Локально нільпотентні лінійні групи з деякими обмеженнями для підгруп нескінченної центральної вимірності
Дослiджено локально нiльпотентнi лiнiйнi групи, у яких система пiдгруп, що мають нескiнченну центральну вимiрнiсть, задовольняє слабку умову мiнiмальностi. We study the locally nilpotent linear groups, in which the family of subgroups having infinite central dimension satisfies the weak minimal cond...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7985 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Локально нільпотентні лінійні групи з деякими обмеженнями для підгруп нескінченної центральної вимірності / Л.А. Курдаченко, Х.М. Муньос-Есколано, Х. Отал, М.М. Семко // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 25-28. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860099833560301568 |
|---|---|
| author | Курдаченко, Л.А. Муньос-Есколано, Х.М. Отал, Х. Семко, М.М |
| author_facet | Курдаченко, Л.А. Муньос-Есколано, Х.М. Отал, Х. Семко, М.М |
| citation_txt | Локально нільпотентні лінійні групи з деякими обмеженнями для підгруп нескінченної центральної вимірності / Л.А. Курдаченко, Х.М. Муньос-Есколано, Х. Отал, М.М. Семко // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 25-28. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Дослiджено локально нiльпотентнi лiнiйнi групи, у яких система пiдгруп, що мають нескiнченну центральну вимiрнiсть, задовольняє слабку умову мiнiмальностi.
We study the locally nilpotent linear groups, in which the family of subgroups having infinite central dimension satisfies the weak minimal condition.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:27:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.41/47
© 2009
Л.А. Курдаченко, Х.М. Муньос-Есколано, Х. Отал,
М. М. Семко
Локально нiльпотентнi лiнiйнi групи з деякими
обмеженнями для пiдгруп нескiнченної центральної
вимiрностi
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
Дослiджено локально нiльпотентнi лiнiйнi групи, у яких система пiдгруп, що мають
нескiнченну центральну вимiрнiсть, задовольняє слабку умову мiнiмальностi.
Нехай F — поле, A — векторний простiр над F . Група GL(F,A) усiх автоморфiзмiв A та
рiзнi її пiдгрупи (лiнiйнi групи) являють собою один з найдавнiших об’єктiв дослiджень
в алгебрi. Теорiя лiнiйних скiнченновимiрних груп є однiєю з найбiльш розвинених в теорiї
груп. Однак у випадку, коли dimF A є нескiнченною, ситуацiя кардинально iнша. Вивчення
лiнiйних груп у цьому випадку потребує iстотних додаткових обмежень.
У статтi [1] було розпочато вивчення нескiнченновимiрних лiнiйних груп, якi у деякому
сенсi є близькими до скiнченновимiрних. Цей пiдхiд базується на такому поняттi: якщо H —
пiдгрупа GL(F,A), то H реально дiє на факторпросторi A/CA(H). Наслiдуючи [1], будемо
говорити, що H має скiнченну центральну вимiрнiсть, якщо dimF (A/CA(H)) скiнченна.
У цьому випадку dimF (A/CA(H)) називатиметься центральною вимiрнiстю пiдгрупи H
i позначатиметься через centdimF (H).
Нехай G 6 GL(F,A) та нехай Licd(G) — це система всiх пiдгруп G, що мають нескiнченну
центральну вимiрнiсть. Природно розглядати такi лiнiйнi групи G, у яких система Licd(G)
буде “досить невеликою” у деякому сенсi. Так, у статтi [1] розглядались лiнiйнi групи, у яких
система Licd(G) задовольняє умову мiнiмальностi. Протилежна ситуацiя, тобто лiнiйнi гру-
пи, у яких система Licd(G) задовольняє умову максимальностi, розглядалась у роботi [2].
Слабкi умови мiнiмальностi та максимальностi є природним узагальненням звичайних умов
мiнiмальностi та максимальностi. Цi умови введенi в теорiю груп Р. Бером [3] та Д. I. Зай-
цевим [4]. Витоки їх можна знайти у поняттi вимiрностi Крулля, яка вiдiграє вагому роль
в теорiї кiлець та модулiв.
Нехай G — група, M — система її пiдгруп. Будемо говорити, що M задовольняє слабку
умову мiнiмальностi (вiдповiдно, максимальностi) або G задовольняє слабку умову мiнi-
мальностi (вiдповiдно, максимальностi) для M -пiдгруп, якщо для кожної спадаючого (вiд-
повiдно, зростаючого) ряду {Hn | n ∈ N} пiдгруп системи M iснує такий номер m ∈ N, що
iндекси |Hn : Hn+1| (вiдповiдно, |Hn+1 : Hn|) будуть скiнченними при n > m.
