Полуаналитический метод конечных элементов для расчета напряженно-деформируемого состояния цилиндрических оболочек c продольными ребрами жесткости

Для расчета цилиндрических оболочек, подкрепленных продольными ребрами жесткости, предложен полуаналитический метод конечных элементов. С помощью предложенного метода численно исследуются свойства напряженно-деформированного состояния оболочек. Для розрахунку циліндричної оболонки, що підкріплена по...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблемы машиностроения
Дата:	2014
Автори:	Аврамов, К.В., Морачковский, О.К., Тонконоженко, А.М., Кожарин, В.Ю., Кочуров, Р.Е.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2014
Теми:	Динамика и прочность машин
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80972
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Полуаналитический метод конечных элементов для расчета напряженно-деформируемого состояния цилиндрических оболочек c продольными ребрами жесткости / К.В. Аврамов, О.К. Морачковский, А.М. Тонконоженко, В.Ю. Кожарин, Р.Е. Кочуров // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 1. — С. 33-41. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859955948181782528
author	Аврамов, К.В. Морачковский, О.К. Тонконоженко, А.М. Кожарин, В.Ю. Кочуров, Р.Е.
author_facet	Аврамов, К.В. Морачковский, О.К. Тонконоженко, А.М. Кожарин, В.Ю. Кочуров, Р.Е.
citation_txt	Полуаналитический метод конечных элементов для расчета напряженно-деформируемого состояния цилиндрических оболочек c продольными ребрами жесткости / К.В. Аврамов, О.К. Морачковский, А.М. Тонконоженко, В.Ю. Кожарин, Р.Е. Кочуров // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 1. — С. 33-41. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы машиностроения
description	Для расчета цилиндрических оболочек, подкрепленных продольными ребрами жесткости, предложен полуаналитический метод конечных элементов. С помощью предложенного метода численно исследуются свойства напряженно-деформированного состояния оболочек. Для розрахунку циліндричної оболонки, що підкріплена повздовжніми ребрами, запропоновано напіваналітичний метод скінченних елементів. За допомогою запропонованого методу чисельно досліджено властивості напружено-деформованого стану оболонок. Semi analytical finite element method is suggested to calculate cylindrical shells supported by longitudinal stiffness. The displacements, which are expanded into the Fourier series by circumference coordinate, are the main unknowns of the suggested approach. One dimensional finite elements are used to calculate amplitudes of the harmonics. Clamped cylindrical shells with three and twenty longitudinal stiffness are analyzed numerically. The properties of the shell deflected mode are analyzed numerically using the suggested approach.
first_indexed	2025-12-07T16:19:11Z
format	Article
fulltext	ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 1 33 лочек и пластин методом конечных элементов / В.Г. Пискунов, В.Е. Вериженко, В.К. Присяжнюк и др. – Киев: Вища шк., 1987. – 200 с. 3. Руденский, А. В. Дорожные асфальтобетонные покрытия / А. В. Руденский. – М.: Транспорт, 1992. – 253 с. 4. Золотарев, В. А. Долговечность дорожных асфальтобетонов / В. А. Золотарев. – Харьков: Высш. шк., 1977.– 116 с. 5. Богуславский, А. М. Основы реологии асфальтобетона / А. М. Богуславский, Л. А. Богуславский. – М.: Высш. шк., 1972. – 199 с. 6. Рассказов, А. О. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и оболочек / А. О. Рассказов, И. И. Соколовская, Н. А. Шульга. – Киев: Вища шк., 1986.– 191 с. 7. Золочевский, А. А. Нелинейная механика деформируемого твердого тела / А. А. Золочевский, А. Н. Склепус, С. Н. Склепус. – Харьков: Бізнес Інвестор Групп, 2011.– 720 с. 8. Работнов, Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю. Н. Работнов.– М.: Наука, 1966.