Тензорная функция Грина в теории упругости анизотропной гексагональной среды
Методом Лифшица-Розенцвейга получены компоненты тензорной функции Грина упругоанизотропной гексагональной среды в общем виде, справедливом как для мнимых, так и для комплексных полюсов. Результат точный, и в отличие от предыдущих исследований не содержит неопределенностей типа 0/0 при переходе к...
Saved in:
| Published in: | Вопросы атомной науки и техники |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80353 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Тензорная функция Грина в теории упругости анизотропной гексагональной среды / П.Н. Остапчук, О.Г. Троценко // Вопросы атомной науки и техники. — 2014. — № 4. — С. 49-54. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859730075717468160 |
|---|---|
| author | Остапчук, П.Н. Троценко, О.Г. |
| author_facet | Остапчук, П.Н. Троценко, О.Г. |
| citation_txt | Тензорная функция Грина в теории упругости анизотропной гексагональной среды / П.Н. Остапчук, О.Г. Троценко // Вопросы атомной науки и техники. — 2014. — № 4. — С. 49-54. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Вопросы атомной науки и техники |
| description | Методом Лифшица-Розенцвейга получены компоненты тензорной функции Грина упругоанизотропной
гексагональной среды в общем виде, справедливом как для мнимых, так и для комплексных полюсов.
Результат точный, и в отличие от предыдущих исследований не содержит неопределенностей типа 0/0 при
переходе к изотропному приближению. В качестве примера его использования рассмотрены поля смещений
и напряжений, создаваемые инфинитезимальной призматической дислокационной петлей, лежащей в
базисной плоскости циркония.
Методом Ліфшиця-Розенцвейга отримані компоненти тензорної функціі Гріна пружноанізотропного
гексагонального середовища в загальному вигляді, справедливому як для уявних, так і для комплексних
полюсів. Результат точний, і на відміну від попередніх досліджень не містить невизначеностей типу 0/0 при
переході до ізотропного наближення. Як приклад його використання, розглянуті поля зміщень і напружень,
що створюються інфінітезимальною призматичною дислокаційною петлею, що лежить у базисній площині
цирконію.
In this report, components of the tensor Green function of elastically anisotropic hexagonal medium are derived
by the Lifshitz and Rosentsveig method. The result is given in a general form suitable for any hcp metal. The result
is exact and, in contrast to previous studies, contains no the type of uncertainty 0/0 in the transition to the isotropic
limit. As an example of its use, we consider displacements and stress fields generated by a infinitesimal prismatic
dislocation loop lying in the basal plane of Zr.
|
| first_indexed | 2025-12-01T13:01:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2014. №4(92) 49
ТЕНЗОРНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
АНИЗОТРОПНОЙ ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ СРЕДЫ
П.Н. Остапчук, О.Г. Троценко
Институт электрофизики и радиационных технологий НАН Украины,
Харьков, Украина
E-mail: ostapchuk@kipt.kharkov.ua
Методом Лифшица-Розенцвейга получены компоненты тензорной функции Грина упругоанизотропной
гексагональной среды в общем виде, справедливом как для мнимых, так и для комплексных полюсов.
Результат точный, и в отличие от предыдущих исследований не содержит неопределенностей типа 0/0 при
переходе к изотропному приближению. В качестве примера его использования рассмотрены поля смещений
и напряжений, создаваемые инфинитезимальной призматической дислокационной петлей, лежащей в
базисной плоскости циркония.
PACS 62.20.Dc; 62.20.Fe
ВВЕДЕНИЕ
Ряд задач в теории радиационного
материаловедения связан с корректным
вычислением диффузионных потоков точечных
дефектов (ТД), генерируемых облучением, на
внутренние протяженные дефекты кристалла
(макродефекты) с учетом их взаимного упругого
взаимодействия. Различие в эффективности
поглощения данным макродефектом ТД разного
сорта (вакансий и собственных межузельных
атомов) является основной движущей силой
микроструктурной эволюции материала под
облучением. Эта эволюция проявляется, в
частности, в зарождении и росте дислокационных
петель, ведущих в конечном счете к радиационному
упрочнению конструкционных материалов ядерных
реакторов [1]. Упругое взаимодействие между ТД и
макродефектом определяется моделью конкретного
дефекта как источника внутренних напряжений и
упругими свойствами неограниченной непрерывной
среды, моделирующей кристалл. Математическим
выражением этих свойств является тензорная
функция Грина (ТФГ) основного уравнения теории
упругости. Фактически – это реакция упругой среды
на сосредоточенную силу или сингулярное
возмущение. Зная ТФГ, можно определить упругое
состояние среды в любой ее точке, вызванное
произвольным распределением таких сил,
источником которых как раз и служат ТД и
макродефекты кристалла, и, тем самым, найти
энергию их упругого взаимодействия [2]. Поэтому
определение ТФГ является важным элементом
теории радиационного материаловедения реальных
кристаллов.
