Сингуларисная форма регулярных сигналов в системах автоматического управления
Наводяться новi математичнi вирази вхiдних регулярних сигналiв систем автоматичного керування, що базуються на сингуларисному розкладаннi стрибкуватих функцiй. New mathematic expressions for input regular signals of systems of automatic control are given on the basis of the singularisnal expansion o...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7988 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Сингуларисная форма регулярных сигналов в системах автоматического управления / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 44-48. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860262616242323456 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | Сингуларисная форма регулярных сигналов в системах автоматического управления / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 44-48. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Наводяться новi математичнi вирази вхiдних регулярних сигналiв систем автоматичного керування, що базуються на сингуларисному розкладаннi стрибкуватих функцiй.
New mathematic expressions for input regular signals of systems of automatic control are given on the basis of the singularisnal expansion of jump-like functions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:57:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2009
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 62-5(0753)
© 2009
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
Сингуларисная форма регулярных сигналов в системах
автоматического управления
Наводяться новi математичнi вирази вхiдних регулярних сигналiв систем автоматич-
ного керування, що базуються на сингуларисному розкладаннi стрибкуватих функцiй.
В теории автоматического управления сложные регулярно следующие сигналы x(t), где
t — время, могут быть представлены совокупностью простых сигналов в виде гармоник
xak sin ωkt, k = 1, n, где xak — амплитуда; ωk — круговая частота (ωk = 2πfk, fk — частота,
Гц) единичных скачкообразных функций
1(t) =
{
1 при t > 0;
0 при t < 0
}
или единичных импульсов
δ(t) =
d1(t)
dt
.
В работе [1] отмечено, что регулярный сигнал x(t) можно представить в виде интеграла
Дюамеля в форме
x(t)
при β→0
= x(β)1(t) +
t
∫
0
dx(τ)
dτ
1(t − τ)dτ, (1)
в виде совокупности единичных импульсов
x(t) =
t
∫
0
x(τ)δ(t − τ)dτ =
t
∫
0
x(τ)
d1(t − τ)
dτ
dτ, (2)
в виде совокупности интегралов от единичных скачков, действующих в момент времени tk,
x(t) = 1(t − tk)
n
∑
k=0
Ak
k!
(t − tk)
k. (3)
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
Гармонический сигнал, начавший действовать в системе в момент времени t = 0, можно
выразить соотношением
x(t) = sin(ωt + ϕ)1(t) и при t = 0 x(t) = sin ϕ1(0). (4)
Как видно из (1), (4), в математических представлениях регулярных сигналов x(t) фи-
гурируют единичные скачкообразные функции 1(t).
В работах [2, 3] о новой концепции о переходных процессах в электроцепях введено
особое (сингуларисное) разложение единичной скачкообразной функции. На наш взгляд,
сингуларисное разложение, наряду с разложением функции 1(t) в ряд Фурье [4], имеет право
на существование, особенно при расчете переходных процессов в системах, на входе которых
действуют скачкообразные сигналы [1]. Сущность сингуларисного разложения функции 1(t)
состоит в следующем [3].
Данное разложение включает в себя быстро затухающую экспоненту (1− ℓ−αt), где α —
коэффициент затухания (α → ∞), и быстро затухающий ряд гармоник
ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt, Ua1 =
1
π
, Uak =
Ua1
k
, k =
ω1
ωk
.
В целом выражение сингуларисного разложения 1(t) имеет вид
1(t) = 1 − ℓ−αt + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt. (5)
Для гармонического сигнала sin(ωt+ϕ)1(t) сингуларисное разложение следующее [5, 6]:
sin(ωt + ϕ)1(t) = (1 − ℓ−αt) sin(ωt + ϕ) + ℓ−αt sin ϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt. (6)
В (5) и (6) при α = ∞ 1(t) = 1 и sin(ωt + ϕ) = sin(ωt + ϕ) соответственно; при t = 0
α 6= ∞
n
∑
k=1
Uak = 1(t); при t = ∞ α 6= ∞ 1(t) = 1, sin(ωt + ϕ) = sin(ωt + ϕ).
