Резонанснi коливання й вiбророзiгрiв гнучких круглих пластинок з п'єзоактуаторами при шарнiрному й жорсткому закрiпленнях
Розв'язано спряжену задачу про вимушені резонансні осесиметричні коливання й дисипативний розігрів гнучких круглих пластинок з п'єзоактивними актуаторами. Розглянуті питання механічного й електричного збудження коливань, а також можливість демпфування механічних коливань за допомогою подач...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Акустичний вісник |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2011
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79845 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Резонанснi коливання й вiбророзiгрiв гнучких круглих пластинок з п'єзоактуаторами при шарнiрному й жорсткому закрiпленнях / І.Ф. Киричок, Т.В. Карнаухова // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 1. — С. 40-48. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-79845 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Киричок, І.Ф. Карнаухова, Т.В. 2015-04-05T15:21:23Z 2015-04-05T15:21:23Z 2011 Резонанснi коливання й вiбророзiгрiв гнучких круглих пластинок з п'єзоактуаторами при шарнiрному й жорсткому закрiпленнях / І.Ф. Киричок, Т.В. Карнаухова // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 1. — С. 40-48. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79845 539.3 Розв'язано спряжену задачу про вимушені резонансні осесиметричні коливання й дисипативний розігрів гнучких круглих пластинок з п'єзоактивними актуаторами. Розглянуті питання механічного й електричного збудження коливань, а також можливість демпфування механічних коливань за допомогою подачі відповідної різниці електричних потенціалів на електроди актуаторів. Досліджено вплив граничних механічних і теплових умов, геометричної нелінійності й температури дисипативного розігріву на активне демпфування гнучких пластинок. Решена связанная задача о вынужденных резонансных осесимметричных колебаниях и диссипативном разогреве гибких круглых вязкоупругих пластинок с пьезоактивными актуаторами. Рассмотрены вопросы механического и электрического возбуждения колебаний, а также возможность демпфирования механических колебаний с помощью подвода соответствующей разности электрических потенциалов к электродам актуаторов. Исследовано влияние граничных механических и тепловых условий, геометрической нелинейности и температуры диссипативного разогрева на активное демпфирование гибких пластинок. The paper deals with considering of a coupled problem on forced resonant axisymmetric vibrations and dissipative heating of circular flexiblе viscoelastic plates with piezoactive actuators. Different aspects of mechanical and electrical excitation of vibrations are considered, along with the possibility of damping of mechnical vibrations by means of voltage application to electrodes of the actuators. The effect of mechanical and thermal boundary conditions, geometric nonlinearity and temperature of the dissipative heating on the active damping of circular flexible plates is investigated. uk Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Резонанснi коливання й вiбророзiгрiв гнучких круглих пластинок з п'єзоактуаторами при шарнiрному й жорсткому закрiпленнях Resonant vibration and vibrational heating of circular flexible plates with piezoactuators at hinged and rigid fixing Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Резонанснi коливання й вiбророзiгрiв гнучких круглих пластинок з п'єзоактуаторами при шарнiрному й жорсткому закрiпленнях |
| spellingShingle |
Резонанснi коливання й вiбророзiгрiв гнучких круглих пластинок з п'єзоактуаторами при шарнiрному й жорсткому закрiпленнях Киричок, І.Ф. Карнаухова, Т.В. |
| title_short |
Резонанснi коливання й вiбророзiгрiв гнучких круглих пластинок з п'єзоактуаторами при шарнiрному й жорсткому закрiпленнях |
| title_full |
Резонанснi коливання й вiбророзiгрiв гнучких круглих пластинок з п'єзоактуаторами при шарнiрному й жорсткому закрiпленнях |
| title_fullStr |
Резонанснi коливання й вiбророзiгрiв гнучких круглих пластинок з п'єзоактуаторами при шарнiрному й жорсткому закрiпленнях |
| title_full_unstemmed |
Резонанснi коливання й вiбророзiгрiв гнучких круглих пластинок з п'єзоактуаторами при шарнiрному й жорсткому закрiпленнях |
| title_sort |
резонанснi коливання й вiбророзiгрiв гнучких круглих пластинок з п'єзоактуаторами при шарнiрному й жорсткому закрiпленнях |
| author |
Киричок, І.Ф. Карнаухова, Т.В. |
| author_facet |
Киричок, І.Ф. Карнаухова, Т.В. |
| publishDate |
2011 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Акустичний вісник |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Resonant vibration and vibrational heating of circular flexible plates with piezoactuators at hinged and rigid fixing |
| description |
Розв'язано спряжену задачу про вимушені резонансні осесиметричні коливання й дисипативний розігрів гнучких круглих пластинок з п'єзоактивними актуаторами. Розглянуті питання механічного й електричного збудження коливань, а також можливість демпфування механічних коливань за допомогою подачі відповідної різниці електричних потенціалів на електроди актуаторів. Досліджено вплив граничних механічних і теплових умов, геометричної нелінійності й температури дисипативного розігріву на активне демпфування гнучких пластинок.
Решена связанная задача о вынужденных резонансных осесимметричных колебаниях и диссипативном разогреве гибких круглых вязкоупругих пластинок с пьезоактивными актуаторами. Рассмотрены вопросы механического и электрического возбуждения колебаний, а также возможность демпфирования механических колебаний с помощью подвода соответствующей разности электрических потенциалов к электродам актуаторов. Исследовано влияние граничных механических и тепловых условий, геометрической нелинейности и температуры диссипативного разогрева на активное демпфирование гибких пластинок.
