Поширення пульсових хвиль у великих кровоносних судинах з довiльною товщиною стiнки
Представленi рiвняння руху порожнистого пружно-деформiвного цилiндра скiнченної товщини, заповненого нестисливою нев'язкою рiдиною. Розглянуто випадок осесиметричних деформацiй при поширеннi пульсових хвиль тиску в кровоноснiй судинi. Рух цилiндра описується лiнiйною теорiєю пружностi, а рух рi...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Акустичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79832 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Поширення пульсових хвиль у великих кровоносних судинах з довiльною товщиною стiнки / Д.В. Лукомський // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 4. — С. 31-35. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-79832 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Лукомський, Д.В. 2015-04-05T14:56:48Z 2015-04-05T14:56:48Z 2008 Поширення пульсових хвиль у великих кровоносних судинах з довiльною товщиною стiнки / Д.В. Лукомський // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 4. — С. 31-35. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79832 534.22 Представленi рiвняння руху порожнистого пружно-деформiвного цилiндра скiнченної товщини, заповненого нестисливою нев'язкою рiдиною. Розглянуто випадок осесиметричних деформацiй при поширеннi пульсових хвиль тиску в кровоноснiй судинi. Рух цилiндра описується лiнiйною теорiєю пружностi, а рух рiдини - потенцiальною теорiєю. Розмiрнiсть задачi понижено за рахунок розкладу пружного поля в степеневi ряди. Аналiтично отримано закон дисперсiї в довiльному наближеннi. Уточнено значення швидкостi поширення пульсових хвиль Моенса-Кортевега. Представлены уравнения движения полого упруго-деформируемого цилиндра конечной толщины, заполненного несжимаемой невязкой жидкостью. Рассмотрен случай осесимметричных деформаций при распространении пульсовых волн давления в кровеносном сосуде. Движение цилиндра описывается линейной теорией упругости, а движение жидкости - потенциальной теорией. Размерность задачи понижена за счет разложения упругого поля в степенные ряды. Аналитически получен закон дисперсии в произвольном приближении. Уточнено значение скорости распространения пульсовых волн Моэнса-Кортевега. The paper presents the motion equations for a hollow elastically deformed cylinder of finite thickness filled with an incompressible inviscid fluid. We consider the case of axisymmetric deformations at pressure pulse wave propagation in the blood vessel. The cylinder's motion is described by the linear theory of elasticity and fluid motion - by the potential theory. The problem dimensions have been deflated through the power series expansion of the elastic field. The dispersion law in the arbitrary approximation has been analytically obtained. Quantitative estimation of the Moens-Korteweg wave propagation velocity has been improved. uk Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Поширення пульсових хвиль у великих кровоносних судинах з довiльною товщиною стiнки Pulse wave propagation in large blood vessels with arbitrary wall thickness Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Поширення пульсових хвиль у великих кровоносних судинах з довiльною товщиною стiнки |
| spellingShingle |
Поширення пульсових хвиль у великих кровоносних судинах з довiльною товщиною стiнки Лукомський, Д.В. |
| title_short |
Поширення пульсових хвиль у великих кровоносних судинах з довiльною товщиною стiнки |
| title_full |
Поширення пульсових хвиль у великих кровоносних судинах з довiльною товщиною стiнки |
| title_fullStr |
Поширення пульсових хвиль у великих кровоносних судинах з довiльною товщиною стiнки |
| title_full_unstemmed |
Поширення пульсових хвиль у великих кровоносних судинах з довiльною товщиною стiнки |
| title_sort |
поширення пульсових хвиль у великих кровоносних судинах з довiльною товщиною стiнки |
| author |
Лукомський, Д.В. |
| author_facet |
Лукомський, Д.В. |
| publishDate |
2008 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Акустичний вісник |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Pulse wave propagation in large blood vessels with arbitrary wall thickness |
| description |
Представленi рiвняння руху порожнистого пружно-деформiвного цилiндра скiнченної товщини, заповненого нестисливою нев'язкою рiдиною. Розглянуто випадок осесиметричних деформацiй при поширеннi пульсових хвиль тиску в кровоноснiй судинi. Рух цилiндра описується лiнiйною теорiєю пружностi, а рух рiдини - потенцiальною теорiєю. Розмiрнiсть задачi понижено за рахунок розкладу пружного поля в степеневi ряди. Аналiтично отримано закон дисперсiї в довiльному наближеннi. Уточнено значення швидкостi поширення пульсових хвиль Моенса-Кортевега.
