Моделирование зарождения трещины сдвига в волокне композита, армированного однонаправленными волокнами

Предложена модель зарождения трещины сдвига в волокне композита с периодической структурой, основанная на рассмотрении зоны трещинообразования. Полагается, что зона процесса трещинообразования представляет собой слой конечной длины, содержащей материал с частично нарушенными связями между отдельными...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблемы машиностроения
Дата:	2014
Автор:	Гасанов, Ф.Ф.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2014
Теми:	Динамика и прочность машин
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80991
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Моделирование зарождения трещины сдвига в волокне композита, армированного однонаправленными волокнами / Ф.Ф. Гасанов // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 2. — С. 17-25. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860079881384099840
author	Гасанов, Ф.Ф.
author_facet	Гасанов, Ф.Ф.
citation_txt	Моделирование зарождения трещины сдвига в волокне композита, армированного однонаправленными волокнами / Ф.Ф. Гасанов // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 2. — С. 17-25. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы машиностроения
description	Предложена модель зарождения трещины сдвига в волокне композита с периодической структурой, основанная на рассмотрении зоны трещинообразования. Полагается, что зона процесса трещинообразования представляет собой слой конечной длины, содержащей материал с частично нарушенными связями между отдельными структурными элементами. Наличие связей между берегами зоны предразрушения моделируется приложением к поверхности этой зоны сил сцепления, вызванных отсутствием связей. Анализ предельного равновесия зоны предразрушения при поперечном сдвиге выполняется на основе критерия предельного сдвига связей материала. Запропоновано модель зародження тріщини зсуву у волокні композиту з періодичною структурою, що ґрунтується на розгляді зони тріщиноутворення. Вважається, що зона процесу тріщиноутворення являє собою шар скінченної довжини, що містить матеріал з частково порушеними зв’язками між окремими структурними елементами. Наявність зв’язків між берегами зони передруйнування моделюється прикладанням до поверхні цієї зони сил зчеплення, викликаних відсутністю зв’язків. Аналіз граничної рівноваги зони передруйнування при поперечному зсуві виконується на основі критерію граничного зсуву зв’язків матеріалу. The model of shear crack nucleation in composite fibre with the periodic structure, based on consideration of fracturing zone is offered. It is assumed, that the fracturing zone represents as finite length layer that containing the material with partially broken bonds between separate structural elements. The analysis of prefracture zone limiting equilibrium under transverse shear is carried out on the basis of criterion of material bonds limiting shear and includes: 1) an establishment of cohesive forces dependence from prefracture zone faces shear; 2) an estimation of the stress state near to prefracture zone in view of external loadings and cohesive forces; 3) definition of critical external loadings dependence from geometrical parameters of the composite environment at which appears the crack.
first_indexed	2025-12-07T17:15:48Z
format	Article