–752 с. 9. Власов, В. З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В. З. Власов, Н. Н. Леонтьев. – М.: Физматгиз, 1960. – 491 с. 10. Рвачев, В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения / В. Л. Рвачев. – Киев: Наук. думка, 1982. – 552 с. Поступила в редакцию 25.12.13 УДК 539.3 К. В. Аврамов, д-р техн. наук О. К. Морачковский, д-р техн. наук* А. М. Тонконоженко* В. Ю. Кожарин* Р. Е. Кочуров, канд. техн. наук Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины (г. Харьков, e-mail:kvavr@kharkov.ua) Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт» * Государственное предприятие КБ «Южное» (г. Днепропетровск) ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРУЕМОГО СОСТОЯНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК C ПРОДОЛЬНЫМИ РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ Для расчета цилиндрических оболочек, подкрепленных продольными ребрами жестко- сти, предложен полуаналитический метод конечных элементов. С помощью предло- женного метода численно исследуются свойства напряженно-деформированного со- стояния оболочек. Для розрахунку циліндричної оболонки, що підкріплена повздовжніми ребрами, запропо- новано напіваналітичний метод скінченних елементів. За допомогою запропонованого методу чисельно досліджено властивості напружено-деформованого стану оболонок. Ключевые слова: метод конечных элементов, оребренные оболочки, матрица жестко- сти конструкции. ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 1 34 Введение Цилиндрические оболочки с силовым набором подкреплений широко используются в аэрокосмической технике, например, баки и обтекатели современных ракетоносителей в основном имеют подкрепления [1]. Начиная со второй половины прошлого века, много уси- лий предпринято для исследования статики и динамики таких конструкций. Подробный об- зор литературы по этому вопросу содержится в монографии [2]. В данной статье для расчетов напряженно-деформированного состояния (НДС) обо- лочек, подкрепленных продольными ребрами жесткости, применен метод Ритца. Суть пред- лагаемого полуаналитического метода конечных элементов (МКЭ) заключается в разложе- нии перемещений срединной поверхности оболочек в ряды Фурье по окружной координате с коэффициентами, являющимися функциями продольной координаты оболочки. Функция- ми форм коэффициентов ряда Фурье на конечном элементе приняты эрмитовы кубические полиномы. Узловые перемещения определяются численным решением системы уравнений МКЭ. На сегодняшний день в ГП КБ «Южное» баки, представляющие собой тонкие ци- линдрические оболочки, подкрепленные ребрами жесткости, перед постановкой на ракету испытываются под действием статического внутреннего давления, и те из них, что не под- верглись разрушению, устанавливают на ракетоноситель. Каждый новый бак проходит те же испытания, так что изготовление бака чрезвычайно дорого обходится предприятию. Пред- ложенный в данной статье подход будет использоваться для проектирования бака, которое включает выбор механико-геометрических характеристик оболочки и силового подкреп- ляющего набора ребер и оценки величин разрушающих нагрузок, действующих на баки ра- кетоносителей при испытаниях. 1. Основные соотношения Рассмотрим цилиндрическую оболочку с продольными ребрами (стрингеры), кото- рые расположены параллельно образующей оболочки (рис. 1). Оболочка находится под дей- ствием постоянного внутреннего давления. Стрингеры, возможно с разными механико- геометрическими свойствами, располагаются внутри оболочки на одинаковом расстоянии вдоль окружной координаты. Если N1 – число стрингеров, то ось крепления стрингера опре- деляется центральным углом ϕ1 = 2π/N1. При определении напряженно-деформированного состояния (НДС) примем, что для тонких оболочек справедливы гипотезы Кирхгофа−Лява, а для продольных ребер − гипотезы тонких стержней Кирхгофа−Клебша; их материалы удов- летворяют закону Гука, а связь между перемещениями и малыми деформациями является линейной. Для точек срединной поверхности цилиндрической оболочки радиусом r обозна- чим u(x, y), v(x, y), w(x, y) − перемещения вдоль координатных осей, как показано на рис. 1. Компоненты перемещений i-го стрингера вдоль осей x, y, z обозначим через ui(x), vi(x), wi(x), i = 1, 2, …, N1. Угол закручивания стрингера обозначим через ϕкр,i(x). Свяжем перемещения стрин- геров с параметрами НДС оболочки. Условия жесткого соединения стрингеров с обшивкой запишем в виде [2] ;),()( );,(),()( );,(),()( 2 1 ii iiii iiii yxwxw yxhyxvxv yxhyxuxu = ϕ−= ϕ−= (1) ,2/ ;),(),( ;),( ;),()( 2 1 2, ii