Критичні стани циліндричних оболонок під дією відцентрових та слідкуючих осьових навантажень
За допомогою методiв комп’ютерного моделювання виконано аналiз виникнення критичних станiв у тонких пружних цилiндричних оболонках, що обертаються вiд дiї осьових неконсервативних стискаючих сил. Встановлено, що просте обертання оболонки супроводжується її квазiстатичним випинанням, у той час як дiя...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7993 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Критичні стани циліндричних оболонок під дією відцентрових та слідкуючих осьових навантажень / В. I. Гуляєв, П. З. Луговий, I.Л. Соловйов // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 72-77. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859708694184329216 |
|---|---|
| author | Гуляєв, В.І. Луговий, П.З. Соловйов, І.Л. |
| author_facet | Гуляєв, В.І. Луговий, П.З. Соловйов, І.Л. |
| citation_txt | Критичні стани циліндричних оболонок під дією відцентрових та слідкуючих осьових навантажень / В. I. Гуляєв, П. З. Луговий, I.Л. Соловйов // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 72-77. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | За допомогою методiв комп’ютерного моделювання виконано аналiз виникнення критичних станiв у тонких пружних цилiндричних оболонках, що обертаються вiд дiї осьових неконсервативних стискаючих сил. Встановлено, що просте обертання оболонки супроводжується її квазiстатичним випинанням, у той час як дiя додаткової неконсервативної сили приводить до появи нестiйких пружних коливань.
The analysis of effects of the critical state emergence in an elastic thin-wall cylindrical rotating shell under the action of a non-conservative axial compressive force is performed on the basis of a computer simulation approach. It is established that a simple rotation of the shell is accompanied by its quasistatic buckling, whereas the additional application of a non-conservative axial force leads to the generation of non-steady elastic vibrations. The analysis is performed with the use of appropriate shell and beam models.
|
| first_indexed | 2025-12-01T03:58:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2009
В. I. Гуляєв, П. З. Луговий, I. Л. Соловйов
Критичнi стани цилiндричних оболонок пiд дiєю
вiдцентрових та слiдкуючих осьових навантажень
(Представлено академiком НАН України В. Д. Кубенком)
За допомогою методiв комп’ютерного моделювання виконано аналiз виникнення крити-
чних станiв у тонких пружних цилiндричних оболонках, що обертаються вiд дiї осьо-
вих неконсервативних стискаючих сил. Встановлено, що просте обертання оболонки
супроводжується її квазiстатичним випинанням, у той час як дiя додаткової неконсе-
рвативної сили приводить до появи нестiйких пружних коливань.
1. Цилiндричнi оболонки, що обертаються, широко застосовуються в турбiнах транспортних
i енергетичних установок. Основна особливiсть їх динамiчної поведiнки полягає в можли-
востi виникнення складних режимiв коливань, викликаних дiєю радiально спрямованих
вiдцентрових сил iнерцiї та осьових слiдкуючих навантажень.
Головною властивiстю вiдцентрових сил iнерцiї є те, що вони завжди спрямованi в ра-
дiальному напрямку вiдносно осi обертання системи та залежать вiд пружних радiальних
перемiщень елемента ротора. Найбiльш помiтним ефектом, викликаним їх дiєю, є квазi-
статичне бiфуркацiйне випинання вала при досягненнi деякого критичного значення його
кутової швидкостi обертання [3, 4].
На характер критичного стану ротора також впливає тип дiючих на нього осьових сил.
Залежно вiд можливостi збереження або змiни їх напрямку при пружному деформуваннi
оболонки, цi сили можна роздiлити на консервативнi та неконсервативнi. У теоретичнiй
механiцi сили, якi можуть бути знайденi з умови збереження енергiї в суто механiчному
значеннi цього слова, називають консервативними. Їх застосування в будiвельнiй механiцi
та теорiї пружностi пов’язане з основним припущенням, що рiвновага деформованої системи
знаходиться пiд дiєю так званих мертвих сил, якi дiють на основну недеформовану систему.