The paper deals with considering of a coupled problem on forced resonant axisymmetric vibrations and dissipative heating of circular flexiblе viscoelastic plates with piezoactive actuators. Different aspects of mechanical and electrical excitation of vibrations are considered, along with the possibility of damping of mechnical vibrations by means of voltage application to electrodes of the actuators. The effect of mechanical and thermal boundary conditions, geometric nonlinearity and temperature of the dissipative heating on the active damping of circular flexible plates is investigated.
|
| issn |
1028-7507 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/79845 |
| citation_txt |
Резонанснi коливання й вiбророзiгрiв гнучких круглих пластинок з п'єзоактуаторами при шарнiрному й жорсткому закрiпленнях / І.Ф. Киричок, Т.В. Карнаухова // Акустичний вісник — 2011. —Т. 14, № 1. — С. 40-48. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT kiričokíf rezonansnikolivannâivibrorozigrivgnučkihkruglihplastinokzpêzoaktuatoramiprišarnirnomuižorstkomuzakriplennâh AT karnauhovatv rezonansnikolivannâivibrorozigrivgnučkihkruglihplastinokzpêzoaktuatoramiprišarnirnomuižorstkomuzakriplennâh AT kiričokíf resonantvibrationandvibrationalheatingofcircularflexibleplateswithpiezoactuatorsathingedandrigidfixing AT karnauhovatv resonantvibrationandvibrationalheatingofcircularflexibleplateswithpiezoactuatorsathingedandrigidfixing |
| first_indexed |
2025-11-25T20:34:26Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:34:26Z |
| _version_ |
1850525559369498624 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 40 – 48
УДК 539.3
РЕЗОНАНСНI КОЛИВАННЯ
Й ВIБРОРОЗIГРIВ ГНУЧКИХ КРУГЛИХ ПЛАСТИНОК
З П’ЄЗОАКТУАТОРАМИ ПРИ ШАРНIРНОМУ
Й ЖОРСТКОМУ ЗАКРIПЛЕННЯХ
I. Ф. К И Р И Ч ОК∗ Т. В. К А РН А У ХО В А∗∗
∗Iнститут механiки iм. С. П. Тимошенка НАН України, Київ
∗∗Нацiональний технiчний унiверситет України “КПI”, Київ
Одержано 01.10.2010
Розв’язано спряжену задачу про вимушенi резонанснi осесиметричнi коливання й дисипативний розiгрiв гнучких
круглих пластинок з п’єзоактивними актуаторами. Розглянутi питання механiчного й електричного збудження ко-
ливань, а також можливiсть демпфування механiчних коливань за допомогою подачi вiдповiдної рiзницi електри-
чних потенцiалiв на електроди актуаторiв. Дослiджено вплив граничних механiчних i теплових умов, геометричної
нелiнiйностi й температури дисипативного розiгрiву на активне демпфування гнучких пластинок.
Решена связанная задача о вынужденных резонансных осесимметричных колебаниях и диссипативном разогреве
гибких круглых вязкоупругих пластинок с пьезоактивными актуаторами. Рассмотрены вопросы механического и
электрического возбуждения колебаний, а также возможность демпфирования механических колебаний с помощью
подвода соответствующей разности электрических потенциалов к электродам актуаторов. Исследовано влияние гра-
ничных механических и тепловых условий, геометрической нелинейности и температуры диссипативного разогрева
на активное демпфирование гибких пластинок.
The paper deals with considering of a coupled problem on forced resonant axisymmetric vibrations and dissipative heating
of circular flexiblе viscoelastic plates with piezoactive actuators. Different aspects of mechanical and electrical excitation
of vibrations are considered, along with the possibility of damping of mechnical vibrations by means of voltage application
to electrodes of the actuators. The effect of mechanical and thermal boundary conditions, geometric nonlinearity and
temperature of the dissipative heating on the active damping of circular flexible plates is investigated.
ВСТУП
Тонкi пластинки з в’язкопружних матерiалiв –
один з найпоширенiших конструктивних елементiв
у багатьох галузях сучасної технiки. У процесi екс-
плуатацiї вони часто знаходяться пiд дiєю динамi-
чних, зокрема, гармонiчних у часi навантажень.
Особливо небезпечними є резонанснi режими екс-
плуатацiї тонкостiнних елементiв, коли значення
амплiтуд прогинiв можуть бути порядку товщи-
ни пластинки. У зв’язку з цим виникає потреба
у демпфуваннi вимушених коливань гнучких тон-
костiнних круглих пластинок, яка породжує ряд
вiдповiдних задач. В останнi роки поряд iз пасив-
ними методами демпфування коливань тонкостiн-
них елементiв [1 – 3] широко почали використову-
ватись методи активного демпфування за допо-
могою п’єзоактивних тонких накладок (актуато-
рiв) [4,5]. До такого актуатора пiдводиться рiзниця
електричних потенцiалiв, яка компенсує дiю ме-
ханiчного навантаження. На ефективнiсть гасiн-
ня механiчних коливань об’єкта впливають такi
фактори як електромеханiчнi й геометричнi ха-
рактеристики пасивної та п’єзоактивної складо-
вих системи, механiчнi граничнi умови, темпера-
турнi фактори, обумовленi дисипативним розiгрi-
вом внаслiдок гiстерезисних втрат у матерiалi або
теплообмiном iз зовнiшнiм середовищем. Дослi-
дженню впливiв цих факторiв на термомеханiчнi
процеси при активному демпфуваннi вимушених
коливань негнучких пластинок присвяченi робо-
ти [1, 6 – 12].
Питання математичного моделювання термоме-
ханiчної поведiнки в’язкопружних гнучких пла-
стинок з розподiленими актуаторами та розв’язки
окремих задач методом Бубнова – Гальоркiна роз-
глядались у статтях [13 – 15]. Зауважимо, що при
розв’язку конкретних задач товщина п’єзошарiв
та їхнi в’язкопружнi властивостi тут не врахову-
вались.
У данiй статтi в геометрично нелiнiйнiй поста-
новцi розглядається задача про вимушенi резонан-
снi коливання й дисипативний розiгрiв в’язкопру-
жних гнучких круглих пластинок з п’єзоелектри-
чними актуаторами при шарнiрному й жорсткому
закрiпленнях зовнiшнього контура. Враховуються
в’язкопружнi властивостi п’єзоматерiалу, товщина
п’єзоактуаторiв у жорсткiстних характеристиках i
геометрична нелiнiйнiсть у квадратичному набли-
женнi.
