Рэлея на поверхности упру-
гого полупространства [20, 26] в высокочастотной
области [11].
На рис. 4 приведены фазовые скорости L(1)-
моды в зависимости от частоты Ω для различ-
ных значений коэффициента Пуассона. Как и в
случае круглого волновода [27, 28], кривые име-
ют общую точку при Γ=1, Ω=
√
2, соответству-
ющую точному решению Ламе. Эта точка универ-
сальна в том смысле, что ее положение не зависит
от коэффициента Пуассона и, следовательно, L(1)-
кривая для волновода из любого материала прохо-
дит через нее. В общем случае существует бесконе-
чное число таких точек с координатами Ω=
√
2Γ,
где Γ=(2p − 1), p=1, 2, . . .. Решение Ламе являе-
тся также точкой пересечения L(1)- и S
(1)
1 - диспер-
сионных кривых. В этом можно убедиться путем
сложения двух таких движений равной амплиту-
ды: в силу симметрии S
(1)
1 -мода в два раза усили-
вает напряжения и перемещения L(1)-моды на пло-
скостях, параллельных Oxz или Oyz. В свою оче-
редь, движения на плоскостях Oyz и Oxz соответ-
ственно взаимно уничтожаются. Подобные волны
отвечают эквиволюминальным модам Ламе.
Наличие точных решений волновых уравнений
чрезвычайно важно для оценки точности резуль-
татов, получаемых на основе развитого нами ана-
литического решения. Дискретные наборы точек,
отвечающие таким решениям, представлены на
дисперсионных спектрах дышащих и крутильных
мод колебаний (для остальных типов движений то-
чные решения существуют при Ω>5). При этом
индексами “L” обозначены моды Ламе, а “M” – мо-
ды Миндлина – Фокса [12]. Хорошее согласование
Рис. 4. Зависимость фазовой скорости основной
продольной L(1)-моды квадратного волновода
от коэффициента Пуассона:
1 – ν =0; 2 – ν =0.1; 3 – ν =0.2;
4 – ν =0.3; 5 – ν =0.4; 6 – ν =0.495
данных, полученных на основе разных подходов,
подтверждает эффективность предлагаемого под-
хода.
Высшие “дышащие” и все S1-моды имеют не-
нулевые частоты запирания, на которых движе-
ния не зависят от осевой координаты z. Фазовые
скорости волн на частотах запирания принимают
бесконечные значения, а групповые в большинстве
случаев обращаются в нуль.
Продольные волны в волноводе на частотах за-
пирания делятся на два независимых типа. Пер-
вый из них получим непосредственной подстанов-
кой Γ=0 в выражения для смещений (5), запи-
санные с помощью коэффициентов Xn и Yk. В
этом случае частоты запирания являются соб-
ственными для прямоугольника, находящегося в
обобщенном плоском напряженном состоянии, и
зависят от ν . Движения этого типа связаны с пла-
нарными модами ux 6=0, uy 6=0, uz =0. Они подро-
бно изучены в работах [20, 29, 30].
Второй тип частот запирания получим, считая
sh p2,na=0 и sh q2,kb=0, откуда при Γ=0 следует
Ω = 2
√
n2
b2
+
m2
a2
, m, n = 0, 1, . . .
В выражениях (5) положим An =0, Dk =0. Тогда,
устанавливая связь между оставшимися неизве-
стными Cn=−iBnαn/βk, Ek =−iFkβk/αn, имеем
ux =0, uy =0. Из условия существования нетри-
виального решения амплитудные значения смеще-
ний вдоль оси волновода принимают вид
uz = A cos
mπx
a
sin
nπy
b
,
где A – произвольная постоянная. Таким обра-
зом, второй тип движений связан с толщинно-
А. А. Бондаренко 19
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 4. С. 12 – 27
Рис. 5. Изменение петли, образованной L(2)-
и L(3)-модами квадратного волновода,
в зависимости от коэффициента Пуассона:
1 – ν =0.125; 2 – ν =0.175; 3 – ν =0.225; 4 – ν =0.25;
6 – ν =0.3; 7 – ν =0.325; 8 – ν =0.35
Рис. 6. Изменение петли, образованной S
(2)
1 -
и S
(3)
1 -модами квадратного волновода,
в зависимости от коэффициента Пуассона:
1 – ν =0.125; 2 – ν =0.175; 3 – ν =0.225; 4 – ν =0.25;
5 – ν =0.275; 6 – ν =0.3; 7 – ν =0.325;
8 – ν =0.35; 9 – ν =0.45; 10 – ν =0.495
сдвиговыми модами, частоты которых не зависят
от коэффициента Пуассона.
