Преобразование электромагнитного поля в нестационарном диэлектрическом волноводе
Работа посвящена исследованию электродинамических процессов в нестационарном плоскопараллельном диэлектрическом волноводе, параметры среды которого изменяются во времени. На основе метода интегральных уравнений Вольтерра предложен численно-аналитический подход к решению таких задач и представлены р...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Вопросы атомной науки и техники |
|---|---|
| Дата: | 2004 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
2004
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80421 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | НазваниеПреобразование электромагнитного поля в нестационарном диэлектрическом волноводе / А.Г. Нерух, Ф.В. Федотов // Вопросы атомной науки и техники. — 2004. — № 4. — С. 5-12. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859709503801393152 |
|---|---|
| author | Нерух, А.Г. Федотов, Ф.В. |
| author_facet | Нерух, А.Г. Федотов, Ф.В. |
| citation_txt | НазваниеПреобразование электромагнитного поля в нестационарном диэлектрическом волноводе / А.Г. Нерух, Ф.В. Федотов // Вопросы атомной науки и техники. — 2004. — № 4. — С. 5-12. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Вопросы атомной науки и техники |
| description | Работа посвящена исследованию электродинамических процессов в нестационарном плоскопараллельном диэлектрическом волноводе, параметры среды которого изменяются во времени. На основе метода интегральных уравнений Вольтерра предложен численно-аналитический подход к решению таких задач и
представлены результаты численного моделирования.
Робота присвячена теоретичному дослідженню електродинамічних процесів в нестаціонарному плоскопаралельному діелектричному хвилеводі, параметри середовища якого змінюються у часі. На основі методу
інтегральних рівнянь Вольтерра запропоновано числово-аналітичний підхід до розв’язку таких задач та
наведені результати числового моделювання.
The paper is devoted to investigation of the transients in electromagnetic field in a plane nonstationary dielectric
waveguide with the time-varying medium in the core. The analytic-numerical approach, based on the Volterra integral equation method, is proposed for solving the problem and the numerical results are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-01T04:30:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ТЕОРИИ УСКОРИТЕЛЕЙ
УДК 537.87
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
В НЕСТАЦИОНАРНОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ
А.Г. Нерух, Ф.В. Федотов
Харьковский национальный университет радиоэлектроники
Харьков, Украина;
E-mail: nerukh @ ddan . kharkov . ua , ffedor@ukr.net
Работа посвящена исследованию электродинамических процессов в нестационарном плоскопараллель-
ном диэлектрическом волноводе, параметры среды которого изменяются во времени. На основе метода ин-
тегральных уравнений Вольтерра предложен численно-аналитический подход к решению таких задач и
представлены результаты численного моделирования.
ВВЕДЕНИЕ
Использование различных волноводных структур
имеет важное прикладное значение и широко распро-
странено в современной радио- и оптической элек-
тронике [1]. Множество теоретических и прикладных
исследовательских работ было посвящено исследова-
нию свойств и характеристик стационарных волново-
дов. В последнее время, в связи с постоянной тенден-
цией в радиоэлектронике к использованию все более
коротких длин волн, вплоть до СВЧ или волн инфра-
красного и оптического диапазона, и, соответственно,
уменьшению размеров волноводных устройств, все
большее распространение получают диэлектрические
волноводы, в частности оптические волокна. В насто-
ящее время, в связи с большим прикладным потенци-
алом, высокий интерес вызывают диэлектрические
волноводы с нелинейными и нестационарными свой-
ствами [1,2]. Такие волноводы могут применяться
для сжатия электромагнитных сигналов с целью со-
здания ультракоротких импульсов, для генерации
высших гармоник или создания высокостабильных
солитонных сигналов [3], для управления или моду-
ляции электромагнитного сигнала с помощью изме-
нения параметров среды и др.
Основные электродинамические свойства неста-
ционарных диэлектрических волноводов могут быть
исследованы на простой широко распространенной
модели плоскопараллельного диэлектрического вол-
новода с нестационарной средой в его ядре. Под не-
стационарностью в данной работе подразумевается
зависимость параметров среды в ядре волновода от
времени, причем скорость изменения параметров сре-
ды соизмерима со скоростью изменения напряженно-
сти поля. Однако аналитическое решение электроди-
намических моделей для описания реальных нестаци-
онарных волноводных структур является, ввиду
сложности описания нестационарной среды в волно-
воде и большой размерности задачи, труднореализуе-
мой задачей. Ввиду этого все большее применение
находят численные методы. Данная работа посвяще-
на развитию численно-аналитического подхода к ис-
следованию нестационарных процессов в диэлектри-
ческих волноводах с меняющейся во времени средой
в ядре.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим плоскопараллельный диэлектриче-
ский волновод, образуемый однородным ядром и
неограниченной окружающей средой как оболоч-
кой. Среда в ядре волновода задана относительной
диэлектрической проницаемостью rε) и электриче-
ской проводимостью rσ) , которые могут меняться
во времени. Окружающая среда определена пара-
метрами ε и σ . Относительная магнитная прони-
цаемость среды µ во всем пространстве равна 1.
Расположим систему координат таким образом, что
ось x направлена поперек волновода, оси y, z яв-
ляются продольными координатами и ядро волново-
да занимает промежуток / 2 / 2b x b− Ј Ј , т.е. тол-
щина волновода равна b. Согласно основной идее
подхода, предложенного в 1958 году Н.А. Хижня-
ком [4] и затем расширенного на нестационарные
задачи [5,6], определим параметры среды во всем
пространстве как
0 [ ] 0 [ ] 0( ), ( ) ,b r b rε ε ε χ ε ε ε σ χ σ σ µ µ= + − = − =) ) ) ) )
,
где 0ε – диэлектрическая постоянная; 0µ – магнит-
ная проницаемость вакуума; [ ]bχ – характеристиче-
ская функция волновода, равная 1 внутри волновода
и 0 в окружающем пространстве.
