Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою поліноміальних інтерлінантів на системі похилих свердловин
Предложен метод моделирования распределения полезных ископаемых при помощи полиномиальных интерлинантов на системе наклонных скважин, размещенных как в одной плоскости, так и произвольным образом. В качестве экспериментальных данных взяты распределение полезных ископаемых в каждой точке системы сква...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы машиностроения |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80993 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою поліноміальних інтерлінантів на системі похилих свердловин / О.О. Литвин, Н.І. Штепа, C.І. Кулик, О.С. Чорна // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 2. — С. 33-39. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859818430751834112 |
|---|---|
| author | Литвин, О.О. Штепа, Н.І. Кулик, C.І. Чорна, О.С. |
| author_facet | Литвин, О.О. Штепа, Н.І. Кулик, C.І. Чорна, О.С. |
| citation_txt | Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою поліноміальних інтерлінантів на системі похилих свердловин / О.О. Литвин, Н.І. Штепа, C.І. Кулик, О.С. Чорна // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 2. — С. 33-39. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы машиностроения |
| description | Предложен метод моделирования распределения полезных ископаемых при помощи полиномиальных интерлинантов на системе наклонных скважин, размещенных как в одной плоскости, так и произвольным образом. В качестве экспериментальных данных взяты распределение полезных ископаемых в каждой точке системы скважин. Математическая модель позволяет вычислять неизвестное распределение полезных ископаемых между скважинами.
Запропонований метод моделювання розподілу корисних копалин за допомогою поліноміальних інтерлінантів на системі похилих свердловин, розміщених як в одній площині, так і довільним чином. Як експериментальні дані взято розподіл корисних копалин в кожній точці системи свердловин. Математична модель дозволяє обчислювати невідомий розподіл корисних копалин між свердловинами.
This paper provides an overview of the new minerals distribution mathematical models construction 3D methods by 3 variables functions interlineation methods on a system of inclined boreholes. The problem of constructing minerals distribution spatial mathematical models for the case when the information about minerals distribution function f(x, y, z) is specified in the M inclined boreholes is considered. Methods of three-dimensional mathematical model construction with the use of functions interlineation on an inclined boreholes system, which are based on the use of limited fractionally rational auxiliary functions, are given. The method of minerals distribution modeling with the help of polynomial interlineants on inclined boreholes system placed both in the same plane and in an arbitrary manner is proposed. Experimental data are mineral resources distribution at every point of the boreholes system. The given mathematical model allows calculating an unknown mineral resources distribution between the boreholes.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:23:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 33
1 О. О. Литвин, канд. фіз.-мат. наук
1 Н. І. Штепа, канд. фіз.-мат. наук
2 C. І. Кулик, канд. фіз.-мат. наук
1 О. С. Чорна
1 Українська інженерно-педагогічна
академія, м. Харків, e-mail: loo71@bk.ru
2 Національний технічний університет
«Харківський політехнічний інститут»,
м. Харків, e-mail: academ_mail@ukr.net
Ключові слова: математична модель, інтерлі-
нація, керни, похилі свердловини, поліноміальна
інтерполяція.
УДК 519.6
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
РОЗПОДІЛУ КОРИСНИХ КОПАЛИН
ЗА ДОПОМОГОЮ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ
ІНТЕРЛІНАНТІВ НА СИСТЕМІ
ПОХИЛИХ СВЕРДЛОВИН
Запропонований метод моделювання розподілу корисних
копалин за допомогою поліноміальних інтерлінантів на
системі похилих свердловин, розміщених як в одній площи-
ні, так і довільним чином. Як експериментальні дані взято
розподіл корисних копалин в кожній точці системи сверд-
ловин. Математична модель дозволяє обчислювати неві-
домий розподіл корисних копалин між свердловинами.
Вступ
Похило направлене буріння поступово стає основним видом буріння як на суші, так і на морі
при проходці свердловин із стаціонарних платформ. Одночасно існує тенденція підвищення вимог до
точності попадання забою свердловин в задану точку і щодо дотримання проектного профілю сверд-
ловини. Тому необхідно забезпечувати ефективний контроль просторового положення стовбура све-
рдловин [1].