fulltext	ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 17 Ф. Ф. Гасанов, канд. техн. наук Азербайджанский технический университет, г. Баку, Азербайджан, e-mail: hff74@mail.ru Ключові слова: зародження тріщини зсуву, композит, од- нонаправлені волокна, зусилля в зв’язках, поперечний зсув. УДК 539.42 МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАРОЖДЕНИЯ ТРЕЩИНЫ СДВИГА В ВОЛОКНЕ КОМПОЗИТА, АРМИРОВАННОГО ОДНОНАПРАВЛЕННЫМИ ВОЛОКНАМИ Запропоновано модель зародження тріщини зсуву у волокні композиту з пе- ріодичною структурою, що ґрунтується на розгляді зони тріщиноутворення. Вважається, що зона процесу тріщиноутворення являє собою шар скінчен- ної довжини, що містить матеріал з частково порушеними зв’язками між окремими структурними елементами. Наявність зв’язків між берегами зони передруйнування моделюється прикладанням до поверхні цієї зони сил зчеп- лення, викликаних відсутністю зв’язків. Аналіз граничної рівноваги зони передруйнування при поперечному зсуві виконується на основі критерію гра- ничного зсуву зв’язків матеріалу. Постановка задачи Рассмотрим изотропную среду, ослабленную периодической системой круговых отверстий, имеющих радиус λ (λ < 1), и центры этих отверстий находятся в точках Pm = mω (m = 0, ±1, ±2, …), ω = 2. Круговые отверстия среды заполнены инородными упругими включениями (волокнами), спа- янными вдоль обвода. Рассматриваемая среда подвергается поперечному сдвигу усилиями ∞ xyτ (попе- речный сдвиг на бесконечности), рис. 1. Начало системы координат совмещаем с геометрическим центром отверстия L0 в связующем. На основании симметрии граничных условий задачи и геометрии области D, занятой упругой средой, компоненты тензора напряжений в связующем являются перио- дическими функциями с основным периодом ω. Рассматривается случай, когда трещинообразование может произойти в волокне композита. Считается, что по мере возрастания интенсивности внешней нагрузки ∞ xyτ в сечении волокна образу- ется прослойка перенапряженного материала. В зоне повышенных напряжений могут возникать тре- щины. Задача о зарождении трещины является важной проблемой теории прочности [1–5]. Постанов- ка задачи о трещинообразовании существенно расширяет первоначальную концепцию А. Гриффитса, согласно которой в материале всегда имеется большое количество мельчайших трещин. Зарождение трещин под нагрузкой соответствует данным фрактографических наблюдений. По мере увеличения интенсивности внешней нагрузки в волокне возникает зона предразрушения, которая моделируется областью с ослабленными межчастичными связями в материале. Взаимодействие берегов этой зоны моделируется путем введения между берегами зоны предразрушения связей с заданной диаграммой деформирования. Физическая природа таких связей и размер зон предразрушения зависят от вида материала. Поскольку указанная зона (прослойка перенапряженного материала) мала по сравнению с остальной частью сечения волокна, ее можно мысленно удалить, заменив разрезом, поверхности ко- торого взаимодействуют между собой по некоторому закону, соответствующему действию удаленно- го материала [2–5]. При этом размер зоны предразрушения заранее неизвестен и подлежит определе- нию. Для математического описания зарождения трещины в волокне композита в рассматриваемом случае приходим к задаче механики материалов с неизвестной границей для композита, когда в во- локне имеется зона предразрушения. При действии внешних нагрузок на композит в связях, соеди- няющих берега зоны предразрушения, возникают касательные напряжения qx(x). Эти напряжения за- ранее неизвестны и подлежат определению из решения задачи. Граничные условия в рассматриваемой задаче имеют вид © Ф. Ф. Гасанов, 2014 ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 18 ( ) ( ) ( ) ( ) , ,τστσ θθ mm mm Sb Srrbrr iuiu ii ΩΩ ΩΩ υ+=υ+ −=− , ( ) )(τσ xiqi xbxyy −=− на берегах зоны предразрушения. Здесь Ωm – граница раздела волокна-связующего в ячейке с номером m; величины, относящиеся к во- локну и связующему, в дальнейшем обозначаются соответственно индексами b и s; 1−=i . Основные