В силу однородности структуры вдоль продоль-
ных координат электромагнитное поле можно разде-
лить на продольные и поперечные компоненты:
3Ee⊥= +E E )
, 3Be⊥= +B B )
,
где 3e) – единичный вектор, направленный вдоль оси
z. Тогда из уравнений Максвелла следуют обобщен-
ные волновые уравнения для этих компонент:
2 2 2 2
0 33
2 2
3 3
2 2 2
0( / ) ( ) ( ) ,
tt t
t
tt r t r
v v
v E v B
v c v
µ σ
χ ε ε µ χ σ σ
⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
∂ + ∂ − ∂ =
= − ∂ − ∂ −С ґ С
− ∂ − − ∂ −
E E E
e
E E) )
( )
2 2
02 2
0 3
1 1 ( )
ˆ( ) , ,
tt t tt r
t r
E E E E
c c
E
ε µ σ χ ε ε
µ σ σ ε⊥ ⊥
∂ + ∂ − ∆ = − ∂ − −
− ∂ − + ∂ С E
)
)
___________________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2004. № 4.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (4), с. 5-12. 5
mailto:ffedor@ukr.net
mailto:nerukh@ddan.kharkov.ua
2 2 2 2
0 33
2 2
3 3 02
2 2
0
1
( / ) ( ) ( ) ,
tt t
t
t r t r t
v v
v B v E
c
v c v
µ σ
ε µ σ
χ ε ε µ χ σ σ
⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
∂ + ∂ − ∂ =
ж ц
= − ∂ + ∂ + −С ґ Сз ч
и ш
− ∂ − ∂ − − ∂
B B B
e
B B
) )
) )
02
02
1
1 ( ) ( ) ,
t t t
t r t r t
B B B
c
B B
c
ε µ σ
χ ε ε χ µ σ σ
∂ ∂ + ∂ − ∆ =
= − ∂ − ∂ − − ∂) )
где 3 3e⊥= + ∂С С )
; 1 1 2 2e e⊥= ∂ + ∂С ) )
; 3 / z∂ = ∂ ∂ ;
/t t∂ = ∂ ∂ ; /v c ε= - фазовая скорость в фоновой
среде (оболочке волновода); 0 01/c ε µ= - скорость
света в вакууме.
Благодаря использованию обобщенных функций
и обобщенных производных, граничные условия для
электромагнитного поля на границах волновода
неявно включены в приведенные уравнения.
Как и в случае гармонически зависящих от вре-
мени сигналов, в общем случае также возможно су-
ществование двух типов полей, как это можно ви-
деть из уравнений и : ТЕ-моды с 0E⊥=С и ТМ-
моды с 0B⊥=С . В обоих случаях рассматриваемая
задача является трехмерной скалярной задачей во
временной области для продольных компонент поля
и векторной одномерной задачей во временной об-
ласти для поперечных компонент.
Далее ограничимся рассмотрением только ТЕ
моды электромагнитного сигнала, распространяю-
щейся вдоль оси z. В таком случае все рассматривае-
мые величины будут независимы от координаты y, а
продольные составляющие сведутся только к маг-
нитному полю B, которое определяется независимо
волновым уравнением . Решения представленных
волновых уравнений, содержащих в себе обобщен-
ные функции и производные, можно получить,
преобразовав их с помощью функции Грина в соот-
ветствующие интегральные уравнения.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ
КОМПОНЕНТ ПОЛЯ
Интегральное уравнение для поперечного элек-
трического поля, полученное с помощью функции
Грина из волнового уравнения , имеет следующий
вид [7-9]:
( ')
2
[ ]
( ')
2 2 2 ( ')
0
' ( ')
2
( ( ') ( ') ) ',
z v t tt
E tt b
z v t t
t t
v dt V t
I v t t z z e dz
v
α
χ
α
+ −
⊥ ⊥ ⊥
− − −Ґ
−
= − ∂ ґ
− − −ґ
т тE F E
)
где 0I – функция Бесселя; 2
0 / 2vα µ σ= − – коэф-
фициент, учитывающий потери в оболочке волново-
да; ( )V t
)
– оператор среды, который в случае немаг-
нитного диссипативного вещества определяется ма-
териальным уравнением:
02
( )1( ) ( 1) '( ( ') )
t
r
r
tV t dt t
v
ε
µ σ σ
ε
= − + −т
)) ) .
