Поліноміальна інтерполяція з відомими проекціями на довільній системі n груп прямих, які складаються з m паралельних прямих

Задано N груп прямих, кожна з яких складається з M паралельних прямих. Кожна пряма з однієї групи перетинається з усіма прямими з інших N – 1 груп. Вважається, що в точках перетину цих прямих задаються значення фінітної функції f(x, y) неперервної разом із своїми похідними першого порядку, носій яко...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Проблемы машиностроения
Дата:	2014
Автори:	Литвин, О.О., Хурдей, Є.Л.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2014
Теми:	Прикладная математика
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81020
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Поліноміальна інтерполяція з відомими проекціями на довільній системі n груп прямих, які складаються з m паралельних прямих / О.О. Литвин, Є.Л. Хурдей // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 60-66. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859468453259247616
author	Литвин, О.О. Хурдей, Є.Л.
author_facet	Литвин, О.О. Хурдей, Є.Л.
citation_txt	Поліноміальна інтерполяція з відомими проекціями на довільній системі n груп прямих, які складаються з m паралельних прямих / О.О. Литвин, Є.Л. Хурдей // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 60-66. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Проблемы машиностроения
description	Задано N груп прямих, кожна з яких складається з M паралельних прямих. Кожна пряма з однієї групи перетинається з усіма прямими з інших N – 1 груп. Вважається, що в точках перетину цих прямих задаються значення фінітної функції f(x, y) неперервної разом із своїми похідними першого порядку, носій якої квадрат [0, 1]×[0, 1]. Вважаються також відомими проекції, тобто інтеграли вздовж кожної із n×m прямих, які поступають з комп'ютерного томографа. Розв'язується така задача: побудувати оператор наближення функції f(x, y), який не тільки інтерполює функцію у вказаних вузлах, але й також має вказані проєкції. Результати даної роботи можуть бути використані при неруйнівному контролі важливих деталей в машинобудуванні. Задано N групп прямых, каждая из которых состоит из M параллельных прямых. Каждая прямая из одной группы пересекается со всеми прямыми из других (N–1)-й групп. Считается, что в точках пересечения этих прямых задаются значения финитной функции f(x, y) непрерывной вместе со своими производными первого порядка, носитель которой квадрат [0, 1]´[0, 1]. Считаются также известными проекции, т.е. интегралы вдоль каждой из n´m прямых , которые поступают с компьютерного томографа. Фактически эти интегралы находятся вдоль отрезков прямых, пересекающих носитель. Решается следующая задача: построить оператор приближения функции f(x, y), который не только интерполирует функцию в указанных узлах, но и также имеет указанные проекции. Результаты данной работы могут быть использованы при неразрушающем контроле важных деталей в машиностроении.
first_indexed	2025-11-24T08:21:18Z
format	Article
fulltext	ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 3 60 мума к решению задач математического программирования на последовательности подобластей области допустимых решений. Литература 1. George, J. A. Packing different-sized circles into a rectangular container / J. A. George, J. M. George, B. W. Lamar // European J. Oper. Res. – 1995. – № 84. – P. 693–712. 2. George, J. A. Multiple container packing: a case study of pipe packing / J. A. George // J. Oper. Res. Soc. –1996. – №. 47. – P. 1098–1109. 