К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей
Одержано оцiнки найменшого значення гауссової кривизни на строго випуклiй поверхнi за двома її параметрами. The estimates for a minimum of the Gauss curvature on a strictly convex surface by its two parameters are obtained....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7999 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей / В.И. Бабенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 7-11. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7999 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бабенко, В.И. 2010-04-26T14:25:19Z 2010-04-26T14:25:19Z 2009 К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей / В.И. Бабенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 7-11. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7999 514.7 Одержано оцiнки найменшого значення гауссової кривизни на строго випуклiй поверхнi за двома її параметрами. The estimates for a minimum of the Gauss curvature on a strictly convex surface by its two parameters are obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей On the estimate of the Gauss curvature of strictly convex surfaces Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей |
| spellingShingle |
К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей Бабенко, В.И. Математика |
| title_short |
К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей |
| title_full |
К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей |
| title_fullStr |
К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей |
| title_full_unstemmed |
К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей |
| title_sort |
к оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей |
| author |
Бабенко, В.И. |
| author_facet |
Бабенко, В.И. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On the estimate of the Gauss curvature of strictly convex surfaces |
| description |
Одержано оцiнки найменшого значення гауссової кривизни на строго випуклiй поверхнi за двома її параметрами.
The estimates for a minimum of the Gauss curvature on a strictly convex surface by its two parameters are obtained.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7999 |
| citation_txt |
К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей / В.И. Бабенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 7-11. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT babenkovi kocenkegaussovoikriviznystrogovypuklyhpoverhnostei AT babenkovi ontheestimateofthegausscurvatureofstrictlyconvexsurfaces |
| first_indexed |
2025-11-26T07:52:28Z |
| last_indexed |
2025-11-26T07:52:28Z |
| _version_ |
1850614797749452800 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2009
МАТЕМАТИКА
УДК 514.7
© 2009
В.И. Бабенко
К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых
поверхностей
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
Одержано оцiнки найменшого значення гауссової кривизни на строго випуклiй поверхнi
за двома її параметрами.
В геометрической теории устойчивости оболочек [1] вопрос об определении критического
давления для строго выпуклой, замкнутой (или жестко закрепленной вдоль края) оболочки
сводится к отысканию минимума гауссовой кривизны ее срединной поверхности [1–3]. В при-
веденных в [1, 3] примерах рассматривались простейшие формы оболочки. Вместе с тем при
проектировании тонкостенных конструкций, когда заданы лишь некоторые ограничения на
размеры оболочки, могут оказаться полезными априорные оценки для критических нагру-
зок — в нашем случае для гауссовой кривизны срединной поверхности оболочки. В данной
работе приведен ряд таких оценок, которые можно рассматривать как обобщение известных
результатов О. Бонне и В. Бляшке [4]. Именно, доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть K — гауссова кривизна замкнутой строго выпуклой поверхности F ,
ограничивающей тело, диаметр и объем которого не меньше соответственно D и V , где
V 6 πD3/6. Пусть K0 — гауссова кривизна веретенообразной поверхности вращения F0,
ограничивающей тело с объемом V и диаметром D. Тогда справедлива следующая оценка
minK 6 K0, (1)
где минимум берется по всем точкам поверхности F . Если V = πD3/6, то F0 — сфера
и в (1) имеет место равенство, когда F совпадает с F0. Если же V < πD3/6, то в (1)
строгое неравенство, а K0 — точная верхняя граница значений min K, к которой можно
подойти сколь угодно близко, беря поверхность F достаточно близкой к F0.
