Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих оболочек вращения с независящими от температуры свойствами в уточненной постановке
Рассмотрена задача о вынужденных резонансных колебаниях и диссипативном разогреве вязкоупругих оболочек вращения с независящими от температуры свойствами с учетом поперечных деформаций. Разработан конечно-элементный метод решения этой задачи. В качестве примера рассчитаны амплитудно- и температурно-...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Акустичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2010
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79769 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих оболочек вращения с независящими от температуры свойствами в уточненной постановке / В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, В.М. Сичко, М.И. Вертелецкий // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 3. — С. 23-30. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860137347294691328 |
|---|---|
| author | Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Сичко, В.М. Вертелецкий, М.И. |
| author_facet | Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Сичко, В.М. Вертелецкий, М.И. |
| citation_txt | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих оболочек вращения с независящими от температуры свойствами в уточненной постановке / В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, В.М. Сичко, М.И. Вертелецкий // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 3. — С. 23-30. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Акустичний вісник |
| description | Рассмотрена задача о вынужденных резонансных колебаниях и диссипативном разогреве вязкоупругих оболочек вращения с независящими от температуры свойствами с учетом поперечных деформаций. Разработан конечно-элементный метод решения этой задачи. В качестве примера рассчитаны амплитудно- и температурно-частотные динамические характеристики цилиндрической панели при колебаниях на первой изгибной моде для случаев шарнирного и жесткого опирания торцов. Исследовано влияние механических граничных условий на указанные динамические характеристики.
Розглянуто задачу про вимушені резонансні коливання й дисипативний розігрів в'язкопружних оболонок обертання з незалежними від температури властивостями з врахуванням поперечних деформацій. Розроблено скінченно-елементний метод розв'язування цієї задачі. Як приклад, розраховані амплітудно- та температурно-частотні динамічні характеристики циліндричної панелі при коливаннях на першій згинній моді для випадків шарнірного та жорсткого опирання торців панелі. Досліджено вплив механічних граничних умов на вказані динамічні характериcтики.
A problem on forced harmonic vibrations and dissipative heating of viscoelastic shells of revolution with temperature-independent properties and allowance of shear strain has been considered. A finite-element method for solving of the above problem has been developed. As an example, the amplitude and temperature characteristics of the cylindrical panel vibrating on the first bending mode have been calculated for the cases of simply supported and rigidly clamped edges. The effect of mechanical boundary conditions on the mentioned dynamic characteristics has been studied.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:47:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 23 – 30
УДК 539.3
ВЫНУЖДЕННЫЕ РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
И ДИССИПАТИВНЫЙ РАЗОГРЕВ ВЯЗКОУПРУГИХ
ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С НЕЗАВИСЯЩИМИ
ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ СВОЙСТВАМИ
В УТОЧНЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ
В. Г. КА Р Н АУ Х ОВ∗, В. И. К ОЗ Л ОВ∗,
В. М. С И Ч К О∗∗, М. И. В ЕР ТЕЛ Е Ц К ИЙ∗∗
∗Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев
∗∗Николаевский государственный университет им. В. А. Сухомлинского
Получено 04.10.2010
Рассмотрена задача о вынужденных резонансных колебаниях и диссипативном разогреве вязкоупругих оболочек
вращения с независящими от температуры свойствами с учетом поперечных деформаций. Разработан конечно-
элементный метод решения этой задачи. В качестве примера рассчитаны амплитудно- и температурно-частотные
динамические характеристики цилиндрической панели при колебаниях на первой изгибной моде для случаев шар-
нирного и жесткого опирания торцов. Исследовано влияние механических граничных условий на указанные дина-
мические характеристики.
Розглянуто задачу про вимушенi резонанснi коливання й дисипативний розiгрiв в’язкопружних оболонок обертан-
ня з незалежними вiд температури властивостями з врахуванням поперечних деформацiй. Розроблено скiнченно-
елементний метод розв’язування цiєї задачi. Як приклад, розрахованi амплiтудно- та температурно-частотнi ди-
намiчнi характеристики цилiндричної панелi при коливаннях на першiй згиннiй модi для випадкiв шарнiрного та
жорсткого опирання торцiв панелi. Дослiджено вплив механiчних граничних умов на вказанi динамiчнi характери-
cтики.
A problem on forced harmonic vibrations and dissipative heating of viscoelastic shells of revolution with temperature-
independent properties and allowance of shear strain has been considered. A finite-element method for solving of the
above problem has been developed. As an example, the amplitude and temperature characteristics of the cylindrical panel
vibrating on the first bending mode have been calculated for the cases of simply supported and rigidly clamped edges.
The effect of mechanical boundary conditions on the mentioned dynamic characteristics has been studied.
