Поширення хвиль у системі двох паралельних стержнів, періодично підкріплених жорсткими поперечними перегородками і зв'язаних з акустичним середовищем
Розглянуто можливість поширення гармонічних хвиль у системі двох періодично підкріплених жорсткими поперечними перегородками паралельних ідеально пружних стержнів, які рухаються синхронно. Об'єми, обмежені стержнями й сусідніми перегородками, заповнені акустичним середовищем без дисипації. Із з...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Акустичний вісник |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79765 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Поширення хвиль у системі двох паралельних стержнів, періодично підкріплених жорсткими поперечними перегородками і зв'язаних з акустичним середовищем / В.Н. Олійник // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 1. — С. 60-67. — Бібліогр.: 38 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859957732240523264 |
|---|---|
| author | Олійник, В.Н. |
| author_facet | Олійник, В.Н. |
| citation_txt | Поширення хвиль у системі двох паралельних стержнів, періодично підкріплених жорсткими поперечними перегородками і зв'язаних з акустичним середовищем / В.Н. Олійник // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 1. — С. 60-67. — Бібліогр.: 38 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Акустичний вісник |
| description | Розглянуто можливість поширення гармонічних хвиль у системі двох періодично підкріплених жорсткими поперечними перегородками паралельних ідеально пружних стержнів, які рухаються синхронно. Об'єми, обмежені стержнями й сусідніми перегородками, заповнені акустичним середовищем без дисипації. Із застосуванням методу Флоке одержано відповідне дисперсійне рівняння і проаналізовано його корені. Для ряду часткових випадків вказані діапазони існування хвилі, що поширюється. Встановлено, що при геометричних і фізичних параметрах, які відповідають будові легеневої паренхіми, для всього звукового частотного діапазону фазова швидкість знайденої хвилі не диспергує й відповідає ефективній швидкості поширення поздовжньої хвилі у гетерогенному середовищі.
Рассмотрена возможность распространения гармонических волн в системе двух периодически подкрепленных жесткими поперечными перегородками параллельных идеально упругих стержней, движущихся синхронно. Объемы, ограниченные стержнями и соседними перегородками, заполнены акустической средой без диссипации. С применением метода Флоке получено соответствующее дисперсионное уравнение и проанализированы его корни. Для ряда частных случаев указаны диапазоны существования распространяющейся волны. Установлено, что при геометрических и физических параметрах, соответствующих строению легочной паренхимы, для всего звукового частотного диапазона фазовая скорость найденной волны не диспергирует и соответствует эффективной скорости распространения продольной волны в гетерогенной среде.
The paper deals with considering the possibility of harmonic wave propagation in the system of two synchronically moving ideal elastic rods periodically supported by rigid transverse barriers. The volumes bounded by the rods and adjacent barriers are filled with a non-dissipative acoustic medium. With use of the Floquet method, the corresponding dispersion equation has been obtained and its roots have been analyzed. For some particular cases, wave propagation bands are specified. For all audible frequency range, it is shown that phase velocity of the obtained wave does not disperse and corresponds to the effective propagation velocity of the longitudinal wave in heterogeneous medium.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:20:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 60 – 67
УДК 534.22-18
ПОШИРЕННЯ ХВИЛЬ У СИСТЕМI
ДВОХ ПАРАЛЕЛЬНИХ СТЕРЖНIВ,
ПЕРIОДИЧНО ПIДКРIПЛЕНИХ ЖОРСТКИМИ
ПОПЕРЕЧНИМИ ПЕРЕГОРОДКАМИ I ЗВ’ЯЗАНИХ
З АКУСТИЧНИМ СЕРЕДОВИЩЕМ
В. Н. О Л IЙ Н И К
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Одержано 19.03.2008
Розглянуто можливiсть поширення гармонiчних хвиль у системi двох перiодично пiдкрiплених жорсткими попере-
чними перегородками паралельних iдеально пружних стержнiв, якi рухаються синхронно. Об’єми, обмеженi стер-
жнями й сусiднiми перегородками, заповненi акустичним середовищем без дисипацiї. Iз застосуванням методу Фло-
ке одержано вiдповiдне дисперсiйне рiвняння i проаналiзовано його коренi. Для ряду часткових випадкiв вказанi
дiапазони iснування хвилi, що поширюється. Встановлено, що при геометричних i фiзичних параметрах, якi вiдпо-
вiдають будовi легеневої паренхiми, для всього звукового частотного дiапазону фазова швидкiсть знайденої хвилi
не диспергує й вiдповiдає ефективнiй швидкостi поширення поздовжньої хвилi у гетерогенному середовищi.