Относительное положение частот запирания
первого и второго типов зависит от коэффициента
Пуассона. Для ν =0.25 частота запирания первой
L(2)-моды принадлежит к типу планарных мод, а
L(3)-мода связана с толщинно-сдвиговыми движе-
ниями. Подобная ситуация имеет место для L(4)- и
L(5)-мод. В области чисто мнимых значений посто-
янной распространения они образуют петли, поло-
жение которых меняется с изменением величины
ν . Как видно из рис. 5, петля для L(2)- и L(3)-
волн начинается с частоты планарных мод. С уве-
личением ν от 0.125 до 0.275 петля уменьшается
в размерах, а при ν =0.275 полностью исчезает.
В этом случае частоты запирания мод совпада-
ют и действительные ветви соединяются друг с
другом на частотной оси. В точке пересечения ве-
твей групповая скорость имеет конечное ненуле-
вое значение, причем для L(2)-ветви она отрица-
тельна, а для L(3) – положительна. Дальнейшее
увеличение ν ведет к повторному появлению пе-
тли, которая теперь начинается с частоты запира-
ния толщинно-сдвиговой моды. Структура второй
петли, связывающей L(4)- и L(5)-моды, изменяе-
тся аналогично, только ее исчезновение происхо-
дит при ν =0.316. Подобные трансформации пе-
тель в области мнимых значений Γ наблюдаются
также для волноводов в виде упругого слоя (сов-
падение частот при ν =1/3) и круглого цилиндра
(ν =0.2833) [20, 24].
Для S1-мод существенной перестройки спектра
при изменении ν не наблюдается. На рис. 6 показа-
но, что с увеличением ν от 0.125 до 0.495 связыва-
ющая S
(2)
1 - и S
(3)
1 -моды петля уменьшается за счет
сближения частоты запирания планарной моды с
частотой толщинно-сдвиговой моды Ω=2, однако
полного ее исчезновения не происходит.
Для продольных мод квадратного волновода с
ненулевой частотой запирания характерно нали-
чие большого, по сравнению с упругим слоем и
круглым цилиндром, количества участков с отри-
цательной кривизной ветвей в окрестности часто-
ты запирания (они отвечают явлению “обратной”
волны [20]). Здесь значения фазовых и групповых
скоростей имеют противоположные знаки, а зави-
симости cg от Ω опускаются ниже нулевого зна-
чения, образуя петли. Поведение величины cg на
участках обратных волн для низших дышащих и
винтовых мод квадратного волновода исследовано
в работе [22].
В коротковолновом диапазоне фазовая скорость
низшей винтовой моды S
(1)
1 выходит не на ско-
рость волны Рэлея cR, как для волны Лэмба в слое,
а на cE =0.9014 c2 – скорость угловой моды пря-
моугольного клина [21]. В свою очередь, с увели-
чением Γ фазовые скорости высших продольных
мод выходят не на c2, а на cR, независимо от со-
отношения сторон волновода. По всей видимости,
в высокочастотном пределе все нормальные мо-
ды волновода становятся бездисперсионными. При
увеличении частоты групповые скорости ведут се-
бя более сложно, чем фазовые. Важный вопрос об
их предельных значениях может быть решен с по-
мощью методики, предложенной в работе [22], что
выходит за рамки данного исследования.
