Об эллиптических операторах на замкнутом компактном многообразии
Елiптичнi псевдодиференцiальнi оператори на замкненому многовидi вивчено в просторах Хермандера з ваговими функцiями, RO-змiнними на нескiнченностi змiнної (1 + |ξ|²)½. Встановлено, що клас цих функцiональних просторiв збiгається з класом усiх iнтерполяцiйних гiльбертових просторiв для пар гiльберто...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7986 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об эллиптических операторах на замкнутом компактном многообразии / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 29-35. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860009086656970752 |
|---|---|
| author | Михайлец, В.А. Мурач, А.А. |
| author_facet | Михайлец, В.А. Мурач, А.А. |
| citation_txt | Об эллиптических операторах на замкнутом компактном многообразии / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 29-35. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Елiптичнi псевдодиференцiальнi оператори на замкненому многовидi вивчено в просторах Хермандера з ваговими функцiями, RO-змiнними на нескiнченностi змiнної (1 + |ξ|²)½. Встановлено, що клас цих функцiональних просторiв збiгається з класом усiх iнтерполяцiйних гiльбертових просторiв для пар гiльбертових просторiв Соболєва. Доведено фредгольмовiсть елiптичного оператора в таких просторах. Одержано їх
еквiвалентнi описи. Знайдено деякi застосування введених функцiональних просторiв до спектральних проблем.
Elliptic pseudo-differential operators on a closed manifold are studied on the H¨ormander spaces with weight functions of (1+|ξ|²)½ RO-varying at ∞. It is established that the class of these functional spaces coincides with the class of all interpolation Hilbert spaces for couples of Hilbertian Sobolev spaces. The Fredholm property for an elliptic operator is proved for such spaces. Their equivalent descriptions are obtained. Some applications of the introduced functional spaces to spectral problems are found.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:41:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.222+517.982.27+517.518.362
© 2009
В.А. Михайлец, А. А. Мурач
Об эллиптических операторах на замкнутом
компактном многообразии
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины М.Л. Горбачуком)
Елiптичнi псевдодиференцiальнi оператори на замкненому многовидi вивчено в просто-
рах Хермандера з ваговими функцiями, RO-змiнними на нескiнченностi змiнної (1 +
+ |ξ|2)1/2. Встановлено, що клас цих функцiональних просторiв збiгається з класом
усiх iнтерполяцiйних гiльбертових просторiв для пар гiльбертових просторiв Соболє-
ва. Доведено фредгольмовiсть елiптичного оператора в таких просторах. Одержано їх
еквiвалентнi описи. Знайдено деякi застосування введених функцiональних просторiв
до спектральних проблем.
В работе изучены эллиптические псевдодифференциальные операторы в изотропных гиль-
бертовых пространствах Хермандера [1]. Весовая функция в них является RO-меняющей-
ся на бесконечности по Авакумовичу [2] переменной (1 + |ξ|2)1/2. Основной результат со-
стоит в том, что класс таких пространств совпадает (с точностью до эквивалентности норм)
с классом всех интерполяционных гильбертовых пространств для пар гильбертовых прост-
ранств Соболева. Это позволило распространить на указанные пространства теорию эл-
липтических операторов [3, 4], заданных на гладком замкнутом компактном многообразии.
Получены также эквивалентные описания этих пространств. В качестве приложения даны
достаточные условия сходимости почти всюду рядов по собственным функциям нормаль-
ных эллиптических псевдодифференциальных операторов в терминах введенных функцио-
нальных пространств.
Для более узкой шкалы пространств Хермандера (уточненная шкала) эллиптические
операторы и эллиптические краевые задачи изучены авторами ранее [5–9].
1. Пространства Хермандера. Пусть целое число n > 1, S ′(Rn) — топологическое
линейное пространство распределений медленного роста в R
n, а û — преобразование Фурье
распределения u ∈ S ′(Rn). (Распределения трактуются как антилинейные функционалы.)
Положим 〈ξ〉 := (1 + |ξ|2)1/2 для вектора ξ ∈ R
n.
Предположим, что измеримая по Борелю функция ϕ : [1,∞) → (0,∞) является весовой
в смысле [10, с. 9], т. е. существуют числа c > 1 и l > 0 такие, что
ϕ(τ)
ϕ(t)
6 c
(
1 + |τ − t|l
)
для всех τ, t > 1.