Групи зi слабкими умовами мiнiмальностi i максимальностi для рiзноманiтних важливих
систем пiдгруп вивчалися багатьма дослiдниками (див., напр., [5, 5.1; 6; 7]).
Будемо говорити, що група G 6 GL(F,A) задовольняє слабку умову мiнiмальностi (вiд-
повiдно, максимальностi) для пiдгруп нескiнченної центральної вимiрностi або, коротше,
W min−icd (вiдповiдно, W max−icd), якщо система Licd(G) задовольняє слабку умову мi-
нiмальностi (вiдповiдно, максимальностi).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 25
Перiодичнi локально радикальнi лiнiйнi групи, що задовольняють слабку умову мiнi-
мальностi (вiдповiдно, максимальностi) для пiдгруп нескiнченної центральної вимiрностi,
були вивченi у статтi [8]. У статтi [9] було розпочато вивчення лiнiйних локально нiль-
потентних груп з умовами W min−icd або, вiдповiдно, W max−icd над полями простої
характеристики. Зокрема, доведено, що якщо така група має нескiнченну центральну ви-
мiрнiсть, то факторгрупа G/Tor(G) є мiнiмаксною (Tor(G) — множина всiх елементiв, що
мають скiнченнi порядки). У данiй роботi вивчаються локально нiльпотентнi лiнiйнi групи,
що задовольняють умову W min−icd.
Лема 1. Нехай G 6 GL(F,A). Припустимо, що H — гiперцентральна пiдгрупа G. Якщо
H ненiльпотентна i кожна її факторгрупа не мiстить у собi квазiциклiчних p-пiдгруп для
кожного простого числа p, то H має нескiнченну центральну вимiрнiсть.
Нехай G 6 GL(F,A). Покладемо FD(G) = {x ∈ G | 〈x〉 має скiнченну центральну
вимiрнiсть}.
Неважко побачити, що FD(G) — нормальна пiдгрупа G. Ця пiдгрупа була введена до
розгляду в статтi [1].
Пiдгрупу FD(G) називають фiнiтарним радикалом лiнiйної групи G.
Лема 2. Нехай G — локально нiльпотентна пiдгрупа GL(F,A). Припустимо, що G
задовольняє умову W min−icd i нехай g — такий елемент нескiнченного порядку, що
g /∈ FD(G). Якщо U , V — такi 〈g〉-iнварiантнi пiдгрупи G, що U — нормальна обме-
жена пiдгрупа V i V/U — елементарна абелева p-група для деякого простого числа p, то
V/U є скiнченною.
Наслiдок. Нехай G — локально нiльпотентна пiдгрупа GL(F,A). Припустимо, що G
задовольняє умову W min−icd, та нехай g — такий елемент нескiнченного порядку, що
g /∈ FD(G). Якщо V — 〈g〉-iнварiантна нiльпотентна обмежена p-пiдгрупа G, p — просте
число, то V є скiнченною.
Теорема 1. Нехай G — локально нiльпотентна пiдгрупа GL(F,A). Припустимо, що
G задовольняє умову W min−icd та G не є фiнiтарною лiнiйною групою. Якщо char F =
= p > 0, то G є мiнiмаксною.
Лема 3. Нехай G — мiнiмаксна нiльпотентна група без скруту. Тодi G має такий
скiнченний субнормальний ряд
K = H0 ⊳ H1 ⊳ · · · ⊳ Hn = G,
що K — скiнченно породжена пiдгрупа, а фактори Hj/Hj−1 — подiльнi абелевi чернiковськi
групи, 1 6 j 6 n.
Tеорема 2. Нехай G — гiперцентральна пiдгрупа GL(F,A). Припустимо, що G за-
довольняє умову W min−icd та char F = p > 0. Якщо G має нескiнченну центральну
вимiрнiсть, то G є мiнiмаксною.
Лема 4. Нехай G — група та T — її скiнченна нормальна пiдгрупа. Якщо факторгрупа
G/T є абелевою та без скруту, то iснує така нормальна пiдгрупа U групи G, що G/U
є обмеженою та T
⋂
U = 〈1〉.
Лема 5. Нехай G — локально нiльпотентна пiдгрупа GL(F,A). Припустимо, що G
задовольняє умову W min−icd, та нехай g — такий елемент нескiнченного порядку, що
g /∈ FD(G). Якщо U , V — такi 〈g〉-iнварiантнi пiдгрупи G, що g /∈ U , U є нормальною
пiдгрупою в V та V/U — абелева група без скруту, то V/U є мiнiмаксною.