В дополнение к ветвям с действительными зна-
чениями постоянной распространения на каждой
20 А. А. Бондаренко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 4. С. 12 – 27
Табл 1. Зависимость комплексных корней (Ω=0)
от коэффициента Пуассона ν для квадратного волновода
ν S
(1)
1 L(2) L(4)
0 0.7160 + 1.3410i — 0.7900 + 2.3950i
0.10 0.7217 + 1.3096i 0.7120 + 1.3733i 0.7483 + 2.3703i
0.20 0.7292 + 1.2803i 0.7066 + 1.4063i 0.7087 + 2.3436i
0.25 0.7334 + 1.2666i 0.7036 + 1.4233i 0.6894 + 2.3293i
0.30 0.7380 + 1.2532i 0.7005 + 1.4408i 0.6701 + 2.3144i
0.35 0.7427 + 1.2406i 0.6973 + 1.4586i 0.6512 + 2.2990i
0.40 0.7476 + 1.2282i 0.6939 + 1.4775i 0.6318 + 2.2819i
0.45 0.7527 + 1.2161i 0.6907 + 1.4972i 0.6118 + 2.2644i
фиксированной частоте существует бесконечное
число комплексных корней частотного уравнения
и бесконечное (а не конечное, как в случае упру-
гого слоя) число чисто мнимых корней. Поведе-
ние мнимых петель с изменением величины ν по-
дробно исследовалось выше. При этом для пря-
моугольного волновода не наблюдалось ситуаций
“раскрытия” петель, как это имеет место в слу-
чае волн Лэмба в слое [20]. Дисперсионные ветви
в области мнимых значений Γ по структуре на-
поминают высшие антисимметричные моды кру-
гового цилиндра [27]. Еще большее сходство с ци-
линдром наблюдается для комплексных участков
дисперсионных кривых. Точки пересечения после-
дних с плоскостью Ω=0 (комплексные корни со-
ответствующих статических задач) в случае кру-
глого и квадратного волноводов зависят от ко-
эффициента Пуассона, в то время, как для слоя
подобная зависимость отсутствует. Значения пер-
вых трех комплексных корней, отвечающих S
(1)
1 -,
L(2)- и L(4)-модам квадратного волновода на ну-
левой частоте, для различных значений коэффи-
циента Пуассона приведены в табл. 1. Аналоги-
чные данные для круглого цилиндра можно найти
в работе [27]. Роль комплексных и мнимых корней
дисперсионного определителя в задачах о распро-
странения волн в бесконечных упругих волноводах
ограничивается обеспечением полноты получаемо-
го решения, однако оказывается существенной в
задачах для конечных и полубесконечных тел.
2.2. Крутильные моды
По аналогии с продольными волнами, кру-
тильные моды квадратного волновода делятся на
два независимых типа: собственно крутильные T -
моды с деформациями, в которых поперечное се-
чение испытывает серию вращательных колебаний
относительно центральной оси, и вторые “винто-
вые” (S2) моды, отвечающие поочередному сжа-
тию волновода в направлении каждой из диагона-
лей. Их дисперсионные спектры представлены на
рис. 7 и 8 соответственно.
При исследовании крутильных мод наибольший
интерес вызывает вопрос о дисперсии низшей T (1)-
моды. Начиная с работы Сен-Венана [31], для ре-
шения динамической задачи о кручении строи-
лись упрощенные одномерные теории [32,33], кото-
рые предсказывали, что низшая крутильная мода
будет распространяться без дисперсии с постоян-
ной скоростью. Это оказалось справедливым для
круглого цилиндра, в котором скорость крутиль-
ных волн равна c2 и совпадает с точным решени-
ем. Однако экспериментальные данные для вол-
новодов прямоугольной формы [34, 35] показали
наличие дисперсии у крутильных волн, особенно
на высоких частотах. В работе [36] показано, что
источниками дисперсии являются взаимодействие
крутильных движений с осевыми деформациями и
искажения в плоскости поперечного сечения. По-
пытки усовершенствовать приближенные теории с
учетом указанных эффектов [33,36] к полному по-
ниманию характера распространения крутильных
волн не привели.
Вычисления, проведенные в рамках развито-
го подхода, показывают, что низшая крутиль-
ная T (1)-мода является дисперсионной, начиная с
области низких частот. Фазовая и групповая ско-
рости для волновода с коэффициентом Пуассона
ν =0.25 при Γ=0 равны (cp =cg =c2), как и пред-
сказывают одномерные теории. Зависимость фазо-
вой скорости T (1)-моды от частоты Ω в интервале
0<Γ<5 для различных значений коэффициента
Пуассона приведена на рис. 9. При незначитель-
ном возрастании величины Γ скорость резко пада-
ет. С дальнейшим увеличением Γ величина cp про-
должает монотонно убывать и в коротковолновом
пределе выходит на скорость изгибной угловой
А. А. Бондаренко 21
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 4. С. 12 – 27
Рис. 7. Дисперсионный спектр T -мод квадратного волновода (ν=0.25)
Рис. 8. Дисперсионный спектр S2-мод квадратного волновода (ν =0.25)
моды прямоугольного клина cE =0.9014 c2. Этот
вывод подкрепляется анализом кинематики моды.
В табл. 2 показано изменение формы границы ква-
дратного волновода при движении вдоль диспер-
сионной T (1)-ветви в моменты наибольших откло-
нений от положений равновесия. Видно, что с уве-
личением частоты интенсивные колебания сосре-
доточены вблизи ребер волновода.