Це припущення, яке використовується для обгрунтування загальної теорiї Кiрхгофа про
єдинiсть, не може бути використане в задачах стiйкостi. При цьому, важливим є фактор,
пов’язаний iз збереженням або змiною напрямку сил при втратi стiйкостi системи.
Серед навантажень останнього типу можна видiлити клас сил, що дiють в напрямку до-
тичної до осьової лiнiї на вiльному кiнцi деформованого консольного стержня (рис. 1, а). Їх
дiя може бути викликана реактивним струменем витiкаючої рiдини i газу, потоками рiдини
i газу вiд лопаток, якi обертаються на вiльному кiнцi вала, та iнших джерел. Неконсерва-
тивнi навантаження зазначеного типу називаються слiдкуючими [1].
У роботах [1, 3, 4] звертається увага на залежнiсть характеру втрати стiйкостi стержне-
вих систем вiд виду осьових сил. Показано, що якщо сила, прикладена до вiльного кiнця
консольного стержня, є слiдкуючою, то його втрата стiйкостi може бути реалiзована тiльки
в результатi переходу в нестiйкий коливальний рух.
Однак, якщо консольний стержень обертається з кутовою швидкiстю i стиснутий по-
здовжньою слiдкуючою силою T , то характер його механiчної поведiнки iстотно усклад-
нюється, а тип втрати стiйкостi (квазiстатичний або динамiчний) починає залежати вiд
спiввiдношення мiж величинами T i ω.
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
Рис. 1. Форми коливань тонкостiнної трубчастої консолi
Аналогiчнi явища виникають в цилiндричних оболонках, що обертаються, та навантаже-
нi осьовими силами (рис. 1, б ). У данiй роботi стiйкiсть квазiстатичної рiвноваги оболонок
пiд дiєю обертання та дiєю осьових слiдкуючих навантажень аналiзується на основi дина-
мiчного пiдходу.
2. Рiвняння коливань тонких оболонок, що обертаються. Вважатимемо, що тон-
костiнна пружна цилiндрична оболонка жорстко пов’язана з носiєм, що обертається з по-
стiйною за модулем кутовою швидкiстю ~ω разом iз системою координат Oxyz вiдносно
осi симетрiї Oz (рис. 1, б ). Введемо правi системи координат: OXY Z — iнерцiйна систе-
ма координат з початком у центрi опорного контура оболонки, вiсь OZ збiгається з вiссю
Oz. На серединнiй поверхнi оболонки введемо ортогональну криволiнiйну систему коорди-
нат Ox1x2x3, в якiй координатна лiнiя x1 лежить в утворюючому перерiзi, x2 спрямова-
на в круговому напрямку, x3 — вздовж напрямку внутрiшньої нормалi до поверхнi обо-
лонки.
Стiйкiсть оболонки будемо дослiджувати в лiнеаризованiй постановцi, враховуючи її
попереднє напруження вiдцентровими силами iнерцiї та поздовжньою стискаючою силою.
Рiвняння динамiчної рiвноваги елемента оболонки, записанi в криволiнiйнiй ортогональнiй
системi координат Ox1x2x3 з базисними векторами ~eα на поверхнi, мають вигляд [2, 5]
∇α
~Tα + ~p = 0,
∇α
~Mα + (~eα × ~Tα)
√
a11a22 = 0 (α = 1, 2).
(1)
Тут ~Tα — вектор внутрiшнiх сил в оболонцi; ~Mα — вектор внутрiшнiх моментiв; a11, a22 —
коефiцiєнти першої квадратичної форми серединної поверхнi; ~p — вектор iнтенсивностi зов-
нiшнього розподiленого навантаження.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 73
Використовуючи спiввiдношення мiж контраварiантними компонентами функцiй внут-
рiшнiх сил T ij i моментiв M ij i коварiантними складовими функцiй деформацiї εij i змiни
кривизн µij, одержимо
T ij =
Ehεαβ [aijaαβ + (1 − ν)aiαajβ]
1 − ν2
,
M ij =
Eh3µαβ[aijaαβ + (1 − ν)aiαajβ]
12(1 − ν2)
.
