Рівновага порожнистих циліндрів з гофрованим еліптичним поперечним перерізом при дії локального навантаження
Дослiджується вплив локального навантаження на напружений стан елiптичних порожнистих цилiндрiв з гофрами в поперечному перерiзi на основi методу апроксимацiї функцiй дискретними рядами Фур’є. Наводиться розподiл полiв перемiщень та напружень. The influence of a local loading on the stressed state o...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7996 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Рівновага порожнистих циліндрів з гофрованим еліптичним поперечним перерізом при дії локального навантаження / Л.С. Рожок // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 90-94. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7996 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Рожок, Л.С. 2010-04-26T14:18:12Z 2010-04-26T14:18:12Z 2009 Рівновага порожнистих циліндрів з гофрованим еліптичним поперечним перерізом при дії локального навантаження / Л.С. Рожок // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 90-94. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7996 539.3 Дослiджується вплив локального навантаження на напружений стан елiптичних порожнистих цилiндрiв з гофрами в поперечному перерiзi на основi методу апроксимацiї функцiй дискретними рядами Фур’є. Наводиться розподiл полiв перемiщень та напружень. The influence of a local loading on the stressed state of hollow cylinders with corrugated elliptic cross-section is investigated on the basis of the approximation of functions by discrete Fourier series. Distributions of the displacements and stresses fields are presented. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Рівновага порожнистих циліндрів з гофрованим еліптичним поперечним перерізом при дії локального навантаження Equilibrium of hollow cylinders with corrugated elliptic cross-section under a local load Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Рівновага порожнистих циліндрів з гофрованим еліптичним поперечним перерізом при дії локального навантаження |
| spellingShingle |
Рівновага порожнистих циліндрів з гофрованим еліптичним поперечним перерізом при дії локального навантаження Рожок, Л.С. Механіка |
| title_short |
Рівновага порожнистих циліндрів з гофрованим еліптичним поперечним перерізом при дії локального навантаження |
| title_full |
Рівновага порожнистих циліндрів з гофрованим еліптичним поперечним перерізом при дії локального навантаження |
| title_fullStr |
Рівновага порожнистих циліндрів з гофрованим еліптичним поперечним перерізом при дії локального навантаження |
| title_full_unstemmed |
Рівновага порожнистих циліндрів з гофрованим еліптичним поперечним перерізом при дії локального навантаження |
| title_sort |
рівновага порожнистих циліндрів з гофрованим еліптичним поперечним перерізом при дії локального навантаження |
| author |
Рожок, Л.С. |
| author_facet |
Рожок, Л.С. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2009 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Equilibrium of hollow cylinders with corrugated elliptic cross-section under a local load |
| description |
Дослiджується вплив локального навантаження на напружений стан елiптичних порожнистих цилiндрiв з гофрами в поперечному перерiзi на основi методу апроксимацiї функцiй дискретними рядами Фур’є. Наводиться розподiл полiв перемiщень та напружень.
The influence of a local loading on the stressed state of hollow cylinders with corrugated elliptic cross-section is investigated on the basis of the approximation of functions by discrete Fourier series. Distributions of the displacements and stresses fields are presented.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7996 |
| citation_txt |
Рівновага порожнистих циліндрів з гофрованим еліптичним поперечним перерізом при дії локального навантаження / Л.С. Рожок // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 90-94. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT rožokls rívnovagaporožnistihcilíndrívzgofrovanimelíptičnimpoperečnimpererízompridíílokalʹnogonavantažennâ AT rožokls equilibriumofhollowcylinderswithcorrugatedellipticcrosssectionunderalocalload |
| first_indexed |
2025-11-25T03:54:00Z |
| last_indexed |
2025-11-25T03:54:00Z |
| _version_ |
1850505783471505408 |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2009
Л.С. Рожок
Рiвновага порожнистих цилiндрiв з гофрованим
елiптичним поперечним перерiзом при дiї локального
навантаження
(Представлено академiком НАН України Я.М. Григоренком)
Дослiджується вплив локального навантаження на напружений стан елiптичних по-
рожнистих цилiндрiв з гофрами в поперечному перерiзi на основi методу апроксимацiї
функцiй дискретними рядами Фур’є. Наводиться розподiл полiв перемiщень та напру-
жень.