Загально відомим є метод розвідки корисних копалин, що грунтується на аналізі вмісту кернів
свердловин, просвердлених в різних точках поверхні даного регіону. В роботах [2–5] запропоновано і
досліджено загальний метод побудови просторових математичних моделей розподілу корисних копа-
лин на основі даних вмісту кернів вертикальних свердловин та інтерлінації функцій трьох змінних
f(x, y, z) – розподілу корисних копалин в кожній точці (x, y, z). У вказаних роботах істотно використо-
вувалось припущення про те, що всі свердловини вертикальні.
У теорії наближення функцій двох і більше змінних
f(x) = f(x1, …, xn), n ≥ 2, в останні десятиліття інтенсивно розви-
вається розділ, присвячений побудові, дослідженню і деяким
застосуванням операторів, які відновлюють (можливо, набли-
жено) функції f(x) за відомими їх слідами та слідами їх частин-
них похідних до фіксованого порядку N (N ≥ 0) на M (M ≥ 1), m-
вимірних (0 ≤ m < n) поверхнях в Rn. З метою уніфікації твер-
джень будемо вважати точки нуль-вимірними поверхнями, а
лінії – одновимірними поверхнями. У випадку m = 0, n ≥ 1 інфо-
рмація про функцію f(x) задається в M точках (полюсах), і такі
оператори наближення називаються операторами інтерполяції
(inter – між, pol – полюс, точка) для M ≥ 2. У випадку m = 1,
n ≥ 2 інформація про функцію f(x) задається слідами f(x) та слі-
дами її частинних похідних
ns
n
s
s
xx
xf
∂∂
∂
...
)(
1
1
||
, |s| = s1 + … sn, 1 ≤ |s| ≤ N
на M лініях, і такі оператори будемо називати операторами ін-
терлінації (inter – між, line – лінія).
У зарубіжній літературі для операторів інтерлінації ви-
користовується декілька назв. Найпоширенішою є назва «blend-
ing function interpolation» – «змішана інтерполяція функцій».
Враховуючи, що інтерлінація є природним узагальнен-
ням інтерполяції, в теорії інтерлінації використовуємо терміно-
© О. О. Литвин, Н. І. Штепа, C. І. Кулик, О. С. Чорна, 2014
Рис. 1. Графічне зображення
похилої свердловини
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 34
логію з теорії інтерполяції (інтерполююча
функція – інтерлінуюча функція, вузли ін-
терполяції – лінії інтерлінації тощо).
В даній роботі вважаємо, що інфор-
мація про розподіл корисних копалин зада-
на на системі як вертикальних, так і похи-
лих свердловин спеціальної геометричної
форми.
Свердловини, для яких проектом
передбачається певне відхилення осі від
вертикалі по певній кривій, називаються
похилими.
Похиле буріння на цей час широко
застосовується при бурінні свердловин для
дослідження нафти, газу і твердих корисних
копалин.
Основне завдання похило направле-
ного буріння – проводка свердловин з мак-
симальною відповідністю проекту в мініма-
льні терміни і з мінімальними витратами –
може бути забезпечена лише за умови конт-
ролю за положенням стовбура свердловин
[6].
Таким чином, актуальною є задача
побудови просторових математичних моде-
лей розподілу корисних копалин для випад-
ку, коли інформацію про функцію розподі-
лу корисних копалин f(x, y, z) задано у М
похилих свердловинах (допускаються та-
кож вертикальні свердловини). Для того
щоб побудувати математичні моделі для
цього випадку, дамо спочатку математичне
означення похилої свердловини.
Означення. Будемо вважати похилою свердловиною множину точок такого вигляду
Γk = {(x, y, z) : x = Xk(z), y = Yk(z),
–H ≤ z ≤ 0}, k = 1, …, M, де функції Xk(z), Yk(z) задовольняють умови rk'(z) < 0 де
( ) ( )22 )0()()0()( kkkkk YzYXzXr −+−= (див. рис. 1).
Таким чином, у даному означенні свердловини ми свідомо вважаємо, що діаметр свердловини
дорівнює нулю, тобто що множина точок, які належать свердловині, є у своїй сукупності деякою ліні-
єю.
