Нечеткая кластеризация в задаче построение моделей «Состав – свойство» по данным пассивного эксперимента в условиях неопределённости

Актуальность исследования, результаты которого приводятся в статье, связана с разработкой методов оценивания параметров математических моделей в том случае, если они строятся по результатам пассивного эксперимента в условиях малой выборки нечетких данных. Первым этапом на этом пути является разработ...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Проблемы машиностроения
Date:	2013
Main Author:	Дёмин, Д.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2013
Subjects:	Прикладная математика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80953
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Нечеткая кластеризация в задаче построение моделей «Состав – свойство» по данным пассивного эксперимента в условиях неопределённости / Д.А. Дёмин // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 6. — С. 15-23. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859656817977589760
author	Дёмин, Д.А.
author_facet	Дёмин, Д.А.
citation_txt	Нечеткая кластеризация в задаче построение моделей «Состав – свойство» по данным пассивного эксперимента в условиях неопределённости / Д.А. Дёмин // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 6. — С. 15-23. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы машиностроения
description	Актуальность исследования, результаты которого приводятся в статье, связана с разработкой методов оценивания параметров математических моделей в том случае, если они строятся по результатам пассивного эксперимента в условиях малой выборки нечетких данных. Первым этапом на этом пути является разработка процедуры нечеткой кластеризации, позволяющей «разнести» все экспериментальные точки в многомерном факторном пространстве, «приписав» их к той или иной вершине гиперкуба, формирующего план полного факторного эксперимента для реализации последующей процедуры ортогонализации. Математическая модель процесса представляет собой регрессионное уравнение в виде полинома Колмогорова-Габора, описывающее влияние нечётких входных переменных – состава сплава – на его свойства. Это так называемая модель типа «состав – свойство». В результате реализации предложенной процедуры нечёткой кластеризации, обязательной перед построением уравнения регрессии в случае, если область планирования имеет произвольную форму, может быть установлен кластер, «ближайший» по отношению к рассматриваемой экспериментальной точке и осуществлена процедура отнесения соответствующей точки к тому или иному центру кластеризации. Полученные при этом результаты могут быть использованы для дальнейшей процедуры построения уравнения регрессии. Предложен алгоритм нечеткой кластеризации и приведены примеры расчета функций принадлежности, используемых при реализации этого алгоритма. Использование предлагаемой процедуры является эффективным при оценке параметров математических моделей по данным пассивного эксперимента в условиях малой выборки нечетких данных. Описані результати досліджень, присвячених розробці процедури нечіткої кластеризації експериментальних точок при побудові математичних моделей типу «склад – властивості» за даними пасивного експерименту. Запропоновано алгоритм нечіткої кластеризації та наведені приклади розрахунку функцій належності, що використовуються при реалізації цього алгоритму. Використання процедури, що пропонується, може бути здійснено при оцінюванні параметрів математичних моделей за даними пасивного експерименту в умовах малої вибірки нечітких даних. Relevance of research, results of which are given in the paper concerns the development of methods for estimating the parameters of mathematical models in case they are built on the passive experiment results in conditions of small sample of fuzzy data. The first stage in this process is to develop a fuzzy clustering procedure, which allows to "spread" all experimental points in a multidimensional factor space, having "attributed" them to this or that hypercube top, forming a plan of full factorial experiment to implement the further orthogonalization procedure. The mathematical model of the process is the regression equation in the form of the Kolmogorov-Gabor polynomial, describing the influence of fuzzy input variables, i.e. alloy structure, on its properties. It is so-called "structure - property" model. As a result of realization of the proposed fuzzy clustering procedure, obligatory before building up the regression equation in case the planning area has an arbitrary shape, cluster, "nearest" to the considered experimental point can be installed and procedure of referring the corresponding point to this or that clustering center can be carried out. The results obtained can be used for the further construction procedure of the regression equation. The fuzzy clustering algorithm was proposed, and calculation examples of membership functions, used in the implementation of this algorithm were given. Using the proposed procedure is effective in estimating the parameters of mathematical models according to the passive experiment data in conditions of small sample of fuzzy data.