Определение 1. Линейное пространство Hϕ(Rn) состоит из всех распределений u ∈
∈ S ′(Rn) таких, что û локально суммируемо по Лебегу в R
n и удовлетворяет неравенству
∫
Rn
ϕ2(〈ξ〉)|û(ξ)|2dξ <∞.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 29
В пространстве Hϕ(Rn) определено скалярное произведение распределений u1, u2 по
формуле
(u1, u2)Hϕ(Rn) :=
∫
Rn
ϕ2(〈ξ〉)û1(ξ)û2(ξ) dξ.
Оно задает на Hϕ(Rn) структуру гильбертова пространства.
Пространство Hϕ(Rn) является частным (изотропным) гильбертовым случаем прост-
ранств Хермандера [1, с. 54]. Отметим, что в гильбертовом случае пространства Херман-
дера совпадают с пространствами, введенными и изученными Л.Р. Волевичем и Б.П. Па-
неяхом [10, с. 14].
Пусть далее Γ — замкнутое компактное бесконечно гладкое многоообразие размерно-
сти n. Предполагается, что на Γ задана некоторая C∞-плотность dx. Пусть D′(Γ) — то-
пологическое линейное пространство всех распределений на Γ. Оно двойственно к топо-
логическому линейному пространству C∞(Γ) относительно расширения по непрерывности
скалярного произведения (·, ·)Γ в пространстве L2(Γ) := L2(Γ, dx).
Определим теперь пространства Хермандера на Γ. Возьмем конечный атлас из
C∞-структуры на Γ, образованный локальными картами αj: R
n ↔ Uj , j = 1, . . . , r, где
открытые множества Uj составляют конечное покрытие компактного многообразия Γ.
Пусть функции χj ∈ C∞(Γ), j = 1, . . . , r, образуют разбиение единицы на Γ, удовлетво-
ряющее условию suppχj ⊂ Uj .
Определение 2. Линейное пространство Hϕ(Γ) состоит из всех распределений f ∈
∈ D′(Γ) таких, что (χjf) ◦ αj ∈ Hϕ(Rn) для каждого j = 1, . . . , r. Здесь (χjf) ◦ αj —
представление распределения χjf в локальной карте αj . В пространстве Hϕ(Γ) определено
скалярное произведение распределений f1 и f2 по формуле
(f1, f2)ϕ :=
r∑
j=1
((χjf1) ◦ αj , (χjf2) ◦ αj)Hϕ(Rn).
Оно естественным образом задает норму ‖f‖ϕ := (f, f)1/2ϕ .
Приведенное определение является локальным. Как выяснится ниже, в рассмотренной
нами ситуации это пространство полное и не зависит (с точностью до эквивалентности
норм) от выбора локальных карт и разбиения единицы на Γ.
2. Интерполяционные свойства пространств Соболева и Хермандера. Далее
мы ограничимся следующим подклассом весовых функций.
Определение 3. Пусть RO — множество всех измеримых по Борелю функций ϕ:
[1,∞) → (0,∞), для которых существуют числа a > 1 и c > 1 такие, что
c−1
6 ϕ(λt)/ϕ(t) 6 c для любых t > 1, λ ∈ [1, a]
(постоянные a и c зависят от ϕ). Такие функции называют RO-меняющимися на бесконеч-
ности [2, c. 86].
Из [2, с. 88] следует, что для любой функции ϕ ∈ RO существуют числа s0, s1 ∈ R,
s0 6 s1, и c1 > 1 такие, что
c−1
1 λs0 6 ϕ(λt)/ϕ(t) 6 c1λ
s1 при t > 1, λ > 1. (1)
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
Положим
σ0(ϕ) := sup{s0 ∈ R : выполняется (1)},
σ1(ϕ) := inf{s1 ∈ R : выполняется (1)}.
Очевидно, что −∞ < σ0(ϕ) 6 σ1(ϕ) < ∞.
Если для функции ϕ ∈ RO определен порядок изменения σ ∈ R, т. е. σ0(ϕ) = σ1(ϕ) =: σ,
то удобно обозначение Hϕ(Γ) =: Hσ,ϕ0(Γ), где ϕ(t) = tσϕ0(t). В случае, когда функция ϕ0
медленно меняется по Карамата на бесконечности [2, c. 10], пространство Hσ,ϕ0(Γ) изу-
чено авторами в [5, 8]. Для степенной функции ϕ(t) = tσ пространство Hϕ(Γ) совпадает
с гильбертовым пространством Соболева Hσ(Γ).
Изучим интерполяционные свойства пространств Hϕ(Γ), где ϕ ∈ RO.
Приведем необходимые нам факты теории интерполяции пар комплексных гильбер-
товых пространств. При этом достаточно ограничиться сепарабельными пространствами.
Упорядоченную пару [X0,X1] гильбертовых пространств X0 и X1 назовем допустимой, если
эти пространства сепарабельные и справедиво непрерывное и плотное вложение X1 →֒ X0.
Определение 4. Гильбертово пространство H называют интерполяционным для до-
пустимой пары гильбертовых пространств [X0,X1], если:
а) справедливы непрерывные вложения X1 →֒ H →֒ X0;
б) произвольный линейный оператор T : X0 → X0, ограниченный в каждом из прост-
ранств X0 и X1, является также ограниченным оператором в пространстве H.
Нам потребуется определение интерполяции с функциональным параметром. Она яв-
ляется естественным обобщением классического интерполяционного метода Ж.-Л. Лионса
и С. Г. Крейна.
Обозначим через B множество всех измеримых по Борелю функций ψ : (0,∞) → (0,∞),
ограниченных на каждом отрезке [a, b], где 0 < a < b < ∞, и отделенных от нуля на
каждом множестве [r,∞), где r > 0.
Пусть произвольно заданы функция ψ ∈ B и допустимая пара гильбертовых пространств
X = [X0,X1]. Для пары X существует изометрический изоморфизм J : X1 ↔ X0 такой, что
J является самосопряженным положительно определенным оператором в пространстве X0
с областью определения X1. Оператор J называется порождающим для пары X и опреде-
ляется ею однозначно.
В пространстве X0 определен, как борелевская функция от J , оператор ψ(J). Обозначим
через [X0,X1]ψ или, короче, Xψ область определения оператора ψ(J), наделенную скаляр-
ным произведением (u1, u2)Xψ := (ψ(J)u1, ψ(J)u2)X0
и соответствующей нормой. Прост-
ранство Xψ сепарабельно и полно, т. е. гильбертово.
Определение 5. Функция ψ ∈ B называется интерполяционным параметром, если для
произвольных допустимых пар X = [X0,X1], Y = [Y0, Y1] гильбертовых пространств и для
любого линейного отображения T , заданного на X0, выполняется следующее. Если при
j = 0, 1 сужение отображения T на пространство Xj является ограниченным оператором
T : Xj → Yj, то и сужение отображения T на пространство Xψ является ограниченным
оператором T : Xψ → Yψ.
Из описания Я. Петре [11, с. 153] класса всех интерполяционных функций следует, что
функция ψ ∈ B является интерполяционным параметром тогда и только тогда, когда она
псевдовогнута в окрестности бесконечности, т. е. (слабо) эквивалентна там некоторой по-
ложительной вогнутой функции (см. доказательство в [8, с. 88]). В.И. Овчинниковым [12]
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 31
установлено, что класс всех гильбертовых пространств, интерполяционных для пары X,
совпадает (с точностью до эквивалентности норм) с классом пространств Xψ, где ψ ∈ B —
произвольная псевдовогнутая функция в окрестности бесконечности.
Для пар гильбертовых пространств Соболева описание всех интерполяционных гиль-
бертовых пространств может быть получено в терминах пространств Хермандера.
Теорема 1. Пусть заданы функции ϕ0, ϕ1 ∈ RO и ψ ∈ B. Предположим, что функ-
ция ϕ0/ϕ1 ограничена в окрестности бесконечности, а ψ — интерполяционный параметр.
Положим ϕ(t) := ϕ0(t)ψ(ϕ1(t)/ϕ0(t)) при t > 1. Тогда ϕ ∈ RO и
[Hϕ0(Γ),Hϕ1(Γ)]ψ = Hϕ(Γ) с эквивалентностью норм.
