Установившиеся вынужденные колебания призмы при заданных на границе смещениях

Получено решение первой граничной задачи о вынужденных колебаниях упругой призмы прямоугольного поперечного сечения. С помощью метода суперпозиции задача сведена к квазирегулярной бесконечной линейной системе. На основе достаточного признака существования ограниченного решения для квазирегулярной бе...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Акустичний вісник
Date:	2008
Main Author:	Папков, С.О.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2008
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79833
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Установившиеся вынужденные колебания призмы при заданных на границе смещениях / С.О. Папков // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 4. — С. 36-43. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-79833
record_format	dspace
spelling	Папков, С.О. 2015-04-05T14:57:41Z 2015-04-05T14:57:41Z 2008 Установившиеся вынужденные колебания призмы при заданных на границе смещениях / С.О. Папков // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 4. — С. 36-43. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79833 539.3 Получено решение первой граничной задачи о вынужденных колебаниях упругой призмы прямоугольного поперечного сечения. С помощью метода суперпозиции задача сведена к квазирегулярной бесконечной линейной системе. На основе достаточного признака существования ограниченного решения для квазирегулярной бесконечной системы рассчитаны собственные частоты призмы. Исследована применимость приближенного решения при упрощенных граничных условиях. Отримано розв'язок першої граничної задачi про вимушенi коливання пружної призми прямокутного перерiзу. За допомогою методу суперпозицiї задачу зведено до квазирегулярної нескiнченної лiнiйної системи. На базi достатньої умови iснування обмеженого розв'язку нескiнченної системи розрахованi власнi частоти призми. Дослiджено умови застосування наближеного розв'язку при спрощених граничних умовах. A solution of the first boundary problem for forced vibrations of an elastic prism is obtained. By a superposition method, this problem is reduced to a quasi-regular infinite linear system. The prism eigenfrequencies were calculated on the basis of the sufficient condition of existence of bounded solution for a quasi-regular infinite system, Application range of the approximate method at simple boundary conditions has been studied. ru Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Установившиеся вынужденные колебания призмы при заданных на границе смещениях Steady forced vibrations of a prism with imposed displacements of its boundary Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Установившиеся вынужденные колебания призмы при заданных на границе смещениях
spellingShingle	Установившиеся вынужденные колебания призмы при заданных на границе смещениях Папков, С.О.
title_short	Установившиеся вынужденные колебания призмы при заданных на границе смещениях
title_full	Установившиеся вынужденные колебания призмы при заданных на границе смещениях
title_fullStr	Установившиеся вынужденные колебания призмы при заданных на границе смещениях
title_full_unstemmed	Установившиеся вынужденные колебания призмы при заданных на границе смещениях
title_sort	установившиеся вынужденные колебания призмы при заданных на границе смещениях
author	Папков, С.О.
author_facet	Папков, С.О.
publishDate	2008
language	Russian
container_title	Акустичний вісник
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
format	Article
title_alt	Steady forced vibrations of a prism with imposed displacements of its boundary
description	Получено решение первой граничной задачи о вынужденных колебаниях упругой призмы прямоугольного поперечного сечения. С помощью метода суперпозиции задача сведена к квазирегулярной бесконечной линейной системе. На основе достаточного признака существования ограниченного решения для квазирегулярной бесконечной системы рассчитаны собственные частоты призмы. Исследована применимость приближенного решения при упрощенных граничных условиях. Отримано розв'язок першої граничної задачi про вимушенi коливання пружної призми прямокутного перерiзу. За допомогою методу суперпозицiї задачу зведено до квазирегулярної нескiнченної лiнiйної системи. На базi достатньої умови iснування обмеженого розв'язку нескiнченної системи розрахованi власнi частоти призми. Дослiджено умови застосування наближеного розв'язку при спрощених граничних умовах. A solution of the first boundary problem for forced vibrations of an elastic prism is obtained. By a superposition method, this problem is reduced to a quasi-regular infinite linear system. The prism eigenfrequencies were calculated on the basis of the sufficient condition of existence of bounded solution for a quasi-regular infinite system, Application range of the approximate method at simple boundary conditions has been studied.