соотношения поставленной задачи необходимо дополнить уравнением, связываю- щим сдвиг берегов зоны предразрушения и касательного усилия в связях. Без потери общности это соотношение запишем в виде u+(x, 0) – u–(x, 0) = C(x, qx(x))qx(x), (1) Здесь функция C(x, qx(x)) представляет собой эффективную податливость связей; (u+ – u–) – сдвиг бе- регов зоны предразрушения. Для определения предельной величины внешней нагрузки ∞ xyτ , при которой происходит тре- щинообразование в волокне, постановку задачи необходимо дополнить условием (критерием) появ- ления трещины (предельного сдвига межчастичных связей в материале волокна). В качестве такого условия примем критерий критического сдвига берегов зоны предразрушения u+(x, 0) – u–(x, 0) = δcr, (2) где δcr – характеристика сопротивления материала волокна трещинообразованию. Используя формулы Колосова–Мусхелишвили [6] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( )⎩ ⎨ ⎧ ν+ν− ν− = Ψ=′Φ=ϕ′ −Φ−ϕ=υ+ Ψ+Φ′=+−=+− +=Φ+Φ=+=+ − состояния.гонапряженноплоскогодля13 деформацииплоскойдля43 к ),()(ψ),()( ,)(ψ)()(кμ2 ,)()(2τ2σστ2σσ ,)()(2σσσσ θθ θ2 θ zzzz zzzziu zzziei iyxzzz rr i xyxy rxy (3) Задача о напряженном и деформированном состоянии составной кусочно-однородной среды вводится к построению в каждой из областей, заданной средой, двух комплексных функций Φ(z) и Ψ(z) по заданным граничным условиям. В формулах (3) μ – модуль сдвига; ν – коэффициент Пуассо- на; r, θ – полярные координаты. Рис. 1. Расчетная схема задачи о зарождении трещины сдвига в волокне композита ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 19 Граничные условия в рассматриваемой задаче для отыскания комплексных потенциалов Φb(z), Ψb(z) и ΦS(z), ΨS(z) имеют вид [ ] [ ] θ2θ2 )τ()τ()τ()τ()τ()τ()τ()τ( i SSSS i bbbb ee Ψ+Φ′τ−Φ+Φ=Ψ+Φ′τ−Φ+Φ , (4) [ ] [ ]{ }θτΨ+τΦ′τ−τΦ−τΦ μ μ =τΨ+τΦ′τ−τΦ+τΦ− i bbbbb b Si SSSSS eкe 2θ2 )()()()()()()()(к , (5) )()()()()( xiqxxxxx xbbbb −=Ψ+Φ′+Φ+Φ . (6) Здесь τ = λeiθ + mω; ,...2,1,0 ±±=m m = 0, ±1, ±2, …; x – аффиксы точек берегов зоны пред- разрушения. Условие (4) выражает, что силы, действующие с обеих сторон на элементы линии контакта, равны. Условие (5) выражает условие непрерывности перемещений на линии контакта. Наконец, ус- ловие (6) означает нагруженность берегов зоны предразрушения силами сцепления материала волок- на; κb, μb, и κS, μS – упругие постоянные материала волокна и связующего соответственно. Решение краевой задачи Обозначим правую часть краевого условия (6) через f1(θ) [ ] )()()()()( 1 2 θ=τΨ+τΦ′τ−τΦ+τΦ θ fe i SSSS . (7) Считаем, что на контуре L0 (τ = λeiθ) функция f1(θ) разлагается в ряд Фурье. Ряд Фурье функ- ции f1(θ) имеет вид ( ).,2,1,0,)( 2 1 ,0Re,)( 2 2 0 12 2 2 21 K±±=θθ π = ==θ θ− π ∞ −∞= θ ∫ ∑ kdefA AeAf ik k k k ik k Комплексные потенциалы Φb(z) и Ψb(z) могут быть представлены как Φb(z) = Φb1(z) + Φb2(z); Ψb(z) = Ψb1(z) + Ψb2(z) (8) ( ) ,)(,)( ,)()( 2 1)(,)( 2 1)( 0 2 22 0 2 22 211 ∑∑ ∫∫ ∞ = ∞ = −− =Ψ=Φ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − −π =Ψ −π =Φ k k kb k k kb bb zbizzaz dt zt tgt zt tgzdt zt tgz l l l l где g(x) – искомая функция, характеризующая сдвиг берегов зоны предразрушения [ ] l≤− + μ −= −+ xxuxu dx d к ixg b b )0,()0,( 1 2)( . К соотношениям (8) следует добавить дополнительное условие, вытекающее из физического смысла задачи 0)( =∫ − l l dttg . (9) Комплексные потенциалы для связующего представим в виде ( ) ( ) ( ) , !12 )( !12 )()( , !12 )()( )12(22 0 22 )2(22 0 22 )2(22 0 220 + λ α− + ρλ β+τ=Ψ + ρλ α+α+τ=Φ ++∞ = + +∞ = + ∞ +∞ = + ∞ ∑∑ ∑ k zSi k ziiz k ziiiz kk k k kk k kxyS kk k kxyS ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 20 ( ) ( ) .12', 3 1sin)( 2 2 2 2 ∑ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω π −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω π =ρ − m mmm m PP z Pz PzSzz ; Штрих у суммы означает, что при суммировании исключается индекс m = 0. Из условий антисимметричности относительно координатных осей находим, что Imα2k = 0; Imβ2k = 0, k = 1, 2, … . Из условия постоянства главного вектора всех сил, действующих на дугу, соединяющую две конгруэнтные точки в D, находим 2 2 2 0 24 λβ π =α . На основании краевого условия (4) и соотношения (7) для определения комплексных потен- циалов Φb(z) и Ψb(z) имеем на контуре L0 граничное условие [ ] ∑ ∞ −∞= θθ =τΨ+τΦ′τ−τΦ+τΦ k ik k i bbbb eAe 2 2 2)()()()( . (10) Преобразуем граничное условие (10) следующим образом: [ ] ( )θ+=τΨ+τΦ′τ−τΦ+τΦ ∗ ∞ −∞= θθ ∑ 2 2 2 2 2222 )()()()( feAe k ik k i bbbb , (11) где [ ] θ∗ τΨ+τΦ′τ+τΦ−τΦ−=θ i bbbb ef 2 11112 )()()()()( . (12) Разложим функцию f2 (θ) на контуре сечения волокна в ряд Фурье. Этот ряд будет иметь вид ( )....,2,1,0,)( 2 1 ,0Re,)( 2 0 2 22 2 2 22 ±±=θθ π = ===θ ∫ ∑ π θ−∗ ∞ −∞= θ∗ kdefB BeBf ik k k k ik k Подставив сюда выражение (12) и поменяв порядок интегрирования, после вычисления инте- грала с помощью теории вычетов, находим ( ) ( ) ( ) ( )...,2,1,01 2 12)( ...,2,1,0 2 )(,)( )()(1 22 12 2 12 2 2 12 220 22 = λ + − λ + = = λ −= λ −= π = + +− − − − ∫ ktktktf ktкtfttf dttftgB k k k k k k k b k kk l l Подставив в левую часть (11) вместо )(2 τΦb , )(2 τΦb , )(2 τΦ′b и )(2 τΨb их разложения в ряды Фурье в окрестности нулевой точки, а в правую часть вместо f2 (θ) ряд Фурье и приравнивая коэффи- циенты при одинаковых степенях exp(iθ), получим уравнения для определения неизвестных коэффи- циентов a2k, b2k ( ) ( ) ( )....,2,1,012 ,2,1, 2 2 2222 2 2222 2 2 22 2 00 0 = λ + − λ + +−= = λ + = + = ++−−−− kBABAkib kBAiaBAia k kk k kk k k kk k Требуя, чтобы функции (8) удовлетворяли граничному условию (6), после некоторых преоб- разований получим сингулярное интегральное уравнение относительно искомой функции g(x): ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 21 )()()(1 xiqxH xt dttg x−=+ −π ∫ − l l , (13) где )()()( 22 xxxxH bb Ψ+Φ′= . Для решения уравнения (13) сделаем замену переменных η = x/l, τ = t/l. Тогда получим более удобный вид уравнения (13) для нахождения его приближенного реше- ния )()()(1 η−=η+ η−τ ττ π ∫ − xiqHdpl l , (14) где )()()()( 0202 ηΨ+ηΦ′η=η lllH . Решение сингулярного интегрального уравнения (14) ищем в виде 2 0 1 )()( η− τ =τ pp , где p0(τ) непрерывна по Гельдеру на [–1, 1], причем функция p0(τ) заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа, построенным по чебышевским узлам. В результате использования квадратурных формул [7, 8] сингулярное интегральное уравнение сведем к конечной системе линейных алгебраических уравнений ( ) ( ) ( ) . 2 1ctg sin 1 2 1 ),1,,2,1( 2 1 1 0 k km m m mk n k mxmkmk n a nmqHpa θ−+θ θ = −=η−=η+ − = ∑ K (15) Здесь π − =τ n m m 2 12cos (m = 1, 2, …, n), n r r π =η cos (r = 1, 2, …, n – 1). К алгебраической системе следует добавить дополнительное уравнение (9), записанное в дис- кретной форме ∑ ∞ = = 1 0 0 k kp . Потенциалы Φb(z) и Ψb(z) позволяют, после некоторых преобразований, записать краевые ус- ловия на контуре L0 (τ = λeiθ) для комплексных потенциалов ΦS(z) и ΨS(z) в следующем виде: [ ] ∑ ∞ −∞= θθ =τΨ+τΦ′τ−τΦ+τΦ k ki k i SSSS eAe 2 2 2)()()()( ; (16) [ ] ( ) .1 2 1 2 1 )()()()( 2 1 2 2 1 2 2 1 200 2 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ +−−+ + − − μ μ = =τΨ+τΦ′τ−τΦ+τΦ− θ− ∞ = − θ− ∞ = − θ ∞ = θ ∑∑∑ ki k kb ki k kb ki k k bb b s i SSSSS eBкeAкeABкAк eк (17) Краевые условия (16)–(17) дают возможность определить неизвестные коэффициентов A2k, α2k и β2k. Прежде чем приступить к отысканию A2k, сначала определим коэффициенты α2k и β2k. Для об- легчения дальнейшего изложения величину