Представлены уравнения движения полого упруго-деформируемого цилиндра конечной толщины, заполненного несжимаемой невязкой жидкостью. Рассмотрен случай осесимметричных деформаций при распространении пульсовых волн давления в кровеносном сосуде. Движение цилиндра описывается линейной теорией упругости, а движение жидкости - потенциальной теорией. Размерность задачи понижена за счет разложения упругого поля в степенные ряды. Аналитически получен закон дисперсии в произвольном приближении. Уточнено значение скорости распространения пульсовых волн Моэнса-Кортевега.
The paper presents the motion equations for a hollow elastically deformed cylinder of finite thickness filled with an incompressible inviscid fluid. We consider the case of axisymmetric deformations at pressure pulse wave propagation in the blood vessel. The cylinder's motion is described by the linear theory of elasticity and fluid motion - by the potential theory. The problem dimensions have been deflated through the power series expansion of the elastic field. The dispersion law in the arbitrary approximation has been analytically obtained. Quantitative estimation of the Moens-Korteweg wave propagation velocity has been improved.
|
| issn |
1028-7507 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79832 |
| citation_txt |
Поширення пульсових хвиль у великих кровоносних судинах з довiльною товщиною стiнки / Д.В. Лукомський // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 4. — С. 31-35. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT lukomsʹkiidv poširennâpulʹsovihhvilʹuvelikihkrovonosnihsudinahzdovilʹnoûtovŝinoûstinki AT lukomsʹkiidv pulsewavepropagationinlargebloodvesselswitharbitrarywallthickness |
| first_indexed |
2025-11-27T05:32:52Z |
| last_indexed |
2025-11-27T05:32:52Z |
| _version_ |
1850798845203578880 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 31 – 35
УДК 534.22
ПОШИРЕННЯ ПУЛЬСОВИХ ХВИЛЬ
У ВЕЛИКИХ КРОВОНОСНИХ СУДИНАХ
З ДОВIЛЬНОЮ ТОВЩИНОЮ СТIНКИ
Д. В. Л У К ОМС Ь К ИЙ
Нацiональний медичний унiверситет iм. О. О. Богомольця, Київ
Одержано 10.09.2008
Представленi рiвняння руху порожнистого пружно-деформiвного цилiндра скiнченної товщини, заповненого нести-
сливою нев’язкою рiдиною. Розглянуто випадок осесиметричних деформацiй при поширеннi пульсових хвиль тиску
в кровоноснiй судинi. Рух цилiндра описується лiнiйною теорiєю пружностi, а рух рiдини – потенцiальною теорiєю.
Розмiрнiсть задачi понижено за рахунок розкладу пружного поля в степеневi ряди. Аналiтично отримано закон
дисперсiї в довiльному наближеннi. Уточнено значення швидкостi поширення пульсових хвиль Моенса –Кортевега.
Представлены уравнения движения полого упруго-деформируемого цилиндра конечной толщины, заполненного не-
сжимаемой невязкой жидкостью. Рассмотрен случай осесимметричных деформаций при распространении пульсо-
вых волн давления в кровеносном сосуде. Движение цилиндра описывается линейной теорией упругости, а движение
жидкости – потенциальной теорией. Размерность задачи понижена за счет разложения упругого поля в степенные
ряды. Аналитически получен закон дисперсии в произвольном приближении. Уточнено значение скорости распро-
странения пульсовых волн Моэнса –Кортевега.
The paper presents the motion equations for a hollow elastically deformed cylinder of finite thickness filled with an
incompressible inviscid fluid. We consider the case of axisymmetric deformations at pressure pulse wave propagation in
the blood vessel. The cylinder’s motion is described by the linear theory of elasticity and fluid motion – by the potential
theory. The problem dimensions have been deflated through the power series expansion of the elastic field. The dispersion
law in the arbitrary approximation has been analytically obtained. Quantitative estimation of the Moens –Korteweg wave
propagation velocity has been improved.
ВСТУП
Вiдомо, що характерна особливiсть руху кровi у
великих кровоносних судинах полягає у порiвня-
но слабкому впливi реологiчних властивостей рi-
дини разом з дуже сильним впливом механiчних
властивостей стiнок [1 – 3]. Проте, зазвичай навiть
для товстостiнних судин за основу береться тео-
рiя оболонок, одержана з використанням гiпотези
Кiрхгофа – Лява [4, 5]. Епштейн у 1942 роцi засто-
сував для виведення уточнених рiвнянь динамiки
цилiндричної оболонки метод степеневих рядiв [6].