Высшие крутильные и все винтовые S2-моды
имеют ненулевые частоты запирания, на кото-
рых движения являются толщинно-сдвиговыми
(ux =0, uy =0, uz 6=0) или происходят в плоскости
22 А. А. Бондаренко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 4. С. 12 – 27
Табл 2. Форма границы квадратного волновода (ν=0.25) на различных частотах T (1)-моды
Ω = 0.918 Ω = 4.524 Ω = 9.016 Ω = 18.030
cp = 0.918 c2 cp = 0.9046 c2 cp = 0.9016 c2 cp = 0.9015 c2
Табл 3. Высокочастотные фазовые скорости T - и S2-мод квадратного волновода (ν =0.25)
Γ T (1) T (2) T (3) T (4) T (5) S
(1)
2 S
(2)
2 S
(3)
2 S
(4)
2 S
(5)
2
5 0.9046 1.0327 1.0661 1.1964 1.2488 0.9530 1.0665 1.0969 1.2084 1.2917
10 0.9016 0.9475 1.0103 1.0132 1.0512 0.9314 0.9692 1.0129 1.0386 1.0692
20 0.9015 0.9255 0.9421 0.9673 1.0001 0.9231 0.9340 0.9524 0.9789 1.0028
40 0.9014 0.9207 0.9247 0.9310 0.9397 0.9204 0.9235 0.9286 0.9357 0.9448
Рис. 9. Зависимость фазовой скорости основной
крутильной моды T (1) квадратного волновода
от коэффициента Пуассона:
1 – ν =0; 2 – ν =0.1; 3 – ν =0.2;
4 – ν =0.3; 5 – ν =0.4; 6 – ν =0.495
поперечного сечения (ux 6=0, uy 6=0, uz =0). Часто-
ты первого типа
Ω =
√
(2n − 1)2
a2
+
(2m− 1)2
b2
, n, m = 1, 2, . . .
не зависят от коэффициента Пуассона и получа-
ются таким же образом, как и в рассмотренном
выше случае продольных мод. Несколько первых
значений отвечают частотам запирания следую-
щих мод: S
(1)
2 (Ω=
√
2), S
(4)
2 и T (4) (Ω=
√
10), S
(6)
2
(Ω=3
√
2). Частоты запирания остальных мод, в
которых отсутствует осевая компонента перемеще-
ний, зависят от ν и являются собственными для
прямоугольника, находящегося в состоянии пло-
ской деформации.
Относительное положение частот запирания на
оси Γ=0 определяется величиной ν . При этом вин-
товые S2-моды ведут себя аналогично S1-модам.
В структуре спектра для T -мод отметим следую-
щую интересную особенность. Из рис. 7 видно, что
единственная петля в мнимой плоскости соединя-
ет частоты запирания, отвечающие различным ти-
пам движений. Остальные моды, за исключени-
ем основной, простираются до нулевого значения
частоты вдоль мнимых участков дисперсионных
кривых. Изменение коэффициента Пуассона в ди-
апазоне 0≤ν<0.5 приводит лишь к сдвигу кри-
вых вдоль частотной оси. При этом положение и
размеры петли в мнимой плоскости не изменяю-
тся. Это связано с тем, что частота запирания
Ω=2
√
2≈2.8284, являющаяся исходной для петли,
отвечает точному решению Ламе для прямоуголь-
ника в состоянии плоской деформации [37], а ее
значение не зависит от ν .
При возрастании частоты фазовые скорости
А. А. Бондаренко 23
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 4. С. 12 – 27
Рис. 10. Дисперсионный спектр B-мод квадратного волновода (ν=0.25)
высших мод стремятся к скорости поверхно-
стной волны Рэлея. Это подтверждается данными
табл. 3, в которой приведены расчетные величи-
ны cp/c2 для квадратного волновода с ν =0.25 при
различных Γ. Для действительных значений по-
стоянной распространения T (4)- и S
(2)
2 -ветви име-
ют участки с противоположными значениями фа-
зовой и групповой скоростей, которые начинаю-
тся в точках соединения с комплексными ветвя-
ми дисперсионных кривых. Требование однозна-
чного выделения ветвей позволяет построить че-
ткие картины спектров. Как и в случае продоль-
ных волн, при Ω=0 комплексные корни дисперси-
онных соотношений (14) – (15) демонстрируют за-
висимость от коэффициента Пуассона.