Эта проверка показывает правомочность сингуларисных разложений (5), (6). В рабо-
тах [3, 5] показано, что сингуларисное разложение было создано на основе анализа на-
чальных участков переходных процессов электрических цепей, на которых крутизна кри-
вых графиков переходных процессов значительно меньше последующих участков. Физи-
чески этот факт объясняется эффектом автоматической реструктуризации электрических
цепей с реактивными элементами [7]. Подобный эффект был обнаружен нами и в механи-
ческих колебательных системах [8]. В работах [2, 3, 9] рассчитаны переходные процессы
в RL и RC электроцепях при входных сигналах U1(t). Однако, ввиду наличия сигналов
x(t) в виде (1)–(3), в которых присутствуют скачки, определяемые функциями 1(t), необ-
ходимо для решения задач по переходным процессам в электро- и других цепях включить,
в частности, разложение (5).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 45
Так, выражения (1)–(3) с учетом (5) имеют соответственно вид
x(t) = x(β)
(
1 − ℓ−αt + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
)
+
+
t
∫
0
dx(τ)
dτ
[
1 − ℓ−α(t−τ) + ℓ−α(t−τ)
n
∑
k=1
Uak cos ωk(t − τ)
]
dτ, (7)
x(t) =
t
∫
0
x(τ)
d
dτ
[
1 − ℓ−α(t−τ) + ℓ−α(t−τ)
n
∑
l=1
Uak cos ωl(t − τ)
]
dτ, (8)
x(t) =
[
1 − ℓ−α(t−tk) + ℓ−α(t−tk)
m
∑
l=1
Uak cos ωl(t − tk)
]
n
∑
k=0
Ak
k!
(t − tk)
k. (9)
Конкретность в определении (7)–(9) зависит от вида x(τ), значит Ak и величин k и tk.
Приложение сигналов в виде (7)–(9) ко входу электрической цепи с реактивными эле-
ментами обусловит в этих цепях автоматическую реструктуризацию и этим самым будет
выявлен некоторый начальный участок в переходном процессе цепи, характеризующий по-
ниженную чувствительность цепи ко входному воздействию. Выражения (7)–(9) являются
обобщающей математической интерпретацией сингуларисных входных регулярных сигна-
лов автоматических систем управления.
К регулярным сигналам импульсных автоматических систем относятся одиночный пря-
моугольный импульс, повторяющиеся (периодические) импульсы прямоугольной, полуси-
нусоидальной и других форм. Все эти виды импульсных сигналов описываются выражени-
ями, включающими единичные скачкообразные функции. Так, одиночный прямоугольный
импульс может быть представлен как разность двух единичных функций, умноженных на
постоянную величину U , в виде
U(t) = U [1(t) − 1(t − τ)], (10)
где τ — длительность импульса.
Применяя к (10) сингуларисное разложение (5), получим
U(t) = U
[
1(t) − ℓ−αt + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt − 1(t − τ) + ℓ−α(t−τ) −
− ℓ−α(t−τ)
n
∑
k=1
Uak cos ωk(t − τ)
]
. (11)
При α = ∞ выражение (11) принимает вид (10). Известно [10], что прямоугольные
периодически повторяющиеся импульсы длительностью τ1 с паузой τ2 и величиной E за-
писываются в виде
U = E[1(t = 0) − 21(τ1) + 21(T ) − 21(T + τ1) + 21(2T ) . . .], (12)
где T = τ1 + τ2 — период следования импульсов.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
Сингуларисное представление (12) следующее:
U(t) = E
{
1 − 2
[
1(t − τ1) + ℓ−α(t−τ1) + ℓ−α(t−τ1)
n
∑
k=1
Uak cos ωk(t − τ1)
]
+
+ 2
[
1(t − T ) + ℓ−α(t−T ) + ℓ−α(t−T )
n
∑
k=1
Uak cos ωk(t − T )
]
−
−2
[
1(t − T − τ1) + ℓ−α(t−T−τ1) + ℓ−α(t−T−τ1)
n
∑
k=1
Uak cos ωk(t − T − τ1)
]
+
+ 2
[
1(t − 2T ) + ℓ−α(t−2T ) + ℓ−α(t−2T )
n
∑
k=1
Uak cos ωk(t − 2T )
]}
.
Импульсы, получаемые в результате двухполупериодного выпрямления, являющиеся
полусинусоидальными, могут быть описаны с помощью единичных функций в виде [10]
U(t)=Um sin ωt1(t = 0)+2Um sin ω(t − t1)1(t − t1)+2Um sin ω(t − 2t1)1(t − 2t1)+
+ · · · + 2Um sin ω[t − (n − 1)t1]1[t − (n − 1)t1], (13)
где Um — амплитуда сигнала Um sinωt; t1 — момент времени, равный T/2; T — период
функций sinωt; n — число импульсов.