Свободный член уравнения E⊥F определяется
через продольную компоненту поля B :
( ')
3 '
( ')
( ') 2 2 2
0
' ' ,
2
( ( ') ( ') ).
z v t tt
E t
z v t t
t t
v dt dz e B
e I v t t z z
v
α α
+ −
⊥ ⊥
− − −Ґ
−
й щ= − ∂ С ґл ы
− − −ґ
т тF )
Следует отметить, что соотношение является
интегральным уравнением Вольтерра относительно
⊥E только внутри ядра волновода, где [ ] 1bχ є , а
вне его поперечная компонента поля равна свобод-
ному члену уравнения, т.е. E⊥ ⊥=E F . Поперечное
магнитное поле удовлетворяет подобному инте-
гральному уравнению, следующему из волнового
уравнения , и его свободный член также определяет-
ся через продольную компоненту В. Таким образом,
ключевой задачей является нахождение продольной
компоненты поля, интегральное уравнение для кото-
рой имеет вид
0
/ 2
(2)
/ 2
( , ) ( , ) ' '
( ', | ' |) ( ') ( ', ') ' .
b
b
B t F t v dt dz
G t t V t B t dx
Ґ Ґ
− Ґ
−
= −
− −
т т
т
r r
r r r
)
Здесь 2 2r x z= + ; функция Грина равна:
(2) 2 2
2 2
( )1( , ) cosh( ( ) )
2 ( )
t vt rG t r e a vt r
vt r
α θ
π
−= −
−
;
θ – единичная функция Хевисайда. При получении
этого уравнения предполагается, что нестационар-
ное поведение среды в волноводе начинается в ну-
левой момент времени. Свободный член интеграль-
ного уравнения определяется известной до началь-
ного момента времени 0 0t = предысторией только
продольной компоненты поля
0
(0)
/ 2
(2)
/ 2
( , ) ( , ) ' '
( ', | ' |) ( ') ( ', ') ',
b
b
F t B t v dt dz
G t t V t B t dx
Ґ
− −Ґ Ґ
−
= −
− −
т т
т
r r
r r r
)
где (0)B есть решение однородного уравнения , име-
ющее смысл начального магнитного поля, которое
существовало бы в однородной фоновой среде в от-
сутствие ядра волновода.
РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ
ЭВОЛЮЦИОННОГО ПОДХОДА
Так как поперечные компоненты поля определя-
ются через продольную компоненту, то последняя,
таким образом, определяет основные свойства ис-
следуемого процесса, поэтому ниже основное вни-
_____________________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2004. № 4.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (4), с.8-15.
6
8
мание будет сосредоточено на рассмотрении реше-
ния уравнения для продольной компоненты поля.
Решение этого уравнения, полученное с помощью
метода резольвент, выражается через свободный
член следующего уравнения:
/ 2
0 / 2
( , ) ( , )
' ' ' ( ', | ' |) ( ', '),
b
b
B t F t
dt dz dx R t t F t
Ґ Ґ
− −Ґ
= −
− − −т т т
r r
r r r
)
посредством резольвентного оператора
( ',| ' |)R t t− −r r
)
. Явное выражение для него может
быть вычислено только для небольшого количества
задач с простыми типами нестационарности. В
частности, это возможно для случая с резким скачком
во времени параметров среды в волноводе. Несмотря
на простоту такого случая, полученная для него ре-
зольвента может быть использована и для построения
решения более сложных нестационарных задач с
произвольной временной зависимостью оператора
среды ( )V t
)
от времени. Такая зависимость может
быть аппроксимирована ступенчатой кусочно-посто-
янной функцией, принимающей на каждом интервале
времени 1n nt t t +< < некоторое значение nV const=
)
(иллюстрация этого приведена на рис. 1). Тогда, ис-
пользуя резольвенту для скачка, решение на каждом
временном шаге 1[ , ]n nt t + определяется точно.
t t 0
V
n-1 t n
t n+τ
t n+1
Рис.1. Аппроксимация параметров среды во време-
ни ступенчатой кусочно-постоянной функцией
Для реализации такого подхода к решению не-
стационарной задачи необходимо получить соответ-
ствующее уравнение и конкретное выражение для
резольвенты nR
)
на каждом интервале 1[ , ]n nt t + . Та-
кое уравнение следует из уравнения и имеет вид
/ 2
/ 2
ˆ ˆ( ', , ') ( ', ' ) '' ''
ˆ ˆ'' ( '', '' ) ( '' ', '', '),
n
n n
t
b
n n
b
R t t K t t dt dz
dx K t t R t t
Ґ Ґ
− Ґ
−
− = − − − ґ
− − −ґ
т т
т
r r r r
r r r r
где (2)ˆ ( ', ' ) ( ',| ' |)n nK t t G t t V− − = − −r r r r
)
. Тогда, в
случае начально-краевой задачи с произвольным на-
чальным моментом времени 0nt > , продольная
компонента поля будет определяться формулой
/ 2
/ 2
( , ) ( , )
' ' ' ( ', , ') ( ', ').
n
b
n
t b
B t F t
dt dz dx R t t F t
Ґ Ґ
− −Ґ
= +
+ −т т т
r r
r r r
%
) %
в которой свободный член ( , )tF r% описывает преды-
сторию процесса до момента времени nt :
0
/ 2
(2)
/ 2
( , ) ( , ) ' '
( ', | ' |) ( ') ( ', ') '.
nt
b
n
b
F t F t v dt dz
G t t V t B t dx
Ґ
− Ґ
−
= +
− −
т т
т
r r
r r r
%
)
Изложенный подход допускает достаточную гиб-
кость в постановке нестационарных задач. Напри-
мер, образование волновода в начальный момент
времени или изменение параметров среды после на-
чального момента времени под воздействием некой
сторонней силы (параметрическая модуляция) или
нелинейности среды. Использование в таких задачах
метода резольвенты позволяет явно учесть как изме-
нение параметров среды во времени, так и влияние
границ волновода, причем резольвенты
( ', , ')nR t t− r r
)
для каждого временного шага отлича-
ются друг от друга только величинами параметров
среды.