У роботах [1, 2] розглянуто задачу про напружений стан iзотропних порожнистих елiп-
тичних цилiндрiв з гофрами в поперечному перерiзi. Вплив локального навантаження на
напружений стан гофрованих порожнистих цилiндрiв розглянуто в роботах [3, 4]. Нижче
дослiджується напружений стан порожнистих елiптичних гофрованих цилiндрiв, що зна-
ходяться пiд дiєю локального навантаження, прикладеного на зовнiшнiй поверхнi в околi
гофрiв цилiндрiв при певних граничних умовах на торцях у просторовiй постановцi.
Цилiндри розглядаються в ортогональнiй криволiнiйнiй системi координат s, ψ, γ: s —
довжина дуги вздовж твiрної цилiндра; ψ — полярний кут в поперечному перерiзi; γ —
нормальна координата вздовж товщини.
Напрямна поверхнi вiдлiку в площинi поперечного перерiзу задається в полярнiй системi
координат
ρ(ψ) =
a
1 − e2cos2ψ
+ α cosmψ (0 6 ψ 6 2π), e =
√
1 − 2
a
b
=
2
√
∆
1 + ∆
. (1)
Тут ρ — полярний радiус; e — ексцентриситет елiпса; ∆ — степiнь елiптичностi; a i b —
пiвосi елiпса (b > a); α — амплiтуда; m — частота гофрування.
Параметр Ламе A2(ψ, γ) = H2(ψ, γ)ω(ψ), тут
H2(ψ, γ) = 1 +
γ
R(ψ)
,
ω(ψ) =
√
ρ2 +
(
dρ
dψ
2
)
, R(ψ) =
[ρ2 + (ρp)2]3/2
ρ2 + 2(ρp)2 − ρρq
— радiус кривизни.
За вихiднi приймаємо основнi рiвняння просторової теорiї пружностi для iзотропного
тiла [5]. На торцях цилiндра мають мiсце умови простого опирання
σs = 0, uψ = 0, uγ = 0 при s = 0, s = l. (2)
На бiчних поверхнях граничнi умови мають вигляд
σγ = 0; τsγ = 0; τψγ = 0 при γ = γ1; (3)
90 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
σγ = qγ ; τsγ = 0; τψγ = 0 при γ = γ2. (4)
За розв’язувальнi функцiї обираємо три компоненти напруження σγ , τsγ , τψγ i три ком-
поненти перемiщення uγ , us, uψ. Пiсля деяких перетворень з основних рiвнянь можна отри-
мати розв’язувальну систему диференцiальних рiвнянь у частинних похiдних шостого по-
рядку зi змiнними коефiцiєнтами.