ВВЕДЕНИЕ
Оболочки вращения из вязкоупругих материа-
лов и композитов на их основе широко использу-
ются в современной технике в качестве констру-
ктивных элементов [1, 2]. При действии механиче-
ских нагрузок с частотами, близкими к резонан-
сной, в них возникают опасные для работоспосо-
бности конструкции колебания. При этом в обо-
лочке за счет диссипативного разогрева может на-
ступить существенное повышение температуры и
разрушение из-за достижения ею некоторых кри-
тических точек, например, точки плавления или
деструкции материала [3].
Для предотвращения таких нежелательных яв-
лений применяются различные пассивные и актив-
ные методы демпфирования резонансных коле-
баний. При пассивном демпфировании в кон-
струкцию включаются компоненты (как правило,
слои) с высокими гистерезисными потерями. С
этой же целью при изготовлении элементов кон-
струкций применяются композиционные матери-
алы на полимерной основе с зернистой, волокни-
стой и слоистой структурой. Достаточно полный
обзор исследований по пассивному демпфирова-
нию колебаний элементов конструкций представ-
лен в работах [4, 5].
Высокий уровень гистерезисных потерь, прису-
щих полимерным материалам, приводит к необхо-
димости учета температурных эффектов, связан-
ных с явлением так называемого диссипативно-
го разогрева – повышения температуры в резуль-
тате превращения механической энергии в тепло-
вую. При расчете же на прочность тонкостенных
элементов конструкций из композитных матери-
алов возникает необходимость в разработке уто-
чненных теорий, учитывающих, например, попе-
речные сдвиги [1, 6]. Таким образом, при гармо-
ническом нагружении для расчета динамических
характеристик тонкостенных элементов из поли-
меров и композитов на их основе необходимо учи-
тывать связанность механических и тепловых по-
лей, что существенно усложняет постановку за-
дачи и ее решение. Диссипативный разогрев ока-
зывает существенное влияние на все стороны ме-
ханического поведения таких объектов – распреде-
c© В. Г. Карнаухов, В. И. Козлов, В. М. Сичко, М. И. Вертелецкий, 2010 23
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 23 – 30
ление механических полей, амплитудно-частотные
характеристики, их статическую и динамическую
устойчивость, эффективность пассивного и актив-
ного демпфирования колебаний и пр. [7, 8]
Для математического описания колебаний и
диссипативного разогрева тонкостенных элемен-
тов конструкций из вязкоупругих и полимерных
материалов используются модели разного уров-
ня строгости с использованием классических ги-
потез Кирхгофа – Лява и уточненных гипотез ти-
па Тимошенко. Один из эффективных подходов к
учету деформаций сдвига разработан в моногра-
фии [9]. Он будет использован и в данной работе
для расчета таких динамических характеристик,
как амплитудно- и температурно-частотная хара-
ктеристики вязкоупругих оболочек вращения.
Свойства материала считаются независящими
от температуры. В этом случае решение исходной
нелинейной задачи сводится к последовательному
решению трех задач:
1) 1) задачи о вынужденных колебаниях вязкоу-
пругой цилиндрической панели при моногар-
моническом механическом нагружении;
2) расчету диссипативной функции по известно-
му механическому состоянию тела;
3) задачи теплопроводности с известным исто-
чником тепла, определяемом диссипативной
функцией.
Для моделирования механического поведения не-
упругого материала при моногармонических ко-
лебаниях использовалась концепция комплексных
параметров, разработанная в монографии [10]. За-
дачи механики и теплопроводности решались ме-
тодом конечных элементов. В качестве примера
рассчитаны динамические характеристики цилин-
дрической одно- и трехслойной панели для слу-
чаев шарнирного и жесткого защемления ее тор-
цов. Исследовано влияние механических грани-
чных условий на ее динамические характеристи-
ки.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим трехслойную оболочку вращения,
составленную из двух внешних слоев одинаковой
толщины h1 с одинаковыми вязкоупругими хара-
ктеристиками и внутреннего вязкоупругого слоя
толщиной h2. Оболочка отнесена к ортогональной
системе координат (s, θ, z) [6]. В качестве базисной
поверхности выберем срединную поверхность вну-
треннего слоя. Для сведения трехмерной задачи к
двумерной принимаем, что σzz =0. При этом ком-
плексные уравнения состояния для k-го слоя при-
нимают вид
σk
ss = Bk
11ε
k
ss + Bk
12ε
k
θθ,
σk
θθ = Bk
12ε
k
ss + Bk
22ε
k
θθ,
σk
sθ = 2Gk
12ε
k
sθ,
σsz = 2Gk
13εsz,
σθz = 2Gk
23εθz,
k = 1, 2, 3,
(1)
где для трансверсально-изотропного материала
Bk
11 =
Ek
11
1 − (νk)2
;
Bk
12 = νkBk
11;
Bk
22 = Bk
11;
Gk
12 =
1 − νk
2
Bk
11;
Gk
13 = Gk
23.