У 1953 роцi цi дослiдження були продовженi Кен-
нардом [7]. Технiку побудови гiперболiчної систе-
ми рiвнянь динамiки цилiндричної оболонки на
основi методу степеневих рядiв у першiй половинi
1960-х розвинув Селезов [8]. Тодi ж на основi цих
рiвнянь було дослiджено дисперсiю хвиль [9, 10] i
задачу про гiдравлiчний удар [11]. Аналiз точного
розв’язку з урахуванням скiнченної товщини стiн-
ки проведено Грiнченком i Комiсаровою в 1984 ро-
цi [12].
У цьому дослiдженнi замiсть гiпотези Кiрхго-
фа – Лява використовується розклад по степенях
радiальної змiнної, що дозволяє отримати в ана-
лiтичному виглядi закон дисперсiї з довiльною то-
чнiстю навiть для товстостiнних судин. При цьому
кров розглядається як iдеальна нестислива рiди-
на, а матерiал стiнки цилiндричної судини – як
iзотропне гiперпружне тiло.
1. РIВНЯННЯ РУХУ IЗОТРОПНОГО ПРУЖ-
НОГО КОНТИНУУМУ В ЛIНIЙНОМУ НА-
БЛИЖЕННI ПРИ МАЛИХ ДЕФОРМАЦIЯХ
Розглянемо гiперпружне iзотропне цилiндри-
чне тiло нескiнченної довжини, яке деформує-
ться з часом пiд впливом певних зовнiшнiх на-
пружень за вiдсутностi об’ємних сил. Обмежи-
мось розглядом осесиметричної задачi, в якiй
у початковий момент часу t=0 кожна фiзи-
чно мала частинка тiла описується лагранжеви-
ми цилiндричними координатами r та z. Тодi
все тiло займає область R<r<R+d, −∞<z<+∞
(рис. 1). У момент часу t змiщення кожної
частинки описуватиметься вектором деформацiї
~u(r, z, t) = {u1(r, z, t), u3(r, z, t)}, де u1 та u3 – ком-
поненти змiщення по осях r та z вiдповiдно.
Вважаючи u1 та u3 малими порiвняно з вну-
трiшнiм радiусом цилiндра, за мiру деформацiй
приймемо лiнiйну частину симетричного тензора
деформацiй Кошi – Грiна:
uik =
1
2
(
∂ui
∂xk
+
∂uk
∂xi
)
, (1)
c© Д. В. Лукомський, 2008 31
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 31 – 35
d
z0
R
R+d
3
u
1
u r
w
f
Рис. 1. Схема гiперпружного твердого тiла
з рiдиною у початковий момент часу
де iндекс “1” вiдповiдає координатi r, “2” – ϕ, a “3” –
z. У випадку осесиметричної задачi тензор (1) має
лише такi ненульовi компоненти [13]:
u11 =
∂u1
∂r
, u22 =
u1
r
, u33 =
∂u3
∂z
,
u13 = u31 =
1
2
(
∂u1
∂z
+
∂u3
∂r
)
.
(2)
Система рiвнянь лiнiйної теорiї пружностi у ци-
лiндричнiй системi координат для випадку осеси-
метричних деформацiй для радiальних u1 та осьо-
вих u3 змiщень має вигляд
−ρw ük +
∂σ1k
∂r
+
∂σ3k
∂z
+
+
1
r
[(σ11 − σ22)δ1k + σ13δ3k] = 0,
k = 1, 3,
(3)
де вирази
σik = λ(u11 + u22 + u33)δik + 2µ uik (4)
задають компоненти тензора напружень у твердо-
му тiлi; ρw – густина матерiалу; δik – символ Кро-
некера; λ й µ – коефiцiєнти Ламе матерiалу.
2. РIВНЯННЯ РУХУ РIДИНИ ВСЕРЕДИНI
ЦИЛIНДРИЧНОГО ТIЛА
У цилiндричнiй системi координат поле швид-
костей ~v= ~∇ϕf потенцiальної осесиметричної течiї
нестисливої рiдини задовольняє рiвняння Лапласа
∆ϕf =0. В областi течiї 0<r<R вiдомий його то-
чний (i регулярний при r=0) розв’язок у виглядi
пульсової хвилi:
ϕf(r, z, t) = ϕ(r)ei(kz−ωt) = DI0(kr)ei(kz−ωt). (5)
Тут D – довiльна константа; I0(kr) – модифiкова-
на функцiя Бесселя нульового порядку.