Граничнi умови (3) дозволяють вiдокремити змiннi вздовж твiрної цилiндра. Для вiд-
окремлення змiнних вздовж напрямної цилiндра застосовуємо метод апроксимацiї функцiй
дискретними рядами Фур’є та метод вiдокремлення змiнних вздовж напрямної цилiндра [6],
в результатi чого приходимо до одновимiрної крайової задачi, що описується системою зви-
чайних диференцiальних рiвнянь у виглядi
dσγ,k
dγ
= λnτsγ,k +
(
ν
1 − ν
− 1
)
ϕ1
1,k − ϕ1
4,k −
Eν
1 − ν2
λnϕ
4
1,k +
E
1 − ν2
(ϕ3
4,k + ϕ5
1,k);
dτsγ,k
dγ
= −
ν
1 − ν
λnσγ,k +
E
1 − ν2
λ2
nus,k − ϕ2
1,k −
(
Eν
1 − ν2
+
E
2(1 + ν)
)
λnϕ
2
4,k −
−
Eν
1 − ν2
λnϕ
3
1,k −
E
2(1 + ν)
ϕ6,k;
dτψγ,k
dγ
=
E
2(1 + ν)
λ2
nuψ,k − 2ϕ1
2,k +
(
Eν
1 − ν2
+
E
2(1 + ν)
)
λnϕ
2
4,k −
−
E
1 − ν2
(ϕ7,k + ϕ5,k) −
ν
1 − ν
ϕ1
3,k;
duγ,k
dγ
=
1 − ν − 2ν2
E(1 − ν)
σγ,k +
ν
1 − ν
(λnus,k − ϕ2
4,k − ϕ3
1,k);
dus,k
dγ
=
2(1 + ν)
E
τsγ,k − λnuγ,k;
duψ,k
dγ
=
2(1 + ν)
E
τψγ,k − ϕ3,k + ϕ2
2,k (k = 0,K)
(5)
з граничними умовами
σγ,k = 0; τsγ = 0; τψγ,k = 0 при γ = γ1;
σγ,k = qγ,k; τsγ,k = 0; τψγ,k = 0 при γ = γ2.
(6)
Отриману одновимiрну крайову задачу (5), (6) розв’язуємо стiйким чисельним методом
дискретної ортогоналiзацiї [7]. При iнтегруваннi на кожному кроцi застосування чисельно-
го методу невiдомi амплiтуднi значення доповнювальних функцiй будемо обчислювати за
допомогою дискретних рядiв Фур’є [8].
Розглядатимемо гофрованi цилiндри, частота та амплiтуда гофрування яких дорiвню-
ють вiдповiдно m = 4; α = 4. Прикладене в околi всiх чотирьох гофрiв локальне наванта-
ження подамо у виглядi ряду Фур’є (рис. 1, а)
qγ(ψ) =
4q0
π
[
sinβ − β cos β +
4K
∑
k=4,8,...
(
sin(k − 1)β
k − 1
−
2 sin kβ cos β
k
+
sin(k + 1)β
k + 1
)
cos kψ
]
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 91
Рис. 1
Рис. 2
Прикладене в околi гофрiв бiльшої напiвосi елiпса локальне навантаження подамо у ви-
глядi ряду Фур’є (рис. 1, б )
qγ(ψ) =
2q0
π
[
sinβ − β cos β +
2K
∑
k=2,4,...
(
sin(k − 1)β
k − 1
−
2 sin kβ cosβ
k
+
sin(k + 1)β
k + 1
)
cos kψ
]
.
Тут β — iнтервал прикладення локального навантаження. Значення параметра q0 обираємо
таким чином, щоб загальне навантаження залишалося однаковим i дорiвнювало наванта-
женню при β = π/8.
Задачу розв’язано за таких умов: l = 40; β = π/8; π/16, товщина цилiндра H = 4;
ν = 0,3; ∆ = 0; 0,1; 0,2.
На рис. 2–4 наведено результати розв’язку задачi в середньому перерiзi по довжинi ци-
лiндра для s = 0,5l на зовнiшнiй поверхнi для двох варiантiв прикладення навантаження:
в околi всiх чотирьох гофрiв цилiндра (рис. 2, а — 4, а) та в околi гофрiв бiльшої напiв-
осi елiпса (рис. 2, б — 4, б ). Суцiльною лiнiєю показано кривi для значення β = π/16,
штриховою — для β = π/8.
Рис. 2 iлюструє розподiл перемiщень uγ вздовж напрямної залежно вiд iнтервалу при-
кладення локального навантаження β для цилiндрiв з рiзним значенням степеня елiптично-
92 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
Рис. 3
Рис. 4
стi ∆, рис. 3 — розподiл напружень σψ вздовж напрямної залежно вiд iнтервалу прикладен-
ня локального навантаження β для цилiндрiв з рiзним значенням степеня елiптичностi ∆.
