К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей
Одержано оцiнки найменшого значення гауссової кривизни на строго випуклiй поверхнi за двома її параметрами.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7999 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей / В.И. Бабенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 7-11. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7999 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-79992025-02-09T13:33:44Z К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей On the estimate of the Gauss curvature of strictly convex surfaces Бабенко, В.И. Математика Одержано оцiнки найменшого значення гауссової кривизни на строго випуклiй поверхнi за двома її параметрами. The estimates for a minimum of the Gauss curvature on a strictly convex surface by its two parameters are obtained. 2009 Article К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей / В.И. Бабенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 7-11. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7999 514.7 ru application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Бабенко, В.И. К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей |
| description |
Одержано оцiнки найменшого значення гауссової кривизни на строго випуклiй поверхнi за двома її параметрами. |
| format |
Article |
| author |
Бабенко, В.И. |
| author_facet |
Бабенко, В.И. |
| author_sort |
Бабенко, В.И. |
| title |
К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей |
| title_short |
К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей |
| title_full |
К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей |
| title_fullStr |
К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей |
| title_full_unstemmed |
К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей |
| title_sort |
к оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7999 |
| citation_txt |
К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей / В.И. Бабенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 7-11. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT babenkovi kocenkegaussovojkriviznystrogovypuklyhpoverhnostej AT babenkovi ontheestimateofthegausscurvatureofstrictlyconvexsurfaces |
| first_indexed |
2025-11-26T07:52:28Z |
| last_indexed |
2025-11-26T07:52:28Z |
| _version_ |
1849838597511839744 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2009
МАТЕМАТИКА
УДК 514.7
© 2009
В.И. Бабенко
К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых
поверхностей
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
Одержано оцiнки найменшого значення гауссової кривизни на строго випуклiй поверхнi
за двома її параметрами.
В геометрической теории устойчивости оболочек [1] вопрос об определении критического
давления для строго выпуклой, замкнутой (или жестко закрепленной вдоль края) оболочки
сводится к отысканию минимума гауссовой кривизны ее срединной поверхности [1–3]. В при-
веденных в [1, 3] примерах рассматривались простейшие формы оболочки. Вместе с тем при
проектировании тонкостенных конструкций, когда заданы лишь некоторые ограничения на
размеры оболочки, могут оказаться полезными априорные оценки для критических нагру-
зок — в нашем случае для гауссовой кривизны срединной поверхности оболочки. В данной
работе приведен ряд таких оценок, которые можно рассматривать как обобщение известных
результатов О. Бонне и В. Бляшке [4]. Именно, доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть K — гауссова кривизна замкнутой строго выпуклой поверхности F ,
ограничивающей тело, диаметр и объем которого не меньше соответственно D и V , где
V 6 πD3/6. Пусть K0 — гауссова кривизна веретенообразной поверхности вращения F0,
ограничивающей тело с объемом V и диаметром D. Тогда справедлива следующая оценка
minK 6 K0, (1)
где минимум берется по всем точкам поверхности F . Если V = πD3/6, то F0 — сфера
и в (1) имеет место равенство, когда F совпадает с F0. Если же V < πD3/6, то в (1)
строгое неравенство, а K0 — точная верхняя граница значений min K, к которой можно
подойти сколь угодно близко, беря поверхность F достаточно близкой к F0.
Доказательство. Пусть теорема неверна. Т. е. предположим, что существует удовлет-
воряющая условиям теоремы поверхность F̃ , гауссова кривизна которой
K̃ > K0, (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 7
где равенство возможно, если V < πD3/6. Пусть P и Q — точки поверхности F̃ , расстоя-
ние между которыми равно ее диаметру D. Переведем с помощью симметризации Шварца
ограниченное поверхностью F̃ тело L̃ в тело вращения L′ с осью вращения, проходящей
через точки P и Q. Затем тело L′ с помощью симметризации Штейнера переводим в те-
ло вращения L, симметричное относительно плоскости α, перпендикулярной отрезку PQ
и проходящей через его середину. Ограничивающая тело L поверхность вращения F , как
и F̃ , удовлетворяет условиям теоремы; ее гауссова кривизна K > K0; а так как радиус ее
экватора R 6 1/
√
K, то R 6 1/
√
K0 [4, § 25].
