Энергетический метод определения коэффициентов упругости в электромагнитных вибровозбудителях
Визначено формули коефiцiєнтiв пружностi пружин в електромагнiтних вiброзбуджувачах. We present the formulas for the elasticity coefficients of springs in electromagnetic vibroexciters.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7992 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Энергетический метод определения коэффициентов упругости в электромагнитных вибровозбудителях / А.Е. Божко, К.Б. Мягкохлеб // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 66-71. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860060449892990976 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. Мягкохлеб, К.Б. |
| author_facet | Божко, А.Е. Мягкохлеб, К.Б. |
| citation_txt | Энергетический метод определения коэффициентов упругости в электромагнитных вибровозбудителях / А.Е. Божко, К.Б. Мягкохлеб // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 66-71. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Визначено формули коефiцiєнтiв пружностi пружин в електромагнiтних вiброзбуджувачах.
We present the formulas for the elasticity coefficients of springs in electromagnetic vibroexciters.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:04:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2009
МЕХАНIКА
УДК 621.318.001.2
© 2009
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко, К.Б. Мягкохлеб
Энергетический метод определения коэффициентов
упругости в электромагнитных вибровозбудителях
Визначено формули коефiцiєнтiв пружностi пружин в електромагнiтних вiброзбуджу-
вачах.
Электромагнитные вибровозбудители (ЭМВ) применяются в различном технологическом
оборудовании, испытательных стендах [1]. Принцип их функционирования при соленои-
дном исполнении адекватен работе электромагнитных компрессоров. Конструктивно ЭМВ
могут быть без реактивной массы (РМ) и с РМ. Последняя особенно целесообразна в виб-
ростендах для обеспечения виброизоляции корпуса ЭМВ и фундамента от разрушитель-
ного действия возбуждаемой в ЭМВ вибрации якоря (Я). В ЭМВ имеются пружины (Пр)
и знание их коэффициентов упругости (жесткости) необходимо в расчетах элементов ЭМВ.
В связи с этим в данной работе остановимся на определении аналитических связей коэф-
фициентов упругости пружин с электромагнитомеханическими параметрами и величинами
ЭМВ. Данное исследование будем осуществлять для ЭМВ без РМ и с РМ. Первая элект-
ромагниомеханическая схема ЭМВ приведена на рис. 1, а, где М — магнитопровод; Я —
якорь; ВН — весовая нагрузка; Пря — пружина; δ0 — воздушный зазор; О — электрическая
обмотка; U — задающее напряжение.
Дифференциальное уравнение движения Я + ВН имеет вид
mя
d2xя
dt2
+ bя
dxя
dt
+ cяxя = F + PΣ, (1)
где mя — масса Я+ВН ((Pя +PВН)/g, Pя, PВН — веса Я и ВН соответственно; g — ускорение
свободного падения тел); bя, cя — коэффициенты диссипации и упругости соответственно;
F — тяговое усилие в ЭМВ; PΣ = Pя + PВН; xя — перемещение якоря с ВН; t — время.
Тяговое усилие выражается в виде [2]
F (t) = µ0S
(
iw
2δ
)2
= µ0S
(
Iaw
2δ
)2
sin2(ωt − ϕ) =
=
1
2
µ0S
(
Iaw
2δ
)2
−
1
2
µ0S
(
Iaw
2δ
)2
cos 2(ωt − ϕ), (2)
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
Рис. 1. Электромагнитомеханическая схема ЭМВ: а — без РМ; б — с РМ
где µ0 — магнитная проницаемость воздуха; S — площадь поперечного сечения полюса
М у зазора δ0; w — число витков обмотки О; Ia — амплитуда тока i(t) в обмотке О при
приложении к ее зажимам U(t) = Ua sin ωt; ω — круговая частота; ϕ — угол сдвига между
U(t) и i(t); δ — динамический воздушный зазор.
