Global-in-time solutions of 3-dimensional Vlasov-Poisson system
In this paper, we consider 3-dimensional Vlasov-Poisson system and study their qualitative properties of globalin-time solutions from the point of view integrability, stability, and optimality using the concept of special constructed integral equations and the Lyapunov direct method. We provide cr...
Saved in:
| Published in: | Вопросы атомной науки и техники |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
2006
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80436 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Global-in-time solutions of 3-dimensional Vlasov-Poisson system / Zohreh Parsa, Vladimir Zadorozhny // Вопросы атомной науки и техники. — 2006. — № 5. — С. 21-23. — Бібліогр.: 7 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-80436 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Parsa, Zohreh Zadorozhny, V. 2015-04-17T19:25:32Z 2015-04-17T19:25:32Z 2006 Global-in-time solutions of 3-dimensional Vlasov-Poisson system / Zohreh Parsa, Vladimir Zadorozhny // Вопросы атомной науки и техники. — 2006. — № 5. — С. 21-23. — Бібліогр.: 7 назв. — англ. 1562-6016 PACS: 29.27.Eg https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80436 In this paper, we consider 3-dimensional Vlasov-Poisson system and study their qualitative properties of globalin-time solutions from the point of view integrability, stability, and optimality using the concept of special constructed integral equations and the Lyapunov direct method. We provide criteria that guarantee the existence of solution for the above mentioned properties By using this approach we reduce the problem of the charged-particle beam transport, in particular, focusing with acceleration, to a problem of optimal control of dynamic system. В этой работе мы рассматриваем 3-х мерную систему уравнений Власова-Пуассона и изучаем качественные свойства их глобальных во времени решений с точки зрения интегрируемости, устойчивости и оптимальности использования концепции специально сконструированных интегральных уравнений и прямого метода Ляпунова. Мы приводим критерии, которые гарантируют существование решения для вышеупомянутых свойств. Благодаря использованию этого подхода мы свели проблему транспорта пучка заряженных частиц, в частности, фокусировку с ускорением к задаче оптимального управления динамической системой. В цій роботі ми розглядаємо 3-и вимірну систему рівнянь Власова-Пуассона та вивчаємо якісні властивості їх глобальних за часом розв’язків з точки зору інтегрованості, стійкості і оптимальності використання концепції спеціально сконструйованих інтегральних рівнянь та прямого методу Ляпунова. Ми приводимо критерії, котрі гарантують існування розв’язків для вищезазначених властивостей. Завдяки застосуванню цього підходу ми звели проблему транспорту пучка заряджених частинок, зокрема, фокусування з прискоренням до задачі оптимального керування динамічною системою. en Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Вопросы атомной науки и техники Релятивистская и нерелятивистская плазменная СВЧ-электроника Global-in-time solutions of 3-dimensional Vlasov-Poisson system Глобальные во времени решения трехмерной системы уравнений Власова-Пуассона Глобальні за часом розв’язки тривимірної системи рівнянь Власова-Пуассона Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Global-in-time solutions of 3-dimensional Vlasov-Poisson system |
| spellingShingle |
Global-in-time solutions of 3-dimensional Vlasov-Poisson system Parsa, Zohreh Zadorozhny, V. Релятивистская и нерелятивистская плазменная СВЧ-электроника |
| title_short |
Global-in-time solutions of 3-dimensional Vlasov-Poisson system |
| title_full |
Global-in-time solutions of 3-dimensional Vlasov-Poisson system |
| title_fullStr |
Global-in-time solutions of 3-dimensional Vlasov-Poisson system |
| title_full_unstemmed |
Global-in-time solutions of 3-dimensional Vlasov-Poisson system |
| title_sort |
global-in-time solutions of 3-dimensional vlasov-poisson system |
| author |
Parsa, Zohreh Zadorozhny, V. |
| author_facet |
Parsa, Zohreh Zadorozhny, V. |
| topic |
Релятивистская и нерелятивистская плазменная СВЧ-электроника |
| topic_facet |
Релятивистская и нерелятивистская плазменная СВЧ-электроника |
| publishDate |
2006 |
| language |
English |
| container_title |
Вопросы атомной науки и техники |
| publisher |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Глобальные во времени решения трехмерной системы уравнений Власова-Пуассона Глобальні за часом розв’язки тривимірної системи рівнянь Власова-Пуассона |
| description |
In this paper, we consider 3-dimensional Vlasov-Poisson system and study their qualitative properties of globalin-time
solutions from the point of view integrability, stability, and optimality using the concept of special constructed
integral equations and the Lyapunov direct method. We provide criteria that guarantee the existence of solution
for the above mentioned properties By using this approach we reduce the problem of the charged-particle beam
transport, in particular, focusing with acceleration, to a problem of optimal control of dynamic system.
