Динамическая неустойчивость обтекателей ракет-носителей в полете

Исследуется динамическая неустойчивость обтекателей ракет-носителей в полете. Так как большую часть полета ракета движется со сверхзвуковой скоростью, то для описания давления газа, действующего на обтекатель, применяется поршневая теория. Обтекатель ракеты-носителя описывается параболической оболоч...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Чернобрывко, М.В., Аврамов, К.В., Романенко, В.Н., Батутина, Т.Я., Пирог, В.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2014
Назва видання:	Проблемы машиностроения
Теми:	Динамика и прочность машин
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80990
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Динамическая неустойчивость обтекателей ракет-носителей в полете / М.В. Чернобрывко, К.В. Аврамов, В.Н. Романенко, Т.Я. Батутина, В.А. Пирог // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 2. — С. 9-16. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-80990
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-809902025-02-23T17:55:44Z Динамическая неустойчивость обтекателей ракет-носителей в полете Dynamic instability of rockets deflectors in flight Чернобрывко, М.В. Аврамов, К.В. Романенко, В.Н. Батутина, Т.Я. Пирог, В.А. Динамика и прочность машин Исследуется динамическая неустойчивость обтекателей ракет-носителей в полете. Так как большую часть полета ракета движется со сверхзвуковой скоростью, то для описания давления газа, действующего на обтекатель, применяется поршневая теория. Обтекатель ракеты-носителя описывается параболической оболочкой. Для вывода уравнений колебаний применяется метод заданных форм. Исследуются свойства колебаний обтекателя. Досліджується динамічна нестійкість обтічників ракетносіїв у польоті. Оскільки більшу частину польоту ракета рухається з надзвуковою швидкістю, то для опису тиску газу, що діє на обтічник, застосовується поршнева теорія. Обтічник ракети-носія описується параболічною оболонкою. Для отримання рівнянь коливань застосовується метод заданих форм. Досліджуються властивості коливань обтічника. The equations of the parabolic shell motions are obtained using the assumed- modes method. It is obtained the system of the ordinary differential equations described the parabolic shell vibrations in a supersonic flow. The approach for calculation of the shape of the shell self- sustained vibrations origin is suggested. The dynamic instability of the parabolic shells is analyzed numerically. The properties of the shell vibrations are investigated. The unstable equilibrium of the paraboloic shell in the supersonic gas stream is observed in the following range of the Mach number: 1< М ≤ 1.4142. The critical Mach number is not changed, if the height of the shell is increased from 2m to 4 m. This is explained by violent vibrations, which are observed in the shell bottom. The frequencies of the self- sustained vibrations are significantly larger, then the lower eigenfrequencies of the shell. If the height of the shell is increased, the frequency of the self- sustained vibrations is increased too. Note, that the shell eigenfrequencies are decreased, if the shell height is increased. Эта работа выполнена при поддержке Целевой комплексной программы НАН Украины по научным космическим исследованиям на 2012–2016 гг. в рамках договора «Расчетная оценка вибраций элементов аэрокосмических систем при силовых и аэродинамических нагружениях». 2014 Article Динамическая неустойчивость обтекателей ракет-носителей в полете / М.В. Чернобрывко, К.В. Аврамов, В.Н. Романенко, Т.Я. Батутина, В.А. Пирог // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 2. — С. 9-16. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80990 539.3 ru Проблемы машиностроения application/pdf Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин
spellingShingle	Динамика и прочность машин Динамика и прочность машин Чернобрывко, М.В. Аврамов, К.В. Романенко, В.Н. Батутина, Т.Я. Пирог, В.А. Динамическая неустойчивость обтекателей ракет-носителей в полете Проблемы машиностроения
description	Исследуется динамическая неустойчивость обтекателей ракет-носителей в полете. Так как большую часть полета ракета движется со сверхзвуковой скоростью, то для описания давления газа, действующего на обтекатель, применяется поршневая теория. Обтекатель ракеты-носителя описывается параболической оболочкой. Для вывода уравнений колебаний применяется метод заданных форм. Исследуются свойства колебаний обтекателя.
