Поширення плоских сейсмічних хвиль у п'ятиелементних реологічних тілах
Розглянуто динамiчну задачу теорiї пружностi для п’ятиелементних реологiчних тiл. Одержано реологiчнi рiвняння та дисперсiйнi аналiтичнi вирази для визначення фазових швидкостей i коефiцiєнтiв загасання пружних хвиль та характеристичнi рiвняння для часiв релаксацiї i пiслядiї. A dynamical problem of...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8003 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Поширення плоских сейсмічних хвиль у п'ятиелементних реологічних тілах / Є.М. Бицань // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 115-121. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860224289839513600 |
|---|---|
| author | Бицань, Є.М. |
| author_facet | Бицань, Є.М. |
| citation_txt | Поширення плоских сейсмічних хвиль у п'ятиелементних реологічних тілах / Є.М. Бицань // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 115-121. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Розглянуто динамiчну задачу теорiї пружностi для п’ятиелементних реологiчних тiл. Одержано реологiчнi рiвняння та дисперсiйнi аналiтичнi вирази для визначення фазових швидкостей i коефiцiєнтiв загасання пружних хвиль та характеристичнi рiвняння для часiв релаксацiї i пiслядiї.
A dynamical problem of elasticity theory for five-element rheological bodies is considered. The rheological equations and the analytic formulas for the determination of phase velocities and the decay coefficients for elastic waves, as well as the characteristic equations for the times of relaxation and aftereffect, are deduced.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:19:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2009
НАУКИ ПРО ЗЕМЛЮ
УДК 530.3+550.344
© 2009
Є.М. Бицань
Поширення плоских сейсмiчних хвиль
у п’ятиелементних реологiчних тiлах
(Представлено академiком НАН України В. I. Старостенком)
Розглянуто динамiчну задачу теорiї пружностi для п’ятиелементних реологiчних тiл.
Одержано реологiчнi рiвняння та дисперсiйнi аналiтичнi вирази для визначення фазових
швидкостей i коефiцiєнтiв загасання пружних хвиль та характеристичнi рiвняння для
часiв релаксацiї i пiслядiї.
Коливальнi процеси в фiзичних середовищах є згасаючими внаслiдок непружностi останнiх.
Непружнiсть проявляється насамперед у перетвореннi частини механiчної енергiї в теплову
i враховується за допомогою рiзних математичних моделей не зовсiм пружних деформова-
них середовищ [1], якi включають в розрахункову модель поряд з пружними елементами
в’язкi i пластичнi. В геофiзицi найчастiше використовують реологiчнi тiла (РТ), якi скла-
даються з двох, трьох або чотирьох елементiв [2].
У повiдомленнi розглянуто п’ятиелементнi РТ, якi складаються з двох пружних i трьох
в’язких або з двох в’язких i трьох пружних елементiв, з’єднаних мiж собою за допомогою
двох паралельних i двох послiдовних зв’язкiв. РТ з iншими параметрами будуть виродже-
ними, тобто вони будуть еквiвалентнi РТ з меншим числом елементiв. РТ з першої групи
будемо називати квазiв’язкими (КВРТ) на вiдмiну вiд РТ з другої групи, якi назвемо ква-
зiпружними (КПРТ).
П’ятиелементнi РТ утворюються за допомогою невироджених об’єднань дво- i триеле-
ментних РТ або приєднанням до чотириелементного РТ одиночного елемента. Невиродже-
ним об’єднанням двох РТ назвемо таким, що виконуються з дотриманням умови балансу:
δe + δc = 1, (1)
де δe = |nN − nH | — рiзниця мiж кiлькiстю пружних та в’язких елементiв, а nH i nN —
число пружних i в’язких елементiв; δc = |nI − n−| — рiзниця мiж кiлькiстю паралельних
та послiдовних включень, а nI i n− — число паралельних i послiдовних приєднань у РТ
вiдповiдно.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 115
Реологiчне рiвняння (РР) довiльного п’ятиелементного КПРТ записується в узагальне-
ному виглядi (в стандартнiй формi) таким чином:
σ + a1σ̇ + a2σ̈ = EH(ε + b1ε̇ + b2ε̈), (2)
де коефiцiєнти ai i bi — додатнi константи, що виражаються через в’язкопружнi параметри
РТ; σ — напруження, ε — деформацiя; EH — пружна константа (релаксуючий пружний
модуль), за К. Зiнером (1954), крапкою позначено диференцiювання за часом.
