Резонансный метод определения упругих постоянных конечных изотропных цилиндров
Предложена экспериментально-теоретическая методика определения упругих постоянных цилиндрических образцов с любым соотношением длины L и диаметра D. Для нахождения собственных частот осесимметричных колебаний цилиндра использован метод суперпозиции. Особое внимание уделено цилиндрам, у которых длина...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Акустичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79774 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Резонансный метод определения упругих постоянных конечных изотропных цилиндров / В.В. Мелешко, Н.С. Якименко, А.Ф. Улитко // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 3. — С. 65-75. — Бібліогр.: 47 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859613146049675264 |
|---|---|
| author | Мелешко, В.В. Якименко, Н.С. Улитко, А.Ф. |
| author_facet | Мелешко, В.В. Якименко, Н.С. Улитко, А.Ф. |
| citation_txt | Резонансный метод определения упругих постоянных конечных изотропных цилиндров / В.В. Мелешко, Н.С. Якименко, А.Ф. Улитко // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 3. — С. 65-75. — Бібліогр.: 47 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Акустичний вісник |
| description | Предложена экспериментально-теоретическая методика определения упругих постоянных цилиндрических образцов с любым соотношением длины L и диаметра D. Для нахождения собственных частот осесимметричных колебаний цилиндра использован метод суперпозиции. Особое внимание уделено цилиндрам, у которых длина и диаметр - величины одного порядка. Для них модуль сдвига и коэффициент Пуассона могут быть вычислены одновременно. Для цилиндра с L/D=1 упругие постоянные материала находятся по отношению двух низших собственных частот. При L/D=0.85314 существует точное решение - мода Кри-Лэмба. В этом случае в рассмотрение необходимо привлекать и третью частоту. Отмечено хорошее согласование расчетных и измеренных данных.
Запропоновано експериментально-теоретичну методику визначення пружних констант цилiндричних зразкiв з будь-яким вiдношенням довжини L й дiаметра D. Для знаходження власних частот осесиметричних коливань цилiндра використано метод суперпозицiї. Особливу увагу придiлено цилiндрам, у яких довжина й дiаметр - величини одного порядку. Для них модуль зсуву й коефiцiєнт Пуассона можуть бути обчисленi одночасно. Для цилiндра з L/D=1 пружнi константи матерiалу знаходяться за вiдношенням двох найнижчих власних частот. При L/D=0.85314 iснує точний розв'язок - мода Крi-Лемба. У цьому випадку до розгляду необхiдно залучати й третю частоту. Вiдзначено добре узгодження розрахункових та вимiряних даних.
An experimental-theoretical method is proposed for determining the elastic constants of isotropic homogeneous cylindrical samples with arbitrary length L to diameter D ratio. The superposition method is used to obtain natural frequencies of the cylinder's axisymmetric vibration. The study is focused on the cylinders which diameter and length are the values of similar order, so that the shear modulus and Poisson ratio may be calculated simultaneously for them. For L/D=1, the elastic constants of material are derived from the ratio of two lowest natural frequencies. At L/D=0.85314, the exact solution (the Chree-Lamb mode) exists. In this case the third natural frequency should be also involved in consideration. A good agreement between the numerical and measured data has been observed.
|
| first_indexed | 2025-11-28T15:29:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 65 – 75
УДК 539.3
РЕЗОНАНСНЫЙ МЕТОД
ОПРЕДЕЛЕНИЯ УПРУГИХ ПОСТОЯННЫХ
КОНЕЧНЫХ ИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРОВ
В. В. МЕЛ Е ШК О, Н. С. Я К И МЕН К О, А. Ф. У Л И ТК О
Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко
Получено 29.09.2008
Предложена экспериментально-теоретическая методика определения упругих постоянных цилиндрических образцов
с любым соотношением длины L и диаметра D. Для нахождения собственных частот осесимметричных колебаний
цилиндра использован метод суперпозиции. Особое внимание уделено цилиндрам, у которых длина и диаметр –
величины одного порядка. Для них модуль сдвига и коэффициент Пуассона могут быть вычислены одновременно.
Для цилиндра с L/D=1 упругие постоянные материала находятся по отношению двух низших собственных ча-
стот. При L/D=0.85314 существует точное решение – мода Кри –Лэмба. В этом случае в рассмотрение необходимо
привлекать и третью частоту. Отмечено хорошее согласование расчетных и измеренных данных.
Запропоновано експериментально-теоретичну методику визначення пружних констант цилiндричних зразкiв з будь-
яким вiдношенням довжини L й дiаметра D. Для знаходження власних частот осесиметричних коливань цилiндра
використано метод суперпозицiї. Особливу увагу придiлено цилiндрам, у яких довжина й дiаметр – величини одного
порядку. Для них модуль зсуву й коефiцiєнт Пуассона можуть бути обчисленi одночасно. Для цилiндра з L/D=1
пружнi константи матерiалу знаходяться за вiдношенням двох найнижчих власних частот. При L/D=0.85314 iснує
точний розв’язок – мода Крi –Лемба. У цьому випадку до розгляду необхiдно залучати й третю частоту. Вiдзначено
добре узгодження розрахункових та вимiряних даних.
An experimental-theoretical method is proposed for determining the elastic constants of isotropic homogeneous cylindrical
samples with arbitrary length L to diameter D ratio. The superposition method is used to obtain natural frequencies of
the cylinder’s axisymmetric vibration. The study is focused on the cylinders which diameter and length are the values of
similar order, so that the shear modulus and Poisson ratio may be calculated simultaneously for them. For L/D=1, the
elastic constants of material are derived from the ratio of two lowest natural frequencies. At L/D=0.85314, the exact
solution (the Chree – Lamb mode) exists. In this case the third natural frequency should be also involved in consideration.
A good agreement between the numerical and measured data has been observed.
ВВЕДЕНИЕ
Задачи определения неразрушающими спосо-
бами упругих постоянных изотропного материа-
ла при исследовании конкретных цилиндрических
образцов традиционно важны как с научной, так
и с практической точек зрения [1]. Их рассмотре-
ние ведется еще с середины XIX века, начиная с
работ Савара, Вертгейма, Кирхгофа и многих дру-
гих [2,3]1. Действительно, к примеру, более точное
знание упругих свойств пород Земли могло бы су-
щественно способствовать разработке уточненных
моделей среды в геофизических исследованиях.
Применение же в промышленности новых мате-
риалов с определенными характерными свойства-
ми требует постоянных усилий по совершенствова-
нию существующих и разработке новых методик,
позволяющих находить их физические (в том чи-
сле и механические) константы со все возрастаю-
щей точностью.
Во второй половине XX века упругие постоян-
1Литература, посвященная этой тематике, практически
необозрима. Достаточно сказать, что поиск в Google только
на английском языке по ключевым словам Elastic constants
and their measurements выдал 388000 ссылок!
ные материала обычно определялись неразрушаю-
щими динамическими методами на образцах в ви-
де длинных цилиндров с использованием знаний
о низших собственных частотах продольных, из-
гибных и крутильных колебаний стержней в рам-
ках классических и уточненных одномерных те-
орий [4 – 8]. Такие методики были использованы
в ряде американских стандартов, последние вер-
сии которых [9 – 12] опубликованы сравнительно
недавно. Однако на продольных модах длинных
однородных и изотропных цилиндров с длиной L
и плотностью ρ удается успешно определить лишь
модуль Юнга E, используя основную моду коле-
баний с частотой f1 =
√
E/ρ/(2L). Последующие
собственные частоты в рамках одномерной стер-
жневой модели образуют гармонический ряд, так
что нахождение модуля сдвига G и коэффици-
ента Пуассона ν требует дополнительных изме-
рений на крутильных и изгибных модах. Есте-
ственное желание определять все упругие посто-
янные на одном образце при одном типе (продоль-
ных) колебаний требует перехода к более коро-
тким стержням. При этом отношение последую-
щих собственных частот к низшей уже дает заме-
тное отличие от гармонического ряда и при задан-
c© В. В. Мелешко, Н. С. Якименко, А. Ф. Улитко, 2008 65
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 65 – 75
ном отношении длины к диаметру цилиндра зави-
сит только от ν .