format	Article
author	Чернобрывко, М.В. Аврамов, К.В. Романенко, В.Н. Батутина, Т.Я. Пирог, В.А.
author_facet	Чернобрывко, М.В. Аврамов, К.В. Романенко, В.Н. Батутина, Т.Я. Пирог, В.А.
author_sort	Чернобрывко, М.В.
title	Динамическая неустойчивость обтекателей ракет-носителей в полете
title_short	Динамическая неустойчивость обтекателей ракет-носителей в полете
title_full	Динамическая неустойчивость обтекателей ракет-носителей в полете
title_fullStr	Динамическая неустойчивость обтекателей ракет-носителей в полете
title_full_unstemmed	Динамическая неустойчивость обтекателей ракет-носителей в полете
title_sort	динамическая неустойчивость обтекателей ракет-носителей в полете
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Динамика и прочность машин
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80990
citation_txt	Динамическая неустойчивость обтекателей ракет-носителей в полете / М.В. Чернобрывко, К.В. Аврамов, В.Н. Романенко, Т.Я. Батутина, В.А. Пирог // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 2. — С. 9-16. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
series	Проблемы машиностроения
work_keys_str_mv	AT černobryvkomv dinamičeskaâneustojčivostʹobtekatelejraketnositelejvpolete AT avramovkv dinamičeskaâneustojčivostʹobtekatelejraketnositelejvpolete AT romanenkovn dinamičeskaâneustojčivostʹobtekatelejraketnositelejvpolete AT batutinatâ dinamičeskaâneustojčivostʹobtekatelejraketnositelejvpolete AT pirogva dinamičeskaâneustojčivostʹobtekatelejraketnositelejvpolete AT černobryvkomv dynamicinstabilityofrocketsdeflectorsinflight AT avramovkv dynamicinstabilityofrocketsdeflectorsinflight AT romanenkovn dynamicinstabilityofrocketsdeflectorsinflight AT batutinatâ dynamicinstabilityofrocketsdeflectorsinflight AT pirogva dynamicinstabilityofrocketsdeflectorsinflight
first_indexed	2025-11-24T05:52:22Z
last_indexed	2025-11-24T05:52:22Z
_version_	1849649835855052800
fulltext	ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 9 1 М. В. Чернобрывко, канд. техн. наук 1 К. В. Аврамов, д-р техн. наук 1 В. Н. Романенко* 2 Т. Я. Батутина 2 В. А. Пирог 1 Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины, г. Харьков, e-mail: kvavr@kharkov.ua 2 ГП «КБ Южное», г. Днепропетровск, e-mail: info@yuzhnoye.com Ключевые слова: параболическая оболочка, об- текатель ракеты-носителя, метод заданных форм, число Маха, сверхзвуковой газовый поток. УДК 539.3 ДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ОБТЕКАТЕЛЕЙ РАКЕТ-НОСИТЕЛЕЙ В ПОЛЕТЕ Досліджується динамічна нестійкість обтічників ракет- носіїв у польоті. Оскільки більшу частину польоту ракета рухається з надзвуковою швидкістю, то для опису тиску газу, що діє на обтічник, застосовується поршнева теорія. Обтічник ракети-носія описується параболічною оболон- кою. Для отримання рівнянь коливань застосовується ме- тод заданих форм. Досліджуються властивості коливань обтічника. Введение Обтекатели ракет-носителей защищают спутник при выводе его на орбиту. Они изготавлива- ются в виде тонких оболочек, конических, параболических. Часто обтекатель состоит из конической оболочки, соединенной с цилиндрической. В некоторых случаях эти оболочки усилены стрингерами и шпангоутами. Как показывают экспериментальные исследования, при взаимодействии таких тон- ких конструкций с газовым потоком могут возникнуть интенсивные автоколебания. Исследованию таких динамических явлений посвящена настоящая статья. Здесь рассматриваются параболические обтекатели ракет-носителей без силового набора. Несмотря на широкое применение параболических оболочек в авиации и космонавтике, мало усилий было предпринято для исследования