Рассмотрена возможность распространения гармонических волн в системе двух периодически подкрепленных жес-
ткими поперечными перегородками параллельных идеально упругих стержней, движущихся синхронно. Объемы,
ограниченные стержнями и соседними перегородками, заполнены акустической средой без диссипации. С примене-
нием метода Флоке получено соответствующее дисперсионное уравнение и проанализированы его корни. Для ряда
частных случаев указаны диапазоны существования распространяющейся волны. Установлено, что при геометри-
ческих и физических параметрах, соответствующих строению легочной паренхимы, для всего звукового частотного
диапазона фазовая скорость найденной волны не диспергирует и соответствует эффективной скорости распростра-
нения продольной волны в гетерогенной среде.
The paper deals with considering the possibility of harmonic wave propagation in the system of two synchronically moving
ideal elastic rods periodically supported by rigid transverse barriers. The volumes bounded by the rods and adjacent
barriers are filled with a non-dissipative acoustic medium. With use of the Floquet method, the corresponding dispersion
equation has been obtained and its roots have been analyzed. For some particular cases, wave propagation bands are
specified. For all audible frequency range, it is shown that phase velocity of the obtained wave does not disperse and
corresponds to the effective propagation velocity of the longitudinal wave in heterogeneous medium.
ВСТУП
Хвильовi властивостi перiодичних структур,
складених з однорiдних елементiв, давно стали
одним з традицiйних модельних об’єктiв у фiзи-
цi [1]. Значною мiрою це пояснюється генетичною
спорiдненiстю дискретних перiодичних систем з
упорядкованою атомарною або молекулярною бу-
довою кристалiчних граток [2]. Саме на базi такого
пiдходу вдалося пояснити ряд фундаментальних
фiзичних ефектiв для таких матерiалiв. Багато-
ступеневi електричнi контури аналогiчної будови
широко використовуються в радiотехнiцi й акусти-
цi як частотнi фiльтри та лiнiї затримки [3, 4].
Повний перелiк сучасних наукових напрямкiв,
дотичних до застосування перiодичних структур,
далеко виходить за межi цiєї статтi. Щоб проiлю-
струвати їхню iнтенсивнiсть i рiзноплановiсть, на-
ведемо лише деякi з публiкацiй у провiдних нау-
кових журналах за останнє десятилiття [5 – 13]. У
цьому контекстi зауважимо, що найбiльша увага
придiляється вивченню властивостей електрома-
гнiтних хвилеводiв та дифракцiї хвиль на криста-
лiчних гратках (зокрема, ролi локальних дефектiв
у модифiкацiї частотних i просторових дiапазонiв
пропускання).
Не оминули увагою перiодичнi структури й аку-
стики та механiки, якi працюють на базi кон-
тинуальних пiдходiв. Насамперед, це стосується
дослiдження властивостей композитних матерiа-
лiв [14, 15], поширення хвиль у шаруватих середо-
вищах [16], дифракцiї акустичних [18] i гравiтацiй-
них [17] хвиль на дискретних бар’єрах, структур-
ної акустики [19 –25], тощо.
Така потреба виникла, оскiльки iснуючi моделi
гетерогенних середовищ з газорiдинним заповнен-
ням виявились неспроможними пояснити ряд екс-
периментальних результатiв, одержаних при вимi-
рюваннi швидкостi звуку в препарованих легенях.
Так, при iмпульсному навантаженнi стiнки легенi
можуть виникати специфiчнi хвилi [26 –28], якi не
є поперечними i не можуть бути ототожненi з по-
здовжнiми хвилями першого або другого роду в
рамках моделi Бiо [29]. Нагадаємо, що хвиля пер-
60 c© В. Н. Олiйник, 2008
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 60 – 67
2h
b
d
y
x
(n=1)(n=0)(n=-1)
(n=1)(n=0)(n=-1)
0
[ ]
[ t, Et, ]
[ g, cg]
Рис. 1. Геометрiя перiодичної акустопружної структури
шого роду є об’ємною хвилею в однорiдному сере-
довищi з осередненими макропараметрами, а хви-
лю другого роду пов’язують з iнтенсивними руха-
ми порової рiдини вiдносно пружного скелета по-
ристого середовища [30].
Очевидно, пояснення тут слiд шукати у рiзно-
му характерi деформування паренхiми на рiвнi
її мiкроструктури при рiзних типах навантажен-
ня. Виходячи зi сказаного, продуктивною видає-
ться iдея оцiнювання ефективних акустичних па-
раметрiв легеневої паренхiми за допомогою аку-
стомеханiчних перiодичних структур. “Пiноподi-
бна” будова легеневої тканини (її основу склада-
ють ацинуси – компактнi сукупностi респiратор-
них пухирцiв-альвеол) [31] визначає можливiсть
вибору моделi у виглядi лiнiйної ланцюгової си-
стеми, складеної з тонкостiнних пружних елемен-
тiв, якими обмеженi заповненi газом об’єми. Нас
цiкавитиме низькочастотна асимптотика хвильо-
вих властивостей об’єкта, коли довжина результу-
ючої хвилi значно перевищує масштаб його стру-
ктури. Тому регуляризацiя геометрiї моделi не по-
винна суттєво вплинути на значення ефективних
акустичних параметрiв. Оскiльки ж ми припускає-
мо, що поширення дослiджуваних хвиль не супро-
воджується значним витоком альвеолярного газу
в бронхiальне дерево, доцiльно розглянути перiо-
дичну структуру з замкненими газонаповненими
комiрками. Спрощення постановки до квазiодно-
вимiрної системи дозволить при збереженнi основ-
них фiзичних рис об’єкта максимально унаочнити
процес одержання й iнтерпретацiї результатiв.