Теорема 2. Пусть заданы функция ϕ ∈ RO и целые числа s0, s1 такие, что s0 < σ0(ϕ)
и s1 > σ1(ϕ). Положим
ψ(t) := t−s0/(s1−s0)ϕ(t1/(s1−s0)) при t > 1 и ψ(t) := ϕ(1) при 0 < t < 1.
Тогда функция ψ ∈ B является интерполяционным параметром и
[Hs0(Γ),Hs1(Γ)]ψ = Hϕ(Γ) с эквивалентностью норм. (2)
Таким образом, класс всех интерполяционных гильбертовых пространств для допусти-
мых пар гильбертовых пространств Соболева совпадает с классом пространств Хермандера
{Hϕ(Γ): ϕ ∈ RO}. Он замкнут относительно интерполяции, результатом которой есть гиль-
бертово пространство. Аналогичный результат справедлив и для пространств Hϕ(Rn).
В силу теоремы 2 каждое пространство Hϕ(Γ), ϕ ∈ RO, сепарабельно гильбертово и не
зависит (с точностью до эквивалентности норм) от выбора локальных карт и разбиения еди-
ницы на многообразии Γ, поскольку этими свойствами обладают пространства Соболева [3,
с. 64, 66]. Равенство (2) можно принять в качестве альтернативного интерполяционного
определения пространства Hϕ(Γ).
3. Эллиптический оператор в пространствах Хермандера. Пусть на многообра-
зии Γ задан классический (полиоднородный) псевдодифференциальный оператор (ПДО) A
произвольного порядка m ∈ R. Для него определен главный символ a0(x, ξ), являющий-
ся бесконечно гладкой комплекснозначной функцией аргументов x ∈ Γ и ξ ∈ T ∗
xΓ \ {0},
однородной степени m по переменной ξ. Здесь T ∗
xΓ — кокасательное пространство к много-
образию Γ в точке x. ПДО A линеен и непрерывен в каждом из топологических линейных
пространств C∞(Γ) и D′(Γ).
Предположим, что ПДО A эллиптичен на Γ, т. е. a0(x, ξ) 6= 0 для любых точки x ∈ Γ
и ковектора ξ ∈ T ∗
xΓ \ {0}.
Изучим свойства эллиптического ПДО A в пространствах Хермандера Hϕ(Γ), где ϕ ∈
∈ RO. Обозначим через A+ классический ПДО, формально сопряженный к оператору A
относительно плотности dx. Положим
N := {u ∈ C∞(Γ): Au = 0 на Γ}, N+ := {v ∈ C∞(Γ): A+v = 0 на Γ}.
Поскольку ПДО A и A+ одновременно эллиптичны на Γ, то [4, с. 28] пространства N и N+
конечномерны. Положим также ρ(t) := t при t > 1.
Напомним, что линейный ограниченный оператор T : B1 → B2, где B1, B2 — банаховы
пространства, называют нетеровым, если его ядро конечномерно, а область значений T (B1)
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
замкнута в B2 и имеет там конечную коразмерность. Индексом нетерового оператора T
называют целое число indT := dim kerT − dim(B2/T (B1)).
Теорема 3. Сужение отображения u 7→ Au, u ∈ D′(Γ), на пространство Hϕ(Γ) явля-
ется линейным ограниченным оператором
A : Hϕρm(Γ) → Hϕ(Γ) для любого ϕ ∈ RO. (3)
Этот оператор нетеров, его ядро совпадает с пространством N , а область значений
равна множеству
{f ∈ Hϕ(Γ): (f, v)Γ = 0 для всех v ∈ N+}.
Индекс оператора (3) равен числу dimN − dimN+ и не зависит от ϕ.
Отметим [4, с. 32], что в случае dim Γ > 2 индекс оператора (3) равен нулю. В случае
dimΓ = 1 индекс может быть ненулевым. Если оператор A дифференциальный, то его
индекс равен нулю всегда.