(2)
Входящие в уравнения состояния (1) сдвиговые де-
формации εsz, εθz в пределах каждого слоя аппро-
ксимируются квадратичными функциями:
εk
sz =
1
2
u1(s, θ)q
k(z),
εk
θz =
1
2
v1(s, θ)q
k(z),
q1(z) =
B1
11
2G1
13
(
1 −
z2
a2
0
)
,
q2(z) =
B2
11
2G2
13
[
a2
1
a2
0
−
z2
B2
11
(
1 −
a2
1
a2
0
)]
,
q3(z) =
B3
11
2G3
13
(
1 −
z2
a2
3
)
,
(3)
где a0, a1, a2, a3 – координаты поверхностей слоев
оболочки; u1(s, θ), v1(s, θ) – искомые функции.
В дальнейшем будем рассматривать такие обо-
лочки, для которых можно пренебречь по сравне-
нию с единицей отношениями z/R1 и z/R2 (R1 и
R2 – радиусы главных кривизн поверхности отсче-
та). Тогда выражения для компонент вектора пе-
24 В. Г. Карнаухов, В. И. Козлов, В. М. Сичко, М. И. Вертелецкий
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 23 – 30
ремещений будут такими:
uk = u0 −
∂w
∂s
z + u1f
k(z),
vk = v0 −
1
r
∂w
∂θ
z + v1f
k(z),
wk = w.
(4)
Здесь u0 и v0 – тангенциальные перемещения по-
верхности z=0; w – нормальный прогиб оболочки;
f1(z)=
B1
11
2G1
13
(
z−
z3
3a2
0
)
+
+
B2
11
2G2
13
[
2
3
a3
1
a2
0
+
B1
11
B2
11
(
1 −
a2
1
a2
0
)
a1
]
−
−
B1
11
2G1
13
(
1 −
a2
1
3a2
0
)
a1;
f2(z)=
B2
11
2G2
13
[
a2
1
a2
0
z−
z3
3a2
0
+
B1
11
B2
11
(
1−
a2
1
a2
0
)
z
]
;
f3(z)=
B3
11
2G3
13
(
z−
z3
a2
3
)
−
−
B2
11
2G2
13
[
2
3
a3
1
a2
0
+
B1
11
B2
11
(
1−
a2
1
a2
0
)
a1
]
+
+
B1
11
2G1
13
(
1−
a2
1
3a2
0
)
a1.
(5)
При этом следует учесть, что в рассматри-
ваемом случае a3 =−a0, a2 =−a1, B1
11 =B3
11,
G1
13 =G3
13. Используя соотношения Коши и зави-
симости (3), (4), компоненты тензора деформаций
k-го слоя оболочки запишем как
εk
ss = ε0
ss + χssz + δssf
k(z),
εk
θθ = ε0
θθ + χθθz + δθθf
k(z),
εk
sθ = ε0
sθ + χsθz + δsθf
k(z),
(6)
где
ε0
ss =
∂u0
∂s
+
w
R1
;
χss = −
∂2w
∂s2
;
δss =
∂u1
∂s
;
ε0
θθ =
1
r
∂v0
∂θ
+
cos φ
r
u0 +
w
R2
;
χθθ = −
(
∂2w
r2∂θ2
+
cosφ
r
∂w
∂s
)
;
δθθ =
1
r
∂v1
∂θ
+
cos φ
r
u1;
ε0
sθ =
1
2
(
∂v0
∂s
+
1
r
∂u0
∂θ
−
cosφ
r
v0
)
;
χsθ = −
(
∂2w
r∂θ∂s
−
cos φ
r2
∂w
∂θ
)
;
δsθ =
1
2
(
∂v1
∂s
+
1
r
∂u1
∂θ
−
cosφ
r
v1
)
.
(7)
Подставляя выражения (7) в соотношения (1)
и учитывая формулы (3), (5), запишем уравнения
состояния в виде
σk
ss = Bk
11[ε
0
ss + χssz + δssf
k(z)]+
+Bk
12[ε
0
θθ + χθθz + δθθf
k(z)],
σk
θθ = Bk
12[ε
0
ss + χssz + δssf
k(z)]+
+Bk
11[ε
0
θθ + χθθz + δθθf
k(z)],
σk
sθ = 2Gk
12[ε
0
sθ + χsθz + δsθf
k(z)],
σk
sz = 2Gk
13ε
k
sz = Gk
13u1q
k(z),
σk
θz = 2Gk
13ε
k
θz = Gk
13v1q
k(z).