В изотропном приближении ТФГ хорошо
известна [3, 4]. В случае упругоанизотропной среды
регулярный метод ее построения был предложен
И.М. Лифшицем и Л.Н. Розенцвейгом в работе [5].
Было показано, что задача, в принципе, сводится к
вычетам и подразумевает нахождение корней
(полюсов) некоторого алгебраического уравнения
шестой степени. Расположение полюсов в нужной
полуплоскости комплексной переменной
определяется конкретными значениями упругих
модулей кристалла. Оказывается, что для
большинства ГПУ-металлов (Zr, Mg, Co, Ti, Hf, Y,
Sc, Tl, Tc, Ru, Re, Os) искомые полюса чисто
мнимые, а для Zn, Cd и Be – комплексные. По
отдельности для мнимых и комплексных полюсов
ТФГ посчитана в работах [6, 7]. В этом сообщении
результат дается в общем виде, пригодном для
любого ГПУ-металла. Результат точный, и в
отличие от [5, 6] не содержит неопределенности
типа 0/0 при переходе к изотропному приближению.
В качестве примера его использования рассмотрены
поля смещений и напряжений, создаваемые
инфинитезимальной призматической дислокаци-
онной петлей, лежащей в базисной плоскости Zr.
1. ИДЕЯ И ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
МЕТОДА
Смещение ( )u r , возникающее в среде, под
действием приложенной в начале координат
точечной силы f удовлетворяет системе
уравнений:
2 ( )
( )l
i lm
k m
ik
u r
C r
x
f
x
, ( ) 0iu . (1)
Тензор Грина определяется соотношением:
3
n n( ) ( ) ( ) ( )l l n l nr ru d r G f fr r rG , (2)
т. е. является решением системы
2 ( )
( )ln
iklm in
k m
G r
C r
x x
, ( ) 0lnG . (3)
Поэтому, если найти компоненту смещения
( )lu r и в ней заменить if на in , мы получим
соответствующую компоненту ( )lnG r тензора
Грина (латинские индексы принимают значения
1,2,3). Решение (1) находим с помощью
преобразования Фурье, используя известное
разложение -функции Дирака:
3( ) V ( )exp( )l lu i dr r ,
3 3( ) 1/ (2 ) exp( )r i r d . (4)
mailto:ostapchuk@kipt.kharkov.ua
50 ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2014. №4(92)
Подстановка (4) в (3) дает для амплитуд Фурье
V ( )l систему алгебраических уравнений.
Обозначив символом ( ) ее определитель, а
символом ( )il его алгебраические дополнения,
имеем формальное решение для V ( )l :
32
( )
V ( )
(2( ) )
li i
l
e f
e
, (5)
где /e единичный вектор в пространстве
векторов . В силу действительности выражения
(5) интеграл (4) можно представить в виде
3
3
0
( ) V ( )cos
( )1
cos (
(2 ) ( )
l l
li i
u r r d
e f
r n e d d e
e
)
) ),
(6)
где второе интегрирование проводится по полному
телесному углу в пространстве , а /n r r
единичный вектор в пространстве r . Техника
вычисления интеграла (6) подробно изложена в
оригинальной статье Лифшица-Розенцвейга,
поэтому сразу приведем результат:
3
( )2
( )
( )
(2 )
li i
l
f
r
u
z
r dz
z
. (7)
В общем случае ( )z , ( )li z полиномы шестой
и четвертой степеней z соответственно,
коэффициенты которых выражаются через
полярные углы , вектора n в
кристаллографической системе осей и упругие
модули кристалла. Из формулы (7) видно, что
каковы бы ни были модули упругости
iklmC ,
смещение ( )lu r , а значит, и компоненты тензора
Грина являются однородными функциями первого
порядка от координат. Этот факт заранее очевиден.