Описанный выше эволюционный подход можно
применить для исследования явлений, в которых ди-
электрическая проницаемость среды в волноводе на-
чинает изменяться во времени в силу нелинейности
среды. При пренебрежении потерями в веществе
ядра и оболочке волновода, т.е. 0r rσ σ= =)
, опера-
тор среды ( )V t
)
можно задать выражением
(3)2 2 2( ) ( / 1) / ( ) /d NLV t v E t cε ε χ= − +
)
, где dε – линей-
ная часть диэлектрической проницаемости, (3)
NLχ –
коэффициент нелинейной восприимчивости. Аппрок-
симация изменения во времени параметров среды ре-
ализуется таким образом, что непрерывно изменяю-
щийся во времени оператор ( )V t
)
заменяется кусоч-
но-постоянной функцией nV const=
)
, принимающей
на каждом интервале времени 1n nt t t +< < значение
2( / 1) /n nV vε ε= − , где диэлектрическая проницае-
мость nε определяется через эффективную величи-
ну напряженности электрического поля 1eff nE − на
предыдущем временном интервале 1[ , ]n nt t− в соот-
ветствии со следующим нелинейным законом:
(3) 2
1n d eff nNL Eε ε χ −= + .
Эффективная величина электрического поля effE
определяется путем усреднения решения уравнения
по поперечному сечению.
ПОНИЖЕНИЕ РАЗМЕРНОСТИ
УРАВНЕНИЯ
Однородность рассматриваемой структуры вдоль
___________________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2004. № 4.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (4), с. 5-12. 7
продольных координат позволяет использовать
преобразование Фурье, и в случае распространения
электромагнитного сигнала вдоль оси z он может
быть представлен в виде
( , , ) ( , , ) i zB t x z B t x e d
Ґ
− Γ
− Ґ
= Γ Γт ,
где ( , , )B t x Γ - пространственно-временное распре-
деление сигнала, заданное для каждой про-
странственной гармоники, характеризуемой величи-
ной Γ . С учетом этого уравнение принимает вид
( ) ( ) ( )
/ 2
/ 2
, , ' ' ' ', '
n
b
t b
B t x F t x dt dx K B t x
Ґ
−
= + т т x x
)% ,
где ( , )t x=x – пространственно временной вектор, а
'nKx x
)
– ядро уравнения в скобочной нотации:
2
0' ( ', ')
2
n
n ttK W t t x x
v
ε ε
ε
−
= ∂ − −x x
)
,
22 2
0 0( , ) ( / ) ( / )W x J v x v x vτ τ θ τ= Γ − − .
Свободный член вычисляется по формуле и ра-
вен:
( ) ( )
( )
(0) 2
/ 2
0
/ 2
, , '
( ') ( ', ') ', ' ' .
2
nt
tt
b
b
F t x B t x dt
t W t t x x B t x dx
v
ε ε
ε
− Ґ
−
= − ∂
− − −
т
т
%
Представление сигнала позволяет разложить
любой исследуемый электромагнитный сигнал на
пространственные гармонические компоненты и ис-
пользовать существенно упрощенный вариант урав-
нения , размерность которого для каждой отдельной
пространственной гармоники на единицу ниже. Тем
самым облегчается нахождение резольвенты и по-
строение решения.
Решение уравнения с помощью резольвенты за-
дается выражением . Как было показано в работе
[6], выражения для резольвентного оператора nR
)
различаются в различных зонах пространственно-
временной диаграммы, обусловленных влиянием
границ волновода. Схема расположения таких зон
на временном интервале 1[ , ]n nt t + представлена на
рис. 2, на котором сплошные линии разделяют раз-
личные области определения резольвенты.
t
t’
b/2
r’
n
R
t n+1
n
(lo)
R n
(up)
R n
(mi)
-b/2
r’=-v (t’-t )+b/2nn
r’=v (t’-t )-b/2nn
Рис.2. Схема расположения пространственно-вре-
менных зон резольвентного оператора на интерва-
ле времени [ ]1,n nt t +
Имеется три области определения резольвентного
оператора – средняя зона, в которой нет непосред-
ственного влияния границ, и две боковых зоны, в
которых сказывается влияние одной из границ вол-
новода. При увеличении длительности рассматрива-
емого интервала [ ]1,n nt t + эти зоны пересекутся, су-
щественно усложняя структуру резольвентного опе-
ратора. Для избежания пересечения различных зон
резольвенты должно выполняться условие
/ 2n nv t b∆ Ј , где /n nv c ε= - фазовая скорость на
интервале времени 1[ , ]n nt t + , 1n n nt t t+∆ = − - дли-
тельность рассматриваемого интервала. Данное
условие является приемлемым для рассматриваемой
задачи, учитывая тот факт, что для аппроксимации
нелинейности среды следует использовать гораздо
более мелкий шаг, чем максимально допустимый в
рассматриваемом соотношении.
Резольвентный оператор для средней зоны, в ко-
торой отсутствует непосредственное влияние гра-
ниц волновода, был получен в работе [7] и имеет
следующий вид:
2
( ) 2 (0)1ˆ ( ', ')
2
mi n
n tt n
n
h
R W t t x x
h
−
= − ∂ − − ,
где 2(0) 2 2
0( , ) ( / ) ( / )n n n nW x J h x h x hτ τ θ τ= Γ − −
)
,
0 ( )J t - функция Бесселя, Γ - переменная преоб-
разования Фурье .