Основну мету цiєї статтi сформулюємо як вiд-
працювання й апробацiю методики розв’язання за-
дачi для найпростiшої комбiнацiї фiзичних, геоме-
тричних i кiнематичних властивостей нескiнченної
перiодичної акустопружної системи, за допомогою
якої моделюється поширення хвиль у легеневiй па-
ренхiми.
1. ПОСТАНОВКА I РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI
На рис. 1 зображено систему, яка складається
з двох паралельних пружних стержнiв товщиною
d, перiодично (з кроком l) пiдкрiплених перпен-
дикулярними до них жорсткими масивними тон-
костiнними перегородками довжиною 2h. Вважає-
мо, що матерiал стержнiв має густину ρt, модуль
Юнга Et i коефiцiєнт Пуассона ν , а перегородка –
погонну (на одиницю площi) масу γ. Обмеженi пе-
регородками порожнини заповненi акустичним се-
редовищем (рiдиною або газом) з густиною ρg i
швидкiстю звуку c. Механiчними й акустичними
втратами будемо нехтувати.
Розглянемо випадок синхронного руху верхньо-
го та нижнього стержнiв, коли поля змiщень i на-
пружень у них однаковим чином залежать вiд ко-
ординати x. Очевидно, що при цьому перегородки
рухаються поступально, а розподiли акустичних
полiв є функцiями лише поздовжньої координа-
ти. Задамо гармонiчний закон змiни усiх полiв з
часом – e−iωt.
Зробленi зауваження дозволяють перейти до
формалiзованої математичної постановки задачi.
У рамках прийнятої моделi обидва стержнi пред-
ставимо як послiдовностi з’єднаних ланок довжи-
В. Н. Олiйник 61
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 60 – 67
ною l, кожнiй з яких (i обмеженiй порожнинi, за-
повненiй газом) поставимо у вiдповiднiсть номер
n=0,±1,±2, . . . (див. рис. 1). Вiдтак, поле змiщень
n-ої ланки стержня позначимо через un, а потенцi-
ал швидкостi в n-iй порожнинi – через φn (вважа-
ємо, що потенцiал швидкостей пов’язаний з аку-
стичним тиском pn i коливальною швидкiстю vn
наступним чином):
pn =
dφ
dt
= −iωφ, vn = −
dφ
dx
.
У своїх областях iснування поля un i φn задоволь-
няють рiвняння
d2un
dx2
+ k2
t un = 0, kt =
ω
ct
,
ct =
√
E∗
t
ρt
, E∗
t =
Et
1 − ν
,
(1)
∇2φn + k2
gφ = 0, kg =
ω
cg
. (2)
Оператор Лапласа ∇2 у нашому випадку спрощу-
ється до d2/dx2.
Граничнi умови зводяться до спряження кiне-
матичних i динамiчних величин у вузлах – то-
чках крiплення перегородок. Так, вимагається не-
перервнiсть змiщень (швидкостей) межуючих кiн-
цiв ланок i акустичного середовища на перегород-
цi:
un|x=nl = un+1|x=nl,
−
dφn
dx
∣
∣
∣
∣
x=nl
= −
dφn+1
dx
∣
∣
∣
∣
x=nl
,
−
dφn
dx
∣
∣
∣
∣
x=nl
= −iωun|x=nl.
(3)
Умова динамiчної рiвноваги для перегородки за-
писується як
−2d(σn − σn+1)|x=nl + 2h(pn − pn+1)|x=nl+
+ω22γhun|x=nl = 0,
(4)
де σn =E∗
t dun/dx. У рiвняннi (4) знак мiнус при
σn−σn+1 обумовлений тим, що пружна сила, з
якою n-та ланка дiє на вузол, протилежна до
зусилля, створеного напруженнями у стержнi.
Окрiм того, тут бралося до уваги, що позитивне
значення тиску в рiдкому (газовому) середовищi
вiдповiдає його стисненню.
Дослiдимо властивостi хвиль, якi можуть по-
ширюватись у розглянутiй перiодичнiй структурi.
Для цього застосуємо загальноприйняту методику,
вiдому як теорема Флоке [16,19,20,25]. При цьому
загальний розв’язок записують у виглядi гармо-
нiчної хвилi ∼ ei(κx−ωt) з невiдомою константою
поширення κ i амплiтудою, яка взагалi може бу-
ти модульованою за координатою, поперечною до
напрямку поширення. Нагадаємо, що в межах вве-
дених спрощень жоден з амплiтудних множникiв
не залежить вiд y, тож у нашому випадку шука-
на хвиля буде плоскою в точному значеннi цього
слова.