3. Birgin, E. G. Optimizing the packing of cylinders into a rectangular container / E. G. Birgin, J. M. Martinez, D. P. Ronconi // European J. Oper. Res. – 2005. – Vol. 160. – P. 19–33. 4. Стоян, Ю. Г. Упаковка различных круговых цилиндров в параллелепипеде / Ю. Г. Стоян, Д. И. Придатко // Доп. НАН України. – 2004. – № 4. – С. 27–32. 5. Стоян, Ю. Г. Математическая модель и метод решения задачи размещения сфероцилиндров и цилиндров с учетом специальных ограничений / Ю. Г. Стоян, А. М. Чугай // Электрон. моделирование. – 2008. – Т. 30, № 5. – С. 3–20. 6. Scheithauer, G. Mathematical modeling of interactions of primary 3D geometric objects / G. Scheithauer, Y. Stoyan, T. Romanova // Cybernetics and System Analysis. – 2005. – Vol. 41 (3). – P.332– 342. 7. Wachter, A. On the implementation of a primal-dual interior point filter line search algorithm for large-scale nonlin- ear programming / A. Wachter, L. T. Biegler // Math. Program. – 2006. – № 106 (1). – Р. 25–57. Поступила в редакию 15.08.14 О. О. Литвин, канд. фіз.-мат. наук Є. Л. Хурдей Українська інженерно- педагогічна академія м. Харків, e-mail: hurdei@mail.ru Ключові слова: комп’ютер- на томографія, проекція, по- ліноміальна інтерполяція фу- нкцій двох змінних. УДК 519.6 ПОЛІНОМІАЛЬНА ІНТЕРПОЛЯЦІЯ З ВІДОМИМИ ПРОЕКЦІЯМИ НА ДОВІЛЬНІЙ СИСТЕМІ N ГРУП ПРЯМИХ, ЯКІ СКЛАДАЮТЬСЯ З M ПАРАЛЕЛЬНИХ ПРЯМИХ Задано N груп прямих, кожна з яких складається з M паралельних прямих. Ко- жна пряма з однієї групи перетинається з усіма прямими з інших N – 1 груп. Вважається, що в точках перетину цих прямих задаються значення фінітної функції f(x, y) неперервної разом із своїми похідними першого порядку, носій якої квадрат [0, 1]×[0, 1]. Вважаються також відомими проекції, тобто інтеграли вздовж кожної із n×m прямих, які поступають з комп'ютерного томографа. Розв'язується така задача: побудувати оператор наближення функції f(x, y), який не тільки інтерполює функцію у вказаних вузлах, але й та- кож має вказані проєкції. Результати даної роботи можуть бути використа- ні при неруйнівному контролі важливих деталей в машинобудуванні. Вступ На сьогодні зрозуміло, що методи неруйнівного контролю, зокрема методи комп’ютерної то- мографії, є невід’ємною частиною дослідження важливих деталей у машинобудуванні, митному кон- тролі тощо. При цьому важливим є використання для контролю невеликої кількості ракурсів. Тому актуальною є задача відновлення функції за допомогою проекцій на довільній системі N груп пря- мих, які складаються з M паралельних прямих. В роботах [1–6] запропоновано загальний метод побудови оператора інтерлінації функції двох змінних з відомими проекціями – інтегралами вздовж заданої системи прямих. Цей метод полягає у виконанні таких двох кроків: Крок 1. Побудова оператора інтерлінації зі слідами на заданій системі прямих. © О. О. Литвин, Є. Л. Хурдей 2014 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 3 61 Крок 2. Заміна слідів наближуваної функції у вказаних операторах інтерлінації операторами інтерполяції із заданими проекціями вздовж прямих, на яких ця функція від однієї змінної є слідом наближуваної фінітної функції f(x, y), supf⊆D⊂R2. Практична реалізація вказаного загального алгоритму була виконана в роботі [2] лише для випадку, коли проекції знаходились вздовж системи взаємно перпендикулярних прямих. В роботі [7] вказаний метод реалізовано для випадку M перетиннних прямих, серед яких немає паралельних і ре- зультат узагальнюється на випадок, коли проекції відомі вздовж N груп перетинних прямих, кожна з яких складається з M паралельних прямих та інтерполяційні дані задаються в точках перетину