На рис. 4 наведено розподiл напружень σs вздовж напрямної залежно вiд iнтервалу
прикладення локального навантаження β для цилiндрiв з рiзним значенням степеня елiп-
тичностi ∆.
З рис. 2, а — 4, а видно, що вiдхилення форми поперечного перерiзу вiд кругової гоф-
рованої призводить до порушення симетрiї в розподiлi полiв перемiщень та напружень вiд-
носно перерiзу ψ = π/4.
Вплив елiптичностi на розподiл перемiщень (рис. 2, а) при першому варiантi прикладен-
ня навантаження бiльше вiдчувається на iнтервалi π/4 6 ψ 6 3π/4. Так, якщо при ∆ = 0,1
значення перемiщень зменшуються в 1,5–4 рази, то при ∆ = 0,2 — приблизно в 1,5–2,5 ра-
зи, при цьому змiнюють знак на протилежний при β = π/16. При β = π/8 перемiщення
збiльшуються приблизно в 1,5 разiв для ∆ = 0,1 та в 4 рази — для ∆ = 0,2. При другому
способi прикладення навантаження максимальний перерозподiл перемiщень вiдбувається
в перерiзi π/8 6 ψ 6 π/4. Тут вiдхилення форми поперечного перерiзу вiд кругової гофро-
ваної призводить до збiльшення величини перемiщень приблизно вiд 0,9 разiв для ∆ = 0,1
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 93
до 2,4 рази для ∆ = 0,2 при β = π/16. Для β = π/8 величина перемiщень збiльшується
в 0,5–1,4 рази, при цьому вони змiнюють знак на протилежний.
Як впливає спосiб прикладення навантаження та степiнь елiптичностi цилiндрiв на роз-
подiл напружень σψ та σs показано на графiках рис. 3, 4.
Таким чином, запропоновану методику можна застосовувати при дослiдженнi напруже-
ного стану некругових порожнистих цилiндрiв iз складною формою поперечного перерiзу
у виглядi гофрованих елiпсiв, що знаходяться пiд дiєю локального навантаження.
1. Григоренко Я.М., Рожок Л.С. К решению задачи о напряженном состоянии полых цилиндров с
гофрированным эллиптическим поперечным сечением // Прикл. механика. – 2004. – 40, № 2. – С. 67–
73.
2. Григоренко Я.М., Рожок Л.С. О влиянии частоты и амплитуды гофрировки полых эллиптических
цилиндров на их напряженное состояние // Там же. № 9. – С. 87–93.
3. Рожок Л.С. Дослiдження впливу локального навантаження на напружений стан гофрованих поро-
жнистих цилiндрiв // Доп. НАН України. – 2006. – № 7. – С. 56–59.
4. Рожок Л.С. Шаруватi порожнистi цилiндри з гофрами в поперечному перерiзi при дiї локального
навантаження // Там само. – 2007. – № 12. – С. 70–75.
5. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. – Киев: Наук. думка, 1972. – 501 с.
6. Григоренко Я.М., Рожок Л.С. Застосування дискретних рядiв Фур’є до розв’язання крайових задач
статики пружних тiл неканонiчної форми // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2005. – 48, № 2. –
С. 78–100.
7. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифферен-
циальных уравнений // Успехи мат. наук. – 1961. – 16, вып. 3. – С. 171–174.
8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. – Москва: Наука,
1949. – 783 с.
Надiйшло до редакцiї 02.06.2008Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
L. S. Rozhok
Equilibrium of hollow cylinders with corrugated elliptic cross-section
under a local load
The influence of a local loading on the stressed state of hollow cylinders with corrugated elliptic
cross-section is investigated on the basis of the approximation of functions by discrete Fourier
series. Distributions of the displacements and stresses fields are presented.
94 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
|