Резонанс на неоднородных волнах в упругом полуслое
Проведен анализ особенностей резонанса на неоднородных волнах на частотах, для которых SV-волна является распространяющейся, а P-волна - неоднородной. Причину возникновения такого сложного волнового движения как краевой резонанс удалось качественно объяснить, основываясь на свойствах отражения плоск...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Акустичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2011
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79843 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Резонанс на неоднородных волнах в упругом полуслое / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая, В.В. Мелешко // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 1. — С. 20-29. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-79843 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Мелешко, В.В. 2015-04-05T15:19:32Z 2015-04-05T15:19:32Z 2011 Резонанс на неоднородных волнах в упругом полуслое / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая, В.В. Мелешко // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 1. — С. 20-29. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79843 539.3 Проведен анализ особенностей резонанса на неоднородных волнах на частотах, для которых SV-волна является распространяющейся, а P-волна - неоднородной. Причину возникновения такого сложного волнового движения как краевой резонанс удалось качественно объяснить, основываясь на свойствах отражения плоских упругих волн от свободной границы упругого тела. Показано, что эффективность проявления краевого резонанса и соответствующая собственная частота существенно зависят от коэффициента Пуассона. Проведено аналіз особливостей резонансу на неоднорідних хвилях на частотах, для яких SV-хвиля - така, що поширюється, а P-хвиля - неоднорідна. Причину виникнення такого складного хвильового руху як крайовий резонанс вдалося якісно пояснити, базуючись на властивостях відбиття плоских пружних хвиль віт вільної межі пружного тіла. Показано, що ефективність прояву крайового резонансу й відповідна власна частота істотно залежать від коефіцієнта Пуассона. The paper deals with analyzing the features of a resonance on the inhomogeneous waves at frequencies for which the SV-wave is a propagating one, while the P-wave is nonpropagating. We have managed to explain the occurrence of such complex motion as the edge resonance is on the base of reflection properties of plane elastic waves at the free boundary of elastic body. The efficiency of edge resonance exhibition and the corresponding eigen-frequency have been shown to significantly depend on the Poisson's ratio. ru Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Резонанс на неоднородных волнах в упругом полуслое A resonance on the inhomogeneous waves in an elastic half-layer Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Резонанс на неоднородных волнах в упругом полуслое |
| spellingShingle |
Резонанс на неоднородных волнах в упругом полуслое Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Мелешко, В.В. |
| title_short |
Резонанс на неоднородных волнах в упругом полуслое |
| title_full |
Резонанс на неоднородных волнах в упругом полуслое |
| title_fullStr |
Резонанс на неоднородных волнах в упругом полуслое |
| title_full_unstemmed |
Резонанс на неоднородных волнах в упругом полуслое |
| title_sort |
резонанс на неоднородных волнах в упругом полуслое |
| author |
Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Мелешко, В.В. |
| author_facet |
Гринченко, В.Т. Городецкая, Н.С. Мелешко, В.В. |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Акустичний вісник |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
A resonance on the inhomogeneous waves in an elastic half-layer |
| description |
Проведен анализ особенностей резонанса на неоднородных волнах на частотах, для которых SV-волна является распространяющейся, а P-волна - неоднородной. Причину возникновения такого сложного волнового движения как краевой резонанс удалось качественно объяснить, основываясь на свойствах отражения плоских упругих волн от свободной границы упругого тела. Показано, что эффективность проявления краевого резонанса и соответствующая собственная частота существенно зависят от коэффициента Пуассона.
Проведено аналіз особливостей резонансу на неоднорідних хвилях на частотах, для яких SV-хвиля - така, що поширюється, а P-хвиля - неоднорідна. Причину виникнення такого складного хвильового руху як крайовий резонанс вдалося якісно пояснити, базуючись на властивостях відбиття плоских пружних хвиль віт вільної межі пружного тіла. Показано, що ефективність прояву крайового резонансу й відповідна власна частота істотно залежать від коефіцієнта Пуассона.
The paper deals with analyzing the features of a resonance on the inhomogeneous waves at frequencies for which the SV-wave is a propagating one, while the P-wave is nonpropagating. We have managed to explain the occurrence of such complex motion as the edge resonance is on the base of reflection properties of plane elastic waves at the free boundary of elastic body. The efficiency of edge resonance exhibition and the corresponding eigen-frequency have been shown to significantly depend on the Poisson's ratio.
|
| issn |
1028-7507 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79843 |
| citation_txt |
Резонанс на неоднородных волнах в упругом полуслое / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая, В.В. Мелешко // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 1. — С. 20-29. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT grinčenkovt rezonansnaneodnorodnyhvolnahvuprugompolusloe AT gorodeckaâns rezonansnaneodnorodnyhvolnahvuprugompolusloe AT meleškovv rezonansnaneodnorodnyhvolnahvuprugompolusloe AT grinčenkovt aresonanceontheinhomogeneouswavesinanelastichalflayer AT gorodeckaâns aresonanceontheinhomogeneouswavesinanelastichalflayer AT meleškovv aresonanceontheinhomogeneouswavesinanelastichalflayer |
| first_indexed |
2025-11-26T11:36:09Z |
| last_indexed |
2025-11-26T11:36:09Z |
| _version_ |
1850619561184854016 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 20 – 29
УДК 539.3
РЕЗОНАНС НА НЕОДНОРОДНЫХ ВОЛНАХ
В УПРУГОМ ПОЛУСЛОЕ
В. Т. Г Р И Н Ч ЕН К О∗, Н. С. Г ОР ОД Е ЦК А Я∗, В. В. МЕЛ ЕШ К О∗∗
∗Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
∗∗Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко
Получено 15.10.2010
Проведен анализ особенностей резонанса на неоднородных волнах на частотах, для которых SV-волна является
распространяющейся, а P-волна – неоднородной. Причину возникновения такого сложного волнового движения как
краевой резонанс удалось качественно объяснить, основываясь на свойствах отражения плоских упругих волн от
свободной границы упругого тела. Показано, что эффективность проявления краевого резонанса и соответствующая
собственная частота существенно зависят от коэффициента Пуассона.
