О модели пластической зоны предразрушения в угловой точке границы раздела сред
Розглянуто симетричну задачу про розрахунок пластичної зони передруйнування в кутовiй точцi межi подiлу двох iзотропних середовищ. Зона передруйнування моделюється лiнiями розриву дотичного змiщення, розташованими на цiй межi. Точне розв’язання вiдповiдної задачi теорiї пружностi побудовано методом...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7994 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О модели пластической зоны предразрушения в угловой точке границы раздела сред / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, Т.В. Полищук // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 78-83. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859745682864209920 |
|---|---|
| author | Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Полищук, Т.В. |
| author_facet | Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Полищук, Т.В. |
| citation_txt | О модели пластической зоны предразрушения в угловой точке границы раздела сред / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, Т.В. Полищук // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 78-83. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Розглянуто симетричну задачу про розрахунок пластичної зони передруйнування в кутовiй точцi межi подiлу двох iзотропних середовищ. Зона передруйнування моделюється лiнiями розриву дотичного змiщення, розташованими на цiй межi. Точне розв’язання вiдповiдної задачi теорiї пружностi побудовано методом Вiнера–Хопфа.
The symmetric problem on the calculation of a plastic prefracture zone at the corner point of the interface of two isotropic media is considered. The prefracture zone is modeled by lines of rupture of the tangential displacement located on the interface. An exact solution of the corresponding problem of the theory of elasticity is constructed by the Wiener–Hopf method.
|
| first_indexed | 2025-12-01T21:26:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.375
© 2009
А.А. Каминский, Л. А. Кипнис, Т. В. Полищук
О модели пластической зоны предразрушения
в угловой точке границы раздела сред
(Представлено академиком НАН Украины Я.М. Григоренко)
Розглянуто симетричну задачу про розрахунок пластичної зони передруйнування в ку-
товiй точцi межi подiлу двох iзотропних середовищ. Зона передруйнування моделює-
ться лiнiями розриву дотичного змiщення, розташованими на цiй межi. Точне розв’я-
зання вiдповiдної задачi теорiї пружностi побудовано методом Вiнера–Хопфа.
За последние десятилетия по механике разрушения было опубликовано большое число ра-
бот, посвященных плоским задачам о расчетах зон предразрушения вблизи концов трещин
в кусочно-однородных телах при условии, что эти зоны моделируются линиями разрыва
смещения [1–7]. Значительный интерес для механики разрушения композитных материа-
лов представляет осуществление расчетов зон предразрушения в рамках моделей с линиями
разрыва смещения вблизи других угловых точек кусочно-однородных тел, которые являют-
ся остроконечными концентраторами напряжений. В данной работе рассматривается такая
задача для угловой точки границы раздела сред.
В условиях плоской деформации в рамках симметричной задачи рассмотрим кусочно-од-
нородное изотропное тело с границей раздела сред в форме сторон угла, которое составлено
из различных упругих частей, соединенных между собой тонким связующим слоем. Мате-
риал связующего слоя предполагается упругопластическим.
С ростом внешней нагрузки вблизи угловой точки границы раздела сред, представляю-
щей собой остроконечный концентратор напряжений, появляется и развивается пластичес-
кая зона предразрушения в виде пары узких полос, исходящих из данной точки и располо-
женных на этой границе. Будем изучать лишь начальную стадию развития пластической
зоны предразрушения, считая внешнюю нагрузку достаточно малой. Тогда размер зоны
будет значительно меньше размеров тела.
Ставится задача определения длины пластической зоны предразрушения.
Поскольку связующий материал является упругопластическим, преимущественные де-
формации в зоне предразрушения развиваются по механизму сдвига. Поэтому полоску-зону
будем моделировать линией разрыва касательного смещения, на которой касательное на-
пряжение равно заданной постоянной связующего материала τ .
Таким образом, с учетом малости пластической зоны предразрушения с целью опреде-
ления ее длины приходим к плоской статической симметричной задаче теории упругости
для кусочно-однородной изотропной плоскости с границей раздела сред в форме сторон
угла, содержащей разрезы конечной длины, исходящие из угловой точки и расположенные
на этой границе. На бесконечности реализуется асимптотика, представляющая собой реше-
ние аналогичной задачи без разрезов (задача К), порождаемое единственным на интервале
] − 1; 0] корнем ее характеристического уравнения. Произвольная постоянная C, входящая
в указанное решение, считается заданной. Она характеризует интенсивность внешнего поля
и должна определяться из решения внешней задачи.