40 c© I. Ф. Киричок, Т. В. Карнаухова, 2011
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 40 – 48
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI
Розглянемо тришарову гнучку круглу пластин-
ку радiуса R, середнiй шар якої товщини h0 ви-
готовлено з iзотропного пасивного (без п’єзоефе-
кту) матерiалу, а два зовнiшнi шари однакової
товщини h1 – iз трансверсально-iзотропного п’єзо-
активного матерiалу з однаковими властивостями,
але протилежним напрямком їхньої поляризацiї по
товщинi. Для конкретностi вважаємо, що верхнiй
(z≥h0/2) i нижнiй (z≤−h0/2) шари характеризу-
ються значеннями п’єзомодуля d31 i −d31, вiдпо-
вiдно. Зовнiшнi та внутрiшнi поверхнi п’єзошарiв –
актуаторiв, що контактують з пасивним шаром, –
електродованi. Внутрiшнi електроди пiдтримую-
ться при нульовому електричному потенцiалi.
На пластинку дiє поверхневий тиск, який змiню-
ється за моногармонiчним у часi t законом з кру-
говою частотою ω, близькою до резонансної. До
зовнiшнiх електродiв кругового актуатора радiу-
са r=r0≤R з частотою механiчного навантаження
пiдводиться рiзниця електричних потенцiалiв
φ1
(
h0
2
+ h1
)
− φ1
(
−h0
2
− h1
)
= Re (2VAeiωt).
Електроди в областi r>r0 закороченi (VA =0). Ме-
ханiчно контур пластинки вiльний у радiальному
напрямку та шарнiрно або жорстко закрiплений у
поперечному напрямку. На поверхнях пластинки
реалiзуються умови конвективного теплообмiну з
навколишнiм середовищем, яке має температуру
Ts. При активному демпфуваннi вимушених коли-
вань пластинки, обумовлених механiчним наван-
таженням, необхiдно на основi розв’язку механiч-
ної задачi розрахувати амплiтуду й фазу електри-
чного потенцiалу, який пiдводиться до електродiв
актуатора для компенсацiї дiї навантаження.
Коливання такої пластинки описуються на осно-
вi гiпотез Кiрхгофа – Лява, доповнених адекватни-
ми їм гiпотезами вiдносно розподiлу електричних
польових величин [16,17]. Дисипативнi властивостi
матерiалiв пасивних i п’єзоактивних шарiв врахо-
вуються на основi концепцiї комплексних характе-
ристик [1]. Температура дисипативного розiгрiву
приймається постiйною по товщинi пакету шарiв.
Вважається, що деформацiї малi, але прогини пла-
стинки такi, що в кiнематичних спiввiдношеннях
необхiдно враховувати квадрати кутiв повороту.
При цьому рiвняння руху також є нелiнiйними.
На основi вказаних припущень задача про ви-
мушенi осесиметричнi електромеханiчнi коливан-
ня гнучкої круглої пластинки в полярних коорди-
натах зводиться до розв’язку рiвнянь руху [18, 19]
∂Nr
∂r
+
1
r
(Nr − Nθ) = ρh
∂2u
∂t2
,
∂Q̄r
∂r
+
1
r
Q̄r + qz = ρh
∂2w
∂t2
,
∂Mr
∂r
+
1
r
(Mr − Mθ) − Q̄r − Nrϑr = 0;
(1)
спiввiдношень в’язкопружностi
Nr = C11 ⊕ εr + C12 ⊕ εθ,
Nθ = C12 ⊕ εr + C11 ⊕ εθ,
Mr = D11 ⊕ κr + D12 ⊕ κθ + ME ,
Mθ = D12 ⊕ κr + D11 ⊕ κθ + ME ;
(2)
а також кiнематичних залежностей
εr =
∂u
∂r
+
1
2
ϑ2
r, εθ =
u
r
,
κr =
∂ϑr
∂r
, κθ =
ϑr
r
, ϑr = −∂w
∂r
.
(3)
У рiвняннях (1) – (3) введенi такi позначення:
C11 = h0B
E
11 + 2h1B
s
11;
C12 = h0νBE
11 + 2h1νEBs
11;
D11 =
h3
0
12
BE
11
+ ĥ3 (Bs
11
+ γ33) ;
D12 =
h3
0
12
νBE
11
+ ĥ3(νEBs
11
+ γ33);
ĥ3 =
1
6
(4h3
1 + 6h2
1h0 + 3h1h
2
0);
BE
11 =
E
1 − ν2
; Bs
11 =
1
sE
11
(1 − ν2
E)
;
νE = −sE
12
sE
11
; k2
p =
2d2
31
sE
11
εT
33
(1 − νE)
;
γ33 =
b2
31
b33
; ρh = 2h1ρ1 + ρ0h0;
ME = (h0 + h1)b31 ⊕ VA; Q̄r = Qr − Nrϑr;
b31 =
d31
sE
11
(1 − νE)
; b33 = εT
33(1 − k2
p).
(4)
Окрiм того, sE∗
11
, sE∗
12
, d∗
31
, εT∗
33
– незалежнi вiд тем-
ператури податливостi, п’єзомодуль i дiелектри-
чна проникнiсть у п’єзоелектричних шарах вiдпо-
вiдно; Nr , Nθ, Qr – зусилля; Mr, Mθ – моменти; u,
I. Ф. Киричок, Т. В. Карнаухова 41
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 40 – 48
w, ϑr – перемiщення й кут повороту; ρ1, ρ0 – пи-
томi густини п’єзоактивного й пасивного матерiа-
лiв; E∗ – в’язкопружний модуль Юнга; ν=const –
коефiцiєнт Пуассона пасивного матерiалу. Символ
“⊕” в рiвняннях стану (2), який надалi опускаємо,
позначає вiдомий з лiнiйної теорiї в’язкопружно-
стi [17, 20] iнтегральний оператор
D∗f =
0
Df −
t
∫
−∞
1
D(t − τ )f(τ )dτ,
який для гармонiчних процесiв деформування
призводить до концепцiї комплексних характери-
стик [1, 17], так що
D∗f = (D′ + iD′′)(f ′ + if ′′). (5)
Усереднене за цикл коливань i по всiй товщи-
нi пакету шарiв пластинки рiвняння енергiї, яке
описує осесиметричний розподiл температури ди-
сипативного розiгрiву, має вигляд
1
a
∂T
∂t
=
∂2T
∂r2
+
1
r
∂T
∂r
− 2αn
λh
(T − Ts) +
Ŵ
λh
, (6)
де h=2h1+h0; αn=(α1+α2)/2; α1, α2 – коефiцiєн-
ти теплообмiну на поверхнях γ=∓(h0/2+h1); λ –
усереднений коефiцiєнт теплопровiдностi; a – ко-
ефiцiєнт температуропровiдностi; Ŵ – усереднена
за перiод коливань i по товщинi пластинки швид-
кiсть дисипацiї.