issn	1028-7507
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79833
citation_txt	Установившиеся вынужденные колебания призмы при заданных на границе смещениях / С.О. Папков // Акустичний вісник — 2008. —Т. 11, № 4. — С. 36-43. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT papkovso ustanovivšiesâvynuždennyekolebaniâprizmyprizadannyhnagranicesmeŝeniâh AT papkovso steadyforcedvibrationsofaprismwithimposeddisplacementsofitsboundary
first_indexed	2025-11-25T06:04:43Z
last_indexed	2025-11-25T06:04:43Z
_version_	1850505777361453056
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 36 – 43 УДК 539.3 УСТАНОВИВШИЕСЯ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИЗМЫ ПРИ ЗАДАННЫХ НА ГРАНИЦЕ СМЕЩЕНИЯХ С. О. П А П К ОВ Севастопольский национальный технический университет Получено 05.11.2007 � Пересмотрено 02.12.2008 Получено решение первой граничной задачи о вынужденных колебаниях упругой призмы прямоугольного попереч- ного сечения. С помощью метода суперпозиции задача сведена к квазирегулярной бесконечной линейной системе. На основе достаточного признака существования ограниченного решения для квазирегулярной бесконечной систе- мы рассчитаны собственные частоты призмы. Исследована применимость приближенного решения при упрощенных граничных условиях. Отримано розв’язок першої граничної задачi про вимушенi коливання пружної призми прямокутного перерiзу. За допомогою методу суперпозицiї задачу зведено до квазирегулярної нескiнченної лiнiйної системи. На базi достатньої умови iснування обмеженого розв’язку нескiнченної системи розрахованi власнi частоти призми. Дослiджено умови застосування наближеного розв’язку при спрощених граничних умовах. A solution of the first boundary problem for forced vibrations of an elastic prism is obtained. By a superposition method, this problem is reduced to a quasi-regular infinite linear system. The prism eigenfrequencies were calculated on the basis of the sufficient condition of existence of bounded solution for a quasi-regular infinite system, Application range of the approximate method at simple boundary conditions has been studied. ВВЕДЕНИЕ При исследовании динамических задач теории упругости одна из наиболее важных проблем за- ключается в построении собственных частот и со- ответствующих им форм колебаний. Для ряда ка- нонических бесконечных тел (полупространство, бесконечный слой, бесконечный цилиндр) точные значения собственных частот определяются из трансцендентных дисперсионных уравнений, ко- торые удается получить с помощью нормальных мод. Однако даже для простейших конечных тел (в частности, для прямоугольной призмы) отра- жение упругих волн от границы представляет со- бой довольно сложный процесс, что приводит к трудностям при отыскании их нормальных коле- баний и определении собственных частот. Нево- зможность точного аналитического решения подо- бной задачи для ограниченных тел (за исключени- ем сферы) при силовых и кинематических грани- чных условиях стала очевидной на рубеже XIX– XX веков, что привело к появлению частных и приближенных решений (их обзор можно найти в [1, 2]). Для некоторых величин отношений сторон при- змы точное решение задачи о собственных коле- баниях было получено Ламе, в общем же случае исторически сложились два подхода к его постро- ению: метод однородных решений [3] и метод су- перпозиции. В рамках метода суперпозиции