78 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
Задача К решается методом разделения переменных [8, 9]. В частности, для напряжения
τrθ(r, 0) в этой задаче имеет место выражение
τrθ(r, 0) = Cgrλ, g = λg1 sin λα − g2 sin(λ + 2)α,
g1 = (1 − e)λ2 sin2 2α cos(λ + 2)α −
− (1 − κ1 − 2e)λ sin 2α cos(λ + 2)α cos λ(π − α) sin[λ(π − α) − 2α] +
+ [2 − (1 − κ2)e]λ sin 2α cos λα sin(λ + 2)α cos(λ + 2)α −
−2[1−κ1−(1−κ2)e] cos λα sin(λ+2)α cos(λ+2)α cos λ(π−α) sin[λ(π−α)−2α]+
+ (1 + κ1)λ sin 2α sin(λ + 2)α cos λ(π − α) cos[λ(π − α) − 2α] +
+ (1 + κ1)(1 − κ2) cos λα sin2(λ + 2)α cos λ(π − α) cos[λ(π − α) − 2α] −
− (1 + κ2)λ sin 2α cos λα sin(λ + 2)α cos(λ + 2)α +
+ (1 − κ1)(1 + κ2) cos λα sin(λ + 2)α cos(λ + 2)α cos λ(π − α) sin[λ(π − α) − 2α],
g2 = (1 − e)(1 − κ2 + λ)λ2 sin2 2α cos λα −
− (1 − κ1 − 2e)λ(1 − κ2 + λ) sin 2α cos λα cos λ(π − α) sin[λ(π − α) − 2α] +
+ [2 − (1 − κ2)e]λ(1 − κ2 + λ) sin 2α cos2 λα sin(λ + 2)α −
−2[1−κ1−(1−κ2)e](1−κ2+λ) cos2 λα sin(λ+2)α cos λ(π−α) sin[λ(π−α)−2α]+
+ (1 + κ1)λ
2 sin 2α sinλα cos λ(π − α) cos[λ(π − α) − 2α] +
+ (1 + κ1)(1 − κ2)λ sin λα cos λα sin(λ + 2)α cos λ(π − α) cos[λ(π − α) − 2α] −
−(1 + κ2)λ
2 sin 2α sin λα cos λα cos(λ + 2)α +
+ (1 − κ1)(1 + κ2)λ sin λα cos λα cos(λ + 2)α cos λ(π − α) sin[λ(π − α) − 2α],
e =
1 + ν2
1 + ν1
e0, e0 =
E1
E2
, κ1,2 = 3 − 4ν1,2.
Здесь −α 6 θ 6 π − α; E1,E2 — модули Юнга; ν1, ν2 — коэффициенты Пуассона; кли-
ну с углом раствора 2α соответствуют упругие постоянные E2, ν2; λ — единственный на
интервале ] − 1; 0[ корень характеристического уравнения задачи К
∆(−x − 1) = 0,∆(z) = b0(z) + b1(z)e + b2(z)e2,
b0(z) = (sin 2zα + z sin 2α)[κ1 sin 2z(π − α) + z sin 2α],
b1(z) = (1 + κ1)(1 + κ2) sin2 zπ − (sin 2zα + z sin 2α)[κ1 sin 2z(π − α) + z sin 2α] −
− [sin 2z(π − α) − z sin 2α](κ2 sin 2zα − z sin 2α),
b2(z) = [sin 2z(π − α) − z sin 2α](κ2 sin 2zα − z sin 2α).
Граничные условия рассматриваемой задачи о разрезах имеют следующий вид:
θ = π − α, τrθ = 0, uθ = 0; θ = −α, τrθ = 0, uθ = 0; (1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 79
θ = 0, 〈σθ〉 = 〈τrθ〉 = 0, 〈uθ〉 = 0;
θ = 0, r < l, τrθ = τ1; θ = 0, r > l, 〈ur〉 = 0;
(2)
θ = 0, r → ∞, τrθ = Cgrλ + o
(
1
r
)
. (3)
Здесь 〈a〉 — скачок a; τ1 = τ , если Cg > 0; τ1 = −τ , если Cg < 0.
Решение сформулированной задачи теории упругости представляет собой сумму реше-
ний следующих двух задач. Первая отличается от нее тем, что вместо первого условия (2)
имеем
θ = 0, r < l, τrθ = τ1 − Cgrλ, (4)
а на бесконечности напряжения затухают как o(1/r) (в (3) отсутствует первое слагаемое).