пря- мих. Постановка проблеми Задано N груп перетинних прямих }0),(:),{( 21 =γ−+=ω= k ikk k i k i yAxAyxyxГ , k = 1, 2, …, N, i = 1, 2, …, M, 12 2 2 1 =+ kk AA , ∅≠∩ DГ k i , кожна з яких складається з M паралельних прямих. Позна- чимо через l j k i kl ij kl ij ГГyxP ∩=),( , k, l = 1, 2, …, N, k ≠ l, i, j = 1, 2, …, M – точки перетину прямих. В даній роботі розв’язується така задача: нехай f(x, y) неперерервна функція з заданими значеннями ),( kl ij kl ij yxf , k, l = 1, 2, …, N, i, j = 1, 2, …, M і відомими числами k i Г adsyxf k l =∫ ),( , k = 1, 2, …, N, i = 1, 2, …, M, які будемо називати проекціями, як це прийнято в комп’ютерній томографії [8–14]. Для системи N груп М паралельних прямих побудувати оператор Lf(x, y) з властивостями 1. ),(),( kl ij kl ij kl ij kl ij yxfyxLf = , k, l = 1, 2, …, N, k ≠ l, i, j = 1, 2, …, M. 2. k i ГГ adsyxfdsyxLf k l k i == ∫∫ ),(),( , k = 1, 2, …, N, i = 1, 2, …, M. Побудова оператора інтерлінації функції f(x, y) на вказаній системі прямих Введемо для фіксованих пар (p, q) та (r, s) систему базисних функцій ),( yxh pq rs ),( ),( ),( ),( ),( 1 1 pq rs pq rs q qM r M s pq rs pq rs p p pq rs yx yx yx yx yxh ν ν ≠μ =μ ≠ν =ν μ μ ω ω ⋅ ω ω = ∏∏ . Теорема 1. Функції ∏∏ ≠ρ ≠ρ =ρ =π ρ π ρ π ω ω = N q p M pq rs pq rs pq rs pq rs yx yxyxhyxH 1 1 ),( ),(),(),( мають властивості 1. qksipkriyxH k iГ pq rs ≠≠≠≠= ,;,,0\|),( . 2. 1),( =pq rs pq rs pq rs yxH , p, q = 1, 2, …, N, r, s = 1, 2, …, M. тобто ),(),,(),(),,(),( βανμ αβ μν αβ μν δδ= qpsr pq rs yxH , де νμνμ δδ=δ ,,),(),,( srsr , βαβα δδ=δ ,,),(),,( qpqp . Доведення. Враховуючи, що q s p r pq rs pq rs ГГyx ∩=),( , то .1 ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( 1 11 1 = ω ω ω ω ⋅ ω ω = ∏∏∏∏ ≠ρ ≠ρ =ρ =π ρ π ρ π ν ν ≠μ =μ ≠ν =ν μ μ N q p M pq rs pq rs pq rs pq rs pq rs pq rs q pq rs pq rs qM r M s pq rs pq rs p pq rs pq rs p pq rs pq rs pq rs yx yx yx yx yx yx yxH Розглянемо точку srГГyx qppqpq ≠ν≠μ∩= νμμνμν ,,),( . У цій точці виконуються рівності 0),(,0),( =ω=ω μνμννμνμνμ pqpqqpqpqp yxyx , враховуючи які, можемо написати .0 ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( 1 11 1 = ω ω ω ω ⋅ ω ω = ∏∏∏∏ ≠ρ ≠ρ =ρ =π ρ π μνμν ρ π ν μνμνν ≠μ =μ ≠ν =ν μ μνμνμ μνμν N q p M pq rs pq rs pqpq pq rs pq rs q pqpqqM r M s pq rs pq rs p pqpqp pqpqpq rs yx yx yx yx yx yx yxH ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 3 62 Теорема 1 доведена. Введемо до розгляду позначення ).,(),,( ,,2,1,;,0 ,,)(,)( 1221 21 21 2 1 1 2 kkkkkk lk ll kk kl k k k ik i k k k ik i AAAA Nlklk AA AA A xAxfxy A yAfy −=τ=ν =≠≠Δ−==Δ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −γ =ϕ∨⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −γ =ϕ K та оператор ( ) .),( ),(),( ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ϕ− ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω Δ τ −ϕ+ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω Δ τ −ϕ= pq rs p r p r pq rs q s q s pq rs p r pq rs yyxyyxy pq q pq pyxfO Для подальшого використання доведемо таке твердження. Теорема 2. Оператор ),( yxfO pq rs має такі властивості: sriqpkyyxfyxfO k iГГ pq rs k i k i ,;,),(\|),(\|),( ==ϕ== , p, q = 1, 2, …, N, r, s = 1, 2, …, M. Доведення. Враховуючи, що )()( pq rs q s pq rs p r yy ϕ=ϕ та 0\|),( =ω p rГ p r yx , 0\|),( =ω q sГ q s yx , маємо ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .\|),(\|),( \|),(\|),( \|\|),( ,\|),(\|),( \|),(\|),( \|\|),( ),(),( ),(),( q s q s q s q s q s pq q pq p q s p r p r p r p r p r pq q pq p p r Г pq rs p rГ p r pq qpq rs q s pq rs p r pq rs p rГ p r pq qpq rs q sГ q s pq ppq rs p r Г pq rs p r p r pq rs q s q s pq rs p rГ pq rs Г pq rs p r pq rs q sГ q s pq ppq rs p r pq rs p rГ p r pq qpq rs q sГ q s pq ppq rs p r Г pq rs p r p r pq rs q s q s pq rs p rГ pq rs yxfyyxyy yyxyyxy yxfO yxfyyyxy yyxyyxy yxfO yyxyyxy yyxyyxy =ϕ−⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω Δ τ −ϕ+ϕ= =ϕ−⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω Δ τ −ϕ+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω Δ τ −ϕ= == =ϕ−ϕ+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω Δ τ −ϕ= =ϕ−⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω Δ τ −ϕ+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω Δ τ −ϕ= == ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ϕ− ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω Δ τ −ϕ+ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω Δ τ −ϕ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ϕ− ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω Δ τ −ϕ+ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω Δ τ −ϕ Теорема 2 доведена. Таким чином, оператор ),( yxfO pq rs є оператором інтерлінації функції f(x, y) на двох прямих p rГ та q sГ , що належать групам з номерами p та q відповідно. Побудуємо оператор інтерполяції f(x, y) із заданими проекціями. Введемо до розгляду систему операторів ∑∑ = = = M r M s pq rs pq rs pq yxfOyxHyxfU 1 1 ),(),(),( . (1) Теорема 3. Оператори ),( yxfU pq мають властивості .,;1,1,0\|),( ,,,2,1,\|),(\|),( qpkNkMiyxfU qkpkMiyxfyxfU k i k i k i Г pq ГГ pq ≠≤≤≤≤= =∨=== K ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 3 63 Доведення. З теореми 1 маємо ),(),,(),(),,(),( βανμ αβ μν αβ μν δδ= qpsr pq rs yxH , де νμνμ δδ=δ ,,),(),,( srsr , βαβα δδ=δ ,,),(),,( qpqp , p, q , α, β= 1, 2, …, N, r, s, μ, ν = 1, 2, …, M. З теореми 2 маємо sriqpkyxfyxfO k i k i ГГ pq rs ,;,,\|),(\|),( === Отже, NqpMsrqkpksiriyxfyxfO yxfOyxHyxfU k i k i k i k i k i Г M r M s Г pq rsqpsr M r M s Г pq rsГ pq rsГ pq ,,2,1,;,,2,1,;;,\|),(\|),( ]теоремоюза[\|),(\|),(\|),( 1 1 ,,,, 1 1 KK ===∨==∨==δδδδ= === ∑∑ ∑∑ = = βανμ = = .,;,,1,1,0\|),( ] ттеоремоюза[\|),(\|),(\|),( 1 1 ,,,, 1 1 qpksriNkMiyxfO yxfOyxHyxfU M r M s Г pq rsqpsr M r M s Г pq rsГ pq rsГ pq k i k i k i k i ≠≠≤≤≤≤=δδδδ= === ∑∑ ∑∑ = = βανμ = = Отже, k i k i ГkqkpГ pq yxfyxfU \|),()(\|),( ,, δ+δ= , i = 1, 2, …, M, k = 1, 2, …, N. Теорема 3 доведена. Теорема 4. Оператор ∑∑ = ≠ = = N p N pq q pq yxfUyxUf 1 1 ),(),( (2) є оператором інтерлінації функції f(x, y) на вказаній системі N груп прямих, кожна з яких складається з M прямих k i k i ГГ yxfyxUf \|),(\|),( = , i = 1, 2, …, M, k = 1, 2, …, N. Доведення. Використовуючи теорему 3, маємо k i k i k i k i Г N p N q Гkqkp N p N q Г pq Г yxfyxfyxfUyxUf \|),(\|),()(\|),(\|),( 1 1 ,, 1 1 =δ+δ== ∑∑∑∑ = == = , i = 1, 2, …, M, k = 1, 2, …, N. Теорема 4 доведена. Наслідок. Отримані результати можемо використовувати для побудови операторів інтерполя- ції на системі точок, що є перетинами M не паралельних прямих із заданими проекціями вздовж цих прямих, отримані в роботі [7]. Побудова операторів інтерполяції із заданими проекціями Теорема 5. Оператори ( ) ( )∑ ∫∫ ∑ ∫∫ = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−ϕ+ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−ϕ+=ϕ M j Г pqrs i pqrs i Г rspq ij rspq ij k i rs ij k i M j Г pqrs i pqrs i Г pqrs ij pqrs ij k i pq ij k i k iki k i k i k i k i dsywr ywrdsyLyLay dsywr ywrdsyLyLayayL 1 1 )( )()()()( )( )()()()()( ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 3 64 де ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −γ =ϕ∨⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −γ =ϕ 2 1 1 2 ,)(,)( k k k ik i k k k ik