Переход к образцам в виде цилиндров, длина L
и диаметр D которых соизмеримы, вызывает необ-
ходимость решения соответствующих пространс-
твенных динамических задач теории упругости
и теоретическое определение собственных частот
именно на этой основе. Из аналитических методов
решения указанной осесимметричной пространс-
твенной задачи для продольных колебаний мож-
но выделить три основных: метод суперпозиции,
метод однородных решений и метод Ритца.
При использовании метода суперпозиции [13 –
17] строится точное решение векторного уравне-
ния Ламе для вектора перемещений в виде сум-
мы двух рядов по полным системам тригономе-
трических функций и функций Бесселя по про-
дольной и радиальной координатам соответствен-
но. Произвольные коэффициенты в рядах опреде-
ляются при выполнении всех граничных условий,
что в силу неортогональности функций приводит
к бесконечной системе линейных алгебраических
уравнений. Равенство нулю определителя такой
системы дает уравнение для нахождения беско-
нечного набора безразмерных (нормированных по
модулю сдвига G) собственных частот в зависимо-
сти от коэффициента Пуассона ν и соотношения
размеров L/D. Такой подход весьма прост при чи-
сленной реализации и требует малых затрат ком-
пьютерного времени.
Метод однородных решений [18 –20] использу-
ет точные представления вектора смещений в ви-
де неортогональных рядов по нормальным волнам
Похгаммера – Кри с действительными, чисто мни-
мыми и комплексными постоянными распростра-
нения. При этом нулевые граничные условия в на-
пряжениях на боковой поверхности выполняются
тождественно, а граничные условия на торцах –
приближенно (способами наименьших квадратов
или коллокаций). Несмотря на привлекательность
общей идеи представления собственных колебаний
конечного цилиндра суммой бегущих волн в беско-
нечном цилиндре, практическая организация соо-
тветствующих вычислений весьма трудоемка. До-
полнительных усилий требует достаточно точное
определение комплексных корней дисперсионного
уравнения Похгаммера – Кри, что само по себе и
на сегодняшний день представляет непростую за-
дачу [21].
В последнее десятилетие наиболее активно ра-
звивающимся вновь стал классический метод
Рэлея – Ритца [23 – 25] (см. также пионерскую ра-
боту [22]). Отметим недавнюю дискуссию [26, 27]
относительно авторства этого замечательного ва-
риационного метода. В рамках такого подхода
компоненты вектора перемещений представляю-
тся в виде конечных двойных сумм алгебраиче-
ских полиномов от радиальной и продольной ко-
ординат с произвольными коэффициентами. Сле-
дует подчеркнуть, что при этом ни уравнения дви-
жения Ламе, ни граничные условия не выполня-
ются совсем. Минимизации подлежит квадрати-
чный функционал, выражающий разность макси-
мумов потенциальной и кинетической энергий ци-
линдра при гармонических колебаниях на задан-
ной частоте. Это приводит к однородной линейной
системе алгебраических уравнений относительно
неизвестных коэффициентов.
Несмотря на четкую идею метода, организация
вычислительного процесса требует серьезных уси-
лий, которые сейчас можно в значительной мере
переложить на компьютер. Отметим, однако, что
сам Ритц в своей последней статье [28] сумел, не-
смотря на тяжелую болезнь, проделать все вычис-
ления вручную и определить первые три десятка
собственных частот и форм изгибных колебаний
тонкой квадратной пластинки. Тем не менее, по су-
ществующим оценкам сопутствующие затраты ма-
шинного времени представляются несообразными:
согласно [25], при оптимальном (!) выборе количе-
ства полиномов (всего 88) для определения пер-
вых пяти безразмерных собственных частот коле-
баний “кубообразного” цилиндра (L/D=0.85314) с
шестью значащими цифрами потребовалось около
16 часов работы процессора класса Pentium-IV.
Несмотря на это и на активную дискуссию [23 –
25] относительно точности определения всех низ-
ших собственных частот, такой подход широко
используется в работах группы испанских уче-
ных [33 – 37] для усовершенствования методик
определения упругих постоянных цилиндров ко-
нечной длины. Цитируемые исследования суще-
ственным образом опираются на высокоточное
измерение в экспериментах спектра собствен-
ных частот на основе методики лазерной спекл-
интерферометрии [38 – 41]. Следует, однако, отме-
тить, что отсутствие достоверных данных о теоре-
тических значениях собственных частот конечного
цилиндра несколько снижает ценность такой мето-
дики.
Цель этой статьи заключается в составлении по-
дробных таблиц первых собственных частот ко-
нечного цилиндра для нескольких типичных зна-
чений L/D в зависимости от коэффициента Пу-
ассона ν и определении на этой основе упругих
постоянных материалов, используемых в экспери-
ментах [33 – 36].
66 В. В. Мелешко, Н. С. Якименко, А. Ф. Улитко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 65 – 75
1. КОЛЕБАНИЯ КОНЕЧНОГО УПРУГОГО
ЦИЛИНДРА
В этом разделе рассматриваются стационарные
вынужденные и собственные колебания изотро-
пного однородного упругого конечного цилиндра
длины L=2H и диаметра D=2a. Изотропный ма-
териал цилиндра с плотностью ρ характеризуется
двумя упругими постоянными: модулем сдвига G
и коэффициентом Пуассона ν . Цилиндр занимает
область, которая в цилиндрических координатах
(r, θ, z) с началом в его центре тяжести задается
соотношениями 0≤r≤a, 0≤θ≤2π, −H≤z≤H .
Решение соответствующих граничных задач
строится методом суперпозиции. Подробное изло-
жение всех последовательных этапов построения
решения дано в монографии [43], поэтому ниже
будут приведены лишь основные расчетные фор-
мулы.
1.1. Постановка граничных задач
Осесимметричные колебания цилиндра с ради-
альной (u) и осевой (w) компонентами вектора
перемещений описываются векторным уравнени-
ем Ламе, которое в цилиндрических координатах
сводится к двум скалярным уравнениям:
2
1 − ν
1 − 2ν
∂
∂r
[
1
r
∂(ru)
∂r
]
+
∂2u
∂z2 +
+
1
1 − 2ν
∂2w
∂z∂r
+
ρω2
G
u = 0,
1
1 − 2ν
1
r
∂
∂r
[
r
∂u
∂z
]
+
1
r
∂
∂r
[
r
∂w
∂r
]
+
+2
1 − ν
1 − 2ν
∂2w
∂z2
+
ρω2
G
w = 0,
(1)
где ω=2πf – круговая частота колебаний; f – ча-
стота колебаний в Гц. Гармонический множитель
exp(−iωt) здесь и далее опускаем.
Поверхность цилиндра считаем либо нагружен-
ной нормальными усилиями
σr = 2Gf(z), τrz = 0 при r = a,
σz = 2Gg+(r), τzr = 0 при z = H,
σz = 2Gg−(r), τzr = 0 при z = −H,
(2)
либо свободной от нагрузки
σr = 0, τrz = 0 при r = a,
σz = 0, τzr = 0 при z = ±H,
(3)
что соответствует случаям вынужденных (на
произвольной частоте) и свободных (на собствен-
ной частоте) колебаний. Здесь нормальные (σr, σz)
и касательные (τrz =τzr) напряжения связаны с
компонентами вектора перемещений (u, 0, w) зако-
ном Гука и соотношениями Коши.