4. Эквивалентные определения пространств Хермандера. Предположим, что
эллиптический ПДО A порядка m > 0 является (неограниченным) самосопряженным по-
ложительно определенным оператором в гильбертовом пространстве L2(Γ). Доопределим
функцию ϕ ∈ RO равенством ϕ(t) := ϕ(1) при 0 < t < 1. Поскольку SpecA ⊂ (0,∞),
в пространстве L2(Γ) определен оператор ϕ(A1/m) как борелевская функция ϕ(t1/m), t > 0,
от оператора A.
Определение 6. Обозначим через Hϕ
A(Γ) пополнение пространства C∞(Γ) по гильбер-
товой норме
f 7→ ‖ϕ(A1/m)f‖L2(Γ) =: ‖f‖ϕ,A.
Теорема 4. Для произвольной функции ϕ ∈ RO нормы в пространствах Hϕ(Γ) и Hϕ
A(Γ)
эквивалентны на плотном множестве C∞(Γ). Тем самым Hϕ(Γ) = Hϕ
A(Γ) с точностью
до эквивалентности норм.
Эта теорема дает эквивалентное операторное определение пространства Hϕ(Γ).
Пусть (λj)
∞
j=1 — монотонно неубывающая положительная последовательность всех соб-
ственных чисел оператора A, записанных с учетом их кратности, а (hj)
∞
j=1 — ортонормиро-
ванный базис в пространстве L2(Γ), образованный собственными функциями hj ∈ C∞(Γ)
оператора A: Ahj = λjhj . Тогда для любого распределения f ∈ D′(Γ) справедливо разло-
жение в ряд Фурье
f =
∞∑
j=1
cj(f)hj (сходимость в D′(Γ)), (4)
где cj(f) := (f, hj)Γ — коэффициенты Фурье распределения f в базисе (hj)
∞
j=1.
Теорема 5. Пусть ϕ ∈ RO. Тогда
Hϕ(Γ) =
{
f ∈ D′(Γ):
∞∑
j=1
ϕ2(j1/n)|cj(f)|2 <∞
}
.
При этом существует число c = c(ϕ) > 1 такое, что для любого f ∈ Hϕ(Γ)
c−1‖f‖ϕ 6
(
∞∑
j=1
ϕ2(j1/n)|cj(f)|2
)1/2
6 c‖f‖ϕ.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 33
Теорема 5 дает еще одно эквивалентное определение пространства Hϕ(Γ). Отметим, что
для каждого распределения f ∈ Hϕ(Γ) ряд (4) сходится в пространстве Hϕ(Γ).
Примером рассмотренного в этом пункте ПДО A служит оператор 1 − △, где △ —
оператор Бельтрами–Лапласа на Γ (для него m = 2).
В случае, когда многообразие Γ есть окружность, пространства Hϕ(Γ) тесно связаны
с пространствами периодических функций, введенных А.И. Степанцом [13].
5. Приложение к сходимости спектральных разложений. Предположим, что эл-
липтический ПДО A положительного порядка является (неограниченным) нормальным
оператором в гильбертовом пространстве L2(Γ). Рассмотрим сходимость почти всюду ря-
да (4) по полной ортонормированной системе (hj)
∞
j=1 собственных функций этого операто-
ра. Пусть они занумерованы так, что модули соответствующих собственных чисел образуют
монотонно неубывающую последовательность. Положим log∗ t := max{1, log t}.
Теорема 6. Для любой функции f ∈ H log∗(Γ) ряд (4) сходится почти всюду на Γ.
Теорема 7. Пусть возрастающая функция ϕ ∈ RO удовлетворяет условию
∞∫
2
dt
t(log t)ϕ2(t)
<∞.
Тогда для любой функции f ∈ Hϕ log∗(Γ) ряд (4) безусловно сходится почти всюду на Γ.
Эти теоремы обобщают и существенно уточняют результаты работы [14].
1. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – Москва: Мир,
1965. – 380 с.
2. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – Москва: Наука, 1985. – 142 с.
3. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. – Москва: Наука, 1978. –
280 с.
4. Агранович М.С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях // Итоги науки и техники.
Соврем. пробл. математики. Фунд. напр. / ВИНИТИ. – Москва, 1990. – Т. 63. – С. 5–129.
5. Михайлец В.А., Мурач А.А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II //
Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 3. – С. 352–370.
6. Мурач А.А. Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств
на замкнутом многообразии // Там же. – 2007. – 59, № 6. – С. 798–814.