Он следует из вида уравнений (1), (3) и свойства -
функции
3( ) ( )r r . Интеграл в (7) берется
с помощью вычетов подынтегральной функции
относительно полюсов, расположенных в верхней
полуплоскости комплексной переменной z .
Поэтому формально задача сводится к нахождению
корней уравнения шестой степени.
2. ТЕНЗОР ГРИНА КРИСТАЛЛОВ
ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
В декартовой системе координат с осью 3x в
направлении гексагональной оси кристалла тензор
модулей упругости может быть представлен в
форме:
3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
( )
(
);
iklm ik lm il km im kl i k l m
i k lm ik l m im k l il k m
kl i m km i l
C a b
11 12
1
( )
2
b C C ; 13 12C C ;
55 11 12
1
( )
2
C C C ;
11 33 55 134 2C C C C ,
где 11C , 12C , 13C , 33C , 55 44C C минимальное
число отличных от нуля упругих модулей. В нашем
случае искомые полюса являются корнями
квадратного и биквадратного уравнений вида:
4 21
( ) ( ) 0
2
A z B z k ;
2( ) 0P z b ; (9)
2 4( ) 2 sin sinA k l m ; 2( ) sin 2B l k ;
2( ) sinP b ,
а константы k , m , l даются выражениями:
2k a b b ;
2
2m a b ; 2 2 2l a b b . (10)
Коэффициенты уравнений (9) вещественны, поэтому их корни являются попарно сопряженными, и вклад
в интеграл (7) дают только три из них 1,2,3z . Наиболее просто результат выглядит для компонент тензора
Грина 3 ( )kG r :
3
1 1 2 22
1 2 3
2 3
3
3
1 2
2
( + )
(
( )
() 4
2
.
4
)
k kk
k
ni a b
n n
z z n r
a b
b a b n
z
G
A
z r
r
(11)
(Здесь 1 sin cosn ; 2 sin sinn ; 3 cosn компоненты единичного вектора /n r r ; 1,2z
корни биквадратного уравнения, лежащие в верхней полуплоскости комплексной переменной z ).
Аналогичный результат для компонент ( )kG r ( 1,2 ) сложнее:
(8)
ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2014. №4(92) 51
2 2
3 3
2 2 2
1 2 3 3 3
2 2 2
3 3 3 1 1 2 2
2 2 2 2 2
1 2 3 3 3 3
3
32
1 2 3
( )2
( ) ( ) 4( ) ( )(1 )
( ) ( ) ( + )2
( ) 1 ) ( ) 4( ) ( )(1 )
2
,
( ) (
(
) 4
)
(
k
k
k k
k
R n b ni
G
z z bA n rb P n b n
n P n bn n n ni
z z n A n rb P n b n
n ni a
r
b
z z A n
S
b
r
(12)
а функции
2
3( )R n и
2
3( )S n даются следующими выражениями:
2 2
3 3
1 22 2
1 2 3 3
( )( )
(
( ) ( )
2 (1 ) () )
A n P n b
z z
z z n
a b
R
P n
b
b
, (13)
2 2 2
2 2 2 23 3 3
3 1 2 1 2 1 2 32 2 2
1 2 3 3 3
( ) ( ) 2 ( )1
2 (1 ) ( ) (
( )( )
( ) )
A n P n B nb b
S n z z z z z z n
z z n P
a
n n
b b
Pb A
.
Форма записи (11)-(13) отличается от оригинала
[4] и от работы [5], хотя, по сути, они тождественны.
Удобство ее заключается в предельной простоте
перехода к изотропии. В работах [4, 5] он затруднен
неопределенностью типа 0/0, а здесь ее нет.
Положим 0 . Тогда 0m l ;
2A B k ; P b ; ( 2 )k b a b , биквадратное
уравнение (9) становится тривиальным:
2
2 1 0z , откуда следует, что 1 2z z i . В
результате из (11), (12) для компонент тензора
Грина имеем выражения:
2
1 1 2 2 3 3
3
3
8
3 1
( + )
1
( )
;
2
k k
k
k
a b
b
a b
n n n n
a b r
G r
a b
(14)
1 1 2 2 3 3
8
(
1
( )
2
+
3 1
,)
k
k k k k
a b
G
b
n
r
a b
a b
r
n n n n
a b
(15)
которые легко сворачиваются в одно
1 3 1
(
28
)ik ik i k
a b a b
rG n n
b a b a rb
,(16)
соответствующее изотропной упругой среде
( a ; b , где и – коэффициенты Ламэ)
[2, 3].