Ставится задача определения безразмерных соб-
ственных частот Ω(n)=ωna
√
ρ/G=πfnD
√
ρ/G в
зависимости от коэффициента Пуассона ν и отно-
шения L/D=H/a. В силу симметрии цилиндра
относительно срединной плоскости z=0, в нем мо-
гут независимо существовать два типа колебаний:
симметричных (присвоим им индекс s), для кото-
рых u – четная, а w – нечетная функции от z (при
этом f(−z)=f(z)=f(s)(z), g+(r)=g−(r)=g(s)(r));
и антисимметричных (индекс a), для которых
u – нечетная, а w – четная функции от z
(f(−z)=−f(z)=f(a) (z), g+(r)=−g−(r)=g(a)(r)).
Очевидно, что в силу линейности задачи, такое
разделение движений в цилиндре всегда возмож-
но. При этом могут существовать такие значения
L/D, для которых некоторые собственные часто-
ты первого (Ω(s,l)) и второго (Ω(a,l)) семейств сов-
падают (l=1, 2, . . .). Этот факт нашел свое экспе-
риментальное подтверждение [42].
1.2. Построение решений граничных задач
Решения граничных задач (1), (2) и (1), (3) о
вынужденных и свободных колебаниях строятся
методом суперпозиции.
Для случая симметричных колебаний выраже-
ния для компонент вектора перемещений, удовле-
творяющие уравнениям (1), имеют вид
u(s)(r, z) = X
(s)
0
J1(γ1r)
γ1a
+ a
∞
∑
n=1
(−1)nX(s)
n ×
×
[
I1(q2r)
I1(q2a)
− k2
n + q2
2
2k2
n
I1(q1r)
I1(q1a)
]
cos knz−
−H
∞
∑
j=1
Y
(s)
j
[
λ2
j + p2
2
2λjp1
ch p1z
sh p1H
−
−p2
λj
ch p2z
sh p2H
]
J1(λjr)
J0(λja)
,
w(s)(r, z) = −Y
(s)
0
sin γ1z
γ1a
+ a
∞
∑
n=1
(−1)nX(s)
n ×
×
[
k2
n + q2
2
2knq1
I0(q1r)
I1(q1a)
− q2
kn
I0(q2r)
I1(q2a)
]
sin knz−
−H
∞
∑
j=1
Y
(s)
j
[
sh p2z
sh p2H
−
−
λ2
j + p2
2
2λ2
j
sh p1z
sh p1h
]
J0(λjr)
J0(λja)
.
(4)
В. В. Мелешко, Н. С. Якименко, А. Ф. Улитко 67
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 65 – 75
Здесь kn =nπ/H ; λj – корни уравнения J1(λa)=0;
γm =ω/cm; q2
m =k2
n−γ2
m ; p2
m =λ2
j−γ2
m ; m=1, 2; J0,
J1 – функции Бесселя первого рода; I0, I1 – мо-
дифицированные функции Бесселя первого ро-
да; c1 =c2
√
2(1−ν)/(1−2ν), c2 =
√
G/ρ – скорости
продольных и сдвиговых волн в бесконечной упру-
гой среде.
Выполнение граничных условий (2) с исполь-
зованием известных разложений гиперболических
функций и модифицированных функций Бесселя
по полным системам тригонометрических функ-
ций cos knz и функций Бесселя J0(λjr) [43] приво-
дит к бесконечной системе линейных алгебраиче-
ских уравнений относительно коэффициентов ря-
дов X
(s)
n (n=0, 1, 2, . . .) и Y
(s)
j (j =0, 1, 2, . . .):
X
(s)
0 R0 + Y
(s)
0 S0 +
∞
∑
j=1
Y
(s)
j T 0
j = f
(s)
0 ,
X
(s)
0 U0 + Y
(s)
0 V 0 +
∞
∑
n=1
X(s)
n W 0
n = g
(s)
0 ,
Y
(s)
0 Sn + X(s)
n P (s)
n (q) +
∞
∑
j=1
Y
(s)
j Tn
j = f(s)
n ,
X
(s)
0 U j + Y
(s)
j ∆
(s)
j (p) +
∞
∑
n=1
X(s)
n W j
n = g
(s)
j ,
(5)
где
P (s)
n (q) = q2a
I0(q2a)
I1(q2a)
− a
(k2
n + q2
2)
2
4k2
nq1
I0(q1a)
I1(q1a)
− γ2
2
k2
n
;
∆
(s)
j (p) = H
[
p2cth p2H −
(λ2
j + p2
2)
2
4λ2
jp1
cth p1H
]
;
f(s)(z) = f
(s)
0 +
∞
∑
n=1
(−1)nf(s)
n cos knz;
g(s)(r) = g0 +
∞
∑
j=1
g
(s)
j
J0(λjr)
J0(λja)
и
R0 =
[
1 − ν
1 − 2ν
J0(γ1a) − J1(γ1a)
γ1a
]
;
S0 = − ν
1 − 2ν
sinγ1H
γ1H
; T 0
j =
ν
2(1 − 2ν)
γ2
1γ2
2
λ2
jp
2
1
;
U0 =
2ν
1 − 2ν
J1(γ1a)
γ1a
; V 0 = − 1 − ν
1 − 2ν
cos γ1H ;
W 0
n = − ν
1 − 2ν
γ2
1γ2
2
k2
nq2
1
; Sn =
2ν
1 − 2ν
γ1a sinγ1H
Hq2
1
;
Tn
j =
1
1 − 2ν
γ2
1
λ2
j + q2
1
[
νγ2
2
λ2
j
− 2k2
n
λ2
j + q2
2
]
;
U j = − 2ν
1 − 2ν
γ2
1J1(γ1a)
p2
1
;
W j
n = − 1
1 − 2ν
γ2
1
k2
n + p2
1
[
νγ2
2
k2
n
−
2λ2
j
k2
n + p2
2
]
.
Для случая собственных колебаний, полагая
свободные члены в уравнениях (5) равными нулю,
получаем однородную бесконечную систему ви-
да (1), определитель которой и дает уравнение для
нахождения собственных частот Ω(s,l) (l=1, 2, . . .).
Ее корректная редукция основывается на установ-
ленном законе асимптотических выражений [43]
lim
n→∞
X(s)
n = lim
j→∞
Y
(s)
j = A
(s)
0 = const. (6)
Согласно ему, от бесконечной системы (5) к реду-
цированной конечной системе, содержащей N+1
первых неизвестных X
(s)
n (n=0, 1, . . . , N) и J+1
первых неизвестных Y
(s)
j (j=0, 1, . . . , J), а также
неизвестную постоянную A
(s)
0 , следует перейти на
основании соотношений
X(s)
n = Y
(s)
j = A
(s)
0 , n > N, j > J. (7)
Дополнительное уравнение для A
(s)
0 имеет вид
A
(s)
0 =
X
(s)
N + Y
(s)
J
2
(8)
или (альтернативный вариант)
A
(s)
0 =
π
aH(γ2
2 − γ2
1)
{
f(s)(H) − g(s)(a)−
−X
(s)
0
[
J0(γ1a) − J1(γ1a)
γ1a
]
+Y
(s)
0 cos γ1H+
+
∞
∑
n=1
X(s)
n
[
a
(k2
n + q2
1)(k
2
n + q2
2)
2k2
nq1
I0(q1a)
I1(q1a)
−
−2q1a
I0(q2a)
I1(q1a)
+
γ2
2
2k2
n
]
−
−
∞
∑
j=1
Y
(s)
j
[
H
(λ2
j + p2
1)(λ
2
j + p2
2)
2λ2
jp1
cth p1H−
−2p2Hcth p2H
]
}
.