1. Інтерлінація на системі похилих свердловин, розміщених в одній площині
Припустимо, що система свердловин розміщена таким чином, що кожна з них може бути по-
хилою лише в площині y = Yi = const, l = 1, …, n, x = xk(z), k = 1, …, m.
Зауважимо, крім того, що в даній роботі виключається випадок горизонтальних свердловин, у
яких при фіксованому значенні z = – H1, система точок у свердловині лежить у горизонтальній пло-
щині (рис. 2). Цей випадок буде розглянутий в окремій роботі авторів.
Хай s1k(x, z), k = 1, …, m s2l(y, z), l = 1, …, n базисні функції, які визначаються формулами (ни-
жче Xk = Xk(z))
Рис. 2. Графічне зображення горизонтальної свердловини
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 35
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) .
......
......)(
,
......
......),(
1121
1121
2
1121
1121
1
nlllllll
nll
l
mkkkkkkk
mkk
k
YYYYYYYXYY
YyYyYyYyYyys
XXXXXXXXXX
XxXxXxXxXxzxs
−−−−−
−−−−−
=
−−−−−
−−−−−
=
+−
+−
+−
+−
Лема 1. Базисні функції s1k(x) = s1k(x, z), s2l(y), k = 1, …, m, l = 1, …, n мають такі властивості:
s1k(Xp(z), z) = δk,p, k, p = 1, …, m; s2l(Xq) = δl,q, l, q = 1, …, n; G = [X1, Xm}×[Y1, Yn]. (1)
Доведення цієї леми можна провести за допомогою безпосередньої підстановки у формули s1k,
s2l замість змінних x та y відповідних функцій.
Теорема 1. Оператор ∑∑
= =
=
M
k
N
l
lklkMN zfyszxszyxfO
1 1
,21 )()(),(),,( є оператором інтерлінації функ-
ції f(x, y, z) на системі похилих свердловин Γk,l = {(x, y, z) : x = Xk(z), y = Yl = const, –H ≤ z ≤ 0},
k = 1, …, m, l = 1, …, n, який має властивості
1. OMNf(Xp(z), Yq, z) = f(Xp(z), Yq, z) = fp,q(z), p = 1, …, M, q = 1, …, N.
2. Для кожного фіксованого z оператор OMNf(x, y, z) є оператором поліноміальної інтерполяції
функції за двома змінними x та y.
Доведення. Враховуючи властивості (1) для базових функцій
s1k(Xq(z), z) = δk,p, 1 ≤ k, q ≤ m, s2l(Yr) = δrl, 1 ≤ r, l ≤ n,
можна записати
.0,,,1,,,1),()(
)()()),((),),((
,
1 1
,,,
1 1
,21
≤≤−===δδ=
==
∑∑
∑∑
= =
= =
zHNqMpzfzf
zfYszzXszYzXfO
qp
M
k
N
l
lkqllk
M
k
N
l
lkqlpkqpMN
KK
Таким чином, перше твердження теореми 1 доведене.
Для доведення другого твердження теореми 1 достатньо зауважити, що при фіксованому z
базисні функції s1k(x, z), s2l(y), k = 1, …, M, l = 1, …, N. є базисними поліномами лагранжевої інтерпо-
ляції за змінними x та y відповідно.
Теорема 1 доведена.
