Алгоритм чисельного розв’язування одного класу варіаційних параболічних нерівностей
Розглядається клас параболічних варіаційних нерівностей з обмеженням у середині області. Пропонується метод чисельного розв’язування, який базується на застосуванні методів штрафу, фіктивних областей та сіток. Надається обгрунтування методу у вигляді теорем про збіжність. Отримані оцінки швидкості з...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/800 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Алгоритм чисельного розв’язування одного класу варіаційних параболічних нерівностей / Саженюк В.С. // Математичні машини і системи. – 2007. – № 2. – С. 19 – 26. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859714765004210176 |
|---|---|
| author | Саженюк, В.С. |
| author_facet | Саженюк, В.С. |
| citation_txt | Алгоритм чисельного розв’язування одного класу варіаційних параболічних нерівностей / Саженюк В.С. // Математичні машини і системи. – 2007. – № 2. – С. 19 – 26. |
| collection | DSpace DC |
| description | Розглядається клас параболічних варіаційних нерівностей з обмеженням у середині області. Пропонується метод чисельного розв’язування, який базується на застосуванні методів штрафу, фіктивних областей та сіток. Надається обгрунтування методу у вигляді теорем про збіжність. Отримані оцінки швидкості збіжності. Бібліогр.: 7 назв.
Рассматривается класс параболических вариационных неравенств с ограничением внутри области. Предлагается метод численного решения, который основан на применении методов штрафа, фиктивных областей и сеток. Дается обоснование метода в виде теорем о сходимости. Получены оценки скорости сходимости. Библиогр.: 7 назв.
Examined is the class of variational parabolic inequalities with restriction inside the domain. The method of the numeral solution,which is based on application of methods of penalty, fictitious region and grids, is offered. The ground of method is given astheorems about convergence. The estimations of velocity of convergence are got. Refs.: 7 titles.
|
| first_indexed | 2025-12-01T08:00:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 2 19
УДК 517.972/974
B.C. САЖЕНЮК
АЛГОРИТМ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ОДНОГО КЛАСУ ВАРІАЦІЙНИХ
ПАРАБОЛІЧНИХ НЕРІВНОСТЕЙ
Abstract: Examined is the class of variational parabolic inequalities with restriction inside the domain. The method of
the numeral solution, which is based on application of methods of penalty, fictitious region and grids, is offered. The
ground of method is given as theorems about convergence. The estimations of velocity of convergence are got.
Key words: variational inequality, method of penalty, difference scheme.
Анотація: Розглядається клас параболічних варіаційних нерівностей з обмеженням у середині області.
Пропонується метод чисельного розв’язування, який базується на застосуванні методів штрафу,
фіктивних областей та сіток. Подається обгрунтування методу у вигляді теорем про збіжність.
Отримані оцінки швидкості збіжності.
Ключові слова: варіаційна нерівність, метод штрафу, різницева схема.
Аннотация: Рассматривается класс параболических вариационных неравенств с ограничением внутри
области. Предлагается метод численного решения, который основан на применении методов штрафа,
фиктивных областей и сеток. Дается обоснование метода в виде теорем о сходимости. Получены оценки
скорости сходимости.
Ключевые слова: вариационное неравенство, метод штрафа, разностная схема.
1. Вступ
Математичними моделями багатьох важливих практичних задач механіки, гідродинаміки,
керування, тощо є параболічні варіаційні нерівності з обмеженнями у середині області [1]. При
побудові чисельних алгоритмів розв’язування параболічних варіаційних нерівностей одночасно з
методами скінченних елементів або сіток застосовується метод штрафу [1]. Метод сіток є
універсальним та високоефективним методом з точки зору машинної реалізації. У той же час його
машинна реалізація суттєво залежить від геометрії області, в якій шукаємо розв’язок. У випадках
неканонічних областей при знаходженні розв’язків крайових задач використовується метод
фіктивних областей [2].