Проведено аналiз особливостей резонансу на неоднорiдних хвилях на частотах, для яких SV-хвиля – така, що по-
ширюється, а P-хвиля – неоднорiдна. Причину виникнення такого складного хвильового руху як крайовий резонанс
вдалося якiсно пояснити, базуючись на властивостях вiдбиття плоских пружних хвиль вiт вiльної межi пружного
тiла. Показано, що ефективнiсть прояву крайового резонансу й вiдповiдна власна частота iстотно залежать вiд
коефiцiєнта Пуассона.
The paper deals with analyzing the features of a resonance on the inhomogeneous waves at frequencies for which the
SV-wave is a propagating one, while the P-wave is nonpropagating. We have managed to explain the occurrence of such
complex motion as the edge resonance is on the base of reflection properties of plane elastic waves at the free boundary
of elastic body. The efficiency of edge resonance exhibition and the corresponding eigen-frequency have been shown to
significantly depend on the Poisson’s ratio.
ВВЕДЕНИЕ
Значительное возбуждение неоднородных волн
вблизи вертикальных границ в упругих волново-
дах со свободными боковыми поверхностями при-
водит к ряду специфических волновых эффектов,
проявляющихся в сильной локализации движения
вблизи вертикальной границы. Одним из наибо-
лее известных и хорошо изученных примеров та-
кой локализации является краевой резонанс, ко-
торый выражается в резком увеличении амплитуд
смещений в окрестности торца волновода со зна-
чительным их убыванием при удалении от торца.
Возникновение краевого резонанса было впер-
вые отмечено Шоу при изучении колебаний пье-
зокерамических дисков [1]. При этом наблюдалась
локализация зоны больших смещений на краю ди-
ска и независимость резонансной частоты от его
радиуса. Аналогичный тип колебаний обнаружил
Оливер в опытах на длинных стальных цилин-
драх [2]. При экспериментальном исследовании
краевой формы возникают определенные труднос-
ти, которые в значительной мере связаны с тем,
что эффективный коэффициент электромеханиче-
ской связи на указанной моде в пьезоактивных
пластинах, дисках и цилиндрах близок к нулю. Не-
смотря на это, в настоящее время накоплен обшир-
ный фактический материал, характеризующий яв-
ление краевого резонанса [3].
С точки зрения теоретического объяснения на-
блюдаемого эффекта важную роль сыграли рабо-
ты Газиса и Миндлина [4]. Здесь феномен краево-
го резонанса впервые был связан со спецификой
возбуждения неоднородных волн. Тем самым под-
черкнута особо важная роль волн с комплексными
постоянными распространения для более полно-
го описания волнового поля. В дальнейшем по-
явилось значительное количество публикаций, по-
священных изучению краевого резонанса в цилин-
драх [3, 5], круглых дисках [4, 6] и прямоугольных
пластинках конечной длины [7].
Более глубоко понять специфику возбуждения
неоднородных волн позволил анализ краевого ре-
зонанса в полубесконечных телах. Многочислен-
ные работы по краевому резонансу в полуограни-
ченных телах [4, 8 –16] показали, что в полуполо-
се и полуцилиндре частота краевого резонанса, на
которой происходит локализация движения вбли-
зи торца, совпадает с резонансной частотой в ко-
нечных цилиндрах и пластинах.
Для изучения волнового поля в таких телах
использовались различные подходы – метод одно-
родных решений [5,12], метод суперпозиции [9,18],
метод конечных элементов [16,17], метод конечных
разностей [11] и другие. В рамках метода одно-
родных решений при описании явления краевого
резонанса широкое распространение получила те-
ория “второго порядка” [4, 7], а также вариацион-
20 c© В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, В. В. Мелешко, 2011
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 20 – 29
ные методы [8,12]. Краевой резонанс на основе ме-
тода суперпозиции исследовался в работах [9, 14].
Отметим, что значения частоты краевого резонан-
са, полученные различными методами для задан-
ного коэффициента Пуассона, отличаются не бо-
лее, чем на 0.05 %.
К настоящему времени накоплен огромный
объем информации, полученной на основе
экспериментальных, численных и численно-
аналитических подходов, описывающий различ-
ные стороны проявления краевого резонанса.
Значительная часть ранних публикаций по этой
тематике обсуждалась в книге В. Т. Гринченко
и В. В. Мелешко [9]. Заметим лишь, что об-
суждаемое явление справедливо связывают с
резонансом на неоднородных волнах Лэмба в
полосе. Несмотря на большое количество работ,
посвященных краевому резонансу, здесь все еще
остается ряд невыясненных аспектов. Прежде
всего, это относится к оценке интенсивности
возбуждения неоднородных волн на резонансной
частоте при различных способах возбуждения
колебаний и разных параметрах среды (например,
коэффициенте Пуассона).
Помимо традиционного источника колебаний в
виде заданных на границе силовых или кинема-
тических параметров в случае полуполосы появ-
ляется такой источник с конечной энергией как
падающая из бесконечности волна. Подобное воз-
буждение волновода соответствует источнику с
конечной энергией во всем частотном диапазоне.
Кроме того, отраженная (уходящая на бесконе-
чность) волна формирует специфический радиа-
ционный механизм затухания. О возникновении
резонансных ситуаций можно говорить, анализи-
руя частотную зависимость силовых или кинема-
тических характеристик отраженного волнового
поля. В случае возбуждения волнового поля пада-
ющей из бесконечности волной в области частот,
где имеются распространяющиеся нормальные мо-
ды, существование резонансов на распространяю-
щихся волнах невозможно. Здесь речь может ид-
ти лишь об особом характере возбуждения нео-
днородных волн, причем амплитуды их возбужде-
ния всегда остаются конечными величинами. Ука-
занная ограниченность амплитуд обусловлена свя-
занностью через граничные условия единственной
распространяющейся и неоднородных волн, вслед-
ствие чего в полуслой вносится радиационное дем-
пфирование.