Теорема 2. Нехай f(x, y, z) ∈ Cμ,ν,0(D), де D ∈ R3 – область, якій належать всі свердловини. Тоді
залишок інтерлінації RNMf(x, y, z) = f – ONMf можна подати так:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) .1,1,
!1!1
)(),,()(),(
!1
),,()(
!1
)(),,(),(),,(
1 1
11
,,
,2,1
1
1
,2
1
1
,1
0
0
NMddYzXzfyszxs
dYzxfysdzXzyfzxszyxfR
N
k
M x
X
y
Y
k
k
N y
Y
N
k
x
X
k
kn
k
k
≤ν≤≤μ≤ηξ
−ν
η−
−μ
ξ−
ηξ−
−η
−ν
η−
η
η∂
∂
++ξ
−μ
ξ−
ξ
ξ∂
∂
==
∑∑ ∫ ∫
∑ ∫∑ ∫
= =
−ν−μ
ονμ
=
−ν
ν
ν
=
−μ
μ
μ
l
l
l
l
l
l
l
l
Доведення. Скористаємося тотожностями [9, 10]
RNMf(x, y, z) = (R1 + R2 – R1R2)f(x, y, z),
де ( ) ( )
( ) ,
!1
)(),,(),(,,
1 )(
1
,11 ∑ ∫
=
−μ
μ
μ
ξ
−μ
ξ−
ξ
ξ∂
∂
=−=
M
k
x
zX
k
kM
k
dzXzyfzxsfLfzyxfR ,),,(),(
1
,1∑
=
=
M
k
kkM zyxfzxsfL
( )
( ) ,
!1
),,()(),,(
1
1
,22
0
∑ ∫
=
−ν
ν
ν
η
−ν
η−
η
η∂
∂
=−=
N y
Y
N dYzxfysfLfzyxfR
l
l
l
l
∑
=
=
M
l
llN zYxfysfL
1
,1 ),,()( ,
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 36
( ) 11,0
!
,),,(),(),,(
1
,1 −≤μ≤=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
μ
−
=
=
μ
=
∑ MuxLzyxfzxszyxf
xu
M
M
k
k ,
які є узагальненнями відповідних тотожностей [9] на випадок, коли базисні функції s1k(x, z) залежать
не тільки від змінної x, але також від параметра z.
Вище в записі ( )
!μ
− μuxLM вважається, що оператор LM діє на змінну x. Скористаємося також
тотожностями, які перевіряються інтегруванням частинами
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
1
1
1
, , , , , ,
!
, , , 1, .
1 !
k
r
k
k
rx
kr
X z
X z x
f x y z f X z y z f x y z
X z
f y z d k M
r
μ
μ
μ μ
ξ
ξ ξ
−
=
−
−
= − +
−
+ =
−
∑
∫
Тоді можна написати послідовність тотожностей
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ).,,(),,(
!1
)(),,(),(
!
),,(),,(
!1
)(),,(
!
)(),,(),),((),(),,(),(),,(
1
1
)(
,,
1
,1
1
1
,,
1
)(
,,
1
1
,,
1
,1
1
,1
zyfRzyfLd
r
zXzyfzxs
uxLzyxfzyxfLd
r
zXzyf
xzXzyxfzyzXfzxszyxfzxszyxf
rM
r
k
x
zX
r
M
k
k
xu
M
r
M
r
k
x
zX
r
r
k
k
M
k
k
M
k
k
k
k
ξ+ξ=ξ
−
ξ−
ξ+
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
μ
−
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
ξ
−
ξ−
ξ+
⎢
⎢
⎣
⎡
+
μ
−
−==
−
οο
=
=
μ−
=μ
οομ
−
οο
−
=μ
μ
οομ
==
∫∑
∑∫
∑∑∑
Аналогічне доведення можна провести і для залишку R2. Таким чином, твердження теореми 2
доведено для f(x, y, z) ∈ Cμ,ν,0(0), і для кожної функції f(x, y, z) ∈ C(D), D ⊂ R3, функція
OMNf(x, y, z) ∈ C(D) має такі властивості:
OMNf(Xp(z), Yp, z) = f(Xp(z), Yp, z), p = 1, …, M, –H ≤ z 0.
Теорема 2 доведена.
Наслідок. Таким чином, оператор OMNf(x, y, z) дозволяє обчислювати значення функції
f(x, y, z) між похилими, взагалі кажучи, свердловинами, якщо інформація про функцію задана слідами
в цих свердловинах. При цьому, якщо розподіл корисних копалин визначається неперервною функці-
єю f(x, y, z), яка є поліномом степеня n за змінними x та y при кожному z, то оператор OMNf(x, y, z) точ-
но буде відновлювати таку функцію.