Рiвняння (2) можна також записати через релаксуючi характеристики РТ:
σ + (τ1 + τ2)σ̇ + τ1τ2σ̈ = EH(ε + (ν1 + ν2)ε̇ + ν1ν2ε̈). (3)
Тут τ1 i τ2 — часи релаксацiї напружень при постiйнiй деформацiї (часи релаксацiї — ЧР);
ν1 i ν2 — часи релаксацiї деформацiї при постiйнiй напрузi (часи пiслядiї або повзучостi —
ЧП). Згiдно з К. Зiнером (1954), назвемо РТ, що описується рiвнянням (3), стандартним
квазiпружним п’ятиелементним РТ.
Рiвняння руху в перемiщеннях динамiчної задачi теорiї пружностi для п’ятиелементного
КПРТ можна навести, за Г. Кольським (1955), такi:
ü + a1
...
u + a2
¨̈u =
EH(u′′ + b1u̇
′′ + b2ü
′′)
ρ
, (4)
де ρ — питома щiльнiсть, а штрихом позначене диференцiювання по координатi x.
Частковий розв’язок рiвняння (4) шукаємо, за А. Тихоновим (1966), у формi:
u = u1(x)u2(t). (5)
Пiдставляємо шукану функцiю u у формi (5) у рiвняння руху в перемiщеннях (4), i пiсля
роздiлення змiнних отримуємо:
ü2 + a1
...
u2 + a2
¨̈u2
u2 + b1u̇2 + b2ü2
=
EHu′′
1
ρu1
= −ω0,
де ω0 — константа роздiлення.
Рiвняння дає два одновимiрних рiвняння для розшукуваних функцiй:
u′′
1 + k2u1 = 0,
¨̈u2 +
a1
a2
...
u2 +
1 + b2ω0
a2
ü2 +
b1
a2
u̇2 +
ω0
a2
u2 = 0
(6)
(тут k = ω/c1 — хвильове число; c1 =
√
EH/ρ — фазова швидкiсть плоскої поздовжньої
сейсмiчної хвилi).
Розв’язок першого рiвняння системи (6) знаходимо у виглядi
u1 = A1 cos kx + A2 sin kx = A0 sin k(x − ϕ0), (7)
де A0 =
√
u2
0 + (u′′
0/k)2; ϕ0 = − arctg(ku0/u
′
0) — початкова фаза, u0 = u(0), u′
0 = u′(0).
116 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
Частковий розв’язок другого рiвняння системи (6) будемо шукати, за А. Тихоновим
(1966), у такiй формi:
u
(i)
2 = Bie
λit. (8)
Характеристичне рiвняння для визначення параметрiв λi запишеться у такий спосiб:
λ4 +
a1
a2
λ3 +
1 + b2ω0
a2
λ2 +
b2ω0
a2
λ +
ω0
a2
= 0.
Частковий розв’язок рiвняння (3) можна також брати, за С. Коган (1966), у виглядi
u = u0e
i(kx−ωt), (9)
де u0 — стала iнтегрування; ω — кругова частота: i =
√
−1; k = ω/c + iα — хвильове число,
c — фазова швидкiсть, а α — коефiцiєнт загасання плоскої поздовжньої сейсмiчної хвилi,
що бiжить.
Пiдставляємо u в формi (9) у рiвняння руху в перемiщеннях (4) i отримаємо такий
вираз для хвильового числа k [3]:
k2
H =
ω2ρ
EH
−1 + a2ω
2 + ia1ω
−1 + b2ω2 + ib1ω
=
ω2
c2
0H
, (10)
де c2
0H = EH
0 /ρ, EH
0 = ÊH(1 − iβ) — комплексний, а ÊH — динамiчний модуль, βH — фазова
характеристика комплексного модуля, яка для геологiчних середовищ набагато менша за
одиницю. Її називають внутрiшнiм тертям або кутом втрат.