У даній статті досліджується клас параболічних варіаційних нерівностей з обмеженням у
середині області з границею класу 2C . Для побудови чисельного алгоритму розв’язування
параболічної варіаційної нерівності з обмеженням у середині області застосовуються методи
штрафу, фіктивних областей та сіток. Наводяться оцінки швидкості збіжності розв’язку нелінійних
крайових задач, побудованих за допомогою комбінації методів штрафу та двох варіантів методу
фіктивних областей, до розв’язку варіаційної нерівності в нормі простору )(0,1
2 TQW . Для одного
варіанта методу фіктивних областей будується різницева схема. Отримано оцінку швидкості
збіжності розв’язку різницевої схеми до розв’язку задачі, побудованої за допомогою методів штрафу
і фіктивних областей, та розв’язку варіаційної нерівності в області довільної форми порядку 3 h у
сітковій нормі )(0,1
2 TW ω . Встановлено залежність та співвідношення між відповідними параметрами
ε ,δ ,τ , h методів штрафу, фіктивних областей та сіток.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 2 20
2. Постановка задачі
Нехай )},0(,:),{( TtxtxQT ∈Ω∈= – циліндр, Ω – область з границею Γ класу 2C ,
)},0(,:),{( TtxtxST ∈Γ∈= – бокова поверхня TQ ,
,),(),(),( 2121
2
1,
21
21
21 ∫∑∫
Ω= Ω
+
∂
∂⋅
∂
∂= dxdxvvtxqdxdx
x
v
x
v
txavva
ji ji
ij
∫
Ω
= 212121 ),( dxdxvvvv , )(, 0,1
221 TQWvv ∈∀ ,
),(),.(),,(),(),(),( ,0),( 1
0 TijjiijT QWtxatxatxaQLtxqqtxq ∞∞ ∈=∈>≥
2
,
|| ξαξξ ≥∑
ji
jiija , 2R∈∀ξ .
Розглянемо узагальнену постановку наступної задачі розв’язування параболічної
варіаційної нерівності з обмеженням у середині області:
знайти функцію Κ∈u , )(),0( 0 xuxu = , Ω∈≥ xxu ,0)(0 таку, що
- ∫ ∫+−
∂
∂
TQ
T
dxdtuv
t
v
0
)( Κ∈∀−≥− ∫∫
Ω
vdtuvfdtuvua
T
,dx |(x)u-x) v(0,|
2
1
-),(),( 2
0
0
, (1)
де )(2 TQLf ∈ , )(2
20 Ω∈Wu , } в всюди майже 0 ),(|{ 0,1
2 TT QvQWvv ≥∈=Κ .
3. Основні результати
Варіаційній нерівності (1) поставимо у відповідність задачу зі штрафом:
знайти функцію )(0,1
2 T
o
QWu ∈ε таку, що )(),0( 0 xuxu =ε ,
- ∫ ∫+
∂
∂
TQ
T
dxdtu
t
v
0
ε dtvfdtvudtvua
TT
o
),(),(
1
),(
0
∫∫ =− −
εε ε
+ ∫
Ω
,)0,(.0 dxxvu (2)
)(
0
1,1
2 TQWv ∈∀ , 0),( =Txv ,
де )1(5,0 −=−
εεε signuuu , 0>ε .
Регулярність розв’язків варіаційної нерівності (1) та відповідної задачі зі штрафом (2)
досліджувалась у роботі [1], у якій встановлено, що задачі (1) і (2) мають єдині розв’язки у класі
функцій )(1,2
2 TQW . Має місце [1, 3] наступна теорема.
Теорема 1. Розв’язок задачі (2) збігається при 0→ε до розв’язку варіаційної нерівності (1),
причому має місце оцінка
)||||(
)(0)(1)( 1
22
0,1
2 Ω
+⋅≤−
WQLQW
ufMuu
TT
εε . (3)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 2 21
(тут і надалі через iM позначені додатні сталі, які не залежать від ε , δ , h,τ ).
Нехай )},0(,:),{( 00 TtxtxQ T ∈Ω∈= – паралелепіпед , 0Ω – прямокутник з границею
0Γ , )},0(,:),{( 00 TtxtxS T ∈Γ∈= – бокова поверхня TQ 0 , Ω−Ω=Ω 01 ;
)},0(,),,{( 11 TtxxtQT ∈Ω∈= ; TTT QQQ += 10 .
Для задачі (2) розглянемо два варіанти методу фіктивних областей [3] .