Лема 6. Нехай G — локально нiльпотентна пiдгрупа GL(F,A). Припустимо, що G
задовольняє умову W min−icd та нехай g — такий елемент нескiнченного порядку, що
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
g /∈ FD(G). Якщо
U = U0 6 U1 6 · · · 6 Un 6 · · · —
ряд таких нормальних пiдгруп, що g /∈ U та фактори Un+1/Un є абелевими та не мають
скруту для всiх n ∈ N, то iснує такий номер m, що Um = Um+n для всiх n ∈ N. Бiльше
того, фактор Um/U є мiнiмаксним.
Лема 7. Нехай G — локально нiльпотентна пiдгрупа GL(F,A). Припустимо, що G
задовольняє умову W min−icd, та нехай char F = 0. Тодi її перiодична частина Tor(G)
є чернiковською пiдгрупою.
Теорема 3. Нехай G — локально нiльпотентна пiдгрупа GL(F,A). Припустимо, що G
задовольняє умову W min−icd та G не є фiнiтарною лiнiйною групою. Якщо char F = 0,
то G є мiнiмаксною.
Для лiнiйних груп, що задовольняють умову W max−icd, ситуацiя є iншою. Покажемо
це на такому прикладi.
Нехай F — поле простої характеристики p. Розглянемо зчисленновимiрний векторний
простiр над F . Нехай {u, vn | n ∈ N} — базис цього простору. Тодi V = uF ⊕ (⊕n∈NvnF ). По-
значимо через GL(N,F ) множину нескiнченних матриць, кожний рядок (вiдповiдно, стовп-
чик) яких є зчисленним та має тiльки скiнченну множину ненульових елементiв. Тодi мож-
на визначити добуток двох таких матриць за тим самим правилом, за яким визначається
добуток звичайних матриць. Нехай γ = ‖cjk‖j,k∈N, де
c11 = c12 = 1, c1j = 0, як тiльки j > 2;
c22 = 1, c2j = 0, як тiльки j 6= 2;
cj+1j = cjj = 1, cjk = 0, як тiльки (j, k) 6= (j + 1, j), (j, j).
Визначимо також матрицi αn = ‖a
(n)
jk ‖j,k∈N, n ∈ N, таким чином:
a
(n)
jj = 1 для всiх n ∈ N;
a
(n)
1n+1 = 1;
a
(n)
jk = 0 для всiх iнших пар (j, k).
Використовуючи звичайнi обчислення, можна перевiрити, що γ має нескiнченний поря-
док, |αn| = p, [αn, αk] = 1, γ−1αnγ = αnαn−1 для всiх n, k ∈ N.
Нехай G = 〈γ, αn | n ∈ N〉. Тодi G = Aλ 〈γ〉, де A = ×n∈N〈αn〉 — нескiнченна елементарна
абелева p-пiдгрупа. Бiльше того, G є гiперцентральною i кожна G-iнварiантна пiдгрупа
A є скiнченною. За побудовою CV (A) = ⊕n∈NvnF , так що dimF (V/CV (A)) = 1, тобто A
має скiнченну центральну вимiрнiсть. Далi маємо CV (〈γ〉) = v1F + (u − v2)F , зокрема
centdimF (〈γ〉) є нескiнченною. Тодi i вся група G має нескiнченну центральну вимiрнiсть.
Можна довести, що група G задовольняє умову W max−icd. У той же час її перiодична
частина є нескiнченною елементарною абелевою, так що G не є мiнiмаксною.
1. Dixon M.R., Evans M. J., Kurdachenko L.A. Linear groups with the minimal condition on subgroups of
infinite central dimension // J. Algebra. – 2004. – 277, No 1. – P. 172–186.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 27
2. Kurdachenko L.A., Subbotin I. Ya. Linear groups with the maximal condition on subgroups of infinite
central dimension // Publ. Mat. – 2006. – 50, No 1. – P. 103–131.
3. Baer R. Polyminimaxgruppen // Math. Ann. – 1968. – 175, No 1. – P. 1–43.
4. Зайцев Д.И. Группы, удовлетворяющие слабому условию минимальности // Укр. мат. журн. – 1968. –
20, № 4. – С. 472–482.
5. Lennox J. C., Robinson D. J. S. The theory of infinite soluble groups. – Oxford: Clarendon Press, 2004. –
342 p.