Как видно из (2), тяговое усилие F (t) состоит из постоянной составляющей
F0(t) =
1
8
µ0S
(
Iaw
δ
)2
и переменной составляющей
F0(t) =
1
8
µ0S
(
Iaw
δ
)2
cos 2(ωt − ϕ).
В статике ЭМВ уравнение (1) имеет вид cяxя0 = F0 + PΣ, откуда смещение Я совместно
с ВН равно
xя0 =
F0 + PΣ
cя
=
F0
cя
+
PΣ
cя
= xя0 + xя0p, (3)
где xя0F = F0/cя — смещение Я+ВН от действия F0; xя0p — смещение Я+ВН от действия PΣ.
Известно [2], что энергия, создающая движение Я + ВН, описывается выражением
We =
1
2
Li2(t) =
1
2
LI2
a sin2(ωt − ϕ) =
1
4
LI2
a −
1
4
LI2
a cos 2(ωt − ϕ), (4)
где L — индуктивность обмотки О.
Из (4) видно, что здесь также имеются постоянная составляющая We0 = LI2
a/4 и пе-
ременная We∼ = LI2
a cos 2(ωt − ϕ)/4. Смещение xя0F обусловлено энергией We0. Поэтому
можно записать
F0xя0F = We0 =
1
4
LI2
a . (5)
Так как xя0F = F0/cя, то коэффициент упругости cя0 с учетом (5) определяется из выра-
жения
cя0 =
4F 2
0
LI2
a
. (6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 67
Подставляя в (6) значение F0 = (1/8)µ0S(Iaw/δ)2, получим
cя =
1
16L
(µ0SIa)
2
(
w
δ
)4
. (7)
Введем в (7) значение L = w2G = w2µ0S/(2δ), где G — магнитная проводимость ЭМВ.
Получим
cя =
µ0S
8δ
(
Iaw
δ
)2
. (8)
Далее осуществим связь cя с весом PΣ. Как было отмечено в (3), xя0p = PΣ/cя. По-
стоянные смещения xя0F и xя0p в своей сумме уменьшают начальный воздушный зазор δ0.
В результате для колебаний Я+ВН остается динамический зазор в виде δ = δ0 −x0p −x0F ,
откуда
x0p = δ0 − x0F − δ =
PΣ
cя
. (9)
В свою очередь, на основании (6)
cя =
F 2
0
We0
. (10)
При приравнивании cя из (9) и (10) получаем
PΣ
δ0 − x0F − δ
=
F 2
0
We0
,
а с учетом того, что x0F = F0/cя, это выражение принимает вид
PΣ
δ0 −
F0
cя
− δ
=
F 2
0
We0
,
откуда коэффициент упругости
cя =
F 3
0
F 2
0
(δ0 − δ) − PΣWe0
. (11)
Выражением (11) определяется коэффициент упругости cя с учетом веса PΣ. Величи-
на δ должна соответствовать выражению δ > xa max, где xa max — максимальная амплитуда
колебаний якоря (Я) совместно с ВН. Величина xa max проявляется на низких частотах
в заданном частотном диапазоне воспроизводимых вибраций.
Далее рассмотрим ЭМВ с РМ. Электромагнитомеханическая схема такого ЭМВ приве-
дена на рис. 1, б, где дополнительно к схеме (см. рис. 1, а) здесь РМ — реактивная масса;
Прp — пружины; К — корпус; Ф — фундамент.
Механическая схема ЭМВ с РМ приведена на рис. 2, где mя — масса Я + ВН(Pя/g);
Pя — вес Я + ВН; mp — масса; РМ(PΣ/g); cя, cp — коэффициенты упругости; bя, bp —
коэффициенты диссипации; xя, xp — перемещения якоря + ВН и РМ соответственно; PΣ =
= Pя + PВН + Pp.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
Рис. 2. Механическая схема ЭМВ с РМ
Как видно из рис. 2, механическая схема представляет собой колебательную систему
с двумя степенями свободы.