Знак у показнику степеня при часовiй координатi беремо таким, щоб виконувалась необ-
хiдна i достатня умова причинностi — у нижнiй напiвплощинi хвильове число k не повинно
мати особливостi.
Формулу (10) за допомогою рiвняння (3) можна записати таким чином:
k2
H =
ω2ρ
EH
τ1τ2
(
ω +
i
τ1
)(
ω +
i
τ2
)
ν1ν2
(
ω +
i
ν1
)(
ω +
i
ν2
) , (11)
звiдки випливає, що комплексне хвильове число k не матиме коренiв у нижнiй напiвплощинi
ω у випадку, коли в показнику степеня при часовiй координатi братимемо знак мiнус.
Наведемо формули для внутрiшнього тертя та комлексного i динамiчного модулiв:
EH
0 =
EH(−1 + b2ω
2 + iωb3)
−1 + a2ω2 + iωa1
= ÊH(1 − iβH),
ÊH = Re(EH
0 ) = EH
1 + ω2(a1b1 − a2 − b2) + ω4a2b2
a2
1ω
2 + (1 − ω2a2)2
,
βH = arctg
(
Im(EH
0 )
Re(EH
0 )
)
= arctg
(
ω(a1(−1 + ω2b2) + b1(1 − ω2a2))
1 + ω2(a1b1 − a2 − b2) + ω4a2b2
)
.
(12)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 117
Покажемо, що динамiчний модуль i внутрiшнє тертя додатнi. В формулi для динамiч-
ного модуля в системi (12) тiльки складова при ω2 у чисельнику має величини з рiзними
знаками. Використовуючи стандартну форму РР (3), отримаємо:
a1b1 − a2 − b2 = τ1(ν2 − τ2) + τ2(ν1 + ν2) + ν1(τ1 − ν2). (13)
У роботi [5] показано, що для п’ятиелементних КПРТ має мiсце таке спiввiдношення
мiж часами релаксацiї та часами пiслядiї:
ν1 > τ1 > ν2 > τ2, (14)
так що розглянутий вище вираз (13) буде додатним, а тому буде додатним i динамiчний
модуль ÊH . Аналогiчно доведемо, що внутрiшнє тертя додатне. Для цього перегрупуємо
чисельник у виразi для βH :
ω(a1(−1 + ω2b2) + b1(1 − ω2a2)) = ω[(ν1 − τ1)(1 + ω2τ2ν2) + (ν2 − τ2)(1 + ω2τ1ν1)].
З умови (14) випливає, що цей вираз додатний.
Проаналiзуємо далi поведiнку п’ятиелементного КПРТ у стандартних випадках.
1. Коли в тiлi пiдтримується постiйне напруження σ = σ0, то має мiсце повзучiсть.
Деформацiя ε описується в цьому випадку таким виразом:
ε =
ν1(ε0 − ε̂ + ν2ε̇0)
ν1 − ν2
e−t/ν1 +
ν2(ε0 − ε̂ + ν1ε̇0)
ν2 − ν1
e−t/ν2 +
σ0
EH
,
де ε0 = ε(0), ε̇0 = ε̇(0), ε̂ = σ0/EH — частковий розв’язок рiвняння Q(ε) = σ0/EH , а часи
релаксацiї деформацiї при постiйному навантаженнi νi визначаються за допомогою харак-
теристичного рiвняння ν2 − b1ν + b2 = 0 (тут b1 i b2 — коефiцiєнти РР (2)).
Якщо в момент t = t1 зняти навантаження, то в тiлi буде вiдбуватися пiслядiя [3].
Деформацiя в цьому випадку запишеться в такий спосiб:
ε =
τ1(τ2ε̇1 + ε1)
τ1 − τ2
e−t′/τ1 +
τ2(τ1ε̇1 + ε1)
τ2 − τ1
e−t′/τ2 ,
де t′ = t − t1, ε1 = ε(t1), ε̇1 = ε̇(t1) i буде змiнюватися вiд ε1 при t = t1 до 0 при t = ∞.