Вторая задача — задача К. Поскольку решение второй задачи известно, достаточно по-
строить решение первой.
Для построения точного решения первой задачи используется метод Винера–Хопфа в со-
четании с аппаратом интегрального преобразования Меллина [10, 11].
Применяя преобразование Меллина к уравнениям равновесия, условию совместности
деформаций, закону Гука, условиям (1) и учитывая второе условие (2) и условие (4), при-
ходим к следующему функциональному уравнению Винера–Хопфа:
Φ+(p) +
τ1
p + 1
+
τ2
p + λ + 1
= A(ctg pπ)G(p)Φ−(p), (5)
A =
(1 + κ1)[1 + κ1 + (1 + κ2)e]
2[κ1 + (1 + κ1κ2)e + κ2e2]
, G(p) =
G1(p)
G2(p)
,
G1(p) = [κ1 + (1 + κ1κ2)e + κ2e
2][a0(p) + a1(p)e] sin pπ,
G2(p) = [1 + κ1 + (1 + κ2)e][b0(p) + b1(p)e + b2(p)e2] cos pπ,
a0(p) = (1 + κ1)[cos 2p(π − α) − cos 2α](sin 2pα + p sin 2α),
a1(p) = (1 + κ2)(cos 2pα − cos 2α)[sin 2p(π − α) − p sin 2α],
b0(p) = (sin 2pα + p sin 2α)[κ1 sin 2p(π − α) + p sin 2α],
b1(p) = (1 + κ1)(1 + κ2) sin2 pπ − (sin 2pα + p sin 2α)[κ1 sin 2p(π − α) + p sin 2α]−
−[sin 2p(π − α) − p sin 2α](κ2 sin 2pα − p sin 2α),
b2(p) = [sin 2p(π − α) − p sin 2α](κ2 sin 2pα − p sin 2α), τ2 = −Cglλ,
Φ+(p) =
∞
∫
1
τrθ(ρl, 0)ρpdρ, Φ−(p) =
E1
4(1 − ν2
1
)
1
∫
0
〈
∂ur
∂r
〉
∣
∣
∣
∣
∣r=ρl
θ=0
ρpdρ.
Здесь −ε1 < Re p < ε2, ε1,2 — достаточно малые положительные числа.
Функция G(it)(−∞ < t < ∞) представляет собой действительную положительную че-
тную функцию t, стремящуюся к единице при t → ∞. Следовательно, индекс функции G(p)
80 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
по мнимой оси равен нулю и имеет место факторизация [12]
G(p) =
G+(p)
G−(p)
(Re p = 0), exp
[
1
2πi
i∞
∫
−i∞
ln G(z)
z − p
dz
]
=
{
G+(p), Re p < 0,
G−(p), Re p > 0.
(6)
Функцию p ctg pπ можно факторизовать так:
p ctg pπ = K+(p)K−(p), K±(p) =
Γ(1 ∓ p)
Γ(1/2 ∓ p)
(7)
(Γ(z) — гамма-функция). С помощью факторизаций (6), (7) уравнение (5) перепишем в виде
Φ+(p)
K+(p)G+(p)
+
τ1
(p + 1)K+(p)G+(p)
+
τ2
(p + λ + 1)K+(p)G+(p)
=
=
AK−(p)Φ−(p)
pG−(p)
(Re p = 0). (8)
Справедливы представления
τ1
(p + 1)K+(p)G+(p)
=
τ1
p + 1
[
1
K+(p)G+(p)
− 1
K+(−1)G+(−1)
]
+
+
τ1
(p + 1)K+(−1)G+(−1)
,
τ2
(p + λ + 1)K+(p)G+(p)
=
τ2
p + λ + 1
[
1
K+(p)G+(p)
− 1
K+(−λ − 1)G+(−λ − 1)
]
+
+
τ2
(p + λ + 1)K+(−λ − 1)G+(−λ − 1)
(Re p = 0).
(9)
Подставляя (9) в (8), получаем
Φ+(p)
K+(p)G+(p)
+
τ1
p + 1
[
1
K+(p)G+(p)
− 1
K+(−1)G+(−1)
]
+
+
τ2
p + λ + 1
[
1
K+(p)G+(p)
− 1
K+(−λ − 1)G+(−λ − 1)
]
=
=
AK−(p)Φ−(p)
pG−(p)
− τ1
(p+1)K+(−1)G+(−1)
− τ2
(p+λ+1)K+(−λ−1)G+(−λ−1)
(Re p = 0).