В ряде работ, посвященных краевому резонан-
су [19, 20], существование радиационного дем-
пфирования учитывалось путем введения компле-
ксной частоты (по аналогии с теорией колеба-
ний систем с демпфированием). При этом частота
краевого резонанса получена как функция коэф-
фициента Пуассона ν . Зависимость действитель-
ной части частоты от ν хорошо согласуется с
известными данными и близка к линейной. Мни-
мая же ее часть имеет два нуля. Первый из них
соответствовал ν=0, а второй наблюдался при
ν =0.2248 и соответствовал частоте краевого ре-
зонанса ωh/cs =π/
√
2. Указанные работы в значи-
тельной мере стимулировали нас более вниматель-
но рассмотреть особенности проявления краевого
резонанса при различных коэффициентах Пуассо-
на и попытаться дать физическую интерпретацию
данного явления.
При возбуждении колебаний заданной сило-
вой нагрузкой ситуация может измениться. Выну-
жденные колебания характеризуются возможно-
стью в ряде случаев устранить связь между ра-
спространяющейся и неоднородными волнами и
получить краевой резонанс в “чистом виде”, т. е.
обращение амплитуд смещений на резонансной ча-
стоте в бесконечность.
При симметричных колебаниях полуполосы и
полуцилиндра связь между распространяющейся
и неоднородными волнами устраняется для коэф-
фициента Пуассона ν =0 за счет выбора нагрузки
на торце соответствующим образом. Так, при воз-
буждении колебаний самоуравновешенной нагруз-
кой амплитуды неоднородных волн на резонан-
сной частоте стремятся к бесконечности [9, 10, 13].
В случае неосесимметричных колебаний полу-
бесконечного цилиндра наименьшая частота за-
пирания волновода будет больше нуля при всех
возможных значениях коэффициента Пуассона.
Поскольку частота краевого резонанса оказалась
меньше значения низшей критической частоты,
неограниченный рост амплитуды неоднородных
волн при вынужденных колебаниях здесь наблю-
дается при произвольном ν [9].
В случае симметричных колебаний полуполо-
сы эффективность проявления краевого резонанса
существенно различна при разных коэффициен-
тах Пуассона: при ν =0 амплитуды неоднородных
волн стремятся к бесконечности, а при ν 6=0 – ко-
нечны.
Таким образом, эффективность возбуждения
краевого резонанса существенно зависит от пара-
метров среды (например, коэффициента Пуассо-
на) и способа возбуждения волнового поля в упру-
гом теле. Влияние обоих этих факторов будет рас-
смотрено в данной работе.
Кроме того, основное внимание будет уделено
вопросу о физических причинах возникновения
краевого резонанса. В работах [9, 14, 15] предло-
В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, В. В. Мелешко 21
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 20 – 29
жена интерпретации эффектов локализации вол-
новых движений вблизи границы, основанная на
анализе особенностей взаимодействия и взаимо-
превращения продольных и поперечных волн на
граничных поверхностях. Эта идея оправдала се-
бя при исследовании явления краевого резонанса
при симметричных колебаниях упругого полуслоя
и анализе эффектов локализации движения вбли-
зи границы в составных волноводах [15, 21].
Как известно, краевой резонанс при продольных
колебаниях полуограниченного слоя наблюдается
на тех частотах, на которых в волноводе существу-
ет единственная распространяющаяся нормальная
волна (первая нормальная волна, мода). В области
частот, где может существовать только одна рас-
пространяющаяся нормальная волна, при симме-
тричных колебаниях слоя на его боковых поверх-
ностях она может быть представлена как супер-
позиция распространяющейся SV-волны и неодно-
родной Р-волны. При отражении распространяю-
щейся SV-составляющей первой нормальной вол-
ны от торца волновода образуются отраженные
SV- и P-волны. При этом отраженные SV-волны –
всегда распространяющиеся, а P-волны, в зави-
симости от угла падения и частоты, могут быть
как распространяющимися так и неоднородными.
При таком представлении единственной распро-
страняющейся волны особой оказывается часто-
та ωh/cs≈2.2=π/
√
2, на которой решение диспер-
сионного уравнения имеет вид ωh/cs =ξ
√
2. Та-
кой тип движения в волноводе соответствует моде
Ламе, для которой характерно отсутствие объем-
ного расширения и касательных напряжений во
всем объеме волновода [9]. Мода Ламе представ-
ляет собой только SV-компоненту, которая пада-
ет на свободную боковую поверхность под углом
45◦. Это специфичный случай отражения от свобо-
дной границы, когда процесс отражения не сопро-
вождается возбуждением волн другого типа дви-
жения (имеет место полное сохранение типа дви-
жения). При возбуждении полуслоя первой нор-
мальной волной, приходящей из бесконечности на
данной частоте, SV-волна отражается от свобод-
ного торца только с изменением фазы и форми-
рует стоячую по толщине волновода волну. Здесь
для эффективной передачи энергии в дальнее по-
ле не нужна перестройка волнового поля вблизи
торца, что приводит к нулевым амплитудам нео-
днородных волн.
При вынужденных колебаниях полуслоя на ука-
занной частоте возможно подобрать нагрузку, ко-
торая будет ортогональна распространяющейся
волне. В этой ситуации, аналогично случаю ν =0,
возникает принципиальная возможность устано-
вить связь между неоднородными и распростра-
няющимися волнами и исследовать эффектив-
ность возбуждения неоднородных волн на частоте
ωh/cs≈2.2=π/
√
2 в зависимости от коэффициен-
та Пуассона.