A2k считаем пока заданной. Подставив в левую часть гра- ничного условия (16) вместо )(zSΦ , )(zSΦ , )(zSΦ′ и )(zSΨ их разложения в ряды Лорана в окрест- ности точки z = 0 и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях exp(iθ), получим две беско- нечные системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов α2k, β2k ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 22 ),2,1,0( 0 22,22 K=+α=α ∑ ∞ = ++ jbiai k jkkjj , (18) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ).,...2,1 ,2,, 24 ),,2,1(12 , 2!32!2 !322 211 12 , 2 ),,2,1,( 2!2!12!12!12 !122!122 11 11 22!22!22 422 2!12!12 222 , 2 12 8 3)12(1 22 0022 2 2 , 2 0 22422 422 2 0222 2 22 1 22 0 2242 42 2 20 0 4422 24 11 2 2 2 2 2 422 2 11 422 2 2 222 1 , 1 44 242 12 20,0 222 ,, ±−==′ τ−=′τ+=′π === ′ + λ++ −′ λε+− λ+ −′=ε ′λ −′=ε = +++ λ++++ ε+ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λε+− λε+ + λ + ++ λ++ + ++ ++ =γ λ+ ε+λ=γλγ+ ε = ∞∞ ∞ ∞ = −−++ ++ ++ + + + + ∞ = −−+ + + ∞ = +++ + ++++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ∞ = + + +++ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ kAA iAAiAAkj m g A kj gkj A k gj Ab AgAb kj iikj ggikij k kgg kj gkj kj gkj gigja kk xyxy nm jj k kkj jk kj j j j jj k kk k k i ikj i ikij kj kj kj kj kj kj kj k i i ikj kjkj K K Коэффициенты β2k определяются соотношениями ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 2!12!22 !322 32 , 2 1 11 1 0 2222422 422 2 2242 1 22 22 22 1 2 2 202 2 2 ∑ ∑ ∞ = −−+++ ++ ++ ++ ∞ = + + + + ′−α ++ λ++ ε+α+=β ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ αλ ε++αλε+′− λε+− =β k jkkj kj kj jj k k k k k Ai kj gkj jii igiA k i , Поступая с краевым условием (17) так же, как с условием (16), после некоторых преобразова- ний получим такую же систему уравнений, как (18) относительно ∗α k2 при ε = –κS, причем в правой части вместо коэффициентов kA2′ следует брать в данном случае ∗ kA2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).,...2,11 ,,...3,2,, , 2 1 2 11 22 0 2 2 0 22 0 2 0 0 00 = μ μ+ + μ μ −= =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ μ μ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ μ μ +τ= μ μ+ − μ μ− +τ−= −− ∗ − ∗∞∗ ∞∗ kBкAкA kAAAiA BкAкiкA k b Sb k b k k S k S xy b b Sb xyb Используя полученные соотношения и выполняя некоторые преобразования, получаем фор- мулы, определяющие коэффициенты α2k, β2k, A0, A–2k, через величины A2k, а также бесконечную сис- тему линейных алгебраических уравнений относительно ( ) ( ) , 2 1 ,1, 1 1 0 0 022 0 22 ,00 22 0 , 222 0 2 0 222 0 22 B e кieAeA Ar к B к кAA к i sb k k k k k k kj kj Sb Sb j Sb Sb jj S S j μ μ+ −+λ= λ μ+μ μ−μ + μ+μ μ+ −= + μμ− =α + ∞ = + + ∞ = ++ −−++ ∑ ∑ , ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,)12(),,2,1,0(, , 2!12!22 !322 32 1 1 , 2 1 2 1 212 1, 21 1, 21 1 , 222 , 0 22,22 22 0 422 22 422 2 2222 0 2 2 2 2 0,02 2 0 ,0 γλ+==+= − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ λ++ ++ + μμ− =β μ −μ + −χ − λ− + = λ− + = λ− μμ− = ++ ∞ = ++ −− ∞ = ++ + ++ ++ ++ ∑ ∑ kj kj kj k jkkjj j k kj k kj kj j S bS j bSSSS k S k SjDjTADA A kj Agkj Aj к i к k кe ek кer ek e K , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 12 ,1 ,,, , 1 1 1 1211, 21 2 11 11 ,, 2 , 1 1 122 22 10 0 0 2 212 2 2 2 1 422 112 ,,,,, ∞ + + +∗∞∗ ∗∗∗ ++ ++∗ τμμη λ+ =τ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ μ μ += γ=γ=+= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − μ μ − + − λ−−= λ− − λ−− − = =μμημμηλ=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +γ μ μ +γ + μμ− = xybSj j j jxy Sb jjjjjjj S bS S S Sb b bSbSkj kj kjkjkj sb b kj S bS kj i gj ti к t hHtTHTT к к к кkC kkкк кC C Cgg dd кк S ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) . 