Доказательство. Пусть теорема неверна. Т. е. предположим, что существует удовлет-
воряющая условиям теоремы поверхность F̃ , гауссова кривизна которой
K̃ > K0, (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 7
где равенство возможно, если V < πD3/6. Пусть P и Q — точки поверхности F̃ , расстоя-
ние между которыми равно ее диаметру D. Переведем с помощью симметризации Шварца
ограниченное поверхностью F̃ тело L̃ в тело вращения L′ с осью вращения, проходящей
через точки P и Q. Затем тело L′ с помощью симметризации Штейнера переводим в те-
ло вращения L, симметричное относительно плоскости α, перпендикулярной отрезку PQ
и проходящей через его середину. Ограничивающая тело L поверхность вращения F , как
и F̃ , удовлетворяет условиям теоремы; ее гауссова кривизна K > K0; а так как радиус ее
экватора R 6 1/
√
K, то R 6 1/
√
K0 [4, § 25].
Пусть F 0 — веретенообразная поверхность вращения с гауссовой кривизной K0 име-
ет с поверхностью F общие ось вращения, экваториальную плоскость α, радиус экватора
R. Тогда тело L будет содержаться в теле L0, ограниченном поверхностью F 0 [4, с. 157].
Поэтому диаметры D и D0 соответственно тел L и L0 и их объемы V и V 0 подчинены
неравенствам
D < D0, V < V 0. (3)
Отсюда, в частности, следует, что R < R0, где R0 — радиус экватора поверхности F0,
о которой идет речь в формулировке теоремы. Действительно, пусть R > R0. Имеем [4]
D0 = 2
π/2∫
0
√
1
K0
− R
2
sin2 σdσ 6 2
π/2∫
0
√
1
K0
− R2
0
sin2 σdσ = D.
Поэтому D < D, что противоречит условиям теоремы.
Далее
V 0(R) = 2πR
2
π/2∫
0
cos2 σ
√
1
K0
− R
2
sin2 σdσ.
Нетрудно убедиться в том, что dV 0/dR > 0, поэтому V 0(R) < V 0(R0) = V . Отсюда с уче-
том (3) заключаем, что V < V , т. е. поверхность F , а значит и F̃ , не удовлетворяет условиям
теоремы, поэтому предположение (2) неверно. Теорема 1 доказана.
Таким же образом доказывается и следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть K — гауссова кривизна замкнутой строго выпуклой поверхности F ,
ограничивающей тело L, диаметр которого не меньше D; P и Q — точки на F , расстояние
между которыми равно диаметру тела L. Пусть максимальная площадь сечений тела L
плоскостями, ортогональными отрезку PQ, не меньше S, где S 6 πD2/4. Тогда
minK 6 K0, (4)
где минимум берется по всем точкам поверхности F , а K0 — гауссова кривизна вере-
тенообразной поверхности вращения F0 с диаметром D и радиусом экватора
√
S/π. Если
S = πD2/4, то F0 — сфера и в (4) имеет место равенство, когда F совпадает с F0. Если же
S < πD2/4, то в (4) строгое неравенство, а K0 — точная верхняя граница значений min K,
к которой можно подойти сколь угодно близко, беря поверхность F близкой к F0.
Теорема 3. Пусть K — гауссова кривизна односвязной строго выпуклой поверхнос-
ти F с высотой H и с плоским краем, ограничивающим область площадью S. Пусть среди
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
всех веретенообразных поверхностей вращения, содержащих осесимметричный сегмент
с высотой H и с радиусом основания r =
√
S/π, поверхность F ′ с таким сегментом F 0
имеет наибольшую гауссову кривизну K0. Тогда
minK 6 K0, (5)
где минимум берется по всем точкам поверхности F . При H 6 r F 0 — сферический
сегмент Fs c радиусом кривизны R = (r2 + H2)/2H и в (5) имеет место равенство, если
F совпадает с Fs. При H > r F 0 — колпак, несовпадающий с Fs(K
0 > 1/R2), и в (5) имеет
место строгое неравенство, в котором сколь угодно близко можно подойти к равенству,
беря поверхность F достаточно близкой к F 0.
Доказательство теоремы 3. Допустим, что теорема неверна. Т. е. существует поверх-
ность F̃ , для которой выполняются условия теоремы, но для ее гауссовой кривизны вмес-
то (5) имеет место ограничение
K̃ > K0, (6)
где знак равенства возможен лишь при H/r > 1, поэтому K̃ > 1/R2 при любых значе-
ниях H/r.