first_indexed	2025-11-30T09:36:56Z
format	Article
fulltext	ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Проблемы машиностроения, 2013, Т. 16, № 6 15 Д. А. Дёмин, д-р техн. наук Национальный технический универси- тет «Харьковский политехнический институт», Харьков, Украина e-mail: c7508990@gmail.com Ключові слова: математична модель, нечітка кластеризація, пасивний експе- римент, невизначеність УДК 681.5:519.24 НЕЧЕТКАЯ КЛАСТЕРИЗАЦИЯ В ЗАДАЧЕ ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ «СОСТАВ – СВОЙСТВО» ПО ДАННЫМ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ Анотація. Описані результати досліджень, присвячених розробці процедури нечіткої кластеризації експериментальних точок при побудові математичних моделей типу «склад – властивості» за даними пасивного експерименту. Запропоновано алгоритм нечіткої кластеризації та наведені приклади розрахунку функцій належнос- ті, що використовуються при реалізації цього алгоритму. Викорис- тання процедури, що пропонується, може бути здійснено при оці- нюванні параметрів математичних моделей за даними пасивного експерименту в умовах малої вибірки нечітких даних. Введение Решение широкого класса задач, связанных с поиском оптимального управления процессами плавки черных и цветных сплавов, предполагает наличие соответствующего математического описа- ния управляемых процессов. Однако получение такого описания зачастую является весьма сложной самостоятельной задачей, и сложность это обусловлена тем, что для её решения чуть ли не единст- венно возможным является использование результатов пассивного промышленного эксперимента. Такие результаты – это выборка входных переменных, доступных для контроля в режиме нормальной эксплуатации оборудования непосредственно в промышленных условиях, и выходных переменных, измеряемых в этом же процессе или оцениваемых на основании лабораторных измерений. Причем характерным является то, что результаты такого контроля поступают на вход через интервал време- ни, необходимый для проведения лабораторных измерений, т.е. имеет место временной сдвиг между моментом действия входных переменных и получением оценочной величины отклика. Помимо этого следует упомянуть еще одно серьёзное обстоятельство, наличие которого препятствует построению математических моделей, пригодных для использования в задаче поиска оптимального управления металлургическими процессами. Это малость выборки входных переменных, понимаемой в смысле явного несоответствия между числом экспериментов (количество экспериментальных точек) и коли- чеством оцениваемых параметров математических моделей. Учет также названного выше обстоя- тельства недоступности контроля ряда параметров, входящих в математическое описание управляе- мого металлургического процесса, делает крайне сложным процедуру построения математических моделей. Если существует аналитическое описание связи переменных, входящих в модель управляе- мого процесса, и измеряемых параметров этого процесса, то входные переменные могут быть оцене- ны на основании такого описания. Однако в него могут входить эмпирические коэффициенты, что делает полученный результат нечётким. Поэтому актуальным следует признать решение вопросов, связанных с разработкой и исследованием процессов оценивания параметров математических моде- лей в том случае, если они строятся по результатам пассивного эксперимента в условиях малой вы- борки нечетких данных. Первым этапом на этом пути является разработка процедуры нечеткой кла- стеризации, позволяющей «разнести» все экспериментальные точки в многомерном факторном про- странстве, «приписав» их к той или иной вершине гиперкуба, формирующего план полного фактор- ного эксперимента для реализации последующей процедуры ортогонализации. Анализ литературных данных и постановка проблемы Металлургические агрегаты и реализуемые в них процессы плавки относятся к объектам, эф- фективное управление которыми возможно на основе реализации подходов теории нечетких мно- жеств – это следует из ряда работ, посвященных исследованию возможностей управления процесса- ми плавки в условиях неопределенностей. Так, в работах [1 – 4] решаются задачи построения интеллектуальной системы управления про- цессом плавки медного сульфидного концентрата в печи Ванюкова. В частности, предложена новая методика выбора экспертов, заключающаяся в том, что с помощью статистических и частотных ме- тодов оцениваются изменения координат состояния металлургического процесса, изменения управ- © Д. А. Дёмин, 2013 mailto:c7508990@gmail.com ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА 16 ISSN 0131–2928. Проблемы машиностроения, 2013, Т. 16, № 6 ляющих воздействий, подаваемых эксплуатационным персоналом, а также предложен метод по- строения системы управления, основанный на восстановлении неизвестной аналитической функции управления с использованием методов планирования эксперимента и нечеткой логики. Такой метод, по мнению авторов, способен в условиях многофакторности, неполноты оперативной информации и отсутствия данных о результатах принятых управляющих решений эффективно использовать знания и опыт экспертов для обеспечения безопасности оперативного управления и повышения качества го- товой продукции. Концепция интеллектуального полимодельного управления аналогичным процес- сом описана в работах [5, 6]. Авторами данных работ предложена структура интеллектуальной моде- ли управления, предполагающей