7. Михайлец В.А., Мурач А.А. Эллиптическая краевая задача в двусторонней уточненной шкале про-
странств // Там же. – 2008. – 60, № 4. – С. 497–520.
8. Mikhailets V.A., Murach A.A. Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces //
Methods Funct. Anal. Topology. – 2008. – 14, No 1. – P. 81–100.
9. Murach A.A. Douglis–Nirenberg elliptic systems in the refined scale of spaces on a closed manifold //
Ibid. – 2008. – 14, No 2. – P. 142–158.
10. Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения //
Успехи мат. наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3–74.
11. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. – Москва: Мир, 1980. – 264 с.
12. Ovchinnikov V. I. The methods of orbits in interpolation theory // Math. Rep. Ser. 1. – 1984. – No 2. –
P. 349–515.
13. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка, 1987. –
268 с.
14. Meaney C. On almost-everywhere convergent eigenfunction expansions of the Laplace–Beltrami operator //
Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1982. – 92. – P. 129–131.
Поступило в редакцию 15.10.2008Институт математики НАН Украины, Киев
Черниговский государственный
технологический университет
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
V.A. Mikhailets, A.A. Murach
On elliptic operators on a closed compact manifold
Elliptic pseudo-differential operators on a closed manifold are studied on the Hörmander spaces with
weight functions of (1+ |ξ|2)1/2 RO-varying at ∞. It is established that the class of these functional
spaces coincides with the class of all interpolation Hilbert spaces for couples of Hilbertian Sobolev
spaces. The Fredholm property for an elliptic operator is proved for such spaces. Their equivalent
descriptions are obtained. Some applications of the introduced functional spaces to spectral problems
are found.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 35
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7986 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:41:12Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Михайлец, В.А. Мурач, А.А. 2010-04-26T13:58:19Z 2010-04-26T13:58:19Z 2009 Об эллиптических операторах на замкнутом компактном многообразии / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 29-35. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7986 517.956.222+517.982.27+517.518.362 Елiптичнi псевдодиференцiальнi оператори на замкненому многовидi вивчено в просторах Хермандера з ваговими функцiями, RO-змiнними на нескiнченностi змiнної (1 + |ξ|²)½. Встановлено, що клас цих функцiональних просторiв збiгається з класом усiх iнтерполяцiйних гiльбертових просторiв для пар гiльбертових просторiв Соболєва. Доведено фредгольмовiсть елiптичного оператора в таких просторах. Одержано їх
 еквiвалентнi описи. Знайдено деякi застосування введених функцiональних просторiв до спектральних проблем. Elliptic pseudo-differential operators on a closed manifold are studied on the H¨ormander spaces with weight functions of (1+|ξ|²)½ RO-varying at ∞. It is established that the class of these functional spaces coincides with the class of all interpolation Hilbert spaces for couples of Hilbertian Sobolev spaces. The Fredholm property for an elliptic operator is proved for such spaces. Their equivalent descriptions are obtained. Some applications of the introduced functional spaces to spectral problems are found. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Об эллиптических операторах на замкнутом компактном многообразии On elliptic operators on a closed compact manifold Article published earlier |
| spellingShingle | Об эллиптических операторах на замкнутом компактном многообразии Михайлец, В.А. Мурач, А.А. Математика |
| title | Об эллиптических операторах на замкнутом компактном многообразии |
| title_alt | On elliptic operators on a closed compact manifold |
| title_full | Об эллиптических операторах на замкнутом компактном многообразии |
| title_fullStr | Об эллиптических операторах на замкнутом компактном многообразии |
| title_full_unstemmed | Об эллиптических операторах на замкнутом компактном многообразии |
| title_short | Об эллиптических операторах на замкнутом компактном многообразии |
| title_sort | об эллиптических операторах на замкнутом компактном многообразии |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7986 |
| work_keys_str_mv | AT mihailecva obélliptičeskihoperatorahnazamknutomkompaktnommnogoobrazii AT muračaa obélliptičeskihoperatorahnazamknutomkompaktnommnogoobrazii AT mihailecva onellipticoperatorsonaclosedcompactmanifold AT muračaa onellipticoperatorsonaclosedcompactmanifold |