динамики и прочности таких конструкций. Пластическое деформирование параболических оболочек рассматривается в статье [1]. Колебания вращающихся параболических оболочек изучается в работе [2]. В [3] исследуются параболические пологие оболоч- ки умеренной толщины с использованием сдвиговой теории первого порядка. Динамическое поведе- ние параболических пологих оболочек умеренной толщины рассматривается в [4]. В качестве урав- нений движения используется система пяти уравнений в частных производных. В статье [5] для ана- лиза параболических конструкций применяется метод конечных элементов на основе четырехузлово- го гибридного элемента. Обзор публикаций по динамике параболоидов дан в [6]. Исследования аэроупругих колебаний оболочек и пластин представлено в [7-10]. Применение поршневой теории к анализу аэроупругости оболочек вращения рассмотрено в работах [11, 12]. Аэ- роупругие колебания конических оболочек с использованием поршневой теории изучаются в работах [13, 14, 15]. Как следует из представленного выше обзора литературы, обтекатели ракет-носителей прак- тически не исследовались. Однако экспериментальный анализ элементов ракет-носителей в газовом потоке свидетельствует, что эти конструкции часто совершают автоколебания со значительными ам- плитудами. В данной статье для получения уравнений движения обтекателей применяется метод задан- ных форм, который использует потенциальную и кинетическую энергии конструкции. Так как боль- ший участок полета ракеты происходит со сверхзвуковой скоростью, то для описания давления, дей- ствующего на обтекатель, применим поршневую теорию. Предложен подход для определения формы обтекателя при возникновении автоколебаний. 1. Постановка задачи и уравнения движения Как показали натурные исследования ракет-носителей, наиболее интенсивные колебания на- блюдаются при скорости потока близкой к скорости звука и при скорости несколько большей скоро- сти звука. Поставлена задача моделирования и исследования аэроупругих колебаний обтекателей в сверхзвуковых газовых потоках. Исследуются обтекатели, форма которых описывается тонкой пара- © М. В. Чернобрывко, К. В. Аврамов, В. Н. Романенко, Т. Я. Батутина, В. А. Пирог, 2014 ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 10 болической оболочкой. Поэтому сдвиги и инерция вращения не учитываются. Для описания деформирования параболоида вос- пользуемся гипотезами Киргофа–Лява. Напряжения и деформации предполагаются малыми; они удовлетворяют закону Гука. Дефор- мируемое состояние срединной поверхности параболоида описы- ваем проекциями перемещений на направления касательных к ко- ординатным линиям u(θ, ϕ, t), v(θ, ϕ, t), w(θ, ϕ, t), где координаты θ и ϕ описывают положение точек на срединной поверхности (рис. 1). Радиусы кривизны координатных линий θ и ϕ находятся так [16]: ( ) ( ) 2/12 0 2/32 0 sin1 , sin1 θχ+ = θχ+ = ϕθ RRRR , (1) где R0 – радиус кривизны в особой точке оболочки θ = 0. Параметр χ для параболических оболочек принимается 1− . Для построения уравнений движения параболической обо- лочки в сверхзвуковом газовом потоке воспользуемся методом за- данных форм [17], который использует уравнения Лагранжа. Кинетическую энергию оболочки T представим следующим образом: ,sin 2 2222 2 2 0 2 1 dzddRR t w t v t uT h h ϕθθ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ρ = ϕθ − π θ θ ∫ ∫ ∫ где ρ – плотность материала оболочки; h – толщина оболочки. Координатные линии срединной по- верхности оболочки показаны на рис. 1. С учетом (1) кинетическую энергию оболочки представим так: . cos sin 2 4 2 0 2222 0 2 1 ϕθ θ θ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ρ = ∫ ∫ π θ θ dd t w t v t uhRT Потенциальную энергию упругой деформации оболочки запишем в виде [16] ( ) ,sin11 2 1 2 2 2 0 121222221111 2 1 dzddRR R z R z h h ϕθθ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +εσ+εσ+εσ=Π ϕθ ϕθ − π θ θ ∫ ∫ ∫ (2) где σ11, σ12, σ22 – компоненты тензора напряжений; ε11, ε12, ε22 – компоненты тензора деформаций. Компоненты тензоров напряжений и деформаций удовлетворяют закону Гука. Компоненты тензора деформаций связаны с перемещениями оболочки так [16] ,2 , , 2112 2222 1111 Ω+Ω=ε +=ε +=ε z zKE zKE (3) где ;sincos3cos1 ;cos1 56 2 2 2 0 1 3 0 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ θθ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + θ∂ ∂ −θ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ θ∂ ∂ + θ∂ ∂ = θ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + θ∂ ∂ = uwwu R K wu R E Рис. 1. Эскиз обтекателя ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 11 . sin cos sin cos sin cos1 ; sin cossincoscos1 ;cosctgctgcosctg1 ;ctgsincos1 4243 2 0 2 4 23 0 1 42 2 2 2 0 2 0 2 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ θ θ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + θ∂ ∂ − ϕ∂ ∂ − ϕ∂θ∂ ∂ θ θ − θ θ ϕ∂ ∂ =Ω ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ θ ϕ∂ ∂ + θ θ ⋅+θθ⋅−θ⋅ θ∂ ∂ =Ω ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ θθ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − θ∂ ∂ +θ ϕ∂ ∂ −θθ ϕ∂ ∂ = θ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ θ⋅+θ⋅+ ϕ∂ ∂ = vvuww R ctguwvv R uwwv R K wuv R E Учитывая соотношения (3), потенциальную энергию оболочки (2) запишем в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) , cos cos1sin12 cos sin12 124 cos sin 4 112 12 3 2 0 2 2 2 112212211 2 0 4 2 0 2 221 2 212 3 4 2 0 2 0 2 121 2 212 2 1 2 1 ϕθ⎥ ⎦ ⎤ θ θ+θ ΩΩν−++ν+++ ⎢⎣ ⎡ + θ θ Ω−ν−−+ ν− + +ϕθ θ θ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω−ν−−+ ν− =Π ∫ ∫ ∫ ∫ π θ θ π θ θ ddRKEKEKEKE RKKKKEh ddREEEEEh где E, ν – модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Вершина оболочки (θ = 0) является особой точкой, поэтому в модели конструкции около нее вырежем отверстие диаметром меньше, чем толщина оболочки. На стороне этого маленького отвер- стия будут выполняться граничные условия свободного опирания. На стороне θ = θ2 оболочка защем- лена, что выражается следующими граничными условиями: 0 2 222 = θ∂ ∂ === θ=θ θ=θθ=θθ=θ wwvu . Так как для исследования колебаний применяется метод заданных форм [17], то на свободной стороне оболочки можно не удовлетворять никаким граничным условиям. Виртуальную работу аэродинамического давления δA, действующего на параболическую оболочку, представим так: , cos sin 4 2 0 2 0 2 1 ϕθ θ θ δ=δ ∫ ∫ π θ θ ddwpRA (4) где p – давление сверхзвукового потока на конструкцию; δw – виртуальное поперечное перемещение оболочки. Для описания давления в сверхзвуковом потоке газа применяется улучшенная поршневая теория [18]. Согласно этой теории, давление, действующее на обтекатель, описывается в виде ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ξ− ∂ ∂ ξ+ θ∂ ∂ ξ−= w t wwp 321 , (5) где , 2 1 ; 2 ; 32 2 2 2 1 β =ξ β − =ξ β ρ =ξ rV MV f ff 12 −=β M ; r = R0tg(θ); M – число Маха; r – переменный радиус сечения оболочки. Слагаемое ξ3w в соотношении (5) называют поправкой Крумхара. Подчеркнем, что поправка Крумхара зависит от координаты θ оболочки. Соотношения (5) применялись для расчетов кониче- ских оболочек в работах [13–15]. ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 12 Виртуальную работу (4) с учетом давления в сверхзвуковом потоке газа (5) можно предста- вить так: ( ) ( ) . cos12cos sin 1 21 2 0 3242 2 0 0 0 2 2 1 ϕθδ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ θ− − θ θ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − − + θ∂ ∂ −=Αδ ρ − ∫ ∫ π θ θ ddww M V t w M MRwVR RV M f f ff (6) Для вывода уравнений движения оболочки с конечным числом степеней свободы воспользу- емся методом заданных форм [17]. Перемещения u(θ, ϕ, t), v(θ, ϕ, t), w(θ, ϕ, t) разложим в ряд по формам собственных колебаний ,),()(),,( ;),()(),,( ;),()(),,( 1 )( 1 )( 1 )( ∑ ∑ ∑ = = = ϕθ=ϕθ ϕθ=ϕθ ϕθ=ϕθ w v u N n n w n N n n v n N n n u n Wtqtw Vtqtv Utqtu (7) где ][][][ )()( 1 )()()( 1 )()()( 1 )( ,...,;,...,;,..., w N wwv N vvu N uu wvu qqqqqqqqq === – вектора обобщенных координат; Un(θ, ϕ), Vn(θ, ϕ), Wn(θ, ϕ) – собственные формы свободных линейных колебаний. Для расчета собственных форм свободных линейных колебаний применялся метод Релея–Ритца. Тогда собственные формы свободных колебаний параболической оболочки представим в следующем виде: , cos)(),( , sin)(),( , cos)(),( 1 2 1 2 1 2 1 1 )()( 1 1 )()( 1 1 )()( ϕθψ=ϕθ ϕθψ=ϕθ ϕθψ=ϕθ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = jCW jBV jAU N i N j w i n ijn N i N j v i n ijn N i N j u i n ijn где )()()( ,, n ij n ij n ij CBA – подлежащие определению коэффициенты. Функции )(),( )()( θψθψ v i u i являются собственными модами продольных колебаний консольного стержня, а функции )()( θψ w i описывают собственные моды поперечных колебаний. Для упрощения дальнейшего изложения все обобщенные координаты сгруппируем в один вектор ][][ GN wvu qqqqqq ,...,,, 1 )()()( == , где NG = Nu + Nv + Nw. Теперь составим выражения для обоб- щенных сил Qn, где n = 1, …, NG. Обобщенные силы Q(u), Q(v), соответствующие обобщенным коорди- натам q(u), q(v), равны нулю. Для получения обобщенных сил Q(w), соответствующих обобщенным ко- ординатам q(w), воспользуемся соотношением для виртуальной работы (6). Тогда в результате полу- чим ( ) ,),( cos2cos sin 1 21 2 0 342 2 0 0 )( 2 0 2 2 1 ϕθϕθ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ θ − θ θ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − − + θ∂ ∂ −= ρ − ∫ ∫ π θ θ ddWw t w MV MRwRQ VR M n f w n ff (8) где n = 1, …, Nw. Разложения (7) введем в соотношения (8). Тогда вектор обобщенных сил Q(w) пред- ставим в следующем матричном виде: ,)()()()()( wwwww qCqKQ &+= где K(w) – матрица аэродинамической жесткости; C(w) – матрица аэродинамического демпфирования. ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 13 Теперь разложения (7) введем в кинетическую и потенциальную энергии (3, 7) и произведем необходимое интегрирование. Тогда кинетическая энергия принимает вид квадратичной формы обобщенных скоростей, а потенциальная – обретет квадратичную форму относительно обобщенных координат. Эти квадратичные формы, в общем случае, можно представить так: ( ) GNqq ,...,1Π=Π , ( ) GNqqTT && ,...,1= . Тогда уравнения Лагранжа, описывающие движение оболочки, запишем в следую- щем виде: [ ] ,00 0 )()()()()( )( )( 333231 232221 131211 )( )( )( = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ wwwww v u w v u qCqKq q q KKK KKK KKK q q q M &&& && && (9) где ),...,(diag 1 GNmmM = . Из теории оболочек известно [17], что собственные частоты, в формах ко- торых преобладают продольные и крутильные колебания, значительно выше собственных частот, в формах которых преобладают изгибные колебания. Поэтому в уравнении (9) примем 0)()( == vu qq &&&& . Тогда из первых двух уравнений системы (9) получим следующие матричные соотношения: [ ] [ ] )( , )()( , )( ; w wv vw wu u qKqqKq == . Эти соотношения введем в (9) и получим уравнения, описывающие линейные колебания оболочки, относительно обобщенных координат поперечных перемещений [ ] [ ] ,0)()()()( 1 =++ ∗ wwww qCqKqM &&& (10) где [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] ;)( 33,32,31 w wvwu KKKKKKK +++=∗ диагональная матрица [M1] получена из диагональ- ной матрицы [M]. 