В этой работе мы рассматриваем 3-х мерную систему уравнений Власова-Пуассона и изучаем качественные свойства их глобальных во времени решений с точки зрения интегрируемости, устойчивости и оптимальности использования концепции специально сконструированных интегральных уравнений и прямого метода Ляпунова. Мы приводим критерии, которые гарантируют существование решения для вышеупомянутых свойств. Благодаря использованию этого подхода мы свели проблему транспорта пучка заряженных частиц, в частности, фокусировку с ускорением к задаче оптимального управления динамической системой.
В цій роботі ми розглядаємо 3-и вимірну систему рівнянь Власова-Пуассона та вивчаємо якісні
властивості їх глобальних за часом розв’язків з точки зору інтегрованості, стійкості і оптимальності
використання концепції спеціально сконструйованих інтегральних рівнянь та прямого методу Ляпунова. Ми
приводимо критерії, котрі гарантують існування розв’язків для вищезазначених властивостей. Завдяки
застосуванню цього підходу ми звели проблему транспорту пучка заряджених частинок, зокрема,
фокусування з прискоренням до задачі оптимального керування динамічною системою.
|
| issn |
1562-6016 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80436 |
| citation_txt |
Global-in-time solutions of 3-dimensional Vlasov-Poisson system / Zohreh Parsa, Vladimir Zadorozhny // Вопросы атомной науки и техники. — 2006. — № 5. — С. 21-23. — Бібліогр.: 7 назв. — англ. |
| work_keys_str_mv |
AT parsazohreh globalintimesolutionsof3dimensionalvlasovpoissonsystem AT zadorozhnyv globalintimesolutionsof3dimensionalvlasovpoissonsystem AT parsazohreh globalʹnyevovremenirešeniâtrehmernoisistemyuravneniivlasovapuassona AT zadorozhnyv globalʹnyevovremenirešeniâtrehmernoisistemyuravneniivlasovapuassona AT parsazohreh globalʹnízačasomrozvâzkitrivimírnoísistemirívnânʹvlasovapuassona AT zadorozhnyv globalʹnízačasomrozvâzkitrivimírnoísistemirívnânʹvlasovapuassona |
| first_indexed |
2025-11-24T19:52:15Z |
| last_indexed |
2025-11-24T19:52:15Z |
| _version_ |
1850491311123070976 |
| fulltext |
GLOBAL-IN-TIME SOLUTIONS OF 3-DIMENSIONAL
VLASOV-POISSON SYSTEM
Zohreh Parsa1, Vladimir Zadorozhny2
1Brookhaven National Laboratory, Physics Department 510A, Upton, NY 11973-5000, USA
2Department of Optimization for Controlled Processes, Cybernetics Institute
40 Glushkov Ave., 03187 Kiev, Ukraine
E-mail: zvf@compuserv.com.ua
In this paper, we consider 3-dimensional Vlasov-Poisson system and study their qualitative properties of global-
in-time solutions from the point of view integrability, stability, and optimality using the concept of special con-
structed integral equations and the Lyapunov direct method. We provide criteria that guarantee the existence of solu-
tion for the above mentioned properties By using this approach we reduce the problem of the charged-particle beam
transport, in particular, focusing with acceleration, to a problem of optimal control of dynamic system.
