Про повну систему рівнянь електропружності
Запропоновано нову узагальнену систему рiвнянь електропружностi, в якiй враховується повна система рiвнянь Максвелла. A new generalized system of electroelasticity equations taking the complete system of Maxwell equations into account is proposed....
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7997 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про повну систему рівнянь електропружності / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 95-98. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859624943501705216 |
|---|---|
| author | Шульга, М.О. |
| author_facet | Шульга, М.О. |
| citation_txt | Про повну систему рівнянь електропружності / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 95-98. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Запропоновано нову узагальнену систему рiвнянь електропружностi, в якiй враховується повна система рiвнянь Максвелла.
A new generalized system of electroelasticity equations taking the complete system of Maxwell equations into account is proposed.
|
| first_indexed | 2025-11-29T10:19:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 537.226.86
© 2009
Член-кореспондент НАН України М. О. Шульга
Про повну систему рiвнянь електропружностi
Запропоновано нову узагальнену систему рiвнянь електропружностi, в якiй враховує-
ться повна система рiвнянь Максвелла.
В теорiї електропружностi загальноприйнятим є використання системи рiвнянь коливань
деформацiй твердого тiла та квазiстатичного наближення рiвнянь Максвелла для електрич-
ного поля разом з матерiальними залежностями для п’єзоелектричних матерiалiв. В зв’яз-
ку з цим в теоретичних дослiдженнях виникають питання щодо оцiнки такого наближення
i розширення теорiї до меж застосування повної системи рiвнянь Максвелла. Цим питан-
ням присвячена дана робота, в якiй, на вiдмiну вiд запропонованого ранiше наближеного
варiанта [2], формулюється вiльна вiд прийнятих в [2] припущень повна система рiвнянь
електропружностi.
Загальноприйнята система рiвнянь електропружностi складається [2–4 та iн.] з механiч-
них рiвнянь коливань суцiльного середовища
ρ
∂2uk
∂t2
=
∂σk1
∂x1
+
∂σk2
∂x2
+
∂σk3
∂x3
, k = 1, 2, 3, (1)
i квазiстатичного наближення рiвнянь Максвелла для речовини вiдносно компонент елект-
ричного поля
∇ ·D = 0, ∇× E = 0. (2)
Для поляризованої вздовж осi ox3 п’єзоелектричної керамiки (п’єзокерамiки) i п’єзо-
електрикiв гексагональної системи класу 6mm з вiссю симетрiї шостого порядку ox3 рiв-
няння (1), (2) замикаються матерiальними залежностями (2c66 = c11 − c12)
σ11 = c11
∂u1
∂x1
+ c12
∂u2
∂x2
+ c13
∂u3
∂x3
− e13E3,
σ22 = c21
∂u1
∂x1
+ c11
∂u2
∂x2
+ c13
∂u3
∂x3
− e13E3,
σ33 = c31
∂u1
∂x1
+ c31
∂u2
∂x2
+ c33
∂u3
∂x3
− e33E3,
σ23 = c44
(
∂u3
∂x2
+
∂u2
∂x3
)
− e51E2,D1 = ε11E1 + e15
(
∂u3
∂x1
+
∂u1
∂x3
)
,
σ31 = c44
(
∂u3
∂x1
+
∂u1
∂x3
)
− e51E1,D2 = ε11E2 + e15
(
∂u3
∂x2
+
∂u2
∂x3
)
,
σ12 = c66
(
∂u2
∂x1
+
∂u1
∂x2
)
, D3 = ε33E3 + e31
(
∂u1
∂x1
+
∂u2
∂x2
)
+ e33
∂u3
∂x3
,
(3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 95
в яких врахованi формули Кошi для деформацiй
∂ui
∂xk
+
∂uk
∂xi
= 2Kik. (4)
Застосування в теорiї квазiстатичного наближення (2) i нехтування магнiтним полем
якоюсь мiрою звужує межi застосування моделi (1)–(4). Для виявлення ефектiв, якi не
охоплюються рiвняннями (1)–(4), визначення меж їх застосування потрiбно звернутися до
повної системи рiвнянь Максвелла. В такому разi можливi рiзнi варiанти формулювання
зв’язаної задачi. Один з них, близький за своєю iдеологiєю до рiвнянь (1)–(4), пропонується
нижче.