6. Казарин Л.С., Курдаченко Л.А. Условия конечности и факторизации в бесконечных группах //
Успехи мат. наук. – 1992. – 47, № 3. – С. 81–126.
7. Артемович О.Д., Курдаченко Л.А. Групи, багатi X-пiдгрупами // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. –
2003. – 61. – С. 218–237.
8. Muñoz-Escolano J.M., Otal J., Semko N.N. Linear groups with the weak chain conditions on subgroups
of infinite central dimension // Communs Algebra. – 2008. – 36. – P. 749–763.
9. Kurdachenko L.A., Muñoz-Escolano J.M., Otal J. Locally nilpotent linear groups with the weak chain
conditions on subgroups of infinite central dimension // Publ. Mat. – 2008. – 52, No 1. – P. 151–169.
Надiйшло до редакцiї 26.06.2008Днiпропетровський нацiональний унiверситет
Унiверситет Сарагоси, Iспанiя
Нацiональний унiверситет державної
податкової служби України, Iрпiнь
L.A. Kurdachenko, J.M. Muñoz-Escolano, J. Otal, M.M. Semko
Locally nilpotent linear groups with some restrictions on subgroups of
infinite central dimension
We study the locally nilpotent linear groups, in which the family of subgroups having infinite central
dimension satisfies the weak minimal condition.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7985 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:27:39Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Курдаченко, Л.А. Муньос-Есколано, Х.М. Отал, Х. Семко, М.М 2010-04-26T13:55:57Z 2010-04-26T13:55:57Z 2009 Локально нільпотентні лінійні групи з деякими обмеженнями для підгруп нескінченної центральної вимірності / Л.А. Курдаченко, Х.М. Муньос-Есколано, Х. Отал, М.М. Семко // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 25-28. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7985 519.41/47 Дослiджено локально нiльпотентнi лiнiйнi групи, у яких система пiдгруп, що мають нескiнченну центральну вимiрнiсть, задовольняє слабку умову мiнiмальностi. We study the locally nilpotent linear groups, in which the family of subgroups having infinite central dimension satisfies the weak minimal condition. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Локально нільпотентні лінійні групи з деякими обмеженнями для підгруп нескінченної центральної вимірності Locally nilpotent linear groups with some restrictions on subgroups of infinite central dimension Article published earlier |
| spellingShingle | Локально нільпотентні лінійні групи з деякими обмеженнями для підгруп нескінченної центральної вимірності Курдаченко, Л.А. Муньос-Есколано, Х.М. Отал, Х. Семко, М.М Математика |
| title | Локально нільпотентні лінійні групи з деякими обмеженнями для підгруп нескінченної центральної вимірності |
| title_alt | Locally nilpotent linear groups with some restrictions on subgroups of infinite central dimension |
| title_full | Локально нільпотентні лінійні групи з деякими обмеженнями для підгруп нескінченної центральної вимірності |
| title_fullStr | Локально нільпотентні лінійні групи з деякими обмеженнями для підгруп нескінченної центральної вимірності |
| title_full_unstemmed | Локально нільпотентні лінійні групи з деякими обмеженнями для підгруп нескінченної центральної вимірності |
| title_short | Локально нільпотентні лінійні групи з деякими обмеженнями для підгруп нескінченної центральної вимірності |
| title_sort | локально нільпотентні лінійні групи з деякими обмеженнями для підгруп нескінченної центральної вимірності |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7985 |
| work_keys_str_mv | AT kurdačenkola lokalʹnonílʹpotentnílíníinígrupizdeâkimiobmežennâmidlâpídgrupneskínčennoícentralʹnoívimírností AT munʹoseskolanohm lokalʹnonílʹpotentnílíníinígrupizdeâkimiobmežennâmidlâpídgrupneskínčennoícentralʹnoívimírností AT otalh lokalʹnonílʹpotentnílíníinígrupizdeâkimiobmežennâmidlâpídgrupneskínčennoícentralʹnoívimírností AT semkomm lokalʹnonílʹpotentnílíníinígrupizdeâkimiobmežennâmidlâpídgrupneskínčennoícentralʹnoívimírností AT kurdačenkola locallynilpotentlineargroupswithsomerestrictionsonsubgroupsofinfinitecentraldimension AT munʹoseskolanohm locallynilpotentlineargroupswithsomerestrictionsonsubgroupsofinfinitecentraldimension AT otalh locallynilpotentlineargroupswithsomerestrictionsonsubgroupsofinfinitecentraldimension AT semkomm locallynilpotentlineargroupswithsomerestrictionsonsubgroupsofinfinitecentraldimension |