Константа поширення κ i вiдповiдна фазова
швидкiсть c=ω/κ визначаються як розв’язки дис-
персiйного рiвняння системи. Для того, щоб виве-
сти його, граничнi умови слiд доповнити умова-
ми перiодичностi для фiзичних полiв, якi виплива-
ють з нав’язаної гармонiчної залежностi вiдносно
x. Беручи до уваги очевидний зв’язок мiж σn, vn
i першими похiдними вiдповiдних величин, маємо
un|x=(n−1)l eiκl = un+1|x=nl,
φn|x=(n−1)l eiκl = φn+1|x=nl,
−
dun
dx
∣
∣
∣
∣
x=(n−1)l
eiκl = −
dun+1
dx
∣
∣
∣
∣
x=nl
,
−
dφn
dx
∣
∣
∣
∣
x=(n−1)l
eiκl = −
dφn+1
dx
∣
∣
∣
∣
x=nl
.
(5)
Запишемо загальнi розв’язки для un та φn, якi
задовольняють рiвняння руху (1), (2):
un = U1neiktx + U2ne−iktx,
φn = Φ1neikgx + Φ2ne−ikgx.
(6)
Використавши умови перiодичностi, отримуємо
U1n = eiκxe−iktx, U2n = eiκxeiktx,
Φ1n = eiκxe−ikgx, Φ2n = eiκxeikgx.
(7)
Строго кажучи, вже на цьому етапi пiдстановка
виразiв (6), (7) у граничнi умови (3), (4) дозволяє
одержати систему з чотирьох однорiдних лiнiйних
алгебраїчних рiвнянь вiдносно чотирьох невiдо-
мих коефiцiєнтiв, умова iснування нетривiального
розв’язку якої й породжує дисперсiйне рiвняння
для визначення κ. Проте для того, щоб знизити
порядок визначника, який стоїть у лiвiй частинi
цього рiвняння, доцiльно виразити акустичний по-
тенцiал φn через змiщення перегородок x=(n − 1)l
62 В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 60 – 67
i x=nl:
i sin kgl
cg
φn =
[
un|x=nl cos kg(x − (n − 1)l)−
−un|x=(n−1)l cos kg(x − nl)
]
=
= U1n
[
cos kg(x − (n − 1)l)−
−e−iktl cos kg(x − nl)
]
+
+U2n
[
cos kg(x − (n − 1)l)−
−eiktl cos kg(x − nl)
]
.
(8)
Змiстовнiсть цiєї процедури стає бiльш наочною,
якщо ускладнити постановку, допустивши можли-
вiсть повороту або прогину вставки. У цих випад-
ках акустичне поле φn вже суттєво залежить вiд y
i представляється як ряд за вiдповiдними власни-
ми формами. Тодi тiльки встановлення явної за-
лежностi φn =F(U1n, U2n) забезпечує можливiсть
запису дисперсiйного рiвняння в замкнутому ви-
глядi.
Опустивши очевиднi перетворення, одержуємо
дисперсiйне рiвняння для розглянутої системи:
e2iκl − 2q eiκl + 1, (9)
q =
1
sin kgl + εgt sin ktl
×
×
[
sinkgl cos ktl + εgt sin ktl cos kgl−
−
µγ
2
ktl sin kgl sin ktl
]
;
εgt =
ρgcgh
ρtctd
; µγ =
γh
ρtdl
.
Параметр εgt характеризує ступiнь узгодженостi
хвильових опорiв перерiзiв стержня й областi iсну-
вання акустичного поля у напрямку поширення, а
величина µγ слугує мiрою масивностi вставки.
2. АНАЛIЗ КОРЕНIВ ДИСПЕРСIЙНОГО
РIВНЯННЯ
Легко помiтити, що коефiцiєнт при eiκl у спiв-
вiдношеннi (9) симетричний вiдносно фiзичних ха-
рактеристик стержня й акустичного середовища.
Дiйсно, розглянута постановка по сутi еквiвален-
тна задачi про коливання системи двох зв’язаних
стержнiв, у якiй обидвi компоненти рiвноправнi.
Розв’язки одержаного дисперсiйного рiвняння
задовольняють умову
cos κl = q.
Формально можна записати
q =
{
cosα, |q| ≤ 1,
ch α, |q| > 1.
При |q|≤1 повний набiр розв’язкiв рiвняння (9)
має вигляд
κ =
ω
c
= ±
1
l
arccos q +
πm
l
,
m = 0,±1,±2 . . .
(10)
Величиною κ при m=0 визначається найбiльше
значення фазової швидкостi c, яке ми й будемо
трактувати як швидкiсть результуючої хвилi (її
поширенню вправо вiдповiдає знак плюс). Перiо-
дичними розв’язками для m 6=0 визначаються хви-
льовi компоненти, якi зазнали на шляху поширен-
ня m вiдбиттiв i в подальшому нас не цiкавити-
муть.