(10)
Функция в левой части (10) аналитична в полуплоскости Re p < 0, а функция в правой
части (10) аналитична в полуплоскости Re p > 0. В силу принципа аналитического продол-
жения эти функции равны одной и той же функции, аналитической во всей плоскости p.
Вблизи конца разреза в силу общих положений о поведении напряжений в окрестностях
угловых точек упругих тел [8, 9] реализуется асимптотика, представляющая собой реше-
ние однородной статической задачи теории упругости для кусочно-однородной изотропной
плоскости, содержащей на прямолинейной границе раздела сред полубесконечную линию
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 81
разрыва касательного смещения, порождаемое корнем — 1/2 ее характеристического урав-
нения. В частности, имеют место асимптотики
θ = 0, r → l + 0, τrθ ∼ κ1 + e + 1 + κ2e
2(1 + κ2e)
kII
√
2π(r − l)
,
θ = 0, r → l − 0,
〈
∂ur
∂r
〉
∼ −4(1 − ν2
1)
E1
κ1 + e
1 + κ1
kII
√
2π(l − r)
.
(11)
Здесь kII — коэффициент интенсивности напряжений в конце разреза, подлежащий опре-
делению.
Исходя из (11), по теореме абелева типа получаем
p → ∞, Φ+(p) ∼ κ1 + e + 1 + κ2e
2(1 + κ2e)
kII√
−2pl
, Φ−(p) ∼ −κ1 + e
1 + κ1
kII√
2pl
. (12)
Из (6), (7), (12) следует, что функции в левой и правой частях (10) стремятся к нулю при
p → ∞ в полуплоскостях Re p < 0 и Re p > 0 соответственно. В силу теоремы Лиувилля
единая аналитическая функция тождественно равна нулю во всей плоскости p.
Таким образом, решение уравнения (5) имеет вид
Φ+(p) = K+(p)G+(p)
{
τ1
p + 1
[
1
K+(−1)G+(−1)
− 1
K+(p)G+(p)
]
+
+
τ2
p + λ + 1
[
1
K+(−λ − 1)G+(−λ − 1)
− 1
K+(p)G+(p)
]}
(Re p < 0),
Φ−(p) =
pG−(p)
AK−(p)
[
τ1
(p + 1)K+(−1)G+(−1)
+
τ2
(p + λ + 1)K+(−λ − 1)G+(−λ − 1)
]
(Re p > 0).
(13)
Используя (13), можно получить выражения для меллиновских трансформант напря-
жений. В результате применения к этим выражениям формулы обращения Меллина опре-
деляются напряжения.
С помощью (13) находим асимптотику
p → ∞, Φ−(p) ∼ 1
A
√
p
[
τ1
K+(−1)G+(−1)
+
τ2
K+(−λ − 1)G+(−λ − 1)
]
. (14)
Согласно (12), (14), получаем формулу для коэффициента интенсивности напряжений
в конце разреза
kII =
2
√
2(1 + κ2l)
1 + κ1 + (1 + κ2)e
√
l
[
gΓ(λ + 3/2)
Γ(λ + 2)G+(−λ − 1)
Clλ −
√
π
2G+(−1)
τ1
]
. (15)
Длина пластической зоны предразрушения определяется из условия ограниченности
напряжений вблизи конца линий разрыва касательного смещения, т. е. из условия равенства
нулю коэффициента kII .
Приравнивая к нулю правую часть (15), получаем следующую формулу, служащую для
определения длины 2l пластической зоны предразрушения:
l = L
( |C|
τ
)−1/λ
, L =
[
2|g|Γ(λ + 3/2)G+(−1)√
πΓ(λ + 2)G+(−λ − 1)
]−1/λ
.
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
1. Дундурс Дж., Комниноу М. Обзор и перспектива исследования межфазной трещины // Механика
композит. материалов. – 1979. – № 3. – С. 387–396.
2. Симонов И.В. Трещина на границе раздела в однородном поле напряжений // Там же. – 1985. –
№ 6. – С. 969–976.
3. Каминский А.А., Кипнис Л.А., Колмакова В.А. О модели Дагдейла для трещины на границе ра-
здела различных сред // Прикл. механика. – 1999. – 35, № 1. – С. 63–68.