(8)
2. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СВЯ-
ЗАННОЙ ЗАДАЧИ
Как уже было отмечено, для исследования тер-
момеханического поведения вязкоупругой оболоч-
ки вращения применяется метод конечных элемен-
тов с использованием вариационной формулиров-
ки. При этом исходная задача механики сводит-
ся к нахождению стационарных точек двумерного
В. Г. Карнаухов, В. И. Козлов, В. М. Сичко, М. И. Вертелецкий 25
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 23 – 30
функционала [11 – 13]
δЭ(s, z, θ, t) = 0, (9)
где
Э =
1
2
∫∫
F
{
c11
[
(ε0
ss)
2 + (ε0
θθ)
2
]
+
+2c12ε
0
ssε
0
θθ + 4c44(ε
0
sθ)
2 + c55(u
2
1 + v2
1)+
+D11χ
2
ss + 2D12χssχθθ + D11χ
2
θθ+
+4D44χ
2
sθ + 8Dχ
44χsθδsθ + Dδ
11δ
2
ss+
+2Dδ
12δssδθθ + Dδ
11δ
2
θθ + 4Dδ
44δ
2
sθ−
−ω2ρ1(u
2
0 + v2
0 + w2) − ω2ρ3(u
2
1 + v2
1)−
−ω2ρ2
[
(
∂w
∂s
)2
+
(
1
r
∂w
∂θ
)2
]
+
+2ω2ρ4
(
∂w
∂s
u1 +
1
r
∂w
∂θ
v1
)
− Pzw
}
rdsdθ.
(10)
Здесь введены обозначения
cij =
ak
∫
ak−1
Bk
ijdz;
Dij =
ak
∫
ak−1
Bk
ijz
2dz;
Dχ
ij =
ak
∫
ak−1
Bijzfk(z)dz;
Dδ
ij =
ak
∫
ak−1
Bk
ij(f
k(z))2dz;
c44 =
ak
∫
ak−1
G12dz;
D44 =
ak
∫
ak−1
Gk
12z
2dz;
Dχ
44
=
ak
∫
ak−1
Gk
12zfk(z)dz;
Dδ
44 =
ak
∫
ak−1
Gk
12(f
k(z))2dz;
c55 =
ak
∫
ak−1
G13(q
k(z))2dz;
(11a)
ρ1 =
ak
∫
ak−1
ρkdz;
ρ2 =
ak
∫
ak−1
ρkz2dz;
ρ3 =
ak
∫
ak−1
ρkzfk(z)dz;
ρ4 =
ak
∫
ak−1
ρk(fk(z))2dz
(11b)
(ρk – плотности материалов слоев; Pz – интен-
сивность поверхностной нагрузки). В выражени-
ях (11a), (11b) по индексу k=1, 2, 3 следует прово-
дить суммирование.
Для определения температуры диссипативного
разогрева используется трехмерное вариационное
уравнение энергии [12, 13]
∫∫∫
T
[
ck
T ρk ∂T
∂t
δT+
+λk
T
(
∂T
∂z
δ
∂T
∂z
+
∂T
∂s
δ
∂T
∂s
+
1
r
∂T
∂θ
δ
1
2
∂T
∂θ
)
+
+QkδT
]
rdsdθdz+
+
∫∫
F
αT (T − Tc)δTdF = 0,
(12)
где ck
T – коэффициент теплоемкости материала
слоя оболочки; αT – коэффициент конвективного
теплообмена на поверхности F со средой с темпе-
ратурой TC ; λk
T – коэффициент теплопроводности
материала слоя; t – время.
Для сведения трехмерной вариационной задачи
к двумерной принимаем, что нормальная состав-
ляющая qZ теплового потока изменяется по то-
лщине оболочки по линейному закону:
qz = q0 + q1z = −λk
z
∂T
∂z
. (13)
В этом случае температура в каждом k-ом слое
оболочки аппроксимируется квадратичным поли-
номом по толщинной координате z:
T = p0T1 + p1T2 + p2T3, (14)
26 В. Г. Карнаухов, В. И. Козлов, В. М. Сичко, М. И. Вертелецкий
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 23 – 30
где
p0 = 1;
p1 =
λ̄
H2
z
∫
a0
dz
λk
;
p2 =
λ̄
H3
z
∫
a0
zdz
λk
z
;
λ̄ =
a1
∫
a0
λ1dz +
a2
∫
a1
λ2dz +
a3
∫
a2
λ3dz;
H – толщина оболочки.
Решение вариационной задачи (9) находится
методом конечных элементов с использованием
двенадцатиузловых изопараметрических четыре-
хугольных элементов с аппроксимацией переме-
щений и геометрии оболочки в пределах четыре-
хугольника полиномами третьей степени [12 –14].