Дифференциальные уравнения движения в ЭМВ следующие:
mя
d2xя
dt2
+ bя
dxя
dt
+ cяxя = F + Pя + bя
dxp
dt
+ cяxp,
mp
d2xp
dt2
+ (bя + bp)
dxp
dt
+ (cя + cp)xp = PΣ + bя
dxя
dt
+ cяxя.
(12)
Как и для ЭМВ без РМ смещение Я + ВН и здесь с РМ осуществляется под действием
весов Pя, PΣ и постоянной составляющей тягового усилия F0. На основании (12) уравнения
для этих смещений имеют вид
xя0Σ = xя0P + xя0F + xя0xp,
xp0Σ = xp0p + xp0xя0Σ,
}
xя0p =
Pя + cяxp0p
cя
;
xp0p =
PΣ + cяxя0p
cя + cp
;
xя0F =
F0 + cяxp0F
cя
;
xp0F =
cяxя0F
cя + cp
.
(13)
Из (13)
xя0p =
Pя
cя
+ xp0p, xp0p =
PΣ
cя + cp
+
cяxя0p
cя + cp
.
Подставляя выражение xp0p в xя0p, получим
xя0p = Pя
(
1
cя
+
1
cp
)
+
PΣ
cp
, (14)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 69
а затем
xp0p =
1
cя + cp
{
PΣ + cя
[
Pя
(
1
cя
+
1
cp
)
+
PΣ
cp
]}
. (15)
Выражения (14), (15) — это смещение Я+ВН и РМ от действия весов Pя и PΣ = Pя+Pp.
Определим смещения xя0F в xp0F . Из (13) эти смещения равны
xя0F = F0
(
1
cя
+
1
cp
)
,
xp0F =
F0
cp
.
(16)
Как было отмечено, энергия We0 = LI2
a/4 расходуется на смещения xя0F и xp0F ,
т. е. в этом случае справедливо выражение
xя0F (F0 + cяxp0F ) + xp0F cяxя0F = We0. (17)
Для определения коэффициентов cя и cp подставим в (17) выражение (16). Получаем
F 2
0 −
cя + cp
cp
(
1
cя
+
2
cp
)
= We0. (18)
Далее
xя0p = δ0 − xя0F − δ
или, с учетом (14), (16),
Pя
(
1
cя
+
1
cp
)
+
PΣ
cp
= δ0 − δ − F0
(
1
cp
+
1
cя
)
. (19)
Имея в своем распоряжении выражение (18), (19), можем определить коэффициенты cя
и cp. Из выражения (19) получим
cp =
cя(Pя + F0 + PΣ)
cя(δ − δ0) − Pя − F0
. (20)
Из (18) имеем
cp1,2 =
cя
2
(
We0
F 2
0
− 3
)
±
[
cя
4
(
We0
F 2
0
− 3
)2
− 2c2
я
]1/2
. (21)
Для повышения надежности работы пружин примем cp = cp1. Тогда, приравнивая (20)
и (21) для cp1, получим
Pя + F0 + PΣ
cя(δ − δ0) − Pя − F0
=
1
2
(
We0
F 2
0
− 3
)
+
[
1
4
(
We0
F 2
0
− 3
)2
− 2
]1/2
. (22)
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
Из (22) находим коэффициент
cя =
PΣ + (Pя + F0)
{
1
2
(
We0
F 2
0
− 3
)
+
[
1
4
(
We0
F 2
0
− 3
)2
− 2
]1/2}
(δ − δ0)
{
1
2
(
We0
F 2
0
− 3
)
+
[
1
4
(
We0
F 2
0
− 3
)2
− 2
]1/2}
. (23)
Коэффициент cp получается путем подстановки (23) в (20). Для упрощения записи обо-
значим выражение в фигурных скобках {. . .} = Q. Тогда коэффициент упругости
cp =
(Pя + F0 + PΣ)[PΣ + (Pя + F0)Q]
(δ − δ0)Q − Pя − F0 + (δ − δ0)[PΣ + (Pя + F0)Q]
(δ − δ0)Q.