Розв’язувальнi рiвняння (1) – (6) необхiдно до-
повнити граничними механiчними й тепловими
умовами на контурi пластинки й початковою умо-
вою для рiвняння теплопровiдностi. Механiчнi
граничнi умови запишуться так:
• при шарнiрному закрiпленнi краю
Nr = 0, w = 0, Mr = 0 при r = R; (7)
• при жорсткому защемленнi краю
Nr = 0, w = 0, ϑr = 0 при r = R. (8)
Тепловi гранична й початкова умови мають ви-
гляд
λ
∂T
∂r
= −αR(T − Ts) при r = R,
T = T0 при t = 0.
(9)
Оскiльки для круглої суцiльної пластинки точ-
ка r=0 є особливою, то при чисельному розв’яз-
ку задачi розглядається пластинка з отвором до-
сить малого радiуса r=ε у центрi, на контурi якого
задаються умови регулярностi й симетрiї [19] для
рiвнянь механiки (1) – (3) й теплопровiдностi (6),
так що
Nr = 0, Q̄r = 0, ϑr = 0,
∂T
∂r
= 0 при r = ε.
(10)
2. ПОБУДОВА РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI
Для побудови розв’язку задачi про коливання
гнучкої круглої пластинки рiвняння руху (1) i кi-
нематичнi спiввiдношення (3) запишемо вiдносно
шуканих величин u, w, ϑr, Nr , Q̄r, Mr у виглядi
∂u
∂r
= εr −
1
2
ϑ2
r,
∂w
∂r
= −ϑr,
∂ϑr
∂r
= −κr ,
∂Nr
∂r
= −1
r
Nr +
1
r
Nθ + ρh
∂2u
∂t2
,
∂Q̄r
∂r
= −1
r
Q̄r + ρh
∂2w
∂t2
− qz,
∂Mr
∂r
= −1
r
Mr +
1
r
Mθ + Q̄r + Nrϑr.
(11)
Iз визначальних рiвнянь (2) знаходимо
εr = Jc ⊕ Nr − νc ⊕
u
r
,
κr = JD ⊕ Mr + νD ⊕ ϑr
r
− JD ⊕ ME ,
Nθ = νc ⊕ Nr + B22 ⊕
u
r
,
Mθ = −νD ⊕ Mr + D22 ⊕
ϑr
r
+
+(1 + νD) ⊕ ME ,
(12)
де
Jc =
1
C11
; JD =
1
D11
;
νc =
C12
C11
; νD = −D12
D11
;
B22 = C11(1 − ν2
c ); D22 = D11(1 − ν2
D).
(13)
При моногармонiчному механiчному наванта-
женнi
qz = q′z cos ωt − q′′z sin ωt, q′′z = 0, (14)
42 I. Ф. Киричок, Т. В. Карнаухова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 40 – 48
внаслiдок геометричної нелiнiйностi розв’язок
задачi (11), окрiм основної частоти (часто-
ти навантаження), буде мати й iншi гармонi-
ки, тобто коливальний процес – полiгармонi-
чний. Обмежимося побудовою розв’язку нелiнiй-
ної задачi в одномодовому наближеннi для змiн-
них A={w, ϑr, Q̄r, Mr, Mθ, κr}, якi характеризу-
ють згин пластинки, та утриманням iнших гар-
монiк для змiнних B={u, Nr, εr, Nθ} плоского де-
формування пластинки, так що
A = A′ cos ωt − A′′ sin ωt,
B =
0
B +
2
∑
k=1
(
k
B
′ cos kωt −
k
B
′′ sin kωt
)
.
(15)
Пiдставимо залежностi (14), (15) у розв’язуваль-
нi рiвняння (11) i прирiвняємо коефiцiєнти при
cos kωt i sin kωt (k=0, 1, 2). Пiсля цього з отрима-
них спiввiдношень виключимо стацiонарнi складо-
вi
0
ε
r
,
0
N
θ
й амплiтуднi змiннi
1
κ
′
r ,
1
κ
′′
r ,
1
M
′
θ,
1
M
′′
θ ,
k
ε
′
r,
k
ε
′
r ,
k
N
′
θ,
k
N
′′
θ (k=1, 2). Величини
0
εr,
0
Nθ визначають-
ся першим i третiм спiввiдношеннями (12), в яких
операторна зiрочка опускається i жорсткiснi хара-
ктеристики Jc, νc, B22 обчислюються згiдно iз за-
лежностями (4), (13), у яких в’язкопружнi модулi
замiнюються на їхнi дiйснi пружнi значення. Змiн-
нi
1
κ
′
r, . . . ,
k
N
′′
θ знаходимо згiдно з процедурою (5) iз
залежностей (12), якi справедливi для кожної гар-
монiки [1, 17]. При цьому для величин з верхнiм
iндексом “1” комплекснi жорсткостi (4), (13) обчи-
слюються при частотi ω, а з iндексом “2” – при ча-
стотi 2ω. У результатi отримуємо таку наближену
систему нелiнiйних диференцiальних рiвнянь вiд-