использование теории нечётких множеств; использование лингвис- тических переменных; использование теории планирования экспериментов, использование знаний эксперта. Управление в условиях неопределенности процессом электрошлакового переплава исследовано в работе [7]. В данной работе установлена возможность построения системы управления и решения задач идентификации для установок электрошлакового переплава с использованием аппарата ней- ронных сетей и нечеткой логики. На основе разработанной автором математической модели системы управления электрошлаковым переплавом с использованием теории нейро-нечеткой идентификации создана феноменологическая модель тепловых процессов при электрошлаковом переплаве и предло- жен метод определения уровня шлаковой ванны (металла) по «тепловому портрету». В работе пред- ложено также использование в качестве одного из информационных параметров процесса электро- шлакового переплава значение активного и реактивного сопротивлений электрической цепи шлако- вой ванны, что повышает точность оценки глубины погружения электродов за счет исключения слу- чайной составляющей, обусловленной колебаниями напряжения питания. В работе исследованы ре- жимы, потенциально возможные в нейро-нечеткой лингвистической системе управления, определены их области существования для ограниченного класса систем и для указанного класса систем выяв- ленный запас устойчивости определен в 35% по сигналу управления и 300% по коэффициенту петле- вого усиления, при возможности уменьшения последнего до 9,8 раз [7]. Разработке системы управления процессом автогенной плавки медно-никелевого сульфидного сырья на основе нечеткой логики посвящены работы [8, 9], в которых для построения модели количе- ственной оценки содержания меди в штейне предложена методика формирования обучающей выбор- ки. Такая методика включает удаление выбросов и случайных данных, исключение суток до и после простоя оборудования, удаление результатов переработки нетипичных видов сырья, исключение данных работы печи во время разгона процесса, а также систематизации выборки по режимам работы печи: режим 1 – низкий расход шихты, режим 2 – высокий расход шихты. Такая методика показала, что осуществление всех этапов предварительной обработки производственных данных является обя- зательным для подготовки исходного числового материала к разработке модели количественной оценки. Для построения функций принадлежности основных параметров исследуемого процесса ав- тором предложен подход, основанный на построении функций принадлежности по распределению данных оперативного контроля. Основной идеей данного метода является использование кластериза- ции исходного числового материала по методу нечетких с-средних (FCM-алгоритм). В работе пред- ложен программный продукт, позволяющий определить центры кластеров (чем чаще встречается не- которое значение параметра, тем ближе друг к другу находятся центры кластеров и наоборот), а за- тем отнести параметр к соответствующему кластеру. Целью нечеткой кластеризации является оты- скание таких функции принадлежности для каждого класса, которые обеспечивают кластеризацию вокруг центров каждого класса – эта задача решается автором итеративно. Для формирования базы правил автором предложен подход, реализующий алгоритм Сугено, по данным оперативного контро- ля типа «входы – выход» в пятимерном пространстве переменных. Методика формирования такой базы правил заключается в поиске значений содержания меди в штейне при соответствующих соче- таниях значений исходных данных на обучающей выборке массива данных оперативного контроля. Формирование базы правил происходит в два этапа: на первом – определяется количество правил, а на втором – по методу наименьших квадратов определяется логический вывод Сугено каждого пра- вила, минимизируя отклонения между производственными данными и результатом моделирования. Применение такого подхода снимает субъективизм формирования базы правил. В результате реали- зации таких процедур по данным оперативного контроля получена система нечеткого логического вывода Сугено с базой в 52 правила для режима 1 и с базой в 36 правил для режима 2. Проверка базы правил на полноту и непротиворечивость показала, что каждому определенному состоянию иссле- дуемого процесса соответствует только один нечеткий логический вывод Сугено. На основе полу- ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Проблемы машиностроения, 2013, Т. 16, № 6 17 ченных результатов автором сделан ряд важных выводов, среди которых следует выделить такие: формирование функций принадлежности основных параметров процесса целесообразно проводить на основе статистического распределения данных оперативного контроля с применением метода нечет- ких с-средних – такой FCM-алгоритм снимает субъективизм перехода от четких (фактических) зна- чений параметров процесса к нечетким (функции принадлежности); повышение качества управления процессом обеспечивается введением в структуру системы управления оригинального алгоритма управления, позволяющего стабилизировать технологические параметры процесса. В работе [10] исследованы вопросы математического моделирования процесса выплавки стали в дуговых сталеплавильных печах (ДСП). В ней, в частности, отмечено, что периодический процесс выплавки осуществляется в результате последовательного проведения ряда технологических опера- ций: загрузки металлического лома и шлакообразующих