(9)
Аналогичным образом строится представление
68 В. В. Мелешко, Н. С. Якименко, А. Ф. Улитко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 65 – 75
для антисимметричных колебаний:
u(a)(r, z) = a
∞
∑
l=1
(−1)l+1X
(a)
l ×
×
[
I1(q2r)
I1(q2a)
− k2
l + q2
2
2k2
l
I1(q1r)
I1(q1a)
]
sin klz+
+H
∞
∑
j=1
Y
(a)
j
[
λ2
j + p2
2
2λjp1
sh p1z
ch p1H
−
−p2
λj
sh p2z
ch p2H
]
J1(λjr)
J0(λja)
,
w(a)(r, z) = Y
(a)
0
cos γ1z
γ1
+ a
∞
∑
l=1
(−1)l+1X
(a)
l ×
×
[
I0(q2r)
I1(q2a)
− k2
l + s2
2
2klq1
I0(q1r)
I1(s1a)
]
cos klz+
+H
∞
∑
j=1
Y
(a)
j
[
ch p1z
ch p1H
−
−
λ2
j + p2
2
2λ2
j
ch p2z
ch p2H
]
J0(λjr)
J0(λja)
(10)
с произвольными коэффициентами X
(a)
l
(l=1, 2, . . .) и Y
(a)
j (j =0, 1, 2, . . .), в котором
kl =(2l−1)π/(2H), а остальные обозначения
соответствуют приведенным выше.
Бесконечная система для вынужденных колеба-
ний с граничными условиями (2) имеет вид
Y
(a)
0 Ṽ 0 +
∞
∑
l=1
X
(a)
l W̃ 0
l = −g
(a)
0 ,
Y
(a)
0 S̃l − X
(a)
l P
(a)
l (q)
∞
∑
j=1
Y
(a)
j T̃ l
j = f
(a)
l ,
−Y
(s)
j ∆
(a)
j (p) +
∞
∑
l=1
X
(a)
l W̃ j
l = g
(a)
j .
(11)
Здесь
P
(a)
l (q) = q2a
I0(q2a)
I1(q2a)
− a
(k2
l + q2
2)
2
4k2
l q1
I0(q1a)
I1(q1a)
− γ2
2
k2
l
;
∆
(a)
j (p) = H
[
p2th p2H −
(λ2
j + p2
2)
2
4λ2
jp1
th p1H
]
;
f(a)(z) =
∞
∑
l=1
(−1)lf
(a)
l sin klz;
g(a)(r) = g
(a)
0 +
∞
∑
j=1
g
(a)
j
J0(λjr)
J0(λj)
и
Ṽ 0 = sinγ1H ; W̃ 0
l =
2ν
1 − 2ν
γ4
1
1
k2
l q
2
1
;
S̃l =
2ν
1 − 2ν
γ1a cos γ1H
Hq2
1
;
T̃ l
j = − 1
1 − 2ν
γ2
1
λ2
j + q2
1
[
νγ2
2
λ2
j
− 2k2
l
λ2
j + q2
2
]
;
W̃ j
l = − 1
1 − 2ν
γ2
1
k2
l + p2
1
[
νγ2
2
k2
l
−
2λ2
j
k2
l + p2
2
]
.
Как и ранее, для асимптотики неизвестных
справедливо соотношение
lim
l→∞
X
(a)
l = lim
j→∞
Y
(a)
j = A
(a)
0 = const, (12)
и переход от бесконечной системы (11) к конечной
осуществляется на основании замен
X
(a)
l = Y
(a)
j = A
(a)
0 , l > N, j > J. (13)
Дополнительное уравнение для A
(a)
0 имеет вид
A
(a)
0 =
X
(a)
N + Y
(a)
J
2
(14)
или
A
(a)
0 =
π
aH(γ2
2 − γ2
1 )
{
f(a)(H) − g(a)(a)−
−Y
(a)
0 sin γ1H+
+
∞
∑
l=1
X
(a)
l
[
a
(k2
l + q2
1)(k
2
l + q2
2)
2k2
l q1
I0(q1a)
I1(q1a)
−
−2q1a
I0(q2a)
I1(q1a)
+
γ2
2
2k2
l
]
−
−
∞
∑
j=1
Y
(a)
j
[
H
(λ2
j + p2
1)(λ
2
j + p2
2)
2λ2
jp1a
th p1H−
−2p2Hth p2H
]
}
.
(15)
Знание асимптотических законов (6), (12) особо
важно при анализе вынужденных колебаний ци-
линдра под действием заданной силовой нагруз-
ки на торцах и/или боковой поверхности на прои-
звольной частоте ω, поскольку неучет поведения
коэффициентов в рядах Фурье и Дини – Бесселя
В. В. Мелешко, Н. С. Якименко, А. Ф. Улитко 69
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 65 – 75
приводит к неустранимой погрешности в окре-
стности реберных окружностей r=a, z=±H . Ме-
тодика организации вычислений при вынужден-
ных колебаниях детально описана в книге [43].
Отметим только, что их анализ позволяет с лю-
бой точностью установить интервалы, в которых
заключены собственные частоты. На наш взгляд,
такая методика определения допустимых интерва-
лов наиболее предпочтительна и проста в числен-
ной реализации, поскольку вычисляемый опреде-
литель имеет типичные значения порядка ±10−20
(в зависимости от требуемой точности и количе-
ства вовлекаемых членов в редуцированной систе-
ме) и надежно установить переход через нуль весь-
ма затруднительно.
1.3. Моды Кри–Лэмба
Известно, что в цилиндре при определенных
отношениях L/D могут существовать весьма про-
стые собственные формы колебаний, отвечающие
точному решению граничной задачи (1), (3) и но-
сящие название мод Кри – Лэмба по именам их
первых исследователей [44,45] (отметим, что Лэмб
лишь в сноске на с. 122 упомянул о наличии та-
ких решений для цилиндра, поскольку основной
темой статьи [45] было исследование нормальных
волн в упругом слое). Эти своеобразные моды ха-
рактеризуются нулевым объемным расширением
и отсутствием касательных напряжений во всем
объеме цилиндра. Для симметричных типов дви-
жений соответствующая форма колебаний имеет
вид
u
(s,k)
C−L(r, z) = −BJ1(βkr) cosβkz,
w
(s,k)
C−L(r, z) = BJ0(βkr) sinβkz
(16)
с собственной частотой
Ω
(k)
C−L =
√
2βka, k = 1, 2, . . . ,
J ′
1(βka) = J0(βka) − J1(βka)
βka
= 0
(17)
для
(L/D)
(p,k)
C−L =
pπ
2βka
, p = 1, 3, 5, . . . (18)
Для антисимметричных типов движений
u
(a,k)
C−L(r, z) = CJ1(βkr) sin βkz,
w
(a,k)
C−L(r, z) = CJ0(βkr) cosβkz
(19)
с теми же самыми частотами Ω
(k)
C−L (17), но для
(L/D)
(p,k)
C−L =
pπ
2βka
, p = 2, 4, 6, . . . (20)
В табл. 1 приведены несколько значений Ω
(s,k)
C−L и
геометрий для мод Кри – Лэмба.
Частоты (17) и соотношения сторон (18), (20)
могут быть получены как замкнутые решения
однородных бесконечных систем (5), (11). Дей-
ствительно, принимая для однородной системы,
что
X
(s)
0 =−A
(s)
0
γ1a
2J1(γ1a)
, X(s)
n =A
(s)
0
2k2
n
k2
n+q2
2
,
Y
(s)
0 =A
(s)
0
γ1H
sin γ1H
, Y
(s)
j =A
(s)
0
2λ2
j
λ2
j +p2
2
,
(21)
после использования значений стандартных сумм
получаем, что система удовлетворена тожде-
ственно, если для частоты Ω=γ1a и отношений
H/a=L/D выполнены уравнения (17) и (18). При
этом, путем переразложений ряды в соотношени-
ях (4) суммируются в замкнутом виде и дают
выражения (16). Любопытно отметить, что пред-
ставления (21) подтверждают закон асимптотиче-
ских выражений (6).