Хорошо известно, что частота краевого резо-
нанса и его добротность существенно зависят от
ν [14, 16]. Их чувствительность к этой характе-
ристике материала связана с особенностями воз-
буждения отраженной P-волны. Для 0.153≤ν при
отражении SV-составляющей первой нормальной
волны от свободной границы вблизи частоты кра-
евого резонанса на свободном торце возникает ра-
спространяющаяся P-волна. Одновременно на бо-
ковых поверхностях волновода P-составляющаяся
единственной распространяющейся волны являе-
тся неоднородной волной. Такое рассогласование
характера движения на вертикальной границе и
боковых поверхностях полуслоя приводит к необ-
ходимости значительного возбуждения других ти-
пов нормальных волн – неоднородных, которые и
обуславливают существование краевого резонан-
са.
В рамках такой физической интерпретации кра-
евого эффекта в полуслое становятся понятными
причины изменения частоты краевого резонанса
и его добротности при изменении коэффициента
Пуассона среды. Эти вопросы будут проанализи-
рованы в данной работе.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕ-
ШЕНИЯ
Рассмотрим плоскую задачу определения
свойств волнового поля в изотропном полубеско-
нечном упругом слое
|Y | ≤ H, Z ≥ 0, −∞ < X < ∞
с заданными физическими характеристиками –
модулем сдвига µ, коэффициентом Пуассона ν и
плотностью ρ (случай плоской деформации). Вол-
ны предполагаются гармоническими с круговой
частотой ω. Зависимость от времени кинемати-
ческих и силовых характеристик поля задается
множителем exp−iωt, который опускается в по-
следующих выкладках. Частота ω считается поло-
жительной вещественной величиной. Рассматри-
вается симметричное и антисимметричное относи-
тельно плоскости Y =0 волновое поле. При постро-
ении решения безразмерные координаты вводятся
соотношениями y=Y/H , z=Z/H .
Рассматриваются два случая возбуждения по-
ля в волноводе. В первом из них изучается про-
22 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, В. В. Мелешко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 20 – 29
цесс отражения приходящей из бесконечности нор-
мальной волны u
(0)(y, z) от свободного от напря-
жений торца волновода. Для нахождения характе-
ристик отраженных волн u
(1)(y, z) необходимо ре-
шить следующую граничную задачу для уравне-
ний движения Ламе [9]:
σ
(1)
zz (y, 0)+σ
(0)
zz (y, 0)=0, z=0, |y|≤1,
τ
(1)
zy (y, 0)+τ
(0)
zy (y, 0)=0, z=0, |y|≤1,
σ
(1)
yy (±1, z)=τ
(1)
yz (±1, z)=0, y=±1, z≥0.
(1)
При рассмотрении второго случая – вынужден-
ных колебаний – ограничимся заданием только
нормальной нагрузки на торце. Для определе-
ния характеристик генерируемого волнового по-
ля u
(1)(y, z) следует решить задачу с граничными
условиями
σ
(1)
zz
2µ
= f(y),
τ
(1)
zz
2µ
= 0. (2)
В обоих случаях поверхности y=±1 считаю-
тся свободными от напряжений. Частные решения
применяемых здесь уравнений движения Ламе, по
форме соответствующие бегущим в направлении
оси Oz волнам в выбранной системе координат, хо-
рошо известны [9]. При выборе необходимых ком-
бинаций таких решений для удовлетворения гра-
ничных условий следует принимать во внимание
условия излучения. Поскольку рассматриваемый
диапазон частот не включает частоту запирания
второй нормальной волны, знак фазовой скоро-
сти в используемых частных решениях однозначно
определен. Компоненты вектора смещений в па-
дающей из бесконечности волне представляются в
виде
uz(y, z) = −iξj
(
α2
1α2
ch α2y
sh α2
−
−ξ2 + α2
2
2
α1
ch α1y
sh α1
)
e−iξz ,
uy(y, z) = α2
1
(
ξ2 sh α2y
sh α2
−
−ξ2 + α2
2
2
sh α1y
sh α1
)
e−iξz ,
(3)
где ξ – волновое число. Приведенные выражения
тождественно удовлетворяют уравнениям движе-
ния упругого тела, если параметры αj связаны с
волновым числом и частотой следующими соотно-
шениями:
αj =
√
ξ2 − Ω2
j , |ξ| ≥ Ωj,
−i
√
Ω2
j − ξ2, |ξ| < Ωj.
(4)
Здесь введены безразмерные частоты Ω1 =ωH/cl и
Ω2 =ωH/cs, привязанные к скоростям продольной
cl и поперечной cs волн.
Для того, чтобы соответствующие выражени-
ям (3) компоненты тензора напряжений σzz и τyz
обращались в нуль на свободных поверхностях
y=±1, при заданном значении частоты постоян-
ная распространения ξ должна определяться из
дисперсионного уравнения
∆(ξ) =
(
2ξ2−Ω2
)2
α1cth α1−4ξ2α2
1α2cth α2 =0. (5)
Оно хорошо изучено и при фиксированном зна-
чении частоты имеет конечное число веществен-
ных и чисто мнимых корней, а также бесконечное
число комплексных корней [9]. Решения уравне-
ний движения для вещественных корней опреде-
ляют систему распространяющихся волн в слое.
Решения для мнимых и комплексных корней ха-
рактеризуются существенной изменяемостью соо-
тветствующих полевых компонент по координате
z и используются лишь для удовлетворения грани-
чных условий вблизи торцевых поверхностей. Чи-
сленные процедуры определения значений корней
также хорошо отработаны. Отметим, что в рассма-
триваемом диапазоне частот уравнение (5) имеет
один вещественный корень и ни одного мнимого.
Это обстоятельство будет учтено нами при постро-
ении общих решений граничной задачи.
