Повна третього порядку асимптотична нелінійна модальна система, що описує коливання рідини у вертикальному круговому циліндричному баці - Луковський, І.О.; Овчинников, Д.В.; Тимоха, О.М. (Акустичний вісник, 2011)
З використанням варіаційного модального методу Луковського й асимптотики Моісеєва побудовано нелінійну асимптотичну модальну систему, яка описує резонансні коливання рідини в вертикальному циліндричному баці кругового перерізу при його горизонтальних поступальних збуреннях з частотами, близькими до першої власної частоти коливань рідини. Вона зв'язує дві домінантні узагальнені координати, які відповідають двом першим власним формам (вони характеризуються однаковою власною частотою), а також нескінченний набір узагальнених координат другого та третього порядків. Ця модальна система є узагальненням існуючих нелінійних модальних систем, що базуються на асимптотиці Моісеєва, у тому числі класичної п'ятимодової модальної системи Луковського, оскільки попередні системи нехтували вкладом вищих власних форм другого та третього порядків. Для модельної задачі про усталені резонансні режими руху рідини зі скінченною глибиною продемонстровано вплив вищих власних форм на амплітудно-частотні характеристики й показано, що їх урахування якісно не змінює діапазони існування й точки біфуркації "плоского" та "кругового" хвильових режимів у порівнянні з результатами про усталені режими за п'ятимодовою системою Луковського. У той же час, у частотному діапазоні, де не існує стійких усталених режимів і очікуються хаотичні рухи рідини, можуть виникати вторинні (внутрішні) резонанси. Їхнє існування говорить про необхідність ревізії асимптотики Моісеєва. С использованием вариационного модального метода Луковского и асимптотики Моисеева построена нелинейная асимптотическая модальная система, описывающая резонансные колебания жидкости в вертикальном цилиндрическом баке кругового сечения при его горизонтальных возмущениях с частотами, близкими к первой собственной частоте колебания жидкости. Она связывает две доминантные обобщенные координаты, отвечающие первым двум собственным формам (они характеризуются одинаковой собственной частотой), а также бесконечный набор обобщенных координат второго и третьего порядков. Эта модальная система является обобщением существующих нелинейных модальных систем, базирующихся на асимптотике Моисеева, в том числе классической пятимодовой модальной системы Луковского, поскольку все предыдущие системы пренебрегали вкладом высших собственных форм второго и третьего порядков. Для модельной задачи об установившихся резонансных режимах движения жидкости с конечной глубиной продемонстрировано влияние высших собственных форм на амплитудно-частотные характеристики и показано, что их учет не изменяет диапазонов существования и точек бифуркации "плоского" и "кругового" волнового режимов по сравнению с результатами пятимодовой системы Луковского. В то же время, в частотном диапазоне, где не существует устойчивых установившихся режимов и ожидаются хаотические движения жидкости, могут возникать вторичные (внутренние) резонансы. Их существование говорит о необходимости ревизии асимптотики Моисеева. A nonlinear asymptotic modal system describing the resonant sloshing in a vertical circular cylindrical tank due to horizontal excitation with forcing frequencies close to the lowest natural sloshing frequency is derived using the variational modal method by Lukovsky and the Moiseev asymptotics. It couples the two dominant generalized coordinates responsible for two lowest natural modes (characterized by the same natural frequency), as well as infinite number of generalized coordinates of the second and third orders. The derived modal system is a generalization of existing nonlinear modal systems based on the Moiseev asymptotics including the classical five-mode Lukovsky system, since the above systems neglected the contribution of the higher natural modes of the second and third orders. For the model problem on the steady-state resonant sloshing regimes with a finite liquid depth, we demonstrate the effect of the higher natural modes on the response curves and show that consideration of these modes does not qualitatively change the frequency ranges and bifurcation points of the "planar" and "swirling" wave regimes, in comparison with the results by the five-mode Lukovsky system. Nevertheless, in frequency ranges where the steady-state regimes are unstable and one can expect for chaotic liquid motions, the secondary (internal) resonances may occur. Their existence indicates the necessity of revision of the Moiseev asymptotics.