Варіант I
Знайти )( 00,1
2 TQWu ∈δ таке, що
−++
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂
− ∫∫∫ ∫ ∑
= 10
1
),()),((
2
1,
TTT T QQjQ Q ji i
ij vdxdtuvdxdtutxqdxdt
x
v
x
u
txadxdtu
t
v
δδ
δ
δ δ
vdxdttxfvdxdtu
TT QQ
),(
1
∫∫ =− −
δε
+ ∫
Ω
,)0,(.0 dxxvu (4)
)( 00,1
2 TQWv ∈∀ , 0),( =Txv , .0>δ
Варіант II
Знайти )( 00,1
2 TQWu ∈δ таке, що
∫∫ ∫ ∑ ++
∂
∂⋅
∂
∂
+
∂
∂
−
=
TT T
QjQ Q ji i
ij vdxdtutxqdxdt
x
v
x
u
txadxdtu
t
v
δ
δ
δ ),()),((
0
2
1,
−
∂
∂⋅
∂
∂
∑∫
=
dxdt
x
v
x
u
iiiQT
)(
1 2
11
δ
δ
vdxdttxfvdxdtu
TT QQ
),(
1
∫∫ =− −
δε
+ ∫
Ω
,)0,(.0 dxxvu (5)
)( 00,1
2 TQWv ∈∀ , 0),( =Txv , .0>δ
Задачі (4) та (5) мають єдині розв’язки, що належать простору )(1,2
2 TQW [4]. Справедливі наступні
теореми [3].
Теорема 2. Розв’язок задачі (4) )( δε = збігається при 0→δ до розв’язку варіаційної нерівності
(1), причому має місце оцінка
)||||(
)(0)(
4
2)( 1
22
0,1
2 Ω
+⋅≤−
WQLQW
ufMuu
TT
δδ . (6)
Теорема 3. Розв’язок задачі (5) )( δε = збігається при 0→δ до розв’язку варіаційної нерівності
(1), причому має місце оцінка
)||||(
)(0)(3)( 1
22
0,1
2 Ω
+⋅≤−
WQLQW
ufMuu
TT
δδ .
Різницеву схему будемо будувати та досліджувати для випадку, коли 1=ija , ji = , 0=ija ,
ji ≠ , 2,1, =ji . Розглянемо задачу (4), отриману за допомогою комбінації методів штрафу та
фіктивних областей (варіант I). Задачу (4) перепишемо у такому еквівалентному вигляді:
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 2 22
),,(),,(),( txfutxgutxqu
t
u =++∆−
∂
∂
δδδδδ
δ 0),( TQtx ∈ , (7)
0),( =txuδ , 0
TSx ∈ , 0)0,( uxu =δ , 0Ω∈x ,
де позначено
∈
∈−
=
−−
1
2
1
),(,0
),(,
),,(
T
T
Qtx
Qtxu
utxg δ
δδ
δ
;
∈
∈
=
− 11 ),(,
),(),,(
),(
T
T
Qtx
Qtxtxq
txq
δ
δ ;
∈
∈
= 1),(,0
),(),,(
),(
T
T
Qtx
Qtxtxf
txf .
Функція ),,( vtxgδ задовольняє співвідношенням
).(,,0)))(,,(),,((
,)(
1
)))(,,(),,((
00,1
2212121
2
21
2
12121
TQWvvvvvtxgvtxg
vvvvvtxgvtxg
∈∀≥−−
−≤−−
δδ
δδ
δ (8)
Розв’язок задач (7) належить класу функцій )( 01,2
2 TQW [4], причому справедлива оцінка [5]
)||||(
)(0)(
4
1
4)( 1
22
01,2
2 Ω
−
+⋅≤
WQLQW
ufMu
TT
δδ . (9)
У прямокутнику 0Ω введемо рівномірну сітку 000 γωω ∪= , де 0ω – множина внутрішніх, а 0γ –
множина граничних вузлів відповідно. Позначимо:
};,1,{0
N
T
j Njjtt ===== ττω τ , τωωω 000 ×=T , τωγγ 000 ×=T ,
∑=
τω
τ ),(),( 2121 yyyy ,
2
1
2
)(
||||||||
2
= ∑
τω
ω τ yy
TL
,
2
1
2
)( |]|||]||
2
= ∑
τω
ω τ yy
TL ,
2
1
2
)( |]|||]||
2
= ∑
τ
τ
ω
ω τ yy L , ,||||),(||max||
2
1
2
)(
2
)( 0,1
2
0,1
2
+=
∈ TT WtV
ytxyy ωωω
τ
,||||),(||max||
2
1
2
)(
2
)( 0,1
2
0,1
2
+=
∈ TT WtV
ytxyy ωωω
τ
{ } ⋅+= 2
1
2
)(
2
)(* 2
0,1
2
||||||||||
TT
LtV
yyy ωω τ
2
)()(
2
)( 0,1
22
0,1
2
||||||||||
TTT WLW
yyy ωωω += .