Зауваження. Аналогічно можна написати оператор інтерлінації для випадку, коли свердло-
вини мають геометричну форму такого вигляду:
Γk = {(x, y, z) : x = Xk = const, y = Yl(z), –H ≤ z ≤ 0}, k = 1, …, M, l = 1, …, N.
В цьому випадку оператор OMNf(x, y, z) є математичною моделлю розподілу корисних копалин
з використанням інтерлінації функцій, побудованої на основі поліноміальних допоміжних функцій
s1k(x), s2l(y, z).
2. Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою даних з кернів
похилих свердловин, розміщених довільним чином
Вважаємо, що для довільної функції f(x, y, z) ∈ C(R3) (взагалі кажучи невідомої), яка є розпо-
ділом корисних копалин в корі планети, нам відомі її сліди f(Xk(z), Yk,(z), z) = γk k = 1, …, M в точках M
похилих свердловин
Γk = {(x, y, z) : x = Xk(z), y = Yk(z), –H ≤ z ≤ 0}, k = 1, …, M.
Введемо позначення X(z)k = Xk(z), Y(z) = Yk(z), k = 1, …, M.
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 37
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ,,;,,,;,,,;,,
,...,3,2,1,))(),(;,()())(),(;,,(
,1 ,,1 ,
,,
1
,,,
∏∏
∑
≠=
λ
≠=
λ
λ
λ
=
λλ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
=≥λγ=
M
kji ki
i
M
kji ki
i
kM
M
k
kMkM
d
zYzXzyxd
d
zYzXzyxdzYzXzyx
MzYzXyxzzYzXzyxfO
l
l
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ,;,;,, 22
,
22 zYzYzXzXdyzYxzXzYzXzyxd kikikiiii −+−=−+−=
які для випадку γk(z) = γk = const, k = 1, …, M, є інтерполяційними операторами на нерегулярній сітці
вузлів, запропонованими О. М. Литвиним [7] у 1990 р.
Теорема 3. Якщо у формулі для OM,λf(x, y, z; X(z), Y(z)) покласти
( )( ) ( )( )
( ) ( )∏
∏
≠=
λ
≠=
λ
λ
−+−
−−+−−
= M
kii
ikik
M
kii
ikiiki
kM
zYzYzXzX
zYzYzYyzXzXzXx
zYzXyx
,1
22
,1
,,
)()()()(
)()()()()()(
))(),(;,(l ,
то оператор OM,λf(x, y, z; X(z), Y(z)) буде мати властивості:
1. Для λ/2 ∈ D допоміжні функції lM,k,λ(x, y; X(z), Y(z)) будуть поліномами від двох змінних
степеня (M – 1)λ.
2. OM,λ f(Xp(z), Y(z), z; X(z), Y(z)) = γp(z), p = 1, …, M.
Доведення. Узагальнюючи аналогічне доведення теореми 6.1.2 з [8], зауважимо, що при
λ/2 ∈ D чисельник у формулі для функцій lM,k,λ(x, y; X(z), Y(z)) є поліномом степеня (M – 1)λ за змін-
ними x та y , що і доводить перше твердження теореми. Враховуючи, що знаменники у формулі для
lM,k,λ(x, y; X(z), Y(z)) залежать лише від z, зробимо висновок, що lM,k,λ(x, y; X(z), Y(z)) – поліном степеня
(M – 1)λ за змінними x та y. Тобто OM,λ f(x, y, z; X(z), Y(z)) також є поліномом степеня (M – 1)λ за змін-
ними x та y, якщо λ/2 ∈ D, ∀z ∈ [–H, 0].
Дослідимо допоміжні функції lM,k,λ f(x, y; X(z), Y(z)). Для цього запишемо таку послідовність
рівностей:
( )( ) ( )( )
( ) ( )
[ ].0,
,,1,,0
,,1
)()()()(
)()()()()()()()(
))(),();(),((
,1
22
,1
,,
⎩
⎨
⎧
−∈∀
=≠
=
=
=
−+−
−−+−−
=
∏
∏
≠=
λ
≠=
λ
λ
Hz
Mpkp
kp
zYzYzXzX
zYzYzYzYzXzXzXzX
zYzXzYzX M
kii
ikik
M
kii
ikipikip
ppkMl
Таким чином і при такому виборі lM,k,λ f(x, y; Xk(z), Yk(z)), виконуються співвідношення
lM,k,λ f(Xp(z), Yp(z); X(z), Y(z)) = δk,p, k, p = 1, …, M.