наи- более полно задача о силовых граничных услови- ях для прямоугольной призмы исследована в мо- нографии В. Т. Гринченко, В. В. Мелешко [1]. Для кинематических граничных условий данная зада- ча рассматривалась в работе [4]. J. R. Hutchinson (Хатчинсон) в своей статье [5] получил собственные частоты и формы колебаний упругого конечного жестко защемленного цилин- дра и показал, что данные характеристики мо- гут быть удовлетворительно описаны с помощью более простого (точного) решения для бесконеч- ного цилиндра при упрощенных граничных усло- виях (simple boundary conditions). Для построе- ния собственных значений конечного цилиндра ав- тор использует модификацию метода суперпози- ции, удерживая в общем решении для бесконечно- го цилиндра и слоя конечное число слагаемых. Из однородных граничных условий следует однород- ная конечная система линейных алгебраических уравнений, равенство нулю определителя которой дает дисперсионное уравнение для приближенных значений собственных частот. В этой работе на основе метода суперпозиции построено и исследовано решение задачи о соб- ственных колебаниях жестко защемленной прямо- угольной призмы. Получено точное решение в слу- чае упрощенных граничных условий (по термино- логии [5]). Проведено сравнение двух полученных решений, что позволило выделить диапазон при- менимости приближенного решения. 36 c© С. О. Папков, 2008 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 36 – 43 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОБЩЕЕ РЕ- ШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В безразмерных координатах x=X/h, y=Y/h (рис. 1) задача сводится к определению собствен- ных частот и функций уравнений упругости для установившихся колебаний: ∆~u + 1 1 − 2ν grad div~u + ( πΩ 2 )2 ~u = 0, (1) где ν – коэффициент Пуассона; Ω – безразмер- ная частота колебаний, при однородных услови- ях (fixed boundary conditions, далее обозначае- мых как FBC) для компонент вектора смещений ~u=ux ~i+uy ~j: ux\|x=±1 = uy\|x=±1 = ux\|y=±η = uy\|y=±η = 0. (2) При упрощенных граничных условиях (SBC) на гранях x=±1 граничные условия аналогичны со- отношениям (2), а при y=±η полагаем равными нулю нормальную составляющую вектора смеще- ний и касательные напряжения: ux\|x=±1 = uy\|x=±1 = uy\|y=±η = σxy\|y=±η = 0. (3) При построении общего решения уравнений упругости в случае осесимметричных колебаний использовался метод разделения переменных для уравнений скалярного и векторного потенциа- лов, который позволяет записать известные реше- ния [1] для слоя x∈ [−1; 1]: uI x = C0 sin Ω1x + ∞ ∑ m=1 (Cmsh q1mx+ +Dmsh q2mx) cosβmy, uI y = − ∞ ∑ m=1 ( Cm βm q1m ch q1mx+ +Dm q2m βm ch q2mx ) sin βmy и для слоя y∈ [−η; η]: uII x = − ∞ ∑ m=1 ( Am αm p1m ch p1my+ +Bm p2m αm ch p2my ) sin αmx, uII y = A0 sin Ω1y + ∞ ∑ m=1 (Amsh p1my+ +Bmsh p2my) cos αmx. h -h O Y h - h Рис. 1. Геометрия задачи Здесь αm = πm, βm = mπ η ; q2 l,m = β2 m − Ω2 l , p2 l,m = α2 m − Ω2 l (l = 1, 2); Ω1 = π 2 √ 1 − 2ν 2 − 2ν Ω, Ω2 = πΩ 2 . 