Пусть F 0 — веретенообразная поверхность вращения с гауссовой кривизной K0 име-
ет с поверхностью F общие ось вращения, экваториальную плоскость α, радиус экватора
R. Тогда тело L будет содержаться в теле L0, ограниченном поверхностью F 0 [4, с. 157].
Поэтому диаметры D и D0 соответственно тел L и L0 и их объемы V и V 0 подчинены
неравенствам
D < D0, V < V 0. (3)
Отсюда, в частности, следует, что R < R0, где R0 — радиус экватора поверхности F0,
о которой идет речь в формулировке теоремы. Действительно, пусть R > R0. Имеем [4]
D0 = 2
π/2∫
0
√
1
K0
− R
2
sin2 σdσ 6 2
π/2∫
0
√
1
K0
− R2
0
sin2 σdσ = D.
Поэтому D < D, что противоречит условиям теоремы.
Далее
V 0(R) = 2πR
2
π/2∫
0
cos2 σ
√
1
K0
− R
2
sin2 σdσ.
Нетрудно убедиться в том, что dV 0/dR > 0, поэтому V 0(R) < V 0(R0) = V . Отсюда с уче-
том (3) заключаем, что V < V , т. е. поверхность F , а значит и F̃ , не удовлетворяет условиям
теоремы, поэтому предположение (2) неверно. Теорема 1 доказана.
Таким же образом доказывается и следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть K — гауссова кривизна замкнутой строго выпуклой поверхности F ,
ограничивающей тело L, диаметр которого не меньше D; P и Q — точки на F , расстояние
между которыми равно диаметру тела L. Пусть максимальная площадь сечений тела L
плоскостями, ортогональными отрезку PQ, не меньше S, где S 6 πD2/4. Тогда
minK 6 K0, (4)
где минимум берется по всем точкам поверхности F , а K0 — гауссова кривизна вере-
тенообразной поверхности вращения F0 с диаметром D и радиусом экватора
√
S/π. Если
S = πD2/4, то F0 — сфера и в (4) имеет место равенство, когда F совпадает с F0. Если же
S < πD2/4, то в (4) строгое неравенство, а K0 — точная верхняя граница значений min K,
к которой можно подойти сколь угодно близко, беря поверхность F близкой к F0.
Теорема 3. Пусть K — гауссова кривизна односвязной строго выпуклой поверхнос-
ти F с высотой H и с плоским краем, ограничивающим область площадью S. Пусть среди
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
всех веретенообразных поверхностей вращения, содержащих осесимметричный сегмент
с высотой H и с радиусом основания r =
√
S/π, поверхность F ′ с таким сегментом F 0
имеет наибольшую гауссову кривизну K0. Тогда
minK 6 K0, (5)
где минимум берется по всем точкам поверхности F . При H 6 r F 0 — сферический
сегмент Fs c радиусом кривизны R = (r2 + H2)/2H и в (5) имеет место равенство, если
F совпадает с Fs. При H > r F 0 — колпак, несовпадающий с Fs(K
0 > 1/R2), и в (5) имеет
место строгое неравенство, в котором сколь угодно близко можно подойти к равенству,
беря поверхность F достаточно близкой к F 0.
Доказательство теоремы 3. Допустим, что теорема неверна. Т. е. существует поверх-
ность F̃ , для которой выполняются условия теоремы, но для ее гауссовой кривизны вмес-
то (5) имеет место ограничение
K̃ > K0, (6)
где знак равенства возможен лишь при H/r > 1, поэтому K̃ > 1/R2 при любых значе-
ниях H/r.