компонентов, плавления шихты, окисли- тельного и восстановительного периодов, рафинирования и корректировки состава металла перед выпуском. В связи с эти выбор управления технологическим режимом процесса осуществляется в основном в условиях неопределенности, причем не только из-за свойств объекта управления, но и ввиду отсутствия прогрессивных информационных технологий, позволяющих повысить эффектив- ность управления ДСП за счет более полного учета доступной информации. Поэтому важным при выборе составляющих целевой функции является выбор параметров процесса, принимаемых по ре- альным данным либо определяемых на основе математического моделирования. С учетом того что состав металлического лома, заправочных материалов, флюсов и ферросплавов, а также состояние пода, стен и свода изменяются от плавки к плавке, в качестве управляющих воздействий процесса необходимо использовать не только множество операций процесса, изменяющих состояние равнове- сия системы «металл — шлак», но и качественные параметры веществ, применяемых на отдельных стадиях плавки. При этом важным является наличие базы данных, позволяющей извлекать необхо- димую информацию для управления процессом плавки. Авторами предложена база данных, отличи- тельной особенностью которой является интеллектуальная составляющая, включающая применение моделей отдельных операций процесса для получения дополнительной информации о поведении объекта. Вопросам исследования влияния химического состава на свойства как этапа, обязательного для поиска оптимального управления плавкой, посвящены работы [11 – 13]. Авторами отмечено, что для выбора необходимого химического состава на многих предприятиях используются математические модели в виде регрессионной зависимости твердости от процентного содержания химических эле- ментов. Учитывая сложность построения такой зависимости во всем диапазоне изменения химиче- ского состава, на множестве допустимых значений концентраций элементов выделяются интервалы значений состава, заданной (но не любой) совокупности которых соответствует определенная, как правило, линейная, регрессионная модель зависимости. По сути, такой подход соответствует кусоч- но-линейной аппроксимации нелинейной, многофакторной зависимости. При этом возникает задача выбора модели, наиболее адекватной заданным начальным условиям химического состава стали. Эта задача решается переборным методом на основе эмпирических соображений специалистов- экспертов, управляющих выплавкой стали. По выбранной регрессионной модели осуществляется прогноз распределения твердости стали, на основе которого методом перебора выбирается необхо- димый химический состав. Неизбежные ошибки, связанные с экспертным выбором адекватной моде- ли и химического состава приводят к снижению качества выплавляемой стали. Повысить эффектив- ность управления и качество выплавляемой стали можно при получении прогноза на основе модели- рования зависимости «состав-твердость» системой нечетких продукционных правил Токаги- Суджено-Канга (модель TSK) и оптимизации выбора химического состава стали в условиях стохас- тичности параметров регрессионных моделей. Таким образом, обуславливается актуальность задачи анализа и совершенствования моделей и алгоритмов управления твердостью выплавляемой стали в условиях нечеткой и стохастической неопределенности [14]. Автор делает ряд выводов относитель- ного эффективности предложенного им моделирования для поиска оптимального управления плав- кой. В частности, отмечено, что анализ особенностей моделирования процессом выплавки стали по- казывает, что наиболее адекватным подходом к построению моделей зависимости твердости стали от её химического состава являются методы статистического моделирования в комбинации с методами нечеткого логического вывода. Управление процессом выплавки стали (выбор химического состава) может быть представлено либо как решение систем нелинейных уравнений, либо в виде моделей оп- тимального выбора. Разработанная автором модель зависимости распределения по глубине твердости стали от её химического состава в виде системы нечетких продукционных правил (модель TSK) по- зволяет определять прогнозные значения распределенной твердости стали как средневзвешенных вы- ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ходов комплекса моделей линейной регрессии и устраняет проблему выбора наиболее адекватной регрессионной модели. Предложенная им форма представления модели TSK в виде системы квази- линейных уравнений позволяет сформулировать модели задачи управления в виде решения системы квазилинейных уравнений относительно химического состава стали и задачи квазиквадратичного программирования. Автор работы указывает, что исследование разработанной методики моделирова- ния в задаче управления на модели, представленной в виде решения системы квазилинейных уравне- ний, на предмет значимости смещения полученных оценок решения позволяет установить, что сме- щенность оценок необходимого химического состава, полученного по известным регрессионным за- висимостям, существенна и приводит к неадекватности решения. Разработанная модель задачи управления в рамках модели квазиквадратичного программирования обеспечивает возможность ав- томатического поиска необходимого химического состава стали по заданному распределению её твердости, а предложенный итерационный алгоритм решения задачи квазиквадратичного програм- мирования основывается на