2!12!2 !122 ,1 1 11 , 2!32!2 !3221 112 1 21 1 2112 11 2 12 , 2 1, 211211 111 222 1 , 0 22422 422 2 02 2 2 2 2 2 22 22 1 0 2242 42 2 02 2 2 2 01 ++ ++ ∞ = −−++ ++ ++ + + + ∞ = −−+ + + + ++ = + − + μμ−μμ− =γ + λ+++ + + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λ−+ − + λ−μ μ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ λ−+ + λ+ = λ+ = λ−−μμ+λ−+ −−−μμμμ+ =μμη ∑ ∑ kj kj kj b b b SbbSbS k kkj jk kj b S Sbb S Sb bj j j j k kk k k b b bbSS SbbSSbb S kj gkj r к к к кк B kj gkj к к B kкк кb kekкк к gj h Bg к кh kкkк ккк , Напомним, что величины γj,k определены в (18) при ε = 1, а величины ∗γ kj , – при ε = –κS. Численные результаты и их анализ В правую часть полученной системы (15) входят неизвестные значения касательных напря- жений qx(ηm) в узловых точках, принадлежащих зоне предразрушения. Неизвестные касательные на- пряжения в связях qx(ηm), возникающие на берегах зоны предразрушения, определяются из дополни- тельного условия (1). Используя построенное решение рассматриваемой задачи, уравнение (1) пред- ставим в виде ( )[ ])()(, 1 2)( xqxqxC dx d к ixg xx S b + μ −= . (19) Это дифференциальное уравнение служит для нахождения касательных напряжений в связях. Для построения недостающих уравнений требуем выполнения условий (19) в узловых точках. При этом используем метод конечных разностей. В результате получим еще одну систему из n уравнений для определения приближенных значений qx(ηm) (m = 1, 2, …, n). Так как в составном теле напряже- ния ограничены, то решение сингулярного интегрального уравнения (13) следовало бы искать в класс всюду ограниченных функций. Следовательно, к полученным системам следует добавить условие ограниченности напряжений у вершин зоны предразрушения ( ) 0 2 ctg1 1 0 = θ −∑ = k m k k k p . ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 24 Для численной реализации изложенно- го метода были выполнены расчеты. Для ре- шения объединенной системы уравнений при- менялся метод редукции, т. е. усечение до ко- нечного числа неизвестных и уравнений. Ка- ждая из бесконечных систем урезалась до пя- ти уравнений. В численных расчетах полага- лось n = 20 и n = 30, что отвечает разбиению интервала на 20 и 30 чебышевских узлов. Так как размер зоны предразрушения l неизвес- тен, то разрешающая объединенная алгебраи- ческая система уравнений задачи является не- линейной даже при линейном законе дефор- мирования связей. Для ее решения при линей- ных связях использовали обратный способ. В каждом приближении решалась объединенная алгебраическая система методом Гаусса. В случае нелинейного закона деформирования связей для определения касательных напря- жений в зоне предразрушения использовался также итерационный алгоритм, подобный ме- тоду упругих решений [9]. Считается, что за- кон деформирования межчастичных связей в зоне предразрушения линейный при ∗ −+ δ≤− )( uu . Нелинейная часть кривой деформирования связей аппроксимировалась билинейной зависимостью [10], восходящий участок которой соответствовал деформированию с их максималь- ным усилием связей. При ∗ −+ δ>− )( uu закон деформирования описывался нелинейной зависимо- стью, определяемой точками ),( ∗∗ τδ и ),( cc τδ , причем при ∗τ≥τc имела место возрастающая ли- нейная зависимость (линейное упрочнение, соответствующее упругопластической деформации свя- зей). В результате численного расчета найдена зависимость длины зоны предразрушения, касатель- ные напряжения в связях и сдвиг противоположных берегов зоны предразрушения в волокне от па- раметра нагружения ∞τxy . Для определения предельного равновесного состояния зоны предразрушения, при котором происходит трещинообразование в волокне композита, использовали условие (2). Используя полу- ченное решение, условием, определяющим предельную внешнею