ii i iikp Hhh r yxv y yxw x yxw yxx += − ∂ ∂ −=ϕ ∂ ∂ −=ϕ ϕ=ϕ Рис. 1. Эскиз конструкции ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 1 35 где Hi – расстояние от оси стрингера до срединной поверхности оболочки; h, r – толщина и радиус срединной поверхности оболочки; yi = iφ1r − координата места крепления стрингера. Потенциальную энергию всего силового набора Π1 представим так: , 2 1 1 0 0 2 , , 2 2 22 2 22 1 1 ∑ ∫ − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ϕ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ =Π N i L iкр iкрi i Zi i Yi i ii dx x JG x vJE x wJE x uFE ii (2) где L – длина оболочки; Ei, Gi – модуль упругости первого и второго рода i-го продольного ребра; iZY JJJ ii ,кр,, – моменты инерции поперечного сечения продольного ребра i; Fi – пло- щадь поперечного сечения i-го стрингера. Рассмотрим потенциальную энергию цилиндрической оболочки с малыми переме- щениями, деформациями, пренебрегая сдвигами в сечении при упругом деформировании. Тогда потенциальную энергию оболочки Π2 запишем в виде ,)1(2 2 4 1)1(2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 dxdy x w x ww rr w x wD dxdy x v r u x u r w r v r w r v x uS ∫∫ ∫∫ Ω Ω ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ∂∂ ∂ − ∂ ∂ ϕ∂ ∂μ− −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ϕ∂ ∂ + ∂ ∂ + + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ϕ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ϕ∂ ∂ μ−−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ϕ∂ ∂ + ∂ ∂ =Π (3) где )1(2 2μ− = EhS ; )1(12 2 3 μ− = EhD – цилиндрическая жесткость; E, μ – модуль Юнга и коэф- фициент Пуассона и; y = ϕr; ϕ – окружная координата оболочки; Ω – область, занимаемая срединной поверхностью оболочки. 2. Полуаналитический метод конечных элементов Цилиндрическая оболочка обладает осесимметричным НДС под действием постоян- ного внутреннего давления. Осесимметричность НДС нарушается вследствие продольного оребрения оболочки. Тогда статические перемещения срединной поверхности оболочки представим в виде разложений в укороченные ряды Фурье .sin )( )( )( cos )( )( )( )( )( )( )( )( )( 1 )( )( )( 0 0 0 ϕ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +ϕ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∑ = n xw xv xu n xw xv xu xw xv xu w v u s n s n s nN n c n c n c n G (4) Представим потенциальную энергию в виде однократных интегралов по продольной координате оболочки. Для этого разложение (4) введем в потенциальную энергию (3). По- тенциальную энергию оболочки представим в виде суммы трех слагаемых ;),,(~),,(~),,(~ ,,,2,,,10000 nsncnsncnsnc wvuwvuwvu Π+Π+Π=Π (5) ( ) ∫∫ ′′π+ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′μ−+′μ−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −′π=Π LL dxwDrvrwu r wurdxS 0 2 0 0 2 000 2 0 00 ;1)1(42~ ( ) ( ) ;)1(2 2 2 )1()1(2 )(~ 1 0 ,, 2 ,2 22 ,2 2 , 2 ,,,,, 1 0 2 ,, ,1 ∑ ∫ ∑ ∫ = = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′′+′μ− +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −′′π + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −′μ− +−′ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ μ−−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − +′π=Π G G N n L ncncncncnc ncnsncnsnc N n L ncns nc www r nw r nwxdrD u r nvrwnvu r wnv urdxS ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 1 36 ( ) ( ) .)1(2 2 2 )1()1(2 )(~ 1 0 ,, 2 ,2 22 ,2 2 , 2 ,,,,, 1 0 2 ,, ,2 ∑ ∫ ∑ ∫ = = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′′+′μ− +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −′′π + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +′μ− ++′ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ μ−+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −′π=Π G G N n L nsnsnsnsns nsncnsncns N n L nsnc ns www r nw r nwxdrD u r nvrwnvu r wnv urdxS Для дискретизации потенциальной энергии (5) используются одномерные конечные элементы. Вдоль оси цилиндрической оболочки x (рис. 1) расположим точки с координатами x0, x1, …, xN. Эти точки будут узлами конечных элементов. Тогда конечный элемент с номе- ром j занимает область на оси x: x ∈ [xj–1; xj]. Потенциальную энергию всей системы (5) представим в виде суммы потенциальных энергий конечных