Обозначим через α плоскость края поверхности F̃ . Введем декартову систему координат
(x, y, z), приняв плоскость α за координатную — xy. Ось z направим в сторону поверхнос-
ти F̃ . Переведем с помощью симметризации Шварца ограниченное поверхностью F̃ и пло-
скостью α выпуклое тело L̃ в тело вращения L, которое имеет ось вращения — ось z, огра-
ничено плоскостью α и выпуклой поверхностью, которую обозначим через F . Поверхность
вращения F будет иметь высоту H, ее край ∂F — окружность с радиусом кривизны r —
лежит в плоскости α. Пусть K — гауссова кривизна поверхности F , тогда [4, c. 144]
K > K̃ >
1
R2
. (7)
Вместе с поверхностью F рассмотрим сферический сегмент Fs с высотой H и радиусом
основания r. Расположим их так, чтобы они имели общую ось вращения — ось z и общий
край ∂F . Тогда они будут иметь и общую вершину Os — точку их касания. Дополним
сегмент Fs до сферы, а F — до замкнутой строго выпуклой поверхности вращения так,
чтобы была непрерывной ее гауссова кривизна, для которой сохраним прежнее обозначе-
ние K, и чтобы она удовлетворяла условию (7), точнее K > 1/R2 и K > K0 при H/r > 1.
Для замкнутых поверхностей принимаем обозначения их сегментов Fs и F соответственно.
Пусть Cs и C — меридиальные сечения y = 0 соответственно поверхностей Fs и F . Зададим
кривые Cs и C в параметрической форме x = xs(τ), z = zs(τ) и x = x(τ), z = z(τ) со-
ответственно. В качестве параметра τ примем угол между положительным направлением
оси x и касательной к кривой с началом отсчета τ = 0 в вершине Os. Для x > 0 τ ∈ [0, π].
Покажем, что на интервале 0 < τ 6 π/2
x(τ) < xs(τ). (8)
Спроектируем на плоскость α(z = 0) сегменты поверхностей Fs и F , полученные вра-
щением вокруг оси z частей кривых Cs и C, соответствующих значениям параметра от 0
до τ 6 π/2. Площади их проекций равны:
π[xs(τ)]2 =
∫∫
R2 cos τdω, (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 9
π[x(τ)]2 =
∫∫
cos τ
K
dω, (10)
где dω — элемент площади сферического изображения поверхности, интегрирование рас-
пространяется на соответствующие сегменты сферических изображений. Сравнивая правые
части равенств (9), (10) и учитывая при этом (7), убеждаемся в справедливости утвержде-
ния (8) для 0 < τ 6 π/2. Аналогично устанавливается его справедливость и для τ > π/2.
Для радиусов кривизны ρ(τ) и ρs(τ) ≡ R кривых C и Cs непосредственно из (7) следует,
что при τ = 0 имеет место неравенство
ρ(τ) < ρs(τ),
которое будет справедливо и в некоторой окрестности точки τ = 0, т. е. кривая C каса-
ется окружности Cs в вершине «изнутри» так, что некоторая окрестность точки τ = 0
кривой C лежит в круге Ms, ограниченном окружностью Cs. Кривая C целиком не прина-
длежит кругу Ms и не касается окружности Cs при τ > 0, поэтому при некотором значении
параметра τ = τ∗ кривая C пересечет окружность Cs так, что часть дуги τ < τ∗ кри-
вой C будет принадлежать кругу Ms. Обозначим через P ∗ точку этого пересечения, а через
τ∗
s — значение параметра τ на Cs в точке P ∗. Тогда для τ∗
s 6 π/2 будем иметь τ∗ < τ∗
s ,
поэтому xs(τ
∗) < xs(τ
∗
s ) = x(τ∗), что противоречит неравенству (8). Итак, кривая C не
может пересечь окружность Cs при τ∗
s 6 π/2. Отсюда, в частности, следует, что при H 6 r
сферический сегмент Fs не может иметь общий край с сегментом поверхности F , гауссова
кривизна которой удовлетворяет ограничению (7); т. е. теорема доказана для случая H 6 r.