Отже, тиск на стiнку судини визначається iнте-
гралом Бернуллi [14]:
P =Ptr − Pf(r, z, t)=Ptr −
[
ρf
2
+v2
0+
+2
(
∂ϕf
∂t
+v0
∂ϕf
∂z
)
+
(
∂ϕf
∂r
)2
+
(
∂ϕf
∂z
)2]
,
(6)
де Ptr – трансмуральний тиск; Pf – тиск у рухо-
мiй рiдинi; v0 – швидкiсть стацiонарної течiї; ρf –
густина рiдини.
У лiнiйному наближеннi за вiдсутностi стацiо-
нарної течiї (v0 =0) та початкового напруження
(Ptr =0) тиск (6) матиме вигляд
P = −ρf
∂ϕ
∂t
. (7)
3. ГРАНИЧНI УМОВИ КОНТАКТУ РIДИНИ
Й ПРУЖНОГО ТIЛА
Загалом рiвняння руху твердого тiла задаються
в лагранжевих координатах, а рiдини – у ейлеро-
вих, що спричиняє складнiсть запису граничних
умов на рухомiй поверхнi контакту. Проте, внаслi-
док малостi змiщень твердого тiла u1 i u3 цi умови
можуть бути поставленi на незбурених внутрiшнiй
(r=R) та зовнiшнiй (r=R+d) поверхнях.
На зовнiшнiй поверхнi припускається вiдсу-
тнiсть напружень (немає рiдини):
σ11(R + d, z, t) = σ13(R + d, z, t) = 0. (8)
За вiдсутностi стацiонарної течiї динамiчнi й кi-
нематична умови на внутрiшнiй поверхнi r=R, де
має мiсце контакт рiдини та тiла стiнки, мають
вигляд
σ11(r, z, t) = −Pf = ρf
∂ϕf
∂t
,
σ13(r, z, t) = 0;
(9)
∂u1
∂t
∣
∣
∣
∣
r=R
=
∂ϕf
∂r
∣
∣
∣
∣
r=R
. (10)
Урахування виразу (5) i аналогiчного вигляду
для змiщень
u1(r, z, t) = u1(r)e
i(kz−ωt)
дозволяє замiсть п’яти записати чотири граничнi
умови:
σ11(R) + m0ρwR2ω2u1(R) = 0,
σ13(R) = σ11(R + d) = σ13(R + d) = 0,
(11)
32 Д. В. Лукомський
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 31 – 35
де m0 =
ρf
ρw
1
kR
I0(kR)
I1(kR)
– приєднана безрозмiрна
маса.
4. РОЗВ’ЯЗОК МЕТОДОМ СТЕПЕНЕВИХ
РЯДIВ
Розкладемо вектор змiщень у ряд по степенях
змiнної r в околi внутрiшньої стiнки r=R:
uk(r, z, t) =
∞
∑
n=0
(uk)n(z, t)(r − R)n,
k = 1, 3, R < r < R + d.
(12)
Пiдставляючи аналогiчнi розклади для тензорiв
uik та σik (спiввiдношення (2) i (4)) в систе-
му рiвнянь (3), отримаємо рекурентнi спiввiдно-
шення для послiдовного обчислення коефiцiєнтiв
(uk)n(z, t) розкладу (12) для n=2, 3, . . .
Наприклад, у лiнiйнiй теорiї для випадку гармо-
нiчної залежностi вiд змiнних z, t (uk∼ei(kz−ωt))
диференцiйнi рiвняння (3) вiдносно змiнної r пе-
ретворюються на алгебраїчнi спiввiдношення для
послiдовного знаходження коефiцiєнтiв (u1)n+2 i
(u3)n+2 при усiх n=0, 1, 2 . . .:
(n+2)(u1)n+2 =
n+1
∑
m=0
(−1)n+m(u1)m+
+
R2
n+1
c2
T k2 − ω2
c2
L
(u1)n − ikR
λ+µ
λ+2µ
(u3)n+1,
(n+1)(n+2)(u3)n+2 =
n+1
∑
m=1
(−1)n+mm(u3)m+
+R2 c2
Lk2−ω2
c2
T
(u3)n − ikR
λ+µ
µ
×
×
(
n
∑
m=0
(−1)n+m(u1)m+(n+1)(u1)n+1
)
.