Результаты (11), (12) требуют некоторого
пояснения. В работах [7, 8] приведены
экспериментальные и расчетные значения упругих
модулей практически всех ГПУ-металлов. Анализ
этих данных (в пересчете на мегабары) показывает,
что для всех них имеют место неравенства
11 44 0k C C ; ( ) 0A ; ( ) 0B ; ( ) 0P
для любого значения угла . Поэтому нужный
корень квадратного уравнения 3z очевиден:
3 /z i b P , и формула (12) приведена уже с
учетом его явного вида. В (11) он вообще вклада не
дает. Зависимость от угла у коэффициентов
( )A , ( )B , ( )P входит посредством
2 2
3sin 1 n , поэтому в (11), (12) фигурирует
именно
2
3n . Что касается корней биквадратного
уравнения 1,2z , то их явные выражения зависят от
знака дискриминанта
2 2D B Ak или от
соотношений между упругими модулями
конкретного материала. А вот комбинация
1/2
1 2 (2 / )z z k A в этом смысле универсальна,
знак минус следует из перехода к изотропии
1 2 1z z . Таким образом, единственное место,
где нужны явные выражения 1,2z , это отношение
1 22 / ( )i z z . При 0D искомые полюса чисто
мнимые и компактно могут быть записаны в виде:
2 2
3 31,2 1,2 ( ) ( )z p An ni ,
2
1,2
2 2
3
22
4 (1 ).
k
l
p B B Ak
l km n
(17)
Эта ситуация реализуется у Zr, Mg, Co, Ti, Hf, Y,
Sc, Tl, Tc, Ru, Re, Os; для них , 0l m , так что
1,2 3( ) 0p n для любого значения . Для Zn, Cd и
Be 0D , а искомые полюса имеют вид:
1/2
1,2
1/
2
3
2 2
3 3
2
3
3 3
2
2 2
( )1 2
( ) ( )2
( )2
.
( ) ( )2
n
n n
n
n
Bk
z
A A
n
Bi k
A A
(18)
52 ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2014. №4(92)
Видно, что в обоих случаях комбинация
1 22 / ( )i z z вещественна. Важно отметить, что
1,2z являются функциями только
2
3n .
3. ПРИЛОЖЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ
РЕЗУЛЬТАТОВ
В качестве примера использования формул (12),
(13) рассмотрим поля смещений и напряжений,
создаваемые инфинитезимальной призматической
дислокационной петлей, лежащей в базисной
плоскости Zr . Согласно [1, 2] для компонент
смещения имеем:
( )
( )
ij
i jklm lm
k
G r
u r C d
x
,
lm l md S b , (19)
где mb компонента вектора Бюргерса; lS
площадь, ограниченная проекцией петли на
плоскость, перпендикулярную l -й координатной
оси (смещения конечной петли даются
поверхностным интегралом по этой площади). В
нашем случае 3(0,0, )b b , 3(0,0, )S S ,
поэтому
33 3 3( ) (2 4 )jk jk j kC a b ,
соответственно
3 3
33 33 33 13 33
3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( 2 2 4 )i i i i
i
G G G r G r
u r d a d a b d C C
x x x x
(20)
(по индексу 1,2 подразумевается суммирование). Так, для компоненты 3u имеем:
2
2 2 223 33 3
3 33 13 33 33 33 13 32
3
3 3
3
3 3
33 33 3
3 2
3
2
2 2 23
3 3 32
3
32 3
( )
( ) 2
( ) ( )
( ) (1 3 ) (1 )
(1 )
( )
( ) 2 ( ),
n
n n n
n
G r G r n
u r d C d C d C n
x x r
n x
d C
F n
F n nd
n r
n
r
(21)
где согласно (11)
213 55 3 3
3 32
1 2 3
2
( )
( ) 4
C C n n n ni
G r n
z z A n r r
,
2 211
33 55 11 55 3 32
1 2 3 1 2
2 1 1
( )
( ) 4
Ci
G r C C C n F n
z z A n z z r r
.