Аналогично, для антисимметричной бесконе-
чной системы (11), полагая
X(a)
n = A
(a)
0
2k2
n
k2
n + q2
2
,
Y
(a)
0 = A
(a)
0
γ1H
cos γ1H
, Y
(a)
j = A
(a)
0
2λ2
j
λ2
j + p2
2
,
(22)
приходим к соотношениям (17), (20) для мод Кри –
Лэмба с формой перемещений вида (19).
1.4. Результаты расчетов
В табл. 2 приведены данные о зависимости расче-
тных собственных частот Ω(n) для трех симметри-
чных и трех антисимметричных мод колебаний от
коэффициента Пуассона ν для L/D=1.
При расчетах принималось N =20, J =20. Уве-
личение количества удерживаемых членов не при-
водило к изменению значений в шестом знаке.
Для полноты картины выбрано также несколь-
ко отрицательных (но термодинамически допусти-
мых) значений ν , характерных для некоторых ма-
териалов типа пиролитического графита [46]. Ви-
дно, что сами частоты и отношение Ω(2)/Ω(1) – мо-
нотонно возрастающие функции от ν . Аналогич-
ная (но с излишним, на наш взгляд, количеством
значений ν) таблица приведена в работе [34]. Не-
большие различия между этими и нашими дан-
ными объясняются тем, что в [34] использовался
приближенный метод Ритца. В наших же расче-
тах найденные значения всех собственных частот,
70 В. В. Мелешко, Н. С. Якименко, А. Ф. Улитко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 65 – 75
Табл 1. Значения первых частот Кри – Лэмба
и соответствующих геометрий для цилиндров
k (L/D)
(p,k)
C−L Ω
(p,k)
C−L
p=1 (s) p=2 (a) p=3 (s) p=4 (a) p=5 (s) p=6 (a)
1 0.853145 1.706290 2.559434 3.412579 4.265724 5.118869 2.603827
2 0.294629 0.589258 0.883886 1.178515 1.473143 1.767773 7.539799
3 0.184013 0.368027 0.552040 0.736053 0.920067 1.104080 12.07217
Табл 2. Первые шесть собственных частот Ω
(n) для L/D=1
в зависимости от коэффициента Пуассона ν
ν Ω(1) Ω(2) Ω(3) Ω(4) Ω(5) Ω(6)
−0.15 1.96243 2.02922 2.19880 2.99793 2.42077 4.13282
−0.10 2.06290 2.12040 2.28668 3.08035 2.44993 4.18240
−0.05 2.15283 2.21275 2.37224 3.15974 2.50593 4.23391
0.00 2.22144 2.30623 2.45418 3.23457 2.60383 4.28793
0.05 2.26488 2.40069 2.54115 3.30341 2.74259 4.34523
0.10 2.29012 2.49583 2.63630 3.36523 2.91695 4.40660
0.15 2.30522 2.59121 2.73756 3.41957 3.12704 4.47283
0.16 2.30749 2.61027 2.75840 3.42954 3.17366 4.48673
0.17 2.30957 2.62930 2.77942 3.43923 3.22190 4.50085
0.18 2.31149 2.64831 2.80060 3.44862 3.27181 4.51521
0.19 2.31326 2.66728 2.82196 3.45774 3.32343 4.52981
0.20 2.31489 2.68621 2.84348 3.46658 3.37678 4.54465
0.21 2.31641 2.70510 2.86516 3.47515 3.43188 4.55974
0.22 2.31782 2.72393 2.88700 3.48346 3.48874 4.57508
0.23 2.31914 2.74270 2.90900 3.49151 3.54731 4.59067
0.24 2.32037 2.76141 2.93115 3.49932 3.60753 4.60653
0.25 2.32152 2.78004 2.95345 3.50688 3.66926 4.62264
0.26 2.32259 2.79858 2.97590 3.51421 3.73230 4.63902
0.27 2.32361 2.81704 2.99849 3.52130 3.79633 4.65566
0.28 2.32456 2.83540 3.02124 3.52818 3.86092 4.67256
0.29 2.32546 2.85365 3.04412 3.53485 3.92549 4.68974
0.30 2.32630 2.87178 3.06714 3.54131 3.98929 4.70717
0.31 2.32710 2.88980 3.09030 3.54758 4.05145 4.72487
0.32 2.32786 2.90768 3.11358 3.55365 4.11106 4.74284
0.33 2.32858 2.92543 3.13700 3.55955 4.16722 4.76106
0.34 2.32926 2.94303 3.16054 3.56526 4.21923 4.77955
0.35 2.32991 2.96048 3.18420 3.57081 4.26666 4.79828
0.36 2.33053 2.97777 3.20797 3.57619 4.30938 4.81727
0.37 2.33112 2.99489 3.23185 3.58142 4.34758 4.83650
0.38 2.33168 3.01185 3.25583 3.58650 4.38160 4.85596
0.39 2.33221 3.02862 3.27991 3.59144 4.41191 4.87566
0.40 2.33273 3.04520 3.30408 3.59624 4.43900 4.89558
0.41 2.33322 3.06160 3.32833 3.60090 4.46334 4.91572
0.42 2.33369 3.07780 3.35266 3.60544 4.48534 4.93606
0.43 2.33414 3.09380 3.37706 3.60986 4.50536 4.95660
0.44 2.33457 3.10960 3.40152 3.61417 4.52371 4.97732
0.45 2.33499 3.12518 3.42602 3.61836 4.54064 4.99822
В. В. Мелешко, Н. С. Якименко, А. Ф. Улитко 71
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 65 – 75
n = 3
n = 2
n = 1
Рис. 1. Зависимость первых трех
собственных частот Ω
(n) от ν
для L/D=0.85314
Ω(3)/Ω(2)
Ω(2)/Ω(1)
Рис. 2. Отношения Ω
(2)/Ω(1) и Ω
(3)/Ω(2)
от ν для L/D=0.85314
определяемых через корректно усекаемые опреде-
лители бесконечных систем (5), (11), лежат внутри
интервалов смены знаков всех характеристик при
анализе вынужденных колебаний цилиндра.
На рис. 1 представлены зависимости пер-
вых трех собственных частот цилиндра с
L/D=0.85314, для которого собственная мо-
да колебаний (вторая или первая, в зависимости
от ν) соответствует моде Кри – Лэмба. В этом
случае отношение Ω(2)/Ω(1) уже не является
однозначной функцией ν и для определения коэф-
фициента Пуассона целесообразно использовать
отношение Ω(3)/Ω(2) (см. рис. 2).
Наконец, табл. 3 дает значения первых шести
собственных частот для L/D=2.812. Именно та-
кова была геометрия образца, использованного в
наших экспериментах на алюминиевом цилиндре.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГИХ ПОСТОЯН-
НЫХ МАТЕРИАЛА ЦИЛИНДРА
2.1. Описание методики
Знание упорядоченного набора Ω(n) собствен-
ных частот конечного цилиндра для определенно-
го значения L/D и коэффициента ν позволяет пре-
дложить такую экспериментально-теоретическую
методику определения упругих постоянных ци-
линдра. При этом следует помнить, что первые
собственные частоты Ωsk и Ωak (k=1, 2, 3) чере-
дуются начиная с симметричной моды Ωs1 при
L/D≥0.75 и антисимметричной при L/D≤0.75.