Проведенный анализ дает возможность запи-
сать общее представление для вектора смещений,
позволяющее выполнить граничные условия для
рассмотренных двух вариантов постановки зада-
чи. В случае возбуждения волнового поля в слое
приходящей из бесконечности нормальной волной
получаем
u(y, z) = A0u(ξ1, y)e−iξ1z + A1u(ξ1, y)eiξ1z+
+
∞
∑
k=2
(
Aku(ξk, y)eiξkz + Bku(ξ∗k, y)e−iξ∗
k
z
)
,
(6)
где A0 – заданная амплитуда падающей волны.
Неизвестные постоянные Ak и Bk должны опреде-
ляться из однородных граничных условий. Ампли-
тудные функции, зависящие от толщинной коор-
динаты y, определяются в соответствии с выраже-
ниями (3). Для выбранной системы координат при
В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, В. В. Мелешко 23
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 20 – 29
2
2.25 2.3 2.35 2.4
|C2|
0
5
10
15
20
Рис. 1. Частотные зависимости модуля амплитуды
первой неоднородной волны Сj/C(0) для ν=0.3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
e
2
2.2
2.4
2.6
Рис. 2. Зависимость частоты краевого резонанса
от величины коэффициента Пуассона
проведении вычислений следует использовать кор-
ни дисперсионного уравнения (5) с положительной
мнимой частью.
При рассмотрении задачи о вынужденных ко-
лебаниях в выражении (6) следует опустить сла-
гаемое с A0, а неизвестные коэффициенты Ak и
Bk определять из неоднородных граничных усло-
вий (2).
В настоящее время сформировался ряд подхо-
дов и методов, используемых для решения по-
ставленной граничной задачи. Среди них мож-
но выделить как прямые численные схемы, так
и численно-аналитические методы. К последним
относятся метод однородных решений, который
использовался в работах [4, 8, 12] и метод супер-
позиции, применявшийся в работах [9, 14]. В рам-
ках данного исследования мы не будем останав-
ливаться на детальном описании подходов к ре-
шению граничной задачи. Отметим лишь, что ре-
ализация обоих численно-аналитических методов
в конечном итоге приводит к бесконечным алге-
браическим системам. При этом в рамках метода
однородных решений бесконечная система решае-
тся методом простой редукции. Метод же суперпо-
зиции позволяет использовать улучшенную сходи-
мость посредством учета асимптотических свойств
неизвестных. Решение граничной задачи, получен-
ное в рамках метода суперпозиции, может быть
представлено через комплексные амплитуды Ck,
Dk нормальных волн. Отметим, что оба метода
дают практически одинаковые значения для вели-
чин комплексных амплитуд и близкую точность
выполнения граничных условий.
2. ВОЗБУЖДЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ
ВОЛН ВБЛИЗИ ТОРЦА ПОЛУБЕСКОНЕ-
ЧНОГО СЛОЯ
Дальнейший анализ основан на результатах чи-
сленного решения граничной задачи для различ-
ных значений частоты и коэффициента Пуассо-
на. Прежде всего, остановимся на количественном
описании некоторых особенностей явления лока-
лизации движения вблизи торца полуслоя.
Хорошо известно [9], что форма колебаний на
частоте краевого резонанса в основном определя-
ется первой неоднородной волной. Неоднородные
волны высших порядков здесь также имеют ма-
ксимум, однако уровень их возбуждения значи-
тельно падает с увеличением порядка. Исходя из
этого, количественные результаты будут приведе-
ны только для первой неоднородной волны.
Вначале рассмотрим отражение первой рас-
пространяющейся моды от свободного торца. На
рис. 1 представлены частотные зависимости мо-
дуля амплитуды первой неоднородной волны,
нормированной на амплитуду падающей волны
(Сj/C(0)), для коэффициента Пуассона ν=0.3. На
частоте Ω2 =2.3152 наблюдается максимум, при-
чем модуль амплитуды первой неоднородной вол-
ны превышает амплитуду распространяющейся
волны более, чем в 20 раз. Амплитуды мод с ком-
плексными волновыми числами высших порядков
здесь также имеют максимумы, однако они суще-
ственно меньше амплитуды распространяющейся
волны и убывают с увеличением номера моды. Не-
24 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, В. В. Мелешко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 20 – 29
однородные волны всех порядков и первая распро-
страняющаяся волна изменяют фазу при перехо-
де через частоту Ω2 =2.3152. Все перечисленные
признаки говорят о существовании резонансной
ситуации. Таким образом, для коэффициента Пу-
ассона ν =0.3 наблюдается резонанс на неодноро-
дных волнах на частоте Ω2 =2.3152. Указанные на-
ми особенности его проявления хорошо известны
и описаны многими авторами.
Хотелось бы добавить, что приведенные на
рис. 1 данные получены при условии, что ампли-
туда падающей волны постоянна. В то же вре-
мя, в отличие от обычных резонансных ситуаций
в теории колебаний, краевой резонанс реализуе-
тся на собственных формах, которые существен-
но зависят от частоты и коэффициента Пуассона.
Эту особенность необходимо учитывать при срав-
нении эффективности проявления краевого резо-
нанса при разных значениях ν и способах нагру-
жения.
В частотном диапазоне, где наблюдается крае-
вой резонанс при симметричных колебаниях полу-
слоя, существует только одна распространяющая-
ся мода. Средний за период поток мощности, пе-
реносимый этой волной, определяется следующим
образом:
W = ωµ|C1|2Ω2
2(ξ
2 − Ω2
1)
∆′
2
.
Для реализации требования равенства энергии,
вносимой в полуслой на разных частотах, необ-
ходимо изменять амплитуду падающей волны та-
ким образом, чтобы удерживать W/(ωµ)=const.
В частности, на частоте краевого резонанса для
ν =0.3 получаем W =ωµ17.99, т. е. для постоянства
энергии амплитуда падающей волны на резонан-
сной частоте должна быть уменьшена в
√
17.99
раз, что приведет к пропорциональному уменьше-
нию амплитуд неоднородных волн.