При |q|>1 константа поширення κ стає уявною,
а шукана хвиля вироджується в неоднорiдну. То-
му насамперед слiд визначити областi iснування
хвиль, якi можуть поширюватись у данiй перiоди-
чнiй структурi без згасання. Велика кiлькiсть па-
раметрiв, якi входять у рiвняння (9), утруднює йо-
го повний аналiз. Для початку знехтуємо iнерцiй-
ними властивостями перегородок (µγ →0). У ва-
жливому частковому випадку εgt =1, користую-
чись вiдомими тотожностями для тригонометри-
чних величин, одержуємо
q =
cos
(kg + kt)l
2
cos
(kg − kt)l
2
,
звiдки умова iснування гармонiчної бiжучої хвилi
приймає вигляд
− sin kgl sin ktl ≤ 0.
У припущеннi cg ≤ct це спiввiдношення визначає
довгохвильову смугу пропускання ktl≤π. Харак-
тер розподiлiв q для iнших значень εgt 6=1 (рис. 2)
дозволяє стверджувати, що при нехтуваннi масою
перегородки еквiвалентна фазова швидкiсть c за-
лишається дiйсною у вказаному дiапазонi, незале-
жно вiд ступеня узгодження хвильових iмпедан-
сiв.
В. Н. Олiйник 63
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 60 – 67
kg
/2 3 /2 2
c g
/c
t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
kg
/2 3 /2 2
c g
/c
t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
а б
Рис. 2. Величина |q| при µg =0:
а – εgt=0.33; б – εgt =3
kt
/2 3 /2 2
g
0
0.5
1
1.5
kt
/2 3 /2 2
gt
0
0.5
1
1.5
а б
Рис. 3. Величина |q| при µg 6=0:
а – cg =ct б – ct/cg ≈0.058, µγ =1
Слiд зауважити, що поетапне розв’язання зада-
чi (спочатку з невагомими перегородками, а по-
тiм для еквiвалентного стержня з перiодично роз-
ташованими зосередженими масами) не забезпе-
чує одержання дисперсiйного спiввiдношення (9).
Справа у тому, що виведене на першому етапi рiв-
няння визначає еквiвалентну швидкiсть хвилi, то-
дi як для коректної постановки задачi на другому
етапi потрiбнi обидвi “промiжнi” динамiчнi вели-
чини – i пружнiсть, i густина, а не тiльки їх вiдно-
шення.
Виходячи з попереднього аналiзу, доцiльно
окремо розглянути ситуацiю cg =ct. Тодi для про-
мiжної постановки при γ=0 незалежно вiд вели-
64 В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 60 – 67
чини εgt справедливо κ=kt – компоненти систе-
ми рухаються як єдине цiле. Рис. 3, а iлюструє по-
ведiнку q для цього випадку при рiзних значен-
нях γ. З графiка видно, що для вiдносно масивних
перегородок (µγ �1) шукана хвиля може ставати
неоднорiдною навiть на досить низьких частотах.
Якщо ж µγ≈1, то дiапазон пропускання залишає-
ться досить широким – принаймнi до ktl≈π/2.
Виберемо геометричнi й фiзичнi параме-
три, наближенi до характеристик матерiальних
компонент паренхiми [31, 33]: l=2h=3·10−4 м,
b=2d=5·10−6 м, ρg =1.29 кг/м
3
, cg =330 м/с,
ρt =1.1·103 кг/м3, Et =2·105 Па, ν=0.4999999
(ct≈19.1 м/с) γ=bρt. Тодi обидва безрозмiрних
параметри, якi входять до виразу для q, близькi
до одиницi – εgt≈0.813, µγ =1. Цiкаво, що при
цьому ct/cg≈0.058�1. Вiдповiдна залежнiсть
величини q вiд εgt (див. рис. 3б) показує, що у
цьому випадку константа поширення приймає
дiйснi значення при ktl≤π, коли просторовий
перiод l менший за половину довжини хвилi в
стержнi.
Для вiдносно коротких хвиль, довжина яких
спiврозмiрна з перiодом структури, система стає
чутливою до навiть незначних нерегулярностей,
якi завжди наявнi в реальностi. Унаслiдок цього
може проявлятись вiдоме явище локалiзацiї хвиль
на дефектi – непроходження через неоднорiднiсть
(див., наприклад [10,24]). Окрiм того, зi збiльшен-
ням частоти зростає роль внутрiшнiх втрат, якi у
нашiй моделi не враховувались. Тому в подальшо-
му зосередимось саме на дослiдженнi низькочасто-
тних (довгохвильових) властивостей моделi.