При этом прогиб в пределах элемента аппрокси-
мируется бикубическими полиномами Эрмита
w =
4
∑
i=1
Liwi +
4
∑
i=1
Li+4
(
∂w
∂s
)
i
+
+
4
∑
i=1
Li+8
(
∂w
r∂θ
)
i
+
4
∑
i=1
Li+12
(
∂2w
r∂s∂θ
)
i
,
(15)
где wi, (∂w/∂s)i, (∂w/r∂θ)i, (∂2w/r∂s∂θ)i – ам-
плитудные значения прогиба и его производных в
узловых точках; Lk – полиномы Эрмита [11 – 14]:
L1 =
1
16
(2 − 3ξ + ξ3)(2 − 3η + η3);
L2 =
1
16
(2 + 3ξ − ξ3)(2 − 3η + η3);
L3 =
1
16
(2 + 3ξ − ξ3)(2 + 3η − η3);
L4 =
1
16
(2 − 3ξ + ξ3)(2 + 3η − η3);
L5 =
l12
32
(1 − ξ − ξ2 + ξ3)(2 − 3η + η3);
L6 =
l12
32
(−1 − ξ + ξ2 + ξ3)(2 − 3η + η3);
L7 =
l34
32
(−1 − ξ + ξ2 + ξ3)(2 + 3η − η3);
L8 =
l34
32
(1 − ξ − ξ2 + ξ3)(2 + 3η − η3);
L9 =
l14
32
(2 − 3ξ + ξ3)(1 − η − η2 + η3);
L10 =
l23
32
(2 + 3ξ − ξ3)(1 − η − η2 + η3);
L11 =
l23
32
(2 + 3ξ − ξ3)(−1 − η − η2 + η3);
L12 =
l14
32
(2 − 3ξ − ξ3)(−1 − η + η2 + η3);
L13 =
l12l14
64
(1 − ξ − ξ2 + ξ3)(1 − η − η2 + η3);
L14 =
l12l23
64
(−1 − ξ + ξ2 + ξ3)(1 − η − η2 + η3);
L15 =
l23l34
64
(−1 − ξ + ξ2 + ξ3)(−1 − η + η2 + η3);
L16 =
l14l34
64
(1 − ξ − ξ2 + ξ3)(−1 − η + η2 + η3);
lij – расстояние между соответствующими верши-
нами элемента.
Тангенциальные составляющие перемещений
срединной поверхности и сдвиговые деформации
оболочки в пределах элемента аппроксимируются
кубическими полиномами
u0 =
12
∑
i=1
Niu
i
0,
v0 =
12
∑
i=1
Niv
i
0,
u1 =
12
∑
i=1
Niu
i
1,
v1 =
12
∑
i=1
Niv
i
1,
(16)
где
N1 =
1
32
(1 − ξ)(1 − η)[9(ξ2 + η2) − 10];
N2 =
1
32
(1 + ξ)(1 − η)[9(ξ2 + η2) − 10];
N3 =
1
32
(1 + ξ)(1 + η)[9(ξ2 + η2) − 10];
N4 =
1
32
(1 − ξ)(1 + η)[9(ξ2 + η2) − 10];
В. Г. Карнаухов, В. И. Козлов, В. М. Сичко, М. И. Вертелецкий 27
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 23 – 30
N5 =
9
32
(1 − ξ2)(1 − 3ξ)(1 − η);
N6 =
9
32
(1 − ξ2)(1 + 3ξ)(1 − η);
N7 =
9
32
(1 + ξ)(1 − η2)(1 − 3η);
N8 =
9
32
(1 + ξ)(1 − η2)(1 + 3η);
N9 =
9
32
(1 − ξ2)(1 + 3ξ)(1 + η);
N10 =
9
32
(1 − ξ2)(1 − 3ξ)(1 + η);
N11 =
9
32
(1 − ξ)(1 − η2)(1 + 3η);
N12 =
9
32
(1 − ξ)(1 − η2)(1 − 3η).
В качестве глобальной системы координат, в
которой объединяются все конечные элементы,
используется цилиндрическая система координат
(r, θ, s). Меридиональная (s) и осевая (x) коорди-
наты связаны соотношениями
ds = Adx, A =
√
1 +
(
dr
dx
)2
.
В качестве локальной системы координат, в кото-
рой определяются аппроксимирующие функции и
производится интегрирование, используется нор-
мализованная система координат (ξ, η). При этом
связь между координатами s ,r, θ и координатами
ξ, η определяется зависимостями
s =
12
∑
i=1
Nisi,
r =
12
∑
i=1
Niri,
θ =
12
∑
i=1
Niθi,
(17)
где si, ri, θi – узловые значения координат.
Соотношения (15) и (16) показывают, что
используемый элемент имеет 64 степени свободы:
8 степеней (w, ∂w/∂s, u, v, ∂w/r∂θ, ∂2w/r∂s∂θ, u0,
v0) в каждой узловой точке и 4 степени свободы
(u0, v0, u1, v1) в каждом узле, расположенном на
сторонах четырехугольника.