носно амплiтудних складових шуканих величин:
d
0
u
dr
=
0
Jc
0
N r −
0
νc
0
u
r
− 1
2
(
1
ϑ
′
2
r +
1
ϑ
′′
2
r ),
du′
dr
= J ′
cN
′
r + J ′′
c N ′′
r − ν ′
c
u′
r
+ ν ′′
c
u′′
r
,
∂u′′
∂r
= −J ′′
c N ′
r + J ′
cN
′′
r − ν ′′
c
u′
r
− ν ′
c
u′′
r
,
(16)
d
2
u′
dr
=
2
J
′
c
2
N
′
r +
2
J
′′
c
2
N
′′
r − 2
ν ′
c
2
u′
r
+
+
2
ν ′′
c
2
u′
r
− 1
4
(
1
ϑ
′
r
2 −
1
ϑ
′′
r
2),
d
2
u′
dr
= −
2
J
′′
c
2
N
′
r +
2
J
′
c
2
N
′′
r − 2
ν′′
c
2
u′
r
−
− 2
ν′
c
2
u′
r
− 1
2
1
ϑ
′
r
1
ϑ
′′
r ,
dw′
dr
= −ϑ′
r,
dw′′
dr
= −ϑ′′
r ,
dϑ′
r
dr
= J ′
DM ′
r + J ′′
DM ′′
r + ν ′
D
ϑ′
r
r
− ν ′′
D
ϑ′′
r
r
−
−(J ′
DM ′
E + J ′′
DM ′′
E),
dϑ′′
r
dr
= −J ′′
DM ′
r + J ′
DM ′′
r + ν ′′
D
ϑ′
r
r
+ ν ′
D
ϑ′′
r
r
+
+(J ′′
DM ′
E − J ′
DM ′′
E),
(17)
d
2
N ′
r
dr
= −1 − 2
ν′
c
r
2
N
′
r −
2
ν′′
c
r
2
N
′′
r+
+
2
B′
22
r
2
u′ −
2
B′′
22
r2
2
u′′ − 4ρhω2 2
u′,
d
2
N ′′
r
dr
=
2
ν ′′
c
r
2
N
′
r −
1 − 2
ν′
c
r
2
N
′′
r+
+
2
B′′
22
r
2
u′ +
2
B′
22
r2
2
u′′ − 4ρhω2
2
u′′,
dQ̄′
r
dr
= −1
r
Q̄′
r − ρhω2w′ − q′z,
dQ̄′′
r
dr
= −1
r
Q̄′′
r − ρhω2w′′,
d
0
N r
dr
= −1 − 0
νc
r
0
N r +
0
B22
r2
0
u,
dN ′
r
dr
= −1 − ν ′
c
r
N ′
r −
ν ′′
c
r
N ′′
r +
+
B′
22
r2
u′ − B′′
22
r2
u′′ − ρhω2u′,
dN ′′
r
dr
=
ν ′′
c
r
N ′
r −
1 − ν ′
c
r
N ′′
r +
+
B′′
22
r2
u′ +
B′
22
r2
u′′ − ρhω2u′′,
(18)
I. Ф. Киричок, Т. В. Карнаухова 43
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 40 – 48
dM ′
r
dr
= −1 + ν ′
D
r
M ′
r +
ν ′′
D
r
M ′′
r +
+
D′
22
r2
ϑ′
r −
D′′
22
r2
ϑ′′
r + Q̄′
r +
0
N rϑ
′
r+
+
1
2
2
N
′
rϑ
′
r +
1
2
2
N
′′
r ϑ′′
r +
1 + ν ′
D
r
M ′
E − ν ′′
D
r
M ′′
E ,
dM ′′
r
dr
= −ν ′′
D
r
M ′
r −
1 + ν ′
D
r
M ′′
r +
+
D′′
22
r2
ϑ′
r +
D′
22
r2
ϑ′′
r + Q̄′′
r +
0
N rϑ
′′
r+
+
1
2
2
N
′
rϑ
′′
r +
1
2
2
N
′′
rϑ′
r +
ν ′′
D
r
M ′
E +
1 + ν ′
D
r
M ′′
E .
(19)
Механiчнi граничнi умови (7) i (8) вiдповiдно за-
писуються так:
0
N
r
= N ′
r = N ′′
r =
2
N ′
r =
2
N ′′
r = w′
r = w′′
r =
= M ′′
r = M ′
r = 0 (r = R),
(20)
0
N
r
= N ′
r = N ′′
r =
2
N ′
r =
2
N ′′
r = w′
r = w′′
r =
= ϑ′
r = ϑ′′
r = 0 (r = R).
(21)
а умови (10):
0
N
r
= N ′
r = N ′′
r =
2
N ′
r =
2
N ′′
r = ϑ′
r = ϑ′′
r =
= Q̄′
r = Q̄′′
r = 0 (r = ε),
(22)
Дисипативна функцiя Ŵ у рiвняннi енергiї (6)
для гнучкої в’язкопружної пластинки з п’єзо-
електричними актуаторами через розв’язувальнi
функцiї системи рiвнянь (16) – (19) набуває вигля-
ду
2
ω
Ŵ =
2
∑
k=1
(
k
N
′′
r
k
ε′r −
k
N
′
r
k
ε′′r +
k
N
′′
θ
k
ε′θ −
k
N
′
θ
k
ε′′θ )+
+M ′′
r κ′
r − M ′
rκ
′′
r + M ′′
θ κ′
θ − M ′
θκ
′′
θ+
+(h0 + h1)[(b
′′
31
κ′ + b′
31
κ′′)V ′
A−
−(b′31κ
′ − b′′31κ
′′)V ′′
A ] + 2
b′′33
h1
(V ′
A
2 + V ′′
A
2).
(23)
Тут κ=κr+κθ. Для скорочення запису iндекс “1”
над змiнними у рiвняннях (16) – (23) опущено.
До нелiнiйних рiвнянь (16) – (19) застосуємо ме-
тод квазiлiнеаризацiї [17, 19], а отриману лiнеари-
зовану систему звичайних диференцiальних рiв-
нянь на кожнiй iтерацiї проiнтегруємо методом
дискретної ортогоналiзацiї [19] з використанням
типової програми [21]. На першому кроцi розв’язу-
ється лiнiйна задача. Пiсля обчислення дисипатив-
ної функцiї (23) нестацiонарна задача теплопро-
вiдностi (6), (9) розв’язується за допомогою явної
схеми методу скiнченних рiзниць. При реалiзацiї
вказаного алгоритму слiд використовувати безроз-
мiрнi просторову x=(r−ε)/L (L=R−ε) й часову
τ =at/L2 координати.