i A xAxfxy A yAfy , ∏ ∏ ≠ = = − − − − = M li i M j rs kj pq kl rs kj pq ki pq kl pq kipqrs kl yy yy yy yyyL 1 1 )( , ∏∏ == −−= M j rs kj M i pq ki pqrs k yyyyywr 1 2 1 2 )()()( . мають властивості 1. ),()( pq kl pq kl pq klki yxfyL =ϕ 2. .),()( ∫∫ =ϕ k i k i ГГ ki dsyxfdsyL Доведення. Доведемо властивість 1. ).,(),( )( )()()(),()( )( )()()(),()(),()( 1 1 pq kl pq kl Г pq kl pq kl M j Г pq kl pqrs i pq kl pqrs i Г pq kl rspq ij pq kl rspq ij Г pq kl pq kl rs ij M j Г pq kl pqrs i pq kl pqrs i Г pq kl pqrs ij pq kl pqrs ij Г pq kl pq kl pq ij Г pq kl pq kl pq klki yxfdsyxf dsywr ywrdsyLyLdsyxfy dsywr ywrdsyLyLdsyxfydsyxfyL k i k i k i k i k i k i k i k i == ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −ϕ+ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −ϕ+=ϕ ∫∑ ∫∫∫ ∑ ∫∫∫∫ = = Доведемо властивість 2. ( ) ( ) .),( )( )( )()(),()( )( )( )()(),()(),( )( )()()()( )( )()()()()( 1 1 1 1 ∫∑ ∫ ∫ ∫∫∫ ∑ ∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫ ∑ ∫∫ ∫ ∑ ∫∫∫ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −ϕ+ + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −ϕ+= = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−ϕ+ + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−ϕ+=ϕ = = = = k i k i k i k iГ k iГ k i k i k i k iГ k iГ k i k i k i k i k iГ k iГ k i k iГ k i Г M j Г pqrs i Г pqrs i rspq ij rspq ij Г rs ij M j Г pqrs i Г pqrs i pqrs ij pqrs ij Г pq ij Г Г M j Г pqrs i pqrs irspq ij rspq ij k i rs ij M j Г pqrs i pqrs ipqrs ij pqrs ij k i pq ij k i Г ki dsyxf dsywr dsywr dsyLdsyLdsyxfy dsywr dsywr dsyLdsyLdsyxfydsyxf ds dsywr ywrdsyLyLay ds dsywr ywrdsyLyLayadsyL Теорему 5 доведено. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 3 65 Приклад Нехай задана система з трьох груп паралель- них прямих (рисунок) }0),(:),{( 21 =γ−+=ω= k ikk k i k i yAxAyxyxГ , k = 1, 2, …, N, i = 1, 2, …, M, де ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− =γ 5 5,0 5 3,0 5 1,0 65 3.2 65 2 65 7.1 2 8,0 2 9,0 2 1 ; ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 5 3 65 1 2 1 5 4 65 8 2 1 A які перетинаються в точках q s p r pq rs pq rs ГГyx ∩=),( , ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 14 3 35 6 70 9 5 1 70 11 35 4 70 13 7 11,0 12X , ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 70 41 35 22 70 47 10 7 35 26 14 11 70 57 7 69,0 12Y ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 70 29 70 27 14 5 35 16 7 3 5 2 5,0 70 33 70 31 13X , ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 70 27 70 29 70 31 70 31 70 33 2 1 5,0 70 37 70 39 13Y ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 140 37 35 9 4 1 56 13 40 9 280 61 2,0 140 27 70 13 23X , ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 70 13 70 17 10 3 7 1 5 1 35 9 1,0 70 11 14 3 23Y . Використаємо формулу (2) інтерлінації для побудови оператора, який в точках ),( kl ij kl ij yx пере- тину цих прямих }0),(:),{( 21 =γ−+=ω= k ikk k i k i yAxAyxyxГ , k = 1, 2, …, N, i = 1, 2, …, M набуває значень, що збігаються зі значеннями наближуваної функції і має інтеграли вздовж цих прямих, які збігаються з проекціями вздовж цих прямих від наближуваної функції f(x, y). Використаємо теореми 3 та 5 для побудови ( ) .,),(),,( ),(),,(),(),( 21 21 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ϕ−⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω Δ τ −ω Δ τ −ϕ+ + ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω Δ τ −ω Δ τ −ϕ×= ∑∑ = = pq kj pq kjpk p k qp qpq kj p k qp qpq kjqj q j pq ppq kj q j pq ppq kjpk M j M k pq kj pq yxLyxyyxxL yxyyxxLyxHyxfU За теоремою 4 маємо ).,(),(),(),( 231312 yxfUyxfUyxfUyxUf ++= Ця формула має шукані властивості 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Графіки трьох систем прямих з прикладу ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 3 66 ( ) ( ) qpNqpyxfyxUf pq kl pq kl pq kl pq kl ≠== ;,,2,1,,,, K , ( ) .,2,1;,),(, ∫∫ ==∨== k i k i ГГ MiqkpkdsyxfdsyxUf K Висновок Таким чином, в даній роботі розроблено і досліджено метод побудови операторів, які інтер- полюють неперервну функцію f(x, y) в точках перетину N груп перетинних прямих, кожна з яких складається з M паралельних прямих, і мають задані проекції (інтеграли від наближуваної функції f(x, y) вздовж кожної прямої Γi k, k = 1, 2, …, N, i = 1, 2, …, M). Оскільки в комп’ютерній томографії інтерполяційні дані невідомі, то в подальшому операто- ри, побудовані в цій статті, планується використати для побудови операторів наближеного віднов- лення функцій f(x, y) лише за відомими їх проекціями. Для цього невідомі інтерполяційні дані будемо знаходити з умови мінімуму деякого функціонала [6]. Література 1. Литвин, О. М. Оператори інтерполювання із заданими значеннями інтеграла / О. М. Литвин, О. О. Литвин // Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях. Тези доп. Всеукраїн. наук. конф., Львів, 5–7 жовтня 1995 р. – Львів, 1995. – С. 113. 2. Литвин, О. М. Про один підхід до розв’язання плоскої задачі рентгенівської комп’ютерної томографії / О. М. Литвин, О. О. Литвин // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб. науч. тр. Ин-та математики НАН Украины, Киев, 1996. – С. 170-–173. 3. Литвин, О. М. Метод розв’язання плоскої задачі рентгенівської комп’ютерної томографії / О. М. Литвин, О. О. Литвин // Доп. НАН України. – 1998. – № 12. – С. 29–33. 4. Литвин, О. М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування/ О. М. Литвин. – Х., Основа, 2002. – 544 с. 5. Литвин, О. О. Математичне моделювання в малоракурсній комп’ютерній томографії на основі інтерлінації та мішаної апроксимації функцій: Автореф. дис. ... канд. фіз.-мат. наук. – К: 2009. – 20 с. 6. Литвин, О. М. Методи обчислень. Додаткові розділи / О. М. Литвин. – К., Наук. думка, 2005. – 332 с. 7. Литвин, О. О. Методи побудови операторів із заданими проекціями вздовж перетинних прямих, які інтерпо- люють f(x, y) в точках перетину цих прямих / О. О. Литвин Є. Л. Хурдей // Пробл. машиностроения. – 2013. – Т. 16, № 3. – С. 60–67. 8. Попов, Д. А. Восстановление характеристических функций в двумерной радоновской томографии / Д. А. По- пов // Усп. мат. наук. – 1998. – Т.53, вып. 1 (319). – С. 115–198. 9. Наттерер, Ф. Математические аспекты компьютерной томографии: Пер. с англ. / Ф. Наттерер. – М.: Мир, 1990. – 279 с. 10. Хермен, Г. Востановление изображений по проекциям. Основы реконструктивной томографи / Г. Хермен. – М.: Мир, 1983. – 352 с. 11. Терещенко, С. А. Методы вычислительной томографи / С. А. Терещенко. – М.: Физматгиз, 2004. – 320 с. 12. Федоров, Г. А. Вычислительная эмиссионная томография / Г. А. Федоров, С. А. Терещенко. – М.: Энергоа- томиздат, 1990. – 184 с. 13. Тихонов, А. Н. Математические задачи компьютерной томографи / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, А. А. Ти- монов. – М.: Наука, 1987. – 160 с. Поступила в редакию 21.08.14
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-81020
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0131-2928
language	Ukrainian
last_indexed	2025-11-24T08:21:18Z
publishDate	2014
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
record_format	dspace