Зазначимо, що знаменник ∏
≠=
λ
M
kii
ki zd
,1
, )( у формулі для lM,k,λ f(x, y; X(z), Y(z)) залежить від z і
{ } 0,,...,1,0)(, >λ∈∀>λ Mkizd ki , а чисельник – невід’ємна функція 0))(),(;,,(
,1
≥∏
≠=
λ
M
kii
i zYzXzyxd . То-
му lM,k,λ(x, y; Xk(z), Yk(z)) ≥ 0 ∀k = 1, …, M, λ> 0,
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 38
Mpk
zd
zd
zd
zYzXzzYzXd
zYzXzYzX pkM
kii
ki
M
kii
piM
kii ki
ppi
ppkM ,,1,,
)(
)(
)(
))(),(;),(),((
))(),();(),((| ,
,1
,
,1
,
,1 ,
,, Kl ====
∏
∏
∏
≠=
≠=
≠=
δ
λ
λ
λ
λ
λ ,
оскільки
⎩
⎨
⎧
==
=
=
∏
∏
≠=
≠=
.0)(бо,якщо,0
,якщо,1
)(
)(
,
,1
,
0,1
,
zdip
kp
zd
zd
ii
M
kii
ki
M
ii
pi
λ
λ
Таким чином, lM,k,λ f(Xp(z), Yp(z); X(z), Y(z)) = δk,p, k, p = 1, …, M. Враховуючи це, можна записа-
ти послідовність рівностей
.,,1),(δ)())(),(;,()())(),(;),(),((
1
,
1
,,, MpzzzYzXYXzzYzXzzYzXfO p
M
k
pkk
M
k
ppkMkppM Kl ==== ∑∑
==
γγγ λλ
Теорема 3 доведена.
Будемо використовувати при побудові операторів OM,λ f(x, y, z; X(z), Y(z)) такі допоміжні фун-
кції:
∑
=
= M
q
pM
pM
p
zYzXyx
zYzXyx
yxh
1
,,
,,
,
))(),(,,(
))(),(,,(
),(
λ
λ
λ
l
l
.
Лема 2. Функції hp,λ(x, y) мають властивості
1. hp,λ(x, y) ≥ 0;
2. 0 ≤ hp,λ ≤ 1;
3. hp,λ(Xk(z), Yk(z)) = δk,p, 1 ≤ k, p ≤ M.
Доведення. Доведення першої властивості випливає з того, що чисельник і знаменник у фор-
мулі для hp,λ(x, y) є додатними функціями. Друга властивість випливає з того, що сума M додатних
чисел, одне з яких може дорівнювати нулю, є більшою, ніж кожне з цих чисел. Доведення третьої
властивості випливає з рівності нулю чисельника формули hp,λ(x, y) у всіх точках Xm(z), Ym(z), m ≠ p,
тобто чисельник і знаменник функції hp,λ(x, y) у точці (Xp(z), Yp(z)) є однаковими.
Лема 2 доведена.
Теорема 4. Справедливі такі співвідношення: якщо γk(z) ∈ C[–H, 0], k = 1, …, M, то
OM,λ f(x, y, z; X(z), Y(z)) ∈ C(R3); OM,λ f(Xp(z), Yp(z), z; X(z), Y(z)) = γp(z), p = 1, …, M, ∀z ∈ [–H, 0].
Доведення. Використовуючи введені вище позначення та твердження леми 2, можна дійти
висновку, що
.,1),(
)(
)(
))(),();(),((
))(),();(),(()(
))(),(;),(),((
,
,
1
,
1
,
1
,
1
,
,
Mpz
z
z
zYzXzYzXl
zYzXzYzXlz
zYzXzzYzXO
p
pp
ppp
M
i
pi
M
k
pkk
M
i
ppi
M
k
ppkk
ppM
K====
==
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
γ
δ
δγ
δ
δγ
γ
λ
λ
λ
Таким чином, теорема 4 доведена.