З цiєю метою доповнимо систему рiвнянь (1), (3), (4) не квазiстатичним наближен-
ням (2), а повною системою рiвнянь Максвелла, якi запишемо у виглядi двох пар рiв-
нянь [1, 3, 4]
rotE = −
∂B
∂t
, divB = 0, (5)
rotH = i +
∂D
∂t
, divD = ρ. (6)
Другi рiвняння цих пар є наслiдком перших рiвнянь, враховуючи умову неперервностi
∂ρ
∂t
+ div i = 0. (7)
Використовуючи матерiальну залежнiсть
B = µH, (8)
з перших двох рiвнянь (5) i (6) при i = 0, а значить i ρ = 0, одержимо
µ
∂2D
∂t2
= − rot rotE. (9)
Користуючись тотожнiстю rot rotE = −∆E + grad divE, де ∆ — оператор Лапласа,
перетворимо спiввiдношення (9) до вигляду
µ
∂2D
∂t2
= ∆E − grad divE. (10)
Для подальших перетворень матерiальним залежностям (3) надамо вигляду (2cD
66 =
= cD
11 − cD
12)
σ11 = cD
11
∂u1
∂x1
+ cD
12
∂u2
∂x2
+ cD
13
∂u3
∂x3
− h13D3,
σ22 = cD
12
∂u1
∂x1
+ cD
11
∂u2
∂x2
+ cD
13
∂u3
∂x3
− h13D3,
σ33 = cD
13
∂u1
∂x1
+ cD
13
∂u2
∂x2
+ cD
33
∂u3
∂x3
− h33D3,
σ23 = cD
44
(
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
)
− h15D2, E1 = βS
11D1 − h15
(
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
)
,
(11)
96 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
σ31 = cD
44
(
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
)
− h15D1, E2 = βS
11D2 − h15
(
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
)
,
σ12 = cD
66
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
, E3 = βS
33D3 − h13
∂u1
∂x1
− h13
∂u2
∂x2
− h33
∂u3
∂x3
.
У формулах (11) модулi пружностi при сталiй електричнiй iндукцiї cD
ij , оберненi дiелект-
ричнi проникностi при сталiй деформацiї βS
ii i п’єзоелектричнi модулi hij пов’язанi з моду-
лями пружностi при сталiй електричнiй напруженостi cE
ij , дiелектричними проникностями
при сталих деформацiях εS
ii i п’єзоелектричними модулями eij вiдомими [3, 4] залежностями
cD
11 = cE
11 +
e2
13
εS
33
, cD
12 = cE
12 +
e2
13
εS
33
, cD
13 = cE
13 +
e13e33
εS
33
,
cD
33 = cE
33 +
e2
33
εS
33
, cD
44 = cE
44 +
e2
15
εS
11
, cD
66 = cE
66,
βS
11 =
1
εS
11
, βS
33 =
1
εS
33
, h13 =
e13
εS
33
, h33 =
e33
εS
33
, h15 =
e15
εS
11
.
(12)
Таким чином, спiввiдношення (1), (10), (11) є загальною системою п’ятнадцяти рiвнянь
електропружностi вiдносно п’ятнадцяти невiдомих uj, σij, Ej, Dj .