2.3. Изгибные моды
На рис. 10 представлен дисперсионный спектр
изгибных B-мод квадратного волновода. Хара-
ктеристическое соотношение, отвечающее систе-
ме (16), имеет такой же вид, как и в случае прямо-
угольника. Это ведет к увеличению числа диспер-
сионных кривых в рассматриваемом диапазоне ча-
стот. Движения в B-модах характеризуются изги-
бом относительно одной из срединных осей попе-
речного сечения и растяжением – сжатием относи-
тельно второй оси.
Основная изгибная B(1)-мода имеет нулевую ча-
стоту запирания и обладает дисперсией, которая в
низкочастотном диапазоне корректно описывается
элементарной теорией изгиба [26]. Согласно этой
теории дисперсионная кривая имеет форму пара-
болы с вершиной в начале координат, поэтому фа-
зовая скорость при Γ=0 обращается в нуль. С уве-
личением Γ она монотонно возрастает и для очень
коротких длин волн стремится сверху к скорости
угловой моды прямоугольного клина cE . Значения
фазовых скоростей и форма границы волновода
при движениях в B(1)-моде для различных Γ при-
ведены в табл. 4 и 5 соответственно. На рис. 11
представлены зависимости cp/c2 от Ω для различ-
ных значений коэффициента Пуассона.
Движения на частотах запирания высших из-
гибных мод делятся на два типа – толщинно-
сдвиговые cо смещениями вида
ux = 0, uy = 0, uz = A sin
(2n + 1)y
2b
cos
mx
a
и планарные, у которых осевая компонента смеще-
ний обращается в нуль. Аналогично случаям про-
дольных и крутильных волн, частоты толщинно-
сдвигового типа не зависят от коэффициента Пу-
ассона ν и определяются из условий sh q2,na=0,
ch p2,mb=0 при Γ=0:
Ω = 2
√
(2n + 1)2
4b2
+
m2
a2
, n, m = 0, 1, . . .
Планарные частоты запирания зависят от величи-
ны ν и для рассматриваемого квадратного волно-
24 А. А. Бондаренко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 4. С. 12 – 27
Табл 4. Форма границы квадратного волновода (ν =0.25) на различных частотах B(1)-моды
Ω = 2.679 Ω = 4.506 Ω = 9.017 Ω = 18.032
cp = 0.8930 c2 cp = 0.9012 c2 cp = 0.9017 c2 cp = 0.9016 c2
Табл 5. Высокочастотные фазовые скорости B-мод квадратного волновода (ν =0.25)
Γ B(1) B(2) B(3) B(4) B(5) B(1) B(7) B(8) B(9) B(10)
5 0.9012 0.9370 0.9856 1.0470 1.0645 1.1209 1.1594 1.1737 1.2752 1.2831
10 0.9017 0.9242 0.9374 0.9586 0.9879 1.0078 1.0243 1.0279 1.0347 1.0639
20 0.9016 0.9206 0.9241 0.9298 0.9375 0.9473 0.9592 0.9732 0.9890 1.0016
40 0.9014 0.9196 0.9206 0.9220 0.9240 0.9266 0.9297 0.9334 0.9376 0.9423
вода имеют значения Ω=1.3436, 2, 2.6909, 3.3143,
3.5529, 3.7799. . .
Приведенные в табл. 5 данные позволяют сде-
лать вывод о том, что в высокочастотной области
фазовые скорости высших изгибных мод в пределе
стремятся к скорости поверхностной волны Рэлея
cR =0.9194 c2.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основе метода суперпозиции решена зада-
ча о распространении нормальных волн в прямоу-
гольном упругом волноводе. Компоненты вектора
смещений приведены для четырех типов мод вол-
новода, существующих независимо друг от дру-
га. Вид дисперсионных соотношений и интерпре-
тация численных результатов существенно упро-
щаются в случае волновода квадратного попереч-
ного сечения, когда нормальные моды удается яв-
ным образом разделить на симметричные и анти-
симметричные относительно диагонали. Знание и
учет асимптотических свойств неизвестных позво-
ляют уменьшить порядок дисперсионного урав-
нения, получаемого при редукции бесконечного
определителя. Благодаря этому значительно по-
вышается точность вычислений, особенно в обла-
сти высоких частот, что подтверждается хорошим
Рис. 11. Зависимость фазовой скорости основной
изгибной моды B(1) квадратного волновода
от коэффициента Пуассона:
1 – ν =0; 2 – ν =0.1; 3 – ν =0.2;
4 – ν =0.3; 5 – ν =0.4; 6 – ν =0.495
согласованием с точными решениями в модах Ла-
ме и Миндлина – Фокса. На основе представленно-
го решения для каждого типа мод построены дис-
персионные кривые, устанавливающие связь дей-
ствительных, мнимых и комплексных значений
постоянной распространения с частотой. Насколь-
ко известно автору, такие результаты для прямоу-
гольного упругого волновода получены впервые.