В боковых зонах появятся дополнительные сла-
гаемые к резольвентному оператору, обусловленные
влиянием границ [8,9]:
( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆmi
n n nR R R= + ∆m m ,
где ( )ˆnR m обозначает резольвенту соответственно в
нижней (-) или верхней (+) зонах, и
( )
( ) 2 ( )1ˆ ( ',1 ( '))
2
( 1 ( ') / ),
n nb
n tt n
n
n
h
R W t t x x
h
t x x hθ
−
∆ = − ∂ − ± + ґ
− ± +ґ
m
где
_____________________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2004. № 4.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (4), с.8-15.
8
8
( ) 2( ) 2 2
0
/
2 2 2
0
0
( , ) 1 ( / )
2 ( ( ) / ) ( ) ,
n
nb
n n n n
t x h
n n n n
W t x h J h x h
h J h t h u x h U u du
τ
−
= − Γ − +
+ Γ Γ − +т
[ ] 1
0
( ) sinh( )
( ')
(1 ) cosh ( ') ',
'
n
u
n
n n
n
U u h u
J u
h h u u du
u
= Γ −
Λ
− + Γ Γ −
Λт
2 2 2(1 )n nhΛ = Γ − , 1( )J t – функция Бесселя.
Таким образом, в соответствии с предлагаемым
эволюционным подходом, построение решения ин-
тегрального уравнения может быть выполнено
итерационно, шаг за шагом, во времени. Причем, на
каждом шаге n, т.е. на промежутке времени [ ]1,n nt t +
, решение определяется точно посредством резоль-
вентного оператора R, используя рассчитанные на
предыдущих итерациях величины поля B.
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
Для удобства дальнейших вычислений целесооб-
разно нормировать величины и перейти к безразмер-
ным переменным:
/t vt b→ , /x x b→ ,
0 /b vωΩ → , 2
n
n
h ε
ε
= , bkκ = , bΓ ΓЮ .
Рассмотрим случай, когда исходный сигнал 0B
представляет собой собственную волну плоского
волновода, заданную в безразмерных переменных
соотношением:
00 ( , , ) cos( )i t i zB t x z e xκΩ − Γ= ,
где 0Ω – нормированная циклическая частота, Γ –
нормированная постоянная распространения, κ –
нормированное поперечное волновое число . Пара-
метры сигнала должны удовлетворять дисперсион-
ным соотношениям:
2 2 2
0 0tan( / 2) / (1/ 1) 0k hκ κ+ Ω − − = ,
2 2 2
0 0h k−Γ = Ω − , 0 / dh ε ε= .
Величина диэлектрической проницаемости на
каждом шаге расчета определяется по формуле че-
рез эффективное электрическое поле, которое полу-
чается в результате решения уравнения
( ) [ ]
( ) [ ]
0
2
3 3
2
3 3
0
( , , )
' cos ( ') ,
' cos ( ') , .
n
t
n n
t x z
v dt v t t B
v dt v t t B
⊥
⊥
− Ґ
⊥
=
= − Γ − −С
− Γ − С
т
т
E
e
e
Представленный в данной работе подход позво-
ляет исследовать ряд нестационарных электромаг-
нитных явлений в нестационарном диэлектрическом
волноводе.
1. Вначале рассмотрим преобразование собствен-
ной волны волновода при резком изменении во вре-
мени диэлектрической проницаемости в ядре ди-
электрического волновода. Нормированная цикли-
ческая частота волны равна 0 4πΩ = , диэлектриче-
ская проницаемость среды имеет величину 3.5dε =
в ядре волновода и 3ε = в фоновой среде. Попереч-
ное волновое число κ и постоянная распростране-
ния Γ волны определяются из дисперсионного
уравнения и для рассматриваемого случая имеют
значения 4.297κ = и 12.875Γ = . В начальный мо-
мент времени 0 0t = проницаемость среды в ядре
волновода резко изменяется и становится равной
1 3.8ε = . Для численного расчета интегральных со-
отношений используется шаг дискретизации
0.025t x∆ = ∆ = ∆ = в безразмерных координатах,
что соответствует 20 интервалам на один период ко-
лебания волны во времени. Моделируемая продол-
жительность процесса 120T = в безразмерных ве-
личинах. Длительность моделирования на персо-
нальном компьютере с процессором Athlon 1800+
составила 68 мин.
Преобразование магнитного поля во времени на
начальном интервале рассматриваемого нестацио-
нарного процесса в точке 0x = , т.е. в средней точке
волновода, показано на рис. 3.
0 5 10
-2
-1
0
1
2
Амплитуда
Время t Исходная волна Во
Преобразованный сигнал
Рис. 3. Преобразование электромагнитного поля в
средней точке волновода после скачка диэлектриче-
ской проницаемости среды
Спектр преобразованного сигнала, полученный
из рассчитанного полного магнитного поля с помо-
щью быстрого преобразования Фурье, представлен
на рис. 4,5.
1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
0
100
200
300
400
500
Нормированная частота Ωο/2π
Ам
пл
ит
уд
а
Рис. 4. Спектры преобразованного сигнала
___________________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2004. № 4.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (4), с. 5-12. 9
в средней точке волновода x=0
Из приведенных графиков видно, что в результа-
те простого скачка параметров среды в волноводе
начался сложный процесс преобразования суще-
ствующей волны, а также процесс проникновения в
ядро со стороны границ волновода, внешнего поля,
осциллирующего прежней, невозмущенной, часто-
той 0 / 2πΩ .