PACS: 29.27.Eg
1. INTRODUCTION
It is well known that the Vlasov equation [1] are
employed to describe the dynamics of a charged-
particle flow under condition that the pair collisions are
of little consequence. This equation presents itself a
kinematic equation with self-consistent field and free of
a collision term. Under absence of the magnetic field
and when the particle has charge e and mass M this
equation has the form
0.=fE
m
efv vxt ∂+∂+∂ (1)
Here f is a particle density in the phase space,
therefore fdxdv is a number of particles inside the
volume dx with velocities in the interval dv .
The self-consistent electric field E , appearing in
(1), should satisfy Poisson equation (see Vlasov [1])
,4),,(4=div exdvvxtfeE π ρπ +∫ (2)
where exρ is an external charge.
Denote by U the potential of electric field E .
Then the boundary conditions for the axial-symmetric
flow can be presented in the following form:
0,0,=(0) 0= =∂ rrUU (3)
where r is a beam radius. First condition determines
the potential on the beam axis. Second one can be
treated as condition for the absence on the axis of any
particle which belongs to the beam moving along the
axis.
From the above it appears that the problem at hand
consists in constructing solutions to the Vlasov
equation (1) with account of the Poisson equation (2)
and the boundary conditions (3).
It is customary to seek general solutions to equation
(1) on characteristics of the dynamical system
,R,R
),(=,=
3
2
3
1 ∈Ω∈⊂Ω∈ vx
xtE
m
evvx
(4)
using the Cauchy method.
Thus, the characteristics appear as solutions to the
equation, which describes dynamics of an individual
particle moving in the force field E . This field
presents itself the sum of the exterior and average
field`s, the latter characterizing effect of the remaining
particles to the analyzed one. Thus, the Vlasov equation
is applicable in all cases when the collision forces are
negligibly small in comparison with the Coulomb
forces, given by equation (2).
Note that equation (2) may have solutions even
when the dynamics equation possesses no solutions,
especially when we are dealing with generalized
solutions.
In the case under study the dynamics equations are
essentially nonlinear that presents difficulty in finding
the characteristics. In view of this, the idea arose to
solve this problem with no use of characteristics. The
questions on existence and singularity of solutions of
the Vlasov equation were given a wide coverage in
many papers (see, e.g., [2-5]). As a rule, in the
problems of transport a supplementary condition is
imposed. In focusing at a given target the transport
should be carried on with acceleration. We assume that
this condition is specified by the payoff functional:
0.>0,,),,,(=
0
twTdtEvxtwI
T
∀≥∞≤∫ (5)
In his well-known work [6] Bellman showed that on
the optimal motions )max/min( →I the following
equation should hold true
.= wfEfvf vxt ∂+∂+∂ (6)
Solution of this equation is a some absolutely
continuous function defined for each E , EE ⊂ ,
where E is a set of admissible values of E , and
0][ ≤tw almost everywhere in t , )[0, ∞∈t , 0=][∞w .
Denote
( ) ( )( ),,,,=][ 0000 vxvvxxStS tt
∆
where ( ) ( )( )0000 ,,, vxvvxx tt is a solution to equation
(4) under the initial values ),( 00 vx .
Problem of Optimal Stabilization.
Let the payoff functional of the transport flow (5) is
chosen. It is required to find a self-consistent
electrostatic field { }3
1=),,( ss vxtE , providing asymptotic
stability of the stationary (non-disturbed) motion by
___________________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2006. № 5.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (5), с.21-23. 21
virtue of (1). Herewith, the inequality should be
fulfilled
( ) ( )dtvxEtwdtvxEtw ,,,,,,
0
00
0
∫∫
∞∞
≤
for all initial values { }000 ,, vxt from some domain
vx ΩΩ .