3. РЕЗУЛЬТАТИ РОЗРАХУНКIВ
Числовi розрахунки проведено для круглої пла-
стинки з пасивного в’язкопружного матерiалу ти-
пу полiметилметакрилат [22] з такими теплофiзи-
чними характеристиками:
k
E
∗
=
k
E′ + i
k
E′′, k = 1, 2;
k
E′ =
0
E(kω)p;
k
E′′ =
k
E′b(kω)q;
0
E = 0.308 · 1010 Н/м2; ν = 0.35;
b = 0.16; p = 0.076; q = −0.145;
ρ0 = 2.77 · 103 кг/м3; λ = 0.45 Вт/(м2 град).
П’єзоелектричнi шари актуаторiв виготовлено
з в’язкопружної керамiки типу ЦТСтБС-2 [23]
з такими незалежними вiд частоти фiзико-
механiчними характеристиками, що вiдповiдають
початковiй температурi T0:
sE∗
11
= (12.5− 0.02i) · 10−12 м2/Н;
d∗
31 = (−1.6 + 0.0064i) · 10−10 Кл/м;
ε∗33 = (21 − 0.735i) · 102ε0;
ε0 = 8.854 · 10−12 Ф/м; ν ′
E = 0.37; ν ′′
E = 0;
ρ1 = 7520 кг/м3; λ = 0.47 Вт/(м2 град);
T0 = Ts = 20◦C, i =
√
−1.
Розмiри пластинки вибирались такими: R=0.2 м;
ε=0.1·10−3 м; h0 =0.01 м; h1 =0.5·10−6 м.
У зв’язку з тим, що в об’єктi реалiзуються пе-
реважно згинальнi коливання, числовi розрахунки
проводились для частот навантаження, близьких
до першого резонансу згинальної моди. Розгляда-
лися три способи навантаження пластинки – меха-
нiчне, електричне й одночасна протифазна дiя ме-
ханiчного й електричного навантажень. При цьо-
му обмежувались випадком дiї на поверхню пла-
стинки рiвномiрного вздовж радiуса тиску з ам-
плiтудою q′z =q0.
44 I. Ф. Киричок, Т. В. Карнаухова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 40 – 48
Для компенсацiї впливу механiчного наванта-
ження методом активного демпфування необхiдно
розрахувати показник актуатора VA. За аналогiєю
з лiнiйною задачею [8], приймемо лiнiйну залеж-
нiсть мiж VA i q0 у виглядi
VA = ka(x0)q0, (24)
де ka – коефiцiєнт керування; x0 =(r0−ε)/L – без-
розмiрний радiус кругового актуатора.
Згiдно з [8], коефiцiєнт ka у рiвняннi (24) роз-
раховується як вiдношення амплiтуди максималь-
ного прогину, обумовленого на частотi лiнiйного
резонансу одиничним механiчним навантаженням
(q0 =1 Па), до вiдповiдного значення амплiтуди
прогину wE при пiдведеннi до електродiв актуато-
ра одиничного електричного потенцiалу (V ′
A =1 В;
V ′′
A =0), так що
kA =
|wp max|
|wE max|
. (25)
Якщо механiчне навантаження змiнюється
за часом вiдповiдно до закону (14), то для
компенсацiї цього навантаження обчислене
згiдно з (24), (25) протифазне електричне на-
вантаження повинно змiнюватися за законом
VA cos(ωt+π)=−VA cosωt.
На рис. 1 показано розрахованi за форму-
лою (25) на частотах лiнiйного резонансу ωp зале-
жностi коефiцiєнта керування ka (неперервнi лi-
нiї) й максимальнi значення вiдносних прогинiв
w1 =4|wE(0)|/h0 i w2 = |wE(0)|/h0 (штриховi лiнiї),
обумовленi одиничним електричним навантажен-
ням, вiд безрозмiрного радiуса x0 кругового акту-
атора. Тут кривi 1 вiдповiдають жорсткому, а 2 –
шарнiрному закрiпленням краю пластинки (те са-
ме означають iндекси в позначеннях максималь-
них прогинiв). Проведенi розрахунки показують,
що актуатори з радiусами x0 =0.67 для жорстко
закрiпленої та x0 =1 для шарнiрно обпертої пла-
стинок реалiзують максимальнi прогини при мi-
нiмальному значеннi ka. Вони виявляються опти-
мальними при електричному збудженнi коливань
пластинки та найефективнiшими для активного
гасiння вимушених механiчних коливань.
Числовi дослiдження ефектiв нелiнiйностi пред-
ставлено графiками на рис. 2 – 5, на яких спiвстав-
лялись результати розв’язкiв лiнiйної (штриховi
лiнiї) й геометрично нелiнiйної (неперервнi лiнiї)
задач. Графiки на рис. 2, а, 3, а, 4, а отриманi для
шарнiрного опирання (7), а на рис. 2, б, 3, б, 3, б –
жорсткого для защемлення (8) зовнiшнього краю
пластинки.
x0
0 0.5 1
ka
0
0.2
0.4
0.6
w1,2
0
0.004
0.008
0.012
1
2
Рис. 1. Залежнiсть ka й вiдносних прогинiв
вiд безрозмiрного радiуса x0 актуатора
На рис. 2 наведенi амплiтудно-частотнi характе-
ристики (АЧХ) максимального значення вiднесе-
ної до товщини пасивного шару амплiтуди прогину
w̃= |w(0)|/h0 при механiчному навантаженнi пла-
стинки з такими значеннями амплiтуди q0 ·10−4:
крива 1 – 0.05 Па; крива 2 – 0.10 Па; крива 3 –
0.15 Па; крива 4 – 0.20 Па; крива 5 – 0.30 Па; кри-
ва 6 – 0.35 Па. При цьому VA =0. Для зазначе-
них амплiтуд механiчного навантаження вiдповiд-
нi температурно-частотнi характеристики (ТЧХ)
максимального значення усталеної (τ =0.1) тем-
ператури дисипативного розiгрiву, за умов кон-
вективного теплообмiну на поверхнях пластинки
з коефiцiєнтом αn =αR =15 Вт/(м2 град), показа-
нi на рис. 3.