1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
0
100
200
300
400
500
Нормированная частота Ω ο /2π
А
м
пл
ит
уд
а
Рис. 5. Спектр преобразованного сигнала в точке
x=0.25
На рис. 4,5 показано также, что спектр преоб-
разованного сигнала отличается в различных про-
странственных точках волновода и имеет несколько
пиков, соответствующих волне на старой частоте и
двум волнам с новой частотой 1 0/ / 2dε ε πΩ . Это
согласуется с теоретическим исследованием ра-
бот [8, 9], в которых показано, что в результате рез-
кого изменения проницаемости среды в ядре волно-
вода исходная волна расщепляется, и возникают
сразу несколько новых собственных волн волновода
и непрерывный спектр волн излучения. Одна из соб-
ственных волн обладает прежней величиной посто-
янной распространения, но новой частотой, удовле-
творяющей дисперсионному уравнению волновода с
изменившимися параметрами. Другая волна облада-
ет прежней частотой, но приобретает новое значе-
ние постоянной распространения. Структуры спек-
тров сигнала, полученного с помощью разработан-
ного численно-аналитического алгоритма, соответ-
ствуют спектрам, полученным в ходе теоретическо-
го анализа, что свидетельствует о корректности
предложенной численной схемы. Имеющиеся коли-
чественные отличия в спектрах связаны с конечным
и довольно коротким интервалом времени, по кото-
рому определяется спектр, а также с погрешностью
численного алгоритма.
2. Рассмотрим теперь нелинейную задачу, когда
диэлектрическая проницаемость среды в ядре вол-
новода после начального момента времени 0 0t =
начинает изменяться во времени в силу нелинейно-
сти среды. Такую среду будем описывать соотноше-
нием , в котором коэффициенту нелинейности соот-
ветствует нормированный параметр
2(3)
0 0.1NL Eγ χ= = . Параметры среды до начального
момента времени 3ε = , 3.5dε = . Исходный элек-
тромагнитный сигнал является собственной волной
плоскопараллельного волновода с параметрами
0 2πΩ = , 3.55κ = и 6.326Γ = . Шаг дискретизации
0.025∆ = в безразмерных величинах, что соответ-
ствует 40 интервалам дискретизации на один период
колебания волны во времени.
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
А
м
пл
ит
уд
а
Время t
Исходная волна Во
Преобразованный сигнал
Диэлектрическая проницаемость ε
eff
Рис. 6. Преобразование гармонической волны
в нелинейном волноводе
Преобразование магнитного поля в точке 0x =
изображено на рис. 6, из которого видно, что сигнал
существенно трансформируется, перестает быть гар-
моническим и, на относительно коротком интервале
времени, возникает нестабильность поля. Неста-
бильность вызвана концентрацией энергии в ядре
волновода, а также выбранной моделью нелинейно-
сти, не учитывающей насыщение среды и её инерт-
ность, что, в результате взаимовлияния поля и прони-
цаемости среды, приводит к неограниченному росту
обеих величин и возникновению нестабильности.
Для того чтобы показать критичность влияния
насыщения нелинейной среды, рассмотрим услож-
ненную модель нелинейности
2
12 ( ) /n d eff narctg Eε ε γ α π−= + , в которой величина
нелинейной добавки теперь будет ограничена вы-
бранной зависимостью от эффективной величины
поля, а скорость насыщения зависит от α . Интервал
моделирования по времени составляет 60T = без-
размерных единиц (~60 периодов исходной волны).
Моделирование, с такими же, как и ранее парамет-
рами и α π= , заняло 105 мин на персональном
компьютере с процессором Athlon 1800+. В процес-
се численного моделирования в данном случае не-
стабильность поля не обнаружена. Спектр преоб-
разованного сигнала, полученный с помощью бы-
строго преобразования Фурье, представлен на
рис. 7:
_____________________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2004. № 4.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (4), с.8-15.
10
8
0 1 2 3 4 5 6
0
10
20
30
40
50 A=822
Нормированная частота Ωο/2π
А
м
пл
ит
уд
а
Рис.7. Спектр преобразованного сигнала в средней
точке волновода x=0. Общая структура спектра
0.50 0.75 1.00 1.25 1.50
0
200
400
600
800
Нормированная частота Ω ο /2π
Ам
пл
ит
уд
а
Рис. 8. Детальный вид основной гармоники сигнала
Как и ожидалось из общих физических сообра-
жений, появление нелинейности в волноводе по-
влекло за собой, как это видно на рис. 7, возникно-
вение высших гармоник в спектре сигнала. Однако,
ввиду влияния волноводной структуры рассматрива-
емой задачи на переходной процесс, спектр полу-
ченного сигнала имеет более сложную структуру,
чем в задаче с нелинейным диэлектрическим сло-
ем [10], что можно наблюдать на детальном пред-
ставлении основной спектральной составляющей
сигнала, представленной на рис. 8, которая в данном
случае содержит два пика.
Расщепление основной гармоники можно объяс-
нить появлением постоянной составляющей сигнала
в нелинейном процессе и, как следствие, появлени-
ем постоянной составляющей нелинейной добавки к
эффективной проницаемости среды, что приводит к
схожему процессу со скачком параметров во време-
ни и, соответственно, аналогичным эффектам.
Структура пиков высших гармоник имеет схожий
вид и также содержит двойные пики. Следует также
отметить, что ввиду точного полного учета в инте-
гральном уравнении нестационарности среды,
спектр преобразованного сигнала не ограничивается
наличием только первой (наисильнейшей) высшей
гармоники, чем обычно ограничиваются при ис-
пользовании большинства приближенных методов.