spelling	Литвин, О.О. Хурдей, Є.Л. 2015-04-30T10:15:42Z 2015-04-30T10:15:42Z 2014 Поліноміальна інтерполяція з відомими проекціями на довільній системі n груп прямих, які складаються з m паралельних прямих / О.О. Литвин, Є.Л. Хурдей // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 60-66. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81020 519.6 Задано N груп прямих, кожна з яких складається з M паралельних прямих. Кожна пряма з однієї групи перетинається з усіма прямими з інших N – 1 груп. Вважається, що в точках перетину цих прямих задаються значення фінітної функції f(x, y) неперервної разом із своїми похідними першого порядку, носій якої квадрат [0, 1]×[0, 1]. Вважаються також відомими проекції, тобто інтеграли вздовж кожної із n×m прямих, які поступають з комп'ютерного томографа. Розв'язується така задача: побудувати оператор наближення функції f(x, y), який не тільки інтерполює функцію у вказаних вузлах, але й також має вказані проєкції. Результати даної роботи можуть бути використані при неруйнівному контролі важливих деталей в машинобудуванні. Задано N групп прямых, каждая из которых состоит из M параллельных прямых. Каждая прямая из одной группы пересекается со всеми прямыми из других (N–1)-й групп. Считается, что в точках пересечения этих прямых задаются значения финитной функции f(x, y) непрерывной вместе со своими производными первого порядка, носитель которой квадрат [0, 1]´[0, 1]. Считаются также известными проекции, т.е. интегралы вдоль каждой из n´m прямых , которые поступают с компьютерного томографа. Фактически эти интегралы находятся вдоль отрезков прямых, пересекающих носитель. Решается следующая задача: построить оператор приближения функции f(x, y), который не только интерполирует функцию в указанных узлах, но и также имеет указанные проекции. Результаты данной работы могут быть использованы при неразрушающем контроле важных деталей в машиностроении. uk Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Проблемы машиностроения Прикладная математика Поліноміальна інтерполяція з відомими проекціями на довільній системі n груп прямих, які складаються з m паралельних прямих Article published earlier
spellingShingle	Поліноміальна інтерполяція з відомими проекціями на довільній системі n груп прямих, які складаються з m паралельних прямих Литвин, О.О. Хурдей, Є.Л. Прикладная математика
title	Поліноміальна інтерполяція з відомими проекціями на довільній системі n груп прямих, які складаються з m паралельних прямих
title_full	Поліноміальна інтерполяція з відомими проекціями на довільній системі n груп прямих, які складаються з m паралельних прямих
title_fullStr	Поліноміальна інтерполяція з відомими проекціями на довільній системі n груп прямих, які складаються з m паралельних прямих
title_full_unstemmed	Поліноміальна інтерполяція з відомими проекціями на довільній системі n груп прямих, які складаються з m паралельних прямих
title_short	Поліноміальна інтерполяція з відомими проекціями на довільній системі n груп прямих, які складаються з m паралельних прямих
title_sort	поліноміальна інтерполяція з відомими проекціями на довільній системі n груп прямих, які складаються з m паралельних прямих
topic	Прикладная математика
topic_facet	Прикладная математика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81020
work_keys_str_mv	AT litvinoo polínomíalʹnaínterpolâcíâzvídomimiproekcíâminadovílʹníisistemíngrupprâmihâkískladaûtʹsâzmparalelʹnihprâmih AT hurdeiêl polínomíalʹnaínterpolâcíâzvídomimiproekcíâminadovílʹníisistemíngrupprâmihâkískladaûtʹsâzmparalelʹnihprâmih

Поліноміальна інтерполяція з відомими проекціями на довільній системі n груп прямих, які складаються з m паралельних прямих

Репозитарії

Схожі ресурси