Для фиксированного L/D>0.75 отношение
Ω(2)/Ω(1)=fa1/fs1 не зависит от модуля сдвига
G и плотности ρ, являясь функцией лишь от ν .
Измерив значение двух низших (симметричной и
антисимметричной) мод колебаний и располагая
подробной таблицей или графиком зависимости
Ω(2)/Ω(1)=fa1/fs1 от ν , по данным эксперимента
можно определить значение коэффициента Пуас-
сона, проведя при необходимости линейную интер-
поляцию. Знание расчетной первой низшей часто-
ты Ωs1 и соответствующей измеренной частоты fs1
позволяет определить модуль сдвига G из соотно-
шения
G =
π2f2
s1D
2ρ
Ωs1
. (23)
Другие измеренные значения резонансных ча-
стот могут служить критерием проверки посто-
янных, найденных по указанной схеме. В рабо-
тах [34, 35] проведена оценка систематической по-
грешности методики и отмечено, что отношение
L/D=1 оптимально для ее применения. Отметим,
что предложенное первоначально в [33] итераци-
онное определение величин ν и G было излишне
громоздко и впоследствии от него отказались [34].
Своеобразной модификацией описанной методи-
ки может служить использование точных значе-
ний частот Ω
(k)
C−L мод Кри – Лэмба для некото-
рых значений L/D. Так, при L/D=0.85322 ча-
стота Ω
(1)
C−L =2.6036 является собственной часто-
той симметричных колебаний цилиндра [36]2. При
ν≥0.20 эта частота будет первой собственной ча-
стотой осесимметричных колебаний цилиндра, а
при ν≤0.20 – второй. Поэтому, измерив для тако-
го отношения L/D три последовательные частоты
резонансных колебаний цилиндра f1, f2 и f3, по
отношениям f2/f1 и f3/f2 с помощью таблицы или
рис. 1 можно однозначно определить коэффици-
2Следует отметить, что в этой работе указано неточные
значения (L/D)
(1)
C−L
и Ω
(1)
C−L
. Исправленные данные можно
найти в работе этих же авторов [37]
72 В. В. Мелешко, Н. С. Якименко, А. Ф. Улитко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 65 – 75
Табл 3. Первые шесть собственных частот Ω
(n) для L/D=2.812
в зависимости от коэффициента Пуассона ν
ν Ω(1) Ω(2) Ω(3) Ω(4) Ω(5) Ω(6)
0.30 0.89407 1.73945 2.44131 2.89780 2.94754 2.97138
0.31 0.89707 1.74267 2.44163 2.90270 2.96686 2.98833
0.32 0.90004 1.74580 2.44193 2.90649 2.98604 3.00625
0.33 0.90298 1.74883 2.44222 2.90954 3.00508 3.02475
0.34 0.90589 1.75178 2.44249 2.91208 3.02394 3.04359
0.35 0.90877 1.75465 2.44275 2.91427 3.04259 3.06263
0.36 0.91163 1.75743 2.44299 2.91619 3.06102 3.08175
0.37 0.91446 1.76014 2.44322 2.91790 3.07920 3.10090
0.38 0.91726 1.76277 2.44344 2.91946 3.09708 3.12003
0.39 0.92003 1.76533 2.44365 2.92088 3.11463 3.13910
0.40 0.92278 1.76781 2.44385 2.92219 3.13181 3.15807
ент Пуассона. Затем по формуле (23) при fs1 =f2
(для ν <0.20) или fs1 =f1 (для ν>0.20) вычисля-
ется модуль сдвига G. Отметим, что такой подход
требует четкого задания в эксперименте фиксиро-
ванного отношения L/D, что может оказаться те-
хнически трудно выполнимым.
2.2. Примеры использования методики
Рассмотрим несколько примеров использования
предложенной методики. Для начала воспользу-
емся экспериментальными данными работы [33],
в которой исследовался алюминиевый “кубообра-
зный” цилиндр с ρ=2791 кг/м3, L=D=40.30 мм.
Методом нестационарных колебаний были измере-
ны пять низших собственных частот
f1 = 58349 Гц, f2 = 73242 Гц,
f3 = 78857 Гц, f4 = 88867 Гц,
f5 = 104736 Гц.
(24)
По отношению f2/f1 =Ω(2)/Ω(1)=1.25524, ли-
нейно интерполируя данные табл. 2, находим
ν =0.3285, а из соотношения (23) – G=28.1 ГПа.
При уже определенном значении ν рассчитаем
остальные собственные частоты на основа-
нии простого соотношения fk =f1Ω
(k)/Ω(1)
(k=3, 4, 5): f
(расч)
3 =78523 Гц, f
(расч)
4 =89177 Гц,
f
(расч)
5 =104217 Гц. Отметим хорошее соответ-
ствие экспериментальных и расчетных данных.
В качестве второго примера возьмем эк-
спериментальные данные из работы [34]: “ку-
бообразный” цилиндр из нержавеющей стали
(ρ=7884 кг/м3, L=D=49.90 мм). Четыре низ-
шие собственные частоты для него составили
f1 = 46142 Гц, f2 = 56884 Гц,
f3 = 60546 Гц, f4 = 70312 Гц.
(25)
По отношению f2/f1 из табл. 2 находим ν =0.298,
а из (23) – G=76.2 ГПа. Вычисления на осно-
ве этих данных дают f
(расч)
3 =60737.1 Гц и
f
(расч)
4 =70218.2 Гц, что также превосходно согла-
суется с измерениями.
В качестве более экзотического примера обра-
тимся к методике, основанной на использовании
мод Кри – Лэмба. В работе [36, Table 1, p. 2931]
были выбраны такие образцы3:
c) стальной цилиндр:
ρc =7884 кг/м3, Lc =42.57 мм, Dc =49.90 мм,
Lc/Dc =0.8532, f1 =51725 Гц, f2 =55325 Гц,
f3 =64150 Гц, f2/f1 =1.070, f3/f2 =1.160;
d) алюминиевый цилиндр:
ρd =2791 кг/м3, Ld =33.27 мм, Dd =39.00 мм,
Ld/Dd =0.85, f1 =65275 Гц, f2 =73300 Гц,
f3 =85950 Гц, f2/f1 =1.089, f3/f2 =1.172;
g) цилиндр из отожженного кварца:
ρg =2199 кг/м3, Ld =40.45 мм, Dd =47.60 мм,
Ld/Dd =0.8498, f1 =64150 Гц, f2 =65775 Гц,
f3 =74375 Гц, f2/f1 =1.025, f3/f2 =1.131.
Обратившись к рис. 2, по отношению f2/f1 (с уче-
том f3/f2) и формуле (23) находим, что νc=0.295,
Gc=76.46 ГПа; νd =0.324, Gd=27.97 ГПа;
νg =0.167, Gd =31.22 ГПа (индексы при ν и
G соответствуют приведенному списку). Для про-
верки этих результатов были определены первые
3Нумерация в списке соответствует исходной по [36].
В. В. Мелешко, Н. С. Якименко, А. Ф. Улитко 73
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 65 – 75
безразмерные частоты для “кубообразных” образ-
цов “e” (стальной цилиндр с L=D=49.90 мм) и
“f” (алюминиевый цилиндр с L=D=40.30 мм).
По измеренным в [36] значениям f
(e)
1 =46142 Гц
и f
(f)
1 =58321 Гц они составили Ω
(1)
e =2.32715 и
Ω
(1)
f =2.32809, что также находится в отличном
соответствии с данными табл. 2 при соответству-
ющей интерполяции по коэффициенту Пуассона
ν .
В качестве четвертого примера использо-
вания применяемой методики определим по-
стоянные алюминиевого цилиндра L=101.1 мм,
D=35.95 мм [47]:
f1 = 23840 Гц, f2 = 45730 Гц,
f3 = 66800 Гц.