2. Анализ потери устойчивости конструкции Возникновение динамической неустойчивости обтекателя соответствует потере устойчивости тривиального состояния равновесия динамической системы (10). При потере устойчивости наблюда- ется бифуркация Хопфа [17]. Подчеркнем, что, используя модель (10), можно исследовать форму оболочки, которая наблюдается при зарождении автоколебаний. Подход к расчету этой формы будет представлен в данном разделе. Динамическую систему (10) перепишем относительно фазовых коор- динат ( ))()( 1 )()( 1 ,...,,,..., w N ww N w ww qqqqy &&= yGy =& . (11) Решение системы (11) представим так: y = Aiexp(λi, t). Параметры этого решения определяют- ся из следующей проблемы собственных значений: [G – Eλl]Al = 0, где E – единичная матрица. Собственные значения λl называются характеристическими показателя- ми. Рассмотрим случай, когда все собственные значения являются комплексно-сопряженными wjjjjjj Njii ,...,1;; 212 =Ω−α=λΩ+α=λ − , где i – мнимая единица. Собственные вектора, отвечающие этим собственным значениям, представим так: wjjjjjj NjiAiA ,...,1;; 212 =δ−γ=δ+γ=− . (12) В области устойчивости тривиального состояния равновесия выполняется следующее неравенство: αj < 0; j = 1, …, Nw. В точке потери устойчивости α1 = 0, а в начале области развития не- устойчивости α1 > 0. Рассмотрим решение динамической системы (12) в бифуркации Хопфа. Пред- ставим это решение в виде ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } ,expexp 1 ∑ = Ω−αδ−γ+Ω+αδ+γ= wN j jjjjjjjjjj tiiDtiiCy (13) ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 14 где Cj, Dj – константы интегрирования. Так как все действительные части собственных значений, кро- ме одного, отрицательные, то с течением времени составляющие решения (13) с отрицательными действительными частями собственных значений стремятся к нулю и в решении (13) остается только часть, которая имеет нулевую действительную часть характеристического показателя. Такое решение представим так: ( ) ( ) ( ) ( ) ,sincos 111111 tCDtDCy Ωδ−γ+Ωδ+γ= ∗∗∗∗ где ∗DC ,* – константы интегрирования, которые определяются из начальных условий. В дальнейшем рассмотрим частный вид движений, которые характеризуются следующими значениями констант ин- тегрирования: 1* == ∗DC . Элементы векторов γ1 и δ1 определим так: ( ))2( 1 )1( 11 ,..., wNγγ=γ ; ( ))2( 1 )1( 11 ,..., wNδδ=δ . Тогда обобщенные координаты системы (10) запишем в виде ( ) ( ),sin2 1 2)( 1 2)( 1 )( j jjw j tq ϕ+Ωδ+γ= (14) где )( 1 )( 1 )( 1 )( 1tg jj jj j δ−γ δ+γ =ϕ . Уравнение (14) введем в соотношения (7). В результате получим представление поперечных колебаний параболической оболочки в следующем виде: ( ) ( ) ( ) ( ).sin,2,, 1 1 2)( 1 2)( 1 jj N j jj tWtw w ϕ+Ωϕθδ+γ=ϕθ ∑ = (15) Итак, при потере динамической устойчивости оболочки зарождаются автоколебания (15). С помощью соотношений (15) удается численно исследовать форму оболочки при автоколебаниях. Подчеркнем, что колебания оболочки при начале автоколебаний происходят с частотой Ω1, которая является комплексной частью характеристического показателя, действительная часть которого про- ходит через нуль. Итак, частоту начала автоколебаний можно найти из линейного анализа конструк- ции. 3. Численный анализ Для исследования динамической устойчивости оболочек их перемещения раскладываются по формам колебаний (7). Поэтому первой задачей является анализ свободных колебаний параболиче- ской