Для двух других компонент смещения u ( 1,2 ) из (20) получаем:
3
33 13 33 33
3
2
33 13 3
2 2
33 33 3 3 33
2 2
2 2 2 2 23 3
3 3 3 3 32 2 2
3 3
2
2 2 23
3 3 32 32
3
( ) ( )
( )
2 2 (
( ) ( )
( ) 3 ( )
( )
1 )
(1 3 ) 2 (1 )( ) ( ),
G
n n n
n n n n n
r
r
n n
n
n n n
n
G r
u r d C d C
x x
d C n
n x
d C n n d
r r
(22)
где согласно (12)
2 2
3 3(( ) ) ( )
n n
rG n n
r r
, а
громоздкие функции
2
3( )n и
2
3( )n это
соответствующие коэффициенты в квадратных
скобках (12). В (21), (22) учтено очевидное
равенство
2 1k
k
n . Эти выражения справедливы
для любой точки наблюдения r , но, как видно, они
крайне громоздки. Например, в базисной плоскости
( 3 0n ), как и следовало ожидать из соображений
симметрии, компонента 3( )u r обращается в нуль
для любого ГПУ-металла, а выражение (22)
несколько упрощается, но все равно остается очень
громоздким. Так для циркония:
33 33 13 33 32
(0) (0) ( ;) )( 0
x
u r d C C d
n
rr
551
1 2
3 1 1
(0)
2 (0) 0(0( ) )
C C
A p p
; (23)
1 2
1 (0) 1 1
(0)
2 (0) (0) (0)
R
b A p p
,
где величины (0)A , 1,2(0)p , (0)R являются
комбинациями упругих модулей циркония и
определяются соотношениями (9), (10), (13), (17).
Зная поле смещений и используя закон Гука,
нетрудно найти поле напряжений ik iklm lmC u . В
случае гексагональной среды (8) компоненты
тензора напряжений принимают вид:
ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2014. №4(92) 53
11 11 332ikaSpu bu u ;
22 22 332ikaSpu bu u ;
33 33( ) (2 4 )ika Spu b u ;
3 32( )b u ; 12 122bu ;
33(3 2 ) ( 3 4 )ik ikSp a b Spu u .
Видно, что в отличие от изотропии и кубической
симметрии
ikSp не пропорционален
ikSpu . Итак,
задача сводится к простому дифференцированию
выражений (21), (22). Однако, учитывая
громоздкость формул, в общем виде приведем лишь
промежуточные результаты для компонент тензора
деформаций:
33
2
2 2 2 2 3
1 3 3 111 3 2
3
( )
( )( ) (1 3 ) 2
n
n
n
r n nu
r
n
d
;
33
2
2 2 2 2 3
2 3 3 222 3 2
3
( )
( )( ) (1 3 ) 2
n
n
n
r n nu
r
n
d
;
2
2 2 233
33 3
2 3
3 3 3 3 2
3
( ) (1 3 )
( )
( ) (12 )
d
u r
r
n
n n n n
n
,
где функции 2
3( )n и 2
3( )n определяются
соотношениями (21), (22) как коэффициенты при
3
3 /x r и 3/x r
соответственно. С помощью
диагональных компонент тензора деформаций легко
получаем аналогичные компоненты тензора
напряжений и их сумму. Для недиагональных
компонент тензора напряжений результат вполне
обозрим:
2
21 2
12 3
2 3
3 33 5 2
3
( )
( )( ) 3 2
nx x
u r d
r
n n
n
,
2 2
3 3
2 2
2 23 3
3 32 2
3
3
3 33
3
5
( ) [3 3
2
2
( ) ( )
(
2(1 ]
(
.
) )
)
n n
n n
x x
u r d
r
n n
n n
Следует, однако, заметить, что функции
2
3( )n
и
2
3( )n сами по себе очень громоздкие и
выражаются через функции
2
3( )n ,
2
3( )F n ,
2
3( )n и
2
3( )n , которые им под стать; поэтому
выписать результат в общем виде нереально, хотя,
как видим, принципиальных математических
трудностей нет, только технические. В базисной
плоскости ( 3 0n ), например, компоненты тензора
напряжений принимают более простой вид:
211
2
1
3
33 ( 2 ) (0) ( ) (0) () 0( 6 ) ;
x
a b a
d
r
r b
r
222
2
2
3
33 ( 2 ) (0) ( ) (0) () 0( 6 ) ;
x
a b a
d
r
r b
r
33
33 3
(0( ) ( ) ( 2 2 4 )) (0) ;
d
r a a b
r
13 23 0 ; 1 2
12 33 5
(0) 6 ).(
x x
r d b
r
Соответственно
33
11 12 13
3 13
3
3
(0)
(
(
02 ) ,)
)
(
ik
d
Sp C
C C
r
C C
(24)
где согласно (21)
2
3
2
2 3
3 21 0
3
3 33
( )
(0) (0) ( ) 2 |
n
F n
F nC C
n
,
33 13(0) (0) (0)C C .
4. ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ
В заключение приведем численные оценки
полученных результатов применительно к Zr .
Согласно [6] экспериментальные значения упругих
модулей циркония следующие, Мбар:
11 1,554C ;
12 0,672C ;
13 0,646C ;
33 1,725C ;
55 44 0,363C C . Тогда для среднего
гидростатического давления 1/ 3 ikP Sp в
базисной плоскости ( 3 0n ) имеем (24):
3
3
31,44
6
d
P
r
Мбар (напомним, что величина 33d
имеет размерность объема (19)). Для сравнения
аналогичные оценки сделаем для той же
призматической петли в изотропной среде,
моделирующей реальный гексагональный кристалл.
Ось z направим вдоль вектора Бюргерса и нормали
к плоскости петли. В этом случае
( )iklm ik lm il km im klC , а
(3 2 )I I
ik ikSp Spu . Сделав необходимые
вычисления, в плоскости залегания петли получаем:
33
3
3 2
2 6
I
r
d
P
. Для средних упругих
модулей и используем усреднение Фогта [3]:
1
2
15
iijj ijijC C ,
1
3
30
ijij iijjC C .
В результате
1
15 10
15
a ;
1
15 10
15
b ;
3
3
30,805
6
I d
P
r
Мбар.
Далее, энергия упругого взаимодействия между ТД
(в приближении центра дилатации) и
рассматриваемым объектом согласно [1]
пропорциональна среднему давлению, создаваемому
этим объектом в точке нахождения ТД. Поэтому из
приведенных оценок следует, что изотропное
приближение занижает эффективность этого
взаимодействия. В реальном кристалле оно сильнее.
54 ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2014. №4(92)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. V.I. Dubinko, S.A. Kotrechko, and
V.F. Klepikov // Radiat. Eff. Defects Solids. 2009,
v. 164, p. 647.
2. Дж. Эшелби. Континуальная теория
дислокаций. М.: «Наука», 1963, 215 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория
упругости. М.: «Наука», 1987, 246 с.
4. Дж Хирт, И. Лоте. Теория дислокаций. М.:
«Атомиздат», 1972, 600 с.
5. И.М. Лифшиц, Л.Н. Розенцвейг // ЖЭТФ.
1947, т. 17, 783 с.
6. П.Н. Остапчук // ФТТ. 2011, т. 55, №1, с. 95.
7. М.А. Баранов, Е.А. Дубов, И.В. Дятлова,
Е.В. Черных // ФТТ. 2004, т. 46, с. 212.
8. L. Fast, J.M. Wills, B. Johansson, O. Eriksson //
Phys. Rev. B. 1995, v. 51, N 17, p. 431.
Статья поступила в редакцию 26.06.2014 г.
ТЕНЗОРНА ФУНКЦІЯ ГРІНА В ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ АНІЗОТРОПНОГО
ГЕКСАГОНАЛЬНОГО СЕРЕДОВИЩА
П.М. Остапчук, О.Г. Троценко
Методом Ліфшиця-Розенцвейга отримані компоненти тензорної функціі Гріна пружноанізотропного
гексагонального середовища в загальному вигляді, справедливому як для уявних, так і для комплексних
полюсів. Результат точний, і на відміну від попередніх досліджень не містить невизначеностей типу 0/0 при
переході до ізотропного наближення. Як приклад його використання, розглянуті поля зміщень і напружень,
що створюються інфінітезимальною призматичною дислокаційною петлею, що лежить у базисній площині
цирконію.