элементов. Тогда потенциаль- ную энергию осесимметричного деформирования оболочки Π0 запишем следующим обра- зом: ;~ 1 ,00 ∑ = Π=Π N j j (6) ,)(5,0)4)(1(2)(5.0 1 1 2 01 1 1 2 000 2 0 01,0 ∫∫ − − − − ′′ξ−π+ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′+′μ−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −′ξ−π=Π wdxxrDvrwu r wurdxxS jjjjj где ξ – локальная координата j-го конечного элемента, которая связана с координатами уз- лов конечных элементов так: 2x = (xj – xj–1)ξ + (xj + xj–1). Потенциальные энергии Π1, Π2 для j- го конечного элемента представим в виде 2,1;~ 1 1 )( =Π=Π ∑∑ =ν = ν i GN N j ii , (7) где )(νΠi − потенциальные энергии j-го конечного элемента, соответствующие перемещению ν-й гармоники. Теперь потенциальную энергию оболочки представим зависящими от перемещений и углов поворотов в узлах конечных элементов. Для этого компоненты разложений (4), зави- сящие от x, на каждом конечном элементе аппроксимируются с помощью полиномов Эрми- та. Воспользуемся кубическими полиномами, которые рассматриваются в [3]. Неизвестные в (4) для конечного элемента j разложим с помощью функций форм )(),( ξξ ∗ ii NN и, используя локальных координатах ξ так: ( ),5,0)()( 1 2 1 2 2 1 )1( 20 − = +− ∗ = +− −Θξ+ξ= ∑∑ jj i iji i iji xxNUNU (8) где [ ] [ ] [ ] ; ; ; ),( 2 ),( 2 ),( 2 ),( 2 ),( 2 ),( 2 )0( 2 )0( 2 )0( 22 ),( 2 ),( 2 ),( 2 ),( 2 ),( 2 ),( 2 )0( 2 )0( 2 )0( 2 )1( 2 )()()()()()( 0000 Ts ij c ij s ij c ij s ij c ijijijijij Ts ij c ij s ij c ij s ij c ijijijijij Tscscsc wwvvuuwvuU wwvvuuwvuU ν +− ν +− ν +− ν +− ν +− ν +−+−+−+−+− ν +− ν +− ν +− ν +− ν +− ν +−+−+−+−+− νννννν θθψψϕϕθψϕ=Θ = = )(;)( * ξξ ii NN – эрмитовы полиномы третьего порядка. Эти полиномы представлены в [3]. Буквами ϕ, ψ, θ обозначаются обобщенные углы поворота в узлах конечного элемента. Теперь потенциальную энергию участков стрингеров, принадлежащих j-му конеч- ному элементу, выразим в виде одномерных интегралов через перемещения срединной по- верхности оболочки в виде ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 1 37 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,sinsin~coscos~cossin~ sin~cos~~25,0 1, )( 1, )( 1, )( 1 0 1 )( 1 )( 01 )( стр 1 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ νϕϕΠ+νϕϕΠ+ϕνϕΠ+ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ νϕΠ+νϕΠ+Π−=Π ∑∑∑ ∑ ∑∑ =ν ν =ν ν =ν ν − = =ν ν =ν ν− i N n i ss ini N n i cc ini N n i cs in N i N i s i N i c iijj j GGG GG nnn xx (9) где ( ) [ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) . 16 )(4 )( 4~ ; 16 )(4 )( 4~ ; 32 )(8 )( 8~ ; 32 )(88~ ; 32 )(88~ ; )( 4 )( 16 )( 4~ 4 1 )( , )( , )( , )( , )( , )( , 1 1 22 1 )( , )( , )( , )( ,, 2 1 )( , )( , )( , )( ,)( 4 1 )( , )( , )( , )( , )( , )( , 1 1 22 1 )( , )( , )( , )( ,, 2 1 )( , )( , )( , )( ,)( 4 1 )( , )( , )( , )( , )( , )( , 1 1 22 1 )( , )( , )( , )( ,, 2 1 )( , )( , )( , )( ,)( 4 1 )( , )( ,,0 )( ,,0 1 1 22 1 )( , )( ,,0,)( , )( ,,0,02 1 )( 4 1 )( , )( ,,0 )( ,,0 1 1 22 1 )( , )( ,,0,)( , )( ,,0,02 1 )( 22 1 2 ,0, 1 1 4 1 2 ,0 22 ,0 2 1 2 ,0,0 0 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − γ−βγ−β+ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − ν−+− + − α+α+ ξ=Π ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − γ+βγ+β+ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − ν++ + − α+α+ ξ=Π ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − γ−βγ+β+ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − ν−+ + − α+α+ ξ=Π ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − γ−ββ+ + − +ν− + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ α+α+ − ξ=Π ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − γ+ββ+ + − +ν + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ α+α+ − ξ=Π ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − β+ + − α+ ξ=Π − ξξννξξνξξξξξξνξξ − − ξνξνξξ − ξξνξνξξξ ν − ξξννξξνξξξξξξνξξ − − ξνξνξξ − ξξνξνξξξ ν − ξξννξξνξξξξξξνξξ − − ξνξνξξ − ξξνξνξξξ ν − ξξννξξνξξξξνξξ − − ξνξνξ ξξνξνξξξ − ν − ξξννξξνξξξξνξξ − − ξνξνξ ξξνξνξξξ − ν − ξ − − ξξξξ − ξξξ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ jj c i s i c nni s niZ ss nYi jj css n c niкрi jj s ij ss nij s niiss in jj s i c i s nni c niZ cc nYi jj scc n s niкрi jj c ij cc nij c niicc