Апроксимуємо задачу (7) такою неявною різницевою схемою:
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 2 23
,,)0,(,t) x,( 0,t)y(x,
,),( ),()~,(~
0
021
0
0
210210
2
1
ωγ
ωδδ
∈=∈=
∈=⋅++−∑
=
xuTTxy
txfTTPygTTPyqyy
T
T
i
xxt ii
(10)
де 2,1 ,))1(,)2(()1()(
1
1
2211 =−+−+−=⋅ ∫
−
αααα dtthxthxvtvT ;
ττξξ
τ τ
NtdxutxuP
t
t
,...,,),(
1
),(0 == ∫
−
; )~)((~
210 yqTTPyq ⋅= δδ ,
),(~ txy – полілінійне по x та кусково-стале по t поповнення сіткової функції ),( txy .
Використовуючи умови (8) та співвідношення
22
2
)(
2
1
ttt yyyy
τ+= ,
можна отримати апріорну оцінку
)||||(||
)(0)(5)( 1
220,1
2 Ω
+≤
WQLV
ufMy
TTω
. (11)
Встановимо оцінку швидкості збіжності розв’язку задачі (10) до розв’язку варіаційної
нерівності (1). Для цього спочатку знайдемо оцінку швидкості збіжності розв’язку різницевої схеми
(10) до розв’язку задачі (7).
Лема 1. Розв’язок різницевої задачі (10) )( 2h=τ збігається при 0→h до розв’язку задачі
комбінації методів штрафу та фіктивних областей (7), причому має місце оцінка:
)||||)((||
)(0)(
4
5
24
1
6)( 1
22
00,1
2 Ω
−−
++≤−
WQLV
ufhhMuy
TT
δδωδ , (12)
де
=∈
∈
∈
=
.0, ,
,),( ,0
,),( ,
),(
0
021
0
0
0
txuTT
tx
txuP
txu T
T
ω
γ
ωδ
δ
Доведення. Похибка
δuyz −=
є розв’язком наступної задачі:
,),(,
)~()~(~
0
00
2
1
)(
21010
2
1
Tt
i
i
x
i
xxt
tx
ugTTPyTgTPzqzz
i
ii
ωµηψη
δδδδ
∈−−+−=
=−++−
∑
∑
=
=
(13)
,0)0,( =xz Ttxtxz 0),(,0),( γ∈= ,
де δδµ uTTu 21−= , ))~()((2100 δδδδη ugugTTP −= ,
2,1),
)(
(30
)( =−
∂
⋅∂= − iu
x
u
TPP
ix
i
ii
i
δ
δη , )~)((2100 δδδψ uuqTTP −= ,
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 2 24
2,1 ,))1(,)2(()(
0
1
2211 =−+−+=⋅ ∫
−
αααεεα dtthxthxuuP .
Помножимо (13) скалярно на z , скористаємось умовами (8) та формулами сумування за
частинами. Після нескладних перетворень отримаємо
)||||
1
( 2
)(
2
)(0
2
)(
)0(
2
1
2
)(
)(
7
2
* 0
2
0
2
0
2
0
2
TTTT LLL
i
L
iMz ωωωω
µ
τ
ψηη +++≤ ∑
=
. (14)
Функціонали у правій частині останньої нерівності оцінимо за допомогою леми Брембла – Гілберта:
2,1,
)(8)(
)(
01,2
2
0
2
=≤ iuhM
TT QWL
i
δω
η ,
)(
22
1
9)(
)0(
01,2
2
0
2
)(
TT QWL
uhM δω
τδη +⋅≤
−
,
)(
21
10)(0 01,2
2
0
2
||||)(
TT QWL
uhM δω
τδψ +≤ − ,
)(
2
11)( 01,2
2
0
2
||||)(||||
TT QWL
uhM δω τµ +≤ ,
),max( 21 hhh = .