4. Лобода В.В., Шевелева А.Е. Определение зон предразрушения у края трещины между двумя упру-
гими ортотропными телами // Там же. – 2003. – 39, № 5. – С. 76–82.
5. Бакиров В.Ф., Гольдштейн Р. В. Модель Леонова–Панасюка–Дагдейла для трещины на границе со-
единения материалов // Прикл. математика и механика. – 2004. – 68, № 1. – С. 170–179.
6. Каминский А.А., Дудик М.В., Кипнис Л.А. О направлении развития тонкой пластической зоны
предразрушения в вершине трещины на границе раздела различных сред // Прикл. механика. –
2006. – 42, № 2. – С. 14–23.
7. Каминский А.А., Дудик М.В., Кипнис Л.А. О начальном развитии зоны предразрушения вблизи
конца трещины, выходящей на границу раздела различных сред // Там же. – 2004. – 40, № 2. –
С. 74–81.
8. Партон В. З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. – Москва: Наука, 1981. –
688 с.
9. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. – Москва: Наука, 1974. – 640 с.
10. Нобл Б. Применение метода Винера–Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных
производных. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1962. – 279 с.
11. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. – Ленинград: Наука, 1967. –
402 с.
12. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. – Москва: Наука, 1977. – 640 с.
Поступило в редакцию 19.05.2008Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Уманский государственный педагогический
университет им. Павла Тычины
A.A. Kaminsky, L. A. Kipnis, T.V. Polischuk
On the plastic prefracture zone model at the corner point of the
interface of media
The symmetric problem on the calculation of a plastic prefracture zone at the corner point of the
interface of two isotropic media is considered. The prefracture zone is modeled by lines of rupture of
the tangential displacement located on the interface. An exact solution of the corresponding problem
of the theory of elasticity is constructed by the Wiener–Hopf method.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 83
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7994 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T21:26:46Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Полищук, Т.В. 2010-04-26T14:14:09Z 2010-04-26T14:14:09Z 2009 О модели пластической зоны предразрушения в угловой точке границы раздела сред / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, Т.В. Полищук // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 78-83. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7994 539.375 Розглянуто симетричну задачу про розрахунок пластичної зони передруйнування в кутовiй точцi межi подiлу двох iзотропних середовищ. Зона передруйнування моделюється лiнiями розриву дотичного змiщення, розташованими на цiй межi. Точне розв’язання вiдповiдної задачi теорiї пружностi побудовано методом Вiнера–Хопфа. The symmetric problem on the calculation of a plastic prefracture zone at the corner point of the interface of two isotropic media is considered. The prefracture zone is modeled by lines of rupture of the tangential displacement located on the interface. An exact solution of the corresponding problem of the theory of elasticity is constructed by the Wiener–Hopf method. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка О модели пластической зоны предразрушения в угловой точке границы раздела сред On the plastic prefracture zone model at the corner point of the interface of media Article published earlier |
| spellingShingle | О модели пластической зоны предразрушения в угловой точке границы раздела сред Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Полищук, Т.В. Механіка |
| title | О модели пластической зоны предразрушения в угловой точке границы раздела сред |
| title_alt | On the plastic prefracture zone model at the corner point of the interface of media |
| title_full | О модели пластической зоны предразрушения в угловой точке границы раздела сред |
| title_fullStr | О модели пластической зоны предразрушения в угловой точке границы раздела сред |
| title_full_unstemmed | О модели пластической зоны предразрушения в угловой точке границы раздела сред |
| title_short | О модели пластической зоны предразрушения в угловой точке границы раздела сред |
| title_sort | о модели пластической зоны предразрушения в угловой точке границы раздела сред |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7994 |
| work_keys_str_mv | AT kaminskiiaa omodeliplastičeskoizonypredrazrušeniâvuglovoitočkegranicyrazdelasred AT kipnisla omodeliplastičeskoizonypredrazrušeniâvuglovoitočkegranicyrazdelasred AT poliŝuktv omodeliplastičeskoizonypredrazrušeniâvuglovoitočkegranicyrazdelasred AT kaminskiiaa ontheplasticprefracturezonemodelatthecornerpointoftheinterfaceofmedia AT kipnisla ontheplasticprefracturezonemodelatthecornerpointoftheinterfaceofmedia AT poliŝuktv ontheplasticprefracturezonemodelatthecornerpointoftheinterfaceofmedia |