Представим компоненты механического нагру-
жения, которые действуют в пределах элемента, в
виде разложения
Pi =
12
∑
i=1
NiPi. (18)
Учтя выражения для перемещений и деформа-
ций (4), (7), из условия стационарности функцио-
нала (9) получим комплексную систему линейных
алгебраических уравнений относительно танген-
циальных перемещений, деформаций сдвига, про-
гиба и его производной:
∂Э
∂wj
=
M
∑
m=1
∂Эm
∂wj
= 0,
∂Э
∂ws
i
=
M
∑
m=1
∂Эm
∂ws
i
= 0,
∂Э
∂vj
1
=
M
∑
m=1
∂Эm
∂vj
1
= 0.
(19)
При этом дифференцирование по w, ∂w/∂s,
∂w/r∂θ, ∂2w/r∂s∂θ проводится только в угловых
точках, а по u0, v0, u1, v1 – во всех точках эле-
мента. Комплексные коэффициенты системы алге-
браических уравнений (19) выражаются через ме-
ханические и геометрические характеристики обо-
лочки, а правые части определяются путем разло-
жения механической нагрузки по системе аппро-
ксимирующих функций. Такой подход позволяет
получить решение линейной задачи для слоистых
оболочек вращения при механическом нагруже-
нии.
Двумерное вариационное уравнение энергии ре-
шается на той же сетке конечных элементов. При
этом производная по времени dT/dt не варьируе-
тся и заменяется выражением
dT
dt
=
T (t + ∆t) − T (t)
∆t
.
В дальнейшем используем неявную схему решения
уравнения энергии.
3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
На основе разработанного подхода рассчи-
таны амплитудно- и температурно-частотные
динамические характеристики одно- и тре-
хслойной вязкоупругой цилиндрической панели
с шарнирным и жестким закреплением тор-
цов. Панель имеет следующие геометрические
28 В. Г. Карнаухов, В. И. Козлов, В. М. Сичко, М. И. Вертелецкий
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 23 – 30
и физические свойства (внутренний слой –
2, внешние слои – 1 и 3): размеры R=0.1 м,
h1 =h3 =0.0005 м, h2 =0.009 м, a=b=0.05 м; плот-
ности ρ1 =ρ3 =2700кг/м3, ρ2 =929 кг/м3; модули
упругости E1 =E3=7.3·1010 Па, а для внутренне-
го слоя – G′
2 =794·106, G′′
2 =73.1·106; коэффициен-
ты теплопроводности λ1 =λ3 =0.2·103 Вт/(м · K),
λ2 =0.5 Вт/(м · K). Расчеты проводились для
поверхностного давления P0 =0.13·105 Па.
На рис. 1, 2 представлены амплитудно- и
температурно-частотные характеристики одно-
слойной цилиндрической панели с шарнирно и
жестко закрепленными торцами (здесь и далее,
кривые 1 и 2 соответственно) в окрестности пер-
вого резонанса. Аналогичные результаты для тре-
хслойной цилиндрической панели показаны на
рис. 3, 4. Как видно, при одном и том же уров-
не нагружения амплитуда и температура диссипа-
тивного разогрева для шарнирного опирания ока-
зываются более высокими по сравнению со случа-
ем жесткого защемления торцов. Из представлен-
ных числовых результатов следует, что для жес-
ткого защемления при одних и тех же условиях
нагружения пассивное демпфирование оказывае-
тся более эффективным для шарнирного закре-
пления.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
С использованием уточненной теории, учитыва-
ющей поперечные деформации сдвига, предло-
жен конечно-элементный метод решения задач
о колебаниях и диссипативном разогреве одно-
и трехслойных вязкоупругих оболочек вращения.
Механическое поведение вязкоупругого материа-
ла моделировалось на основе концепции компле-
ксных характеристик. Рассмотрен случай незави-
сящих от температуры свойств материалов. Соо-
тветствующая связанная задача сведена к:
1) решению линейной динамической задачи о ко-
лебаниях оболочки из вязкоупругого матери-
ала;
2) расчету диссипативной функции по известно-
му решению задачи механики;
3) решению линейной задачи теплопроводности
с известным источником тепла.