оболочки, результаты которого используются в анализе динамической устойчивости обтекате- лей. Численному анализу подвергались свободные колебания в трех оболочках с разными высота- ми H1 = 2 м, H2 = 3 м, H3 = 4 м и одинаковым радиусом основания r = 2 м. Толщины оболочек прини- малась одинаковыми h = 5 мм. Все расчеты проводились для материала с механическими характери- стиками: E = 71 ГПа, ρ = 2640 кг/м3, ν = 0,3. Плотность газового потока принималась ρf – 1 кг/м3. Для расчета собственных частот колебаний применялся метод Релея–Ритца. Таблица 1. Значения критических чисел Маха M* при разном числе степеней свободы Nw в модели конструкции Nw H1 = 2 м H2 = 3 м H3 = 4 м 6 1,380 1,384 1.378 8 1,41421 1,41421 1,41421 10 1,4142 1,4142 1,4142 12 1,4142 1,4142 1,4142 Для оболочек с высотами H1, H2, H3 исследовалось значение числа Маха М, при котором на- блюдалась потеря динамической устойчивости конструкции. Такое число Маха называется критиче- ским. Отметим, что для значений чисел Маха M < 1 теория, которая описывается соотношением (5), неприменима. Поэтому динамическую неустойчивость параболоидов будем исследовать при M > 1. ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 15 Расчеты проводились в следующем диапазоне M: 1,01 ≤ M ≤ 2. Неустойчивое состояние рав- новесия наблюдается для значений 1,01 ≤ М ≤ 1,4142. Критические значения чисел Маха исследова- лись при разном числе слагаемых в разложении (7). Целью нашего анализа было исследовать сходи- мость критических значений чисел Маха при увеличении числа степеней свободы, описывающих конструкцию. Результаты расчетов критических чисел Маха для параболоидов с высотами H1, H2, H3 представлены в табл. 1. Здесь показаны результаты расчетов для систем с 6, 8, 10, 12 степенями сво- боды. Как следует из таблицы, критические значения чисел Маха для систем с 8, 10 и 12 степенями свободы близки. Это свидетельствует о сходимости результатов. Характерно, что критические значе- ния числа Маха не изменяется при увеличении высоты оболочки с 2 до 4 м. Это объясняется тем, что интенсивный колебательный процесс протекает в нижней части оболочки. Работа сил давления на формах свободных колебаний для трех оболочек отличается несущественно. Таблица 2. Частоты автоколебаний оболочек с высотами H1, H2, H3 H H1 H2 H3 Ω1, Гц 529,55 576,50 619,45 Исследуем частоты начала автоколебаний оболочки. Результаты расчетов частот автоколеба- ний для оболочек с разными высотами даны в табл. 2. Заметим, что частоты автоколебаний значи- тельно выше нижних собственных частот оболочек. Отметим, что при увеличении высот оболочек частоты автоколебаний растут, а собственные частоты падают с увеличением высоты параболоида. Теперь исследуем форму оболочки при начале автоколебаний. Форма оболочки при возник- новении автоколебаний имеет вид (15). Исследовалась эта форма в момент времени t = 0,5π/Ω1 – ϕ1. Формы автоколебаний оболочек с высотами H1, H2 представлены на рис. 2. Как видно из этого рисун- ка, интенсивные автоколебания наблюдаются в нижних частях оболочек. Выводы Неустойчивое состояние равновесия параболической оболочки в сверхзвуковом газовом по- токе наблюдается для следующих значений чисел Маха: 1,01 ≤ М ≤ 1.4142. Волнообразование поперечных автоколебаний в окружном направлении с большим числом узлов наблюдается в нижней части оболочки; интенсивность колебаний вершины параболоида значи- тельно меньше, чем интенсивность колебаний ее нижней части. Частоты автоколебаний значительно выше нижних собственных частот оболочек. Подчерк- нем, что при увеличении высот оболочек частоты автоколебаний растут, при том, что собственные частоты