(26)
Здесь f2/f1 =1.9182 и на основании табл. 3 нахо-
дим, что ν=0.392, f
(расч)
3 =f1Ω
(3)/Ω(1)=63286 Гц.
Этот результат не очень согласуется с эксперимен-
тальными данными. Было высказано предположе-
ние, что наблюдаемое различие связано с влияни-
ем пьезодисков – возбудителей колебаний на тор-
цах цилиндра. Однако учет их присоединенных
масс по приближенной одномерной стержневой
модели не дал ожидаемых поправок к частоте.
Таким образом, причины указанного отклонения
должны быть исследованы более детально.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Описана экспериментально-теоретическая ме-
тодика определения упругих постоянных мате-
риалов по первым двум резонансным часто-
там осесимметричных колебаний цилиндров коне-
чной длины. Ее эффективность и высокая точ-
ность полученных результатов (ошибка в пределах
1 %) подтверждаются согласованием расчетных и
экспериментальных данных, продемонстрирован-
ным на ряде примеров. Приведены основы для те-
оретического анализа задачи.
Сравнение, проведенное по частотам выше вто-
рой, указывает на высокую точность метода при
условии точного определения частот в экспери-
менте.
Расчет собственных частот, основанный на при-
менении метода [43], занимает существенно мень-
ше компьютерного времени, чем способы, основан-
ные на методе Рэлея – Ритца [37].
1. Schreiber E., Anderson O. L., Soga N. Elastic
constants and their measurement.– New York:
McGraw-Hill, 1973.– 196 p.
2. Даген П. А. Учение о звуке.– С.-Пб: Обществен-
ная польза, 1861.– 244 с.
3. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механи-
ки деформируемых твердых тел. Часть I. Малые
деформации.– М.: Наука, 1984.– 597 с.
4. Pickett G. Equations for computing elastic constants
from flexural and torsional resonant frequencies of
vibration of prism and cylinders // Proc. Amer. Soc.
Test. Mater.– 1945.– 45.– P. 846–865.
5. Tefft W. E. Numerical solution of the frequency
equations for the flexural vibration of cylindrical
rods // J. Res. Nat. Bur. Stand.– 1960.– 64B.–
P. 237–242.
6. Spinner S., Tefft W. E. A method for determining
mechanical frequencies and for calculating elastic
moduli from these equations // Proc. Amer. Soc.
Test. Mater.– 1961.– 61.– P. 1221–1237.
7. Spinner S., Reichard W. E., Tefft W. E. A
comparison of experimental and theoretical relati-
ons between Young’s modulus and the flexural and
longitudinal frequencies of uniform bars // J. Res.
Nat. Bur. Stand.– 1960.– 64A.– P. 147–155.
8. Boileau P. E., Grenier M., Leach M. F. A modified
resonance method for determining elastic moduli //
NDT Int.– 1981.– April.– P. 43–48.
9. ASTM Standard C 623-92 (2005) Standard method
of test for Young’s modulus, shear modulus, and
Poisson’s ratio for glass and glass-ceramics by
resonance.– West Conshohocken, PA: Amer. Soc.
Test. Mater., 2005.– 7 p.
10. ASTM Standard C 747-93 (2005) Standard test
method for moduli of elasticity and fundamental
frequencies of carbon and graphic materials by sonic
resonance.– West Conshohocken, PA: Amer. Soc.
Test. Mater., 2005.– 8 p.
11. ASTM Standard C 215-02 (2002) Standard test
method for fundamental transverse, longitudinal
and torsional frequencies of concrete specimens.–
West Conshohocken, PA: Amer. Soc. Test. Mater.,
2002.– 7 p.
12. ASTM Standard C 848-88 (2006) Standard test
method for Young’s modulus, shear modulus,
and Poisson’s ratio for ceramic whitewires by
resonance.– West Conshohocken, PA: Amer. Soc.
Test. Mater., 2006.– 7 p.
13. Hutchinson J. R. Axisymmetric vibrations of a free
finite-length rod // J. Acoust. Soc. Amer.– 1972.–
51.– P. 233–240.
14. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Высокочасто-
тные осесимметpичные колебания кpуглых ди-
сков // Пpикл. мех.– 1976.– 12, N 12.– С. 60–68.
15. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Осесимметpи-
чные колебания упpугого цилиндpа конечной
длины // Акуст. ж.– 1978.– 24.– С. 861–866.
16. Hutchinson J. R. Vibrations of solid cylinders //
Trans. ASME. J. Appl. Mech.– 1980.– 47.– P. 901–
907.
17. Ebenezer D. D., Ravichandran K., Padmanabhan C.
Forced vibrations of solid elastic cylinders //
J. Sound Vib.– 2005.– 282.– P. 991–1007.
18. Чернышев К. В., Шегай В. В. Собственные ко-
лебания твердых цилиндpов конечной длины //
Акуст. ж.– 1977.– 23.– С. 627–631.
19. Kari L. Erratum to “Axially symmetric modes in fi-
nite cylinders – the wave guide solution [Wave Moti-
on, 36 (2002), 169–184]” // Wave Motion.– 2003.–
37.– P. 1901–206.
74 В. В. Мелешко, Н. С. Якименко, А. Ф. Улитко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 3. С. 65 – 75
20. Puckett A. D., Peterson M. L. A semi-analytical
model for predicting multiple propagating axi-
ally symmetric modes in cylindrical waveguides //
Ultrasonics.– 2005.– 43.– P. 197–207.
21. Zemanek J. An experimental and theoretical investi-
gation of elastic wave propagation in a cylinder //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1972.– 51.– P. 263–283.
22. Rumerman M., Raynor S. Natural frequencies of fi-
nite circular cylinders in axially symmetric longi-
tudinal vibration // J. Sound Vib.– 1971.– 15.–
P. 529–543.
23. Leissa A. W., So J. Comparisons of vibrati-
on frequencies for rods and beams from one-
dimensional and three-dimensional analysis //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1995.– 98.– P. 2122–2135.
24. Leissa A. W., So J. Accurate vibration frequencies of
circular cylinders from three-dimensional analysis //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1995.– 98.– P. 2136–2141.
25. Nieves F. J., Bayón A., Gascón F. Optimization of
the Ritz method to calculate axisymmetric natural
vibration frequencies of cylinders // J. Sound Vib.–
2008.– 311.– P. 588–596.
26. Leissa A. W. The historical bases of the Rayleigh
and Ritz methods // J. Sound Vib.– 2005.– 287.–
P. 961–978.
27. Ilanko S. Comments on the historical bases of the
Rayleigh and Ritz methods // J. Sound Vib.– 2008.–
319.– P. 731–733.
28. Ritz W. Theorie der Transversalschwingungen ei-
ner quadratische Platte mit freien Rändern // Ann.
Physik (5. Folge).– 1909.– 28.– P. 737–786.
29. Hutchinson J. R. Comments on “Comparisons of
vibration frequencies for rods and beams from
one-dimensional and three-dimensional analysis”
[J. Acoust. Soc. Amer., 98, 2122–2135 (1995)] //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1996.– 100.– P. 1890–1892.
30. Leissa A. W., So J. Responce to “Comments on
‘Comparisons of vibration frequencies for rods and
beams from one-dimensional and three-dimensional
analysis’’̇’ [J. Acoust. Soc. Amer., 100, 1890–1892
(1996)] // J. Acoust. Soc. Amer.– 1996.– 100.–
P. 1893.
31. Hutchinson J. R. Comments on “Accurate vibrati-
on frequencies of circular cylinders from three-
dimensional analysis” [J. Acoust. Soc. Amer., 98,
2136–2141 (1995)] // J. Acoust. Soc. Amer.– 1996.–
100.– P. 1894–1895.