Рассмотрим влияние коэффициента Пуассона
на особенности проявления краевого резонанса
при симметричных колебаниях полуслоя. Изве-
стно, что частота краевого резонанса с ростом
ν увеличивается [14, 16, 20]. Эту тенденцию ил-
люстрирует рис. 2.
При изменении коэффициента Пуассона изме-
няется и эффективность возбуждения краевой мо-
ды. На рис. 3 представлены частотные зависи-
мости модуля амплитуды первой неоднородной
волны для различных значений ν . На рис. 3, а
кривая 1 соответствует коэффициенту Пауссона
ν =0.25, при этом максимальное значение ампли-
туды на частоте краевого резонанса достигает зна-
чения 56 (на рисунке кривая урезана), кривая 2 –
ν =0.35, кривая 3 – ν =0.4. Как видно из графи-
ков, с возрастанием коэффициента Пуассона на-
блюдается снижение уровня возбуждения неодно-
родных волн. При этом полоса частот, в которой
происходит эффективное их возбуждение, расши-
ряется. Увеличение степени возбуждения неодно-
родных волн с уменьшением ν отмечалось в ра-
боте [15] (для конкретных его значений), а так-
же в [16] (в диапазоне ν >0.2). Конечно же, нель-
зя ожидать монотонного увеличения амплитуды
неоднородных волн с уменьшением коэффициен-
та Пуассона. При отражении первой распростра-
няющейся волны от свободного торца существуют
такие его величины, при которых неоднородные
волны не возбуждаются, т. е. их амплитуды рав-
ны нулю. Для рассматриваемого типа нагружения
на частоте краевого резонанса амплитуды неодно-
родных волн равны нулю для ν =0. Кроме того,
неоднородные волны не возбуждаются на частоте
моды Ламе (Ω2 =π/
√
2).
Как видно из рис. 2, при определенном зна-
чении коэффициента Пуассона (ν≈0.224) часто-
та краевого резонанса может совпасть с часто-
той моды Ламе. Для данного ν при отражении
первой распространяющейся моды от свободного
торца в отраженном поле неоднородные волны не
возбуждаются. Рассмотрим более подробно эффе-
ктивность возбуждения неоднородных волн вбли-
зи этого значения коэффициента Пуассона (см.
рис. 3, б). Кривая 1 соответствует ν=0.225 (для
него на частоте краевого резонанса максимальное
значение амплитуды достигает 4472), а кривая 2 –
ν =0.223. При приближении коэффициента Пуас-
сона справа и слева к ν≈0.224 (кривая 3, частота
краевого резонанса приближается к частоте моды
Ламе) амплитуда первой неоднородной волны уве-
личивается и добротность резонанса возрастает.
Проанализируем более подробно волновой про-
цесс в полуслое на частоте моды Ламе. Смещения
первой распространяющейся волны на ее частоте
Ω2 =π/
√
2 имеют вид
uz = i
π4
16
ν
1 − ν
cos
πy
2
,
uy =
π4
16
ν
1− ν
sin
πy
2
,
а напряжения, соответствующие моде Ламе –
σL
zz = −π5
32
ν
1 − ν
cos
πy
2
= D cos
πy
2
,
τL
zy = 0.
Важным свойством моды Ламе является ее ор-
тогональность по напряжениям модам с компле-
В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, В. В. Мелешко 25
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 20 – 29
2
2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45 2.5
|C2|
0
5
10
15
20
1
2
3
2
2.18 2.19 2.2 2.21 2.22 2.23
|C2|
0
50
100
150
1
2
3
а б
Рис. 3. Частотные зависимости модуля амплитуды первой неоднородной волны
для различных коэффициентов Пуассона:
а – ν≥0.25 б – 0.223≤ν≥0.225
0.22 0.222 0.224 0.226 0.228 0.23
|C2|
0
100
200
300
400
500
0.22 0.222 0.224 0.226 0.228 0.23
Re C2
-500
0
500
а б
Рис. 4. Зависимость амплитуды первой неоднородной волны
от коэффициента Пуассона на частоте Ω2=π/
√
2:
а – модуль; б – действительная часть
ксными волновыми числами [19]. Для любого j≥2,
соответствующего комплексному волновому числу
дисперсионного уравнения (5), на частоте (Ω2 =
π/
√
2) выполняется равенство
1
∫
−1
[
σL
zz(y)σj
zz(y) + τL
zy(y)τ j
yz (y)
]
dy = 0.
Здесь
σj
zz(y) = −α2
1α2ξ
2 ch α2y
sh α2
+
+α1
(ξ2 + α2
2)(ξ
2 + Ω2
0)
2
ch α1y
sh α1
;
τ j
zy(y) = −iξα2
1
ξ2 + α2
2
2
(
sh α2y
sh α2
− sh α1y
sh α1
)
.
26 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, В. В. Мелешко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 20 – 29
Для анализа степени возбуждения неодноро-
дных волн на частоте Ω2 =π/
√
2 рассмотрим выну-
жденные колебания полуслоя. При этом зададим
на торце такую нагрузку, которая ортогональна
моде Ламе, в частности,
f(y) = 2µ cosπy.
В этом случае первая распространяющаяся мода
не возбуждается, а амплитуды неоднородных волн
могут быть найдены при решении граничной зада-
чи с условиями (2) при отбрасывании в отражен-
ном поле первой распространяющейся моды.
На рис. 4 представлена зависимость амплиту-
ды первой неоднородной волны от коэффициента
Пуассона на частоте Ω2 =π/
√
2. Это – типичная
резонансная ситуация. Для коэффициента Пуас-
сона ν =0.224896 модуль амплитуды первой нео-
днородной волны резко возрастает, а действитель-
ная часть амплитуды изменяет знак. Полученные
данные позволяют говорить, что для ν≈0.2249,
как и в случае ν =0, можно получить действитель-
ный резонанс на неоднородных волнах при соо-
тветствующем выборе нагрузки на торце.