Для визначення векторiв магнiтного поля треба скористатися залежностями
∂B
∂t
= −rotE, H = µ−1
B. (13)
Якщо врахувати анiзотропiю магнiтних властивостей i замiсть (8) скористатися мате-
рiальними залежностями
B1 = µ11H1, B2 = µ11H2, B3 = µ33H3, (14)
то замiсть (9) одержимо рiвняння
∂2D1
∂t2
= −µ−1
33
∂
∂x2
(
∂E2
∂x1
−
∂E1
∂x2
)
+ µ−1
11
∂
∂x3
(
∂E1
∂x3
−
∂E3
∂x1
)
,
∂2D2
∂t2
= −µ−1
11
∂
∂x3
(
∂E3
∂x2
−
∂E2
∂x3
)
+ µ−1
33
∂
∂x1
(
∂E2
∂x1
−
∂E1
∂x2
)
,
∂2D3
∂t2
= −µ−1
11
∂
∂x1
(
∂E1
∂x3
−
∂E3
∂x1
)
+ µ−1
11
∂
∂x2
(
∂E3
∂x2
−
∂E2
∂x3
)
.
(15)
Розглянемо систему п’ятнадцяти спiввiдношень (1), (11), (15) вiдносно невiдомих u1, u2,
u3, σ11, σ22, σ33, σ23, σ31, σ12, E1, E2, E3, D1, D2, D3.
Для визначення векторiв магнiтного поля слiд скористатися залежностями
∂B
∂t
= − rotE, H1 = µ−1
11
B1, H2 = µ−1
11
B2, H3 = µ−1
33
B3. (16)
Таким чином, якщо загальноприйнята система рiвнянь електропружностi (1)–(3) зво-
диться [2–4] до чотирьох рiвнянь типу Ламе
ρ
∂2uk
∂t2
= Lk(u1, u2, u3, ϕ), 0 = L4(u1, u2, u3, ϕ), k = 1, 2, 3, (17)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 97
вiдносно компонент вектора механiчних перемiщень uk(x1, x2, x3, t) i електричного потен-
цiалу ϕ(x1, x2, x3, t), який вводиться градiєнтним розв’язком E = −gradϕ другого з рiв-
нянь (2), то в запропонованому варiантi подiбними перетвореннями повна система рiвнянь
електропружностi (1), (11), (15) зводиться до шести рiвнянь вiдносно трьох компонент век-
тора механiчних перемiщень uk(x1, x2, x3, t) i трьох компонент вектора електричної iндукцiї
Dk(x1, x2, x3, t).
1. Кузьмичев В.Е. Законы и формулы физики. – Киев: Наук. думка, 1989. – 864 с.
2. Шульга М.О. Про структуру рiвнянь електропружностi // Доп. НАН України. – 2008. – № 4. –
С. 81–85.
3. Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезокерамических тел. – Київ: Наук. думка, 1990. – 228 с.
4. Шульга М.О., Карлаш В.Л. Резонанснi електромеханiчнi коливання п’єзоелектричних пластин. –
Київ: Наук. думка, 2007. – 186 с.
Надiйшло до редакцiї 12.06.2008Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
Corresponding Member of the NAS of Ukraine М. О. Shul’ga
On the complete system of electroelasticity equations
A new generalized system of electroelasticity equations taking the complete system of Maxwell
equations into account is proposed.
98 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7997 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-29T10:19:38Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шульга, М.О. 2010-04-26T14:21:44Z 2010-04-26T14:21:44Z 2009 Про повну систему рівнянь електропружності / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 95-98. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7997 537.226.86 Запропоновано нову узагальнену систему рiвнянь електропружностi, в якiй враховується повна система рiвнянь Максвелла. A new generalized system of electroelasticity equations taking the complete system of Maxwell equations into account is proposed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Про повну систему рівнянь електропружності On the complete system of electroelasticity equations Article published earlier |
| spellingShingle | Про повну систему рівнянь електропружності Шульга, М.О. Механіка |
| title | Про повну систему рівнянь електропружності |
| title_alt | On the complete system of electroelasticity equations |
| title_full | Про повну систему рівнянь електропружності |
| title_fullStr | Про повну систему рівнянь електропружності |
| title_full_unstemmed | Про повну систему рівнянь електропружності |
| title_short | Про повну систему рівнянь електропружності |
| title_sort | про повну систему рівнянь електропружності |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7997 |
| work_keys_str_mv | AT šulʹgamo propovnusistemurívnânʹelektropružností AT šulʹgamo onthecompletesystemofelectroelasticityequations |