2. У випадку, коли в тiлi пiдтримується постiйна деформацiя ε = ε0, для напруження σ
має мiсце запис
σ =
τ1(σ0 − σ̂ + τ2σ̇0)
τ1 − τ2
e−t/τ1 +
τ2(σ0 − σ̂ + τ1σ̇0)
τ2 − τ1
e−t/τ2 + σ̂, (15)
де σ0 = σ(0), σ̇0 = σ̇(0), а σ̂ = ε0EH — частковий розв’язок рiвняння P (σ) = ε0EH , а часи
релаксацiї напружень при постiйнiй деформацiї будуть визначатись iз такого рiвняння:
ν2 − a1ν + a2 = 0
(тут ai — коефiцiєнти РР (2)). З рiвняння (15) випливає, що напруження буде релаксувати
вiд σ0 при t = 0 до σ̂ при t = ∞.
118 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
3. Якщо ж до РТ прикладається гармонiчне напруження σ = σ0e
iωt, то деформацiю
будемо визначати за формулою ε = ε0e
i(ωt−δ), а зсув фаз мiж напруженням i деформацiєю —
за формулою:
δ = arctg
b1 − a1 − ω2(b1a2 − a1b2)
1 + ω2(a1b1 − a2 − b2) + ω4a2b2
. (16)
З рiвняння (14) випливає, що чисельник i знаменник у (16) додатнi, так що деформацiя
в розглянутому випадку запiзнюватиметься вiд напруження на кут δ.
Далi розглянемо квазiв’язкий варiант п’ятиелементного РТ (КВРТ). Його РР запису-
ється в формi
σ + c1σ̇ + c2σ̈ = ηN (ε̇ + d1ε̈ + d2ε), (17)
де ηN — в’язкий релаксуючий модуль; ci i di — додатнi величини, якi виражаються через
пружнi i в’язкi параметри РТ.
Рiвняння (17) можна записати в стандартнiй формi таким чином:
σ + (τ1 + τ2)σ̇ + τ1τ2σ̈ = ηN (ε̇ + (ν1 + ν2)ε̈ + ν1ν2
...
ε), (18)
де, як i ранiше, τi — часи релаксацiї напружень при постiйнiй деформацiї, а νi — часи
релаксацiї деформацiї при постiйному напруженнi.
Рiвняння руху в перемiщеннях п’ятиелементного КВРТ набуде такого вигляду:
ü + c1
...
u + c2
¨̈u =
ηN (u̇′′ + d1ü
′′ + d2
...
u′′)
ρ
, (19)
частковий розв’язок якого шукаємо, як i в попередньому випадку, в формi (4).
Пiсля роздiлення змiнних отримаємо:
ü2 + c1
...
u2 + ¨̈c2
u̇2 + b1ü2 + b2
...
u2
=
ηNu′′
1
ρu1
= −ω0, (20)
де ω0 — константа роздiлення змiнних.
Рiвняння (20) дає два одновимiрнi рiвняння для розшукуваних функцiй u1 i u2. Розв’я-
зок першого з них беремо в формi (7), а для часткового розв’язку другого, яке вiзьмемо
в формi (8), маємо таке характеристичне рiвняння:
λ
(
λ3 +
c1 + ω0d2
d2
λ2 +
1 + d1ω0
d3
λ +
ω0
d3
)
= 0.
У випадку, коли частковий розв’язок береться в формi (9), для хвильового числа має
мiсце такий запис:
k2
N =
ωρ
ηN
−1 + c2ω
2 − iωc1
ωd1 + i(1 − d2ω2)
=
ω2
c2
0N
, (21)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 119
а для внутрiшнього тертя та комплексного i динамiчного модулiв вирази набувають такого
вигляду:
EN
0 =
ωηN (ωd1 + i(1 − d2ω
2))
−1 + ω2c2 − iωc1
= ÊN (1 − iβN ),
ÊN = Re(EN
0 ) = ω2ηN
d1(−1 + ω2c2) + c1(1 − ω2d2)
(−1 + ω2c2)2 + ω2c2
1
,
βN = arctg
(
Im(EN
0 )
Re(EN
0 )
)
= arctg
(
1 + ω2(c1d1 − c2 − d2) + ω4c2d2
ω(c1 − d1 + ω2(c2d1 − c1d2))
)
.