Теорема 5. Досліджені в теоремі 4 оператори мають таку властивість: в кожній точці з коор-
динатами (x, y, z) виконуються нерівності 0 ≤ OM,λ(x, y, z; X(z), Y(z)) ≤ max{γ1(z), …, γM(z)}.
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 2 39
Доведення. По-перше, зауважимо, що γp(z) ≥ 0, крім того, скористаємось нерівністю
λ1a1 + λ2a2 + … + λMaM ≤ max{a1, a2, …, aM}, якщо λ1 + λ2 + … + λM = 1 і λ1, λ2, …, λM ≥ 0. Застосовую-
чи це твердження до розглядуваного нами твердження, коли ak = γk(z), k = 1, …, M і при цьому в кож-
ній точці (x, y) може дорівнювати нулю лише одне з чисел λi, а всі інші більші нуля, можемо зробити
висновок про справедливість твердження теореми 5.
Висновки
Таким чином, оператор OM,λ(x, y, z; X(z), Y(z)) є тривимірною математичною моделлю розподі-
лу корисних копалин з використанням інтерлінації функцій на системі довільно похилих свердловин,
що грунтується на використанні обмежених дробово-раціональних допоміжних функцій. Він інтерлі-
нує невідомий розподіл f(x, y, z) в кожній з ліній – похилих свердловин. При цьому його максимальні
значення в кожній точці (x, y, z) не перевищують максимальних значень слідів функції f(x, y, z) у цих
свердловинах.
Автори планують створити програмне забезпечення для запропонованих методів та алгорит-
мів побудови математичних моделей розподілу корисних копалин в корі планети на основі даних з
кернів похилих свердловин, а також розробити і дослідити оператори сплайн-інтерлінації на системі
похилих свердловин.
Література
1. Исаченко, В. Х. Инклинометрия скважин / В. Х. Исаченко. – М.: Недра, 1987. – 216 с.
2. Литвин, О. М. Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою інтерлінації функцій
трьох змінних / О. М. Литвин, Н. І. Штепа // Доп. НАН України. – 2009. – № 1. – С. 25–29.
3. Литвин, О. М. Метод оцінки запасів корисних копалин на основі аналізу результатів свердловинного бурін-
ня і узагальненої інтерлінації функцій 3-х змінних / О. М. Литвин, Н. І. Штепа // Зб. тез доп. XLII наук.-
практ. конф. УІПА. 10–15 грудня 2008 р. Ч. 1. Харків. – 2008. – С. 84.
4. Литвин, О. М. Про математичне моделювання структури кори Землі з використанням інтерлінації функцій
трьох змінних / О. М. Литвин, Н. І. Штепа // Теорія прийняття рішень : Пр. IV між нар. шк.-сем. Ужгород:
УжНУ. 29 вересня – 4 жовтня. 2008. – С. 105.
5. Литвин, О. М. Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою інтерлінації функцій
трьох змінних / О. М. Литвин, Н. І. Штепа / Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXV) : Пр. між нар
симп. Крим, смт. Кацивелі, 24–29 вересня 2009. Т. 2; Київ. – 2009. – С. 20–24.
6. Калинин, А. Г. Бурение наклонных скважин: Справочник / А. Г. Калинин, Н. А. Григорян, Б. З. Султанов. –
М.: Недра, 1990. – 348 с.
7. Литвин, О. Н. Интерполирование функций: Учеб. пособие / О. Н. Литвин // – Киев: УМК ВО, 1988. – 31 с.
8. Литвин, О. М. Математичне моделювання розподілу корисних копалин методами інтерлінації та
інтерфлетації функцій / О. М. Литвин, Н. І. Штепа, О. О. Литвин. – К.: Наук. думка, 2011. – 228 с.
9. Литвин, О. М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування / О. М. Литвин. – Харків: Основа, 2002. – 544 с.
10. Литвин, О. М. Методи обчислень. Додаткові розділи. / О. М. Литвин. – К.: Наук. думка, 2005. – 331 с.