3. АНАЛИЗ КИНЕМАТИКИ БЕГУЩЕЙ
ВОЛНЫ
Чтобы дать физическую интерпретацию явле-
нию локализации смещений на торце, а также
зависимости резонансной частоты и добротности
от коэффициента Пуассона, рассмотрим особен-
ности формирования распространяющихся волн
вблизи резонансной частоты. Для этого проанали-
зируем выражение для вектора перемещений (3).
В общем случае в упругом теле произвольной
формы волновое движение, независимо от спосо-
ба возбуждения, может быть представлено сум-
мой продольных и поперечных волн. В выраже-
нии для перемещения первое слагаемое определя-
ет вклад поперечных (SV) волн в волновое дви-
жение в нормальной волне, в второе – вклад про-
дольных (P) волн. На частотах ниже частоты за-
пирания для второй распространяющейся волны
первая нормальная мода образована бегущей SV-
компонентой (α1 – мнимая величина) и неодноро-
дной, распространяющейся вдоль границ (y=±1),
P-компонентой (α2 – действительная величина).
Отметим, что вдали от границы именно таким
и должно быть отраженное поле, так как оно
представляется единственной распространяющей-
ся волной. Если возбуждение происходит на пер-
вой нормальной моде, падающая волна имеет ана-
логичную структуру.
y
z
1
-1
1
1
SVSV
SV
P
Рис. 5. Схема отражения SV-волны
от свободной границы упругого полуслоя
Для анализа формирования волнового поля
вблизи торца полуслоя проанализируем процесс
отражения SV-компоненты в падающей волне.
Для этого оказывается полезной информация об
отражении SV-волны от свободной границы упру-
гого полупространства. Хорошо известно, что,
отражаясь от границы, SV-волна порождает как
SV-, так и P-волны. Структура отраженных волн
показана на рис. 5. Здесь угол будет функцией ча-
стоты:
cos θ1 =
cl
cs
sin
√
Ω2
2 − ξ2
Ω2
.
Отраженная SV-волна всегда является распро-
страняющейся, а P-волна может быть как распро-
страняющейся, так и неоднородной, в зависимости
от угла падения (частоты). Кроме того, амплиту-
ды отраженных P- и SV-волн Φ и Ψ зависят от
угла падения (частоты) и могут быть вычислены
следующим образом:
Φ =
4s(s2 − 1)
4sr + (s2 − 1)2
Ψ =
4sr − (s2 − 1)2
4sr + (s2 − 1)2
,
s = tg γ1, r = tg θ.
На рис. 6 представлено поведение амплитуд
отраженных SV- (кривая 1) и P-волн (кривая 2)
при изменении частоты (угла падения) для ко-
эффициента Пуассона ν =0.3. На графике мож-
но выделить две характерные частоты. Первая
из них – Ω2 =π/
√
2, при которой полностью со-
храняется тип движения. Она соответствует углу
падения 45◦, при котором в отраженном поле P-
волна отсутствует. При волноводном распростра-
нении для ν =0.3 эта частота соответствует моде
Ламе и на ней по высоте волновода укладывается
целое число SV-полуволн. Вторая характерная ча-
стота – это критическая частота для P-волны, на-
В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, В. В. Мелешко 27
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 20 – 29
2
2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
A
0
1
2
3
4
5
1
2
Рис. 6. Зависимости амплитуд отраженных SV-
и P-волн от изменении частоты (угла падения)
для коэффициента Пуассона ν=0.3
2
2.2 2.4 2.6 2.8 3
0
2
4
6
1
2
3
4
5
Рис. 7. Амплитуды отраженной P-волны
при падении SV-волны на свободную границу
упругого полупространства для разных значений
коэффициента Пуассона
чиная с которой продольная волна становится ра-
спространяющейся. Наблюдается ярко выражен-
ный резонансный характер поведения амплиту-
ды отраженной P-волны. Частота, на которой на-
блюдается максимум ее амплитуды для ν =0.3,
несколько выше частоты краевого резонанса при
симметричных колебаниях полуслоя со свободным
торцом. При этом следует учитывать, что на ча-
стоте краевого резонанса в слое первая распро-
страняющаяся мода образована суперпозицией ра-
спространяющейся SV-волны и неоднородной P-
волны. Поэтому, не рассматривая отражение нео-
днородной P-волны от свободного торца, невозмо-
жно точно найти частоту краевого резонанса.
Приведенные рассуждения могут только каче-
ственно объяснить эффект локализации движения
на торце полуслоя. Ситуация выглядит следую-
щим образом. Вдали от торца на частоте краево-
го резонанса существует только одна распростра-
няющаяся нормальная волна, в которой для ка-
ждой частоты имеется определенное соотношение
между продольными и поперечными движениями.
Однако при отражении от торца это соотношение
нарушается, поскольку наблюдается сильная ча-
стотная зависимость амплитуд отраженных SV-
и P-компонент. На определенных частотах полно-
стью SV-волна или P-волна исчезает. Чтобы со-
хранить требуемое соотношение между продоль-
ными и поперечными движениями в дальнем поле
вблизи указанных частот около торца необходимо
интенсивно возбудить неоднородные волны. Имен-
но за счет их возбуждения и удается “перестроить”
колебательные движения вблизи торца в требуе-
мые соотношения продольных и поперечных коле-
бания в нормальной волне в дальнем поле.
Еще одним подтверждением приведенного каче-
ственного анализа могут служить данные рис. 7,
на котором представлены амплитуды отраженной
P-волны при падении SV-волны на свободную гра-
ницу упругого полупространства для разных зна-
чений коэффициента Пуассона. Кривые 1 – 5 соо-
тветствуют ν =0.225, 0.25, 0.3, 0.35 и 0.4. Рассма-
триваемый график хорошо согласуется зависимо-
стями, изображенными на рис. 3 – при увеличении
коэффициента Пуассона на них наблюдается рост
резонансной частоты и уменьшение добротности
колебательной системы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Явление краевого резонанса в упругих телах
иллюстрирует фундаментальные особенности про-
цесса распространения упругих волн в телах коне-
чных размеров. В этой работе представлены дан-
ные, позволяющие углубить представления о ме-
ханизме формирования волновых движений, опре-
деляемых как краевой резонанс. Важная особен-
ность полученных результатов состоит в том, что
причину возникновения такого сложного волново-
го движения удалось качественно объяснить, осно-
вываясь на свойствах отражения плоских упругих
волн от свободной границы упругого тела.