THE TENSOR GREEN FUNCTION OF ELASTICALLY ANISOTROPIC HEXAGONAL
MEDIUM
P.N. Ostapchuk, O.G. Trotsenko
In this report, components of the tensor Green function of elastically anisotropic hexagonal medium are derived
by the Lifshitz and Rosentsveig method. The result is given in a general form suitable for any hcp metal. The result
is exact and, in contrast to previous studies, contains no the type of uncertainty 0/0 in the transition to the isotropic
limit. As an example of its use, we consider displacements and stress fields generated by a infinitesimal prismatic
dislocation loop lying in the basal plane of Zr.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-80353 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-6016 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T13:01:25Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Остапчук, П.Н. Троценко, О.Г. 2015-04-16T15:35:23Z 2015-04-16T15:35:23Z 2014 Тензорная функция Грина в теории упругости анизотропной гексагональной среды / П.Н. Остапчук, О.Г. Троценко // Вопросы атомной науки и техники. — 2014. — № 4. — С. 49-54. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1562-6016 PACS 62.20.Dc; 62.20.Fe https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80353 Методом Лифшица-Розенцвейга получены компоненты тензорной функции Грина упругоанизотропной гексагональной среды в общем виде, справедливом как для мнимых, так и для комплексных полюсов. Результат точный, и в отличие от предыдущих исследований не содержит неопределенностей типа 0/0 при переходе к изотропному приближению. В качестве примера его использования рассмотрены поля смещений и напряжений, создаваемые инфинитезимальной призматической дислокационной петлей, лежащей в базисной плоскости циркония. Методом Ліфшиця-Розенцвейга отримані компоненти тензорної функціі Гріна пружноанізотропного гексагонального середовища в загальному вигляді, справедливому як для уявних, так і для комплексних полюсів. Результат точний, і на відміну від попередніх досліджень не містить невизначеностей типу 0/0 при переході до ізотропного наближення. Як приклад його використання, розглянуті поля зміщень і напружень, що створюються інфінітезимальною призматичною дислокаційною петлею, що лежить у базисній площині цирконію. In this report, components of the tensor Green function of elastically anisotropic hexagonal medium are derived by the Lifshitz and Rosentsveig method. The result is given in a general form suitable for any hcp metal. The result is exact and, in contrast to previous studies, contains no the type of uncertainty 0/0 in the transition to the isotropic limit. As an example of its use, we consider displacements and stress fields generated by a infinitesimal prismatic dislocation loop lying in the basal plane of Zr. ru Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Вопросы атомной науки и техники Физика радиационных повреждений и явлений в твердых телах Тензорная функция Грина в теории упругости анизотропной гексагональной среды Тензорна функція Гріна в теорії пружності анізотропного гексагонального середовища The tensor Green function of elastically anisotropic hexagonal medium Article published earlier |
| spellingShingle | Тензорная функция Грина в теории упругости анизотропной гексагональной среды Остапчук, П.Н. Троценко, О.Г. Физика радиационных повреждений и явлений в твердых телах |
| title | Тензорная функция Грина в теории упругости анизотропной гексагональной среды |
| title_alt | Тензорна функція Гріна в теорії пружності анізотропного гексагонального середовища The tensor Green function of elastically anisotropic hexagonal medium |
| title_full | Тензорная функция Грина в теории упругости анизотропной гексагональной среды |
| title_fullStr | Тензорная функция Грина в теории упругости анизотропной гексагональной среды |
| title_full_unstemmed | Тензорная функция Грина в теории упругости анизотропной гексагональной среды |
| title_short | Тензорная функция Грина в теории упругости анизотропной гексагональной среды |
| title_sort | тензорная функция грина в теории упругости анизотропной гексагональной среды |
| topic | Физика радиационных повреждений и явлений в твердых телах |
| topic_facet | Физика радиационных повреждений и явлений в твердых телах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80353 |
| work_keys_str_mv | AT ostapčukpn tenzornaâfunkciâgrinavteoriiuprugostianizotropnoigeksagonalʹnoisredy AT trocenkoog tenzornaâfunkciâgrinavteoriiuprugostianizotropnoigeksagonalʹnoisredy AT ostapčukpn tenzornafunkcíâgrínavteoríípružnostíanízotropnogogeksagonalʹnogoseredoviŝa AT trocenkoog tenzornafunkcíâgrínavteoríípružnostíanízotropnogogeksagonalʹnogoseredoviŝa AT ostapčukpn thetensorgreenfunctionofelasticallyanisotropichexagonalmedium AT trocenkoog thetensorgreenfunctionofelasticallyanisotropichexagonalmedium |