in jj c i s i s nni c niZ sc nYi jj csc n s niкрi jj s ij sc nij c niics in jj c i s iiZ s Yi jj sc iкрis ij s ij jj iis i jj s i c iiZ c Yi jj cs iкрic ij c ij jj iic i jj iкрi jj iZYi jj jiii i xx wvwvJwwJE rxx wvvwnJG xx wuwuFE d xx wvwvJwwJE rxx wvvwnJG xx wuwuFE d xx wvwvJwwJE rxx wvvwnJG xx wuwuFE d xx wvvJwwJE rxx vwvJG wuwu xx FEd xx wvvJwwJE rxx vwvJG wuwu xx FEd rxx vJG xx vJwJE xx wuFE d ii ii ii ii ii ii Представим все составляющие потенциальных энергий конструкций в виде квадра- тичных форм относительно узловых перемещений конечных элементов. В эти квадратичные формы будут входить матрицы, которые являются слагаемыми глобальной матрицы жестко- сти конструкции. Для получения этих матриц рассчитываются однократные интегралы, ко- торые входят в составляющие потенциальной энергии. Расчет интегралов проводился в сре- де Maple. Составляющие потенциальной энергии представим так: ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ); 2 1; 2 1 ),1( ,2 ),,1(),1( ,2 )( ,1 ),1( 1 )0,(),1( 1,0 jjjTjj j jjjTjj j zKzzKz − ν ν− ν ν−− =Π=Π (10) ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 1 38 ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ).~~ 2 1~ ;~~ 2 1~;~~ 2 1~ ;~~ 2 1~;~~ 2 1~ ; ~ 2 1~; 2 1 ),1( ,,8 )(),1( ,,8 )( ),1( ,,7 )(),1( ,,7 )(),1( ,,6 )(),1( ,,6 )( ),1( ,5 )(),1( ,5 )(),1( ,4 )(),1( ,4 )( ),1( 1 ),(),1( 1,0 ),1( ,3 ),,2(),1( ,3 )( ,2 jj n inj ss Tjj n ss in jj n inj cc Tjj n cc in jj n inj sc Tjj n cs in jjij s Tjjs i jjij c Tjjc i jjjiTjj i jjjTjj j zKz zKzzKz zKzzKz zKzzKz − ν ν− νν − ν ν− νν − ν ν− νν − ν ν− νν − ν ν− νν −−− ν ν− ν ν =Π =Π=Π =Π=Π =Π=Π Узловые неизвестные сгруппированы в следующие вектора, которые использовались в записи потенциальной энергии: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ].,~;,~;,~ ;;;;;;;; ;;;;;;;; ;,~ ;;;;;;;; ;;;;;;;; ;,~ ;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;; )1,( ,5 )1,( ,5 )1,( ,,8 )1,( ,4 )1,( ,4 )1,( ,,7 )1,( ,5 )1,( ,4 )1,( ,,6 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),(),(),(),(),(),(),(),()1,( ,5 )1,( ,5 )1,( 1 )1,( ,5 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),(),(),(),(),(),(),(),()1,( ,4 )1,( ,4 )1,( 1 )1,( ,4 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),(),(),(),(),(),()1,( ,3 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ),(),(),(),(),(),()1,( ,2 )0( 1 )0( 1 )0( 1 )0( 1 )0( 1 )0( 1 )0()0()0()0()0()0()1,( 1 + ν ++ ν + ν ++ ν + ν ++ ν ν + ν + ν + ν + ν + ν + ν + ν + νννννννν+ ν + ν ++ ν ν + ν + ν + ν + ν + ν + ν + ν + νννννννν+ ν + ν ++ ν ν + ν + ν + ν + ν + ν + νννννν+ ν ν + ν + ν + ν + ν + ν + νννννν+ ν ++++++ + === θθψϕ θθψϕ= = θθψϕ θθψϕ= = θψϕθψϕ= θψϕθψϕ= θψϕθψϕ= jjjj n jj n jjjj n jj n jjjj n jj n s j s j c j c j s j s j s j s j s j s j c j c j s j s j s j s j jj jjjjjj s j s j c j c j c j c j c j c j s j s j c j c j c j c j c j c j jj jjjjjj s j s j c j c j s j s j s j s j c j c j s j s j jj c j c j s j s j c j c j c j c j s j s j c j c j jj jjjjjjjjjjjj jj zzzzzzzzz wwvu wwvuz zzz wwvu wwvuz zzz wvuwvuz wvuwvuz wvuwvuz Тогда потенциальную энергию упругой оболочки можно представить так: ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ). 2 1 2 1 2 1 2 1 обол ),1( ,3 1 1 0 ),,2(),1( ,3 ),1( ,2 1 1 0 ),,1(),1( ,2 ),1( 1 1 0 )0,(),1( 1 glob T glob jj N N j jTjj jj N N j jTjjjj N j jTjj zKzzKz zKzzKz G G =+ ++=Π − ν =ν − = ν− ν − ν =ν − = ν− ν − − = − ∑∑ ∑∑∑ (11) Потенциальную энергию всего продольного оребрения оболочки запишем в виде ( ) ( ) [ ]{ ( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( )] ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( )] ( ) [ ]( ). 2 1~~ ~~~~~~ ~~ 8 1 стр ),1( ,,8 ),,( , ),1( ,,8 ),1( ,,7 ),,( , ),1( ,,7 ),1( ,,6 ),,( , 1, ),1( ,,6 ),1( ,5 ),( , ),1( ,4 1 ),1( ,4 ),( , ),1( ,4 ),1( 1 )(),1( 11 1 )( стрстр glob T glob jj n nj ss Tjj n jj n nj cc Tjj n jj n nj sc N n Tjj n jjj s Tjj N jjj c TjjjjjTjj jj N j j zKzzKz zKzzKzzKz zKzzKzxx G G = ++⎢⎣ ⎡+ ⎢⎣ ⎡+−=Π=Π − ν ν Σ − ν − ν ν Σ − ν − ν ν Σ =ν − ν − ν ν Σ − ν =ν − ν ν Σ − ν − Σ − − = ∑ ∑∑ (12) Тогда матрица жесткости всей конструкции определяется так: [K] = [Kобол] + [Kстр]. Равновесие конструкции описывается следующей системой линейных алгебраиче- ских уравнений [K](zglob) = (F). 