2. STATIONARY SOLUTIONS
To begin with, we find stationary solutions,
appearing in the problem of optimal stabilization. For
this purpose we shall analyze
,a.e.= gwLf (7)
where operator L is introduced for the convenience
sake:
,fEfvLf vx ∂+∂≡
and a )(⋅g is an arbitrary function from the space
)(2 ΩL , Ω is a closure of the union 21 ΩΩ . Thus,
by L is denoted the derivative of function f by virtue
of (3):
.=][ Lf
dt
tdf
From the conditions imposed above on function w
there follows
.][][=),(
0
dttwtgvxf ∫
∞
(8)
Function ),( vxf is absolutely continuous of its
initial values },{ vx belonging to domain Ω . For the
convenience sake index 0 is omitted.
Function w under the integral in (7) is fixed while
as g may stand any function from )(2 ΩL . This
situation can be defined as follows
a.e.= Rgf (9)
We see that formula (7) with the help of function
w specifies the operator R acting on )(2 ΩL . Let
{ } ∞
0kϕ be the orthonormal system in )(2 ΩL , the
inequality
)(||||||
1/22
1/22
0
2 xvcwdtcRg kkk ⋅≤≤ ∑∫∑
∞
ϕ
is satisfied almost everywhere, where dxdvgc kk ϕ∫
Ω
=
is the Fourier coefficient of function g ,
2=|| 2
2
L
k gc∑ ,
dttvtxwvxV ])[],[(=),(
0
∫
∞
− .
Thus, the inequality
a.e.),(g|| 2 vxVRg L≤ (10)
is true for all )(2 Ω∈ Lg and consequently R is the
Hilbert-Schmidt operator ([7], p.136). That is why, the
operator R has a full set of eigen-functions and its
spectrum contains only eigen-values. Operator R is
predetermined by some symmetric kernel ),;,( uyvxk ,
{ } Ω∈uvyx ,;, .
Now we find solutions to the equation
.= 00 wfLf (11)
It follows from the above considerations that
..),(),;,(= 00 dyduuyfuyvxkf ∫
Ω
(12)
Let us act by the operator L upon both the left-
hand and the right-hand sides of equation (12). Since
wf0 can be uniquely presented in domain Ω as the
orthogonal sum
0,=,= 000 gdxdvfgfwf ∫
Ω
+λ
we come to the Fredholm equation of second kind
.),;,(
~
= 00 dydufuyvxkgf ∫+λ (13)
where ),;,(=
~ uyvxLkk .
The homogeneous part of the equation has non-
trivial solutions which are orthogonal to the free term
g , when λ belongs to the spectrum of operator
RLR ~≡ .
In can easily be shown, using relationship (9), that
R~ is the Toeplitz operator. It is generated by function
w , that is spectrum )~(Rσ completely coincides with
the values of function ),( vxw when { } Ω∈vx, .
The following conclusion can be reached. If the
spectrum is concentrated at the zero value of function
w and the solution 0f of equation (11) is absolutely
continuous function that is 0f is the first integral, then
0=λ is the eigen-value of operator R~ .
Well known, the symmetric kernel function k may
be written down as ),,(),( uyvx kkk
∗∑ ψψµ where kµ
are eigenvalues and ),( vxkψ are eigenfunctions for the
operator .R This reasoning yields the equation (13) to
simple integral equation:
.),(),(),(= dyduuyfuyvxLf pkkkp
∗∑∫ ψψµλ (14)
It is easy to verify that the equation (14) reduces to
an algebraic equation
,= qpqp hkh ∑λ
where
dyduuyfuyh opp ),(),(= ∗∫ψ ,
.),(),(),(= dyduuyfuyuyLk omppq
∗∫ ψψ
Then there exists a set }{ pf of solutions the
equation (14) such that
AvxfeS p
ti
p
p +∑ ),(=
6
1
λα (15)
is a complete integral of the equation (1) if 6
1=}{ kkα
and A is some set of constants. The approach adopted
also permits us to investigate an integrability of
Vlasov-Poisson system.
22
3. COMPLETE INTEGRABILITY
Definition. The system (1) is said to be the
completely integrable, if the Hamilton function
ssssss EvH +∑∑ + 3
3
1=
3
1== θθ may be yields to a
function ),...(= 61 JJHH ′′ .