(2)
Виразивши цi функцiї через коварiантнi компоненти u1, u2, u3 вектора перемiщень ~u i кута
повороту ϑi перерiзу, одержуємо розв’язувальнi рiвняння стiйкостi.
У данiй роботi вивчаються критичнi стани оболонок середньої довжини, що реалiзованi
за першою гармонiкою кругової координати, яка є найменш енергомiсткою. Тому будемо
апроксимувати шуканi змiннi базисними функцiями sin(ct + x2), cos(ct + x2) з фазовою
координатою ct + x2, де c — частота вiльних коливань [2, 5]. Тодi з урахуванням цього
спрощення з (1), (2) можна отримати рiвняння вiльних коливань
dT (11)
dx1
− T (12) + (Γ1
11 + Γ2
21)T
(11) + Γ1
22T
(22) − b1
1T
(13) + γh
(
ω2ϑ(1)r + c2u(1)
a11
)
= 0,
dT (12)
dx1
+ T (22) + (3Γ2
12 + Γ1
11)T
(12) + T
(11)
0
d2u(2)
d(x1)2
− b2
2T
(23) +
+ γh
(
ω2ϑ(2)r + 2ωcu(3)
√
a22 + c2u(2) + ω2u(2)
a22
)
= 0,
dT (13)
dx1
− T (23) + (Γ2
12 + Γ1
11)T
(13) + b11T
(11) − µ(11)T
(11)
0 + b22T
(22) −
− µ(22)T
(22)
0 + γh
(
2ωcu(2)√
a22
+ c2u(3) + ω2u(3)
)
= 0.
(3)
Тут нулем праворуч знизу позначенi функцiї внутрiшнiх зусиль, викликаних попередньою
напругою оболонки. Спiввiдношення (3) доповнюються граничними рiвняннями на краях
x1 = 0, x1 = L:
u(1)(0) = u(2)(0) = u(3)(0) = 0,
du(3)
dx1
∣
∣
∣
∣
x1=0
= 0,
T (11)(L) = T (12)(L) = M (11)(L) = V (13)(L) = 0.
(4)
Значення частоти c, при яких однорiдна система (3), (4) має нетривiальнi розв’язки,
є власними, а сам розв’язок являє собою форму коливань оболонки.
При цьому, як звичайно, розв’язання будується у два етапи. На першому етапi розгля-
дається квазiстатична задача для оболонки, яка обертається з кутовою швидкiстю ω, та
напружена рiвномiрно розподiленим навантаженням T (11)(L) = T/2πr, що прикладене до
вiльного кiнця. В результатi її розв’язання пiдраховуються внутрiшнi зусилля в оболонцi
T
(11)
0 , T
(22)
0 , якi потiм як коефiцiєнти використовуються в лiнеаризованих рiвняннях (3). На
другому етапi розв’язується система (3), (4).
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
Зазначимо, що вiльнi коливання, описанi цiєю системою, мають вигляд гармонiйної хви-
лi, що бiжить у напрямку обертання з кутовою швидкiстю c. Причому, якщо при ω = 0
частоти є кратними, а хвилi стоячими, то при ω 6= 0 кратнi частоти розщеплюються на
двi i їх моди починають прецесувати у рiзних напрямках. Вiд’ємнiй частотi c вiдповiдає
прецесiя в напрямку обертання оболонки (пряма регулярна прецесiя), додатнiй частотi c —
прецесiя в протилежному напрямку (зворотна регулярна прецесiя).
Якщо ставиться задача про квазiстатичну втрату стiйкостi цилiндричної оболонки, яка
обертається, то в системi (3) вiдкидаються доданки, що мiстять множники c та c2 i далi
застосовується та ж сама двоетапна процедура.