32. Leissa A. W., So J. Response to “Comments on
“Accurate vibration frequencies of circular cyli-
nders from three-dimensional analysis’ ” [J. Acoust.
Soc. Amer., 100, 1894–1895 (1996)] // J. Acoust.
Soc. Amer.– 1996.– 100.– P. 1896.
33. Nieves F. J., Gascón F., Bayón A. Estimation of the
elastic constants of a cylinder with a length equal to
its diameter // J. Acoust. Soc. Amer.– 1998.– 104.–
P. 176–180.
34. Nieves F. J., Gascón F., Bayón A. Precise and di-
rect determination of the elastic constants of a cyli-
nder with a length equal to its diameter // Rev. Sci.
Instr.– 2000.– 71.– P. 2433–2439.
35. Nieves F. J., Gascón F., Bayón A. Measurement of
the dynamic elastic constants of short isotropic cyli-
nders // J. Sound Vib.– 2003.– 265.– P. 917–933.
36. Nieves F. J., Gascón F., Bayón A. On the natural
frequencies of short cylinders and the universal poi-
nt. Direct determination of the shear modulus //
J. Acoust. Soc. Amer.– 2004.– 115.– P. 2928–2936.
37. Nieves F. J., Gascón F., Bayón A. An analyti-
cal, numerical, and experimental study of the axi-
symmetric vibrations of a short cylinder // J. Sound
Vib.– 2008.– 313.– P. 617–630.
38. Bayón A., Gascón F., Varadé A. Measurement of
the longitudinal and transverse vibration frequenci-
es of a rod by speckle interferometry // IEEE
Trans. Ultrason. Ferroelec. Freq. Control.– 1993.–
40.– P. 265–269.
39. Bayón A., Varadé A., Gascón F. On acoustical
longitudinal vibration modes of finite cylinders //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1994.– 96.– P. 1539–1548.
40. Bayón A., Varadé A., Gascón F. Determination of
the elastic constants of isotropic solids by optical
heterodyne interferometry // J. Acoust. Soc. Amer.–
1994.– 96.– P. 2589–2592.
41. Bayón A., Varadé A., Gascón F. Elastic characteri-
zation of isotropic materials by a single test
based on the experimental determination of natural
frequencies using laser interferometry // J. Acoust.
Soc. Amer.– 1997.– 101.– P. 1990–1993.
42. Nieves F. J., Gascón F., Bayón A. A multiple
frequency in the two lowest axisymmetric vibration
modes of a short cylinder // J. Sound Vib.– 2002.–
251.– P. 741–749.
43. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические
колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук.
думка, 1981.– 284 с.
44. Chree C. Longitudinal vibrations of a circular bar //
Quart. J. Pure Appl. Math.– 1886.– 21.– P. 287–298.
45. Lamb H. On waves in an elastic plate // Proc. Roy.
Soc. Lond.– 1917.– A93.– P. 114–128.
46. Yang W., Li Z.-M., Shi W., Xie B.-H., Yang M.-B.
On auxetic materials // J. Mater. Sci.– 2004.– 39.–
P. 3269–3279.
47. Андрущенко В., Лiбов Д., Якименко М. Дослiд-
ження спектрiв пружних коливань коротких су-
цiльних цилiндрiв // Вiсн. Київ. нац. ун-ту. Сер.
Математика, механiка.– 2008.– 20.– С. 91–95.
В. В. Мелешко, Н. С. Якименко, А. Ф. Улитко 75
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-79774 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T15:29:26Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мелешко, В.В. Якименко, Н.С. Улитко, А.Ф. 2015-04-04T18:01:47Z 2015-04-04T18:01:47Z 2008 Резонансный метод определения упругих постоянных конечных изотропных цилиндров / В.В. Мелешко, Н.С. Якименко, А.Ф. Улитко // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 3. — С. 65-75. — Бібліогр.: 47 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79774 539.3 Предложена экспериментально-теоретическая методика определения упругих постоянных цилиндрических образцов с любым соотношением длины L и диаметра D. Для нахождения собственных частот осесимметричных колебаний цилиндра использован метод суперпозиции. Особое внимание уделено цилиндрам, у которых длина и диаметр - величины одного порядка. Для них модуль сдвига и коэффициент Пуассона могут быть вычислены одновременно. Для цилиндра с L/D=1 упругие постоянные материала находятся по отношению двух низших собственных частот. При L/D=0.85314 существует точное решение - мода Кри-Лэмба. В этом случае в рассмотрение необходимо привлекать и третью частоту. Отмечено хорошее согласование расчетных и измеренных данных. Запропоновано експериментально-теоретичну методику визначення пружних констант цилiндричних зразкiв з будь-яким вiдношенням довжини L й дiаметра D. Для знаходження власних частот осесиметричних коливань цилiндра використано метод суперпозицiї. Особливу увагу придiлено цилiндрам, у яких довжина й дiаметр - величини одного порядку. Для них модуль зсуву й коефiцiєнт Пуассона можуть бути обчисленi одночасно. Для цилiндра з L/D=1 пружнi константи матерiалу знаходяться за вiдношенням двох найнижчих власних частот. При L/D=0.85314 iснує точний розв'язок - мода Крi-Лемба. У цьому випадку до розгляду необхiдно залучати й третю частоту. Вiдзначено добре узгодження розрахункових та вимiряних даних. An experimental-theoretical method is proposed for determining the elastic constants of isotropic homogeneous cylindrical samples with arbitrary length L to diameter D ratio. The superposition method is used to obtain natural frequencies of the cylinder's axisymmetric vibration. The study is focused on the cylinders which diameter and length are the values of similar order, so that the shear modulus and Poisson ratio may be calculated simultaneously for them. For L/D=1, the elastic constants of material are derived from the ratio of two lowest natural frequencies. At L/D=0.85314, the exact solution (the Chree-Lamb mode) exists. In this case the third natural frequency should be also involved in consideration. A good agreement between the numerical and measured data has been observed. ru Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Резонансный метод определения упругих постоянных конечных изотропных цилиндров A resonance method for determining elastic constants of finite isotropic cylinders Article published earlier |
| spellingShingle | Резонансный метод определения упругих постоянных конечных изотропных цилиндров Мелешко, В.В. Якименко, Н.С. Улитко, А.Ф. |
| title | Резонансный метод определения упругих постоянных конечных изотропных цилиндров |
| title_alt | A resonance method for determining elastic constants of finite isotropic cylinders |
| title_full | Резонансный метод определения упругих постоянных конечных изотропных цилиндров |
| title_fullStr | Резонансный метод определения упругих постоянных конечных изотропных цилиндров |
| title_full_unstemmed | Резонансный метод определения упругих постоянных конечных изотропных цилиндров |
| title_short | Резонансный метод определения упругих постоянных конечных изотропных цилиндров |
| title_sort | резонансный метод определения упругих постоянных конечных изотропных цилиндров |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79774 |
| work_keys_str_mv | AT meleškovv rezonansnyimetodopredeleniâuprugihpostoânnyhkonečnyhizotropnyhcilindrov AT âkimenkons rezonansnyimetodopredeleniâuprugihpostoânnyhkonečnyhizotropnyhcilindrov AT ulitkoaf rezonansnyimetodopredeleniâuprugihpostoânnyhkonečnyhizotropnyhcilindrov AT meleškovv aresonancemethodfordeterminingelasticconstantsoffiniteisotropiccylinders AT âkimenkons aresonancemethodfordeterminingelasticconstantsoffiniteisotropiccylinders AT ulitkoaf aresonancemethodfordeterminingelasticconstantsoffiniteisotropiccylinders |