Для kg, kt�1, замiнивши тригонометричнi
функцiї їхнiми наближеними значеннями при
малих аргументах sin z≈z i cos z≈1−z2/2,
одержуємо
c2 ≈
E∗
t d + Bgh
ρgh + ρtd + γh/l
. (11)
Тут Bg =ρgc
2
g – гiдростатична пружнiсть газу. Як
i слiд було очiкувати, при ω→0 система поводить
себе аналогiчно до стержня з еквiвалентними ста-
тичними пружнiстю й густиною, якi визначають-
ся своїми значеннями, осередненими по об’ємних
частках вiдповiдних компонент. Це значення c вiд-
повiдає традицiйнiй хвилi об’ємної деформацiї в
середовищi з осередненими механiчними характе-
ристиками [32] i повнiстю узгоджується з уявле-
ннями про значення ефективної швидкостi об’єм-
них хвиль у шаруватiй структурi [16]. Одержаний
результат також не суперечить даним для суспен-
зiї бульбашок зi стiнками, пiдкрiпленими пружною
kt
0.02 0.1 0.2 1 2
c
(m
/s
)
45
50
55
60
65
f (kHz)
1 2 10 20
gt = 0.813
gt = 1.15
/3/4
Рис. 4. Частотна залежнiсть c при ct/cg ≈0.058, µγ =1
оболонкою [33], якщо врахувати поправку на рi-
зницю в геометрiї обох систем i те, що дисперго-
ванi в суспензiї бульбашки не зв’язанi мiж собою.
Таким чином, фазову швидкiсть (11) можна ото-
тожнити з так званою райсiвською швидкiстю зву-
ку в паренхiмi [34 – 37].
Для того, щоб оцiнити межi застосування
низькочастотної асимптотики (11), звернiмося до
рис. 4, на якому зображенi частотнi залежностi ве-
личини c для εgt =0.813 i 1.15. Iз графiка видно, що
змiна величини фазової швидкостi не перевищує
1 % аж до ktl≈π/4 (1/8 довжини хвилi в стержнi).
При вибраних геометричних i фiзичних параме-
трах перiодичної структури верхня межа цього дi-
апазону вiдповiдає частотi порядку 7.8 кГц. Цей
висновок узгоджується з експериментальними да-
ними [34 – 37], згiдно з якими зафiксована швид-
кiсть звуку в паренхiмi не диспергує практично
в усьому звуковому дiапазонi частот. Принагiдно
зауважимо, що принципово iнший механiзм дис-
персiї й дисипацiї звуку в легенях – термодинамi-
чний – був розглянутий у роботi [38].
ВИСНОВКИ
Розглянуто можливiсть поширення гармонiчних
хвиль в акустопружнiй перiодичнiй структурi,
утворенiй двома паралельними пружними стер-
жнями, перiодично пiдкрiпленими жорсткими по-
перечними перегородками, якi рухаються син-
хронно. Об’єми, обмеженi стержнями й сусiднi-
ми перегородками, вважалися заповненими аку-
В. Н. Олiйник 65
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 60 – 67
стичним середовищем. Iз застосуванням методу
Флоке одержано дисперсiйне рiвняння системи i
проаналiзованi його коренi. Для ряду часткових
випадкiв вказанi дiапазони iснування хвилi, що по-
ширюється. Встановлено, що при геометричних i
фiзичних параметрах, якi вiдповiдають будовi ле-
геневої паренхiми, для всього звукового частотно-
го дiапазону фазова швидкiсть знайденої хвилi не
диспергує й вiдповiдає ефективнiй швидкостi по-
ширення поздовжньої хвилi у гетерогенному сере-
довищi. Розроблена методика може бути пошире-
на на бiльш складнi випадки, коли стержнi руха-
ються зi зсувом фаз або допускається прогин пе-
регородок.
1. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн
в периодических структурах.– М.: ИИЛ, 1959.–
458 с.
2. Борн М., Кунь Х. Теория кристаллических
решеток.– М.: ИИЛ, 1959.– 488 с.
3. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний.– М.:
Наука, 1964.– 437 с.
4. Ржевкин С. Н. Курс лекций по теории звука.– М.:
Изд-во МГУ, 1960.– 335 с.
5. Konotop V. V. On wave propagation in periodic
structures with smoothly varying parameters //
J. Opt. Soc. Amer. B.– 1997.– 14, N 2.– P. 364–369.
6. Amari S., Vahldieck R., Bornemann J. Accurate
analysis of periodic structures with an additional
symmetry in the unit cell from classical matrix
eigenvalues // IEEE Trans. Microwave Theory
Techs.– 1998.– 46, N 10.– P. 1513–1515.
7. Chigrin D. N., Lavrinenko A. V., Yarotsky D. A.,
Gaponenko S. V. All-dielectric one-dimensional peri-
odic structures for total omnidirectional reflection
and partial spontaneous emission control // J. Li-
ghtwave Technol.– 1999.– 17, N 11.– P. 2018–2024.
8. Ruzzene M., Scarpa F., Soranna F. Wave beami-
ng effects in two-dimensional cellular structures //
Smart Mater. Struct.– 2003.– 12, N 3.– P. 363–372.