Чисельна реалiзацiя розв’язання за описаною схемою базується на застосуваннi методу
початкових параметрiв i ортогоналiзацiї за Годуновим [2, 5]. При цьому система диференцi-
альних рiвнянь восьмого порядку (3) зводиться до системи восьми рiвнянь першого порядку
i для неї ставиться двоточкова крайова задача. Далi при заданих T i ω шляхом iнтегру-
вання системи рiвнянь (3) методом Рунге-Кутта формується матриця фундаментальних
розв’язкiв Y (x1) на вiдрiзку 0 6 x1
6 L. Потiм пiдстановкою в граничнi умови знайденого
розв’язку будується однорiдна система лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
D ~C = 0 (5)
i обчислюється визначник матрицi D. Стани, в яких ця матриця вироджується, є особли-
вими, оскiльки в них система має як тривiальний, так i нетривiальний розв’язки. У цьому
випадку власне значення c системи (3) являє собою частоту власних коливань.
Дослiдження бiфуркацiйного випинання оболонки, що обертається, здiйснюється за до-
помогою того ж самого алгоритму, тiльки в цьому випадку iз системи (3) вiдкидаються
доданки з коефiцiєнтами c та c2 i знаходяться комбiнацiї величин T i ω, що вiдповiдають
виродженню матрицi D. Методика побудови форми втрати стiйкостi вiдповiдає описаному
вище алгоритму побудови власних форм.
3. Аналiз результатiв. Для дослiджень були обранi цилiндричнi оболонки довжиною
L = 0,5; 1; 2 i 3 м з радiусом серединної поверхнi r = 0,05 м та товщиною h = 10−3 м.
Матерiал оболонки — сталь iз фiзичними параметрами: модуль пружностi E = 2,1 ·1011 Па;
коефiцiєнт Пуассона ν = 0,3; густина γ = 7,8 · 103 кг/м3.
Спочатку за допомогою розробленої методики був проведений аналiз квазiстатичної
втрати стiйкостi оболонок довжиною L = 1 м i 2 м при простому обертаннi. Порiвняно
велике вiдношення довжини оболонки до її дiаметра дозволило дослiджувати її стiйкiсть
за допомогою двох математичних моделей — теорiї оболонок i теорiї балок. Для цих мо-
делей розглядалася статична стiйкiсть оболонок, що обертаються, i попередньо напруженi
поздовжньо розподiленими слiдкуючими силами, якi стискають або розтягують її в осьо-
вому напрямку.
З одержаних результатiв випливає, що знайденi для оболонок критичнi значення кутової
швидкостi виявилися дещо меншими (на 0,5–2 вiдсотка) вiдповiдних значень, що пiдрахо-
ванi за теорiєю балок (L = 1 м), i дещо бiльшими (на 0,01–2 вiдсотка) вiдповiдних значень
для випадку L = 2 м.
Аналiз впливу характеру дiї осьової сили на критичнi значення кутової швидкостi до-
зволив встановити, що стискаюча слiдкуюча сила стабiлiзує систему, “мертва” сила — де-
стабiлiзує.
Вiдзначимо також ще один на перший погляд несподiваний результат. Як виявилося,
у всiх випадках дiя стискаючої слiдкуючої сили (T < 0) на стержень, що обертається,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 75
Рис. 2. Залежностi частот c1, c2 вiд стискаючої осьової сили для цилiндричної оболонки довжиною L = 1 м
для випадку обертання з кутовими швидкостями ω = 0 (кривi 4, 8 ); ω = 500 c
−1 (кривi 3, 7 ); ω = 1000 c
−1
(кривi 2, 6 ); ω = 2000 c
−1 (вiдповiдно, кривi 1, 5 )
приводить до бiльшого значення критичної кутової швидкостi ω, дiя сили, що розтягує
(T > 0) — до зворотного ефекту. Таким чином, стискаюча слiдкуюча сила стабiлiзує квазi-
статичну рiвновагу стержня, що обертається, сила, що розтягує, — дестабiлiзує його. Цей
ефект властивий i консольним оболонкам.