2. РЕШЕНИЕ ПРИ УПРОЩЕННЫХ ГРАНИ- ЧНЫХ УСЛОВИЯХ Граничные условия (3) дают возможность искать решение в форме ~uS = uI x ~i + uI y ~j. Действи- тельно, в этом случае касательные напряжения имеют вид σS xy 2G = − ∞ ∑ m=1 ( Cmβmsh q1mx+ +Dm β2 m + q2 2m 2βm sh q2mx ) sin βmy и в силу выбора βm =mπ/η равны нулю на гранях y=±η вместе с нормальной составляющей вектора смещений. Равенство нулю вектора смещений на гранях x=±1 приводит к системе соотношений следую- щего вида (y∈ [−η; η]): C0 sin Ω1 + ∞ ∑ m=1 (Cmsh q1m+ +Dmsh q2m) cos βmy = 0, ∞ ∑ m=1 ( Cm βm q1m ch q1m+ +Dm q2m βm ch q2m ) sin βmy = 0. (4) С. О. Папков 37 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 36 – 43 Каждое из равенств (4) представляет собой ра- зложение по полной системе тригонометрических функций, следовательно, C0 sin Ω1 = 0;      Cmsh q1m + Dmsh q2m = 0, Cm βm q1m ch q1m + Dm q2m βm ch q2m = 0. Нетривиальное решение задачи возможно лишь в том случае, когда sin Ω1 = 0 или ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ sh q1m sh q2m βm q1m ch q1m q2m βm ch q2m ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0. Выпишем дисперсионное уравнение для определе- ния собственных частот задачи при упрощенных граничных условиях: sin Ω1 = 0 при m=0, q2m βm sh q1mch q2m− − βm q1m ch q1msh q2m = 0 при m=1, 2, . . . (5) Если обозначить через ΩS m,n n-ое собственное зна- чение в уравнении (5) номера m, то собственные моды колебаний имеют вид ~uS 0,m = sin Ω1x~i; ~uS n,m = sh q1msh q2mx−sh q1mxsh q2m sh q1m × × cos βmy~i+ + β2 mch q1mx sh q2m−q1mq2msh q1mch q2mx βmq1msh q1m × × sin βmy~j. (6) 3. РЕШЕНИЕ В СЛУЧАЕ КИНЕМАТИЧЕ- СКИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ Для определения спектра граничной задачи (2) общее решение уравнений (1) выбираем в виде суммы решений для полос x∈ [−1; 1] и y∈ [−η; η]: ~u = (uI x + uII x )~i + (uI y + uII y )~j. Тогда краевые условия (2) приводят к следующей системе функциональных равенств: I : C0 sin Ω1 + ∞ ∑ m=1 (Cmsh q1m + Dmsh q2m)× × cos βmy = 0; II : A0 sin Ω1y − ∞ ∑ m=1 ( Cm βm q1m ch q1m+ +Dm q2m βm ch q2m ) sinβmy+ + ∞ ∑ m=1 (−1)m(Amsh p1my + Bmsh p2my) = 0; III : C0 sin Ω1x − ∞ ∑ m=1 ( Am αm p1m ch p1mη+ +Bm p2m αm ch p2mη ) sinαmx+ + ∞ ∑ m=1 (−1)m(Cmsh q1mx + Dmsh q2mx) = 0; IV : A0 sin Ω1η + ∞ ∑ m=1 (Amsh p1mη + Bmsh p2mη)× × cos αmx = 0. Равенства I и IV позволяют сразу найти C0 sin Ω1 =0, A0 sin Ω1η=0 и выразить связь Cm = − ch q2m ch q1m Dm, Am = − ch p2mη ch p1mη Bm. (7) Нетрудно заметить, что значения частот Ω0 n(η) = 2n η √ 2 − 2ν 1 − 2ν , которые являются решением уравнения sin Ω1η=0, также дают q1n =0. В частности, при η=1 на нулях sinΩ1 =0 появляются значения p1n=0. Таким образом, здесь требуется иное представление общего решения задачи. Непосред- ственной проверкой можно показать, что частоты Ω0 n(η) не есть собственными. Функциональные равенства II и III после разло- жения входящих в них функций по полной системе 38 С. О. Папков ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 36 – 43 тригонометрических функций (l=1, 2) sh plmy = 2sh plmη η ∞ ∑ n=1 (−1)n+1βn β2 n + p2 lm sin βny; sin Ω1y = 2 sin Ω1η η ∞ ∑ n=1 (−1)n+1βn q2 1n sin βny; sh qlmx = 2sh qlm ∞ ∑ n=1 (−1)n+1αn α2 n + q2 lm sin αnx; sinΩ1x = 2 sin Ω1 ∞ ∑ n=1 (−1)n+1αn p2 1n sin αnx и подстановки (7) приводят к парной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений: ∆̃mxm = ∞ ∑ n=1 amnyn, ∆mym = ∞ ∑ n=1 bmnxn, m ∈ N, (8) где xn = (−1)nBnsh p2nη η ; yn = (−1)nDnsh q2n; amn = 2Ω2 1αm (1 − 2ν) 1 (β2 n + p2 1m)(β2 n + p2 2m) ; bmn = 2Ω2 1βm (1 − 2ν) 1 (α2 n + q2 1m)(α2 n + q2 2m) ; ∆m = βm q1m cth q1m − q2m βm cth q2m; ∆̃m = η ( αm p1m cth p1mη − p2m αm cth p2mη ) . Заметим, что с точностью до множителя sh q1m sh q2m величина ∆m совпадает с дисперси- онным уравнением для определения