падают с увеличением высоты параболоида. Эта работа выполнена при поддержке Целевой комплексной программы НАН Украины по научным космическим исследованиям на 2012–2016 гг. в рамках договора «Расчетная оценка вибра- ций элементов аэрокосмических систем при силовых и аэродинамических нагружениях». a) б) Рис. 2. Форма движения оболочки с радиусом основания r = 2 м и высотой a) – H1 = 2 м; б) –- H2 = 3 м ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 16 Литература 1. Dahlberg, С. Strain gradient plasticity analysis of the influence of grain size and distribution on the yield strength in polycrystals / С. Dahlberg, J. Faleskog // Europ. J. Mech. A/Solids. – 2010.– № 44.– P. 1–16. 2. Gulyaev, V. Interconnection of critical states of parabolic shells in simple and compound rotations with values of their natural precession vibration frequencies / V. I. Gulyaev, I. L. Solovjev , M. A. Belova // Int. J. Solids and Struct. – 2011. – № 41. – P. 3565–3583. 3. Tornabene, F. Free vibrations of four-parameter functionally graded parabolic panels and shells of revolution / F. Tornabene, E. Viola // Europ. J. Mech A/Solids. – 2009.– № 28.– Р. 991–1013. 4. Viola, E. Free vibrations of three parameters functionally graded parabolic panels of revolution / E. Viola, F. Tornabene // Mech. Res. Comm. – 2009.– № 36.– Р. 587–594. 5. Chun, K. S. Hybrid/mixed assumed stress element for anisotropic laminated elliptical and parabolic shells / K.S. Chun, S.K. Kassegne, B.K. Wondimu // Fin. Elem. Anal. Des. – 2009. – № 41.– Р. 766–781. 6. Leissa, A. W. Vibrations of shells. – Washington: U.S. Government Printing Office, 1973. – 457 p. 7. Болотин, В. В. Неконсервативные задачи упругой устойчивости / В. В. Болотин. – М: Физматгиз, 1961. – 307 с. 8. Gee, D. J. Numerical continuation applied to panel flutter / D. J. Gee // Nonlinear Dynamics. – 2000. – № 22. – Р. 271–280. 9. Pourtakdoust, S. H. Chaotic analysis of nonlinear viscoelastic panel flutter / S. H. Pourtakdoust, S. A. Fazelzadeh // Nonlinear Dynamics. – 2003.– №32.– Р. 387–404. 10. Tizzi, S. Influence of non-linear forces on beam behaviour in flutter conditions / S. Tizzi // J. Sound and Vibration. – 2003. – № 267. – Р. 279–299. 11. Бочкарев, C. А. Панельный флаттер вращающихся круговых оболочек, обтекаемых сверхзвуковым потоком / C. А. Бочкарев, В. П. Матвеенко // Вычисл. механика сплошных сред. – Т. 1.– 2008. – № 3. – С. 25–33. 12. Бочкарев, C. А. Об одном методе исследования аэроупругой устойчивости оболочек вращения / C. А. Бочка- рев, В. П. Матвеенко // Вестн. Самар ун-та. – 2007. – № 4. – С. 387–399. 13. Миниус, Г. М. Расчет флаттера реактивного сопла с продольными сквозными канавками / Г. М. Миниус // Численные методы в механике деформируемого твердого тела. – 1987.– № 2.– С. 15–22. 14. Диткин, В. В. Численное исследование флаттера конических оболочек / В. В. Диткин, Б. А. Орлов, Г. И. Пшеничнов // Механика твердого тела. – 1993. – № 1. – С. 185–189. 15. Ueda, T. Supersonic flutter truncated conical shells / T. Ueda // Trans. Japan Soc. Aerospace Sci. – 1977. – Vol. 20. – Р. 13–30. 16. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек: 2е изд. / В. В. Новожилов.– Л: Cудостроение, 1962.– 431 с. 17. Аврамов, К. В. Нелинейная динамика упругих систем/ К.В. Аврамов., Ю.В. Михлин.– М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. – 704 с. 18. Krumharr, Н. The accuracy of linear piston theory when applied to cylindrical shells / H. Krumharr // AIAA J.– 1963.– Vol. 1. – Р. 1448–1449. Поступила в редакцию 25.04.14

Динамическая неустойчивость обтекателей ракет-носителей в полете

Репозитарії

Схожі ресурси