В качестве примера рассчитаны амплитудно- и
температурно-частотные зависимости для одно- и
трехслойной цилиндрической панели при действии
на нее гармонического поверхностного давления с
0.00E+00
2.00E-05
4.00E-05
6.00E-05
8.00E-05
1.00E-04
1.20E-04
1.40E-04
1.60E-04
8000 13000 18000 23000 28000
1
2
!, 1/c
w, "
Рис. 1. Амплитудно-частотная характеристика
однослойной цилиндрической панели:
1 – шарнирное закрепление торцов,
2 – жесткое закрепление торцов
0
20
40
60
80
100
120
140
8000 13000 18000 23000 28000
2
1
T,
0
C
!, 1/c
Рис. 2. Температурно-частотная характеристика
однослойной цилиндрической панели:
1 – шарнирное закрепление торцов,
2 – жесткое закрепление торцов
частотой, близкой к первой резонансной. Иссле-
довано влияние механических граничных условий
на указанные динамические характеристики. По-
казано, что граничные условия существенно вли-
яют на динамические характеристики и на эффе-
ктивность пассивного демпфирования колебаний
панели.
В. Г. Карнаухов, В. И. Козлов, В. М. Сичко, М. И. Вертелецкий 29
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 3. С. 23 – 30
0.00E+00
1.00E-05
2.00E-05
3.00E-05
4.00E-05
5.00E-05
6.00E-05
7.00E-05
8.00E-05
9.00E-05
1.00E-04
22000 27000 32000 37000 42000 47000
2
1
w, !
", 1/c
Рис. 3. Амплитудно-частотная характеристика
трехслойной цилиндрической панели:
1 – шарнирное закрепление торцов,
2 – жесткое закрепление торцов
0
20
40
60
80
100
120
22000 27000 32000 37000 42000 47000
1
2
,!1/c
!T,!
0
C!
Рис. 4. Температурно-частотная характеристика
трехслойной цилиндрической панели:
1 – шарнирное закрепление торцов,
2 – жесткое закрепление торцов
1. Механика композитов: в 12-ти томах / Под общ.
ред. А. Н. Гузя.– К.: АСК, 1992 – 2005.
2. Hamidzaden H. R., Jazar R. N. Vibrations of thick
cylindrical structurals.– New York: Springer, 2010.–
201 p.
3. Карнаухов В. Г. Тепловое разрушение полимер-
ных элементов конструкций при моногармониче-
ском деформировании // Прикл. мех.– 2004.– 40,
№ 6.– С. 30–70.
4. Савченко Е. В. Пассивное демпфирование колеба-
ний композитных конструкций.– Нежин: Аспект –
Полiграф, 2006.– 232 с.
5. Jones D. I. G. Handbook of Viscoelestic Vibrations
Damping.– New York: John Wiley and Sons, 2001.–
391 p.
6. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных
оболочек.– М.: Наука, 1974.– 446 с.
7. Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф. Связанные зада-
чи теории вязкоупругих пластин и оболочек.– К.:
Наук. думка, 1986.– 224 с.
8. Карнаухов В. Г. Связанные задачи термовязко-
упругости.– К.: Наук. думка, 1982.– 260 с.
9. Рассказов А. О., Соколовская И. И., Шульга Н. А.
Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и
оболочек.– К.: Вища школа, 1986.– 191 с.
10. Карнаухов В. Г., Михайленко В. В. Нелинейная
термомеханика пьезоэлектрических неупругих тел
при моногармоническом нагружении.– Житомир:
Изд-во ЖГТУ, 2005.– 428 с.
11. Зенкевич О. Метод конечных элементов в
технике.– М.: Мир, 1975.– 541 с.
12. Козлов В. И. Колебания и диссипативный разо-
грев многослойной оболочки вращения из вязко-
упругого материала // Прикл. мех.– 1996.– 32,
№ 6.– С. 82–89.
13. Козлов В. И., Якименко С. Н. Термомеханиче-
ское поведение вязко-упругих тел вращения при
осесимметричном гармоническом деформирова-
нии // Прикл. мех.– 1989.– 25, № 5.– С. 22–28.
14. Hensen J. S., Heppler G. K. A Mindlin shell element
which satisfies rigid body requirements // AIAA J.–
1985.– 22, № 2.– P. 288–295.