собственных частот (5) при упрощенных граничных условиях. При исследовании бесконечных систем линей- ных алгебраических уравнений зачастую удается доказать существование ограниченного (главного) решения, используя то, что в некотором функцио- нальном пространстве оператор, соответствующий бесконечной матрице в правой части системы, яв- ляется сжимающим. В частности, это выполняе- тся, если бесконечная система zm = ∞ ∑ n=1 cmnzn + bm, m ∈ N удовлетворяет условиям регулярности ∞ ∑ n=1 \|cmn\| < 1, m ∈ N. Если указанное условие выполняется не с перво- го, а с некоторого номера m>N∗, то бесконечная система называется квазирегулярной и ее анализ можно свести к рассмотрению некоторой конечной системы [6] порядка N∗. Чтобы исследовать регулярность (7), использу- ем сумму ряда из [7]: ∞ ∑ n=1 1 n2 + a2 = π 2a cth πa − 1 2a2 . Тогда значения рядов из модулей коэффициентов системы (8) можно вычислить точно: S2m−1 = ∞ ∑ n=1 ∣ ∣ ∣ ∣ amn ∆̃m ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 \|∆̃m\| Na ∑ n=1 (\|amn\|−amn)+ + 2αm \|∆̃m\| ( η 2p2m cth p2mη− η 2p1m cth p1mη+ + 1 2p2 1m − 1 2p2 2m ) , S2m = ∞ ∑ n=1 ∣ ∣ ∣ ∣ bmn ∆m ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 \|∆m\| Nb ∑ n=1 (\|bmn\|−bmn)+ + 2βm \|∆m\| ( 1 2q2m cth q2m− 1 2q1m cth q1m+ + 1 2q2 1m − 1 2q2 2m ) . (9) Здесь Na =[η √ max(0, (Ω2/π)2 − 1)] , Nb =[ √ max(0, (Ω2/π)2 − 1/η2)] — номера, начиная с которых коэффициенты рядов становятся строго положительными ([·] обозначает целую часть действительного числа). При m→∞ можно найти следующие асимпто- тические представления для величин в последней формуле (l=1, 2): qlm ≈ βm − Ω2 l 2βm ; plm ≈ αm − Ω2 l 2αm ; ∆̃m ≈ Ω2 1 + Ω2 2 2α2 m η; ∆m ≈ Ω2 1 + Ω2 2 2β2 m . (10) С. О. Папков 39 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 36 – 43 Табл 1. Локализация первой собственной частоты осесимметричных колебаний призмы при ν =0.25, η=2 NT 1 5 20 50 _ ΩNT 1.9243 1.9251 1.92534 1.925370 ^ ΩNT 1.9256 1.9255 1.92539 1.925374 Подставив выражения (10) в формулу (9), полу- чим оценку при m→∞: Sm = 1 3 − 4ν + O ( 1 m ) . (11) Из (11) следует, что полученная система (8) явля- ется квазирегулярной. Действительно, при ν 6=0.5 для любого значения частоты Ω всегда можно най- ти номер N∗, начиная с которого Sm <1. В статье [8] был предложен алгоритм вычисле- ния собственных значений второй основной крае- вой задачи для упругой призмы на основе провер- ки следующей теоремы – достаточного признака существования ограниченного решения для квази- регулярной бесконечной системы линейных алге- браических уравнений. Квазирегулярная бесконечная система zk = ∞ ∑ n=1 aknzn+bk (k ∈ N), коэффициенты и свободные члены которой при за- данном значении NT удовлетворяют условиям: а) det[δkn − akn]NT k,n=1 6= 0; б) max j=1,...,NT NT ∑ i=1 \|cij\| ∞ ∑ n=NT +1 \|ain\| < 1+fNT , где {cji} NT j,i=1 – матрица, обратная к ма- трице {δkn−akn} NT k,n=1 ; в) \|bk\| < BNT NT ∑ n=1 \|akn\| (k=NT +1, NT +2, . . .), имеет ограниченное решение \|zk\|≤          BNT +MNT LNT (1+fNT )+MNT , k=1,. . . , NT , BNT +MNT LNT , k>NT . Здесь δkn – символы Кронекера; fNT = inf k>NT ρk NT ∑ n=1 \|akn\| ; ρk = 1 − ∞ ∑ n=1 \|akn\|; MNT = max k=1,...,NT NT ∑ n=1 \|cknbn\|; LNT = 1 + f NT − max j=1,...,NT NT ∑ i=1 \|cji\| ∞ ∑ n=NT +1 \|ain\|. Применив данную теорему к бесконечной систе- ме (8), посредством варьирования NT можно ло- кализовать интервал частоты [ _ ΩNT ; ^ ΩNT ], на кото- ром не выполняется условие (б). Проверка данно- го условия главным образом сводится к численно- му обращению конечной матрицы, так как входя- щие в него ряды даются аналитически формула- ми (9). Увеличение значения NT позволяет лока- лизовать собственную частоту с требуемой точно- стью. В табл. 1 представлен пример локализации первой собственной частоты осесимметричных ко- лебаний призмы при ν =0.25, η=2. По сравнению с подходом, использованным в статье [5], где собственные значения определялись как нули определителя редуцированной системы, использование данной теоремы более эффективно, так как позволяет указать погрешность в вычис- лении собственной частоты колебаний. После нахождения собственной частоты ΩF n , собственные формы колебаний строятся по нетри- виальному решению бесконечной системы (8) со- гласно формулам ux =−η ∞ ∑ m=1 ( p2m αm ch p2my sh p2mη − αm p1m ch p1my sh p1mη ) × ×(−1)mxm sin αmx+ + ∞ ∑ m=1 ( sh q2mx sh q2m − sh q1mx sh q1m ) × ×(−1)mym cosβmy, uy =η ∞ ∑ m=1 ( sh p2my sh p2mη − sh p1my sh p1mη ) × ×(−1)mxm cosαmx− − ∞ ∑ m=1 ( q2m βm ch q2mx sh q2m − βm q1m ch q1mx sh q1m ) × ×(−1)mym sin βmy. (12) Для построения нетривиального решения {xm, ym} бесконечной системы используем замену 40 С. О. Папков ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 36 – 43 переменных, предложенную в работе [9]: xm = N∗ ∑ j=1 (Xj1 mxj + Xj2 myj), ym = N∗ ∑ j=1 (Yj1 mxj + Yj2 myj), m > N∗. (13) Здесь N∗=N∗(Ω, η) – номер, начиная с которого для (8) выполняются условия регулярности. Подстановка (13) в (8) приводит к совокупности бесконечных систем с одинаковой матрицей отно- сительно введенных новых неизвестных:            Xj1 m = 1 ∆̃m ∞ ∑ n=N∗+1 amnYj1 n , Yj1 m = 1 ∆m ∞ ∑ n=N∗+1 bmnXj1 n + bmj ∆m ;            Xj2 m = 1 ∆̃m ∞ ∑ n=N∗+1 amnYj2 n + amj ∆̃m , Yj2 m = 1 ∆m ∞ ∑ n=N∗+1 bmnXj2 n ; m > N∗, j = 1, 2, . . . , N∗ (14) и к конечной однородной системе линейных алге- браических уравнений относительно первых неиз- вестных {xm, ym}N∗ m=1, коэффициенты которой за- висят от решений (14): xm = N∗ ∑ n=1   ∞ ∑ j=N∗+1 amj ∆̃m Yn1 j   xn+ + N∗ ∑ n=1   amn ∆̃m + ∞ ∑ j=N∗+1 amj ∆̃m Yn2 j   yn; ym = N∗ ∑ n=1   bmn ∆m + ∞ ∑ j=N∗+1 bmj ∆m Xn1 j  xn+ + N∗ ∑ n=1   ∞ ∑ j=N∗+1 bmj ∆m Xn2 j   yn; m = 1, 2, . . . , N∗. (15) Согласно асимптотической формуле (11), беско- нечные системы (14) являются вполне регуляр- 1.922 1.924 1.926 1.928 1.93 0.1 0.2 Mdet -0.1 -0.2 -0.3 Рис. 2. Значения определителя системы (15) вблизи нуля при ν =0.25, η=2 ными. Очевидно, что их свободные члены огра- ничены (для регулярной части уравнений (8) ве- личины ∆m, ∆̃m заведомо отличны от нуля). Та- ким образом, согласно известной теореме [9], ка- ждая из систем (14) имеет единственное ограни- ченное решение и одинаково эффективно реша- ется на всем диапазоне изменения частоты ко- лебаний. Разрешимость бесконечной системы (8) оказывается связанной с разрешимостью конечной системы (15). Равенство нулю определителя detM системы (15) дает необходимое условие для нахож- дения собственной частоты. Для параметров за- дачи ν=0.25, η=2 значения этого определителя представлены на рис. 2. Нуль достигается в точке Ω∗=1.925. Данный подход оказывается менее точным и бо- лее трудоемким по сравнению с локализацией соб- ственной частоты на основе теоремы существова- ния, так как каждая точка на графике рис. 2 нахо- дится на основе решения бесконечных систем (14) при заданной частоте вынужденных колебаний Ω, что требует соответствующей точности решения этих систем. Так как на собственной частоте колебаний сис- тема (15) имеет ранг, меньший, чем ее порядок, то можно найти ее базисные решения и по формулам замены (13) построить нетривиальное решение бе- сконечной системы (8). 