9. Martinsson P. G., Movchan A. B. Vibrations of latti-
ce structures and phononic band gaps // Quart. J.
Mech. Appl. Math.– 2003.– 56.– P. 45–64.
10. Khelif A., Wilm M., Laude V., Ballandras S. Guided
elastic waves along a rod defect of a two-dimensional
phononic crystal // Phys. Rev. E.– 2004.– 69.–
P. 067601(1–4).
11. Игнатченко В. А., Лалетин О. Н. Волны в сверхре-
шетке с произвольной толщиной границы между
слоями // Теор. мат. физ.– 2004.– 46, вып. 12.–
С. 2216–2223.
12. Poirier L., Thompson R. I., Hache A. Impossibility of
negative group velocities in a periodic layer structure
with or without loss // Opt. Comm.– 2005.– 250.–
P. 258–265.
13. Силин Р. А. Электромагнитные волны в искус-
ственных периодических структурах // Успехи
физ. наук.– 2006.– 175.– С. 562–565.
14. Kafesaki M., Sigalas M. M. Economou E. N. Elastic
wave band gaps in 3-D periodic polymer matrix
composites // Solid State Comm.– 1995.– 96, N 5.–
P. 285–289.
15. Vasseur J. O., Deymier P. A. Propagation of acoustic
waves in periodic and random two-dimensional
composite media // J. Mater. Resch.– 1997.– 12,
N 8.– P. 2207–2212.
16. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах.– М.:
Наука, 1973.– 344 с.
17. Iver P. M. Water-wave propagation through an infi-
nite array of cylindrical structures // J. Fluid Mech.–
2000.– 424.– P. 101–125.
18. Вовк И. В., Гринченко В. Т. Волновые задачи рас-
сеяния звука на упругих оболочках.– Киев: Науко-
ва думка, 1986.– 240 с.
19. Heckl M. A. Investigations on the vibrations of gri-
llages and other simple beam structures // J. Acoust.
Soc. Amer.– 1964.– 36, N 7.– P. 1335–1343.
20. Бобровницкий Ю. И. Колебания бесконечной
стержневой решетки // Акуст. ж.– 1968.– 14, N 4.–
С. 526–531.
21. Mead D. J. Free wave propagation in periodically
supported, infinite beams // J. Sound Vib.– 1970.–
11, N 2.– P. 181–197.
22. Gupta G. S. Propagation of flexural waves in doubly-
periodic structures // J. Sound Vib.– 1972.– 20, N 1.–
P. 39–49.
23. Rumerman M. L. Vibration and wave propagation in
ribbed plates // J. Acoust. Soc. Amer.– 1975.– 57,
N 2.– P. 370–373.
24. Benaroya H. Waves in periodic structures with
imperfections // Finite Elements in Analysis and
Design.– 1996.– 23.– P. 291–302.
25. Куценко А. Г. Поширення хвиль згину вздовж пе-
рiодичних ланцюгових систем платiвок // Вiсн.
Київ. ун-ту. Сер. фiз-мат. наук.– 1999.– N 4.– С. 38–
43.
26. Butler J. P., Lehr J. L., Drazen J. M. Longi-
tudinal elastic wave propagation in pulmonary
parenchyma // J. Appl. Physiol.– 1987.– 62, N 4.–
P. 1349–1355.
27. Jahed M., Lai-Fook S. J., Bhagat P. K., Kraman S. S.
Propagation of stress waves in inflated sheep lungs //
J. Appl. Physiol.– 1989.– 66, N 6.– P. 2675–2680.
28. Jahed M., Lai-Fook S. J. Stress wave velocity
measured in intact pig lungs with cross-spectral
analysis // J. Appl. Physiol.– 1994.– 76, N 2.–
P. 565–571.
29. Олiйник В. Н. Особливостi поширення хвиль у ле-
геневiй тканинi // Акуст. вiсн.– 2007.– 10, N 2.–
P. 64–78.
30. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves
in fluid-saturated porous solid // J. Acoust. Soc.
Amer.– 1956.– 28 N 2.– С. 168–191.
66 В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 1. С. 60 – 67
31. Вейбель Э. Р. Морфометрия легких человека.– М.:
Медицина, 1970.– 175 с.
32. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных
сред.– М.: Наука, 1978.– 336 с.
33. Олiйник В. Н. Вплив властивостей стiнок альвеол
на величину швидкостi звуку в легеневiй паренхi-
мi // Акуст. вiсн.– 2003.– 6, N 4.– P. 46–53.
34. Rice D. A. Sound speed in pulmonary parenchyma //
J. Appl. Physiol.– 1983.– 54, N 1.– P. 304–308.
35. Kraman S. S. Speed of low-frequency sound through
lungs of normal men // J. Appl. Physiol.– 1983.– 55,
N 6.– P. 1862–1867.
36. Yen R.T., Fung Y. C., Ho H. H., Butterman G.
Speed of stress wave propagation in lung // J. Appl.