3. Численный анализ НДС Рассмотрим цилиндрическую оболочку с тремя ребрами в продольном направлении. Эти ребра характеризуются следующими значениями угла ϕ: ϕ1 = 0; ϕ2 = 2,093; ϕ3 = 4,187. Параметры оболочки таковы: L = 6 м; h = 0.01 м; R = 1 м; μ = 0,3; E = 2,1⋅1011. (13) ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 1 39 Оболочка находится под действием посто- янного внутреннего давления q = 2⋅106 Па. Пара- метры ребер прямоугольного сечения принимались следующими: H0 = H1 = H2 = 0,015 м; E0 = E1 = E2 = 2,1⋅1011 Па; F0 = F1 = F2 = 9⋅10–4 м2; (14) G0 = G1 = G2 = 0,81⋅1011 Па; Jкр,1 = Jкр,2 = Jкр,2 = 13,5⋅10–8 м4; 48м1075,6 321210 −⋅====== zzzyyy JJJJJJ . Теперь рассмотрим результаты численных расчетов НДС этой оболочки с продольным усиле- нием. Нами проводился расчет цилиндрической оболочки с параметрами, представленными выше. Число конечных элементов в продольном направ- лении и число гармоник решений ряда Фурье (4) варьировались для исследования сходимости решения. Эти параметры принималась сле- дующими: NG = 15; N = 40; NG = 12; N = 40; NG = 12; N = 60. Результаты расчета радиальных перемещений в зависимости от продольной координаты оболочки приводятся на рис. 2. На этом рисунке представлены результаты расчетов в месте крепления стрингера. Данные при NG = 15; N = 40 и NG = 12; N = 40 показаны, соответственно, сплошной линией и точками, а при NG = 12; N = 60 – пунктирной линией. Решения, полученные при различном числе ко- нечных элементов и различном числе гармоник, близки. Это свидетельствует о сходимости перемещений. Как следует из результатов численных расчетов, в радиальных перемещениях оболочки отсутствуют следующие компоненты разложения в ряд Фурье 0)()( ≡xw s n ; n = 1, 2, …, NG. Это объясняется равенством механических и геометрических характеристик всех стрингеров и расположении стрингеров на одинаковом расстоянии относительно друг друга. Анализу подвергались только напряжения в оболочке, так как из экспериментальных данных следует, что разрушение происходит в основном в цилиндрической оболочке, а не в стрингерах. Расчеты проводились при следующих двух значениях параметров дискретиза- x w Рис. 2. Радиальные перемещения образующей оболочки в месте крепления стрингера x σx xσy a) б) Рис. 3. Напряжения на наружной стороне оболочки над продольным ребром жесткости: a) – осевые напряжения; б) – окружные напряжения ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 1 40 ции оболочки: NG = 12; N = 60 и NG = 15; N = 50. Результаты расчета представлены на рис. 3. На рис. 3, а представлены осевые на- пряжения в цилиндрической оболочке, а на рис. 3, б − окружные. Эти напряжения показа- ны на продольной оси оболочки над стринге- ром. Сплошной линией даны результаты рас- четов при NG = 12; N = 60, а пунктирной − ре- зультаты при NG = 15; N = 50. Полученные данные близки. Как следует из результатов расчета, нормальные напряжения σx на внут- ренних и наружных сторонах оболочки отли- чаются незначительно. Это говорит о том, что оболочка в основном растягивается и сжимает- ся и значительно в меньшей степени изгибает- ся. На краях оболочки (рис.3) наблюдаются значительные градиенты напряжений, причем область этих градиентов мала. Отметим, что касательные напряжения τxy над продольными ребрами равны нулю, что объясняется, во-первых, симметрией конструкции, а во-вторых − равенством нулю проекции внешнего давления на ось x. Результаты, представленные на рис. 2, 3, близки к данным, полученным с помощью программного комплекса ANSYS. Проводился расчет НДС цилиндрической оболочки с 20 ребрами в продольном на- правлении. Рассматривалась оболочка с параметрами (13). Оболочка содержит двадцать продольных ребер жесткости, расположенных на одинаковом расстоянии относительно друг друга. Параметры этих ребер жесткости имеют вид (14). Проводилось три расчета НДС обо- лочки со следующим числом гармоник ряда Фурье и числом конечных элементов в про- дольном направлении: 1. NG = 20; N = 20; 2. NG = 20; N = 40; 3. NG = 40; N = 20. Из результатов численных расчетов следует, что в разложении перемещений в ряд Фурье (4) присутствуют постоянная составляющая, двадцатая и сороковая гармоники. На рис. 