нагрузку, при которой в точке x = x0 происходит критический сдвиг межчастичных связей материала волокна, будет ( ) crxx xqxqxC δ=)()(, 000 . (20) Решение объединенной алгебраической системы и критерия (20) позволяет определить кри- тическое значение внешней нагрузки, размер зоны предразрушения и касательных напряжений в свя- зях в состоянии предельного равновесия, при котором в волокне композита появляется трещина. На основании численных расчетов были построены (рис. 2) графики зависимости критиче- ской (продольной) нагрузки ∗ ∞∗ ττ=τ xy от длины зоны предразрушения λ=∗ ll для различных зна- чений радиуса сечения волокна. Выводы Анализ предельно равновесного состояния композита при поперечном сдвиге, когда в волок- не зарождается трещина, сводится к параметрическому исследованию объединенной алгебраической системы и критерия появления трещины сдвига (20) при различных законах деформирования связей, упругих постоянных материалов и геометрических характеристик составного тела. Непосредственно Рис. 2. Зависимости распределения критической внешней нагрузки ∗ ∞∗ ττ=τ xy от безразмерной длины зоны предразрушения λ=∗ ll для некоторых значе- ний радиуса сечения волокна λ = 0,2÷0,4 (кривые 1–3) ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 25 из решения полученных алгебраических систем определяются усилия в связях и сдвиг берегов зон предразрушения. Литература 1. Болотин, В. В. Механика зарождения и начального развития усталостных трещин / В. В. Болотин // Физико- хим. механика материалов. – 1986. – Т. 22, № 1. – С. 18–23. 2. Zolgharnein, E. Nucleation of a crack under inner compression of cylindrical bodies / E. Zolgharnein, V. M. Mirsalimov // Acta Polytechnica Hungarica. – 2012. – Vol. 9, № 2. – P. 169–183. 3. Vaghari, A. R. Nucleation of cracks in a perforated heart – releasing material with temperature – dependent elastic properties / A. R. Vaghari, V. M. Mirsalimov // J. Appl. Mech. Tech. Phys. – 2012. – Vol. 53, № 7. – P. 589–598. 4. Гасанов, Ф. Ф. Трещинообразование в перфорированном теле при продольном сдвиге / Ф. Ф. Гасанов // Ме- ханика машин, механизмов и материалов. – 2013. – № 2 (23). – С. 46–52. 5. Гасанов, Ф. Ф. Моделирование зарождения трещин сдвига в теле, ослабленном периодической системой круглых отверстий / Ф. Ф. Гасанов // Пробл. машиностроения. – 2013. – Т. 16, № 3, – С. 29–37. 6. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. – М.: Наука. 1966. – 707 с. 7. Мирсалимов, В. М. Неодномерные упругопластические задачи / В. М. Мирсалимов. – М.: Наука. 1987. – 256 с. 8. Ladopoulos, E. G. Singular integral Equations, Linear and Non-Linear Theory and its Applications in Science and Engineering / E. G. Ladopoulos. – New York, Berlin: Springer Verlag. 2000. – 547 p. 9. Ильюшин, А. А. Пластичность / А. А. Ильюшин. – М.: ЛОГОС, 2004. – 376 с. 10. Гольдштейн, Р. В. Моделирование трещиностойкости композиционных материалов / Р. В. Гольдштейн, М. Н. Перельмутер // Вычисл. механика сплошных сред. – 2009. – Т. 2, № 2. – С. 22–39. Поступила в редакцию 12.02.14
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-80991
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0131-2928
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T17:15:48Z
publishDate	2014
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
record_format	dspace