Анализ дисперсионных свойств квадратного
А. А. Бондаренко 25
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 4. С. 12 – 27
волновода показал наличие трех основных мод, су-
ществующих при любых частотах – продольной
“дышащей”, крутильной и изгибной. Они облада-
ют дисперсией, которая в низкочастотном диапа-
зоне удовлетворительно описывается с помощью
элементарных теорий. Поведение фазовых скоро-
стей основных мод определяется коэффициентом
Пуассона. В коротковолновом диапазоне скорость
первой “дышащей” моды стремится к скорости по-
верхностной волны Рэлея, а крутильная и изги-
бная моды выходят на скорость угловой моды кли-
на с прямым углом при вершине. Такой вывод
подтверждается анализом кинематики антисимме-
тричных волн, который показывает, что на высо-
ких частотах интенсивные движения сосредоточе-
ны вблизи ребер волновода. Для двух винтовых
мод волновод оказывается запертым в низкочасто-
тной области.
Высшие нормальные моды всех типов волн ква-
дратного волновода имеют ненулевые частоты за-
пирания, которые можно разделить на две группы
в соответствии с типом движений на них. Первая
группа связана с планарными модами. Их часто-
ты запирания являются собственными для пря-
моугольника, находящегося в состоянии плоской
деформации, и зависят от коэффициента Пуассо-
на. Движения второй группы являются толщинно-
сдвиговыми. Для них значения частот запирания
вычисляются достаточно просто и не зависят от
величины ν . Важно отметить, что изменение фи-
зических параметров материала влияет на взаим-
ное расположения частот запирания на частотной
оси, однако не влечет за собой существенных изме-
нений в структуре спектров.
Дисперсионные кривые в области действитель-
ных значений постоянной распространения могут
сближаться друг с другом, однако никогда не пе-
ресекаются, если движения принадлежат одному
типу симметрии. Этот вывод оказывается не спра-
ведливым для мнимых участков кривых. В целом,
мнимые и комплексные ветви для пяти типов волн
квадратного волновода ведут себя аналогично ве-
твям для антисимметричных волн круглого ци-
линдра. В обоих указанных случаях для каждой
фиксированной частоты существует бесконечное
число мнимых значений постоянной распростра-
нения, а начальные точки комплексных ветвей на
нулевой частоте зависят от коэффициента Пуассо-
на.
Установлено, что в высокочастотной области
фазовые скорости высших мод выходят не на c2, а
на скорость поверхностной волны Рэлея cR. Кро-
ме того, дисперсия нормальных волн в квадратном
волноводе характеризуется наличием значительно
большего (по сравнению со слоем и цилиндром) ко-
личества участков с противоположными знаками
фазовых и групповых скоростей, отвечающих яв-
лению “обратной” волны. Это объясняется влияни-
ем дополнительной пары граничных поверхностей
на процесс формирования и распространения нор-
мальных волн в волноводе. Тем не менее, для пол-
ного понимания дисперсионных свойств прямоу-
гольного волновода необходимо более детальное
исследование поведения дисперсионных кривых в
коротковолновомдиапазоне с анализом групповых
скоростей высших мод, дополненное данными эк-
спериментов.
1. Taweel H., Dong S. B., Kazic M. Wave reflection
from the free end of a cylinder with an arbitrary
cross-section // Int. J. Solids Struct.– 2000.– 37.–
P. 1701–1726.
2. Hayashi T., Song W. J., Rose J. L. Guided wave
dispersion curves for a bar with an arbitrary cross-
section, a rod and rail example // Ultrasonics.–
2003.– 41.– P. 175–183.
3. Hayashi T., Tamayama C., Murase M. Wave
structure analysis of guided waves in a bar with an
arbitrary cross-section // Ultrasonics.– 2006.– 44.–
P. 17–24.
4. Микер Т., Мейтцлер А. Волноводное распростра-
нение в протяженных цилиндрах и пластинах //
Физическая акустика / Под. ред. У. Мэзона. Часть
1А.– М.: Мир.– 1966.– С. 140–203.
5. Morse R. W. The velocity of compressional waves in
rods of rectangular cross section // J. Acoust. Soc.
Amer.– 1950.– 22.– P. 219–223.
6. Kynch G. J. The fundamental modes of vibration of
uniform beams for medium wave lengths // Brit. J.