4 представлены радиальные перемещения оболочки в зависимости от продольной коор- динаты в месте крепления стрингеров. Сплош- ной жирной линией показаны результаты рас- четов при NG = 20; N = 40, а сплошной тонкой – данные при NG = 40; N = 20. Тонкой пунк- тирной линией представлены данные при сле- дующих параметрах дискретизации NG = 20; N = 40. Все показанные решения близки, что свидетельствует о сходимости решения для перемещений. Исследовалось поведение ненулевой гармоники ряда Фурье (4) )( 20 cw в зависимости от продольной координаты оболочки. Резуль- таты расчетов приводятся на рис. 5. Как следу- ет из рисунка, только на краях оболочки эта гармоника отлична от нуля. Её значения быст- ро уменьшаются до нуля, и на большей части оболочки величины )( 40 )( 20 , cc ww очень малы. На большей части цилиндрической оболочки, расположенной посредине, наблюдается осе- x w Рис. 4. Радиальные перемещения образующей цилиндрической оболочки с двадцатью ребрами жесткости x )( 20 cw Рис. 5. Эпюра двадцатой гармоники ряда Фурье )( 20 cw в зависимости от продольной координаты оболочки ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 1 41 симметричное деформирование. Результаты расчета напряжений представлены на рис. 6. На рис. 6, а изображены ре- зультаты расчета продольных напряжений σx, а на рис. 6, б дан расчет окружных напряже- ний. Отметим, что на этих рисунках сплошной линией показаны напряжения при NG = 20 и N = 40, а линией из точек − результаты расчета при NG = 20 и N = 20. Заключение В статье предложен вариант полуаналитического метода конечных элементов, кото- рый позволяет исследовать НДС цилиндрических оболочек с силовым набором. Проведен- ные вычислительные эксперименты показали высокую эффективность предложенного мето- да. Полученные результаты сравнивались с данными ANSYS. В цилиндрических оболочках с N продольными ребрами в разложении перемещений в ряд Фурье присутствуют кратные N гармоники. Если величина N велика (порядка 20÷30), то амплитуды гармоник, кратные N, имеют ненулевые значения только на краях оболочки. В большей средней части оболочки наблюдается осесимметричное НДС. Результаты численных расчетов свидетельствуют, что в ряде Фурье для перемеще- ний отсутствуют следующие компоненты 0)()( ≡xw s n ; n = 1, 2, …, NG. Это объясняется тем, что стрингеры расположены на одинаковом расстоянии относительно друг друга и имеют одинаковые механические и геометрические характеристики. Осевые и окружные нормаль- ные напряжения имеют значительные градиенты на концах оболочки. На большей, средней части оболочки напряжения близки к постоянной величине. На внутренней и наружной сто- ронах оболочки значения напряжений близки, то есть оболочка в основном растягивается, сжимается и в значительно меньшей степени изгибается. Литература 1. Моссаковский, В. И. Прочность ракетных конструкций / В. И. Моссаковский, А. Г. Макаренко, П. И. Никитин. – М.: Высш. шк., 1990. – 345 c. 2. Амиро, И. Я. Теория ребристых оболочек / И. Я. Амиро, В. А. Заруцкий. – Киев: Наук. думка, 1980. − 367 с. 3. Рикардс, Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р. Б. Рикардс. – Рига: Зинатне, 1988.− 467 c. Поступила в редакцию 12.11.13 x σx x σy a) б) Рис. 6. Эпюры распределения осевых и окружных нормальных напряжений на внешней стороне оболочки в зависимости от ее продольной координаты: a) – осевые напряжения; б) – окружные напряжения
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-80972
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0131-2928
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T16:19:11Z
publishDate	2014
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
record_format	dspace