Обозначим через α плоскость края поверхности F̃ . Введем декартову систему координат
(x, y, z), приняв плоскость α за координатную — xy. Ось z направим в сторону поверхнос-
ти F̃ . Переведем с помощью симметризации Шварца ограниченное поверхностью F̃ и пло-
скостью α выпуклое тело L̃ в тело вращения L, которое имеет ось вращения — ось z, огра-
ничено плоскостью α и выпуклой поверхностью, которую обозначим через F . Поверхность
вращения F будет иметь высоту H, ее край ∂F — окружность с радиусом кривизны r —
лежит в плоскости α. Пусть K — гауссова кривизна поверхности F , тогда [4, c. 144]
K > K̃ >
1
R2
. (7)
Вместе с поверхностью F рассмотрим сферический сегмент Fs с высотой H и радиусом
основания r. Расположим их так, чтобы они имели общую ось вращения — ось z и общий
край ∂F . Тогда они будут иметь и общую вершину Os — точку их касания. Дополним
сегмент Fs до сферы, а F — до замкнутой строго выпуклой поверхности вращения так,
чтобы была непрерывной ее гауссова кривизна, для которой сохраним прежнее обозначе-
ние K, и чтобы она удовлетворяла условию (7), точнее K > 1/R2 и K > K0 при H/r > 1.
Для замкнутых поверхностей принимаем обозначения их сегментов Fs и F соответственно.
Пусть Cs и C — меридиальные сечения y = 0 соответственно поверхностей Fs и F . Зададим
кривые Cs и C в параметрической форме x = xs(τ), z = zs(τ) и x = x(τ), z = z(τ) со-
ответственно. В качестве параметра τ примем угол между положительным направлением
оси x и касательной к кривой с началом отсчета τ = 0 в вершине Os. Для x > 0 τ ∈ [0, π].
Покажем, что на интервале 0 < τ 6 π/2
x(τ) < xs(τ). (8)
Спроектируем на плоскость α(z = 0) сегменты поверхностей Fs и F , полученные вра-
щением вокруг оси z частей кривых Cs и C, соответствующих значениям параметра от 0
до τ 6 π/2. Площади их проекций равны:
π[xs(τ)]2 =
∫∫
R2 cos τdω, (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 9
π[x(τ)]2 =
∫∫
cos τ
K
dω, (10)
где dω — элемент площади сферического изображения поверхности, интегрирование рас-
пространяется на соответствующие сегменты сферических изображений. Сравнивая правые
части равенств (9), (10) и учитывая при этом (7), убеждаемся в справедливости утвержде-
ния (8) для 0 < τ 6 π/2. Аналогично устанавливается его справедливость и для τ > π/2.
Для радиусов кривизны ρ(τ) и ρs(τ) ≡ R кривых C и Cs непосредственно из (7) следует,
что при τ = 0 имеет место неравенство
ρ(τ) < ρs(τ),
которое будет справедливо и в некоторой окрестности точки τ = 0, т. е. кривая C каса-
ется окружности Cs в вершине «изнутри» так, что некоторая окрестность точки τ = 0
кривой C лежит в круге Ms, ограниченном окружностью Cs. Кривая C целиком не прина-
длежит кругу Ms и не касается окружности Cs при τ > 0, поэтому при некотором значении
параметра τ = τ∗ кривая C пересечет окружность Cs так, что часть дуги τ < τ∗ кри-
вой C будет принадлежать кругу Ms. Обозначим через P ∗ точку этого пересечения, а через
τ∗
s — значение параметра τ на Cs в точке P ∗. Тогда для τ∗
s 6 π/2 будем иметь τ∗ < τ∗
s ,
поэтому xs(τ
∗) < xs(τ
∗
s ) = x(τ∗), что противоречит неравенству (8). Итак, кривая C не
может пересечь окружность Cs при τ∗
s 6 π/2. Отсюда, в частности, следует, что при H 6 r
сферический сегмент Fs не может иметь общий край с сегментом поверхности F , гауссова
кривизна которой удовлетворяет ограничению (7); т. е. теорема доказана для случая H 6 r.