Характеристики формы колебаний, соответ-
ствующих краевому резонансу, и добротность ко-
28 В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, В. В. Мелешко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 20 – 29
лебаний существенно зависят от коэффициента
Пуассона упругого материала. Такая зависимость
отражает влияние коэффициента Пуассона на сте-
пень преобразования сдвиговых движений в про-
дольные при отражении упругих волн от свобо-
дной границы. Нами показано, что эффективность
проявления краевого резонанса и соответствую-
щая собственная частота Ωe также существенно
зависят от коэффициента Пуассона. При измене-
нии его величины от 0 до 0.5 частота краевого ре-
зонанса растет. Степень возбуждения первой не-
однородной волны падает при увеличении ν от
0.2249 до 0.5.
Установленные количественные зависимости
удается во многом качественно объяснить несколь-
кими причинами. Прежде всего, существенно, что
низшая нормальная волна в волноводе формируе-
тся суперпозицией бегущей сдвиговой волны и не-
однородной продольной. При этом сдвиговые ком-
поненты будут определяющими в области частот,
близких к частоте краевого резонанса. Посколь-
ку в упругих телах при отражении волн от грани-
цы сильно выражено преобразование одного типа
движения в другой, то важным фактором для во-
зникновения краевого резонанса становится рассо-
гласованность типов движения вблизи торца полу-
слоя и в дальнем поле.
1. Shaw E. A. G. On the resonant vibration of thi-
ng barium titanate disks // J. Acoust. Soc. Amer.–
1956.– 20, № 1.– P. 38–50.
2. Oliver J. Elastic wave dispersion in a cylindrical rod
by a wide-band, short-duration pulse technique //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1957.– 29, № 2.– P. 189–194.
3. Onoe M. Frequncy of edge mode of isotropic thin
rectangular plate, circular disk and rod // J. Acoust.
Soc. Amer.– 1961.– 33, № 11.– P. 1627.
4. Gazis D. C., Mindlin R. D. Extentional vibration and
waves in a circular disk and semi-infinite plate //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1960.– 27, № 3.– P. 541–547.
5. Zemanek J. An experimental and theoretical investi-
gation of elastic wave propagation in a cylinder //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1972.– 51, Pt 2, № 1.– P. 265–
283.
6. Ikegami S., Ueda I., Kobayashi S. Frequency spectra
of resonant vibration in disk plates of PbTi O3 pi-
ezoelectric ceramics // J. Acoust. Soc. Amer.– 1974.–
55, № 2.– P. 339–344.
7. Мелешко В. В. О возможностях теории “второ-
го порядка” при изучении высокочастотного спе-
ктра упругих дисков // Докл. АН УССР, Сер. А.–
1978.– № 7.– С. 621–625.
8. Auld B. A., Tsao E.J. A variational analysis of edge
resonance in semi-infinite plate // IEEE Trans. SU.–
1977.– 24, № 5.– P. 317–326.
9. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические
колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук.
думка, 1981.– 284 с.
10. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. О резонансе в
полубесконечной упругой полосе // Прикл. мех.–
1980.– 16, № 2.– С. 58–63.
11. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Wilde M. V. Free
localized vibration of semi-infinite celindrical shell //
J. Acoust. Soc. Amer.– 2000.– 107, № 3.– P. 1383–
1393.
12. Torvic P. J. Reflection of wave trains in semiinfinite
plates // J. Acoust. Soc. Amer.– 1967.– 41, № 2.–
P. 346–353.
13. Roitberg J., Vassiliev D., Wilde M. V Edge resonance
in an elastic semi-strip // Q. J. Mech. Appl. Math.–
1998.– 51.– P. 1–13.
14. Городецкая Н. С. Еще раз о краевом резонансе //
Акуст. вiсн.– 2000.– 3, № 4.– С. 35–44.
15. Гринченко В.Т., Городецкая Н. С. Анализ физи-
ческих особенностей явления краевого резонанса
в упругих телах // Акуст. вiсн.– 2004.– 7, № 1.–
С. 30–43.
16. Le Clezio E., Predoi M. V., Castaings M., Hoster B.,
Rousseau M. Numerical predictions and experiments
on the free-plate edge mode // Ultrasonics.– 2003.–
41.– P. 25–40.
17. Cho Y. H., Rose J. L. A boundary element solution
for a mode conversion study on the edge reflection
of Lamb waves // J. Acoust. Soc. Amer.– 1996.– 99,
№ 4.– P. 2097–2109.
18. Гомилко А. М., Городецкая Н. С., Мелешко В. В.
Продольные волны Лэмба в полубесконечном
упругом слое // Прикл. мех.– 1991.– 27, № 6.–
С. 53–59.
19. Zernov V, Pichugin A. V, Kaplunov J. Eigenvalue of
semi-infinite elastic strip // Proc. Roy. Soc. Lond.–
2006.– A462.– P. 1255–1270.
20. Pagneux V. Revisiting the edge resonance for Lamb
waves in a semi-infinite plate // J. Acoust. Soc.
Amer.– 2006.– 120, № 2.– P. 649–656.
21. Городецкая Н. С. Дифракция волн Рэлея – Лэмба
на границе раздела двух состыкованных упругих
полуполос разной ширины // Акуст. вiсн.– 2000.–
3, № 3.– С. 32–43.
В. Т. Гринченко, Н. С. Городецкая, В. В. Мелешко 29
|