spelling	Аврамов, К.В. Морачковский, О.К. Тонконоженко, А.М. Кожарин, В.Ю. Кочуров, Р.Е. 2015-04-29T16:37:33Z 2015-04-29T16:37:33Z 2014 Полуаналитический метод конечных элементов для расчета напряженно-деформируемого состояния цилиндрических оболочек c продольными ребрами жесткости / К.В. Аврамов, О.К. Морачковский, А.М. Тонконоженко, В.Ю. Кожарин, Р.Е. Кочуров // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 1. — С. 33-41. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80972 539.3 Для расчета цилиндрических оболочек, подкрепленных продольными ребрами жесткости, предложен полуаналитический метод конечных элементов. С помощью предложенного метода численно исследуются свойства напряженно-деформированного состояния оболочек. Для розрахунку циліндричної оболонки, що підкріплена повздовжніми ребрами, запропоновано напіваналітичний метод скінченних елементів. За допомогою запропонованого методу чисельно досліджено властивості напружено-деформованого стану оболонок. Semi analytical finite element method is suggested to calculate cylindrical shells supported by longitudinal stiffness. The displacements, which are expanded into the Fourier series by circumference coordinate, are the main unknowns of the suggested approach. One dimensional finite elements are used to calculate amplitudes of the harmonics. Clamped cylindrical shells with three and twenty longitudinal stiffness are analyzed numerically. The properties of the shell deflected mode are analyzed numerically using the suggested approach. ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Динамика и прочность машин Полуаналитический метод конечных элементов для расчета напряженно-деформируемого состояния цилиндрических оболочек c продольными ребрами жесткости Semi-analytical finite element method for deflected mode of ribbed cylindrical shells Article published earlier
spellingShingle	Полуаналитический метод конечных элементов для расчета напряженно-деформируемого состояния цилиндрических оболочек c продольными ребрами жесткости Аврамов, К.В. Морачковский, О.К. Тонконоженко, А.М. Кожарин, В.Ю. Кочуров, Р.Е. Динамика и прочность машин
title	Полуаналитический метод конечных элементов для расчета напряженно-деформируемого состояния цилиндрических оболочек c продольными ребрами жесткости
title_alt	Semi-analytical finite element method for deflected mode of ribbed cylindrical shells
title_full	Полуаналитический метод конечных элементов для расчета напряженно-деформируемого состояния цилиндрических оболочек c продольными ребрами жесткости
title_fullStr	Полуаналитический метод конечных элементов для расчета напряженно-деформируемого состояния цилиндрических оболочек c продольными ребрами жесткости
title_full_unstemmed	Полуаналитический метод конечных элементов для расчета напряженно-деформируемого состояния цилиндрических оболочек c продольными ребрами жесткости
title_short	Полуаналитический метод конечных элементов для расчета напряженно-деформируемого состояния цилиндрических оболочек c продольными ребрами жесткости
title_sort	полуаналитический метод конечных элементов для расчета напряженно-деформируемого состояния цилиндрических оболочек c продольными ребрами жесткости
topic	Динамика и прочность машин
topic_facet	Динамика и прочность машин
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80972
work_keys_str_mv	AT avramovkv poluanalitičeskiimetodkonečnyhélementovdlârasčetanaprâžennodeformiruemogosostoâniâcilindričeskihoboločekcprodolʹnymirebramižestkosti AT moračkovskiiok poluanalitičeskiimetodkonečnyhélementovdlârasčetanaprâžennodeformiruemogosostoâniâcilindričeskihoboločekcprodolʹnymirebramižestkosti AT tonkonoženkoam poluanalitičeskiimetodkonečnyhélementovdlârasčetanaprâžennodeformiruemogosostoâniâcilindričeskihoboločekcprodolʹnymirebramižestkosti AT kožarinvû poluanalitičeskiimetodkonečnyhélementovdlârasčetanaprâžennodeformiruemogosostoâniâcilindričeskihoboločekcprodolʹnymirebramižestkosti AT kočurovre poluanalitičeskiimetodkonečnyhélementovdlârasčetanaprâžennodeformiruemogosostoâniâcilindričeskihoboločekcprodolʹnymirebramižestkosti AT avramovkv semianalyticalfiniteelementmethodfordeflectedmodeofribbedcylindricalshells AT moračkovskiiok semianalyticalfiniteelementmethodfordeflectedmodeofribbedcylindricalshells AT tonkonoženkoam semianalyticalfiniteelementmethodfordeflectedmodeofribbedcylindricalshells AT kožarinvû semianalyticalfiniteelementmethodfordeflectedmodeofribbedcylindricalshells AT kočurovre semianalyticalfiniteelementmethodfordeflectedmodeofribbedcylindricalshells

Полуаналитический метод конечных элементов для расчета напряженно-деформируемого состояния цилиндрических оболочек c продольными ребрами жесткости

Репозитарії

Схожі ресурси