30 В. Г. Карнаухов, В. И. Козлов, В. М. Сичко, М. И. Вертелецкий
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-79769 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:47:34Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Сичко, В.М. Вертелецкий, М.И. 2015-04-04T17:53:53Z 2015-04-04T17:53:53Z 2010 Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих оболочек вращения с независящими от температуры свойствами в уточненной постановке / В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, В.М. Сичко, М.И. Вертелецкий // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 3. — С. 23-30. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79769 539.3 Рассмотрена задача о вынужденных резонансных колебаниях и диссипативном разогреве вязкоупругих оболочек вращения с независящими от температуры свойствами с учетом поперечных деформаций. Разработан конечно-элементный метод решения этой задачи. В качестве примера рассчитаны амплитудно- и температурно-частотные динамические характеристики цилиндрической панели при колебаниях на первой изгибной моде для случаев шарнирного и жесткого опирания торцов. Исследовано влияние механических граничных условий на указанные динамические характеристики. Розглянуто задачу про вимушені резонансні коливання й дисипативний розігрів в'язкопружних оболонок обертання з незалежними від температури властивостями з врахуванням поперечних деформацій. Розроблено скінченно-елементний метод розв'язування цієї задачі. Як приклад, розраховані амплітудно- та температурно-частотні динамічні характеристики циліндричної панелі при коливаннях на першій згинній моді для випадків шарнірного та жорсткого опирання торців панелі. Досліджено вплив механічних граничних умов на вказані динамічні характериcтики. A problem on forced harmonic vibrations and dissipative heating of viscoelastic shells of revolution with temperature-independent properties and allowance of shear strain has been considered. A finite-element method for solving of the above problem has been developed. As an example, the amplitude and temperature characteristics of the cylindrical panel vibrating on the first bending mode have been calculated for the cases of simply supported and rigidly clamped edges. The effect of mechanical boundary conditions on the mentioned dynamic characteristics has been studied. ru Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих оболочек вращения с независящими от температуры свойствами в уточненной постановке Forced harmonic vibrations and dissipative heating of viscoelastic shells of revolution with temperature-independent properties in the improved statement Вимушені резонансні коливання й дисипативний розігрів в’язкопружних оболонок обертання з незалежними від температури властивостями в уточненій постановці Article published earlier |
| spellingShingle | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих оболочек вращения с независящими от температуры свойствами в уточненной постановке Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Сичко, В.М. Вертелецкий, М.И. |
| title | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих оболочек вращения с независящими от температуры свойствами в уточненной постановке |
| title_alt | Forced harmonic vibrations and dissipative heating of viscoelastic shells of revolution with temperature-independent properties in the improved statement Вимушені резонансні коливання й дисипативний розігрів в’язкопружних оболонок обертання з незалежними від температури властивостями в уточненій постановці |
| title_full | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих оболочек вращения с независящими от температуры свойствами в уточненной постановке |
| title_fullStr | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих оболочек вращения с независящими от температуры свойствами в уточненной постановке |
| title_full_unstemmed | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих оболочек вращения с независящими от температуры свойствами в уточненной постановке |
| title_short | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих оболочек вращения с независящими от температуры свойствами в уточненной постановке |
| title_sort | вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих оболочек вращения с независящими от температуры свойствами в уточненной постановке |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79769 |
| work_keys_str_mv | AT karnauhovvg vynuždennyerezonansnyekolebaniâidissipativnyirazogrevvâzkouprugihoboločekvraŝeniâsnezavisâŝimiottemperaturysvoistvamivutočnennoipostanovke AT kozlovvi vynuždennyerezonansnyekolebaniâidissipativnyirazogrevvâzkouprugihoboločekvraŝeniâsnezavisâŝimiottemperaturysvoistvamivutočnennoipostanovke AT sičkovm vynuždennyerezonansnyekolebaniâidissipativnyirazogrevvâzkouprugihoboločekvraŝeniâsnezavisâŝimiottemperaturysvoistvamivutočnennoipostanovke AT verteleckiimi vynuždennyerezonansnyekolebaniâidissipativnyirazogrevvâzkouprugihoboločekvraŝeniâsnezavisâŝimiottemperaturysvoistvamivutočnennoipostanovke AT karnauhovvg forcedharmonicvibrationsanddissipativeheatingofviscoelasticshellsofrevolutionwithtemperatureindependentpropertiesintheimprovedstatement AT kozlovvi forcedharmonicvibrationsanddissipativeheatingofviscoelasticshellsofrevolutionwithtemperatureindependentpropertiesintheimprovedstatement AT sičkovm forcedharmonicvibrationsanddissipativeheatingofviscoelasticshellsofrevolutionwithtemperatureindependentpropertiesintheimprovedstatement AT verteleckiimi forcedharmonicvibrationsanddissipativeheatingofviscoelasticshellsofrevolutionwithtemperatureindependentpropertiesintheimprovedstatement AT karnauhovvg vimušenírezonansníkolivannâidisipativniirozígrívvâzkopružnihobolonokobertannâznezaležnimivídtemperaturivlastivostâmivutočneníipostanovcí AT kozlovvi vimušenírezonansníkolivannâidisipativniirozígrívvâzkopružnihobolonokobertannâznezaležnimivídtemperaturivlastivostâmivutočneníipostanovcí AT sičkovm vimušenírezonansníkolivannâidisipativniirozígrívvâzkopružnihobolonokobertannâznezaležnimivídtemperaturivlastivostâmivutočneníipostanovcí AT verteleckiimi vimušenírezonansníkolivannâidisipativniirozígrívvâzkopružnihobolonokobertannâznezaležnimivídtemperaturivlastivostâmivutočneníipostanovcí |