4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Использование описанной методики позволяет построить спектр вынужденных установившихся колебаний прямоугольной призмы под действием смещений (FBC) и при упрощенных граничных условиях (SBC). На рис. 3 представлена зависи- мость собственных значений от геометрии призмы η для коэффициента Пуассона ν=0.25. Из графи- С. О. Папков 41 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 36 – 43 2 3 4 5 1 2 3 4 5 !" 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2,1 3,1 4,1 1,2 2,2 0,1 1,3 1,1 ! а б Рис. 3. Зависимость собственных значений Ωm,n от геометрического параметра η для коэффициента Пуассона ν=0.25: а – кинематические граничные условия FBC; б – упрощенные граничные условия SBC Табл 2. Сравнение первых пяти собственных частот для двух типов граничных условий ν =0.25 (без учета нулевой моды) η = 1 η = 3 η = 5 FBC SBC FBC SBC FBC SBC Ω1 3.191 3.043 1.487 1.482 1.199 1.197 Ω2 3.686 3.771 2.369 2.347 1.651 1.647 Ω3 3.950 4.591 3.005 2.993 2.184 2.174 Ω4 4.742 4.722 3.091 3.043 2.687 2.667 Ω5 5.397 5.557 3.226 3.165 2.992 2.989 Табл 3. Сравнение собственных частот Ω ∗ n с частотами задачи о возбуждении колебаний напряжениями Ω F n при ν =0.25, η=1 n 1 2 3 4 ΩF n 3.191 3.686 3.950 4.742 Ω∗ n 1.415 1.627 2.733 3.271 ка следует, что расположение спектральных кри- вых для двух типов краевых условий имеет каче- ственное сходство. Главное отличие заключается в том, что, в отличие от кривых SBC, кривые FBC не пересекаются. Кроме того, для граничных усло- вий (2) нет аналога нулевой моды. Нижняя соб- ственная частота FBC оказывается соответствую- щей ветви дисперсионного уравнения (5) с номе- ром 1,1. Второй собственной частоте FBC на ин- тервале η∈ [1; 2.1] можно поставить в соответствие ветвь с номером 1,2 и для η>2.1 – ветвь с номе- ром 2,1. Аналогично, третьей собственной частоте FBC на η∈ [1; 2, 1] соответствует ветвь с номером 2,1; на η∈ [2, 1; 3, 2] – ветвь с номером 1,2, и при η>3.2 – ветвь с номером 3,1. При этом сходство ме- жду дисперсионными кривыми возрастает по мере увеличения отношения сторон призмы η. В табл. 2 представлено сравнение первых пяти собственных частот задачи FBC с собственными значениями SBC (без учета нулевой моды) для коэффициента Пуассона ν=0.25. Из этих данных следует, что с увеличением отношения сторон при- змы η собственные значения при упрощенных гра- ничных условиях (3) приближаются к собствен- ным значениям задачи (2). При η≥5 отличие ме- жду собственными значениями одного порядково- го номера данных краевых задач не превосходит 0.3 %. Подобная картина наблюдается и для соб- ственных функций, что позволяет использовать для их представления при больших η более удо- бные формулы (6). Расположение кривых на рис. 3, а качественно напоминает случай возбуждения колебаний приз- мы заданными на границе напряжениями [1]: пер- 42 С. О. Папков ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2008. Том 11, N 4. С. 36 – 43 вая собственная частота монотонно убывает, сле- дующие за ней частоты