Надійшла до редакції 24.02.14
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-80993 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0131-2928 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:23:26Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.О. Штепа, Н.І. Кулик, C.І. Чорна, О.С. 2015-04-29T19:51:07Z 2015-04-29T19:51:07Z 2014 Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою поліноміальних інтерлінантів на системі похилих свердловин / О.О. Литвин, Н.І. Штепа, C.І. Кулик, О.С. Чорна // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 2. — С. 33-39. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80993 519.6 Предложен метод моделирования распределения полезных ископаемых при помощи полиномиальных интерлинантов на системе наклонных скважин, размещенных как в одной плоскости, так и произвольным образом. В качестве экспериментальных данных взяты распределение полезных ископаемых в каждой точке системы скважин. Математическая модель позволяет вычислять неизвестное распределение полезных ископаемых между скважинами. Запропонований метод моделювання розподілу корисних копалин за допомогою поліноміальних інтерлінантів на системі похилих свердловин, розміщених як в одній площині, так і довільним чином. Як експериментальні дані взято розподіл корисних копалин в кожній точці системи свердловин. Математична модель дозволяє обчислювати невідомий розподіл корисних копалин між свердловинами. This paper provides an overview of the new minerals distribution mathematical models construction 3D methods by 3 variables functions interlineation methods on a system of inclined boreholes. The problem of constructing minerals distribution spatial mathematical models for the case when the information about minerals distribution function f(x, y, z) is specified in the M inclined boreholes is considered. Methods of three-dimensional mathematical model construction with the use of functions interlineation on an inclined boreholes system, which are based on the use of limited fractionally rational auxiliary functions, are given. The method of minerals distribution modeling with the help of polynomial interlineants on inclined boreholes system placed both in the same plane and in an arbitrary manner is proposed. Experimental data are mineral resources distribution at every point of the boreholes system. The given mathematical model allows calculating an unknown mineral resources distribution between the boreholes. uk Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Прикладная математика Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою поліноміальних інтерлінантів на системі похилих свердловин Mathematical simulation of minerals with polynomial interlination on the system deviated wells Article published earlier |
| spellingShingle | Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою поліноміальних інтерлінантів на системі похилих свердловин Литвин, О.О. Штепа, Н.І. Кулик, C.І. Чорна, О.С. Прикладная математика |
| title | Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою поліноміальних інтерлінантів на системі похилих свердловин |
| title_alt | Mathematical simulation of minerals with polynomial interlination on the system deviated wells |
| title_full | Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою поліноміальних інтерлінантів на системі похилих свердловин |
| title_fullStr | Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою поліноміальних інтерлінантів на системі похилих свердловин |
| title_full_unstemmed | Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою поліноміальних інтерлінантів на системі похилих свердловин |
| title_short | Математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою поліноміальних інтерлінантів на системі похилих свердловин |
| title_sort | математичне моделювання розподілу корисних копалин за допомогою поліноміальних інтерлінантів на системі похилих свердловин |
| topic | Прикладная математика |
| topic_facet | Прикладная математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/80993 |
| work_keys_str_mv | AT litvinoo matematičnemodelûvannârozpodílukorisnihkopalinzadopomogoûpolínomíalʹnihínterlínantívnasistemípohilihsverdlovin AT štepaní matematičnemodelûvannârozpodílukorisnihkopalinzadopomogoûpolínomíalʹnihínterlínantívnasistemípohilihsverdlovin AT kulikcí matematičnemodelûvannârozpodílukorisnihkopalinzadopomogoûpolínomíalʹnihínterlínantívnasistemípohilihsverdlovin AT čornaos matematičnemodelûvannârozpodílukorisnihkopalinzadopomogoûpolínomíalʹnihínterlínantívnasistemípohilihsverdlovin AT litvinoo mathematicalsimulationofmineralswithpolynomialinterlinationonthesystemdeviatedwells AT štepaní mathematicalsimulationofmineralswithpolynomialinterlinationonthesystemdeviatedwells AT kulikcí mathematicalsimulationofmineralswithpolynomialinterlinationonthesystemdeviatedwells AT čornaos mathematicalsimulationofmineralswithpolynomialinterlinationonthesystemdeviatedwells |