Сингуларисное представление сигнала (13) имеет вид
U(t) = Um sin ωt1(t = 0) + 2Um sin ω(t − t1) ×
×
[
1(t − t1) + ℓ−α(t−t1) + ℓ−α(t−t1) +
n
∑
k=1
Uak cos ωk(t − t1)
]
+ · · · +
+ 2Um sin ω[t − (n − 1)t1]×
×
{
1[t − (n − 1)t1] + ℓ−α[t−(n−1)t1] + ℓ−α[t−(n−1)t1]
n
∑
k=1
Uak cos ω[t − (n − 1)t1]
}
.
Заметим, что сингуларисное представление сигналов целесообразно в электроцепях, име-
ющих реактивные элементы. В активных электроцепях такое представление сигналов из-
лишнее. В электроцепях с реактивными элементами при скачкообразных входных сигналах
возникает реструктуризация цепи [7] и при каждом импульсе и каждой паузе в цепи проис-
ходит переходный процесс тока или напряжения, т. е. электроцепь все время находится в ди-
намическом состоянии. Следует добавить, что эффект автоматической реструктуризации
электроцепи с реактивными элементами проявляется и при представлении скачкообразных
функций, относящихся к входным сигналам, в виде рядов Фурье [4].
1. Теория автоматического управления / Под ред. проф. А.В. Нетушила. – Москва: Высш. шк., 1976. –
400 с.
2. Божко А. Е. Новая интерпретация переходных процессов в электрических цепях // Доп. НАН Укра-
їни. – 2004. – № 9. – С. 83–87.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 47
3. Божко А. Е. Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электри-
ческих цепях // Там само. – 2007. – № 6. – С. 81–87.
4. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. – Москва: Наука, 1969. – 779 с.
5. Божко А. Е. К концепции о переходных процессах в электрических цепях // Доп. НАН України. –
2003. – № 12. – С. 72–76.
6. Божко А.Е. О новой трактовке переходных процессов в электрических цепях переменного тока //
Там само. – 2005. – № 4. – С. 81–86.
7. Божко А.Е. Об автоматической реструктуризации электрических цепей с реактивными элементами
при полигармонических входных сигналах // Там само. – 2002. – № 11. – С. 101–103.
8. Божко А. Е. Эффект автоматической реструктуризации механических систем, работающих в усло-
виях действия полигармонических вибраций и ударов // Там само. – 2005. – № 1. – С. 47–49.
9. Божко А.Е. О новых решениях задач по переходным процессам разряда конденсаторов // Там само. –
2007. – № 7. – С. 87–92.
10. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – Москва:
Сов. радио, 1959. – 404 с.
Поступило в редакцию 05.11.2007Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.E. Bozhko
The singularisnal form of regular signals in systems of automatic control
New mathematic expressions for input regular signals of systems of automatic control are given on
the basis of the singularisnal expansion of jump-like functions.
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7988 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:57:05Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2010-04-26T14:02:20Z 2010-04-26T14:02:20Z 2009 Сингуларисная форма регулярных сигналов в системах автоматического управления / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 44-48. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7988 62-5(0753) Наводяться новi математичнi вирази вхiдних регулярних сигналiв систем автоматичного керування, що базуються на сингуларисному розкладаннi стрибкуватих функцiй. New mathematic expressions for input regular signals of systems of automatic control are given on the basis of the singularisnal expansion of jump-like functions. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Сингуларисная форма регулярных сигналов в системах автоматического управления The singularisnal form of regular signals in systems of automatic control Article published earlier |
| spellingShingle | Сингуларисная форма регулярных сигналов в системах автоматического управления Божко, А.Е. Інформатика та кібернетика |
| title | Сингуларисная форма регулярных сигналов в системах автоматического управления |
| title_alt | The singularisnal form of regular signals in systems of automatic control |
| title_full | Сингуларисная форма регулярных сигналов в системах автоматического управления |
| title_fullStr | Сингуларисная форма регулярных сигналов в системах автоматического управления |
| title_full_unstemmed | Сингуларисная форма регулярных сигналов в системах автоматического управления |
| title_short | Сингуларисная форма регулярных сигналов в системах автоматического управления |
| title_sort | сингуларисная форма регулярных сигналов в системах автоматического управления |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7988 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae singularisnaâformaregulârnyhsignalovvsistemahavtomatičeskogoupravleniâ AT božkoae thesingularisnalformofregularsignalsinsystemsofautomaticcontrol |