Підставляючи ці оцінки в (14) та поклавши )( 2h=τ , отримаємо
)(
2
12* 01,2
2
||||)(||||
TQW
u
h
hMz δδ
+≤ .
Звідси, з урахуванням оцінки (9), випливає (12). Лему 1 доведено.
Лема 2. )(2
2 Ω∈∀ Wv мають місце нерівності
)|||(|||
)()(13,1 2
2
1
2 ΩΩ
+≤
WW
vhvMv ω , (15)
)||||||||(|||| )()()(
2
14,0 2
1
2
2
2
ΩΩΩ
++≤ LWW
vvhvhMv ω . (16)
Доведення леми 2 базується на застосуванні леми Брембла – Гілберта і міститься в роботі [6] .
Теорема 4. Розв’язок різницевої схеми (10) ( ,2h=τ 3
4
h=δ ) збігається при 0→h до розв’язку
варіаційної нерівності (1) ( 1=ija , ji = , 0=ija , ji ≠ , 0=ib , 2,1, =ji ;), при цьому має місце
оцінка
)||||(
)(0)(
3
1
15)( 1
22
0,1
2 Ω
+≤−
WQLW
ufhMuy
TTω
. (17)
Доведення.
Очевидна нерівність
.||||||||||||||||||
)()()()()( 0,1
2
0,1
2
0,1
2
0,1
2
0,1
2 TTTTT VWWWW
uyuuyuuuuy ωδωδωδωδω −+−≤−+−≤− (18)
Позначимо δuuw −= . Очевидно, що )(1,2
2 TQWw ∈ .
Для функції wv = , використовуючи лему 2 ( оцінки (15), (16)), отримаємо
),||||||||(|||| )()()(
2
16 2
1
2
2
2 ttt
LWW
vvhvhMv ΩΩΩ
++≤ω
)|||(|||
)()(17,1 2
2
1
2 tt Www vhvMv
ΩΩ
+≤ ,
де tΩ – верхня основа циліндра tQ , ),0( Tt ∈∀ .
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 2 25
З останніх двох співвідношень виводимо
)||||||||(|||| )(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
2
18 2
0,1
2
0,1
2 ttt
QLQWQW
vvhvhMv
−−−
++≤ τττω , (19)
)||||(||
)(
2
1
)(
2
1
19,1 0,2
2
0,1
2 tt QWQW
vhvMv
−−
+≤ ττω . (20)
Помножимо почергово (19) та (20) на τ і просумуємо по вузлах сітки τω . Отримаємо
)||||||||(|||| )()()(
2
20)( 2
0,1
2
0,2
22 TTTT QLQWQWL vvhvhMv ++≤ω ,
)|||(||| )()(21)( 2
0,1
2
0,1
2 TTT
QLQWW
vhvMv +≤ω .
Отже, справедлива оцінка
)(||||||||
)(22)( 0,1
2
0,1
2
houuMuu
TT QWW
+−≤− δωδ .
Звідси, (19) та (20) випливає
))(||||(||||||
)()(23)( 0,1
2
0,1
2
0,1
2
houyuuMuy
TTT VQWW
+−+−≤− ωδδω .
З останньої оцінки, (18), (12) та оцінки (6), можна отримати оцінку
)||||||(||)(||||
)(0
44
5
24
1
24)( 1
2)(2
0,1
2 Ω
−−
+⋅++≤−
WW
ufhhMuy
TQLT
δδδω .
Поклавши 3
4
h=δ , отримаємо (17). Теорему доведено.
4. Висновки
Різницева схема (9) являє собою високоефективний алгоритм чисельного розв’язування широкого
кола прикладних задач, математичні моделі яких можуть бути записані у вигляді варіаційних
нерівностей, коли область визначення має складну геометрію. До таких моделей зводяться,
зокрема, задачі керування з оптимальним часом зупинки для дифузійних процесів, задачі
нестаціонарної фільтрації, задачі з вільною границею та задачі з перешкодами.
Стаціонарний випадок розглядався, зокрема, авторам роботи [7], де для еліптичної
варіаційної нерівності в області довільної форми з границею класу 2C побудовано різницеву схему,
яка апроксимує нерівність і має порядок точності h .