As well known, if now }{ sf in (15) is replaced
with new impulse }{ sJ , then we obtain SHH t∂+′ =
and can find the following differential equations
.1,2,...,6=,=
,1,2,...,6=0,=
s
dt
d
s
dt
dJ
s
s
s
λ
θ
Here 6
1=},{ sss Jθ are angle - action coordinates.
We considered the situation in which the set }{ pf
contain the independent first integrals 5
1}{ pf only, i.e.
the Poisson brackets
0=],[ pfH .
and )...= 66211 fcfcfcf ssss +++ , 7≥s , where
6
1=}{ isic are arbitrary constants.
Here the statement 0=],[ pfH is true so that pf
is independent of variables ),...,( 61 ψψ , and 0=pLf .
But if all set ∞
1}{ pf is linear independent set of
the first integrals then we may construct a soliton-like
solution of Vlasov-Poisson systems.
REFERENCES
1. A.A. Vlasov. Theory of many particles. M.:
"Fizmatgiz", 1950, p.348.
2. A.A. Arsen`ev. Existence on the whole of weak
solution of the Vlasov system of equations //
J. Comput. Matem. Phys. 1997, v.15, №1,
p.136-148.
3. S. Wallman. Existence and uniqueuess theory of
the Vlasov-Poisson System with Application to
the Problem with Cylindrical Symmetry //
J. Math. Anol. Appl. 1982, v.90, №1, p.138-170.
4. R.C. Davidson, C. Chen. Kinetic Description of
High Intensity Beam Propagation Through a
Periodic Focusing Field Based on the Nonlinear
Vlasov-Maxwell Equations // Particle
Accelerator. 1996, v.59, p.175-250.
5. Z. Parsa, V.F. Zadorozhny. On Successive
Approximation Technique in Solving Vlasov-
Poisson Problem // J. Nuclear Instruments and
Methods in Physics Research. 2005, v.A558,
№1, p.311-313.
6. R. Bellman. Dynamic Programming. Princeton
Univ. Press, Princeton, N.-Y., 1957, p.359.
7. P.R. Halmos, V.S. Sunder. Bounded Integral
Operators on 2L Spaces. Springer-Verlag,
Berlin, Heidelberg, N.-Y., 1978, p.157.
ГЛОБАЛЬНЫЕ ВО ВРЕМЕНИ РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ВЛАСОВА-ПУАССОНА
Зорех Парса, В.Ф. Задорожный
В этой работе мы рассматриваем 3-х мерную систему уравнений Власова-Пуассона и изучаем качествен-
ные свойства их глобальных во времени решений с точки зрения интегрируемости, устойчивости и опти-
мальности использования концепции специально сконструированных интегральных уравнений и прямого
метода Ляпунова. Мы приводим критерии, которые гарантируют существование решения для вышеупомя-
нутых свойств. Благодаря использованию этого подхода мы свели проблему транспорта пучка заряженных
частиц, в частности, фокусировку с ускорением к задаче оптимального управления динамической системой.
ГЛОБАЛЬНІ ЗА ЧАСОМ РОЗВ’ЯЗКИ ТРИВИМІРНОЇ СИСТЕМИ РІВНЯНЬ
ВЛАСОВА-ПУАССОНА
Зорех Парса, В.Ф. Задорожний
В цій роботі ми розглядаємо 3-и вимірну систему рівнянь Власова-Пуассона та вивчаємо якісні
властивості їх глобальних за часом розв’язків з точки зору інтегрованості, стійкості і оптимальності
використання концепції спеціально сконструйованих інтегральних рівнянь та прямого методу Ляпунова. Ми
приводимо критерії, котрі гарантують існування розв’язків для вищезазначених властивостей. Завдяки
застосуванню цього підходу ми звели проблему транспорту пучка заряджених частинок, зокрема,
фокусування з прискоренням до задачі оптимального керування динамічною системою.
___________________________________________________________
ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2006. № 5.
Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (5), с.21-23. 23
|