(13)
Тут cT =
√
µ/ρw; cL =
√
(λ + 2µ)/ρw – швидкостi
поширення поперечної та поздовжньої звукових
хвиль у гiперпружному iзотропному середовищi
вiдповiдно.
Очевидно, що всi подальшi коефiцiєнти розкла-
ду виражаються через чотири перших (u1)0, (u1)1,
(u3)0, (u4)0, якi можна знайти з чотирьох грани-
чних умов (11), пiдставивши у них розклади σ11,
σ13 i u1 по r. Отримана система чотирьох одно-
рiдних рiвнянь має нетривiальний розв’язок за
умови рiвностi детермiнанта нулю. Пiдставивши
останню в розклад частоти ω вiдносно малої вiд-
1 2 3 4
0.2
0.4
0.6
0.8
N=2
N=4
N=1
N=3
N=5
!"#$%
&!'(’)'!*
+,-! .'/
0,&1+!2/-3)(/
4
5=0.47
d=0.1
km ! "
k
Рис. 2. Закон дисперсiї, отриманий методом розкладу
в степеневi ряди, у порiвняннi з точним розв’язком
та розв’язком теорiї оболонок
носної товщини d/R,
ω2 =
N
∑
n=1
rn(k)
(
d
R
)n
, (14)
можна знайти закон дисперсiї ω=ω(k) в аналiти-
чному виглядi з довiльною точнiстю N .
З рис. 2 видно, що зi зростанням кiлькостi чле-
нiв N розкладу (12) закон дисперсiї наближається
до закону, отриманого з точного розв’язку чисель-
ними методами [12]. Це пiдтверджує адекватнiсть
запропонованої методики. Штриховою позначена
частотна крива, отримана з використанням теорiї
оболонок на основi гiпотези Кiрхгофа – Лява [4].
Очевидно, що вона дає завищенi значення часто-
ти у порiвняннi з точним розв’язком. Отже, ура-
хування скiнченної товщини стiнки знижує оцiнку
частоти її згинних коливань.
Наведемо явний вигляд r1(k) i r2(k) з розкла-
ду (14):
r1(k) =
E
ρfR
I1(kR)
I0(kR)
k > 0,
r2(k) = −
Eρw
2ρ2
fR2
I2
1 (kR)
I2
0 (kR)
[
λ2
2(λ + µ)2
+
+
ρf
ρw
I0(kR)
I1(kR)
2λ + µ
λ + µ
kR + 2(kR)2
]
< 0.
(15)
Тут E – модуль Юнга твердого тiла.
Якщо розклад (14) проводити не лише за степе-
нями малої товщини стiнки d/R, а ще й у довго-
хвильовому наближеннi (за малими kR) то, утри-
муючи доданки до певного порядку, можна одер-
жати поправки до частоти з довiльною точнiстю.
Розглянемо деякi варiанти такого комбiнованого
розкладу.
Д. В. Лукомський 33
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 31 – 35
N =1, включно до kR:
ω = vmk,
де vm =
√
Ed/(2ρfR) – вiдома швидкiсть Моенса –
Кортевега для довгохвильових згинних коливань.
На рис. 2 також видно, що залежнiсть ω=vmk та
крива для N =1 збiгаються при kR → 0.
N =2, включно до kR:
ω = v∗k = vm
√
1 − α1
d
R
k, (16)
де
α1 =
2λ + µ
2(λ + µ)
[
1 +
ρwλ2
4ρf (λ + µ)(2λ + µ)
]
> 0. (17)
З (16) випливає, що швидкiсть Моенса –
Кортевега vm дає з певною похибкою значення,
завищене у порiвняннi зi швидкiстю поширення
згинних коливань v∗ =vm
√
1−α1d/R, отриманою
з поправкою на скiнченну товщину стiнки.
Оцiнимо цю похибку. Приймемо для матерiалу
стiнки коефiцiєнт Пуассона σ≈0.5, а ρf ≈ρw . Тодi
α1≈9/8 i для малих d/R з виразу (16) маємо
v∗ ≈ vm
(
1 −
9
16
d
R
)
.
Це означає, що вiдносна похибка обчислення
швидкостi Моенса – Кортевега прямо пропорцiйна
до товщини стiнки й становить ≈ 9d/(16R).
N =2, включно до (kR)3:
ω = vm
√
1 − α1
d
R
k−
−
vmR2
16
[
1 +
(
β1 −
α1
2
) d
R
]
k3,
(18)
де
β1 =
4ρw
ρf
[
1 −
λ2
32(λ + µ)2
]
. (19)
Для матерiалу стiнки судини, у якого σ ≈ 0.5, ви-
рази (17) i (19) значно спрощуються:
α1 ≈ 1 +
ρw
8ρf
,
β1 ≈
4ρw
ρf
.