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Бенсусан А., Лионс Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства: Пер. с франц. – М.:
Наука, 1987. – 600 с.
2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1977. – 456 с.
3. Саженюк В.С., Гаркуша В.І., Риженко А.І. Застосування методу штрафу та фіктивних областей для
параболічних варіаційних нерівностей другого порядку // Вісник Київського університету. – 2006. – № 4. – С.
211–216.
4. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения
параболического типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
5. Войцеховский C.А., Гаврилюк И.П., Макаров В.Л. О сходимости метода прямых для обобщения решений
параболических уравнений в произвольной области // Вычислительная и прикладная математика. – Киев:
1983. – Вып. 50. – С. 3–10.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 2 26
6. Войцеховский C.А., Гаврилюк И.П. О сходимости разностных решений к обобщенным решениям первой
краевой задачи для квазилинейного уравнения четвертого порядка в областях произвольной формы //
Дифференциальные уравнения. – 1985. – Т. 21, № 9. – С. 1582–1590.
7. Войцеховский C.А., Сергиенко И.В., Ляшко С.И. Приближенное решение одного класса вариационных
эллиптических неравенств второго порядка в областях произвольной формы // Кибернетика и системный
анализ. – 2004. – Т. 40, № 4. – C. 157–161.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-800 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-9763 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T08:00:17Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Саженюк, В.С. 2008-06-27T14:06:11Z 2008-06-27T14:06:11Z 2007 Алгоритм чисельного розв’язування одного класу варіаційних параболічних нерівностей / Саженюк В.С. // Математичні машини і системи. – 2007. – № 2. – С. 19 – 26. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/800 517.972/974 Розглядається клас параболічних варіаційних нерівностей з обмеженням у середині області. Пропонується метод чисельного розв’язування, який базується на застосуванні методів штрафу, фіктивних областей та сіток. Надається обгрунтування методу у вигляді теорем про збіжність. Отримані оцінки швидкості збіжності. Бібліогр.: 7 назв. Рассматривается класс параболических вариационных неравенств с ограничением внутри области. Предлагается метод численного решения, который основан на применении методов штрафа, фиктивных областей и сеток. Дается обоснование метода в виде теорем о сходимости. Получены оценки скорости сходимости. Библиогр.: 7 назв. Examined is the class of variational parabolic inequalities with restriction inside the domain. The method of the numeral solution,which is based on application of methods of penalty, fictitious region and grids, is offered. The ground of method is given astheorems about convergence. The estimations of velocity of convergence are got. Refs.: 7 titles. uk Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Обчислювальні системи Алгоритм чисельного розв’язування одного класу варіаційних параболічних нерівностей Алгоритм численного решения одного класса вариационных параболических неравенств Algorithm of numeral solution of one class of variational parabolic inequalities Article published earlier |
| spellingShingle | Алгоритм чисельного розв’язування одного класу варіаційних параболічних нерівностей Саженюк, В.С. Обчислювальні системи |
| title | Алгоритм чисельного розв’язування одного класу варіаційних параболічних нерівностей |
| title_alt | Алгоритм численного решения одного класса вариационных параболических неравенств Algorithm of numeral solution of one class of variational parabolic inequalities |
| title_full | Алгоритм чисельного розв’язування одного класу варіаційних параболічних нерівностей |
| title_fullStr | Алгоритм чисельного розв’язування одного класу варіаційних параболічних нерівностей |
| title_full_unstemmed | Алгоритм чисельного розв’язування одного класу варіаційних параболічних нерівностей |
| title_short | Алгоритм чисельного розв’язування одного класу варіаційних параболічних нерівностей |
| title_sort | алгоритм чисельного розв’язування одного класу варіаційних параболічних нерівностей |
| topic | Обчислювальні системи |
| topic_facet | Обчислювальні системи |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/800 |
| work_keys_str_mv | AT saženûkvs algoritmčiselʹnogorozvâzuvannâodnogoklasuvaríacíinihparabolíčnihnerívnostei AT saženûkvs algoritmčislennogorešeniâodnogoklassavariacionnyhparaboličeskihneravenstv AT saženûkvs algorithmofnumeralsolutionofoneclassofvariationalparabolicinequalities |