Еще раз заметим, что δ0 − δ должен быть больше амплитуды колебаний якоря xая,
примем δ0 − δ > kxaя max, где k = 1,5 ÷ 2. Причем [3]
xaя =
|F (tn) + bяẋp + cяxp|
mя
√
(4ω2 − ω2
0я
)2 +
(
2bя
mя
ω
)2
,
xap =
|bяẋя + cяxя|
mp
√
(4ω2 − ω2
0p) +
[
(bя + bp)2ω
mp
]2
,
где ω0я, ω0p — частоты свободных колебаний якоря и РМ соответственно (см. эти частоты
для КС с двумя степенями свободы [3]).
Таким образом, на основе энергетического метода получены аналитические выражения
коэффициентов упругости в ЭМВ без РМ и с РМ. Использование полученных формул
способствует более точному проектированию ЭМВ.
1. Вибрации в технике. В 6-ти т. / Под ред. Э.Э. Лавендела. – Москва: Машиностроение, 1981. – Т. 4. –
510 с.
2. Гордон А. З., Сливинская А.Г. Электромагнитные вибраторы переменного тока. – Москва: Энергия,
1968. – 200 с.
3. Божко А.Е., Голуб Н.М. Динамико-энергетические связи колебательных систем. – Киев: Наук. дум-
ка, 1980. – 188 с.
Поступило в редакцию 07.02.2008Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.E. Bozhko, K.B. Myagkohleb
The energy method for definition of elasticity coefficients in
electromagnetical vibroexciters
We present the formulas for the elasticity coefficients of springs in electromagnetic vibroexciters.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 71
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7992 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:04:14Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. Мягкохлеб, К.Б. 2010-04-26T14:10:15Z 2010-04-26T14:10:15Z 2009 Энергетический метод определения коэффициентов упругости в электромагнитных вибровозбудителях / А.Е. Божко, К.Б. Мягкохлеб // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 66-71. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7992 621.318.001.2 Визначено формули коефiцiєнтiв пружностi пружин в електромагнiтних вiброзбуджувачах. We present the formulas for the elasticity coefficients of springs in electromagnetic vibroexciters. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Энергетический метод определения коэффициентов упругости в электромагнитных вибровозбудителях The energy method for definition of elasticity coefficients in electromagnetical vibroexciters Article published earlier |
| spellingShingle | Энергетический метод определения коэффициентов упругости в электромагнитных вибровозбудителях Божко, А.Е. Мягкохлеб, К.Б. Механіка |
| title | Энергетический метод определения коэффициентов упругости в электромагнитных вибровозбудителях |
| title_alt | The energy method for definition of elasticity coefficients in electromagnetical vibroexciters |
| title_full | Энергетический метод определения коэффициентов упругости в электромагнитных вибровозбудителях |
| title_fullStr | Энергетический метод определения коэффициентов упругости в электромагнитных вибровозбудителях |
| title_full_unstemmed | Энергетический метод определения коэффициентов упругости в электромагнитных вибровозбудителях |
| title_short | Энергетический метод определения коэффициентов упругости в электромагнитных вибровозбудителях |
| title_sort | энергетический метод определения коэффициентов упругости в электромагнитных вибровозбудителях |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7992 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae énergetičeskiimetodopredeleniâkoéfficientovuprugostivélektromagnitnyhvibrovozbuditelâh AT mâgkohlebkb énergetičeskiimetodopredeleniâkoéfficientovuprugostivélektromagnitnyhvibrovozbuditelâh AT božkoae theenergymethodfordefinitionofelasticitycoefficientsinelectromagneticalvibroexciters AT mâgkohlebkb theenergymethodfordefinitionofelasticitycoefficientsinelectromagneticalvibroexciters |