spelling	Гасанов, Ф.Ф. 2015-04-29T19:44:31Z 2015-04-29T19:44:31Z 2014 Моделирование зарождения трещины сдвига в волокне композита, армированного однонаправленными волокнами / Ф.Ф. Гасанов // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 2. — С. 17-25. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80991 539.42 Предложена модель зарождения трещины сдвига в волокне композита с периодической структурой, основанная на рассмотрении зоны трещинообразования. Полагается, что зона процесса трещинообразования представляет собой слой конечной длины, содержащей материал с частично нарушенными связями между отдельными структурными элементами. Наличие связей между берегами зоны предразрушения моделируется приложением к поверхности этой зоны сил сцепления, вызванных отсутствием связей. Анализ предельного равновесия зоны предразрушения при поперечном сдвиге выполняется на основе критерия предельного сдвига связей материала. Запропоновано модель зародження тріщини зсуву у волокні композиту з періодичною структурою, що ґрунтується на розгляді зони тріщиноутворення. Вважається, що зона процесу тріщиноутворення являє собою шар скінченної довжини, що містить матеріал з частково порушеними зв’язками між окремими структурними елементами. Наявність зв’язків між берегами зони передруйнування моделюється прикладанням до поверхні цієї зони сил зчеплення, викликаних відсутністю зв’язків. Аналіз граничної рівноваги зони передруйнування при поперечному зсуві виконується на основі критерію граничного зсуву зв’язків матеріалу. The model of shear crack nucleation in composite fibre with the periodic structure, based on consideration of fracturing zone is offered. It is assumed, that the fracturing zone represents as finite length layer that containing the material with partially broken bonds between separate structural elements. The analysis of prefracture zone limiting equilibrium under transverse shear is carried out on the basis of criterion of material bonds limiting shear and includes: 1) an establishment of cohesive forces dependence from prefracture zone faces shear; 2) an estimation of the stress state near to prefracture zone in view of external loadings and cohesive forces; 3) definition of critical external loadings dependence from geometrical parameters of the composite environment at which appears the crack. ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Динамика и прочность машин Моделирование зарождения трещины сдвига в волокне композита, армированного однонаправленными волокнами Modelling of crack nucleation in the fibre of composite reinforced with unidirectional fibres under shear Article published earlier
spellingShingle	Моделирование зарождения трещины сдвига в волокне композита, армированного однонаправленными волокнами Гасанов, Ф.Ф. Динамика и прочность машин
title	Моделирование зарождения трещины сдвига в волокне композита, армированного однонаправленными волокнами
title_alt	Modelling of crack nucleation in the fibre of composite reinforced with unidirectional fibres under shear
title_full	Моделирование зарождения трещины сдвига в волокне композита, армированного однонаправленными волокнами
title_fullStr	Моделирование зарождения трещины сдвига в волокне композита, армированного однонаправленными волокнами
title_full_unstemmed	Моделирование зарождения трещины сдвига в волокне композита, армированного однонаправленными волокнами
title_short	Моделирование зарождения трещины сдвига в волокне композита, армированного однонаправленными волокнами
title_sort	моделирование зарождения трещины сдвига в волокне композита, армированного однонаправленными волокнами
topic	Динамика и прочность машин
topic_facet	Динамика и прочность машин
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80991
work_keys_str_mv	AT gasanovff modelirovaniezaroždeniâtreŝinysdvigavvoloknekompozitaarmirovannogoodnonapravlennymivoloknami AT gasanovff modellingofcracknucleationinthefibreofcompositereinforcedwithunidirectionalfibresundershear

Моделирование зарождения трещины сдвига в волокне композита, армированного однонаправленными волокнами

Репозитарії

Схожі ресурси