методе последовательных приближений. При этом сходимость алгоритма определяется изменением заданной твердости стали. Предложенный алгоритм численной оценки об- ласти сходимости итерационных решений, с помощью которого определена область допустимых из- менений заданных значений твердости стали, показывает, что все возможные значения заданных рас- пределений твердости из индивидуальных спецификаций будут находиться в области сходимости. Полученный результат позволяет использовать предложенные модели управления выплавкой стали для различных групп марок. Полученные результаты позволяют скорректировать программный ком- плекс моделирования и управления SEP 1664 за счет включения программ реализации модели TSK и алгоритмов задач квазиквадратичного программирования [14]. Обобщение результатов описанных выше работ, посвященных вопросам нечеткого управления сложными производственными объектами и системами, к которым и относятся процессы плавки, реализуемые в металлургических агрегатах промышленных цехов, позволяют считать, что моделиро- вание процессов управления выплавкой сплавов разных марок предполагает необходимость разра- ботки моделей в условиях неопределенностей, обусловленных невозможностью контроля многих па- раметров в реальном времени, невозможностью точного оценивания состояния системы, многофак- торностью процесса и отсутствием достаточного объема информации для реализации управления. Все это, в свою очередь, позволяет считать, что задаче поиска оптимального управления процессами плавки, являющегося, по сути, нечётким управлением, предшествует обязательно решение проблемы выбора структуры и оценивания параметров модели исследуемого процесса. Нечёткая кластеризация точек и расчет функции принадлежности Если в качестве выходных переменных выбрать параметры микроструктуры чугуна, то может возникнуть неопределенность в оценке этих переменных. Действительно, способом оценки числен- ных значений переменных является эталонное сравнение фактической микроструктуры, наблюдае- мой в микроскоп, с шаблонной, регламентированной ГОСТ3443-87. Пример оценки численных зна- чений выходных переменных yi при таком подходе приведен на рис. 1 – 2. Для оценки выходных переменных могут быть применены методы распознавания изображе- ний, технология которых изложена в работах [15, 16]. Полученные таким образом наборы результа- тов формируют выборку данных выходных переменных; выборка данных входных переменных – набор нечётких значений Fi, произвольным образом расположенных в области планирования экспе- римента. Математическая модель типа «состав – свойство» имеет вид уравнения регрессии – поли- нома Колмогорова-Габора [17]. Следовательно, построению уравнения регрессии должна предшествовать процедура решения задачи нечеткой кластеризации [17]. Пусть результирующий параметр (критерий эффективности) зависит от влияющих факторов F1, F2, …., Fm в виде полинома Колмогорова-Габора. y m Пусть проделано опытов, и результат n j -го из них определяется совокупностью значений ко- ординат jpF , 1,2,...,j n , . Будем считать, что истинные значения координат 1,2,...,p  m jpF – нечет- кие числа с соответствующими функциями принадлежности, например (L-R) типа [18 – 20]: , , ( ) , , jp jp jpjp jp jp jpjp jpjp jp F F L F F F F F R F F                       (1) 18 ISSN 0131–2928. Проблемы машиностроения, 2013, Т. 16, № 6 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА где jpF - измеренное значение -й координаты в p j -м эксперименте, являющееся модальным для нечеткого числа jpF , 1,2,...,j n , , 1,2,...,p m jp , jp – левые и правые коэффициенты нечеткости в описании (1). а) б) Рис. 1. Эталонные значения выходных переменных yi по ГОСТ3443-87: а) – количество включений графит;, б) – форма включений графита а) б) Рис. 2. Эталонные значения выходных переменных yi по ГОСТ3443-87: а) - размер графит;, б) – количество перлита и феррита в микроструктуре ISSN 0131–2928. Проблемы машиностроения, 2013, Т. 16, № 6 19 На рис. 3 – 5 для примера приведены графики функций принадлежностей нечётких чисел F1, F2 и F3, полученные расчетом по описанию (1) на основе выборки данных – результатов расчета хими- ческого состава чугуна, состоящего из 9 химических элементов – суть нечётких входных перемен- ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ных, в процессе плавки в чугунолитейном цехе ОАО «Кременчугский завод дорожных машин» (г. Кременчуг, Украина). 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 3,25 3,3 3,35 3,4 3,45 3,5 3,55 F1p μ (F 1 p ) L R Рис. 3. График функции принадлежности нечёткого числа F1 (F1 – содержание углерода в сплаве) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 F2p μ (F 2 p ) L R Рис. 4. График функции принадлежности нечёткого числа F2 (F2 – содержание марганца в сплаве) 20 ISSN 0131–2928. Проблемы машиностроения, 2013, Т. 16, № 6 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 F3p μ (F 3 p ) L R Рис. 5. График функции принадлежности нечёткого числа F3 (F3 – содержание кремния в сплаве) Теперь, используя совокупность модальных значений jpF , 1,2,...,j n , , может быть рассчитан набор 1,2,...,p  m ,min min{ }p jp 1,2,...,p m j a x , , ,max max{ }p jp 1,2,...,p m j a x , , задающий -мерный гиперпараллелепипед. Вершины этого гиперпараллелепипеда используем в качестве центров притяжения кластеров. m 2m Процедура кластеризации состоит в следующем. Для каждой точки рассчитывается нечеткое расстояние до каждого из центров притяжения кластеров и соответствующая функция принадлежно- сти. Затем полученные функции принадлежности используются для отыскания кластера, имеющего по отношению к рассматриваемой точке наивысшую степень предпочтения. Выполним формальное описание процедуры. Для пары ( k -й кластер, j -я точка) введем нечеткое значение квадрата расстояния от центра притяжения кластера до точки 2 1 ( ) m kj kp jp p a F     2 m, . 