Appl. Phys.– 1957.– 8, N 2.– P. 64–73.
7. Nigro N. J. Steady-state wave propagations in infinite
bars of noncircular cross section // J. Acoust. Soc.
Amer.– 1966.– 40.– P. 1501–1508.
8. Уэйд Д., Торвик П. Распространение упругих волн
в неоднородных стержнях сложного сечения //
Прикл. мех.– 1973.– 10, N 4.– С. 226–231.
9. Koshiba M., Tanifuji T., Suzuki M. Acoustic wave
propagation in rods of rectangular cross section //
Trans. Inst. Electr. Commun. Engng Jap., B.– 1974.–
57.– P. 734–741.
10. Miamoto T., Yasuura K. Numerical analysis on
isotropic elastic waveguides by mode-matching
method // IEEE Trans. Son. Ultrason.– 1977.– SU-
24.– P. 359–375.
11. Fraser W. B. Stress wave propagation in rectangular
bars // Int. J. Solids Struct.– 1969.– 5.– P. 379–397.
12. Mindlin R. D., Fox E. A. Vibration and waves in
elastic bars of rectangular cross-section // Trans.
ASME, J. Appl. Mech.– 1960.– 27.– P. 152–158.
13. Kynch G. J., Green W. A. Vibrations of beams –
I. Longitudinal modes // Quart. J. Mech. Appl.
Math.– 1957.– 10.– P. 63–73.
14. Green W. A. Vibrations of beams – II. Torsional
modes // Quart. J. Mech. Appl. Math.– 1957.– 10.–
P. 74–78.
15. Green W. A. Vibrations of beams – III. Screw
modes // Quart. J. Mech. Appl. Math.– 1959.– 12.–
P. 22–28.
26 А. А. Бондаренко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2007. Том 10, N 4. С. 12 – 27
16. McNiven H. D. Literature review: approximate
theories governing axisymmetric wave propagation in
elastic rods // Shock Vibr. Digest.– 1975.– 7, N 3.–
P. 90–96.
17. Pao Y. H. Elastic waves in solids // Trans. ASME,
J. Appl. Mech.– 1983.– 50.– P. 1152–1164.
18. Al-Mousawi M. M. On experimental studies of longi-
tudinal and flexural wave propagation: An annotated
bibliography // Appl. Mech. Revs.– 1986.– 39.–
P. 853–865.
19. Гринченко В. Т. Равновесие и установившиеся ко-
лебания упругих тел конечных размеров.– К.: На-
ук. думка, 1978.– 264 с.
20. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические ко-
лебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. дум-
ка, 1981.– 284 с.
21. Мелешко В. В. Распространение высокочастотных
продольных волн в прямоугольном волноводе //
Докл. АН УССР.– 1982.– N 2.– С. 36–40.
22. Гринченко В. Т., Костржицкая Е. В., Меле-
шко В. В. Групповые и фазовые скорости нормаль-
ных волн в прямоугольном волноводе // Докл. АН
УССР.– 1989.– N 7.– С. 45–48.
23. Костржицкая Е. В., Мелешко В. В. Распростране-
ние гармонических волн в упругом прямоугольном
волноводе // Прикл. мех.– 1990.– 26, N 8.– С. 69–
74.
24. Medick M. A. Extensional waves in elastic bars of
rectangular cross section // J. Acoust. Soc. Amer.–
1968.– 43.– P. 152–161.
25. Бондаренко А. А. Об одном методе определения
комплексных корней дисперсионных уравнений //
Доп. НАН України.– 2007.– N 12.– С. 41–44.
26. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах.–
М.: ИИЛ, 1955.– 192 с.
27. Zemanek J. An experimental and theoretical investi-
gation of elastic wave propagation in a cylinder // J.
Acoust. Soc. Amer.– 1972.– 51.– P. 265–283.
28. Thurston R. N. Elastic waves in rods and clad rods //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1978.– 64.– P. 1–37.
29. Medick M. A., Pao Y. H. Extensional vibrations of
thin rectangular plates // J. Acoust. Soc. Amer.–
1965.– 37.– P. 59–65.
30. Holland R. Contour extensional resonant properti-
es of rectangular piezoelectric plates // IEEE Trans.
Son. Ultrason.– 1968.– SU-15.– P. 97–105.
31. Saint-Venant B. Mémoire sur les vibrations
tournantes des verges élastiques // C. R. Acad.
Sci. Paris.– 1849.– 28.– P. 69–72.