(22)
Покажемо, що динамiчний модуль i внутрiшнє тертя додатнi величини. Розпишемо де-
тальнiше чисельник у виразi для динамiчного модулю в (22), використовуючи спiввiдно-
шення (18).
c1 − d1 + ω2(d1c2 − d2c1) = τ1 − ν1 + τ2 − ν2 + ω2(τ1ν1(τ2 − ν2) + τ2ν2(τ1 − ν1)).
Враховуючи, що для п’ятиелементних КВРТ, згiдно з [5], має мiсце таке спiввiдношення
мiж часами релаксацiї та часами пiслядiї:
τ1 > ν1 > τ2 > ν2 > 0, (23)
розглянутий вище вираз буде додатним, так що буде додатним i динамiчний модуль ÊH .
Аналогiчно переконаємось, що i внутрiшнє тертя буде додатним. Для цього досить по-
казати, що складова при ω2 в чисельнику для βH у (22) додатна. Випишемо цей вираз:
c1d1 − c2 − d2 = (τ1 + τ2)(ν1 + ν2) − τ1τ2 − ν1ν2 = ν2(τ1 + τ2) + τ1(ν1 − τ2) + ν1(τ2 − ν2).
Кожен вираз в дужках, згiдно з умовою (23), додатний, а тому буде додатною i складова
при ω2 в формулi для внутрiшнього тертя в (22).
Далi розглянемо поведiнку п’ятиелементного КВРТ у стандартних випадках.
1) пiд дiєю постiйного напруження σ = σ0 = const деформацiя ε буде визначатися за
допомогою такого спiввiдношення:
ε =
ν2
1 (ε̈0ν2 − ̂̇ε0 + ε̇0)
ν2 − ν1
(1 + e−t/ν1) − ν2
2(ε̈0ν1 − ̂̇ε0 + ε̇0)
ν2 − ν1
(1 + e−t/ν2) + ̂̇ε0t
де ε̇0 = ε̇(0), ε̈0 = ε̈(0), ̂̇ε = σ0/η — частковий розв’язок рiвняння P (ε̇) = σ0/ηH , а часи
релаксацiї деформацiї при постiйному напруженнi νi визначаються за допомогою характе-
ристичного рiвняння ν2 − d1ν + d2 = 0 (di — коефiцiєнти РР (17)).
Якщо в момент t = t1 зняти навантаження, то в тiлi буде вiдбуватися пiслядiя. Дефор-
мацiя в цьому випадку запишеться в такий спосiб:
ε =
ν2
1 (ε̈1ν2 − ̂̇ε1 + ε̇1)
ν2 − ν1
(1 + e−t′/ν1) − ν2
2 (ε̈1ν1 − ̂̇ε1 + ε̇1)
ν2 − ν1
(1 + e−t′/ν2)ë,
де t′ = t − t1, ε1 = ε(t1), ε̇1 = ε̇(t1), i буде змiнюватися вiд ε1 при t = t1 до 0 при t = ∞;
120 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №3
2) якщо в тiлi має мiсце постiйна деформацiя ε = ε0, то напруження σ визначатиметься
таким чином:
σ =
τ1(σ0 + τ2σ̇0)
τ1 − τ2
e−t/τ1 +
τ2(σ0 + τ1σ̇0)
τ2 − τ1
e−t/τ2 , (24)
де σ0 = σ(0), σ̇0 = σ̇(0), а часи релаксацiї напружень при постiйнiй деформацiї будуть
визначатись з ν2 − c1ν + c2 = 0 (ci — коефiцiєнти РР (17)). З рiвняння (24) випливає, що
напруження буде релаксувати вiд σ0 при t = 0 до при t = ∞;
3) у випадку, коли на дослiджуване РТ дiє гармонiчне напруження σ = σ0e
iωt, дефор-
мацiю описуватимемо так:
ε = ε0e
i(ωt−δ),
а зсув фаз мiж напруженням i деформацiєю буде визначатися таким чином:
δ = arctg
b1 − a1 − ω2(b1a2 − a1b2)
1 + ω2(a1b1 − a2 − b2) + ω4a2b2
. (25)
З рiвняння (23) випливає, що чисельник i знаменник в (25) додатнi, так що деформацiя
в розглянутому випадку запiзнюватиметься вiд напруження на кут δ.