Вiдзначимо, що у працi [4] було отримано за-
кон дисперсiї у явному виглядi при використан-
нi гiпотези Кiрхгофа – Лява. Якщо розкласти вiд-
повiдне значення ω з малим kR до третього сте-
пеня включно, то отримаємо вираз (18) за умов
α1=0, β1 =4ρw/ρf . Таким чином, гiпотеза Кiрхго-
фа – Лява дiйсно становить частковий випадок на-
веденої теорiї з урахуванням скiнченної товщини
стiнки.
ВИСНОВКИ
Розглянуто поширення пульсових хвиль у гiпер-
пружному цилiндричному тiлi, заповненому не-
стисливою рiдиною, зi скiнченною товщиною стiн-
ки без урахування гiпотези Кiрхгофа – Лява. На
вiдмiну вiд отриманого в дослiдженнi [12] точного
закону дисперсiї такої задачi, запропонований ме-
тод розкладу вiдносно малого параметра дає мо-
жливiсть отримання закону дисперсiї не чисель-
ним, а аналiтичним способом з довiльною точнi-
стю. Також виявлено, що вiдома з теорiї оболо-
нок швидкiсть поширення довгих пульсових хвиль
Моенса – Кортевега дає завищенi значення у по-
рiвняннi з уточненою швидкiстю (16), яка врахо-
вує скiнченну товщину оболонки. Наприклад, для
d/R=1/5 така похибка складає 10 % i може бу-
ти суттєвою, зважаючи на важливiсть точного ви-
значення швидкостi поширення пульсових хвиль у
кровоноснiй системi.
1. Каро К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика
кровообращения.– М.: Мир, 1981.– 372 с.
2. Green A. E., Adkins J. E. Large elastic deformati-
ons and nonlinear continuum mechanics.– Oxford:
Clarendon Press, 1960.– 348 p.
3. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных
сосудов.– М.: Мир, 1983.– 400 с.
4. Лукомський Д. В., Селезов I. Т. Виникнення
нестiйкостi форми при поширеннi гiдропружних
хвиль в еластичнiй трубцi, заповненiй рiдиною //
Наук. записки НПУ iм. М. П. Драгоманова.–
2002.– N 3.– С. 132–145.
5. Lukomsky D., Selezov I. Arteria instability under
heart pressure pulse propagation // Acta Bioeng.
Biomech.– 2002.– 4, Suppl. 1 (Proc. 13-th Conf.
Europ. Soc. Biomech., Wroclaw, 2002).– P. 524–525.
6. Epstein P. S. On the theory of elastic vibrations in
plates and shells // J. Math. Phys.– 1942.– 21, N 3.–
P. 198–209.
7. Kennard E. H. The new approach to shell theory:
Circular cylinders // J. Appl. Mech.– 1953.– 20, N 1.–
P. 33–40.
8. Селезов И. Т. О волнах в цилиндрической оболоч-
ке // Теория пластин и оболочек. Труды 2-ой все-
союз. конф. (Львов, 1961).– К.: Изд-во АН УССР,
1962.– С. 249–253.
9. Селезов I. Т. Дослiдження хвильових процесiв в
цилiндричнiй оболонцi на основi узагальненої тео-
рiї // Прикл. мех.– 1963.– 9, N 5.– С. 480–486.
10. Селезов И. Т. О распространении малых возмуще-
ний в упругой цилиндрической оболочке, напол-
ненной жидкостью // Прикл. мех.– 1965.– 1, N 3.–
С. 10–16.
34 Д. В. Лукомський
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 31 – 35
11. Селезов И. Т., Никулинская С. Н. Обобщение зада-
чи о гидравлическом ударе в упругом трубопрово-
де // Теория пластин и оболочек. Труды 4-ой все-
союз. конф. (Ереван, 1962).– Ереван: Изд-во АН
Арм. ССР, 1964.– С. 871–876.
12. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Распро-
странение волн в полом упругом цилиндре с
жидкостью // Прикл. мех.– 1984.– 20, N 1.– С. 21–
26.
13. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости.–
М.: Наука, 1965.– 204 с.
14. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика.– М.:
Наука, 1988.– 736 с.
Д. В. Лукомський 35
|