Таким образом, возникновение нелинейности в
волноводе влечет за собой сложное изменение рас-
пространяющейся в нём собственной волны, в кото-
рой помимо появления высших гармоник, вызван-
ных нелинейностью среды, также появляются до-
полнительные составляющие спектра сигнала, обу-
словленные влиянием волноводной структуры
рассматриваемой нестационарной задачи.
3. Параметрическую задачу рассмотрим на при-
мере модуляции во времени диэлектрической про-
ницаемости среды в ядре волновода под действием
внешних управляющих сил, например, по гармони-
ческому закону: ( ) ( )1 cos( )dt A tε ε ω= + − , где ω
, A - нормированные циклическая частота и глуби-
на модуляции соответственно. Исходный сигнал яв-
ляется собственной волной волновода и имеет сле-
дующие параметры: 0 2πΩ = , 3.55κ = и 6.326Γ =
. Шаг дискретизации 0.025∆ = в безразмерных ве-
личинах, что соответствует 40 интервалам дискрети-
зации на один период колебания волны во времени.
Рассмотрим случай с параметрами 01.5 3ω π= Ω = ,
0.2A = . Моделируемая продолжительность процесса
80T = в безразмерных единицах.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0
100
200
300
400
500
Частота
А
м
пл
ит
уд
а
Рис. 9. Спектр преобразованного сигнала в средней
точке волновода x=0 в случае с гармонической мо-
дуляцией параметров среды ядра
Спектр преобразованного сигнала, полученный с
помощью быстрого преобразования Фурье, пред-
ставлен на рис. 9. Как видно из спектра, преобразо-
ванный сигнал содержит набор дополнительных
гармоник, представляющих собой различные линей-
ные комбинации частот исходного сигнала и моду-
ляции среды. Как и в случае с нелинейностью,
структура преобразованного в волноводе сигнала
сложнее, чем в аналогичной задаче о преобразова-
нии поля в нестационарном слое [10], что обуслов-
лено более сложным влиянием исследуемой волно-
водной структуры.
ВЫВОДЫ
В представленной работе решена задача о преоб-
разовании электромагнитного поля в нестационар-
ном плоскопараллельном диэлектрическом волново-
де. Применяя аппарат обобщенных функций, сфор-
мулированы исходные волновые уравнения задачи
для продольных и поперечных компонент поля, из
которых с помощью функции Грина получены экви-
валентные интегральные уравнения Вольтерра во
временной области. Рассмотрено решение инте-
___________________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2004. № 4.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (4), с. 5-12. 11
грального уравнения с помощью эволюционного
подхода на базе метода резольвент и приведено
точное решение задачи о преобразовании собствен-
ной волны волновода при резком скачке параметров
среды его ядра во времени. Для решения задач с
произвольной зависимостью параметров среды во
времени, в частности под влиянием нелинейности,
используется аппроксимация данной зависимости
последовательностью скачков, для каждого из кото-
рых известно точное решение. Для вычисления
окончательного решения разработан численный ал-
горитм и соответствующее программное обеспече-
ние расчета резольвентного оператора.
Представлены результаты численного моделиро-
вания преобразования собственной волны волново-
да при резком изменении во времени диэлектриче-
ской проницаемости среды в ядре волновода и при
её изменении под влиянием нелинейности среды.
Показано возникновение нескольких новых волн и
непрерывного спектра волн излучения после скачка
проницаемости. Одна из новых собственных волн
обладает прежней величиной постоянной распро-
странения, но новой частотой, удовлетворяющей
дисперсионному уравнению волновода с изменив-
шимися параметрами. Другая волна обладает преж-
ней частотой, но приобретает новое значение посто-
янной распространения. Структуры спектров сигна-
ла, полученного с помощью предложенного числен-
но-аналитического алгоритма, соответствуют спек-
трам, полученным в ходе теоретического анализа
рассматриваемой задачи. В случае с возникновени-
ем нелинейности среды в волноводе, помимо появ-
ления высших гармоник в спектре преобразованного
сигнала, наблюдается схожее со скачком проницае-
мости среды расщепление основной и высших гар-
моник сигнала, что объясняется появлением посто-
янной нелинейной добавки к эффективной проница-
емости среды. Аналогичные эффекты наблюдаются
и в задаче с гармонической модуляцией проницае-
мости среды волновода во времени.
ЛИТЕРАТУРА
1. G.P.Agrawal. Nonlinear Fiber Optics. San Diego,
CA: Academic, 1995.
2. T.M.Monro, N.G.R.Broderik, D.J.Richardson. Ex-
ploring optical Properties of Holey Fibers in
Nanoscale Linear and Nonlinear Optics. NJ: Amer-
ican Institute of Physics, 2000.
3. W.J.Wadsworth. Soliton effects in photonic fibers
at 850 nm // Electron Lett. 2000, v.36, p.53–55.
4. Н.А. Хижняк. Функция Грина уравнений Маск-
велла для неоднородных сред // Журн. Техн. Фи-
зики. 1958, т.28, с.1592-1609.
5. А.Г.Нерух, Н.А.Хижняк. Современные пробле-
мы нестационарной макроскопической электро-
динамики. Харьков: НПО «Тест-Радио», 1991.
6. A.G.Nerukh, T.M.Benson. Integral Equation Of
Electromagnetic Field In Time-Varying Dielectric
Waveguide // Proc. Of 4th International Confer-
ence on Transparent Optical Networks (Warsaw,
Poland), 2002, p.165-170.
7. A.G. Nerukh, I.V. Scherbatko, M. Marciniak. Elec-
tromagnetics of Modulated Media with Applica-
tions to Photonics. Warsaw: Nat. Institute of
Telecommunic. Publishing House. 2001, p.268.