образуют “плато”, соо- тветствующее краевому резонансу. Однако в дан- ном случае собственные частоты ΩF n лежат выше соответствующих собственных частот Ω∗ n зада- чи о возбуждении колебаний напряжениями. При ν =0.25; η=1 значения первых четырех собствен- ных частот для этих задач приведены в табл. 3. Зависимость первой собственной частоты для разных значений η от материала призмы дана на рис. 4. С увеличением коэффициента Пуассона ν наблюдается возрастание первой собственной ча- стоты призмы для любых соотношений ее сто- рон. Если для квадратного сечения данная зави- симость почти линейна, то с ростом η нелинейная составляющая все более увеличивается. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. Представлен новый алгоритм вычисления собственных частот первой краевой задачи для установившихся колебаний прямоуголь- ной призмы на основе теоремы о существо- вании ограниченного решения для квазирегу- лярной бесконечной системы. Этот подход, в отличие от использовавшихся ранее, позволя- ет оценить точность полученных результатов. 2. Исследована зависимость собственных частот призмы от отношения ее сторон и материа- ла. Сделан вывод о качественном подобии спе- ктров собственных частот призмы в случае силовых и кинематических граничных усло- вий. 3. Получено точное решение задачи о собствен- ных значениях упругой призмы в случае упро- щенных граничных условий. Из численных результатов следует, что при достаточно боль- шом отношении сторон призмы (η≥5) спе- ктральные характеристики первой краевой задачи могут быть удовлетворительно описа- ны с помощью более удобного решения для упрощенных граничных условий. При мень- ших значениях η решение для упрощенных граничных условий дает значительную по- грешность, следовательно, для описания спе- ктральных характеристик призмы необходи- мо использовать точное решение. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 ! "#$#% "#$#& "#$#' Рис. 4. Зависимость первой собственной частоты от материала призмы для разных значений η 1. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические ко- лебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. думка, 1981.– 284 с. 2. Григолюк Э. Н., Селезов И. Т. Неклассические тео- рии колебаний стержней, пластин и оболочек.– М.: ВИНИТИ, 1973.– 272 с. 3. Mindlin R. D., Medick M. A. Extensional vibrations of elastic plates // J. Appl. Mech.– 1959.– 26, N 4.– P. 541–569. 4. Власов А. Г. Метод переопределенных рядов в не- которых краевых задачах математической физи- ки // Вопросы динамической теории распростра- нения сейсмических волн.– 1959.– 3.– С. 403–463. 5. Hutchinson J. R. Axisymmetric vibrations of a solid elastic cylinder encased in a rigid container // J. Acoust. Soc. Amer.– 1967.– 42, N 2.– P. 398–402. 6. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.– М.: Наука, 1984.– 752 с. 7. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции.– М.: Наука, 1981.– 800 с. 8. Папков С. О., Чехов В. Н. О локализации соб- ственных частот прямоугольной призмы посред- ством исключения неизвестных в квазирегулярной бесконечной системе // Доп. НАН України.– 2004.– N 10.– С. 57–62. 9. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближен- ные методы высшего анализа.– М.-Л.: Гостехиздат, 1952.– 695 с. С. О. Папков 43

Установившиеся вынужденные колебания призмы при заданных на границе смещениях

Institution

Similar Items