1,2,..., 2k  Получим функцию принадлежности нечеткого числа 2 kj . При проведении расчетов используем известные соотношения для результатов выполнения операций над нечеткими числами (L R) типа [17 – 19]. Пусть 1 1 1, ,LRA a   , 2 2 2, ,LRB a   - нечеткие числа ( )L R типа. Тогда параметры нечеткого числа , ,LR LR LRC A B a     вычисляются по формулам: 1 2a a a  , , ; 1 2    1 2    параметры числа , ,LR LR LRC A B a     вычисляются по формулам: 1 2a a a  , , ; 1 2    2 1    параметры числа , ,LR LR LRC A B a     вычисляются по формулам: 1 2a a a , , . 1 2 2\| \| \| \|a a    1 1 2 2 1\| \| \| \|a a     ISSN 0131–2928. Проблемы машиностроения, 2013, Т. 16, № 6 21 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА В соответствии с этим параметры нечетких чисел , , kjp kp jpa F   2 2( )kjp kp jpa F   2 2 1 q jk k p    jp определяются соотношениями kjp kp jpa x   , , ( ) ( )a x kjp kp jp    ( ) ( )x a kjp jp kp    ; 2 2( )kjp kjp   , ( ) ( )2 \| \| ( )a x kjp kjp kp jp     , ( ) ( )2 \| \| ( )x a kjp kjp jp kp     ;  2 1 q jk kjp 1 q kj kjp p    p p    ,  , . 1 q kj kjp p    При этом функция принадлежности нечеткого значения квадрата расстояния от -го центра до k j -й точки имеет вид             2 2 2 2 2 2 2 2 , , ( ) , . kj kj kj kj kj jp kj kj kj kj kj L F R                   (2) В рассматриваемой задаче приведенные общие соотношения упрощаются, так как координаты центров притяжения кластеров – четкие числа и поэтому jpkjp kpa F   , kjp jp   , . kjp jp   В результате реализации описанной процедуры для каждой из точек будут получены функции принадлежности нечетких чисел, отображающих «расстояния» до центров соответствующих класте- ров. Эти числа теперь необходимо сравнить между собой, выбирая то из них, для которого степень предпочтения по отношению ко всем остальным будет наименьшей. Это число будет определять кла- стер, «ближайший» по отношению к рассматриваемой точке. Процедура сравнения нечетких чисел традиционна [18 – 19]. Пусть заданы совокупность нечетких чисел и их функции принад- лежности 1 2, ,..., mz z z 1 2( ), ( ),..., ( )mz z z   . Оценка степени предпочтения нечеткого числа перед нечетким чис- лом осуществляется по формуле kz lz ( ( ), ( )) sup min{ ( ), ( )}. k l k l k l z z z z z z        , , {1,2,..., }k l m . (3) С использованием (3) выбор нечеткого числа с наименьшей степенью предпочтения по отно- шению к другим числам совокупности трудностей не вызывает. При этом номер кластера , к кото- рому будет присоединена очередная точка, определяется соотношением k arg min min{ ( ), ( ))},k l k l k z   z , {1,2,..., }.k l m,  . (4) Приведенные соотношения (2) – (4) обеспечивают решение задачи нечеткой кластеризации. Это решение может быть использовано для дальнейшей реализации процедуры искусственной орто- гонализации пассивного эксперимента и оценивания на её основе параметров математических моде- лей типа «состав – свойство» [21 – 23]. Выводы В результате реализации предложенной процедуры нечёткой кластеризации, обязательной пе- ред построением уравнения регрессии в случае, если область планирования имеет произвольную форму, может быть установлен кластер, «ближайший» по отношению к рассматриваемой экспери- ментальной точке и осуществлена процедура отнесения соответствующей точки к тому или иному центру кластеризации. Полученные при этом результаты могут быть использованы для дальнейшей процедуры построения уравнения регрессии, представляющего собой математическую модель типа «состав – свойство». Литература 1. Салихов, З. Г. Количественная оценка качества управления металлургическим агрегатом [Текст] / З. Г. Салихов, А. В. Спесивцев, Д. А. Москвитин, А. В. Сириченко, И. Е. Зыков // Цветные металлы. – 2002. – №10. – С. 88-92. 2. Ладин, П. А. Разработка интеллектуальной АСУ печью Ванюкова №2 на Медном заводе [Текст] : сб. науч. тр. / П. А. Ладин, А. Г. Афанасьев, И. Е. Зыков // «Норильск НИИ». – 2003. – С. 356-358. 3. Салихов, З. Г. Интеллектуальная система управления комплексом ПВ-2 Медного завода ЗФ ОАО «ГМК «Норильский никель» [Текст] / З. Г. Салихов, И. Е. Зыков, И. Т. Кимяев, А. В. Спесивцев, В. И. Лазарев // Цветные металлы. – 2007. – №12. – С. 101 – 104. 22 ISSN 0131–2928. Проблемы машиностроения, 2013, Т. 16, № 6 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Проблемы машиностроения, 2013, Т. 16, № 6 23 4. Ишметьев, Е. Н. Разработка модели нечеткой логики и регулятора для управления процессом плавки медного сульфидного концентрата в печи Ванюкова [Текст] / Е. Н. Ишметьев, И. Е. Зыков // Изв. вузов. Цвет- ная металлургия. – 2009. – №1. – С. 56-58. 5. Соколов, Б. В. Концептуальные основы оценивания и анализа качества моделей и полимодельных комплексов [Текст] / Б. В. Соколов, Р. М. Юсупов // Теория и системы управления. – 2004. – № 6. – C. 5-16. 6. Спесивцев, А. В. Информационная модель нечеткого логического регулятора интеллектуальной сис- темы управления [Текст]: сб. докл. / А. В. Спесивцев, И. Т. Кимяев, Н. Ю. Тропинова, И. Е. Зыков // IХ Между- народная конференция по мягким вычислениям и измерениям SCM 2006. – Санкт-Петербург, 2006. – Т. 2. – С. 75-78. 