Physiol.– 1986.– 61, N 2.– P. 701–705.
37. Paciej R., Vyshedskiy A., Shane J., Murphy R.
Transpulmonary speed of sound input into the
supraclavicular space // J. Appl. Physiol.– 2003.– 94,
N 2.– P. 604–611.
38. Олийнык В. Н. О механизмах формирования аку-
стических свойств легочной паренхимы // Акуст.
вiсн.– 2001.– 4, N 3.– С. 53–66.
В. Н. Олiйник 67
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-79765 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:20:37Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Олійник, В.Н. 2015-04-04T17:48:47Z 2015-04-04T17:48:47Z 2008 Поширення хвиль у системі двох паралельних стержнів, періодично підкріплених жорсткими поперечними перегородками і зв'язаних з акустичним середовищем / В.Н. Олійник // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 1. — С. 60-67. — Бібліогр.: 38 назв. — укр. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79765 534.22-18 Розглянуто можливість поширення гармонічних хвиль у системі двох періодично підкріплених жорсткими поперечними перегородками паралельних ідеально пружних стержнів, які рухаються синхронно. Об'єми, обмежені стержнями й сусідніми перегородками, заповнені акустичним середовищем без дисипації. Із застосуванням методу Флоке одержано відповідне дисперсійне рівняння і проаналізовано його корені. Для ряду часткових випадків вказані діапазони існування хвилі, що поширюється. Встановлено, що при геометричних і фізичних параметрах, які відповідають будові легеневої паренхіми, для всього звукового частотного діапазону фазова швидкість знайденої хвилі не диспергує й відповідає ефективній швидкості поширення поздовжньої хвилі у гетерогенному середовищі. Рассмотрена возможность распространения гармонических волн в системе двух периодически подкрепленных жесткими поперечными перегородками параллельных идеально упругих стержней, движущихся синхронно. Объемы, ограниченные стержнями и соседними перегородками, заполнены акустической средой без диссипации. С применением метода Флоке получено соответствующее дисперсионное уравнение и проанализированы его корни. Для ряда частных случаев указаны диапазоны существования распространяющейся волны. Установлено, что при геометрических и физических параметрах, соответствующих строению легочной паренхимы, для всего звукового частотного диапазона фазовая скорость найденной волны не диспергирует и соответствует эффективной скорости распространения продольной волны в гетерогенной среде. The paper deals with considering the possibility of harmonic wave propagation in the system of two synchronically moving ideal elastic rods periodically supported by rigid transverse barriers. The volumes bounded by the rods and adjacent barriers are filled with a non-dissipative acoustic medium. With use of the Floquet method, the corresponding dispersion equation has been obtained and its roots have been analyzed. For some particular cases, wave propagation bands are specified. For all audible frequency range, it is shown that phase velocity of the obtained wave does not disperse and corresponds to the effective propagation velocity of the longitudinal wave in heterogeneous medium. uk Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Поширення хвиль у системі двох паралельних стержнів, періодично підкріплених жорсткими поперечними перегородками і зв'язаних з акустичним середовищем Wave propagation in the system of two parallel rods periodically supported by rigid transverse barriers and connected with an acoustic medium Article published earlier |
| spellingShingle | Поширення хвиль у системі двох паралельних стержнів, періодично підкріплених жорсткими поперечними перегородками і зв'язаних з акустичним середовищем Олійник, В.Н. |
| title | Поширення хвиль у системі двох паралельних стержнів, періодично підкріплених жорсткими поперечними перегородками і зв'язаних з акустичним середовищем |
| title_alt | Wave propagation in the system of two parallel rods periodically supported by rigid transverse barriers and connected with an acoustic medium |
| title_full | Поширення хвиль у системі двох паралельних стержнів, періодично підкріплених жорсткими поперечними перегородками і зв'язаних з акустичним середовищем |
| title_fullStr | Поширення хвиль у системі двох паралельних стержнів, періодично підкріплених жорсткими поперечними перегородками і зв'язаних з акустичним середовищем |
| title_full_unstemmed | Поширення хвиль у системі двох паралельних стержнів, періодично підкріплених жорсткими поперечними перегородками і зв'язаних з акустичним середовищем |
| title_short | Поширення хвиль у системі двох паралельних стержнів, періодично підкріплених жорсткими поперечними перегородками і зв'язаних з акустичним середовищем |
| title_sort | поширення хвиль у системі двох паралельних стержнів, періодично підкріплених жорсткими поперечними перегородками і зв'язаних з акустичним середовищем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79765 |
| work_keys_str_mv | AT olíinikvn poširennâhvilʹusistemídvohparalelʹnihsteržnívperíodičnopídkríplenihžorstkimipoperečnimiperegorodkamiízvâzanihzakustičnimseredoviŝem AT olíinikvn wavepropagationinthesystemoftwoparallelrodsperiodicallysupportedbyrigidtransversebarriersandconnectedwithanacousticmedium |