Далее рассмотрим случай H > r. Заметим, что при τ > τ∗ кривая C более не будет иметь
общих точек с кругом Ms, так как в противном случае она пересечет его границу в неко-
торой точке P ∗∗. Пусть в этой точке значение параметра τ на C равно τ∗∗, а на Cs — τ∗∗
s .
Тогда τ∗∗ > τ∗∗
s , поэтому x(τ∗∗) = xs(τ
∗∗
s ) > xs(τ
∗∗), что противоречит неравенству (8).
Т. е. поверхность F может пересечь сферу Fs только вдоль края ее сегмента τ = τ∗
s > π/2,
поэтому x(τ∗) = xs(τ
∗
s ) = r и точка P ∗
∈ ∂F .
Покажем теперь, что τ∗ > π/2. Действительно, пусть τ∗
6 π/2, а F̃0 — веретенообраз-
ная поверхность вращения, для которой: ось z — ось вращения, сечение z = 0 — экватор
радиуса r, 1/R2 — гауссова кривизна, x = x̃0(τ) и z = z̃0(τ) — параметрическое задание ее
сечения C̃0 плоскостью y = 0. Тогда ее диаметр
D̃0 = 2
π/2∫
0
√
R2 − r2 sin2 σdσ < 2(R +
√
R2 − r2) = 2H. (11)
Сравним площади проекций на плоскость z = 0 поясов поверхностей F и F̃0, полученных
при вращении частей сечений C и C̃0, соответствующих значениям параметра от τ до τ∗.
π(r2
− x2(τ)) =
τ∗∫
τ
cos τ
K
dω̃ <
τ∗∫
τ
R2 cos τdω̃ <
π/2∫
τ
R2 cos τdω̃ = π(r2
− x̃0(τ)), (12)
где dω̃ = 2π sin τdτ — элемент площади пояса сферического изображения поверхности.
Из (12) следует, что x̃0(τ) < x(τ), поэтому [4, c. 159] поверхность F лежит внутри поверх-
ности F̃0. Но тогда, учитывая (11), заключаем, что высота сегмента τ 6 τ∗ поверхности
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
F меньше H, что противоречит условию теоремы. Значит, вдоль края ∂F τ∗
s > τ∗ > π/2,
т. е. сегмент z > 0 поверхности F — выпуклый колпак.
Обозначим через R радиус экватора поверхности F (R = x(π/2) < R), а через F
0
— ве-
ретенообразную поверхность вращения с радиусом экватора R, содержащую осесимметрич-
ный сегмент с радиусом основания r и с высотой H. Пусть K
0
— гауссова кривизна поверх-
ности F
0
. Тогда согласно условиям теоремы и ограничениям (6), (7) имеем K
0
6 K0 < K.
Поэтому [4, § 25, п. VIII] поверхность F лежит внутри поверхности F
0
, следовательно,
высота сегмента z > 0 поверхности F меньше H. Теорема 3 доказана.
Автор благодарит А.Д. Милку и А.И. Медяника за полезные обсуждения работы.
1. Погорелов А.В. Геометрическая теория устойчивости оболочек. – Москва: Наука, 1966. – 296 с.
2. Бабенко В.И. К геометрической теории потери устойчивости жестко закрепленных строго выпуклых
оболочек при внешнем давлении // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1983. – № 7. – С. 46–49.
3. Погорелов А. В. Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек. – Киев: Наук. думка, 1988. – 199 с.
4. Бляшке В. Круг и шар. – Москва: Наука, 1967. – 232 с.
Поступило в редакцию 07.07.2008Физико-технический институт низких температур
им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков
V. I. Babenko
On the estimate of the Gauss curvature of strictly convex surfaces
The estimates for a minimum of the Gauss curvature on a strictly convex surface by its two
parameters are obtained.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 11
|