Вiдомо [3, 4], що якщо консольний стержень тiльки обертається i не пiддається дiї осьової
сили, то iз збiльшенням його кутової швидкостi ω може бути реалiзована тiльки квазiста-
тична форма втрати стiйкостi, при якiй вiдбувається його ейлерове випинання в системi
координат, що обертається. У випадку, коли стержень пiддається дiї тiльки поздовжньої
слiдкуючої стискаючої сили, можлива тiльки динамiчна втрата стiйкостi, яка супроводжу-
ється його переходом у режим коливальних рухiв [1, 3, 4]. Однак, якщо обидва види збу-
рень консольного стержня реалiзуються одночасно, то залежно вiд спiввiдношення мiж їх
величинами можуть бути реалiзованi як перший, так i другий тип критичних станiв. Щоб
встановити, який з них настає ранiше, були розв’язанi задачi про динамiчну поведiнку ци-
лiндричних оболонок, що обертаються i стиснутi силою T .
Дослiдження проведено за методикою, яка викладена в роботi [3]. Вона базується на
тому, що при динамiчнiй втратi стiйкостi пружної системи її нижчi частоти стають комп-
лексними i система втрачає першу i другу дiйснi частини.
На рис. 2 показанi залежностi частот c1, c2 вiд стискаючої осьової сили для цилiндрич-
ної оболонки довжиною L = 1 м для випадку обертання з кутовими швидкостями ω = 0
(кривi 4, 8 ); ω = 500 c−1 (кривi 3, 7 ); ω = 1000 c−1 (кривi 2, 6 ); ω = 2000 c−1 (вiдповiдно,
кривi 1, 5 ).
Особливий iнтерес становлять кривi 1 i 2. Так, для кривої 1 злиття частот c1 i c2 вiдбу-
вається в точцi A (для кривої 2 — у точцi D), потiм iз збiльшенням за модулем величини T
частотнi кривi виникають знову в точцi B (для кривої 2 — у точцi E) i знову замикаються
в точцi C (для кривої 2 — у точцi F ).
Форми коливань меридiонального перерiзу оболонки в критичних станах приблизно вiд-
повiдають рис. 1, а. Вони являють собою середню конфiгурацiю мiж першою i другою фор-
мами вiльних коливань ненапруженої оболонки.
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
Розрахунки показали, що знайденi за теорiєю балок значення слiдкуючої сили T , при
яких настає динамiчна втрата стiйкостi, не залежать вiд величини ω. В той же час цi зна-
чення слiдкуючої сили T , що пiдрахованi на основi теорiї цилiндричних оболонок, вiдрiз-
няються, хоча й неiстотно. Тому можна вiдзначити, що застосування теорiї оболонок для
розрахунку трубчастих стержнiв дозволяє дещо уточнити критичнi значення T . Так, при
застосуваннi моделi теорiї балок критичне значення поздовжньої сили становило Tkp =
= 1,65 · 106 H, для моделi теорiї оболонок — Tkp = 1,40 · 106 H.
1. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. – Москва: Физматгиз, 1961. –
339 с.
2. Гуляев В.И., Луговой П.З., Соловьев И.Л. Упругие колебания одноопорного тонкостенного ротора
(составной оболочки) при сложном вращении // Прикл. механика. – 2003. – 39, № 8. – С. 113–120.
3. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. – Москва: Наука, 1967. –
237 с.
4. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. – Москва: Мир, 1971. – 192 с.
5. Gulyayev Vol. I, Solovjov I. L., Lugovyy P. Z. Analysis of precession vibrations of thin-wall elastic shells in
compound rotation // J. Sound and Vibr. – 2001. – 246, No 3. – P. 491–504.