8. A.G.Nerukh, F.V.Fedotov, T.M.Benson, Sewell Ph.
Analytic-Numerical Approach to Nonlinear Prob-
lems in Dielectric Waveguides // Proc. of 11th In-
ternational Workshop on Optical Waveguide Theo-
ry and Numerical Modelling (Prague, Czech Re-
public). 2003, p.127.
9. A.G.Nerukh, F.V.Fedotov, T.M.Benson, Sewell Ph.
Resolvents Method for Analytical-Numerical Inves-
tigation of Nonlinear Problems in Dielectric
Waveguide // Proc. Of 5th International Confer-
ence on Transparent Optical Networks (Warsaw,
Poland). 2003, р.54-57.
10. F.V.Fedotov, A.G.Nerukh, T.M.Benson, Sewell Ph.
Investigation of Electromagnetic Field in a Layer
with Time-Varying Medium by Volterra Integral
Equation Method // IEEE J. of Lightwave Technol-
ogy. 2003, v.21, №1, р.305-314.
TRANSFORMATION OF ELECTROMAGNETIC SIGNAL
IN NONSTATIONARY DIELECTRIC WAVEGUIDE
A.G. Nerukh, F.V. Fedotov
The paper is devoted to investigation of the transients in electromagnetic field in a plane nonstationary dielectric
waveguide with the time-varying medium in the core. The analytic-numerical approach, based on the Volterra inte-
gral equation method, is proposed for solving the problem and the numerical results are presented.
ТРАНСФОРМАЦІЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ПОЛЯ
В НЕСТАЦІОНАРНОМУ ДІЕЛЕКТРИЧНОМУ ХВИЛЕВОДІ
О.Г. Нерух, Ф.В. Федотов
Робота присвячена теоретичному дослідженню електродинамічних процесів в нестаціонарному плоско-
паралельному діелектричному хвилеводі, параметри середовища якого змінюються у часі. На основі методу
інтегральних рівнянь Вольтерра запропоновано числово-аналітичний підхід до розв’язку таких задач та
наведені результати числового моделювання.
_____________________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2004. № 4.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (4), с.8-15.
12
8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-80421 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-6016 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T04:30:55Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Нерух, А.Г. Федотов, Ф.В. 2015-04-17T17:56:32Z 2015-04-17T17:56:32Z 2004 НазваниеПреобразование электромагнитного поля в нестационарном диэлектрическом волноводе / А.Г. Нерух, Ф.В. Федотов // Вопросы атомной науки и техники. — 2004. — № 4. — С. 5-12. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1562-6016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80421 537.87 Работа посвящена исследованию электродинамических процессов в нестационарном плоскопараллельном диэлектрическом волноводе, параметры среды которого изменяются во времени. На основе метода интегральных уравнений Вольтерра предложен численно-аналитический подход к решению таких задач и представлены результаты численного моделирования. Робота присвячена теоретичному дослідженню електродинамічних процесів в нестаціонарному плоскопаралельному діелектричному хвилеводі, параметри середовища якого змінюються у часі. На основі методу інтегральних рівнянь Вольтерра запропоновано числово-аналітичний підхід до розв’язку таких задач та наведені результати числового моделювання. The paper is devoted to investigation of the transients in electromagnetic field in a plane nonstationary dielectric waveguide with the time-varying medium in the core. The analytic-numerical approach, based on the Volterra integral equation method, is proposed for solving the problem and the numerical results are presented. ru Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Вопросы атомной науки и техники Интегральные уравнения в теории ускорителей Преобразование электромагнитного поля в нестационарном диэлектрическом волноводе Трансформація електромагнітного поля в нестаціонарному діелектричному хвилеводі Transformation of electromagnetic signal in nonstationary dielectric waveguide Article published earlier |
| spellingShingle | Преобразование электромагнитного поля в нестационарном диэлектрическом волноводе Нерух, А.Г. Федотов, Ф.В. Интегральные уравнения в теории ускорителей |
| title | Преобразование электромагнитного поля в нестационарном диэлектрическом волноводе |
| title_alt | Трансформація електромагнітного поля в нестаціонарному діелектричному хвилеводі Transformation of electromagnetic signal in nonstationary dielectric waveguide |
| title_full | Преобразование электромагнитного поля в нестационарном диэлектрическом волноводе |
| title_fullStr | Преобразование электромагнитного поля в нестационарном диэлектрическом волноводе |
| title_full_unstemmed | Преобразование электромагнитного поля в нестационарном диэлектрическом волноводе |
| title_short | Преобразование электромагнитного поля в нестационарном диэлектрическом волноводе |
| title_sort | преобразование электромагнитного поля в нестационарном диэлектрическом волноводе |
| topic | Интегральные уравнения в теории ускорителей |
| topic_facet | Интегральные уравнения в теории ускорителей |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80421 |
| work_keys_str_mv | AT neruhag preobrazovanieélektromagnitnogopolâvnestacionarnomdiélektričeskomvolnovode AT fedotovfv preobrazovanieélektromagnitnogopolâvnestacionarnomdiélektričeskomvolnovode AT neruhag transformacíâelektromagnítnogopolâvnestacíonarnomudíelektričnomuhvilevodí AT fedotovfv transformacíâelektromagnítnogopolâvnestacíonarnomudíelektričnomuhvilevodí AT neruhag transformationofelectromagneticsignalinnonstationarydielectricwaveguide AT fedotovfv transformationofelectromagneticsignalinnonstationarydielectricwaveguide |