За допомогою хвильових чисел можна отримати вирази для фазових швидкостей i кое-
фiцiєнтiв затухання пружних хвиль для слабкопружних фiзичних середовищ:
V =
ω
Re(k)
= c0
(
1 − β2
i
2
)
, α1 = Im(k) =
ωβi
2c̃0
(
1 +
β2
i
2
) ,
де c0 =
√
Êi/ρ, а i = H для КПРТ та i = N для КВРТ.
1. Савiн Г.М., Рущицький Я.Я. Елементи механiки спадкових середовищ. – Київ: Вища шк., 1975. –
252 с.
2. Кондратьев О.К. Сейсмические волны в поглощающих средах. – Москва: Недра, 1986. – 176 с.
3. Уайт Дж. Возбуждение и распространение сейсмических волн. – Москва: Недра, 1986. – 261 с.
4. Постников В. С. Внутреннее трение в металлах. – Москва: Металлургия, 1974. – 352 с.
5. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. – Москва: Мир, 1965. – 200 с.
Надiйшло до редакцiї 05.06.2008Iнститут геофiзики iм С. I. Субботiна
НАН України, Київ
E.M. Bytsan’
Propagation of plane seismic waves in five-element rheologic bodies
A dynamical problem of elasticity theory for five-element rheological bodies is considered. The
rheological equations and the analytic formulas for the determination of phase velocities and the
decay coefficients for elastic waves, as well as the characteristic equations for the times of relaxa-
tion and aftereffect, are deduced.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №3 121
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8003 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:19:22Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бицань, Є.М. 2010-04-26T14:50:10Z 2010-04-26T14:50:10Z 2009 Поширення плоских сейсмічних хвиль у п'ятиелементних реологічних тілах / Є.М. Бицань // Доп. НАН України. — 2009. — № 3. — С. 115-121. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8003 530.3+550.344 Розглянуто динамiчну задачу теорiї пружностi для п’ятиелементних реологiчних тiл. Одержано реологiчнi рiвняння та дисперсiйнi аналiтичнi вирази для визначення фазових швидкостей i коефiцiєнтiв загасання пружних хвиль та характеристичнi рiвняння для часiв релаксацiї i пiслядiї. A dynamical problem of elasticity theory for five-element rheological bodies is considered. The rheological equations and the analytic formulas for the determination of phase velocities and the decay coefficients for elastic waves, as well as the characteristic equations for the times of relaxation and aftereffect, are deduced. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Науки про Землю Поширення плоских сейсмічних хвиль у п'ятиелементних реологічних тілах Propagation of plane seismic waves in five-element rheologic bodies Article published earlier |
| spellingShingle | Поширення плоских сейсмічних хвиль у п'ятиелементних реологічних тілах Бицань, Є.М. Науки про Землю |
| title | Поширення плоских сейсмічних хвиль у п'ятиелементних реологічних тілах |
| title_alt | Propagation of plane seismic waves in five-element rheologic bodies |
| title_full | Поширення плоских сейсмічних хвиль у п'ятиелементних реологічних тілах |
| title_fullStr | Поширення плоских сейсмічних хвиль у п'ятиелементних реологічних тілах |
| title_full_unstemmed | Поширення плоских сейсмічних хвиль у п'ятиелементних реологічних тілах |
| title_short | Поширення плоских сейсмічних хвиль у п'ятиелементних реологічних тілах |
| title_sort | поширення плоских сейсмічних хвиль у п'ятиелементних реологічних тілах |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8003 |
| work_keys_str_mv | AT bicanʹêm poširennâploskihseismíčnihhvilʹupâtielementnihreologíčnihtílah AT bicanʹêm propagationofplaneseismicwavesinfiveelementrheologicbodies |