32. Green W. A. Dispersion relations for elastic waves in
bars // Progress in Solid Mechanics, vol. 1.– North-
Holland, 1960.– P. 225–261.
33. Barr A. D. S. Torsional waves in uniform rods of non-
circular section // J. Mech. Engng Sci.– 1962.– 4.–
P. 127–135.
34. Shear S. K., Focke A. B. The dispersion of supersonic
waves in cylindrical rods of polycrystalline silver,
nickel and magnesium // Phys. Rev.– 1940.– 57.–
P. 532–537.
35. Spinner S., Valore R. C. Comparison of theoretical
and empirical relations between the shear modulus
and torsional resonance frequencies for bars of
rectangular cross section // J. Resch Nat. Bureau
Stand.– 1958.– 60.– P. 459–464.
36. Bleustein J. L., Stanley R. M. A dynamical theory of
torsion // Int. J. Solids Struct.– 1970.– 6.– P. 569–
586.
37. Бондаренко А. О. Моди Ламе для пружного пря-
мокутника // Вiсн. Київ. ун-ту.– 2007.– Вип. 17.–
С. 41–45.
А. А. Бондаренко 27
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-79748 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T12:45:17Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бондаренко, А.А. 2015-04-04T16:16:47Z 2015-04-04T16:16:47Z 2007 Нормальные волны в прямоугольном упругом волноводе / А.А. Бондаренко // Акустичний вісник — 2007. —Т. 10, № 4. — С. 12-27. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79748 539.3 На основе аналитический метода суперпозиции решена задача о распространении нормальных волн в прямоугольном упругом волноводе. Разработаны алгоритмы расчета дисперсионных кривых и полей смещений для каждого типа нормальных мод. Для волновода квадратного сечения проанализированы дисперсионные соотношения. Приведены результаты для действительных, мнимых и комплексных значений постоянной распространения. Для пяти типов мод квадратного волновода систематизированы данные о частотах запирания. Найдены предельные величины фазовых и групповых скоростей. Изучены зависимости кинематических характеристик основных распространяющихся волн от частоты и коэффициента Пуассона. Детально рассмотрены особенности поведения неоднородных волн, отвечающих чисто мнимым и комплексным корням дисперсионных уравнений. На базі аналітичного методу суперпозиції розв'язано задачу про поширення нормальних хвиль у прямокутному пружному хвилеводі. Розроблені алгоритми розрахунків дисперсійних кривих і полів зміщень для кожного типу нормальних хвиль. Для хвилеводу квадратного перерізу проаналізовано дисперсійні співвідношення. Наведені результати для дійсних, уявних і комплексних значень сталої поширення. Для п'яти типів мод квадратного хвилеводу систематизовані дані про частоти відсікання. Визначені граничні величини фазових і групових швидкостей. Вивчені залежності кінематичних характеристик основних хвиль, які поширюються, від частоти й коефіцієнта Пуассона. Детально розглянуті особливості поведінки неоднорідних хвиль, які відповідають уявним і комплексним кореням дисперсійних рівнянь. The problem on normal wave propagation in a rectangular elastic waveguide is solved on the basis of an analytical method of superposition. Algorithms are developed for calculation of the dispersion curves and displacement fields for each type of normal waves. For a waveguide with square cross section, the dispersion relations are analyzed. The results for real, imaginary, and complex values of propagation constant are presented. The data on cutoff frequencies are systematized for five types of modes of the square waveguide. Limiting values of phase and group velocities are determined. Dependencies of displacement distribution for fundamental propagating waves versus frequency and Poisson's ratio are studied. Special features of non-propagating waves, that correspond to pure imaginary and complex roots of the dispersion equations, are investigated in detail. ru Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Нормальные волны в прямоугольном упругом волноводе Normal waves in a rectangular elastic waveguide Article published earlier |
| spellingShingle | Нормальные волны в прямоугольном упругом волноводе Бондаренко, А.А. |
| title | Нормальные волны в прямоугольном упругом волноводе |
| title_alt | Normal waves in a rectangular elastic waveguide |
| title_full | Нормальные волны в прямоугольном упругом волноводе |
| title_fullStr | Нормальные волны в прямоугольном упругом волноводе |
| title_full_unstemmed | Нормальные волны в прямоугольном упругом волноводе |
| title_short | Нормальные волны в прямоугольном упругом волноводе |
| title_sort | нормальные волны в прямоугольном упругом волноводе |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79748 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkoaa normalʹnyevolnyvprâmougolʹnomuprugomvolnovode AT bondarenkoaa normalwavesinarectangularelasticwaveguide |