Надiйшло до редакцiї 20.05.2008Нацiональний транспортний унiверситет, Київ
Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
V. I. Gulyaev, P. Z. Lugovyi, I. L. Solov’ov
The critical states of cylindrical shells under the action of centrifugal
and follower axial loads
The analysis of effects of the critical state emergence in an elastic thin-wall cylindrical rotating
shell under the action of a non-conservative axial compressive force is performed on the basis of a
computer simulation approach. It is established that a simple rotation of the shell is accompanied
by its quasistatic buckling, whereas the additional application of a non-conservative axial force
leads to the generation of non-steady elastic vibrations. The analysis is performed with the use of
appropriate shell and beam models.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 77
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7993 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T03:58:24Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гуляєв, В.І. Луговий, П.З. Соловйов, І.Л. 2010-04-26T14:12:21Z 2010-04-26T14:12:21Z 2009 Критичні стани циліндричних оболонок під дією відцентрових та слідкуючих осьових навантажень / В. I. Гуляєв, П. З. Луговий, I.Л. Соловйов // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 72-77. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7993 539.3 За допомогою методiв комп’ютерного моделювання виконано аналiз виникнення критичних станiв у тонких пружних цилiндричних оболонках, що обертаються вiд дiї осьових неконсервативних стискаючих сил. Встановлено, що просте обертання оболонки супроводжується її квазiстатичним випинанням, у той час як дiя додаткової неконсервативної сили приводить до появи нестiйких пружних коливань. The analysis of effects of the critical state emergence in an elastic thin-wall cylindrical rotating shell under the action of a non-conservative axial compressive force is performed on the basis of a computer simulation approach. It is established that a simple rotation of the shell is accompanied by its quasistatic buckling, whereas the additional application of a non-conservative axial force leads to the generation of non-steady elastic vibrations. The analysis is performed with the use of appropriate shell and beam models. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Критичні стани циліндричних оболонок під дією відцентрових та слідкуючих осьових навантажень The critical states of cylindrical shells under the action of centrifugal and follower axial loads Article published earlier |
| spellingShingle | Критичні стани циліндричних оболонок під дією відцентрових та слідкуючих осьових навантажень Гуляєв, В.І. Луговий, П.З. Соловйов, І.Л. Механіка |
| title | Критичні стани циліндричних оболонок під дією відцентрових та слідкуючих осьових навантажень |
| title_alt | The critical states of cylindrical shells under the action of centrifugal and follower axial loads |
| title_full | Критичні стани циліндричних оболонок під дією відцентрових та слідкуючих осьових навантажень |
| title_fullStr | Критичні стани циліндричних оболонок під дією відцентрових та слідкуючих осьових навантажень |
| title_full_unstemmed | Критичні стани циліндричних оболонок під дією відцентрових та слідкуючих осьових навантажень |
| title_short | Критичні стани циліндричних оболонок під дією відцентрових та слідкуючих осьових навантажень |
| title_sort | критичні стани циліндричних оболонок під дією відцентрових та слідкуючих осьових навантажень |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7993 |
| work_keys_str_mv | AT gulâêvví kritičnístanicilíndričnihobolonokpíddíêûvídcentrovihtaslídkuûčihosʹovihnavantaženʹ AT lugoviipz kritičnístanicilíndričnihobolonokpíddíêûvídcentrovihtaslídkuûčihosʹovihnavantaženʹ AT soloviovíl kritičnístanicilíndričnihobolonokpíddíêûvídcentrovihtaslídkuûčihosʹovihnavantaženʹ AT gulâêvví thecriticalstatesofcylindricalshellsundertheactionofcentrifugalandfolloweraxialloads AT lugoviipz thecriticalstatesofcylindricalshellsundertheactionofcentrifugalandfolloweraxialloads AT soloviovíl thecriticalstatesofcylindricalshellsundertheactionofcentrifugalandfolloweraxialloads |