З аналiзу рис. 2 випливає, що при навантажен-
нях, якi обумовлюють максимальне значення вiд-
носного прогину w̃≤0.2, можна обмежитись лi-
нiйною постановкою задачi. Видно, що в умовах
жорсткого закрiплення краю пластинки така по-
становка задачi справедлива при бiльш високих
рiвнях навантажень. При розглянутих умовах те-
плообмiну для жорсткого закрiплення спостерiга-
ється суттєво вищий рiвень температури дисипа-
тивного розiгрiву (кривi 4 на рис. 3, б), нiж при
шарнiрному (кривi 1, рис. 3, а). Зi зростанням ам-
плiтуди вiдносного прогину (w̃>0.2) вклад гео-
метричної нелiнiйностi стає бiльш помiтним, що
проявляється у зсувi резонансної частоти в бiк її
збiльшення та формуваннi АЧХ i ТЧХ жорсткого
типу.
На рис. 4 для розглянутої пластинки з шарнiрно
опертим краєм наведенi АЧХ максимальних ам-
плiтуд прогинiв wE = |w(0)|/h0 (рис. 4, а) й ТЧХ
максимального значення температури дисипатив-
ного розiгрiву Tm (рис. 4, б), розрахованi у випад-
I. Ф. Киричок, Т. В. Карнаухова 45
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 40 – 48
x 10-3 c-1
0.43 0.47 0.51 0.55
~w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
2
3
4
x 10-3 c-1
0.94 0.98 1.02 1.06
~w
0
0.2
0.4
4
5
6
а б
Рис. 2. Амплiтудно-частотна характеристика (АЧХ) при механiчному навантаженнi:
а – для шарнiрного закрiплення, б – для жорсткого закрiплення
x 10-3 c-1
0.43 0.47 0.51 0.55
Tm
oC
0
100
200
1
2
3
4
x 10-3 c-1
0.94 0.98 1.02 1.06
Tm
oC
0
100
200
4
5
6
а б
Рис. 3. Температурно-частотна характеристика (ТЧХ) при механiчному навантаженнi:
а – для шарнiрного закрiплення, б – для жорсткого закрiплення
x 10-3 c-1
0.43 0.47 0.51 0.55
wE, wPE
0
0.2
0.4
0.6
x 10-3 c-1
0.43 0.47 0.51 0.55
Tm
oC
0
50
100
а б
Рис. 4. Частотнi характеристики системи при рiзних типах навантаження:
а – АЧХ, б – ТЧХ
46 I. Ф. Киричок, Т. В. Карнаухова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 40 – 48
q0x10-4 a
0 0.125 0.25
Tm
oC
0
100
200
1
2
3
T=TK
q0x10-4 a
0 0.25 0.5
Tm
oC
0
100
200
1 2 3
T=TK
а б
Рис. 5. Залежнiсть максимальної температури вiд амплiтуди механiчного навантаження:
а – для шарнiрного закрiплення, б – для жорсткого закрiплення
ках лiнiйної (штриховi лiнiї) i нелiнiйної (суцiльнi
лiнiї) постановок задачi при пiдведеннi до електро-
дiв оптимального актуатора (x0 =1) електричних
потенцiалiв ±VA =46.8 В. Видно, що ефекти не-
лiнiйностi тут аналогiчнi до випадку механiчного
навантаження. При цьому результати для лiнiйної
й нелiнiйної задач у масштабi графiкiв спiвпада-
ють з кривими 3 на рис. 2, а i 3, а. Вiдзначимо, що
величина VA =46.8 В є компенсацiйною до меха-
нiчного навантаження q0 =0.15·104 Па й розрахо-
вувалась за формулою (24) при ka =0.0312 згiдно
кривої 2 на рис. 1. На цьому ж рисунку представ-
ленi штриховi лiнiї – це АЧХ вiдносного прогину
wpE = |w(0)|/h0·102 i ТЧХ пластинки при одноча-
снiй дiї механiчного навантаження q0 =0.15·104 Па
й протифазно пiдведених до електродiв актуато-
ра компенсацiйних потенцiалiв VA =46.8 В. Вони
демонструють ефективнiсть активного демпфува-
ння механiчних коливань розглянутої пластинки.
На рис. 5 показано залежностi максимальної
температури дисипативного розiгрiву Tm вiд ве-
личини амплiтуди механiчного навантаження q0
для коефiцiєнтiв теплообмiну αn =αR =5, 15 i
25 Вт/(м2 град) (кривi 1 – 3 вiдповiдно). Цi ре-
зультати отримано на частотах лiнiйного резо-
нансу ωp =482 рад/с при шарнiрному (рис. 5, а) i
ωp =1010 рад/с при жорсткому (рис. 5, б) закрi-
пленнях зовнiшнього краю пластинки в лiнiйнiй
(штриховi лiнiї) i геометрично нелiнiйнiй (непе-
рервнi лiнiї) постановках задачi. На осi ординат
показано значення температури Кюрi TK =180◦C
п’єзокерамiки ЦТСтБС-2, при якiй п’єзоматерi-
ал деполяризується. Аналiз рис. 5 показує, що
при активному демпфуваннi пластинок iз в’яз-
копружних матерiалiв обов’язковим буде розра-
хунок температури дисипативного розiгрiву, яка
залежить не тiльки вiд амплiтуди навантажен-
ня, а й вiд умов механiчного закрiплення конту-
ру пластинки й теплообмiну її поверхонь iз зовнi-
шнiм середовищем. Урахування геометричної не-
лiнiйностi супроводжується зниженням темпера-
тури розiгрiву. Вважаючи, що п’єзоактуатор втра-
чає свою функцiональну працездатнiсть при до-
сягненнi температури Кюрi хоча б в однiй то-
чцi елемента, можна визначити критичне значен-
ня амплiтуди механiчного навантаження при вiдо-
мих умовах теплообмiну й механiчного закрiплен-
ня пластинки.