Далее рассмотрим случай H > r. Заметим, что при τ > τ∗ кривая C более не будет иметь
общих точек с кругом Ms, так как в противном случае она пересечет его границу в неко-
торой точке P ∗∗. Пусть в этой точке значение параметра τ на C равно τ∗∗, а на Cs — τ∗∗
s .
Тогда τ∗∗ > τ∗∗
s , поэтому x(τ∗∗) = xs(τ
∗∗
s ) > xs(τ
∗∗), что противоречит неравенству (8).
Т. е. поверхность F может пересечь сферу Fs только вдоль края ее сегмента τ = τ∗
s > π/2,
поэтому x(τ∗) = xs(τ
∗
s ) = r и точка P ∗
∈ ∂F .
Покажем теперь, что τ∗ > π/2. Действительно, пусть τ∗
6 π/2, а F̃0 — веретенообраз-
ная поверхность вращения, для которой: ось z — ось вращения, сечение z = 0 — экватор
радиуса r, 1/R2 — гауссова кривизна, x = x̃0(τ) и z = z̃0(τ) — параметрическое задание ее
сечения C̃0 плоскостью y = 0. Тогда ее диаметр
D̃0 = 2
π/2∫
0
√
R2 − r2 sin2 σdσ < 2(R +
√
R2 − r2) = 2H. (11)
Сравним площади проекций на плоскость z = 0 поясов поверхностей F и F̃0, полученных
при вращении частей сечений C и C̃0, соответствующих значениям параметра от τ до τ∗.
π(r2
− x2(τ)) =
τ∗∫
τ
cos τ
K
dω̃ <
τ∗∫
τ
R2 cos τdω̃ <
π/2∫
τ
R2 cos τdω̃ = π(r2
− x̃0(τ)), (12)
где dω̃ = 2π sin τdτ — элемент площади пояса сферического изображения поверхности.
Из (12) следует, что x̃0(τ) < x(τ), поэтому [4, c. 159] поверхность F лежит внутри поверх-
ности F̃0. Но тогда, учитывая (11), заключаем, что высота сегмента τ 6 τ∗ поверхности
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
F меньше H, что противоречит условию теоремы. Значит, вдоль края ∂F τ∗
s > τ∗ > π/2,
т. е. сегмент z > 0 поверхности F — выпуклый колпак.
Обозначим через R радиус экватора поверхности F (R = x(π/2) < R), а через F
0
— ве-
ретенообразную поверхность вращения с радиусом экватора R, содержащую осесимметрич-
ный сегмент с радиусом основания r и с высотой H. Пусть K
0
— гауссова кривизна поверх-
ности F
0
. Тогда согласно условиям теоремы и ограничениям (6), (7) имеем K
0
6 K0 < K.
Поэтому [4, § 25, п. VIII] поверхность F лежит внутри поверхности F
0
, следовательно,
высота сегмента z > 0 поверхности F меньше H. Теорема 3 доказана.
Автор благодарит А.Д. Милку и А.И. Медяника за полезные обсуждения работы.
1. Погорелов А.В. Геометрическая теория устойчивости оболочек. – Москва: Наука, 1966. – 296 с.
2. Бабенко В.И. К геометрической теории потери устойчивости жестко закрепленных строго выпуклых
оболочек при внешнем давлении // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1983. – № 7. – С. 46–49.
3. Погорелов А. В. Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек. – Киев: Наук. думка, 1988. – 199 с.
4. Бляшке В. Круг и шар. – Москва: Наука, 1967. – 232 с.
Поступило в редакцию 07.07.2008Физико-технический институт низких температур
им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков
V. I. Babenko
On the estimate of the Gauss curvature of strictly convex surfaces
The estimates for a minimum of the Gauss curvature on a strictly convex surface by its two
parameters are obtained.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 11
|