7. Дракин, А. Ю. Синтез нечеткой лингвистической системы управления установками электрошлаково- го переплава [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / А. Ю. Дракин. – Брянск, 2009. – 16 с. 8. Данилова, Н. В. Применение нечеткой логики для разработки модели количественной оценки содер- жания меди в штейне [Текст]: сб. тр. Всероссийской научно-техн. конференции с международным участием «Электротермия-2010» / Н. В. Данилова // Проблемы рудной и химической электротермии. – СПб, 2010. – С. 172-177. 9. Данилова, Н. В. Применение метода нечетких с-средних для построения функций принадлежности параметров технологического процесса [Текст] сб. научн. тр. семинара / Н. В. Данилова // Инновационные тех- нологии, моделирование и автоматизация в металлургии». – Санкт-Петербург, 2010. – С. 11-12. 10. Колесникова, Е. В. Формирование базы данных АСУТП дуговой сталеплавильной печи [Текст] / Е. В. Колесникова, Г. В. Кострова // Автоматика, автоматизация, электротехнические комплексы и системы. – 2004. – №1(13). – С. 176-183. 11. Бондарчук, А. А. Модели управления твердостью металла в условиях стохастической и нечеткой не- определенности [Текст] / А. А. Бондарчук, М. Г. Матвеев, Ю. А. Полянский // Системы управления и информа- ционные технологии. – 2007. – №4.1. – С. 124-128. 12. Бондарчук, А. А. Анализ моделей управления твердостью стали в процессе плавки [Текст] / А. А. Бондарчук, М. Г. Матвеев // Мехатроника, автоматизацию и управление. – 2008. – № 3. – С. 37-40. 13. Бондарчук, А. А. Модели выбора состава в системе «состав-свойство» [Текст] : материалы XX меж- дународной научной конференции [Текст] / А. А. Бондарчук, М. Г. Матвеев // Математические методы в техни- ке и технологиях. – Ярославль: Изд-во Яросл. техн. ун-та. – 2007. – Т. 2. – С. 139 – 140. 14. Бондарчук, А. А. Прогнозирование и управление твердостью выплавляемой стали на основе моделей нечеткого логического вывода [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / А. А. Бондарчук. – Воронеж, 2006. – 16 с. 15. Путятин, Е. П. Нормализация и распознавание изображений [Электронный ресурс] / Сумский гос. ун-т, летняя научно-практическая школа «Интеллектуальные системы». – Режим доступа: \www/ URL: http://sumschool.sumdu.edu.ua/is-02/rus/lectures/pytyatin/pytyatin.htm/. – 13.11.2012 г. – Загл. с экрана. 16. Любченко, В. А. Распознавание структуры сложных веществ в условиях неопределенности [Текст] / В. А. Любченко, Е. П. Путятин // Східно-Європейський журнал передових технологій. – 2011. – №2/9. – С. 32 – 34. – Режим домтупу: http://journals.uran.ua/eejet/article/view/1853 17. Seraya, O. V. Linear regression analysis of a small sample of fuzzy input data [Text]/ O. V. Seraya, D. A. Demin // Automation and Information Sciences. – 2012. – Vol. 44 (7). – P. 34 - 48. 18. Дюбуа, Д. Теория возможностей. Приложение к представлению знаний в информатике [Текст]: пер. с франц. В. Б. Тарасова / Д. Дюбуа, А. Прад; под ред. С. А. Орловского. – М.: Радио и связь, 1990. – 286 с. 19. Раскин, Л. Г. Нечеткая математика [Текст]: моногр. / Л. Г. Раскин, О. В. Серая. – Харьков: Парус, 2008. – 352 с. 20. Дёмин, Д. А. Применение искусственной ортогонализации в поиске оптимального управления тех- нологическими процессами в условиях неопределенности [Текст] / Д. А. Дёмин // Восточно-Европейский жур- нал передовых технологий. – 2013. – №5/9(65). – С. 45-53. – Режим доступу: http://journals.uran.ua/eejet/article/view/18452 21. Серая, О. В. Оценивание параметров уравнения регрессии в условиях малой выборки [Текст] / О. В. Серая, Д. А. Дёмин // Східно-Європейський журнал передових технологій. – 2009. – № 6/4(42). – С. 14-19. 22. Серая, О. В. Оценка представительности усеченных ортогональных подпланов плана полного фак- торного эксперимента [Текст] / О. В. Серая, Д. А. Дёмин // Системні дослідження та інформаційні технології. – 2010. – № 3. – С. 84-88. 23. Дёмин, Д. А. Метод обработки малой выборки нечетких результатов ортогонализованного пассивно- го эксперимента [Текст] / Д. А. Дёмин, Т. И. Каткова // Вісник Інженерної Академії. – Киев: Інженерна Академія України, 2010. – № 2. – С. 234 – 237. Поступила в редакцию 09.11.13
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-80953
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0131-2928
language	Russian
last_indexed	2025-11-30T09:36:56Z
publishDate	2013
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
record_format	dspace
spelling	Дёмин, Д.А. 2015-04-28T18:45:55Z 2015-04-28T18:45:55Z 2013 Нечеткая кластеризация в задаче построение моделей «Состав – свойство» по данным пассивного эксперимента в условиях неопределённости / Д.А. Дёмин // Проблемы машиностроения. — 2013. — Т. 16, № 6. — С. 15-23. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80953 681.5:519.24 Актуальность исследования, результаты которого приводятся в статье, связана с разработкой методов оценивания параметров математических моделей в том случае, если они строятся по результатам пассивного эксперимента в условиях малой выборки нечетких данных. Первым этапом на этом пути является разработка процедуры нечеткой кластеризации, позволяющей «разнести» все экспериментальные точки в многомерном факторном пространстве, «приписав» их к той или иной вершине гиперкуба, формирующего план полного факторного эксперимента для реализации последующей процедуры ортогонализации. Математическая модель процесса представляет собой регрессионное уравнение в виде полинома Колмогорова-Габора, описывающее влияние нечётких входных переменных – состава сплава – на его свойства. Это так называемая модель типа «состав – свойство». В результате реализации предложенной процедуры нечёткой кластеризации, обязательной перед построением уравнения регрессии в случае, если область планирования имеет произвольную форму, может быть установлен кластер, «ближайший» по отношению к рассматриваемой экспериментальной точке и осуществлена процедура отнесения соответствующей точки к тому или иному центру кластеризации. Полученные при этом результаты могут быть использованы для дальнейшей процедуры построения уравнения регрессии. Предложен алгоритм нечеткой кластеризации и приведены примеры расчета функций принадлежности, используемых при реализации этого алгоритма. Использование предлагаемой процедуры является эффективным при оценке параметров математических моделей по данным пассивного эксперимента в условиях малой выборки нечетких данных. Описані результати досліджень, присвячених розробці процедури нечіткої кластеризації експериментальних точок при побудові математичних моделей типу «склад – властивості» за даними пасивного експерименту. Запропоновано алгоритм нечіткої кластеризації та наведені приклади розрахунку функцій належності, що використовуються при реалізації цього алгоритму. Використання процедури, що пропонується, може бути здійснено при оцінюванні параметрів математичних моделей за даними пасивного експерименту в умовах малої вибірки нечітких даних. Relevance of research, results of which are given in the paper concerns the development of methods for estimating the parameters of mathematical models in case they are built on the passive experiment results in conditions of small sample of fuzzy data. The first stage in this process is to develop a fuzzy clustering procedure, which allows to "spread" all experimental points in a multidimensional factor space, having "attributed" them to this or that hypercube top, forming a plan of full factorial experiment to implement the further orthogonalization procedure. The mathematical model of the process is the regression equation in the form of the Kolmogorov-Gabor polynomial, describing the influence of fuzzy input variables, i.e. alloy structure, on its properties. It is so-called "structure - property" model. As a result of realization of the proposed fuzzy clustering procedure, obligatory before building up the regression equation in case the planning area has an arbitrary shape, cluster, "nearest" to the considered experimental point can be installed and procedure of referring the corresponding point to this or that clustering center can be carried out. The results obtained can be used for the further construction procedure of the regression equation. The fuzzy clustering algorithm was proposed, and calculation examples of membership functions, used in the implementation of this algorithm were given. Using the proposed procedure is effective in estimating the parameters of mathematical models according to the passive experiment data in conditions of small sample of fuzzy data. ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Прикладная математика Нечеткая кластеризация в задаче построение моделей «Состав – свойство» по данным пассивного эксперимента в условиях неопределённости Mathematical modeling in the problem of selecting optimal control of obtaining alloys for machine parts in uncertainty conditions Article published earlier
spellingShingle	Нечеткая кластеризация в задаче построение моделей «Состав – свойство» по данным пассивного эксперимента в условиях неопределённости Дёмин, Д.А. Прикладная математика
title	Нечеткая кластеризация в задаче построение моделей «Состав – свойство» по данным пассивного эксперимента в условиях неопределённости
title_alt	Mathematical modeling in the problem of selecting optimal control of obtaining alloys for machine parts in uncertainty conditions
title_full	Нечеткая кластеризация в задаче построение моделей «Состав – свойство» по данным пассивного эксперимента в условиях неопределённости
title_fullStr	Нечеткая кластеризация в задаче построение моделей «Состав – свойство» по данным пассивного эксперимента в условиях неопределённости
title_full_unstemmed	Нечеткая кластеризация в задаче построение моделей «Состав – свойство» по данным пассивного эксперимента в условиях неопределённости
title_short	Нечеткая кластеризация в задаче построение моделей «Состав – свойство» по данным пассивного эксперимента в условиях неопределённости
title_sort	нечеткая кластеризация в задаче построение моделей «состав – свойство» по данным пассивного эксперимента в условиях неопределённости
topic	Прикладная математика
topic_facet	Прикладная математика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80953
work_keys_str_mv	AT deminda nečetkaâklasterizaciâvzadačepostroeniemodeleisostavsvoistvopodannympassivnogoéksperimentavusloviâhneopredelennosti AT deminda mathematicalmodelingintheproblemofselectingoptimalcontrolofobtainingalloysformachinepartsinuncertaintyconditions

Нечеткая кластеризация в задаче построение моделей «Состав – свойство» по данным пассивного эксперимента в условиях неопределённости

Institution

Similar Items