ВИСНОВКИ
Дослiджено особливостi термомеханiчних про-
цесiв при роздiльному та спiльному моногармо-
нiчному електричному й механiчному навантаже-
ннях гнучких круглих в’язкопружних пластинок
з п’єзоактуаторами при рiзних умовах механiчно-
го закрiплення й теплообмiну з зовнiшнiм сере-
довищем. Показано, що для пластинки з проти-
лежно поляризованими по товщинi шарами акту-
атора при електромеханiчному збудженнi макси-
мальнi амплiтуди прогинiв на лiнiйному i нелiнiй-
ному резонансах за величиною мало вiдрiзняються
мiж собою. Цей факт служить доказом того, що
урахування геометричної нелiнiйностi не впливає
на показник актуатора i його можна визначати з
розв’язку лiнiйної задачi. Граничнi умови механiч-
ного закрiплення пластинки й умови теплообмiну
на її поверхнях вiдiграють суттєву роль при визна-
ченнi показника актуатора й допустимих значень
амплiтуди механiчного навантаження, коли п’єзо-
I. Ф. Киричок, Т. В. Карнаухова 47
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2011. Том 14, N 1. С. 40 – 48
елемент деполяризується, досягаючи температури
Кюрi внаслiдок саморозiгрiвання.
1. Карнаухов В. Г., Михайленко В. В. Нелинейная
термомеханика пьезоэлектрических неупругих тел
при моногармоническом нагружении.– Житомир:
Изд-во ЖТТУ, 2005.– 428 с.
2. Матвеев В. В. Демпфирование колебаний дефор-
мируемых тел.– К.: Наук. думка, 1985.– 264 с.
3. Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфи-
рование колебаний.– М.: Мир, 1988.– 488 с.
4. Tzou H. S., Anderson G. L. (eds.) Intelligent
structural systems.– Dordrecht –Boston –London:
Kluwer Academic Publisher, 1992.– 453 p.
5. Tzou H. S. Piezoelectric shells (distributed sensi-
ng and control of continua).– Dordrecht – Boston –
London: Kluwer Academic Publisher, 1993.– 400 p.
6. Карнаухов В. Г., Карнаухова Т. В. Демпфирова-
ние резонансных изгибных колебаний гибкой шар-
нирно опертой вязкоупругой круглой пластины
при совместном использовании сенсоров и актуа-
торов // Теор. прикл. мех.– 2009.– 46.– С. 125–131.
7. Карнаухов В. Г., Козлов А. В., Пятецкая Е. В.
Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин
при помощи распределенных пьезоэлектрических
включений // Акуст. вiсн.– 2002.– 5, № 4.– С. 15–
32.
8. Киричок I. Ф., П’ятецька О. В., Карнаухов М. В.
Згиннi коливання та дисипативний розiгрiв кiль-
цевої в’зкопружної пластинки з п’єзоелектрични-
ми актуаторами при електромеханiчному моно-
гармонiчному навантаженнi // Вiсн. Київ. ун-ту.
Сер. Фiз.-мат. науки.– 2006.– Вип. 2.– С. 84–92.
9. Karnaukhova T. V., Piatetskaya E. V. On the basic
relationships of thin termoviscoelastic plates with di-
stributed actuators under monoharmonic loading //
Int. Apll. Mech.– 2009.– 45, № 2.– P. 200–214.
10. Karnaukhova T. V., Piatetskaya E. V. Damping the
bending resonanse vibrations of a rigidly clamped
plate with using the actuators // Int. Appl. Mech.–
2009.– 45, № 4.– P. 448–456.
11. Kirichok I. F. Resonance vibrations and heating
of electromechanically loaded ring plates with pi-
ezoactuators with allowance for the shear deformati-
on // Int. Apll. Mech.– 2009.– 45, № 2.– P. 215–222.
12. Kirichok I. F., Karnaukhov M. V. Monoharmonic
vibrations and vibroheating of electromechanically
loaded circular plate with piezoelectric actuators wi-
th allowance for the shear deformations // Int. Appl.
Mech.– 2008.– 44, № 9.– P. 1041–1049.
13. Карнаухов В. Г., Карнаухова Т. В., Зражев-
ская В. Ф. Активное демпфирование резонан-
сных изгибных колебаний гибкой шарнирно опер-
той круглой пластины при помощи пьезоактуато-
ров // Теор. прикл. мех.– 2009.– 45.– С. 114–123.
14. Карнаухов В. Г., Козлов В. I., Карнаухова Т. В.
Моделювання вимушених резонансних коливань i
дисипативного розiгрiву гнучких в’язкопружних
пластин iз розподiленими актуаторами // Фiз.-
мат. модел. iнформ. технол.– 2008.– 8.– С. 48–67.
15. Zhuk Ya. A., Guz I. A. Active damping the piezoacti-
ve layers with allowance for geometrical nonlineariti-
es // Int. Appl. Mech.– 2009.– 45, № 1.– P. 118–135.
16. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А.
Электроупругость / Механика связанных полей в
элементах конструкций: том 5.– К.: Наук. думка,
1989.– 290 с.
17. Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф. Электротермо-
вязкоупругость / Механика связанных полей в
элементах конструкций: том 4.– К.: Наук. думка,
1988.– 320 с.
18. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и
оболочек.– М.: Наука, 1972.– 432 с.
19. Григоренко Я. М., Мукоїд А. П. Розв’язання лiнiй-
них i нелiнiйних задач теорiї оболонок на ЕОМ.–
К.: Либiдь, 1992.– 148 с.
20. Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математи-
ческой теории термовязкоупругости.– М.: Наука,
1970.– 280 с.
21. Григоренко Я. М., Беспалова Е. И., Василен-
ко А. Т. и др. Численное решение краевых задач
статики ортотропных оболочек вращения на ЭВМ
типа М-220.– К.: Наук. думка, 1971.– 152 с.
22. Стивенс К. Поперечные колебания вязкоупруго-
го стержня с начальной кривизной под действи-
ем периодической осевой силы // Прикладная ме-
ханика, сер. Е. Труды Американского общества
инженеров-механиков: вып. 4.– М.: Мир, 1969.–
P. 168–173.
23. Болкисев А. М., Карлаш В. Л., Шульга Н. А. О
зависимости свойств пьезокерамических матери-
алов от температуры // Прикл. мех.– 1984.– 20,
№ 7.– P. 70–74.
48 I. Ф. Киричок, Т. В. Карнаухова
|